intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phương pháp tích phân từng phần

Chia sẻ: Nguyễn Thanh Dương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST
Báo xấu
130
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp đó chính là tích của hai loại hàm số khác nhau(đôi khi là tích cùng của cùng một loại hàm)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tích phân từng phần

  1. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Mathvn.com Bỉm sơn. 16.03.2011 www.MATHVN.com 1
  2. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. Công thức tích phân từng phần: Cho hai hàm số u ( x), v ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có ' '  u ' v  uv '   uv  dx  u ' vdx  uv ' dx  uv  b b b  d  uv   vdu  udv   d (uv )   vdu   udv a a a b b b b b b  uv a   vdu   udv   udv  uv a   vdu . a a a a b b b 1 Ta có công thức:  udv  uv a   vdu a a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b b b '   f ' ( x ) g ( x )dx  f ( x) g ( x)dx   f ( x)d  g  x  dx  f ( x) g ( x)  2   a a a a II. Phương pháp giải toán: b Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I =  f ( x)dx. a Phương pháp chung: Cách 1: b b Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I = f ( x )dx. =   f ( x). f ( x)dx. 1 2 a a u  f1 ( x) du Bước 2: Đặt:  (Chọn C  0 )  dv  f 2 ( x )dx v b b Bước 3: Khi đó: I =  udv  uv b   vdu . (công thức (1)) a a a Chú ý: Việc đặt u  f ( x ), dv  g ( x )dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v( x) và vi phân b b du  u ' ( x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân  vdu phải đơn giản hơn t ích phân  udv a a Cách 2: b b ( x )dx   f1 ( x) f ' ( x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2) Phân tích  f ( x) f 1 2 a a - Nhận dạng: Để sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp đó chính là tích của hai loại hàm số khác nhau (đôi khi là tích của cùng một loại hàm) -Ý nghĩa: Phương pháp TPTP nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm số dưới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân) www.MATHVN.com 2
  3. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Chú ý: - Đôi khi tính TPTP mà chưa có một dạng cụ thể ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc kết hợp với phương pháp biến đổi số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể  4 x Ví dụ 1: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau I   dx 1  cos 2 x 0 Giải: Nhận xét: Tích phân này nếu để nguyên mà tính TPTP thì… không ra đâu nhưng nếu ta sử dụng công thức nhân đôi 1  cos 2 x  1  2cos 2 x  1  2cos 2 x thì lấy nguyên hàm của được ngay  4 1 x Ta được I   cos2 xdx 20 u  x du  dx  dx   Đặt  v  tan x dv  cos 2 x     14 1 1 1 Khi đó I  x tan x 4   tan xdx   ln cos x 4   ln 2 2 20 82 84 0 0 Chú ý: - Ta có thể sử dụng công thức (2) như sau    4  4 4 1 1 x 1 1  I dx   xd (tan x)  x tan x 4   tan xdx    ln cos x  4   ln 2 2 20 2 2 4 84 0 2 cos x 0 00 1 - Đừng quên trước dấu tích phân nhé 2 1 2 Ví dụ 2: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau I   x3 e x dx 0 Giải: 1 1 3 x2 2 Ta có I   x e dx   x 2 e x xdx 0 0 dt Đặt t  x 2  dt  2 xdx  xdx  2  x  0 t  0 Đổi cận   x  1 t  1 1 1 1 t1 1 t e111 1 Khi đó I   te dt  te   e dt   et  (sử dụng công thức 2) t 20 2 0 20 2202 Chú ý: www.MATHVN.com 3
  4. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 1 1 3 x22 - Dĩ nhiên ta không cần biến đổi số mà làm trực tiếp. Ta có I   x e dx   x 2 e x d  x 2  . Đến đây ta có thể 20 0 sử dụng công thức (1) hoặc công thức (2) tuy là ngắn hơn nhưng độ phức tạp cao hơn nên tôi không đưa ra, bạn đọc tự tìm hiểu nhé  4 Ví dụ 3: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau I   x  2 cos 2 x  1 dx 0 Giải: Nhận xét: Nếu để nguyên như thế mà tính thì quả thật nan giải. Sử dụng công thức hạ bậc    4 4 4 I   x  2 cos 2 x  1 dx   2 1  cos 2 x   1 dx   x cos 2 xdx   0 0 0 du  dx u  x  Đặt   sin 2 x dv  cos 2 xdx v  2     14  cos 2 x  1  2 sin 2 x Khi đó I  x. 4   sin 2 xdx   4   2 20 8 4 84 8 0 0 - Đôi khi tính TPTP ta phải tính đến 2 hay 3 lần TPTP e 5e 4  1 Ví dụ: (ĐH – D 2007) Tính tích phân sau I   x3 ln 2 xdx  32 1 Giải: dx  du  2 ln x x u  ln 2 x   Đặt   4 3 v  x dv  x    4 e 4 e4 1 xe1 Khi đó I  ln 2 x.   ln x.x 3 dx   I1 4 1 21 42 e Tính I1   ln x.x 3 dx 1 dx  du  x u  ln x  Đặt   3 4 dv  x v  x   4 e 4 e 4 1 4 e 3e 4  1 xe1 3 Khi đó I1  ln x.   x dx  x 4 1 41 4 16 1 16 e4 1 e 4 1 3e 4  1 5e 4  1 Vậy I   I1  .  42 4 2 16 32 www.MATHVN.com 4
  5. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 - Đôi khi tính TPTP ta còn gặp trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân e ln 2 x Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: I   dx x 1 Giải: u  ln 2 x  dx du  2 ln x  dx   Đặt  x dv  x v  ln x   Khi đó e ln 2 x e 2 I  ln x.ln x  2  dx  1  2 I 1 x 1 1 Đến đây ta coi như một phương trình bậc nhất theo I ta được I  3 Chú ý: - Đương nhiên ta có thể làm bằng phương pháp biến đổi số  x  e t  1 dx Đặt t  ln x  dt  . Đổi cận   x  1 t  0 x 1 t3 1 1 Khi đó I   t 2 dt   30 3 0 e e ln 2 x ln 3 x e 1 dx   ln 2 xd  ln x   Hoặc: Đưa vào vi phân như sau I    313 x 1 1 e t  x  - Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt t  ln x   t sau đó mới TPTP e dt  dx   e x (sin x  cos x  1) 4 Ví dụ 2: Tính tích phân sau I   dx (1  cos x) 2 0 Giải:    e x (sin x  cos x  1) ex e x sin x 4 4 4 I dx   dx   dx  I1  I 2 (1  cos x)2 2 1  cos x 0 (1  cos x ) 0 0  e x sin x 4 Tính I 2   dx (1  cos x )2 0 u  e x du  e x dx   sin x  Đặt  dx v  1 dv    2 1  cos x  1  cos x     4 x x e4 e e 1 Khi đó I 2  4  dx    I1 1  cos x 1  cos x 22 00 1 2 www.MATHVN.com 5
  6. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  4 e 1 Vậy I  I 2   2 2 1 2 Chú ý: Nếu như ta tính đồng thời I1 và I 2 thì cũng ra nhưng vừa mất công mà lại dài nên ta chọn tính I1 hoặc I 2 để làm triệt tiêu đi I 2 hoặc I1 …Tùy vào từng bài để ta chọn (kinh nghiệm thôi) - Thông thường ta sử dụng CT (1) vì nó dễ nhìn hơn là CT (2) MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ  Dạng 1: Tính tích phân I   Pn  x  Q  x  dx với Pn  x  là một đa thức bậc n và  1 1 ; 2 ;sin x;cos x; e x , a x Q  x  2 cos x sin x u  Pn  x   (Nếu Pn  x  có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗ i lần Pn  x  sẽ giảm 1 Đặt  dv  Q  x  dx  bậc)) Đặc biệt: - Khi Q  x   ln x; ln n x; log m x; ln  f  x     u  Q  x   (nếu Q  x   ln n x ta phải tính n lần tích phân) Đặt  dv  Pn  x  dx  - Khi Q  x   sin  ln x  ;cos  ln x  ;sin  log a x  ; cos  log a x  u  Q  x   (thường thì người ta chọn Pn  x   1; Q  x   x k cho đơn giản) Đặt  dv  Pn  x  dx  Chú ý: Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích phân ban đầu) 1 1 Loại 1: Khi Q  x   ;2 2 cos x sin x Bài tập giải mẫu: www.MATHVN.com 6
  7. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  3 xdx Bài 1: Tính tích phân sau I   sin 2 x  4 Giải: u  x du  dx  dx   Đặt  v   cot x dv  sin 2 x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần      3   9  4 3  1 ln 3 3 3 1 xdx I   2   x cot x 3   cot xdx   .  ln sin x   33 36 22  sin x 4 44 4 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   3 3 xdx    xd  cot x  I sin 2 x   4 4  3 x Bài 2: Tính tích phân sau I   dx 2 0 cos x Giải: u  x du  dx  dx   Đặt  v  tan x dv  cos 2 x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:     4  3 3 d  cos x  3 3 3 x sin x I dx  x tan x 3   tan xdx   dx   2 3 cos x 3 cos x 0 cos x 0 0 0 0  3 3   ln cos x 3   ln 2 3 3 0 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   3 3 x dx   xd  tan x  I cos 2 x 0 0 Bài tập tự giải có hướng dẫn: 1 x  sin x Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau I   dx cos 2 x 0 www.MATHVN.com 7
  8. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 HD: u  x  sin x du  1  cos x  dx    Đặt  1 dv  cos 2 x dx v  tan x   Hoặc    3 3 3 x  sin x xdx sin x - Tách thành tổng hai tích phân I   dx    dx 2 2 2 cos x 0 cos x 0 cos x       0 I1 I2 Tính I1 bằng TPTP và tính I 2 bằng đổi biến số 1 1 x  sin x dx    x  sin x  d  tan x  - Sử dụng trực tiếp công thức (2) ta có I   cos 2 x 0 0  4 1 x Bài 2: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: I   dx   ln 2 1  cos 2 x 84 0 HD: Sử dụng công thức nhân đôi 1  cos 2 x  1  2cos 2 x  1  2cos 2 x  u  x 14 x du  dx  Khi đó I   dx   dx . Đặt  2 v  tan x 2 0 cos x dv  cos 2 x  Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)    4  4 4 1 1 x 1 1  Ta có I   dx   xd (tan x)  x tan x 4   tan xdx )    ln  4   ln 2 2 20 2 2 4 84 0 2 cos x 0 00 1 Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau: I   x tan 2 xdx  tan1  ln  cos1  0,5 0 HD: 1 1 x Phân tích I   dx   xdx 2 0 cos x 0 u  x du  dx  dx   Đặt  v  tan x dv  cos 2 x  1  tan 2 x  1 Chú ý: Công thức 2 cos x  2 xdx Bài 4: Tính tích phân sau: I   1  sin 2 x 0 HD: www.MATHVN.com 8
  9. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498     Biến đổi 1  sin 2 x  1  cos  2 x    2cos 2  x   rồi mới TPTP 2 4   Loại 2: Khi Q  x   sin x;cos x Chú ý: Đối với dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định Nếu bậc của P  x  bằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau: Bước 1: Ta có I   p ( x ) cos xdx  A( x ) sin  x  B( x) cos  x  C , (1) (A(x) và B(x) cùng bậc với P  x  ) Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) : p( x) cos x   A '( x)  B ( x)  sin    A( x)  B '( x )  cos  Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x) Bước 3: Thay A(x) và B(x) vào (1) rồi kết luận. (Có thể áp dụng cách này cho các dạng  e ax cos bxdx ;  e ax sin bxdx ) Bài tập giải mẫu: 1 Bài 1: Tính tích phân sau I   x 2 sin 2 x.dx 0 Giải: 1 1 1 1 1  cos2 x 1 1 I   x 2 sin 2 xdx   x 2 . dx   x 2 dx   x 2 cos  2 x  dx 2 20 20 0 0 Sử dụng công thức (2) ta được  1 1 x3 122 112 1  x d (sin2 x)  6  4 x sin2 x 0  2 xsin2 x.dx   4 0 6 0 0  1 11  1 12 1 1 1 1 1 1 1   2  xd (cos2 x )   2  x cos2 x   cos2 xdx    2  3 sin(2 x)   2 00 6 4 0 6 4  6 4 8 6 4  0  2 Bài 2: (ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau I   ( x  1) sin 2 xdx 0 Giải: du  dx u  x  1  Đặt   1 dv  sin 2 xdx v   2 cos 2 x     2  1 1  1  x 1 1 2 2 Khi đó I   cos 2 x   cos 2 xdx       sin 2 x   1 2 20  4 2 2 4 4 0 0 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) www.MATHVN.com 9
  10. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498   2 2 1  x  1 d  cos 2 x  I   ( x  1)sin 2 xdx   2 0 0 2 4 Bài 3: Tính tích phân sau I   cos xdx 0 Giải: Đặt t  x  x  t 2  dx  2tdt 2  Đổi cận x  0  t  0, x  t  4 2 Sử dụng công thức (2)     2 2 2 Khi đó I  2  t cos tdt  2  td  sin t   2t sin t 2  2  sin xdx    2 0 0 0 0 Vậy I    2 . Bài 4: Tính nguyên hàm I   ( x3  x 2  2 x  3) sin xdx Giải: I   ( x3  x 2  2 x  3) sin xdx  (ax 3  bx 2  cx  d ) cos x  (a'x3  b ' x 2  c ' x  d ') sin x  C (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1): ( x 3  x 2  2 x  3) sin x  [a ' x 3  (3a  b ') x 2  (2b  c ') x  c  d ']cos x  [ax 3  (3a ' b) x 2  (2b ' c ) x  c ' d ]sin x (2) Đồng nhất đẳng thức trên ta được hệ : a '  0 a '  1 3a  b '  0 3a ' b  1   và   2b  c '  0 2b ' c  2 c  d '  0 c ' d  3   Giải hệ trên tìm được : a  1; b  1; c  4; d  1; a '  0; b '  3; c '  2; d '  4 3 2 2 Vậy I  ( x  x  4 x  1) cos x  (3x  2 x  4) s in x  C . Hoặc: u  x 3  x 2  2 x  3 du   3 x 2  2 x  2  dx  Đặt   dv  sin xdx v   cos x  Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) I   ( x3  x 2  2 x  3) sin xdx    ( x 3  x 2  2 x  3)d  cos x  Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 2: (ĐHM ĐC – 1998) Tính nguyên hàm sau: I   x sin xdx  2 x 3 cos x  6 x sin x  12 x cos x  12 sin x  C www.MATHVN.com 10
  11. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 HD: Đặt t  x sau đó mới TPTP  Bài 3: (ĐHAN – D 1999) Tính tích phân sau: I   x 2 sin 2 xdx   2  4 0 HD: Hạ bậc và sử dụng TPTP    1  1 Ta có I   x 2 1  cos 2 x  dx    x 2 dx   x 2 cos 2 xdx  20 20  0  2  1 2 Bài 4: (ĐHBKHN – 1994) Tính tích phân sau: I   x cos 2 xdx   16 4 2 0 HD: Hạ bậc và sử dụng TPTP     2 2 2 1  Ta có I    xdx   x.cos 2 xdx  . Tính I1   x.cos 2 xdx 2 0  0 0   du  dx u  x  Đặt   sin 2 x dv  cos 2 xdx v  2   2 Bài 5: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   ( x  sin 2 x) cos xdx 0 HD: u  ( x  sin 2 x) du  1  sin 2 x  dx   Đặt  dv  cos xdx v  sin x  Chú ý:    2 2 2 Để đơn giản ta nên tách thành tổng hai tích phân I   ( x  sin 2 x) cos xdx   x cos xdx   sin 2 x cos xdx         0 0 0 I1 I2 Tính I1 bằng TPTP và tính I 2 bằng đổi biến số 2 2 4 Bài 7: (DB ĐH – D 2004) Tính tích phân sau: I  x sin xdx  4  2 0 HD: 1 Đặt t  x  dt  dx  dx  2tdt sau đó mới TPTP 2x 3     3 sin 3 xdx  3  6 Bài 8: (ĐHKTHN – 2001) Tính tích phân sau: I   0 www.MATHVN.com 11
  12. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 HD: 1 dx  dx  3t 2 dt sau đó mới TPTP Đặt t  3 x  dt  2  3 3x Bài 9: (ĐHDB – D 2005 – ĐHCĐ – 1998 ) Tính tích phân sau:  2  1 1 2 5 2 2 I    2 x  1 cos xdx       1  8428 8 0 HD: 1  cos 2 x Sử dụng công thức hạ bậc cos 2 x  2    2 2 2  1  cos 2 x  1 1 Khi đó I    2 x  1   dx    2 x  1 dx    2 x  1 cos 2 xdx 2 20 20        0 I1 I2 Tính I1 bằng cách sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm và tích I 2 bằng TPTP du  2dx u   2 x  1   Đặt   sin 2 x dv  cos 2 xdx v    2  2 Bài 10: (ĐH Mở - 1997) Tính tích phân sau I    x 2  1 sin xdx 0 HD: u   x 2  1 du  2 xdx  Đặt   dv  sin xdx v   cos x  Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   2 2 I    x 2  1 sin xdx     x 2  1 d  cos x  0 0  2 2 Bài 11: (TN – 2004) Tính tích phân sau I    x  sin 2 x  cos xdx   23 0 HD: u  x  sin 2 x du  1  sin 2 x  dx   Đặt  dv  cos xdx v  sin xdx  Chú ý: - Tách thành tổng hai tích phân thì đơn giản hơn - Có thể sử dụng trực tiếp công thức (2) Bài 12: Tính các tích phân sau www.MATHVN.com 12
  13. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498  2 2 a. (ĐHDB – 2007) I   x 2 cos x dx  2 4 0  3 2 1 4 2 b. I    x sin x  dx    384 32 4 1 1 cos 1  xdx    2 Bài 13: Tính tích phân sau: I   2 1 4 HD: Đặt t  1  x sau đó mới TPTP Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau ln  cos x  Đs: I  ln  cos x  tan x  tan x  x  C a. I   dx cos2 x x b. I   cos  ln x  dx Đs: I  cos  ln x   sin  ln x    C 2  1 x 1 c. I   x sin 2 xdx Đs: I  x 2  sin 2 x  cos 2 x  C (ĐHL_1999) 4 4 8 Loại 3: Khi Q  x   e x , a x Bài tập giải mẫu: 1 Bài 1: Tính tích phân sau I   xe x dx . 0 Giải: Cách 1: u  x du  dx Đặt   x x dv  e dx v  e 1 1 1 1 Khi đó I   xe x dx  xe x   e x dx  ( x  1)e x  1. 0 0 0 0 Cách 2: 1 1 1 / x1 1 I   xe dx   x  e  x x   x / e x dx  ( x  1)e x dx  xe  1. 0 0 0 0 0 1 Bài 2: Tính tích phân sau I   xe x dx . 0 Giải: 1 Đặt t  x  dt  dx  dx  2tdt 2x www.MATHVN.com 13
  14. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 1 11    1 Khi đó I  2 t 2 et dt  2  t 2 et  2 tet dt   2e  4  tet   et dt   2  e  2  0 0     0 0 0 1 Bài 3: Tính tích phân sau I   x 2 e x dx 0 Giải: u  x 2 du  2 xdx   Đặt  x x dv  e dx v  e  1 1 1 1 Khi đó I   x 2 e x dx  x 2 e x  2 xe x dx  e  2  xe x dx 0 0 0 0 1 Tiếp tục tính: J   xe x dx 0 u  x du  dx Đặt   x x dv  e dx v  e 1 11 Khi đó J   xe x dx  xe x   xe x dx  1 00 0 Vậy I  e  2  2 Bài 4: Tính tích phân sau I   esin x sin 2 xdx 0 Giải:   2 2 Ta có I   esin x sin 2 xdx  2  esin x sin x cos xdx 0 0 Đặt t  sin x  dt  cos xdx x  0 t  0  Đổi cận    t  1 x  2   1 2 Khi đó I  2  esin x sin x cos xdx  2 tet dt 0 0 u  t du  dt Đặt   t t dv  e dt v  e 1 1 t1 1 1 Khi đó I   te dt  te   et dt  tet  et  1 t 00 0 0 0 Vậy I  2 1 3 Bài 5: Tính tích phân sau I   x5 e x dx 0 www.MATHVN.com 14
  15. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Giải: dt Đặt t  x3  dt  3 x 2 dx  x 2 dx  3  x  0 t  0 Đổi cận   x  1 t  1 1 1 1 1 t1 1 t e111 1 5 x3 Khi đó I   x e dx   te dt  te   e dt   et  t 30 3 0 30 3303 0 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 1 1 1 3 x3 5 x3 I   x e dx   x e d  x 2  20 0 1 Bài 6: (TN – 2008) Tính tích phân sau I   x  e x  1 dx 0 Giải: Cách 1: u  x du  dx  Đặt   dv   e  1 dx v  e  x x x  11 x2  1 3  Khi đó I  x  e x  x     e x  x  dx  1  e   e x    00 2 0 2  Cách 2: 1 1 1 I   x  e  1 dx   xe dx   xdx x x  0 0 0 J 1 u  x du  dx Tính J   xe x dx đặt  … bạn đọc tự giải  x x dv  e dx v  e 0 Cách 3: 1 1 Làm nhanh I   x  e  1 dx   xd  e x  x  …bạn đọc tự giải x 0 0 1 Bài 8: (ĐH – D 2006) Tính tích phân sau I    x  2  e 2 x dx 0 Giải: du  dx u   x  1    Đặt  e2 x 2x v dv  e    2 1 1 1 e2 5  3e 2 1 1 1 Khi đó I  ( x  2)e 2 x   e 2 x dx    1  e 2 x  2 20 2 4 4 0 0 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) www.MATHVN.com 15
  16. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 1 1 I    x  2  e dx    x  2  d  e 2 x  2x 20 0 ln 2 x Bài 13: Tính t ích phân sau J   x.e dx 0 Giải: u  x du  dx Đặt   x x dv  e dx v   e ln 2 1  ln 2 ln 2  x ln 2 e x dx    x.e x  e x  Khi đó J   x.e    2 0 0 0 Bài tập tự giải có hướng dẫn:  3 2 3.e 2  5 Bài 1: Tính tích phân sau: I   e3 x sin 5 xdx  34 0 HD: du  5cos 5 xdx u  sin 5 x   Đặt  e3 x 3x dv  e dx v   3  Bài 2: (ĐHHH HCM – 1999) Tính tích phân sau: I    2 x 2  x  1 e x   2 x 2  3x  4  e x  C HD: u  2 x 2  x  1  Đặt  x dv  e dx  1 5e 2  1 2 2x Bài 3: (ĐHCĐ – 1998) Tính tích phân sau: I   1  x  e dx  4 0 HD: (TPTP 2 lần) du  2 1  x  dx u  1  x 2   Đặt   e2 x 2x v dv  e dx    2 x 2 Bài 4: (HVKTQY – 1997) Tính tích phân sau: I   xe 2 dx 0 HD: u  x du  dx    Đặt  x x dv  e 2 dx v  2e 2    2 1 2 Bài 5: (ĐHKT HN – 1999) Tính tích phân sau: I   esin x .sin x.cos3 xdx   e  1 2 0 www.MATHVN.com 16
  17. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 HD:   2 2 2 2 Phân tích I   esin x .sin x.cos 3 xdx   esin x .sin x cos x 1  sin 2 x  dx 0 0 dt Đặt t  sin 2 x   sin x cos xdx sau đó mới TPTP 2 x 2 1 3 x3 e Bài 6: Tính tích phân sau: I  dx  x2  1 0 HD: x 2 1 x 2 1 3 3 x3 e x2e Phân tích I  dx   xdx  x2  1 x2  1 0 0 x2  t 2  1 Đặt t  x 2  1   sau đó mới TPTP  xdx  tdt 0 3 4  x e  2x  3 x  1 dx  Bài 7: (ĐHDB – B 2002) Tính tích phân sau: I   2 4e 7 1 HD: du  dx u  x    Đặt  e2 x 3 4   dv  e 2 x  3 x  1 dx v    x  1 3    24 Chú ý: Để đơn giản ta có thể tách làm tổng hai tích phân như sau 0 0 0   2x 2x 3 3 I  x e  x  1 dx  1 xe dx  1 x x  1dx     1  I1 I2 Tính I1 bằng TPTP và I 2 bằng biến đổi số Bài 8: (ĐHQGHCM – 1996) Tính các tích phân sau: 1 a. I   xe x dx  1 0 1 b. I    x 2  2  e x dx  e 0 Loại 4: Khi Q  x   ln x; ln n x; log m x; ln  f  x     Bài tập giải mẫu: 1 ln( x  1) Bài 1: Tính tích phân sau I   dx ( x  2)2 0 Giải: www.MATHVN.com 17
  18. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1  u  ln( x  1) du  x  1 dx   dx   Đặt  . dv  1   x  2  v   x  2 2    1 1 1 dx 1  ln  x  1    Khi đó I      ln 2  I1  0 0  x  1  x  2   x2 3 1 1 1 x 1 1 dx dx dx 4 Tính I1      ln  ln . ( x  1)( x  2) 0 x  1 0 x  2 x2 0 3 0 1 4 Vậy I = – ln2 + ln 3 3 Chú ý: x  t  2 - Để cho đơn giản ta có thể biển đối số t  x  2   sau đó mới TPTP dx  dt Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 1 1 ln( x  1) 1 dx    ln  x  1 d  I  2  x2 0 ( x  2) 0 e Bài 2: Tính tích phân I   x ln xdx 1 Giải: Cách 1: dx  du  x u  ln x  Đặt   2 dv  xdx v  x   2 e e 1e x2 e2 x 2 e e2  1 Khi đó I   x ln xdx  . ln x   xdx    1 21 41 2 2 4 1 Cách 2: / e e e e  x2  x2 e2  1 1 I   x ln xdx   ln x.   dx  ln x   xdx  . 2 2 21 4 1 1 1 e2  1 Vậy I  . 4 2 ln x Bài 3: Tính tích phân sau I   5 dx 1x Giải: dx  u  ln x  du  x   Đặt   1 dv  x 5 dx v   1  4 x4   www.MATHVN.com 18
  19. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2 2 2 2 15  4 ln 2 ln x ln x 1 dx ln 2 1  1  Khi đó I   5 dx   4   5     4   4x 1 4 1 x 64 4  4 x  1 256 1x Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 2 2 ln x 1 1 I   5 dx    ln xd  4  1x 41 x  1 Bài 4: Tính tích phân sau I   x ln  x 2  1 dx 0 Giải: Cách 1: Đặt t  x 2  1  dt  2 xdx  x  0 t  1 Đổi cận   x  1 t  2 1 2 1 Khi đó I   x ln  x 2  1 dx  ln tdt 2 0 1 dx  u  ln t du   Đặt  t dv  dt v  t  2 22 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần  ln tdt  t ln t 1  dt  2 ln 2  1 1 1 1 1 Vậy I   x ln  x 2  1 dx  ln 2  2 0 Cách 2: 2x  u  ln  x 2  1 du  x 2  1 dx   Đặt   ….bạn đọc tự giải 2 v  x dv  xdx    2 2 Bài 5: Tính tích phân sau I   (2 x  1) ln xdx 1 Giải: dx  du  u  ln x  Đặt  x. dv  (2 x  1)dx v  x 2  x  2  x2  2x x 1 2 Khi đó I  ( x 2  x) ln x 1   2 2 . dx  2 ln 2   ( x  1)dx  2 ln 2   1  x   2 ln 2  x 2 2 1 1  Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 2 2 I   (2 x  1) ln xdx   ln xd  x 2  x  1 1 www.MATHVN.com 19
  20. www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 ln x 2 Bài 6: (ĐHH – D 1998) Tính tích phân sau I   dx x2 1 Giải: dx  du  x u  ln x   Đặt   . dx 2 x 1 dv  2  x dx  1  v  x   1 x  Khi đó 2 2 1 dx 1 1 2 dx 1 2 I   ln x   ( ).   ln 2   2   ln 2   x 2 dx 11 x xx 2 1x 2 1 x 1 2 12 1 1 1 1   ln 2  .   ln 2    ln 2  1 1 x1 2 2 2 2 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 2 2 ln x 1 I   2 dx    ln xd   1x x 1 x 2  1) x ln( x  Bài 7: Tìm nguyên hàm I   dx . x2 1 Giải: x x 2  1) Viết I dưới dạng I   ln( x  dx . 2 x 1 x    1 u  ln x  x 2  1  x2  1 dx   du  .dx  Đặt   x x  x2  1 x2 1  dv  dx  x2 1  v  x 2  1      Khi đó I  x 2  1ln x  x 2  1   dx  x 2  1ln x  x 2  1  x  C. e 3  Bài 8: (ĐH – D 2010) Tính tích phân sau I    2 x   ln xdx x 1 Giải: e e e 3 1  Ta có I    2 x   ln xdx  2  x ln xdx  3 ln x. dx x x 1     1 1 I1 I2 dx  du  x e u  ln x  Tính I1   x ln xdx . Đặt   2 dv  xdx v  x 1   2 www.MATHVN.com 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1116 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2