Phương trình căn thức chứa trị tuyệt đối

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

431
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương trình căn thức chứa trị tuyệt đối', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình căn thức chứa trị tuyệt đối

Gi¶i bµi kú tr−íc Bµi 1. Chøng minh r»ng nÕu 5a+4b+6c=0 th× ph−¬ng tr×nh f(x)=ax2+bx+c=0 cã nghiÖm. 1 1 Ta cã: f (0) + f ( ) + f (2) = 5a + 4b + 6c = 0 4 2 Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc [0;2]. Bµi 2. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau th× ph−¬ng tr×nh f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0 lu«n cã nghiÖm Gi¶ sö a ≤ b ≤ c . XÐt f (b). f (c) = (b − a).(b − c).(c − a).(c − b) ≤ 0 Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc [b; c] Bµi 3. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ ba sè tho¶ m·n:2c+3b+6a=0 th× ph−¬ng tr×nh f(x)=ax2+bx+c=0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm lín h¬n 1. Gi¶i Râ rµng x=0 kh«ng lµ nghiÖm. Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho x2, råi ®Æt 1 = t , ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: x g (t ) = ct 2 + bt + a = 0 Ta cã (xem vÝ dô 7) 1 1 g (0) + g (1) + g ( ) = 2c + 3b + 6 a = 0 4 2 Do ®ã ph−¬ng tr×nh g(t) =0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm t ∈ (0;1) tøc lµ ph−¬ng tr×nh f(x)=0 cã Ýt mét nghiÖm x >1. Bµi 4. Chøng minh r»ng nÕu a,b,c lµ c¸c sè ®«i mét kh¸c nhau vµ kh¸c 0 th× ph−¬ng tr×nh f(x)=ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)=0 lu«n cã nghiÖm. Gi¶i t−¬ng tù bµi 2. Bµi 5. T×m m ®Ó hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:  x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 (1)   2 3x − 2mx − 2m + 7m − 12 ≥ 0 (2) 2  Gi¶i (1) ⇔ 2 ≤ x ≤ 3 §Æt f ( x ) = 3x 2 − 2mx − 2m 2 + 7m − 12 HÖ bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm khi vµ chØ chi
f ( x ) ≥ 0 v« nghiÖm khi 2 ≤ x ≤ 3 ⇔ f(x) 3 Bµi 6. T×m m ®Ó: f ( x ) = ( m + 2) x 2 − 2( m + 3) x − m + 3 > 0; ∀x ∈ (−∞;1) Gi¶i t−¬ng tù vÝ dô 5. §¸p sè: 1 −2 ≤ m ≤ − 2 Bµi 7.T×m m ®Ó f ( x ) = 2 x 2 + mx + 3 ≥ 0; ∀x ∈ [−1;1] Gi¶i a = 2 > 0 Ta cã:   ∆ = m − 24 2 Tr−êng hîp 1. ∆ ≤ 0 ⇔ −2 6 ≤ m ≤ 2 6 ⇒ f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇒ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ [−1;1] ⇒ −2 6 ≤ m ≤ 2 6 tho¶ m·n. Tr−êng hîp 2. ∆ ≥ 0 ⇔ m < −2 6 hoÆc m>2 6 -∞ x1 x2 +∞ + 0 − 0 + Khi ®ã f(x) =0 cã hai nghiÖm x1;x2 (x1 0    a. f ( −1) = 2(5 − m) ≥ 0  S m   − ( −1) = − + 1 < 0 2 6 < m ≤ 5 2 ⇔ 4 ⇔   −5 ≤ m < − 2 6  ∆ > 0     a. f (1) = 2(5 + m) ≥ 0  S m   − ( −1) = − − 1 > 0  2  4 KÕt hîp c¶ hai tr−êng hîp ta cã ®¸p sè lµ:
−5 ≤ m ≤ 5 Bµi 8. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã bèn nghiÖm ph©n biÖt 2 x 4 − (6 m + 1) x 3 + (15m − 6) x 2 − (6 m + 1) x + 2 = 0 §©y lµ ph−¬ng tr×nh håi quy bËc bèn. x=0 kh«ng lµ nghiÖm, chia c¶ hai vÕ cho x2 råi 1 ®Æt x + = t; víi t ≥ 2 x øng víi mçi nghiÖm t ≥ 2 cã hai nghiÖm x ph©n biÖt. §Ó ph−¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm ph©n biÖt th× ph−¬ng tr×nh bËc hai cña t ph¶i cã c¶ hai nghiÖm t2 ≥ t1 ≥ 2 4 3 §¸p sè: m < 0 hoÆc
g( x ) ≥ 0 g( x ) ≥ 0 5) f ( x ) = g ( x ) ⇔  ⇔  f (x) = g (x)  f ( x ) = ± g( x ) 2 6) f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) ⇔ [ f ( x ) + g( x )].[ f ( x ) − g( x )] = 0 ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) 2 2 7) Trong tr−êng hîp cã nhiÒu dÊu trÞ tuyÖt ®èi: a1 A1 + a2 A2 + ... + a2 An = 0 trong ®ã ai;Ai lµ c¸c biÓu thøc chøa x, ta dïng ®Þnh nghÜa  A nÕu A ≥ 0 A = -A nÕu A
28 Tãm l¹i ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ x = 0; x = 3 2. Quy t¾c thay gi¸ trÞ. Sö dông h»ng ®¼ng thøc (u + v)3 = u3 + v 3 + 3uv(u + v) Tõ biÓu thøc u+v=a dÔ dµng suy ra: u3 + v3 + 3uv.a = a3 Tuy nhiªn, phÐp thÕ gi¸ trÞ u+v=a nµy vµo biÓu thøc lËp ph−¬ng cã thÓ dÉn ®Õn mét phÐp b×nh ph−¬ng vµ phÐp biÕn ®æi nµy kh«ng cßn lµ phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng, do ®ã cã thÓ cã nghiÖm ngo¹i lai. VÝ dô 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 x + 34 − 3 x − 3 = 1 Gi¶i LËp ph−¬ng hai vÕ ph−¬ng tr×nh ®· cho ta cã: x + 34 − 3 3 ( x + 34)( x − 3).[ 3 x + 34 − 3 x − 3] = 1 ⇔ 3 x 2 + 31x − 102 = 12 ⇔ x 2 + 31x − 1830 = 0  x = 30 ⇔  x = −61 Thö l¹i hai nghiÖm trªn tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ: x=30 vµ x=-61. 3. Quy t¾c h÷u tØ ho¸ Mét trong nh÷ng ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh chøa c¨n thøc lµ chuyÓn bµi to¸n ®· cho vÒ d¹ng h÷u tØ b»ng c¸ch ®Æt Èn phô VÝ dô 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( x + 1)( x + 4) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6 Gi¶i §Æt x 2 + 5 x + 2 = t ®iÒu kiÖn t ≥ 0 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi: t ≥ 0 2 ⇔t=4 t − 3t − 4 = 0  x = −7 Tõ ®ã x 2 + 5x + 2 = 4 ⇔  x = 2 VÝ dô 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4 5 − x + 4 x −1 = 2 Gi¶i §iÒu kiÖn: 1 ≤ x ≤ 5 2 2 2 §Æt 4 x − 1 = y + ;− ≤y≤ 2 2 2
2 4 2 4 khi ®ã x = ( y + ) + 1; 4 5 − x = 4 4 − ( y + ) 2 2 Tõ ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh 2 4 2 4 4 − (y + ) +y+ = 2 2 2 2 4 2 4 ⇔ (y + ) + (y − ) =4 2 2 2 2 2 2 1 ⇔ [( y + ) − (y − ) ] + 2( y 2 − )2 = 4 2 2 2 7 2 ⇔ 2y4 + 6y2 − =0⇔y=± 2 2 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm:  2 2 4 x = ( + ) +1 = 5  2 2  2 2 4  x = (− + ) +1 = 1  2 2 4. Ph−¬ng ph¸p chuyÓn vÒ hÖ ( ph−¬ng ph¸p h÷u tØ ho¸ gi¸n tiÕp) Nh×n chung, c¸c ph−¬ng tr×nh v« tØ ®Òu cã thÓ chuyÓn ®−îc vÒ mét hÖ h÷u tØ. Tuy nhiªn, kh«ng ph¶i lóc hÖ nhËn ®−îc còng cã tÝnh −u viÖt. Th«ng th−êng, phÐp chuyÓn vÒ hÖ sÏ cã hiÖu qu¶ khi c¸c phÐp to¸n cã sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc quen biÕt. VÝ dô 5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 1 4 x + 2−x = 2 Gi¶i §iÒu kiÖn: 0 ≤ x ≤ 2.  2−x =u §Æt   ;0 ≤ u ≤ 2;0 ≤ v ≤ 4 2 4 x = v  Khi ®ã ta cã hÖ ®èi xøng lo¹i I.  1   u+v = 1 u = ( 2 − 4)   2 ⇔ u 2 + v 4 = 2 ( 1 − 4)2 + v 4 = 2(1)   2  Gi¶i (1): 1 v 4 + v 2 − 2v + =2 2 1 ⇔ (v 4 + 2v 2 + 1)2 − (v 2 + 2v + ) = 0 2 1 2 ⇔ (v 2 + 1)2 − (v + ) =0 2 1 1 ⇔ (v 2 + v + 1 + )(v 2 − v + 1 − )=0 2 2 VÕ tr¸i lu«n d−¬ng, vËy ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm
VÝ dô 6. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 + x + 5 = 5 Gi¶i §Æt x + 5 = t; t ≥ 0 ⇒ t = x + 5 . Khi ®ã ta cã hÖ 2 x2 + t = 5  x 2 + t = 5 2 ⇔ t − x = 5  ( x + t )( x − t + 1) = 0 x ≤ 0  t = − x ≥ 0   2   x = 1 ± 21  1 − 21 x − x −5= 0  x =  ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 t = x + 1 ≥ 0   x ≥ −1  −1 + 17   x =  2   x + x − 4 = 0   x = −1 ± 17 2   2 VÝ dô 7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh d¹ng: ax 2 + bx + c = Ax + B §Æt Ax + B = α y + β Khi ®ã ta cã hÖ:  ax 2 + bx + c = α y + β   (α y + β ) = Ax + B 2  Trong mét sè tr−êng hîp ta cã thÓ chän α vµ β sao cho hÖ trªn lµ ®èi xøng lo¹i II VÝ dô:Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 − 2x = 2 2x − 1 1 §iÒu kiÖn x ≥ 2 §Æt 2 x − 1 = α y + β . Khi ®ã ta cã hÖ:  x 2 − 2 x = 2(α y + β )   x 2 − 2 x = 2α y + 2 β   ⇔ 2 2 (α y + β ) = 2 x − 1 α y + 2αβ y = 2 x − 1 − β 2 2   Chän α vµ β sao cho hÖ trªn lµ ®èi xøng lo¹i II ; tøc lµ α2 2αβ 2 −1 − β 2 = = = ⇒ α = 1; β = −1 1 −2 2α 2β VËy ta ®Æt 2 x − 1 = y − 1 Khi ®ã ta cã hÖ ®èi xøng lo¹i II:
 x 2 − 2 x = 2( y − 1)  1  2 ( x ≥ ; y ≥ 1)  y − 2 y = 2( x − 1)  2 y = x  2  x 2 − 2 x = 2( y − 1)  ⇔ 2 x − 4x + 2 = 0 ⇔ x = y = 2 ± 2 ⇔ x − y = 0  2 y = −x   2   x = −2 §èi chiÕu víi c¸c ®iÒu kiÖn cña x vµ y ta ®−îc nghiÖm duy nhÊt cña ph−¬ng tr×nh: x = 2+ 2 5.Ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö. Mét trong nh÷ng néi dung khã nhÊt cña ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh chøa c¨n chÝnh lµ x¸c ®Þnh tiªu chuÈn ®Ó mét biÓu thøc chøa c¨n cã thÓ ph©n tÝch ®−îc thµnh nh©n tö. Tuy nhiªn, dùa vµo ®Æc thï riªng cña tõng bµi to¸n, cã thÓ xem mét bé phËn thÝch hîp cña biÓu thøc ®· cho nh− mét biÕn sè ®éc lËp vµ ph©n tÝch chóng theo biÕn phô ®ã. VÝ dô 8. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4 1 + x − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2 (1) Gi¶i Ph©n tÝch: Coi 1 − x = t nh− mét biÕn ®éc lËp. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 4 1 + x − 1 = 3(1 − t 2 ) + 2t + t. 1 + x (2) ⇔ 3t 2 − (2 + 1 + x )t + 4( 1 + x − 1) = 0 Còng nh− vËy nÕu coi 1 + x = t lµ Èn phô míi th× còng cã mét ph−¬ng tr×nh t−¬ng tù. Tuy nhiªn, sù may m¾n ®Ó gi¶i ®−îc ph−¬ng tr×nh (2) th−êng lµ Ýt x¶y ra. §ã chÝnh lµ ®iÓm khã nhÊt vµ quan träng nhÊt trong ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô kh«ng toµn phÇn kiÓu nµy: Th«ng th−êng, tr−íc khi gi¶i cÇn xÐt biÓu diÔn cña sè h¹ng 3x d−íi d¹ng tæ hîp cña hai sè : ( 1 − x )2 ;( 1 + x )2 : 3x = α (1 − x ) + β (1 + x ) + γ vµ chän α ;β ; γ thÝch hîp ®Ó tam thøc bËc hai theo biÕn t cã biÖt thøc ∆ b»ng 0. Gi¶i:§iÒu kiÖn -1≤ x ≤ 1 (1) §Æt 1 − x = t ; Ta cã: 3x = −(1 − x ) + 2(1 + x ) − 1 = −t 2 + 2( x + 1) − 1 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng: 4 1 + x − 1 = −t 2 + 2( x + 1) − 1 + 2t + 1 + x .t ⇔ t 2 − (2 + 1 + x )t + 4 1 + x − 2(1 + x ) = 0 (3) ∆ = (2 − 3 1 + x )2 t = 2 1 + x  1− x = 2 1+ x  3 ⇒ ⇔ ⇔ x = − 5 t = 2 − 1 + x  1− x = 2 − 1+ x    x = 0 3 VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x = 0 hoÆc x=- 5 B.Bµi tËp tù gi¶i Bµi 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 − 5 x + 4 = x + 4
Bµi 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x −1 − 2 x − 2 + 3 x − 3 = 4 Bµi 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3 Bµi 4.Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 2x-1 = x . 3 16 − 3 2x+1 Bµi 5.Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 x 2 + x + 2 + 3 -x 2 − x + 2 = 3 4 Bµi 6.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2x 2 − 6x − 1 = 4x + 5 Bµi 7.Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 + 2 = 8x − 8 Bµi 8.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 4 4x + 1 = x Bµi 9.Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 + x + 12 x + 1 = 36 Bµi 10.Gi¶i ph−¬ng tr×nh x3 + 1 = 2 3 2x − 1 Bµi 11.Gi¶i ph−¬ng tr×nh (4 x − 1). x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1 Bµi 12. (§H B¸ch khoa 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2 Bµi 13. (§H S− ph¹m hµ néi II 2000)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x ( x − 1) + x ( x + 2) = 2 x 2 Bµi 14. (§H Má 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + 4 − x2 = 2 + 3 4 − x2 Bµi 15. (Häc viÖn BCVT 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x +3 4 x + 1 − 3x − 2 = 5 Bµi 16. (§H Ngo¹i ng÷ HN 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + 1 + 4 − x + ( x + 1)(4 − x ) = 5 Bµi 17. (§H Quèc gia Hµ néi 2001)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1 Bµi 18. (§H S− ph¹m Vinh 2000)Gi¶i ph−¬ng tr×nh x −1+ 2 x − 2 − x −1− 2 x − 2 = 1