Phương trình vi phân

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

488
lượt xem 97
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biễu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình sai phân đóng vai trò cực kì quan trọng trong kĩ thuật, vật lí, kinh tế và một số ngành khác. Ví dụ: một phương trình sai phân đơn giản

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình vi phân

Phương trình vi phân Bài 8B PGS. TS. NGUY N XUÂN TH O Chương 7 H P HI TUY N V À CÁC HI N T Ư NG § 7.1. Nghi m cân b ng và tính n nh •S n nh c a nghi m kì d 1. tv n i v i m t phương trình vi phân b t kì không ph i luôn tìm ư c nghi m • tư ng minh • Ngay c khi không tìm ư c nghi m tư ng minh thì v n c n nh n ư c nh ng thông tin có giá tr v nghi m; ch ng h n như tính không b ch n, b ch n, tu n hoàn c a nghi m, ... minh ho qua m t s ví d dư i ây Ví d 1. G i x(t) là nhi t c a m t v t th v i nhi t ban u x(0) = x0. th i i m t = 0 v t th ư c nhúng trong m t dung d ch có nhi t không i b ng A. Theo nh lý làm ngu i c a Newton thì dx = −k ( x − A ) (k > 0, k = const) dt • S d ng phương pháp tách bi n, nh n ư c nghi m x(t) = A + (x0 - A)e-kt rõ ràng r ng lim x (t ) = A t →∞ Hình 7.1.1. Các ư ng cong nghi m i n hình c a phương trình làm ngu i c a dx Newton = −k ( x − A ) dt 1
dx Ví d 2. Xét phương trình v tăng trư ng dân s = f (x) dt ó f ( x ) là t l sinh và t l t vong c a các cá th trong m t ơn v th i gian. ây là phương trình Otonom c p 1. • • N u f ( c ) = 0 thì có x(t) = c là nghi m. Nghi m h ng s c a m t phương trình vi phân còn ư c g i là nghi m cân b ng. • Như v y c trưng nghi m c a phương trình otonom c p 1 có th ư c mô t qua các i m kỳ d c a phương trình. dx Ví d 3. Xét phương trình Logistic = kx (M − x ) , ó k > 0, M > 0. dt • Có 2 i m kỳ d , ó là các nghi m x = 0 và x = M • Có nghi m (t m c 1.7) là Mx0 x(t ) = x0 + (M − x0 )e −kMt •T ó có x ( t ) = 0 và x ( t ) = M là nghi m cân b ng Hình 7.1.3. Các ư ng cong nghi m i n hình dx c a phương trình = kx (M − x ) dt 2. S n nh c a các i m kỳ d i m kỳ d x = c c a 1 phương trình vi phân c p 1, otonom, ư c g i là n • nh n u ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: |x0-c| < δ thì có |x(t) - c| < ε, ∀t > 0. i m kỳ d x = c ư c g i là không n nh, n u nó không là i m n nh. • 2
Ví d 4. Hình 7.1.4. Các ư ng cong nghi m, ph u và vòi c a phương trình dx = 4x − x2 dt • Hình 7.1.4 cho cách nhìn "r ng hơn" v ư ng cong nghi m c a m t phương trình logistic v i k = 1 và M = 4. Chú ý r ng d i 3,5 < x < 4,5 (bao l y ư ng x = 4) gi ng như cái ph u c a các ư ng cong nghi m: khi di chuy n t trái sang ph i thì các ư ng cong nghi m chui vào ph u và l i trong ó. Ngư c l i, d i -0,5 < x < 0,5 (bao l y ư ng cong nghi m không n nh x = 0) gi ng như 1 cái vòi: các ư ng cong nghi m i vào d i r i sau ó i ra kh i d i. V y i m kỳ d x = M = 4 là i m n nh, còn i m kỳ d x = 0 là i m không n nh. dx Ví d 5. Xét phương trình n /t t = kx ( x − M ) , x ( 0 ) = x0 . dt • Có 2 i m kỳ d là x = 0 và x = M tương ng v i các nghi m cân b ng x(t) = 0 và x(t) = M. Mx0 • Nghi m tho mãn i u ki n ban u là x(t ) = x0 + (M − x0 )e kMt Hình 7.1.6. Các ư ng cong nghi m i n hình c a phương trình dx = kx ( x − M ) dt • M t d i h p quanh nghi m n nh x = 0 ư c xem như m t cái ph u, trong khi m t d i d c theo ư ng cong nghi m x = M ư c xem như m t cái vòi c a các ư ng cong nghi m. Tính ch t các nghi m c a phương trình (9) ư c tóm 3
t t b i sơ pha Hình 7.1.7. i m kỳ d x = 0 là i m n nh, còn i m kỳ d x = M là i m không n nh. dx Hình 7.1.7. Bi u pha i n hình c a phương trình = f ( x ) = kx ( x − M ) dt a) Bùng n dân s dx = ax − bx 2 − h Phương trình vi phân otonom dt v i a > 0, b > 0, h > 0 ư c coi là phương trình mô t vi c bùng n dân s . dx Ví d 6. Xét phương trình vi phân = kx (M − x ) − h (2.1) dt • Phương trình này th hi n s dân t i h n M khi h = 0 mà không có bùng n dân s . kM ± (kM )2 − 4hk • Các i m kỳ d H , N = 2k nh sao cho 4h < kM2, khi ó các căn c a H, N • Gi s t l bùng n h u th c và khi 0 < H < N < M, ta vi t l i phương trình dư i d ng: dx = k (N − x )( x − H ) dt N ( x0 − H ) − H ( x0 − N )e −k (N − H )t • Có nghi m x(t ) = ( x0 − H ) − ( x0 − N )e −k (N − H )t Hình 7.1.8. Các ư ng cong nghi m i n hình c a phương trình dx = k (N − x )( x − H ) dt • V y ư ng cong nghi m ư c mô t như Hình 7.1.8 (d th y m t ph u c a nghi m d c theo ư ng x = N và m t vòi c a nghi m d c theo ư ng x = H). 4
Nghi m h ng x(t) = N là nghi m t i h n cân b ng, còn nghi m h ng x(t) = H là nghi m ngư ng cân b ng nghi m này chia các nghi m thành 2 nhánh: n u x0 > H thì dân s t n giá tr N, n u x0 < H thì dân s gi m d n. i m kỳ d n nh x = N và i m kỳ d không n nh x = H, ư c mô t sơ • pha trong Hình 7.1.9 dx Hình 7.1.9. Sơ pha c a phương trình = f ( x ) = k (N − x )( x − H ) dt Ví d 7. Chúng ta xét m t ng d ng c th v các k t lu n n nh ví d 6, v i gi thi t r ng k = 1 và M = 4 v i lư ng cá trong h là x(t) g m hàng trăm l n ki m tra sau t năm. Dù cá không b câu thì cu i cùng trong h v n còn kho ng 400 con, cho dù s cá ban d u v i s lư ng như th nào. Bây gi , gi s h = 3 cho hàng năm thu ho ch ư c 300 con ( m c h ng s qua các năm), khi dx ó phương trình (2.1) tr thành = x ( 4 − x ) − 3 , và phương trình b c 2: dt -x2 + 4x - 3 = 0 = (3 - x).(x - 1) = 0 có các nghi m là H = 1, N = 3. Do v y lư ng cá ngư ng cân b ng là 100 con và ngư ng t i h n cân b ng là 300 con. Tóm l i, n u trong h ban u có hơn 100 con, thì s cá s t giá tr t i h n 300 con khi th i gian t tăng lên. Nhưng n u lư ng cá ban u trong h ít hơn 100 con, thì h s b "câu h t" và s lư ng cá s h t sau m t kho ng th i gian h u h n. b) S r nhánh và tính c l p các tham s • M t h sinh h c ho c m t h v t lý, ư c c trưng b i m t phương trình vi phân, s ph thu c r t nhi u vào giá tr c a các h s hay các tham s có m t trong phương trình. Ch ng h n, s lư ng các i m kỳ d c a m t phương trình vi phân có th b thay i t ng t khi thay i giá tr c a m t tham s . dx Ví d 8. Phương trình vi phân = x( 4 − x ) − h dt (x có giá tr hàng trăm) c trưng cho s bùng n dân s (2.1) khi k = 1 và cho s dân t i h n khi M = 4. Trong Ví d 7, chúng ta ã xét trư ng h p h = 3 và th y r ng ngư ng t i h n cân b ng là N = 300 và s dân ngư ng cân b ng là H = 100. Các ư ng cong nghi m i n hình, bao g m c các nghi m cân b ng x(t) = 3 và x(t) = 1, ư c mô t Hình 7.1.8. • Khi k = 1 và M = 4, dân s t i h n N và s dân t ngư ng H là 1 H , N = (4 ± 16 − 4h ) = 2 ± 4 − h (2.2) 2 5
dx = k(N − x)( x − H) Hình 7.1.8. Các ư ng cong nghi m i n hình c a phương trình dt • N u h < 4: khi ó chúng ta có các nghi m cân b ng x(t) ≡ N và x(t) ≡ H, v i N > H, như Hình 7.1.8. • N u h = 4: Khi ó phương trình (2.2) cho k t qu H = N = 2, nên phương trình vi phân ch có nghi m cân b ng x(t) ≡ 2. Trong trư ng h p này các ư ng cong nghi m c a phương trình ư c mô t như hình 7.1.10. dx Hình 7.1.10. Các ư ng cong nghi m c a phương trình = x( 4 − x ) − h v i h = 4 dt N u s cá ban d u x0 ( ơn v là 100) vư t quá 2, thì lư ng cá t n s lư ng t i h n 200 con. Tuy nhiên, v i m i lư ng cá ban u x0 < 200 s d n n tình tr ng suy gi m do cá ch t – m t h u qu c a s b i tăng 400 con/năm. • N u h > 4: khi ó H, N không là s th c, nên bài toán không có nghi m n nh. Lúc này, các ư ng cong nghi m gi ng như các ư ng cong Hình 7.1.11 và cá ch t d n (dù v i b t kỳ s lư ng nào ban u), do h u qu c a b i tăng 400 con/năm. dx Hình 7.1.11. Các ư ng cong nghi m c a phương trình = x( 4 − x ) − h v i h = 5 dt 6
• N u chúng ta tăng d n giá tr c a tham s h thì hình dáng các ư ng cong nghi m thay i t Hình 7.1.8. v i h < 4 n Hình 7.1.10 v i h = 4 và hình 7.1.11 v i h > 4. V y phương trình vi phân ã cho: - Có 2 i m kỳ d khi h < 4 - Có 1 i m kỳ d khi h = 4 - Không có i m kỳ d nào khi h > 4 • Giá tr h = 4 mà ng v i nó, b n ch t nghi m c a phương trình vi phân s thay i khi h tăng, ư c g i là i m r nhánh c a phương trình vi phân có ch a tham s h. M t phương pháp chung th y ư c s "r nhánh" c a các nghi m, là v sơ r nhánh g m các i m (h, c), trong ó c là i m kỳ d c a phương trình x' =x(4 - x) +h. Ch ng h n, n u chúng ta vi t (2.2) dư i d ng c = 2 ± 4 − h ; (c − 2)2 = 4 − h , trong ó C = N ho c C = H, chúng ta s có ư ng parabol như Hình 7.1.12. Parabol này là sơ r nhánh c a phương trình vi phân mô t s tăng trư ng dân s . Hình 7.1.12. Parabol (c - 2)2 = 4 - h là sơ r nhánh c a phương trình x' = x(4 - x) - h 7
§ 7.2. Tính n nh và m t ph ng pha • nh pha • Tính ch t c a i m t i h n 1. tv n a) Nhi u hi n tư ng t nhiên ư c c trưng b i h g m hai phương trình vi phân c p m t hai chi u dư i d ng sau (h otonom) dx = F ( x, y ) dt (1.1) dy = G( x, y ) dt ó F và G kh vi liên t c trong mi n R c a m t ph ng oxy ( ư c g i là m t ph ng pha c a h (1.1)). • V i ∀ (x0, y0) ∈ R, h trên luôn luôn t n t i nghi m duy nh t tho mãn các i u ki n u x(t0) = x0; y(t0) = y0 • Các phương trình x = x(t), y = y(t) mô t ư ng cong nghi m dư i d ng tham s trong m t ph ng pha • Qu o c a h (1.1) là m i ư ng cong nghi m như trên i qua m t i m c a mi n R i m t i h n c a h (1.1) là i m (x∗, y∗) sao cho F (x∗, y∗) = G(x∗, y∗) = 0, khi • ó các hàm h ng x(t) = x∗, y(t) = y∗ là nghi m cân b ng c a h (có qu o ch g m m t i m). b) Trong nh ng bài toán th c t , nh ng i m ơn gi n này cùng v i các qu o là các i tư ng ư c quan tâm nhi u nh t.  x ' = F ( x, y ) • Ch ng h n, gi s h c trưng cho 2 àn súc v t v i s lư ng   y ' = G( x, y ) x(t), y(t) s ng trong cùng m t môi trư ng và c nh tranh nhau v cùng lo i th c ăn ho c m i. i m (x∗, y∗) c a h cho th y s lư ng x∗ lo i này và s lư ng y∗ c a loài kia cùng t n t i song song. Còn n u (x1, y1) không ph i là i m t i h n thì không th có các s lư ng h ng s x1, y1 c a t ng loài cùng chung s ng mà ph i x y ra s lư ng c a m t ho c c hai s ph i thay i theo th i gian.  dx 2  dt = 14 x − 2 x − xy  c) Ví d 1. Tìm các i m t i h n c a h   dy = 16 y − 2y 2 − xy  dt  • Xét h phương trình sau 8
2   x (14 − 2 x − y ) = 0 14 x − 2 x − xy = 0   ⇔ 2  y (16 − 2y − x ) = 0 16 y − 2y − xy = 0    x = 0, 16 − 2y − x = 0 = 0, y = 8 x  y = 0, 14 − 2 x − y = 0 x = 7, y = 0  ⇔ 14 − 2 x − y = 0, 16 − 2y − x = 0 x = 4, y = 6   x = 0 = y = 0, y = 0 x • H có 4 i m t i h n (0, 0); (0, 8); (7, 0); (4, 6). • N u g i x(t) là s lư ng th , y(t) là s lư ng sóc và các s lư ng y là nh ng h ng s thì ch có 3 kh năng: +) không có th , ch có 8 sóc. +) có 7 th và không có sóc +) có 4 th và 6 sóc. • Như v y i m t i h n (4, 6) cho bi t kh năng duy nh t mà th và sóc cùng t n t i v i s lư ng khác 0. 2. nh pha • nh pha là m t b c tranh trên m t ph ng pha v các i m t i h n và các qu o không suy bi n. • M i qu o (không g m qu o ch có m t i m) là m t ư ng cong không suy bi n, không t c t.  x ' = 14 x − 2 x 2 − xy  Hình 7.2.1. Trư ng véc tơ và nh pha c a h  2  y ' = 16 y − 2y − xy  Hình 7.2.1. th hi n trư ng véc tơ và nh pha c a h th - sóc Ví d 1. Các mũi tên c a trư ng véc tơ th hi n hư ng chuy n ng c a i m (x(t), y(t)). Chúng ta th y r ng khi cho s lư ng th x0 ≠ 4 và s lư ng sóc y0 ≠ 6 thì i m (x(t), y(t)) chuy n ng d c theo m t qu o mà qu o ó ti n t i i m (4, 6) khi t tăng lên. 9
x ' = x − y  Ví d 2. Tìm i m t i h n c a h  2 y ' = 1 − x  x − y = 0 x = 1 = y  • Gi i h :  ⇔ 2  x = −1 = y 1 − x = 0  do ó h có 2 i m t i h n là (1, 1); (−1, −1). Hình 7.2.2. Trư ng véc tơ c a h Trư ng véc tơ th hi n trong hình 7.2.2 g i lên ý tư ng r ng các qu ot a tròn, i ngư c chi u kim ng h quanh i m (−1, −1), trong khi m t s qu o n i m (−1, −1), còn m t s qu o khác thì lùi xa kh i i m ó. Quan sát này ư c xác th c b i nh pha c a h cho trong hình 7.2.3. Hình 7.2.3. nh pha c a h 3. Tính ch t c a i m t i h n • Ngư i ta c bi t quan tâm t i tính ch t c a các qu o g nm t i mt i h n riêng r c a h otonom.  dx  dt = − x, x ( 0 ) = x0  Ví d 3. H tuy n tính otonom   dy = ky , (k = const , k > 0), y ( 0 ) = y 0  dt  − x = 0 • Có  ⇔ x = 0 = y nên h này ch có duy nh t m t i m t i h n (0, 0). ky = 0 10
• Nghi m c a h v i i u ki n u (x0, y0), là x(t) = x0e-t; y(t) = y0e-kt y y • N u x0 ≠ 0 thì có y = y0e-kt = 0 ( x0e −t )k = bxk, v i b = 0 . k k x0 x0 • B n ch t c a i m t i h n (0,0) tuỳ thu c vào tham s k là dương hay âm. theo các ư ng y = bxk +) Khi k >0: thì có i m (x(t), y(t)) d n t i g c to khi t → +∞. Hình d ng c a ư ng cong ph thu c vào l n c a k: y ∗) N u k = 1, khi ó y = bx (v i b = 0 ) là ư ng th ng i qua i m (x0, y0). x0 Các ư ng qu o là các ư ng th ng, ư c mô t Hình 7.2.4 Hình 7.2.4. M t nút thích h p; các hư ng d n n g c to nên nó là m t nút chìm ∗) N u k > 1 và x0, y0 cùng khác 0: khi ó ư ng cong y = bxk có ti p tuy n t i g c to chính là tr c x. nh pha ư c mô t Hình 7.2.5 ng v i k = 2, qu o là các ư ng parabol. Nói chính xác hơn: qu o là các bán tr c to x cùng v i các n a bên trái và các n a bên ph i c a các parabol này. Hình 7.2.5. M t nút không thích h p vì t t c các hư ng ti p xúc v i m t ư ng cong ơn; chúng d n n g c nên nó là m t nút chìm ∗) N u 0 < k < 1 và x0, y0 cùng khác 0, khi ó nh pha tương t như Hình 7.2.5, v i i m khác bi t là các ư ng y = bxk ti p xúc v i tr c y (ch không ph i v i tr c x) t i g c to . 11
• Các i m t i h n, như ư c mô t các Hình 7.2.4 và 7.2.5 ư c g i là i m nút. • Chính xác hơn, i m t i h n (x∗, y∗) c a h otonom (1.1) ư c g i là i m nút, n u tho mãn 2 i u ki n sau: - Ho c là m i qu o u ti n t i (x∗, y∗) khi t →+∞ ho c là m i qu o u r i xa i m (x∗, y∗) khi t →+∞ - M i qu o u ti p xúc v i ư ng th ng i qua (x∗, y∗) t i (x∗, y∗). • M t i m nút ư c g i là chính thư ng (" i m sao"), n u c m i c p hai qu o i di n khác nhau thì không có c p nào ti p xúc v i ư ng th ng i qua i m t i h n, như Hình 7.2.4. • Hình 7.2.5 m i qu o, tr ra m t c p 2 qu o i di n, u ti p xúc v i m t ư ng th ng i qua i m t i h n. i m nút ó ư c g i là i m nút phi chính. • M t i m nút ư c g i là i m nút lõm, n u m i qũy o u i n i m t i h n, và ư c g i là i m nút ngu n n u m i qu o u lùi xa i m nút. Như v y, g c to trong Hình 7.2.4 là m t i m nút lõm chính thư ng, còn Hình 7.2.5 thì g c to là m t i m nút lõm phi chính. ∗) Khi k < 0. Hình 7.2.6. i m yên ng a: các qu o tương t các ư ng vi n c a m t i m yên ng a trên m t ph ng pha. • Khi k < 0 thì các qu o gi ng v i qu o khi k = -1, ư c mô t Hình 7.2.6. N u x0 và y0 cùng khác 0 thì qu o tương ng Hình 7.2.6 là m t nhánh c a hypebol cân xy = b và |y(t)| → +∞ khi t → +∞. N u x0 = 0 ho c y0 = 0 thì qu o là bán tr c c a hypebol. i m (x(t), y(t)) d n n g c to theo tr c x r i l i xa g c to theo tr c y, khi t → +∞. V y có 2 qu od n n i m t i h n (0, 0) nhưng chúng u không b ch n khi t → +∞. i m t i h n d ng này, khi ư c mô t Hình 7.2.6 ư c g i là i m yên ng a. 12
a) S n nh • i m t i h n (x∗, y∗) c a h otonom (1.1) ư c g i là n nh n u khi i m u (x0, y0) g n (x∗, y∗) thì i m (x(t), y(t)) luôn g n i m (x∗, y∗), ∀ t > 0. Ví d : i m nút lõm ư c mô t Hình 7.2.4 và Hình 7.2.5 là các i m nút n nh. i m t i h n (x∗, y∗) ư c g i là không n nh n u nó không là i m n nh. • • Ví d : i m yên ng a (0, 0) Hình 7.2.6 là i m không n nh.  dx  dt = x  Ví d 4. Xét h   dy = ky (k = const , k > 0)  dt  • H có nghi m x(t) = x0et, y(t) = y0ekt. • Xét k = 1 ho c k = 2, khi ó m i trư ng h p, i m nút (0, 0) là m t i m nút ngu n, là i m nút không n nh. • N u i m t i h n là (x∗, y∗), khi ó nghi m cân b ng x(t) = x∗, y(t) = y∗ ư c g i là nghi m n nh ho c không n nh tuỳ thu c vào b n ch t c a i m t i h n. • N u x(t) và y(t) l n lư t là s lư ng th và s lư ng sóc thì ý nghĩa c a i m n nh là: các thay i nh (có th do t l sinh và t ) trong môi trư ng cư dân cân b ng s không làm v tính cân b ng. Các qu o v n g n i m cân b ng nhưng không d n t i i m cân b ng Ví d 5. Gi s m t v t kh i lư ng m dao ng không b hãm, v i h ng s Hooke là k sao cho hàm v trí x(t) tho mãn phương trình vi phân x" + ω2x = 0 (trong ó dx ω2 = k/m). G i y = là v n t c c a v t, chúng ta s có h phương trình: dt  dx  dt = y    dy = −ω 2 x  dt  • H có nghi m t ng quát là: x ( t ) = A cos ωt + B sin ωt y ( t ) = − Aω sin ωt + Bω cos ωt A2 + B 2 ; A = C cosα; B = C sinα. óC= • Ta vi t l i x(t) = C cos(ωt - α) y(t) = -ωC sin (ωt - α) 13
x2 y2 =1 thì có qu o là ư ng elíp có phương trình + 2 2 (ωC ) C 1 Hình 7.2.7. Trư ng véc tơ và các qu o elíp c a h x' = y, y ' = − x. 4 i m (0, 0) là tâm n nh 1 • Hình 7.2.7 mô t nh pha (v i ω = ). 2 • M i nghi m không t m thư ng c a h ã cho là tu n hoàn, m i qu oc a h là ư ng cong kín, ơn bao l y i m t i h n (0,0). Hình 7.2.8. N u (x0, y0) thu c ư ng tròn tâm 0 bán kính δ thì i m (x(t), y(t)) thu c ư ng tròn tâm 0 bán kính ε i m (0, 0) là i m t i h n n nh c a h ã cho. M t i m t i h n n nh • ư c bao b i các qu o kín tu n hoàn, ư c g i là m t tâm. b) S n nh ti m c n • i m t i h n (x∗, y∗) ư c g i là n nh ti m c n n u nó là i m n nh và m i qu o g n (x∗, y∗) u ti n n (x∗, y∗) khi t →+∞. 14
Hình 7.2.4. M t nút thích h p; các hư ng d n n g c to nên nó là m t nút chìm Hình 7.2.5. M t nút không thích h p vì t t c các hư ng ti p xúc v i m t ư ng cong ơn; chúng d n n g c nên nó là m t nút chìm i m t i h n (0, 0) trong các Hình 7.2.4 và 7.2.5 là n nh ti m c n. • 1 Hình 7.2.7. Trư ng véc tơ và các qu o elíp c a h x' = y, y ' = − x. 4 i m (0, 0) là tâm n nh 15
• i m (0, 0) ư c th hi n Hình 7.2.7 là n nh nhưng không là n nh ti m cn Ví d 6. Xét ví d 5 ó m = 1 và k = 2 và gi s v t ư c g n li n v i m t bình v i h s c n c = 2. Hàm d ch chuy n x(t) c a v t tho mãn phương trình vi phân c p hai: x"(t) + 2x'(t) + 2x(t) = 0 (3.1)  dx  dt = y  t y = x' chúng ta có h c p m t tương ương  (3.2) •  dy = −2 x − 2y  dt  • H (3.2) có i m t i h n là (0, 0). c trưng là r 2 + 2r + 2 = 0 ⇔ r1,2 = −1 ± i , do • (3.1) có phương trình óh (3.2) có nghi m t ng quát là: x(t) = e-t (Acost + Bsint) = Ce-t cos(t - α) π y(t) = e-t [(B - A)cost - (A + B)sint] = -C 2 e-t sin (t-α + ) 4 B v i C = A2 + B 2 , α = tan−1    A Hình 7.2.9. M t i m n nh ki u xo n c và 1 qu o g n nó. • (0, 0) là i m n nh ti m c n c a h trên • M t i m n nh ti m c n mà các qu o chuy n ng xo n c quanh nó và ti n n nó, ư c g i là i m n nh xo n (hay i m n nh xo n lõm). • M t i m không n nh mà các qu o xo n quanh i m ó và chuy n ng xa d n nó, ư c g i là i m không n nh xo n (hay i m ngu n xo n). 16
§ 7.3. H tuy n tính và á tuy n tính i mt ih n • •S n nh c a h tuy n tính •S n nh c a h á tuy n tính 1. tv n • Trong m c 5.2 ã ưa ra các khái ni m c a i m n nh, n nh ti m c n, … • Nghiên c u tính n nh c a các h tuy n tính và á tuy n tính 2. i m t i h n • i m t i h n ư c g i là cô l p n u như có m t lân c n sao cho lân c n ó không ch a i m t i h n nào  dx  dt = f ( x, y )  • Xét h otonom (h t i u khi n)   dy = g ( x, y )  dt  có i m t i h n cô l p (x0, y0) v i f(x0, y0) = g(x0, y0) = 0. • Không gi m tính t ng quát, ta có th gi thi t r ng h otonom nói trên có i m (0, 0) là i m t i h n cô l p (luôn có ư c v i phép i bi n u = x - x0; v = y - y0)  dx  dt = x (3 − x − y )  Ví d 1. Xét h phương trình vi phân:   dy = y (1 − 3 x + y )  dt  • Có i m (1, 2) là i m t i h n cô l p  du 2  dt = (u + 1)( −u − v ) = −u − v − u − uv  i bi n: u = x - 1; v = y - 2 có h  •  dv = (v + 2)( −3u + v ) = −6u + 2v + v 2 − 3uv  dt  có (0,0) là m t i m t i h n cô l p. 17
Hình 7.3.1. Hình yên ng a quanh Hình 7.3.2. Hình yên ng a quanh i m (1,2) c a h i m (0,0) c a h tương ương  x / = 3 x − x 2 − xy u / = −u − v − u 2 − uv   c a Ví d 1 / / 2 2  y = y + y − 3 xy v = −6u + 2v + v − 3uv   • Hai m t ph ng pha trong lân c n hai i m t i h n tương ng trông hoàn toàn như nhau. a) Tuy n tính hoá t i i m t i h n u′ = f ( x0 + u, y 0 + v )  • H phi tuy n t ng quát  v ′ = g ( x0 + u, y 0 + v )  v i các hàm f ( x, y ) , g ( x, y ) kh vi liên t c quanh i m c nh ( x0 , y 0 )  du  dt = fx ( x0 , y 0 )u + fy ( x0 , y 0 )v  • H trên ư c x p x v i h tuy n tính:   dv = g ( x , y )u + g ( x , y )v x00 y00  dt   dx  dt = x (3 − x − y )  Ví d 2. H   dv = y (1 − 3 x + y )  dt  • Có i m t i h n là (1, 2 ) • Ta có fx (1, 2 ) = ( 3 − 2 x − y ) = −1; (1, 2) fy (1, 2 ) = − x =1 (1, 2 ) g x (1, 2 ) = −3 y = −6 ; (1, 2 ) 18
g y (1, 2 ) = (1 + 2y − 3 x ) =2 (1, 2) u / = −u − v  •T ó có h tuy n tính hoá:  / v = −6u + 2v  b) i m t i h n c a h tuy n tính  x /  a b  x  • Xét h tuy n tính   =  (3.3) d  y   y /  c    Cho (0,0) là i m t i h n cô l p c a H (3.3), khi ó b n ch t c a i m này ph a b  thu c vào hai giá tr riêng λ1 và λ2 c a ma tr n A =  , bao g m: d c   + th c và khác nhau nhưng cùng d u + th c và khác nhau nhưng trái d u + th c và b ng nhau + hai s ph c liên h p v i ph n th c khác không + s thu n o. • Trong m i trư ng h p i m t i h n (0,0) gi ng các i m mà ta ã g p trong M c 7.2: i m nút, i m yên ng a, i m xo n c ho c tâm. Giá tr riêng c a A Phân lo i i m t i h n Th c, khác nhau, cùng d u Nút phi chính Th c, khác nhau, trái d u i m yên ng a Th c và b ng nhau Nút chính ho c phi chính Ph c liên h p i m xo n c Thu n o Tâm Hình 7.3.9. L p các i m t i h n (0,0) c a h hai chi u x / = Ax − Giá tr riêng th c khác nhau nhưng cùng d u ∗) N u λ1, λ2 > 0 thì ( 0, 0 ) là nút phi chính (ngu n nh) ∗) N u λ1, λ2 < 0 thì ( 0, 0 ) là nút phi chính (ngu n nh chìm) 1 7 3 Ví d 1. a) Ma tr n A = 8  −3 17    • Có λ1 = 1, λ2 = 2 , (0,0) là i m nút phi chính. 1  −7 −3  b) Ma tr n B = − A = 8 3 − 17    19
• Có giá tr riêng λ1 = −1 và λ2 = −2 , có (0,0) là nút lõm phi chính (ngu n nh chìm). − Giá tr riêng th c khác nhau nhưng trái d u: λ ∗) Khi 1 < 0 có ( 0, 0 ) là i m yên ng a không n nh λ2 1 5 −3  Ví d 2. A = 4 3 − 5   λ1 • Có giá tr riêng λ1 = 1, λ2 = −1 có < 0 , do ó ( 0, 0 ) là i m yên ng a λ2 Hình 7.3.6. Nút chìm phi chính Ví d 2. − Giá tr riêng ph c liên h p Có giá tr riêng λ1, 2 = p ± iq ∗) N u p > 0 thì ( 0, 0 ) là i m xo n c ∗) N u p < 0 thì ( 0, 0 ) là i m lõm xo n c. 1  −10 15  Ví d 3. Ma tr n A = 4  −15 8   1 1 Có các giá tr riêng λ = − ± 3i , vì p = − < 0 nên (0,0) là lõm xo n c. 4 4 20