zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Phương pháp tích phân từng phần - Nguyễn Thành Long

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Báo xấu

638
lượt xem 163
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Phương pháp tích phân từng phần của Nguyễn Thành Long giúp các bạn học sinh có thêm tư liệu ôn tập, luyện tập để nắm vững được những kiến thức cơ bản chuẩn bị cho các kỳ thi đạt kết quả tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp tích phân từng phần - Nguyễn Thành Long

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2013) Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thành Long “ Phương pháp là thầy của các thầy “ Bỉm sơn. 13.02.2014 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com MỤC LỤC LÝ TUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN……………………………………………………………….1 MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ………………………………………………………………………………….8 Dạng 1……………………………………………………………………………………………………….8 Loại 1: ………………………………………………………………………………………………………9 Loại 2: ……………………………………………………………………………………………………...11 Loại 3: ……………………………………………………………………………………………………...17 Loại 4: ……………………………………………………………………………………………………..22 Loại 5: ……………………………………………………………………………………………………...31 Dạng 2: …………………………………………………………………………………………………….32 Dạng 3: …………………………………………………………………………………………………….37 Dạng 4: …………………………………………………………………………………………………….39 Dạng 5: …………………………………………………………………………………………………….41 CON DU LON VAN LA CON CUA ME DI KHAP PHUONG TROI LONG ME VAN THEO CON https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 2
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. Công thức tích phân từng phần: Cho hai hàm số u ( x ), v( x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có ' '  uv   u ' v  uv '   uv  dx  u ' vdx  uv' dx b b b  d  uv   vdu  udv   d (uv)   vdu   udv a a a b b b b b b  uv a   vdu   udv   udv  uv a   vdu . a a a a b b b Ta có công thức:  udv  uv a   vdu 1 a a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b b b  f ( x) g ' ( x)dx   f ( x)d  g  x   dx  f ( x) g ( x) a   f ' ( x) g ( x)dx   2 a a a II. Phương pháp giải toán: b Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I =  f ( x)dx. a Phương pháp chung: Cách 1: b b Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I =  f ( x)dx. =  f ( x). f 1 2 ( x)dx. a a u  f1 ( x)  du   f1 ( x)  ' dx  (tính ñaïo haøm) Bước 2: Đặt:    dv  f 2 ( x)dx v   f 2 ( x)dx (tính nguyeân haøm cho C = 0)  b b Bước 3: Khi đó: I =  udv  uv b   vdu . (công thức (1)) a a a Chú ý: Việc đặt u  f ( x), dv  g ( x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v( x) và vi phân b b du  u ' ( x) dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân  vdu phải đơn giản hơn tích phân  udv a a Cách 2: b b Phân tích  f1 ( x) f 2 ( x)dx   f1 ( x) f ' ( x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2) a a - Nhận dạng: Để sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp đó chính là tích của hai loại hàm số khác nhau (đôi khi là tích của cùng một loại hàm) - Ý nghĩa: Phương pháp TPTP nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm số dưới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân) - Cách đặt hợp lý: Để nhớ nhanh các dạng này ta khi đặt cho u theo quy tắc  ln x  x  sin x  e x  Đọc là Nhất lô (hàm logarit gồm ln x hoặc log a x ), nhì đa (hàm đa thức P  x   an x n  an 1 x n1  ...  a1 x  a0 ), tam lượng (hàm lượng giác gồm sin x ; cos x ; tan x hoặc cot x ), tứ mũ (hàm số mũ gồm a x hoặc e x ) … Với đa thức số mũ âm, không nguyên ta vẫn xếp vào đa thức https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 3
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com - Đối với nguyên hàm còn lại  vdu chúng ta có thể sử dụng bảng nguyên hàm (cơ bản hay mở rộng), phương pháp đổi biến số hay tích phân từng phần một lần (hay vài lần nữa) Chú ý: - Đôi khi tính TPTP mà chưa có một dạng cụ thể ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc kết hợp với phương pháp biến đổi số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể  4 x Ví dụ 1: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau I   dx 0 1  cos 2 x Giải: Nhận xét: Tích phân này nếu để nguyên mà tính TPTP thì không ra được vì 1  cos 2x không có trong bảng nguyên hàm chỉ có 2 cos 2 x là có nguyên hàm nên ta sử dụng công thức nhân đôi 1  cos 2 x  1  2cos 2 x  1  2cos 2 x thì lấy nguyên hàm được  14 x Ta biến đổi I   dx 2 0 cos 2 x u  x   du  dx Đặt  dx    dv  cos 2 x v  tan x     1 14  1  1 Khi đó I  x tan x 4   tan xdx   ln cos x 4   ln 2 2 20 8 2 8 4 0 0 Chú ý: - Ta có thể sử dụng công thức (2) như sau    4 4   x 1 1 14 1    1 I  2 dx   xd (tan x)  x tan x 4   tan xdx    ln cos x  4   ln 2 0 2cos x 20 2 20 2 4 0 8 4 0 1 - Đừng quên trước dấu tích phân nhé 2 1 2 Ví dụ 2: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau I   x3 e x dx 0 Giải: 1 1 3 x2 2 Ta có I   x e dx   x 2 e x xdx 0 0 dt Đặt t  x 2  dt  2 xdx  xdx  2  x  0 t  0 Đổi cận   x  1 t  1 1 1 1 1 1 1 e 1 1 1 Khi đó I   tet dt  tet   et dt   et  (sử dụng công thức 2) 20 2 0 20 2 2 0 2 Chú ý: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 4
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 1 1 2 1 2 - Dĩ nhiên ta không cần biến đổi số mà làm trực tiếp. Ta có I   x3 e x dx   x 2 e x d  x 2  . Đến đây ta có 0 20 thể sử dụng công thức (1) hoặc công thức (2) tuy là ngắn hơn nhưng độ phức tạp cao hơn nên tôi không đưa ra, bạn đọc tự tìm hiểu nhé  4 Ví dụ 3: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau I   x  2 cos 2 x  1 dx 0 Giải: Nhận xét: Nếu để nguyên như thế mà tính cũng ra nhưng độ phức tạp cao hơn chính vì thế ta sử dụng công thức hạ bậc    4 4 4 I   x  2 cos 2 x  1 dx   2 1  cos 2 x   1 dx   x cos 2 xdx   0 0 0  du  dx u  x  Đặt   sin 2 x  dv  cos 2 xdx v   2    sin 2 x 14  cos 2 x  1  2 Khi đó I  x. 4   sin 2 xdx   4    2 20 8 4 8 4 8 0 0 - Đôi khi tính TPTP ta phải tính đến 2 hay 3 lần TPTP e 5e4  1 Ví dụ: (ĐH – D 2007) Tính tích phân sau I   x 3 ln 2 xdx  1 32 Giải:  dx u  ln 2 x   du  2 ln x x Đặt  3  4  dv  x  v  x   4 x 4 e 1e e4 1 Khi đó I  ln 2 x.   ln x.x3 dx   I1 4 1 21 4 2  dx du  e u  ln x   x Tính I1   ln x.x3 dx . Đặt  3  4 1  dv  x v  x   4 4 e 4 x e 1 3 e 1 e 3e4  1 Khi đó I1  ln x.   x dx   x4  4 1 41 4 16 1 16 e4 1 e4 1 3e4  1 5e4  1 Vậy I   I1   .  4 2 4 2 16 32 - Đôi khi tính TPTP ta còn gặp trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân e ln 2 x Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: I   dx 1 x Giải: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 5
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com u  ln 2 x  dx  du  2 ln x Đặt  dx   x  dv  v  ln x   x e e ln 2 x Khi đó I  ln 2 x.ln x  2  dx  1  2 I 1 1 x 1 Đến đây ta coi như một phương trình bậc nhất theo I ta được I  3 Chú ý: - Đương nhiên ta có thể làm bằng phương pháp biến đổi số dx  x  e t  1 Đặt t  ln x  dt  . Đổi cận   x x  1 t  0 1 3 t 1 1 Khi đó I   t 2 dt   0 3 0 3 e e ln 2 x ln 3 x e 1 Hoặc: Đưa vào vi phân như sau I   dx   ln 2 xd  ln x    1 x 1 3 1 3  et  x  - Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt t  ln x   t sau đó mới TPTP e dt  dx   4 e x (sin x  cos x  1) Ví dụ 2: Tính tích phân sau I   dx 0 (1  cos x)2 Giải:    4 e x (sin x  cos x  1) 4 ex 4 e x sin x I  dx   dx   dx  I1  I 2 0 (1  cos x)2 0 1  cos x 0 (1  cos x)2  4 e x sin x Tính I 2   2 dx 0 (1  cos x ) u  e x du  e x dx   Đặt  sin x  1 dv  dx  2 v    1  cos x   1  cos x    4 x x e e e4 1 Khi đó I 2  4  dx    I1 1  cos x 1  cos x 2 2 0 0 1 2  e4 1 Vậy I   2 2 1 2 Chú ý: Nếu như ta tính đồng thời I1 và I 2 thì cũng ra nhưng vừa mất công mà lại dài nên ta chọn tính I1 hoặc I 2 để làm triệt tiêu đi I 2 hoặc I1 …Tùy vào từng bài để ta chọn (kinh nghiệm thôi) - Thông thường ta sử dụng CT (1) vì nó dễ nhìn hơn là CT (2) tuy là có dài hơn, muốn sử dụng nhanh CT (2) các bạn phải biết đưa vào biểu thức vi phân https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 6
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com - Thông thường trong phương pháp TPTP khi lấy nguyên hàm thường chọn hằng số C = 0 việc đó hoàn toàn đúng nhưng không phải lúc cũng chọn C = 0 mà còn phụ thuộc vào tích phân  vdu , các bạn có thể chọn C bất kì nhưng chọn làm sao cho tích phân  vdu dễ tính và đơn giản nhất 3 1  ln( x  1) Ví dụ 1: (ĐH – A 2012) Tính tích phân I   dx 1 x2 Giải: Cách 1: 3 3 3 1  ln( x  1) 1 ln( x  1) x 1 3 2 Ta có I   dx = dx    x2 1 x2 dx = J =  J . 1 x2 1 1 1 3 3 ln( x  1) Tính J   dx 1 x2  1 u  ln  x  1 du  dx   x 1 Đặt  1   dv  2 dx v   1  1   x  1  x   x x 3  1  3 dx  1  3 3 4 2 J     1  ln( x  1)       1 ln( x  1)  ln x 1   ln 4  2 ln 2 + ln3 =  ln 2  ln 3 .  x  1 1 x  x  1 3 3 2 2 Vậy I   ln 2  ln 3 3 3 Trong bài này chọn C = -1 để dễ tính tích phân  vdu . Chúng ta vẫn có thể làm bình thường nhưng tích phân còn lại là tích phân hàm phân thức với mẫu có hai nghiệm đơn phân biệt 1 Các em có thể chọn v   thì khi đó x  1 u  ln  x  1 du  dx   x 1 Đặt  1   dv  2 dx v   1 dx  x   x 3 1 3 1 1  31 3 1   J   ln  x  1   dx   ln 4  ln 2    dx   dx  x 1   1 x x 1 3  1 x 1 x 1  3 1 x 1 3   ln 4  ln 2  ln  ln 2  ln 3 x 1 1 3 2 2 1 3 Vậy I   ln 2  ln 3 3 2 Cách 2: 1 u  1  ln  x  1  du   dx   x 1 Đặt  1   dv  2 dx v   1  x  x  3 3 3 3 1 dx 1 x 2 2 Khi đó I   1  ln( x  1)     1  ln( x  1)   ln =  ln 2  ln 3 x 1 1 x( x  1) x 1 x 1 1 3 3  /4 ln(sin x  cos x) Ví dụ 2: Tính tích phân I   dx 0 cos 2 x https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 7
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Giải:  cos x  sin x u  ln(sin x  cos x)  du  dx   sin x  cos x Đặt  1   dv  cos 2 x dx  v  tan x  1  sin x  cos x   cos x  /4  /4 cos x  sin x Khi đó I  (tan x  1) ln(sin x  cos x ) 0   dx 0 cos x  /4  3 = 2 ln 2  ( x  ln cos x ) 0    ln 2 4 2 MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ Ở đây tôi trình bày một số dạng cho những người bắt đầu học cho dễ, còn tôi khuyên các bạn không nên học máy móc theo dạng quá như thế khi thi đại học sẽ rất khó nếu không rơi vào các dạng đã học…Bản thân tôi khi dạy học sinh cũng rất ít khi dạy theo dạng mà dạy theo cách hiểu, như thế gần như bài nào học sinh cũng làm đươc … Hãy làm chủ phương pháp và đọc kĩ những phần chú ý ở trên sẽ rất có ích cho các ban  Dạng 1: Tính tích phân I   Pn  x  Q  x  dx với Pn  x  là một đa thức bậc n và  1 1 Q  x  2 ; 2 ;sin x;cos x; e x , a x hoặc các hàm này cộng thêm một hằng số thì cách đặt vẫn tương tự cos x sin x u  Pn  x   Đặt  (Nếu Pn  x  có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần Pn  x  sẽ giảm 1  dv  Q  x  dx  bậc)) Đặc biệt: - Khi Q  x   ln x;ln n x; log m x;ln  f  x     u  Q  x   Đặt  (nếu Q  x   ln n x ta phải tính n lần tích phân)   dv  Pn  x  dx - Khi Q  x   sin  ln x  ;cos  ln x  ;sin  log a x  ; cos  log a x  u  Q  x   Đặt  (thường thì người ta chọn Pn  x   1; Q  x   x k cho đơn giản)  dv  Pn  x  dx  Chú ý: Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích phân ban đầu) Để nhớ nhanh các dạng này ta khi đặt cho u theo quy tắc  ln x  x  sin x  e x  Đọc là Nhất lô (hàm logarit), nhì đa (hàm đa thức), tam lượng (hàm lượng giác), tứ mũ (hàm số mũ) 1 1 Loại 1: Khi Q  x   2 ; 2 cos x sin x Bài tập giải mẫu: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 8
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com  3 xdx Bài 1: Tính tích phân sau I   sin 2  x 4 Giải: u  x   du  dx Đặt  dx    dv  sin 2 x v   cot x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần     3 xdx 3 3 I   2   x cot x   cot xdx   .  1  ln sin x   3  94 3 1 3  ln   sin x   3 3  36 2 2 4 4 4 4 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   3 3 xdx I     xd  cot x   sin 2 x  4 4  3 x Bài 2: Tính tích phân sau I   2 dx 0 cos x Giải: u  x   du  dx Đặt  dx    dv  cos 2 x v  tan x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:      4 3 x  3 3 sin x  3 3 d  cos x  I  2 dx  x tan x 3   tan xdx   dx   0 cos x 0 3 0 cos x 3 0 cos x 0   3  3   ln cos x 3   ln 2 3 3 0 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   3 3 x I  2 dx   xd  tan x  0 cos x 0 Bài tập tự giải có hướng dẫn: 1 x  sin x Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau I   dx 0 cos 2 x HD: u  x  sin x  du  1  cos x  dx  Đặt  1   dv  cos 2 x dx v  tan x   Hoặc https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 9
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com    3 3 3 x  sin x xdx sin x - Tách thành tổng hai tích phân I   2 dx   2  2 dx cos x 0 cos x 0 cos x 0         I1 I2 Tính I1 bằng TPTP và tính I 2 bằng đổi biến số 1 1 x  sin x - Sử dụng trực tiếp công thức (2) ta có I   dx    x  sin x  d  tan x  0 cos 2 x 0  4 x  1 Bài 2: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: I   dx   ln 2 0 1  cos 2 x 8 4 HD: Sử dụng công thức nhân đôi 1  cos 2 x  1  2 cos 2 x  1  2 cos 2 x  4 u  x 1 x   du  dx Khi đó I   cos2 xdx . Đặt  dx   20  dv  cos 2 x v  tan x  Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)    4 4  4  x 1 1 1   1 Ta có I   2 dx   xd (tan x)  x tan x 4   tan xdx    ln  4   ln 2 2 cos x 20 2 2 4 0 8 4 0 0 0 1 Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau: I   x tan 2 xdx  tan1  ln  cos1  0,5 0 HD: 1 1 x Phân tích I   2 dx   xdx 0 cos x 0 u  x   du  dx Đặt  dx    dv  cos 2 x v  tan x  1 Chú ý: Công thức  tan 2 x  1 cos 2 x  2 xdx Bài 4: Tính tích phân sau: I   0 1  sin 2 x HD:     Biến đổi 1  sin 2 x  1  cos  2 x    2cos 2  x   rồi mới TPTP  2  4 Loại 2: Khi Q  x   sin x; cos x Chú ý: Đối với dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định Nếu bậc của P  x  bằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau: Bước 1: Ta có I   p ( x) cos xdx  A( x)sin  x  B( x) cos  x  C , (1) (A(x) và B(x) cùng bậc với P  x  ) Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) : p ( x) cos x   A '( x)  B ( x)  sin    A( x)  B '( x)  cos  Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x) https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 10
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Bước 3: Thay A(x) và B(x) vào (1) rồi kết luận. (Có thể áp dụng cách này cho các dạng  eax cos bxdx ; e ax sin bxdx ) Bài tập giải mẫu: 1 Bài 1: Tính tích phân sau I   x 2 sin 2 x.dx 0 Giải: 1 1 1 1 1  cos2 x 1 1 I   x 2 sin 2 xdx   x 2 . dx   x 2 dx   x 2 cos  2 x  dx 0 0 2 20 20 Sử dụng công thức (2) ta được 1  1 x3 1 2 2 1 1 2 1  6  4  x d (sin2 x)  0  6 4 x sin2 x  2  xsin2 x.dx 0 0 0  1 1 1 2 1 1  1 1  1 1 1 1 1   2  xd (cos2 x)   2  x cos2 x   cos2 xdx    2  3 sin(2 x)   2 6 4 0 6 4  0 0  6 4 8 0 6 4  2 Bài 2: (ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau I   ( x  1)sin 2 xdx 0 Giải:  du  dx u  x  1  Đặt   1  dv  sin 2 xdx v   2 cos 2 x     2 x 1 1 2  1 1 1 2  Khi đó I   cos 2 x   cos 2 xdx       sin 2 x   1 2 0 20  4 2 2 4 0 4 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   2 12 I   ( x  1) sin 2 xdx     x  1 d  cos 2 x  0 20 2 4 Bài 3: Tính tích phân sau I   cos xdx 0 Giải: Đặt t  x  x  t 2  dx  2tdt 2  Đổi cận x  0  t  0, x  t  4 2 Sử dụng công thức (2)    2 2  2 Khi đó I  2  t cos tdt  2  td  sin t   2t sin t 2  2  sin xdx    2 0 0 0 0 Vậy I    2 . Bài 4: Tính nguyên hàm I   ( x3  x 2  2 x  3) sin xdx Giải: I   ( x3  x 2  2 x  3) sin xdx  (ax 3  bx 2  cx  d ) cos x  (a'x3  b ' x 2  c ' x  d ') sin x  C (1) https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 11
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Lấy đạo hàm hai vế của (1): ( x 3  x 2  2 x  3) sin x  [a ' x 3  (3a  b ') x 2  (2b  c ') x  c  d ']cos x  [ax3  (3a ' b) x 2  (2b ' c) x  c ' d ]sin x (2) Đồng nhất đẳng thức trên ta được hệ : a '  0  a '  1 3a  b '  0 3a ' b  1    và   2b  c '  0  2b ' c  2 c  d '  0   c ' d  3  Giải hệ trên tìm được : a  1; b  1; c  4; d  1; a '  0; b '  3; c '  2; d '  4 3 2 2 Vậy I  (  x  x  4 x  1) cos x  (3 x  2 x  4)s in x  C . Hoặc: u  x3  x 2  2 x  3  du   3 x 2  2 x  2  dx  Đặt    dv  sin xdx v   cos x  Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) I   ( x3  x 2  2 x  3) sin xdx    ( x3  x 2  2 x  3)d  cos x  Bài 5: Tính các tích phân sau   4 2  a. I   x 2  4 x  3 sin 2 xdx  b. I    2 x  1 cos 2 xdx 0 0 Giải:  4  a. I   x 2  4 x  3 sin 2 xdx  0 du   2 x  4  dx  Đặt   u  x 2  4 x  3    1  dv  sin 2 xdx  v   cos 2 x  2  2 1 12 1     1 2  20  I   x 2  4 x  3 cos 2 x    2 x  4  cos 2 xdx    2  4  2  3   1   J    2  2 1    1    2  3    J 1 2  4   2         2 2 2 1 1  Tính: J    2 x  4  cos 2 xdx    2 x  4  d  sin 2 x    2 x  4  sin 2 x 2  2  sin 2 xdx   cos 2 x 2  2 20 2  0 0 0 0   2 1    1  2  8  4 Thay vào (1) ta có : I    2  3     2   2  4   2  8 1  cos 2 x b. Vì : cos 2 x  . Cho nên : 2     2 2 2 2  1  cos 2 x   1 1 I    2 x  1 cos 2 xdx    2 x  1   dx    x   dx    2 x  1 cos 2 xdx 0 0  2  0 2 20 https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 12
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com      2  1 2 1  12 2  1     x  x  2    2 x  1 d  sin 2 x      2 x  1 sin 2 x 2   sin 2 x.2 dx   2 2  0 20 8 4 2 0 0      2  1 2  =   0  cos 2 x 2    1 8 4 2   8 4  0   n n Tổng quát: Nếu gặp phải các tích phân có dạng :  P( x) sin axdx   P  x  cos axdx . Ta phải sử dụng các   công thức hạ bậc : 1  cos 2 x 1  cos 2 x 3sin x  sin 3 x 3cos x  cos3 x sin 2 x  ;cos 2 x  ;sin 3 x  ;cos3 x  2 2 4 4 Bài 6: Tính các tích phân sau   4 2   a. I   x 2  4 x  3 sin 2 xdx b. I   x.sin 2 xdx 0 0   4 2 x c. I   dx d. I   x 2 cos xdx 0 cos 2 x 0 Giải:  4   a. I   x 2  4 x  3 sin 2 xdx 0 du   2 x  4  dx u  x 2  4 x  3  Đặt   1  dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2   1 14 3 1 2 2  20  Khi đó I   cos 2 x x  4 x  3 4    2 x  4  cos 2 xdx   J 1 2 2 0      4  4 14 1  Tính J    2 x  4  cos 2 xdx    2 x  4  d  sin 2 x   sin 2 x  2 x  4  4   2sin 2 xdx  20 2  0 0 0     1    5 3 1  5   4    4   cos 2 x 4    . Thay vào (1)  I       . 2  4   8 2 2 2 8 2 16   0    2 2 2  2       1  cos 2 x  1  11 2 12  b. I   x.sin 2 xdx   x   dx    xdx   x.cos 2 xdx    x 2   x.d  sin 2 x   0  2  2 0 22 20  0  0  0        2      1  2 1  1  2 1  1 2 8     x.sin 2 x  2   sin 2 xdx    0  cos 2 x 2    . 2 8 2  2 8 2  2   16 0 0    0    https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 13
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com    4 4  4  x   1 c. I   2 dx   x.d  tan x   x.tan x 4   tan xdx   ln  cos x  4   ln 2 cos x 4 4 2 0 0 0 0 0  2 d. I   x 2 cos xdx . 0 u  x 2 du  2 xdx Đặt   .  dv  cos xdx v  sin x     2   2  2 2 2 2     Do đó: I  x .sin x 2   2 x.sin xdx    x.d  cos x     x.cos x 2   cos xdx  4 0 4   0 0 0 0     2  2 4   0  sin x 2   4   4  0 Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 2: (ĐHM ĐC – 1998) Tính nguyên hàm sau: I   x sin xdx  2 x3 cos x  6 x sin x  12 x cos x  12sin x  C HD: Đặt t  x sau đó mới TPTP  Bài 3: (ĐHAN – D 1999) Tính tích phân sau: I   x 2 sin 2 xdx   2  4 0 HD: Hạ bậc và sử dụng TPTP    1 1  Ta có I   x 2 1  cos 2 x  dx    x 2 dx   x 2 cos 2 xdx  20 20 0   2 2  1 Bài 4: (ĐHBKHN – 1994) Tính tích phân sau: I   x cos 2 xdx    0 16 4 2 HD: Hạ bậc và sử dụng TPTP 2  2   2 1  Ta có I    xdx   x.cos 2 xdx  . Tính I1   x.cos 2 xdx 20 0  0    du  dx u  x  Đặt   sin 2 x  dv  cos 2 xdx v   2  2 Bài 5: (TN – 2005) Tính tích phân sau: I   ( x  sin 2 x) cos xdx 0 HD: u  ( x  sin 2 x)  du  1  sin 2 x  dx  Đặt    dv  cos xdx v  sin x  https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 14
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com Chú ý:    2 2 2 Để đơn giản ta nên tách thành tổng hai tích phân I   ( x  sin 2 x) cos xdx   x cos xdx   sin 2 x cos xdx 0   0     0   I1 I2 Tính I1 bằng TPTP và tính I 2 bằng đổi biến số hoặc đưa vào vi phân hàm hợp 2 4 2 Bài 7: (ĐHDB – D 2004) Tính tích phân sau: I   x sin xdx  4 0 2 HD: 1 Đặt t  x  dt  dx  dx  2tdt sau đó mới TPTP 2 x 3      3 Bài 8: (ĐHKTHN – 2001) Tính tích phân sau: I   sin 3 xdx  3  6 0 HD: 1 Đặt t  3 x  dt  2 dx  dx  3t 2 dt sau đó mới TPTP 3  x 3 Bài 9: (ĐHDB – D 2005 – ĐHCĐ – 1998) Tính tích phân sau:  2 2  1 1 2 5 I    2 x  1 cos 2 xdx        1  0 8 4 2 8 8 HD: 1  cos 2 x Sử dụng công thức hạ bậc cos 2 x  2    2  1  cos 2 x  12 12 Khi đó I    2 x  1   dx    2 x  1 dx    2 x  1 cos 2 xdx  2  20 20 0     I1 I2 Tính I1 bằng cách sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm và tích I 2 bằng TPTP u   2 x  1  du  2dx   Đặt   sin 2 x  dv  cos 2 xdx  v  2   2 Bài 10: (ĐH Mở - 1997) Tính tích phân sau I    x 2  1 sin xdx 0 HD: u   x 2  1  du  2 xdx Đặt    dv  sin xdx v   cos x  Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   2 2 I    x 2  1 sin xdx     x 2  1 d  cos x  0 0  2  2 Bài 11: (TN – 2004) Tính tích phân sau I    x  sin 2 x  cos xdx   0 2 3 HD: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 15
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com u  x  sin x  du  1  sin 2 x  dx 2  Đặt    dv  cos xdx v  sin xdx  Chú ý: - Tách thành tổng hai tích phân thì đơn giản hơn - Có thể sử dụng trực tiếp công thức (2) Bài 12: Tính các tích phân sau  2 2 a. (ĐHDB – 2007) I   x 2 cos x dx  2 0 4  4 2 3 2 1 b. I    x sin x  dx    1 384 32 4 HD: u  x 2 du  2 xdx a. Đặt    dv  cos xdx v  sin x   4 4 2 1 2 b. I    x sin x  dx  x 1  cos 2 x  dx sau đó mới TPTP 1 2 1 1 Bài 13: Tính tích phân sau: I   cos 1  xdx    2 2  1 4 HD: Đặt t  1  x sau đó mới TPTP Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau ln  cos x  a. I   dx Đs: I  ln  cos x  tan x  tan x  x  C cos 2 x x b. I   cos  ln x  dx Đs: I  cos  ln x   sin  ln x    C 2  1 x 1 c. I   x sin 2 xdx Đs: I  x 2  sin 2 x  cos 2 x  C (ĐHL_1999) 4 4 8 Loại 3: Khi Q  x   e x , a x Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính các tích phân sau 1 ln 3 a. I   xe x dx  x  2 b. I   2 x e x dx 0 1 Giải: a. Cách 1: u  x du  dx Đặt  x  x  dv  e dx v  e 1 1 1 1 Khi đó I   xe x dx  xe x   e x dx  ( x  1)e x  1. 0 0 0 0 Cách 2: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 16
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com 1 1 1 / 1 1 I   xe x dx   x  e x  dx  xe x   x / e x dx  ( x  1)e x  1. 0 0 0 0 0 u   x 2  2 x  du   x  2  dx   b. Đặt :   x x  dv  e dx  v  e  ln 3 ln 3  Khi đó I  x 2  2 x e x  1    2 x  2  e x dx  ln 2 3  2ln 3  e  J 1 1 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 x ln 3   2 x  2  e dx    2 x  2  d  e    2 x  2  e x x x Tính J    e 2dx   2 x  2  e x  2e x    1 1 1 1 1 ln 3   2 x  4 ex   2ln 3  4  3   2  e  6 ln 3  12  2e 1 Thay vào (1) ta có : I   ln 2 3  2 ln 3  e    6 ln 3  12  2e   ln 2 3  8ln 3  12  e 1 Bài 2: Tính tích phân sau I   xe x dx . 0 Giải: 1 Đặt t  x  dt  dx  dx  2tdt 2 x 1 1  1   1 1  Khi đó I  2  t 2 et dt  2  t 2 et  2  tet dt   2e  4  tet   et dt   2  e  2  0 0 0  0   0  1 Bài 3: Tính tích phân sau I   x 2 e x dx 0 Giải: u  x 2  du  2 xdx Đặt  x  x  dv  e dx v  e  1 1 1 1 Khi đó I   x 2 e x dx  x 2 e x  2  xe x dx  e  2  xe x dx 0 0 0 0 1 u  x  du  dx Tiếp tục tính: J   xe x dx . Đặt  x  x 0  dv  e dx v  e 1 1 1 x Khi đó J   xe x dx  xe x  xe dx  1 0 0  0 Vậy I  e  2  2 Bài 4: Tính tích phân sau I   esin x sin 2 xdx 0 Giải:   2 2 Ta có I   esin x sin 2 xdx  2  esin x sin x cos xdx 0 0 x  0  t  0 Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận    x  2 t  1  https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 17
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com  2 1 Khi đó I  2  esin x sin x cos xdx  2  tet dt 0 0 u  t du  dt Đặt  t  t  dv  e dt v  e 1 1 1 1 1 Khi đó I   tet dt  tet   et dt  tet  et  1 0 0 0 0 0 Vậy I  2 1 3 Bài 5: Tính tích phân sau I   x5 e x dx 0 Giải: dt Đặt t  x3  dt  3 x 2 dx  x 2 dx  3  x  0 t  0 Đổi cận   x  1 t  1 1 1 1 3 1 1 1 1 e 1 1 1 Khi đó I   x5 e x dx   tet dt  tet   et dt   et  0 30 3 0 30 3 3 0 3 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 1 1 3 1 3 I   x5 e x dx   x3 e x d  x 2  0 20 1 Bài 6: (TN – 2008) Tính tích phân sau I   x  e x  1 dx 0 Giải: Cách 1: u  x  du  dx Đặt    dv   e  1 dx v  e  x x x  1 1  x2  1 3 Khi đó I  x  e x  x     e x  x  dx  1  e   e x    0 0  2 0 2 Cách 2: 1 1 1 I   x  e x  1 dx   xe x dx   xdx 0  0 0 J 1 u  x  du  dx Tính J   xe x dx đặt  x  x … bạn đọc tự giải 0  dv  e dx v  e Cách 3: 1 1 Làm nhanh I   x  e x  1 dx   xd  e x  x  …bạn đọc tự giải 0 0 1 Bài 8: (ĐH – D 2006) Tính tích phân sau I    x  2  e2 x dx 0 Giải: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 18
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com du  dx u   x  1   Đặt   e2x   dv  e 2 x  v  2 1 1 1 1 1 e2 1 5  3e2 Khi đó I  ( x  2)e2 x   e2 x dx    1  e2 x  2 0 20 2 4 0 4 Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 1 1 1 I    x  2  e dx    x  2  d  e 2 x  2x 0 20 Bài 13: Tính các tích phân sau a. I  ln 2 x b. I   1 x 3  2 x 2  3x  1  dx  x.e 0 dx 0 e 2x Giải: u  x  du  dx a. Đặt  x  x dv  e dx v  e ln 2 ln 2 ln 2 1  ln 2 Khi đó I   x.e x   e x dx    x.e x  e x   0 0 0 2  u  x3  2 x 2  3 x  1    du  3 x 2  4 x  3 dx    b. Đặt  dx  2  dv  2 x v   2 x  e  e 1 2 3 1  3x 2  4 x  3  6 Khi đó I   e 2x  x  2 x 2  3x  1  2  0 e 2x  dx  2  2  2 J 1 . e 0  Tính J:  u1  3 x 2  4 x  3     du1   6 x  4  dx Đặt  dx  2  dv1  2 x v1   2 x  e  e 1 2 1 6x  4 4 Khi đó J   e 2x  0 e  3 x 2  4 x  3  2  2 x dx  6  2  2 K  2  e 0 1 6x  4 Ta tính K   dx . 0 e2 x u2  6 x  4  du2  6dx   Đặt  dx   2  dv2  e 2 x  v2   e 2 x  1 2 1 6dx 6 1 1 6 1  Khi đó K   2 x  x  4   2  2 x  2  8  6 2 x  2  8  6  2  1  2  3 e 0 0 e e e 0 e e  4 4 Thay (3) vào (2) : J  6  2  2(2)  2  2 . Lại thay vào (1) ta có : e e 6  4 14 I  2  2  2 2  2   6  2 e  e  e Bài tập tự giải có hướng dẫn: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 19
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com  3 2 2 3.e 5 Bài 1: Tính tích phân sau: I   e3 x sin 5 xdx  0 34 HD: du  5cos5 xdx u  sin 5 x  Đặt  3x  e3 x  dv  e dx v   3 Bài 2: (ĐHHH HCM – 1999) Tính tích phân sau: I    2 x 2  x  1 e x   2 x 2  3x  4  e x  C HD: u  2 x 2  x  1  du   4 x  1 dx   Đặt  x  x  dv  e dx  v  e  1 2 5e 2  1 Bài 3: (ĐHCĐ – 1998) Tính tích phân sau: I   1  x  e 2 x dx  0 4 HD: (TPTP 2 lần) u  1  x 2 du  2 1  x  dx   Đặt   e2x 2x  dv  e dx  v   2 2 x Bài 4: (HVKTQY – 1997) Tính tích phân sau: I   xe 2 dx 0 HD: u  x  du  dx  Đặt  x  x  dv  e 2 dx v  2e 2    2 2 1 Bài 5: (ĐHKT HN – 1999) Tính tích phân sau: I   esin x .sin x.cos3 xdx   e  1 0 2 HD:   2 2 2 2 Phân tích I   esin x .sin x.cos3 xdx   esin x .sin x cos x 1  sin 2 x  dx 0 0 dt Đặt t  sin 2 x   sin x cos xdx sau đó mới TPTP 2 3 x 2 1 x3e Bài 6: Tính tích phân sau: I   dx 0 x2  1 HD: 3 x 2 1 3 x 2 1 x3 e x2 e Phân tích I   dx   x 2  1 xdx 0 x2  1 0  x2  t 2  1 Đặt t  x 2  1   sau đó mới TPTP  xdx  tdt 0 3 4  x e  2x Bài 7: (ĐHDB – B 2002) Tính tích phân sau: I   3 x  1 dx  2  1 4e 7 HD: https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.