Phương pháp phân tích hệ thống và lời giải số trực tiếp

Chia sẻ: Do Xuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

660
lượt xem 113
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung bài báo trình bày phương pháp không gian_ trạng thái dùng trong kỹ thuật phân tích và đánh giá chất lượng các hệ thống động lực cũng như lời giải số trực tiếp có thể dễ dàng thực hiện trên các máy tính số. Các ví dụ ứng dụng bao gồm khảo sát và giải cho 2 hệ thống. 1/ Hệ thống cơ học: Khảo sát ảnh hưởng độ đàn hồi của chiều dài vít me hộp chạy dao máy CNC đến độ chính xác gia công trên máy.2/ Hệ thống cơ điện tử: Khảo sát đặc tính...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp phân tích hệ thống và lời giải số trực tiếp

Phương pháp phân tích hệ thống và lời giải số trực tiếp The method of analyzing engineering systems and its direct numerical solution Bùi Trương Vĩ Đại học kỹ thuật Đà Nẵng TÓM TẮT ABSTRACT Nội dung bài báo trình bày phương pháp không This article develops the state-space gian-trạng thái dùng trong kỹ thuật phân tích và representation using in analyzing and examining đánh giá chất lượng các hệ thống động lực cũng the performance of engineering systems, also như lời giải số trực tiếp có thể dễ dàng thực hiện includes the solution using direct numerical trên các máy tính số. Các ví dụ ứng dụng bao gồm method. One of the most advantages of this khảo sát và giải cho2 hệ thống .1.Hệ thống cơ học : approach is the ease to solve numerically by Khảo sát ảnh hưởng độ đàn hồi của chiều dài vít computer. Two applications are introduced as me hộp chạy dao máy CNC đến độ chính xác gia illustrating examples, one is the solution of a công trên máy 2.Hệ thống cơ-điện tử :Khảo sát đặc mechanical system in which the performance of the tính động lực của động cơ điện 1 chiều điều khiển system can be investigated and examined, the other tốc độ bằng dòng điện phần ứng cho cả 2 trường is the solution of an electromechanical system : a hợp : trục cứng vững tuyệt đối và trục có tính đến system with an armature-controlled DC motor,both độ đàn hồi. rigid and flexible shaft. ĐẶT VẤN ĐỀ: u là véctơ biến vào có kích thước m × 1 Sau khi đã nhận được các phương trình đặc trưng y là véctơ biến ra , có kích thước p × 1 mô tả mô hình các hệ thống động lực dùng làm hệ Để phân tích và khảo sát đặc tính chất lượng của thống chấp hành máy, các mô hình toán học nầy các hệ thống động lực dùng trong hệ chấp hành cần được biểu diễn sao cho lời giải của chúng có máy công cụ ĐKS, ta phải tìm lời giải cho dạng thể mô tả được trạng thái hoạt động của hệ thống tổng quát của phương trình không gian-trạng thái . chấp hành ở một thời điểm bất kỳ t nào đó (t≥to ,với Bài toán quy về việc giải các phương trình biến to là thời điểm bắt đầu). trạng thái, bởi vì phương trình biến ra y dễ dàng Một phương pháp tổng quát cho phép xác định tính được một khi chúng ta đã tìm được x trạng thái chuyển động của một hệ thống là phương + LỜI GIẢI SỐ TRỰC TIẾP CỦA PHƯƠNG pháp không gian - trạng thái, dựa trên tập hợp các TRÌNH BIẾN TRẠNG THÁI : biến trạng thái. Các biến trạng thái nói chung là các 1 trong những ưu điểm chính của phương pháp đại lượng toán học dùng để mô tả 1 hệ thống ở dạng không gian- trạng thái là thuận tiện giải trên các tường minh. máy tính số đối với các phương trình mô tả hệ NỘI DUNG: thống. Phương pháp không gian - trạng thái mô tả lại các Phép tính xấp xỉ đạo hàm của 1 biến x: phương trình chuyển động của hệ thống qua các x ( t + ∆t ) − x ( t ) x= & biến trạng thái : ∆t • Số biến trạng thái bằng số điều kiện hay : x(t + ∆t) = x(t) + x ∆ t & đầu để giải được phương trình chuyển Đây có thể được coi là biểu thức xấp xỉ kế tiếp để động. tính giá trị của x ở thời điểm (t + ∆t ) khi biết giá • Các biến trạng thái chính là các biến trị của x và x ở thời điểm t . & mà điều kiện đầu đòi hỏi. Thay x ở phương trình biến trạng thái vào biểu & + DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG thức xấp xỉ kế tiếp , ta có: TRÌNH KHÔNG GIAN-TRẠNG THÁI : x( t + ∆t ) = x ( t ) + [Ax( t ) + Bu ]∆t x = Ax + Bu &  Chú ý rằng các hệ thống động lực dùng làm hệ  y = Cx + Du chấp hành máy công cụ được mô tả ở trên với giả với : thiết có các số hạng A và B là tuyến tính và không A,B,C,D là các ma trận không gian- đổi theo thời gian, nhưng biểu thức xấp xỉ kế tiếp ở trạng thái ; x,u là các véctơ trên vẫn áp dụng được nếu các số hạng ( và do đó là Ma trận A có kích thước n × n , là ma hệ thống ) phụ thuộc theo thời gian và/hay không trận hệ thống tuyến tính . Ma trận B có kích thước n × m , là ma Như vậy, bắt đầu từ thời điểm t = 0 , cùng với các trận biến vào điều kiện đầu đã biết , ta có thể xác định được các Ma trận C có kích thước p × n , là ma biến trạng thái ở các bước thời gian kế tiếp trận biến ra ỨNG DỤNG : Ma trận D có kích thước p × m , là ma VÍ DỤ 1 : Khảo sát ảnh hưởng độ đàn hồi của trận truyền chiều dài vít me hộp chạy dao máy CNC đến độ x là véctơ trạng thái có kích thước n × 1 chính xác gia công trên máy (véc tơ cột) 1
Bài toán đặt ra là giả sử ta có 1 hệ thống cơ học J4:mômen quán tính bàn mang tải quy về trục II; dùng làm hệ thống truyền động chạy dao cho máy Bỏ qua mômen quán tính các bánh răng J2 và J3 ; CNC, bao gồm động cơ truyền động cho trục vít me b1,b2 : hệ số ma sát trên các trục I và II tương ứng . qua hộp giảm tốc bánh răng. Trục vít me dẫn động Phương trình chuyển động của hệ thống truyền bàn máy mang chi tiết gia công đến vị trí chính xác động cơ học : càng nhanh càng tốt. Do vít me có chiều dài nhất M1-b1 θ m -M2 = J1 && m & θ (1.1) định cũng như tính đàn hồi của các bánh răng trong hộp giảm tốc, góc xoay của vít me tại vị trí làm việc k  θ m − θ 4  − b 2 θ 4 = J 4 && 4 (1.2)   & θ (vị trí ăn khớp với đai ốc bàn máy ) sẽ khác với góc  N  xoay tính toán, và dẫn đến không tiên đoán được vị Ngoài ra, do trục I truyền chuyển động đến trục trí thực tế của bàn máy. vít me qua cặp bánh răng trung gian được giả thiết Yêu cầu của bài toán nhằm tìm ra các ảnh hưởng bỏ qua mô men quán tính, nên ta có thể viết : do tính đàn hồi của vít me tác dụng đến sự làm việc của cơ cấu chấp hành (bàn máy) cũng như biện NM2 = k  θ m − θ 4    (1.3) pháp khắc phục để bàn máy mang chi tiết gia công  N  đến vị trí mong muốn với độ chính xác cao. Yêu Áp dụng kỹ thuật phân tích không gian-trạng thái cầu nầy là đặc biệt có ý nghĩa khi bàn máy mang với định nghĩa véc tơ biến trạng thái x như sau : chi tiết gia công đang thực hiện chuyển động cắt & x1 = θm ; x3 = θ4 ; x2 = θ ; x4 = θ& m 4 gọt , bởi vì dụng cụ cắt có thể cắt lẹm vào bề mặt Khi đó có thể viết : gia công & 1 = x 2 ; x 3 = x 4 ; x 2 = && m ; x 4 = && 4 x & & θ & θ LỜI GIẢI Từ các phương trình (1),(2),(3), ta có: θ1 θ2 && = − b1 θ − k θ + k θ + M1 & M1 θm m m 4 I J1 J1 N 2 J1 N J1 J2 J4 b1 k k M1 k = − x2 − x1 + x3 + J1 J1 J1 N 2 J1 N J1 N θ3 II Mt và && = k θ − k θ − b 2 θ θ4 & m 4 4 J3 θ4 J4N J4 J4 k k b = x1 − x 3 − 2 x 4 H 1a) : Hệ thống truyền động J4N J4 J4 Viết lại ở dạng phương trình biến trạng thái : θ1 θ2 x 1  0 1 0 0 x1  M1 J2       k    − k 2 − b1 0    k J4 = x 2   J1 N J1 J1 N  x 2  J1    1    x 3   0 0  x 3  θ4 Mt 0 θ3    k − k − b2    J3      0  x 4    J4N J4 J4  x 4    H 1b) : Mô hình hệ thống 0    1 Hình 1trình bày sơ đồ hệ thống truyền động chạy  J1  M dao theo 1trục toạ độ của máy công cụ ĐKS(CNC) +   1 Các giả thiết ban đầu : 0  Trục I : trục động cơ, giả sử cứng vững tuyệt đối ,   khi đó rô to động cơ cùng với trục I và bánh răng 2 0  quay cùng tốc độ, hay nói một cách khác   Thay các số liệu thành phần của A và B, trong đó θ1 = θ2 = θm ; cho trước : Trục II : trục vít me,có độ cứng 4 J1 = 0,0001Nms2/rad ; k = Gπd J4 = 0,001Nms2/rad ; 32l vm b1 = b 2 với G : mô đun đàn hồi chống xoắn của vật liệu; = 0,01Nms/rad; d,lvm : đường kính trung bình của ren và chiều dài k = 1Nm/rad ; N = 5 vít me ; và giải bằng lời giải số trực tiếp phương trình biến N>1: tỉ số truyền giảm tốc ; trạng thái. J1: mômen quán tính rô to động cơ Lời giảisố trực tiếp Kết quả :H1.c,d. 2
• Cập nhật các giá trị của x và t tại điểm kế tiếp 1,2 • Tiếp tục ... cho đến i = N+1 Lời giải nhận được chỉ ra đặc tính động lực của hệ 1 thống chấp hành cơ học Trên đồ thị H1c,d là các đường đặc tính x2 và x4 biểu thị sự biến đổi tốc độ góc của trục I và trục II 0,8 theo thời gian , qua đó ta có thể thấy rằng có thể coi đáp ứng đạt giá trị xác lập sau khoảng 1s, đây là 0,6 khoảng thời gian khá dài khi gia công với tốc độ cao. Mặt khác, bản chất dao động của đáp ứng có 0,4 thể sản sinh ra các mấp mô trên bề mặt gia công. Biện pháp khắc phục : Cần thiết lập hệ thống điều khiển có phản hồi cho hệ thống khảo sát. 0,2 0 r+ u + x & Hệ thống yx 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Σ B Σ C - chấphành T h ơ ̀i g ia n t (s ) + H1.c)Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ học A 1,2 G 1 0,8 H1.e:Mô hình hệ thống có phản hồi dạng không gian-trạng thái 0,6 0,4 Trong trường hợp tổng quát , đối với hệ thống có phản hồi mô tả ở dạng không gian - trạng thái (H 0,2 1.e), cần xác định véc tơ phản hồi G sao cho hệ thống được cung cấp 1 véc tơ điều khiển u đảm bảo đáp ứng hệ đúng theo mong muốn. 0 Các trị riêng của hệ thống hở: 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 eig(A)= 0.0000 , -96.2922 , -6.8539 +32.1414i và Thời gian t ( s ) -6.8539 -32.1414i Trước hết kiểm tra tính điều khiển được của hệ H1.d)Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ học thống ( có đặt các cực tuỳ ý được hay không ): Rk CT = Rk [ B][AB][A2B][A3B] = 4 = bậc của hệ Thuật toán thống : Hệ có tính điều khiển được • Xác định gia số thời gian và các giá trị Đặt cực: Để có cản tới hạn ( ξ = 1), ta đặt tất cả 4 đầu cực tại s = -20 và sau đó tìm véctơ hệ số phản hồi dt = 0,01 N=1000 thích hợp . x1(0) = 0 x2(0) = 0; u (0) = M1(0)= 1/100 Véctơ cực vòng kín mong muốn : • Thời điểm bắt đầu : t1 = 0 dp = [-20 -20 -20 -20] • Thực hiện các phép tính với i=1 Véctơ hệ số phản hồi : k = acker(A,B,dp) cho kết quả :  x1(t + ∆t) = x1(t) + x2 (t)* ∆t  x (t + ∆t) = x (t) + [ −400x (t) k =[ 0.0300 -0.0030 -0.0700 -0.0225 ]  2 2 1 Các mô tả hệ thống có phản hồi trở thành : − 100x2 (t) + 2000x3 (t) AC = A-B*k ; BC = B; CC=C ;DC=0  trong đó: AC= [0 1 0 0;-700 -70 2700 225;0 0 0 1; + 10000M 1 ] * ∆t 200 0 -1000 -10]  x (t + ∆t) = x (t) + x (t)* ∆t  3 3 4 Kiểm tra các trị riêng của AC: eig(AC) = -20.0050 ,  x4 (t + ∆t) = x4 (t) + [200x1(t) -19.9950 , -20.0000 + 0.0050i và -20.0000 - 0.0050i  Kết quả là phù hợp. − 1000x3 (t) − 10x4 (t)] * ∆t Đáp ứng nấc hệ thống có phản hồi nhận được như 3
(H 1.f) Đối với hệ thống cơ học, dựa vào sơ đồ H2b, ta có : Đường x3 mô tả đặc tính chuyển vị góc tại vị trí + →ΣMc = Ic→ + mang tải trên trục II của hệ thống chấp hành theo hay yêu cầu thiết kế ξ = 1 ( đáp ứng không dao động M1+Mt - b θ =J && & θ (2.1) nhanh nhất ); tương ứng với sự biến đổi tốc độ góc trên các trục I và II sau thời gian xác lập sẽ bằng 0 Ra La (các đường x2 và x4 ở H1. c,d ). ia + + 1,4 Vi k Mt 1,2 Jr Jđ x3 1 - - & θ, ω = θ 0,8 0,6 0,4 H2 a) Hệ thống động lực với động cơ điện 1 chiều điều khiển tốc độ bằng dòng điện phần ứng. 0,2 M1+Mt 0 H2 b) Sơ đồ phân tích & 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 bθ Thời gian t(s) θ Hệ có 1biến vào Vi và 2biến ra, ia và θ ,là các biến độc lập. H1.f): Đáp ứng nấc của hệ thống có phản hồi Momen sinh ra bởi động cơ tỉ lệ với dòng phần ứng ia : Kết quả của phương pháp trên là rõ ràng , tuy vậy M1= kmia có 1 số nhược điểm , ví dụ việc đặt cực tuỳ ý có thể trong đó vượt quá khả năng thực tế của hệ điều khiển hệ km : hằng số ngẫu của động cơ . Km  Nm  thống truyền động, cũng như tất cả các biến trạng  A  thái phải được phản hồi (trường hợp đang khảo sát,   Viết lại : cần 2 chuyển vị kế và 2 tốc kế ), dẫn đến hệ phức tạp, tăng giá thành . J && + bθ - kmia = Mt θ & (2.2) VÍ DỤ 2: Khảo sát đặc tính động Cuối cùng , phương trình mô tả hê thống : lực của động cơ điện 1 chiều điều khiển tốc độ J&& + bθ − k m i a = M t θ & bằng dòng điện phần ứng   di a Các giả thiết ban đầu : L a & + R a i a + k e θ = Vi Trục tuyệt đối cứng ( k → ∞ ) và là thành phần  dt đàn hồi , do vậy có thể coi rô to, trục và điã mang Sắp xếp lại ở dạng ma trận bậc 2, phương trình vi tải là 1 vật thể rắn duy nhất quay cùng tốc độ ω. phân mô tả mô hình hệ thống trên (H2 a) có thể Momen quán tính khối lượng tổng là : J= Jr+Jđ được biểu diễn : ia : dòng điện phần ứng J 0 &&  + b 0  θ  + 0 − k m  θ  = θ & Ra,La: điện trở , cuộn cảm trong mạch điện 0 0 &&  k e L a  &  0 R  i    i a   Vi : thế hiệu đặt vào (biến vào)    ia  a   a LỜI GIẢI M t  Hệ thống có thể được mô tả bởi 2 phương trình vi   Vi  phân. Do hệ phương trình không chứa số hạng độ cứng , Đối với mạch điện, ứng dụng định luật Kirchoff nên có thể thay ω = θ . & phân tích mạch vòng, ta có : Khi đó các phương trình hệ trở thành : ΣVđiện áp rơi = 0 VRa + VLa +Eb - Vi = 0  J ω + bω − k m i a = M t &  trong đó : Eb là sức phản điện sinh ra trong động cơ  di a khi cuộn dây rô to bắt đầu quay. L a dt + R a i a + k e ω = Vi  Eb = Keω =Ke θ & và ở dạng ma trận : với Ke : hệ số phản điện, là hằng số. Ke  Volt 1   rad s    4
J 0  ω  + b − k m  ω  = M t  & b 0 L  &  k R  i    Jr  a  i a   e a   a Vi  k Mt Jt Áp dụng lời giải số trực tiếp cho hệ thống cơ-điện M1=kmia tử trình bày ở H2 với phương trình vi phân mô tả ở θ1 dạng ma trận như trên Các số liệu ban đầu cho trước θ2 Điều kiện đầu H2 d) :Sơ đồ phân tích hệ thống cơ học ia(0) = 0 ; khi trục có độ cứng hữu hạn & (0) =0. ia Phương trình vi phân mô tả hệ thống điện : La = 1H ; Ra = 1Ω La di a + Raia + ke & ke = 1 Vs. θ1= Vi (3.1) dt J = 1kgm2. b = 2Nms . km = 1Nm/A . Đối với hệ thống cơ học,các phương trình momen : Mt = 0 . Thay các giá trị bằng số, ta có: J r &&1 + b(θ1 − θ2 ) + k (θ1 − θ 2 ) = M1 = k mi a (3.2) θ & & 1 0 ω  + 2 − 1 ω  = 0 & 0 1  &  1 1  i    J t &&2 + b(θ 2 − θ1 ) − k (θ1 − θ 2 ) = M t (3.3) θ & &   i a     a 1  Viết lại ở dạng phương trình biến traṇg thái với H2.c) là lời giải nhận được đối với hệ thống cơ - các biến traṇg thái được chọn : điện tử H2 khi chịu tác động của biến vào là hàm dòng nấc đơn vị theo các số liệu và điều kiện đầu x1 = θ ; 1 cho trước như trên. Giá trị xác lập của dòng và tốc độ đạt được là x2 = θ1 = x 1 ; & & 0,67A và 0,33 rad/s tương ứng , được tìm thấy qua x3 = θ 2 ; đồ thị. & x4 = θ 2 = x 3 ; & Lời giải số trực tiếp Kết quả :H2.c x 5 = ia ; x6 = &a = x 5 . i & Khi đó đối với toàn hệ thống điện và cơ : 0,8 x1  & 0 1 0 0 0 0   x1     k b k    0,7 x 2  & − − b km 0 x 2  i(t)    Jr J r Jr J Jr    r 0,6 x 3  = &  0 0 1 0 x 3  x  0 b 0    & k k b 0 0 x 4  0,5  4 Jt − − x   Jt Jt    &  Jt ke R − a 0 x 5  0,4  5 0 − La    La 0 0 0,3 ω( t ) &  x 6   0 0 0 0 0 x 6      0 0,2 0  0  0  0      0,1 + 0  + 0    Vi  M t 0 0  1 / J t  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 / L a  0  Thời gian t(s)     0    0    Áp dụng lời giải số trực tiếp cho hệ thống cơ-điện H2.c) :Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ-điện tử tử trình bày ở H2 với phương trình vi phân mô tả ở dạng ma trận như trên Nếu giả thiết trục có độ cứng hữu hạn k , hệ Các số liệu ban đầu cho trước : thống điện ở (H2a) không thay đổi, nhưng sơ đồ Điều kiện đầu : phân tích hệ thống cơ học ở (H2b) được thay đổi ia(0) = 0 ; như sau: & (0) =0 ; ia Mô tả hệ thống cơ học (H2b) theo mô hình hệ thống có 2 bậc tự do, với θ , θ 2 là các toạ độ vị trí θ 1 (0 ) = 0; 1 & θ1 (0) = 0 . góc. 5
θ2 (0) = 0 ; nấc đơn vị theo các số liệu và điều kiện đầu cho & θ ( 0) = 0 . trước như trên. 2 Trên đồ thị ,các đường đặc tính x2 và x4 biểu thị sự Lời giải số trực tiếp biến đổi tốc độ góc tại vị trí rô to và tại vị trí đĩa Kết quả :H2.e mang tải theo thời gian .Rõ ràng là do ảnh hưởng bởi độ đàn hồi của trục gây ra 1 lượng chuyển vị vượt quá trong giai đoạn quá độ của hệ thống chấp 1,2 hành .Lượng vượt quá nầy lên đến hơn 10% theo đồ 1,1 thị sau thời gian 4,71 s 1 0,9 KẾT LUẬN 0,8 Trên đây là phương pháp mô tả không gian -trạng 0,7 thái trong phân tích thiết kế các hệ thống kỹ thuật x2 0,6 và cách dùng lởi giải số trực tiếp để nhận được kết x4 quả tính toán 0,5 0,4 x5 Độ chính xác kết quả nhận được ngoài việc phụ 0,3 thuộc vào mô hình thiết lập còn phụ thuộc vào thuật toán tìm lời giải. 0,2 Đối với thuật toán của lời giải số trực tiếp, độ 0,1 chính xác kết quả nhận được chỉ phụ thuộc vào số 0 phép lặp, và độ dài thời gian thực hiện, và tùy theo -0,1 tính chất hệ thống khảo sát cũng như tùy thuộc vào 0 2 4 6 8 10 chỉ tiêu cụ thể khi phân tích , đánh giá chất lượng Thời gian t(s) hệ thống để lựa chọn số phép lặp N và gia số thời gian ∆t thích hợp. H2e): Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ-điện tử Điện áp đặt vào là hàm nấc đơn vị : Vi(t) =1; Mt = 0 La = 1H Ra = 1Ω; k = 1Nm/rad; b = 2Nms ; TÀI LIỆU THAM KHẢO ke=1Vs km =1Nm/A ; Jr = 0,1kgm2; Jt = 1 kgm2 ; Thay vào các giá trị bằng số , ta có: 0 0 0 0 0 [1] Nguyễn đắc Lộc,Tăng Huy : Điều khiển số và x1  & 1  x1   − 10 công nghệ trên máy điều khiển số CNC,Nhà xuất x  &  − 20 10 20 10 0  x   2 bản Khoa học-Kỹ thuật,Hà Nội 1996  2 x 3  = & 0 0 0 1 0 0 x 3  [2] Hung V.Vu,Ramin S.Esfandiari : Dynamic       Systems,Mc Graw Hill Inc 1998 1 2 −1 − 2 0 0 x 4  x 4  & [3] Đỗ Sanh : Cơ học Tập 2 , Nhà xuất bản Giáo x 5  & 0 −1 0 0 − 1 0 x 5  Dục , Hà Nội 1996       [4] Đặng văn Đào, Lê văn Doanh: Kỹ thuật x 6  &  0  0 0 0 0 0  x 6    điện,Nhà xuất bản Khoa học-Kỹ thuật, Hà Nội 1997 0  0  [5] Morris Driels : Linear Control Systems 0  0  Engineering ,Mc Graw Hill International Editions ,     Mechanical Engineering Series , 1995 + 0  + 0  [6]Trần văn Minh : Phương pháp số và chương   Vi  M t trình bằng Turbo Pascal (Tài liệu dùng cho cán bộ 0  1  1  0  và sinh viên các ngành kỹ thuật),Nhà xuất bản     Khoa học-Kỹ thuật,Hà Nội 1998 0    0    [7]Elliot B.Koffman : Turbo Pascal, Problem H2.e) là lời giải nhận được đối với hệ thống cơ - Solving and Program Design, Addison-Wesley điện tử H2 khi chịu tác động của biến vào là hàm Publishing Company, Inc,1991. [8] MatLab 6p5 ,The MathWorks Inc,2002 6
7