Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
1
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2013)
Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thành Long
“ Phương pháp là thầy của các thầy “
Bỉm sơn. 13.02.2014
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
2
MỤC LỤC
LÝ TUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN……………………………………………………………….1
MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ………………………………………………………………………………….8
Dạng 1……………………………………………………………………………………………………….8
Loại 1: ………………………………………………………………………………………………………9
Loại 2: ……………………………………………………………………………………………………...11
Loại 3: ……………………………………………………………………………………………………...17
Loại 4: ……………………………………………………………………………………………………..22
Loại 5: ……………………………………………………………………………………………………...31
Dạng 2: …………………………………………………………………………………………………….32
Dạng 3: …………………………………………………………………………………………………….37
Dạng 4: …………………………………………………………………………………………………….39
Dạng 5: …………………………………………………………………………………………………….41
CON DU L ON VAN L A CON CUA M E
DI K H AP PH UON G TR OI L ON G M E VAN
TH E O CON
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
3
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. Công thức tích phân từng phần:
Cho hai hàm số
( ), ( )
u x v x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
' '
' ' ' '
uv u v uv uv dx u vdx uv dx
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d uv vdu udv
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu
.
Ta có công thức:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
b b b
b
a
a a a
f x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx
II. Phương pháp giải toán:
Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I =
b
a
dxxf .)(
Phương pháp chung:
Cách 1:
Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I =
b
a
dxxf .)( =
b
a
dxxfxf .)().( 21
Bước 2: Đặt:
1
1
22
( ) '
( )
( ) ( )
du f x dx
u f x
dv f x dx v f x dx
(tính ñaïo haøm)
(tính nguyeân haøm cho C= 0)
Bước 3: Khi đó: I =
b
a
b
a
b
avduuvudv . (công thức (1))
Chú ý:
Việc đặt
( ), ( )
u f x dv g x dx
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
( )
v x
và vi phân
'
( )
du u x dx
không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
phải đơn giản hơn tích phân
b
a
udv
Cách 2:
Phân tích '
1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x f x dx f x f x dx
và sử dụng trực tiếp công thức (2)
- Nhận dạng: Để sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp đó chính là tích của hai loại
hàm số khác nhau (đôi khi là tích của cùng một loại hàm)
- Ý nghĩa: Phương pháp TPTP nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt
hàm số dưới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân)
- Cách đặt hợp lý: Để nhớ nhanh các dạng này ta khi đặt cho
u
theo quy tắc
ln sin
x
x x x e
  
Đọc là Nhất lô (hàm logarit gồm
ln
x
hoặc
log
a
x
), nhì đa (hàm đa thức
1
1 1 0
...
n n
n n
P x a x a x a x a
), tam lượng (hàm lượng giác gồm
sin
x
;
cos
x
;
tan
x
hoặc
cot
x
), tứ
mũ (hàm số mũ gồm
x
a
hoặc
x
e
) … Với đa thức số mũ âm, không nguyên ta vẫn xếp vào đa thức
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
4
- Đối với nguyên hàm còn lại
vdu
chúng ta có thể sử dụng bảng nguyên hàm (cơ bản hay mở rộng),
phương pháp đổi biến số hay tích phân từng phần một lần (hay vài lần nữa)
Chú ý:
- Đôi khi tính TPTP mà chưa có một dạng cụ thể ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc
kết hợp với phương pháp biến đổi số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể
Ví dụ 1: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau
4
01 cos 2
x
I dx
x
Giải:
Nhận xét:
Tích phân này nếu để nguyên mà tính TPTP thì không ra được vì
1 cos 2
x
không có trong bảng nguyên
hàm chỉ có 2
2cos
x
là có nguyên hàm nên ta sử dụng công thức nhân đôi
2 2
1 cos 2 1 2cos 1 2cos
x x x
thì lấy nguyên hàm được
Ta biến đổi
4
2
0
1
2cos
x
I dx
x
Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv x
Khi đó
4
0
1 1 1 1
tan tan ln cos ln 2
4 4
2 2 8 2 8 4
0 0
I x x xdx x
Chú ý:
- Ta có thể sử dụng công thức (2) như sau
4 4 4
2
0 0 0
1 1 1 1 1
(tan ) tan tan ln cos ln 2
4 4
2 2 2 2 4 8 4
2cos 0 0
x
I dx xd x x x xdx x
x
- Đừng quên
1
2
trước dấu tích phân nhé
Ví dụ 2: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau 2
1
3
0
x
I x e dx
Giải:
Ta có 2 2
1 1
3 2
0 0
x x
I x e dx x e xdx
Đặt 22
dt
t x dt xdx xdx
Đổi cận
0 0
1 1
x t
x t
Khi đó
1 1
0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0
2 2 2 2 2 2
t t t t
e
I te dt te e dt e
(sử dụng công thức 2)
Chú ý:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
https://www.facebook.com/trithuc.viet.37
5
- Dĩ nhiên ta không cần biến đổi số mà làm trực tiếp. Ta có
2 2
1 1
3 2 2
0 0
1
2
x x
I x e dx x e d x
. Đến đây ta có
thể sử dụng công thức (1) hoặc công thức (2) tuy là ngắn hơn nhưng độ phức tạp cao hơn nên tôi không đưa
ra, bạn đọc tự tìm hiểu nhé
Ví dụ 3: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau
42
0
2cos 1
I x x dx
Giải:
Nhận xét:
Nếu để nguyên như thế mà tính cũng ra nhưng độ phức tạp cao hơn chính vì thế ta sử dụng công thức hạ bậc
4 4 4
2
0 0 0
2cos 1 2 1 cos 2 1 cos 2
I x x dx x dx x xdx
Đặt
sin 2
cos 2
2
du dx
u x
x
dv xdx v
Khi đó
4
0
sin 2 1 cos 2 1 2
. sin 2
4 4
2 2 8 4 8 4 8
0 0
x x
I x xdx
- Đôi khi tính TPTP ta phải tính đến 2 hay 3 lần TPTP
Ví dụ: (ĐH – D 2007) Tính tích phân sau
4
3 2
1
5 1
ln
32
ee
I x xdx
Giải:
Đặt
2
4
3
2ln
ln
4
dx
du x
u x
x
x
dv x v
Khi đó
4 4
2 3
1
1
1 1
ln . ln .
1
4 2 4 2
e
e
x e
I x x x dx I
Tính 3
1
1
ln .
e
I x x dx
. Đặt 3 4
ln
4
dx
du
u x
x
dv x
x
v
Khi đó
4 4 4
3 4
1
1
1 1 3 1
ln . 1 1
4 4 4 16 16
e
e e
x e e
I x x dx x
Vậy
4 4 4 4
1
1 1 3 1 5 1
.
4 2 4 2 16 32
e e e e
I I
- Đôi khi tính TPTP ta còn gặp trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp
một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân
Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau:
2
1
ln
e
x
I dx
x
Giải: