Chng II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trn Phng
210
BÀI 8. PHNG PHÁP TÍCH PHÂN TNG PHN
I. CÔNG THC TÍCH PHÂN TNG PHN
Gi s
(
)
u u x
=
;
v
=
v(x)
có o hàm liên tc trong min D, khi ó ta có:
•
( ) ( )
d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu
= + ⇔ = + ⇔ = +
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu udv uv vdu
= − = −
Nhn dng:
Hàm s dưi du tích phân thưng là tích 2 loi hàm s khác nhau
Ý ngha:
ưa 1 tích phân phc tp v tích phân ơn gin hơn (trong nhiu
trưng hp vic s dng tích phân tng phn s kh bt hàm s dưi du tích
phân và cui cùng ch còn li 1 loi hàm s dưi du tích phân)
Chú ý:
Cn phi chn
u, dv
sao cho
du
ơn gin và d tính ưc
v
ng thi
tích phân
ơn gin hơn tích phân
udv
II. CÁC DNG TÍCH PHÂN TNG PHN C BN VÀ CÁCH CHN u, dv

( )
( )
( )
( )
( )
( )
ax b ax b
ax b ax b
u P x
sin ax b dx
sin ax b dx
cos ax b dx
cos ax b dx
P x dv
e dx
e dx
m dx
m dx
++
++
=
++
++
=
(trong ó P(x) là a thc)

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
mm
dv P x dx
arcsin ax b dx
arcsin ax b
arccos ax b dx
arccos ax b
arctg ax b dx arctg ax b
P x u
arc cotg ax b dx
arc cotg ax b
ln ax b dx ln ax b
log ax b dx log ax b
=
++
++
+
+
=
+
+
++
+
+
(trong ó P(x) là a thc)

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ax b ax b
ax b ax b
kaax b
aaax b
k
a
sin ln x e sin x dx
sin ln x dx e
u
cos ln x
u
cos ln x dx e cos x dx m
sin log x
x ;
sin log x dx
sin x dx
m sin x dx
cos log x dv
cos log x dx
cos x dx
m cos x dx
dv x dx
++
++
+
+
α +β
=
=α +β
α +β
α +β
=
α +β
α +β
=
Bài 8. Phng pháp tích phân tng phn
211
III. CÁC BÀI TP MU MINH HA:

( ) ( ) ( )
{
}
ax+b ax+b
P x sin ax + b ;cos ax + b ;e ;m dx
•
3
1
A = x cos x dx
.
Cách làm chm:
t
3 2
u x du 3x dx
dv cos x dx v sin x
= =
= =
. Khi ó ta có:
3 2
1
A x sin x 3 x sin x dx
= −
. t
2
du 2x dx
u x
v cosx
dv sin x dx
=
=
= −
=
. Khi ó ta có:
3 2
1
A x sin x 3 x cos x 2 x cos x dx
= − − +
. t
u x du dx
dv cos x dx v sin x
= =
= =
.
(
)
( )
3 2 3 2
1
A x sin x 3x cos x 6 xsinx sin xdx x sinx 3x cos x 6 xsin
x cosx c
= + − − = + − + +
Cách làm nhanh:
Bin i v dng
( ) ( ) ( )
P x L x dx = P x du
( )
(
)
3 3 3 3 3 2
1
A x cos x dx x d sin x x sin x sin x d x x sin x 3 x sin x dx
= = = − = −
( )
(
)
( )
3 2 3 2 2
3 2 3 2
x sin x 3 x d cos x x sin x 3 x cos x cos x d x
x sin x 3x cos x 6 x cos x dx x sin x 3x cos x 6 x d sin x
= + = + −
= + − = + −
(
)
( )
3 2 3 2
x sin x 3x cosx 6 xsin x sin xdx x sin x 3x cos x 6 xsin x
cos x c
= + − − = + − + +
•
( ) ( )
3 5 1 3 5 1 5 1 3
1 1
5 5
x x x
x d e x e e d x
− − − −
= = −
3 5x 1
2
A = x e dx
( )
( )
( )
3 5x 1 2 5x 1 3 5x 1 2 5x 1
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 2 3 5x 1 2 5x 1 5x 1
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 3 5x 1 2 5x 1
5x 1 5x 1
1 1 3
x e 3 x e dx x e x d e
5 5 5
1 3 1 3 6
x e x e e d x x e x e xe dx
5 25 5 25 25
1 3 6 1 3
x e x e x d e x e x e
5 25 125 5 25
6xe e dx
125
− − − −
− − − − − −
− − − − −
− −
= − = −
= − − = − +
= − + = − +
+ −
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 5x 1
1 3 6 6
x e x e xe e c
5 25 125 625
− − − −
= − + − +
Nhn xét:
Nu P(x) có bc n thì phi n ln s dng tích phân tng phn.
Chng II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trn Phng
212
x 0
π
2
/4
t 0
π
/2
•
2/ 4
3
0
A = x sin x dx
π
. t
2
t x t x
==
dx 2tdt
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
3 3 3 3 2
0
3
0 0 0 0
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
0
0 0 0 0
A 2 t sin t dt 2 t d cos t 2t cos t 2 cos td t 6 t cos t dt
3 3
6 t d sin t 6t sin t 6 sin td t 12 t sin t dt 12 td cos t
2 2
π π π π
π
π π π π
π
= = − = − + =
π π
= = − = − = +
2
2 2 2
2 2
0 0
0
3 3 3
12t cos t 12 cos t dt 12 sin t 12
2 2 2
π
π π
π π π
= + − = − = −
•
( )
6
6 6
3
3 3
0
0 0
1 cos 1
d cos cos dx
3 3 3
x x
x x x
= − = − +
6
2
4
0
A = x sin x cos xdx
π
π π
( )
( )
6
63
2
0
0
3 1 3 1 sin x 11 3
1 sin x d sin x sin x
48 3 48 3 3 72 48
π
π
π π π π
= − + − = − + − = −
•
( )
12 x
5
2
0
x e dx
A =
x + 2
. t
( )
( )
2 x x
2
u x e
du x x 2 e dx
dx 1
dv vx 2
x 2
== +
== −
+
+
( )
1111
2 x
x x x
5
0000
1
1 1
x x x
0 0
0
x e e e
A xe dx xe dx xd e
x 2 3 3
e e e
xe e dx e e 1
3 3 3
= − + = − + = − +
+
= − + − = − + − = −


( )
{
}
m
P x arcsin u; arccos u; arctg u; arc cotg u ; ln u ; lo
g u u ax b dx
= +
•
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
3 3 3
1
1 1
1 1
ln d ln ln
3 3
e e
e
x x x x x d x
= = −
e2
2
1
1
B = x ln x dx
( )
e e e
3 3 3 2 3 3
1 1 1
1 dx 1 1 2
e 2x ln x e 2x ln x dx e ln x d x
3 x 3 3 3
= − = − = −
( )
( )
ee e
3 3 3 3
e
3 3 3 2 3
1
1
1 1
e 2 e 2 2 e 2 5e 2
x ln x x d ln x e x dx x
3 9 3 9 9 9 27 27 27
= − − = − + = + = −
Bài 8. Phng pháp tích phân tng phn
213
•
( )
1 2
1 2 1 2
2 2 2
0
0 0
1 1 1 1 1
ln d ln ln
2 1 2 1 1
x x x
x x x d
x x x
+ + +
= = −
− − − −
1 2
2
0
1+ x
B = x ln dx
1 x
( )
1 2 1 2 2
2
2
0 0
1 2 1 2
2
2
0 0
1 2
0
1 1 x dx 1 x
ln 3 x ln 3 dx
8 1 x 8 1 x
1 x
1 1 1 1 2
ln 3 1 dx ln 3 1 dx
8 1 x 8 1 x
1 x
1 1 ln 3 3 5
ln 3 x 2 ln 1 x 2 ln
8 1 x 8 2 6
−
= − ⋅ ⋅ = −
+ +
−
= − − = − + −
+ +
+
= − − − + = + −
+
•
( ) ( ) ( )
1
1
2 2
0
0
ln 1 ln 1x x x xd x x
= + + − + +
1
2
3
0
B = ln x + 1 + x dx
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1 1
2 2 2
0 0
121
2
0
2
0
x dx x dx
ln 1 2 x 1 ln 1 2
1 x x 1 x 1 x
1 d 1 x
ln 1 2 ln 1 2 1 x ln 1 2 2 1
21 x
= + − + = + −
+ + + +
+
= + − = + − + = + + −
+
•
(
)
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
ln 1 1
x x d x
= + + +
2
42
x ln x + 1 + x
B = dx
1 + x
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
2 2 2 2
0
0
1
2
2 2
0
1
0
1 x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x
dx
x
2 ln 1 2 1 x 1
1 x x 1 x
2 ln 1 2 dx 2 ln 1 2 1
= + + + − + + +
= + − + +
+ + +
= + − = + −
•
(
)
1
0
2
52
x ln x + 1 + x
B = dx
x + 1 + x
. t
(
)
( )
2
2
2
u ln x 1 x
x dx
dv x 1 x x dx
x 1 x
= + +
= = + −
+ +
(
)
2
2 2
x dx
du 1 dx x 1 x
1 x 1 x
= + + + =
+ +
Chng II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trn Phng
214
( ) ( ) ( )
1 2 3 2
2 2 2 2 3
1 1
v 1 x d 1 x x dx 1 x x
2 3
= + + − = + −
( )
( )
( )
11
3 2 3 2
2 3 2 2 3
5
2
00
1 1 dx
B 1 x x ln x 1 x 1 x x
3 3
1 x
= + − + + − + −
+
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
1 1 3
22
0 0
1 1 2
2
2
00
2 2 1 ln 1 2 1 dx 1 x dx
3 3 3
1 x 1 x
2 2 1 ln 1 2 1 1 1 x 1
arctg x d 1 x
3 3 6 1 x
− +
= − +
++
− + + −
= − + +
+
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
11 2 1 2
2 2 2
0
2 2 1 ln 1 2 1
1 x 1 x d 1 x
3 12 6
−
− + π
= − + + − + +
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
1
3 2 1 2
2 2
0
2 2 1 ln 1 2 1 2 1 x 2 1 x
3 12 6 3
2 2 1 ln 1 2 2 2
3 12 9
− + π
= − + + − +
− + π −
= − +
•
( ) ( )
( )
1
2 2
0
1ln 1
2
x x d x
= + +
1
2
6
0
B = x ln x + 1 + x dx
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2 2
2 2
00
1 1 2
2
2 2 2
0 0
x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x
2 2
1 1 x dx 1 1 x dx
ln 1 2 x 1 ln 1 2
2 2 2 2
1 x x 1 x 1 x
+ +
= − + +
= + − + = + −
+ + + +
x
0 1
t
0
π
/4
Xét
12
2
01
x dx
I
x
=
+
.t x
)
tg t ; t 0, 2
π
= ∈
dx
2
dt cos t
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
4 4 4
122 2 2
2 3 4
2 2
0 0 0 0
2
4 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
0 0 0
tg tx dx dt sin t sin t
I dt d sin t
cos t cos t cos t
1 x 1 tg t
sin t d sin t u du 1 1 u 1 u
du
4 1 u 1 u
1 sin t 1 u
π π π
π
= = ⋅ = =
+ +
+ − −
= = =
+ −
− −