Phương pháp giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh ĐH

Chia sẻ: Nguyễn Trung Kiên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

6.192
lượt xem 2.240
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình đối xứng loại 1: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.

Chủ đề:

Bình luận(2) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh ĐH

PHƯƠNG PHÁP GI I H PHƯƠNG TRÌNH TRONG KỲ THI TUY N SINH IH C BIÊN SO N: GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 Ph n m t: Các d ng h cơ b n I . H phương trình i x ng. 1.Phương trình i x ng lo i 1. a) nh nghĩa M t h phương trình n x, y ư c g i là h phương trình i x ng lo i 1 n u m i phương trình ta i vai trò c a x, y cho nhau thì phương trình ó không i b) Tính ch t N u ( x0 , y0 ) là m t nghi m thì h ( y0 , x0 ) cũng là nghi m S = x + y c) cách gi i  i u ki n S 2 ≥ 4 P  P = x. y Ta bi n i ưa h ã cho (1) v h 2 n S, P (2) (x;y) là nghi m c a (1) khi và ch khi (S,P) là 1 nghi mc c a (2) tho i mãn i u ki n: S 2 − 4 P ≥ 0 v i m i (S;P) tìm ư c ta có (x;y) là nghi m c a phương trình: X 2 − SX + P = 0 . Gi s phương trình có 2 nghi m là X1, X2. + N u ∆ > 0 thì X 1 ≠ X 2 nên h (1) có 2 nghi m phân bi t ( X 1 ; X 2 ) ; ( X 2 ; X 1 ) + N u ∆ = 0 thì X 1 = X 2 nên h có nghi m duy nh t ( X 1 ; X 2 ) . + H có ít nh t m t nghi m tho mãn x ≥ 0 khi và ch khi h (2) có ít nh t 1 nghi m (S;P) tho mãn. ∆ = S 2 − 4 P ≥ 0  S ≥ 0 P ≥ 0  VD 1: Gi i h phương trình  x 2 + y 2 + xy = 7  H có nghi m là (1;2), (2;1)  x + y + xy = 5 VD2: nh m h sau có nghi m  x + y + xy = m  2 S: 0 ≤ m ≤ 8  x + y2 = m 2) H phương trình i x ng lo i 2. -M t h phương trình 2 n x, y ư c g i là i x ng lo i 2 n u trong h phương trình ta i vai trò x, y cho nhau thì phương trình tr thành phương trình kia.  x 3 + x 2 y = 10 y  VD:  3  y + y 2 x = 10 x  b) Tính ch t. - N u (x0 ; y0 ) là 1 nghi m c a h thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghi m c) Cách gi i 1
- Tr v v i v hai phương trình c a h ta ư c m t phương trình có d ng (x − y )[ f (x; y )] = 0 x − y = 0  f ( x; y ) = 0  3x3 = x 2 + 2 y 2  Ví d : Gi i h phương trình sau:  3 3 y = y + 2 x 2 2  HD: Tr hai phương trình c a h ta thu ư c 3( x3 − y 3 ) = −( x 2 − y 2 ) ⇔ ( x − y )[3( x 2 + y 2 + xy ) + x + y ] = 0 H ã cho tương ương v i  x − y = 0  3 (I )  3 y = y + 2 x 2 2  2 Gi i (I) ta ư c x=y=0 ho c x=y=1 3( x + y + xy ) + x + y = 0 2  ( II )  3 y 3 = y 2 + 2 x 2  Xét (II) T gi thi t ta suy ra x, y không âm . N u x, y dương thì h vô nghi m suy ta h có nghi m duy nh t x=y=0 K t lu n: H có 2 nghi m x=y=0 và x=y=1 3) H phương trình v trái ng c p b c II a) Các d ng cơ b n. ax + bxy + cy = d  2 2 . 2 a1 x + b1 xy + c1 y = d1 2  b) Cách gi i. + Xét trư ng h p y=0 xem có ph i là nghi m hay không + t x=ty thay vào h r i chia 2 phương trình c a h cho nhau ta ư c phương trình b c 2 theo t. Gi i phương trình tìm t sau ó th vao m t trong hai phương trình c a h tìm x,y Phương pháp này cũng úng khi v trái là phương trình ng c p b c n.  x 2 − 3xy + y 2 = −1  Ví d : Gi i h  2  x + 2 xy − 2 y = 1 2  + D th y y=0 không ph i là nghi m t y − 3ty + y = −1 2 2 2 2 + t x=ty th vào h ta có  2 2 chia 2 phương trình c a h cho nhau ta t y + 2ty − 2 y = 1 2 2  có t = 1 x = y t 2 − 3t + 1  = −1 ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇒ 2 ⇔ t ó th hai trư ng h p vào t 2 + 2t − 2 t = − 1 x = − 1 y  2  2 m t trong hai phương trình c a h gi i. 2
PH N HAI: M T S PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯ NG DÙNG TRONG GI I H I) PHƯƠNG PH P BI N I TƯƠNG ƯƠNG Phương pháp này ch y u là dùng các k năng bi n i phương trình cu h dưa v phương trình ơn gi n có th rút x theo y ho c ngư c l i th vào phương trình khác c ah Ta xét ví d sau: Lo i 1) Trong h có m t phương trình b c nh t theo n x ho c n y. Khi ó ta rút x theo y ho c y theo x th vào phương trình còn l i  x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3 x 2 − 4 x + 1(1)  Ví d 1) Gi i gh phương trình   xy + y + 1 = x (2) 2  HD: Ta th y x=0 không ph i là nghi m c a phương trình (2) t phương trình (2) ta có x2 − 1 y +1 = thay vào phương trình (1) ta có x  x 2 − 1  x 2 − 1  x2   + x  = 3 x 2 − 4 x + 1 ⇔ ( x − 1) ( 2 x3 + 2 x 2 − x − 1) = ( x − 1)( 3 x − 1)  x  x  ( ) ⇔ ( x − 1) 2 x3 + 2 x 2 − 4 x = 0  x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy  Ví d 2) Gi i h phương trình:   x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy  Gi i: Ta có x=y=0 là nghi m. Các c p s (x,y) v i x=0, y ≠ 0 ho c x ≠ 0, y=0 không là nghi m. 1 1  x + y + 2x + y = 5  Xét xy ≠ 0. chia 2 v phương trình cho xy ≠ 0 ta ư c   1 + 1 + 3x − y = 4 x y  1 1 Suy ra 5 − 2 x − y = + = 4 + y − 3x ⇔ x = 2 y − 1 x y Thay x=2y-1 vào phương trình th hai ta thu ư c: ( ) 2 y − 1 + y + y ( 2 y − 1)( 5 y − 3) = 4 ( 2 y − 1) y ⇔ 3 y − 1 + y 10 y 2 − 11y + 3 = 8 y 2 − 4 y ( ⇔ 10 y 3 − 19 y 2 + 10 y − 1 = 0 ⇔ ( y − 1) 10 y 2 − 9 y + 1 ) 9 + 41 9 − 41 ⇔ y = 1; y = ;y = 20 20 3
( y = 1; x = 1)  9 + 41 41 − 1  áp s :  y =  ;x =    20 10   9 + 41 − 41 − 1  y=  ;x =    20 10  Lo i 2) M t phương trình c a h có th ưa v d ng tích c a 2 phương trình b c nh t hai n. Khi ó ta ưa v gi i 2 h phương trình tương ương  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 (1)  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y (2)  i u ki n là y ≥ 0; x ≥ 1 x = − y Phương trình (1) ⇔ (x+y)(x-2y-1)=0 t ó ta có  thay l n lư t hai trư ng h p x = 2 y +1 vào phương trình (2) gi i  x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 (1)  Ví d 2)Gi i h phương trình:   x + y = 1(2)  Gi i: i u ki n x ≥ y ≥ 0 (1) ⇔ ( x + y − 1) ( ) x − y −1 = 0  x + y = 1    x + y = 1  H ã cho tương ương v i:   x − y = 1   x + y = 1  x + y = 1  x = 1 x = 0 gi i  ⇔ và   x + y =1 y = 0  y =1 x − y = 1  x = 1 gi i  ⇔  x + y =1 y = 0  áp s : x=1,y=0 và x=0, y=1.  y −3  x+ y + x+3 = (1) Ví d 3) Gi i h phương trình:  x  x + y + x = x + 3(2)  Gi i: i u ki n x > 0, y ≥ 3 y −3 y −3 Ta có: (1) ⇔ = x+ y − x+3 x V i y=3 ta có 2 x + 3 = 0 ⇔ x = −3 (lo i) 4
 x+ y − x+3 = x  V i y ≠ 3 ta có   x+ y + x = x+3  Suy ra x + 3 − x = x + y = x + x + 3 Suy ra x + 3 + x = 3 ⇔ x = 1 thay vào (2) ta ư c: y +1 = 3 ⇔ y = 8 x = 1 áp s :  y = 8 Chú ý: Trong m t s bài toán nhi u khi các em c n c ng ho c tr 2 phương trình c a h sau ó m i xu t hi n phương trình d ng tích  x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41  Ví d 4) Gi i h phương trình :   xy ( x + y ) = 10 2 2  Gi i: S d ng h ng ( ) ng th c: ( x + y ) = x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2 4  x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41  HD: H ã cho tương ương v i   2 ( 4 xy x + y = 40 2 ) c ng v v i v 2 phương trình ta thu ư c: ( ) x 4 + y 4 + 4 xy x 2 + y 2 + 6 x 2 y 2 = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇔ x + y = ±3 4  x + y = 3    2 (   xy x + y = 10 2 ) h ã cho tương ương v i    x + y = −3    2 (   xy x + y = 10 2 ) x + y = 3  x + y = 3  x + y = 3  a) Xét  ⇔ ⇔ (  xy x + y = 10  2 2 )  xy ( x − y ) − 2 xy  = 10    2   xy ( 9 − 2 xy ) = 10   x + y = −3   x + y = −3  b) Xét  ⇔  2 (  xy x + y = 10 2 )  xy ( 9 − 2 xy ) = 10  Lo i 3) M t phương trình c a h là phương trình b c 2 theo m t n ch ng h n x là n. Khi ó ta coi y như là tham s gi i x theo y.  y = (5 x + 4)(4 − x)  2 (1) Ví d 1) Gi i h phương trình sau  −5 x + y − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0 ( 2 ) 2 2  HD: Coi phương trình (2) là phương trình theo n y ta có (2) ⇔ y2 –4(x+2)y- 5x2+16x+16=0 5
 y = 5x + 4 Gi i y theo x ta có  thay l n lư t hai trư ng h p vào phương trình ta s gi i y = 4− x ư c các nghi m c a h 2 x 2 + 2 xy + y = 5  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:  2  y + xy + 5 x = 7  Tr hai phương trình c a hê cho nhau ta có 2 x 2 − y 2 + xy + y − 5 x + 2 = 0 ⇔  y +1 x= 2 x + ( y − 5) x − y + y + 2 = 0; ∆ = ( y − 5) − 8(− y + y + 2) = (3 y − 3) ⇒  2 2 2 2 2 2   x = 2− y Thay l n lư t 2 trư ng h p vào h ta gi i ư c x, y II) PHƯƠNG PHÁP T N PH i m m u ch t c a phương pháp này là ph i phát hi n n ph u=f(x,y) và v=g(x,y) ngay trong t ng phương trình c a h ho c sau các phép bi n i Thông thư ng các phép bi n i thư ng xoay quanh vi c c ng, tr 2 phương trình c a h ho c chia các v phương trình cho m t s h ng khác không có s n trong các phương trình c a h tìm ra nh ng ph n chung mà sau ó ta t thành n ph  x 2 + 1 + y ( y + x) = 4 y  (1) Ví d 1) Gi i h phương trình sau  2 ( )  x + 1 ( y + x − 2) = y  (2) HD: Ta th y y=0 không ph i là nghi m c a h . Chia hai v phương trình (1) và (2) cho y ta có h tương ương sau  x2 + 1  +x+ y =4  y x2 + 1 u + v = 2  2 t u= ; v=x+y-2 ta có h sau  Gi i h tìm u,v ( x +1 y uv = 1 )( x + y − 2) = 1  y  sau ó tìm x, y.  3 4 xy + 4( x + y ) + =7 2 2 ( x + y) 2  Ví d 2) Gi i h phương trình sau  i u ki n x+y ≠ 0 2 x + 1 =3   x+ y  3 3 ( x + y ) + ( x − y ) + 2 2 =7 (x + y) 2  1 Khi ó ta có h sau  t u = x+ y+ ;v = x − y x + y + 1 + x − y = 3 x+ y   x+ y V i u ≥2 3u 2 + v 2 = 13 Thay vào ta có  Gi i h tìm u;v sau ó thay vào tìm x; y u + v = 3 6
 x3 + y 2 x + 3 x 2 + y 2 + 3x − 2 y + 1 = 0  Ví d 3) Gi i h phương trình:  3 2 y + xy + y − 3x − 3 = 0 2 2  ( x + 1)3 + ( x + 1) y 2 = 2 y  Gi i: H phương trình tương ương v i  ( x + 1) y + 2 y = 3 ( x + 1) 2 3  t u=x+1 u 3 + uy 2 = 2 y  Ta có h m i  2 uy + 2 y = 3u 3  D th y u=y=0 là m t nghi m Xét y ≠ 0 t u=ty th vào h sau ó chia hai v phương trình cho nhau ta ư c phương trình m t n t. ( ây là m t bi n th c a h phương trình ng b c) ( x + y )(1 + xy ) = 18 xy  Ví d 4) Gi i h phương trình:  2  2 ( )  x + y 1 + x y = 208 x y 2 2 2 2 Gi i: Ta có x=y=0 lànghi m. Xét xy ≠ 0 . H phương trình tương ương v i   1  ( x + y ) 1 +  = 18   xy  1 1 u + v = 18  . t u = x + , v = y + ta ư c  2 2  x 2 + y 2 1 + 1  = 208 x y u + v = 208 ( )  2 2    x y    1  ( x + y ) 1 +  = 5   xy  Ví d 5)Gi i h phương trình   xy + 1 = 4   xy Gi i: 1 1 u + v = 5 i u ki n xy ≠ 0 . t u = x + , v = y + ta ư c h  y x uv = 6  x y   +  ( x + y ) = 15  y x  Ví d 6) Gi i h phương trình :  2  x + y  x 2 + y 2 = 85 2  y 2 x 2  ( )   x y Gi i: t u = + , v = x + y .Ta có: y x 2 2 x y 2 + 2 = u2 − 2 y x x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = v 2 − 2 xy 2 7
x2 + y 2 u= ⇔ u.xy = x 2 + y 2 xy v2 Suy ra u.xy = v 2 − 2 xy ⇒ xy = u+2 2 2v uv 2 15v Suy ra x 2 + y 2 = v 2 − = = ( vì uv=15) u+2 u+2 u+2 uv = 15  Ta ư c h  2  15v  ( u − 2 )  u + 2  = 85     x 2 y + 2 y + x = 4 xy  Ví d 7) Gi i h :  1 1 x  x 2 + xy + y = 3  Gi i: i u ki n xy ≠ 0 .  1 1 1 x + x + x + y = 4  h phương trình tương ương v i  .   x+ 1  1 1    +  = 4  x  x y  1 1 1 u + v = 4 u = 2 t u = x + , v = + ta ư c:  ⇔ x x y uv = 4 v = 2  1 x + x = 2  H phương trình tương ương v i  ⇔ ( x = 1, y = 1) 1 + 1 = 2 x y  III) PHƯƠNG PHÁP HÀM S Lo i 1) M t phương trình c a h có d ng f(x)=f(y). M t phương trình cho ta bi t t p giá tr c a x ho c y. T ó suy ra hàm f(x) ơn i u suy ra x=y  x3 − 5x = y3 − 5 y  (1) Ví d 1) Gi i h phương trình sau  8 x + y = 1  4 ( 2) T phương trình (2) ta suy ra x , y ≤ 1 Xét phương trình f ( x) = x3 − 5 x v i x ∈ [ −1;1] ; f '( x) = 3 x 2 − 5 < 0∀x ∈ [ −1;1] nên f(x) là hàm ngh ch bi n suy ra x=y thay vào phương trình (2) ta d dàng gi i ư c nghi m Lo i 2) H i x ng mà sau khi bi n i th ơng ưa v d ng f(x)=f(y) ho c f(x)=0 trong ó f là hàm ơn i u  x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1  8
 u + u + 1 = 3 2 v HD: t x-1=u; y-1=v ta có h  v + v 2 + 1 = 3u  Tr theo v hai phương trình trên ta ư c u + u 2 + 1 + 3u = v + v 2 + 1 + 3v Xét hàm s x f ( x) = x + x 2 + 1 + 3x ; f '( x) = 1 + + 3x ln 3 > 0∀x ⇒ u = v . Thay vào (1) ta có x +1 2 ( ) u + u 2 + 1 = 3u ⇔ ln u + u 2 + 1 = u ln 3 ; f (u ) = ln(u + u 2 + 1) − u ln 3 ta có u 1+ f '(u ) = u 2 + 1 − ln 3 = 1 − ln 3 < 0∀u ⇒ f (u ) là hàm s ngh ch bi n. Ta có u + u2 +1 u2 +1 khi u=0 thì f(0)=0 nên u=v=0 là nghi m duy nh t ⇒ x=y=1 là nghi m duy nh t c a h ban u  x3 − 3x2 + 2 = y3 − 3 y − 2  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:   x−2  y −1  log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 2011) 2      Gi i: t y=u-1 thay vào phương trình (1) c a h ta có x 3 − 3 x 2 = u 3 − 3u 2 . Ta th y bài toán xác nh khi  0 < y < 1   0 < x < 2 Trong c hai trư ng h p ta th y hàm s f ( x) = x3 − 3 x 2 ⇒ f '( x) = 3 x( x − 2)  x > 2   y > 1  luôn ơn i u nên Ta có x = u ⇔ x = y + 1 thay vào phương trình (2) c a h ta có x=2011 là nghi m. Chú ý: Trong bài t p này ta cũng có th bi n i tr c ti p phương trình u c a h v d ng x3 − 3x 2 = ( y + 1) − 3( y + 1) 2 3 ( 4 x + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0  2 Ví d 3) Gi i h phương trình sau:  4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7  5−t 2 HD: t 5 − 2 y = t ⇒ y = thay vào phương trình (1) c a h ta có 2 5 − t2 4 x3 + x = t (3 − ) ⇔ 8 x3 + 2 x = t 3 + t Xét f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = 3 x 2 + 1 suy ra hàm 2 5 − 4 x2 s f ( x) luôn ng bi n t ó suy ra t = 2 x ⇔ 5 − 2 y = 2 x ⇔ y = th vào 2 phương trình (2) c a h ta có 9
2  5 − 4 x2   3 g ( x) = 4 x +   + 2 3 − 4 x − 7 = 0 v i x ∈ 0;  . 2  2   4 D th y x=0 ho c x=3/4 u không ph i là nghi m 5  4 4  3 g '( x) = 8 x − 8 x  − 2 x 2  − = 4 x(4 x 2 − 3) − < 0 v i x ∈  0;  Ta có 2  3 − 4x 3 − 4x  4 1 1 g ( ) = 0 ⇒ x = ; y = 2 là nghi m duy nh t c a h . 2 2 IV) PHƯƠNG PHÁP ÁNH GIÁ V i phương pháp này h c sinh c n quan sát n m ch c các bi u th c không âm trong h , qua ó v n d ng các b t ng th c ánh giá  2 xy x + 3 2 = x2 + y  x − 2x + 9 Ví d 1) Gi i h phương trình  y + 2 xy = y2 + x  3 y − 2y + 9 2  HD:C ng 2 v c a hai phương trình v i nhau ta có 2 xy 2 xy + = x 2 + y 2 Ta có x=y=0 là m t nghi m c a h x − 2x + 9 3 2 3 y − 2y + 9 2 Có 3 x 2 − 2 x + 9 = 3 ( x − 1) 2 + 8 ≥ 2 ⇒ VT ≤ 2 xy; x 2 + y 2 ≥ 2 xy ⇒ VP ≥ 2 xy . D u b ng x y ra khi và ch khi x=y=1 K t lu n: H có 2 ngi m x=y=0 và x=y=1  y = − x + 3x + 4  3 Ví d 2) Gi i h phương trình sau  x = 2 y − 6 y − 2 3  ( y − 2 ) = −( x + 1)2 ( x − 2)  (1) H ã cho tương ương v i  ( x − 2 ) = 2 ( y + 1) ( y − 2) 2  (2) N u y > 2 t (1) suy ra x 1 + x 7 ⇒y>x ⇒ 1 + y + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 + y 7 > 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x5 + x 6 + y 7 > 1 + y 7 ⇒ x > y V y h vô nghi m. Tương t khi y>0 h cũng vô nghi m Xét x
Ta có 1 + ( x + x 2 ) + ( x 3 + x 4 ) + ( x 5 + x 6 ) + x 7 > 1 + x 7 ⇒ y > x . Tương t khi yy . V y h vô nghi m Xét trư ng h p -1
(u + a ) + ( v + b) + (u + a)(v + b) + 2(v + b) + u + a = 0 2 2 h phương trình òng b c thì i u ki n c n là trong phương trình không có s h ng b c nh t. 2a + b + 1 = 0 a = 0 Suy ra  ⇒ 2b + a + 2 = 0 b = −1  x 2 + u 2 + xu = 3  t y=u-1 ta có h sau:  2 2 x − u = 1 2  M TS BÀI T P GI I H PHƯƠNG TRÌNH Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088  2 5  x + y + x y + xy + xy = − 4 3 2 x + 2x y + x y = 2 x + 9  4 3 2 2  1)  2)  2  x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5  x + 2 xy = 6 x + 6    4  xy + x + y = x 2 − 2 y 2  x 2 + y 2 + x − y = 4 3)  4)  x 2 y − y x − 1 = 2x − 2 y   x( x − y + 1) + y ( y − 1) = 2  x 2 + y 2 + xy = 7  1 + x 3 y 3 = 19 x 3  5)  4 6)   x + y 4 + x 2 y 2 = 21   y + xy 2 = −6 x 2    1  (x + y )1 +  = 5  xy      xy + 3 y 2 − x + 4 y = 7  7)  8)  2 xy + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0  ( )  x 2 + y 2 1 + 1  = 49   x2 y2        x+ y − x− y = 2   x 3 + 2 xy 2 + 12 y = 0  9)  10)  2  x +y + x −y =4  2 2 2 2 8 y + x 2 = 12   x + x 2 − y 2 x − x 2 − y 2 17  + = 2 x 2 + 5 xy + 2 y 2 + x + y + 1 = 0  11)  x − x − y 2 2 x+ x − y 2 2 4 12)  2   x + y 2 + 4 xy + 12 x + 12 y + 10 = 0   x( x + y ) + x + xy + 4 = 52  2 x + y + x − 2 y = 2  2 2  2( x − y ) = xy  13)  2 14)   x + y + 2 x + 2 y = 11  2 x − y = 3  2 2  2 2 xy  y x 2 − y 2 = 48 x + y + x + y = 1 2  15)  16)   x + y = x2 − y  x + y + x 2 − y 2 = 24    2y 2 xy + 3 x + 4 y = −6 x − y + = −2 17)  2 18)  x  x + 4 y + 4 x + 12 y = 3 2 2 xy − 2 y 2 + x = 0  12
 x 2 + y 2 + xy = 3  x2 y + 2x + 3y = 6 19)  2 20)   x + 2 xy = 7 x + 5 y − 9  3 xy + x + y = 5  x + y + xy = 3  2 2 x y + x + 2 x = 2  2 2 2 2 21)  2 22)  2  y − xy + 5 x + 4 y = 9 2 x y − x y + 2 xy = 1 2 2   2 x 2 + 2 y 2 = 1 + 2 x + y   x2 y 2 + y 4 + 1 = 3 y 2  23)  2 24)  2 2 y + 2 x + y + 1 = 6 xy   xy + x = 2 y   2 y − x + 6 y + y x − 2 y = 0  x+ y + x− y =2 y 2  25)  26)   x + x − 2 y − x − 3y = 2   x + 5y = 3   2 1  x − 2 y − xy = 0  2 x + x − y = 2 27)  28)   x −1 − 2 y −1 = 1   y − y 2 x − 2 y 2 = −2   x2 y + y = 2   x3 + y 2 x + 3x 2 + y 2 + 3x − 2 y + 1 = 0  29)  2 1 30)  3 x + 2 + x y = 3 2 y + xy + y − 3 x − 3 = 0 2 2 2 2   x  y −3  x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 (1)  x+ y + x+3 = (1)  31)  x 32)   x + y + x = x + 3(2)  x + y = 1(2)    3 4 xy + 4( x + y ) + =7 2 2  x 2 y + 2 y + x = 4 xy ( x + y) 2   33)  34)  1 1 x 2 x + 1 = 3  x 2 + xy + y = 3    x+ y  2 xy  x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1 x + 3 2 = x2 + y   x − 2x + 9 35)  36 )   y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1 y + 2 xy  = y2 + x  3 y − 2y + 9 2   x + y + xy ( 2 x + y ) = 5 xy   x 4 + y 4 + 6 x 2 y 2 = 41  37)  38)   x + y + xy ( 3 x − y ) = 4 xy   (  xy x + y = 10 2 )2  x2 y + y3 = x 4 + x6   x 3 + 4 y = y 3 + 16 x  39)  40)  ( x + 2) y + 1 = ( x + 1) 1 + y = 5( x + 1) 2 2 2    x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y   x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 + 2 xy  41)  42)   y ( x + y ) = 2( x + 1) + 7 y  x + x y + xy = y + xy + 1 2 2 2 2   13
 x3 − 3x 2 = y 3 − 3 y − 2 ( 4 x 2 + x ) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0   43)  44)   x−2  y −1  log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 3) 3 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7  2 2       x − y sin x e = sin y  π 45)  x, y ∈  0;  3 8 x 2 + 3 + 1 = 6 2 y 2 − 2 y + 1 + 8 y  4  (1 + 42 x − y ) 51− 2 x + y = 1 + 22 x − y +1  1− x 2 3  2 x − 2 y = − xy − 2 46)  47)   y + 4 x + 1 + ln ( y + 2 x ) = 0 3 2 2  ( x 2 y + 2 x ) 2 − 2 x 2 y + 1 − 4 x = 0   x2 +1 8 y 2 + 1 2 − 4 = 3(2 y − x )  x 2 + y 2 + xy + 2 y + x = 2 2  48)  49)  2 3 7 2 x = 2 + y + 2 y 2 2( x + y ) + x+ y =  2  2 2 x + 2 y + 2x + 8 y + 6 = 0  2 2  x 2 + xy + y 2 = 3  50)  2 51)  3  x + xy + y + 4 x + 1 = 0 x + 2 y = y + 2x 3    x 2 + y 2 + xy = 3  x2 + y 2 + 2 x = 3   52)  3 53)  x 5 + y 5 31 2( x + y ) + 6 x = 5 + 3( x + y )  x3 + y3 = 7 3 2 2 2    x2 + y 2 = 5   x 2 − 8 x + 9 − 3 xy + 12 − 6 x ≤ 1  54)  4 55)   x + y + 6 x y + 20 xy = 81 4 2 2   2( x − y ) 2 + 10 x − 6 y + 12 − y = x + 2   y 6 + y 3 + 2 x 2 = xy − x 2 y 2  y 2 + (4 x − 1) 2 = 3 4 x(8 x + 1)   56)  57)  1 40 x + x = y 14 x − 1 4 xy + y + ≥ 2 x + 1 + ( 2 x − y ) 2 3 3 2 2   2   1   3x 1 + =2   x+ y 58)   7 y 1 − 1  = 4 2      x+ y Trong bài vi t có s d ng m t s tư li u trích t bài vi t c a th y Nguy n Minh Nhiên, th y Nguy n T t Thu.Tôi xin chân thành c m ơn các th y. 14