intTypePromotion=1
ADSENSE

Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết tích phân

Chia sẻ: Ha Van Quyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:20

62
lượt xem
8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác một số dạng toán nguyên hàm và tích phân khó trong chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau: Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề. Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio). Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học. Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính tích phân.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết tích phân

  1. 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Tích phân là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán   lớp 12. Để  hoàn thành tốt được kiến thức phần này thực sự  không đơn giản.  Đặc biệt nói đến tính phân các hàm số  lượng giác là một dạng tích phân khó.  Nếu đi sâu vào các hàm số lượng giác nữa thì lại càng khó. Trong các dạng tích  phân về  hàm số  lượng giác ta thường gặp một số dạng: Mẫu số là dạng thuần  nhất của sin, của cosin, đẳng cấp bậc nhất, bậc hai của sin và cosin... Để  giải   quyết cơ bản được các dạng toán này ta sử dụng phương pháp tích phân liên kết   là một trong những phương pháp hữu hiệu nhất. Hơn nữa từ  năm học 2016 –   2017 Bộ  giáo dục và đào tạo có sự  thay đổi lớn trong kỳ  thi THPT Quốc gia  trong đó môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm. Đây là vấn đề khó khăn   cho học sinh. Vì ngoài việc giải quyết tốt bài toán còn đòi hỏi phản ứng nhanh,   tính toán chính xác để  đưa ra kết quả nhanh kịp với thời gian quy định. Do vậy  với bản chất là một dạng toán khó, đòi hỏi sự  lập luận, suy luận cao, tư  duy   lôgic cộng với việc tính toán nhanh thì đây chính là thách thức đối với học sinh   lớp 12. Từ  những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định  chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán  nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết tích phân’’ làm đề  tài  sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2017 – 2018. Rất mong nhận  được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được   hoàn thiện hơn.    1.2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề  tài là hình thành  cách tính nhanh, chính xác  một số  dạng toán nguyên hàm và tích phân khó trong chương trình Giải tích 12  nhằm rèn luyện các kỹ  năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh   những năng lực sau: ­ Năng lực tư  duy, năng lực tính toán, năng lực tự  học và giải quyết vấn   đề. ­ Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio). ­ Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học. ­ Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính tích phân. 1.3. Đối tượng nghiên cứu 1
  2. Đối   tượng   nghiên cứu   của  đề  tài  là  phương  pháp  tích phân  liên kết ­  Chương III – Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ  năng và phát triển các năng lực  Toán học của học sinh. 1.4. Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm ­ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo   sát thực tế  dạy học phần nguyên hàm và  tính tích phân  ở  trường THPT Triệu   Sơn 3 để  từ  đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng phương pháp tích   phân liên kết trong việc nâng cao chất lượng dạy học.    ­ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ  sở  lý thuyết: Dựa vào sách giáo  khoa Giải tích 12 ­ Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 ­ Nâng cao và   Cơ  bản, tài liệu phân phối chương trình,  tài liệu về  dạy học theo định hướng   phát triển năng lực học sinh.  ­ Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử  lý số  liệu trên lớp  thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.  2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để  giải  quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng. Nó giúp ta có định hướng tìm được lời   giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết  kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương   thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, t ập trung dạy cách  học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh ... là một nhiệm  vụ quan trọng của người giáo viên. Trong bài “Nguyên hàm và tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa   ra hai phương pháp tính nguyên hàm và tích phân là đổi biến số  và từng phần.  Đây là hai phương pháp cơ  bản nhất, giải quyết được khá nhiều các bài tập  nguyên hàm và tích phân. Tuy nhiên trong một số dạng bài tập tích phân khó, đặc  biệt là tích phân hàm lượng giác thì hai phương pháp này không thể  giải quyết   được hoặc có thể  giải quyết được nhưng vô cùng phức tạp. Vì vậy, tôi nhận  thấy mình cần bổ  sung thêm phương pháp tích phân liên kết, giúp học sinh dễ  dàng giải quyết dạng toán này.  2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2
  3. Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm  ở  phía tây của huyện, có  nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh  là con em dân tộc thiểu số  nên điểm đầu vào thấp. Tư  duy của học sinh chậm,  điều kiện kinh tế  còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên  ảnh hưởng   rất nhiều đến kết quả học tập của các em.  Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để  làm tốt, nhanh  phần nguyên hàm và tích phân thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh  phải có khả  năng phán đoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ  năng trình bày  chặt chẽ  và tư  duy logic cao, kỹ  năng phân tích dạng toán. Nhưng trên thực tế  điều này lại là điểm yếu của không ít học sinh, kể cả  học sinh khá giỏi, do đó   dẫn đến tâm lý chán, ngại làm các dạng tích phân khó.  2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1. Ôn tập một số kiến thức cần dùng cho học sinh. +) Bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp, hàm số hợp +) Tính chất của nguyên hàm và tích phân +) Phương pháp đổi biến số +) Công thức lượng giác +) Đạo hàm các hàm số lượng giác 2.3.2. Tìm hiểu tích phân liên kết. b Khi tính một số  bài tích phân   I f ( x)dx , việc tính trực tiếp   I   tương đối  a b khó và phức tạp, do vậy ta tìm đến tích phân  I * g ( x)dx , dựa vào  I *  hoặc kết  a hợp  I  với  I  để tìm ra tích phân  I .   I  được gọi là tích phân liên kết với  I . * * Từ  các mối quan hệ  ràng buộc  giữa  I  và  I *  ta lập được hệ  phương trình  aI bI * c bậc nhất hai ẩn:  a ' I b' I * c ' Giải hệ phương trình ta tính được  I . Một số trường hợp thường gặp:    Trường hợp 1: Tính trực tiếp tích phân  I *  (với   I *  là tích phân đơn giản), từ  đó suy ra  I . Trường hợp 2: Biến đổi  I I* I 3
  4. Trường hợp 3:   Tìm biểu thức liên hệ  giữa   I ., I *   để    đạo hàm của mẫu  bằng tử, khi đó ta lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và tìm  I . Việc tìm tích phân liên kết  I * , đòi hỏi phải có năng lực phán đoán, khả năng  tư  duy linh hoạt đặc biệt là phụ  thuộc vào kinh nghiệm của người học. Thông   thường biểu thức các tích phân liên kết có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau. Ta hiểu tích phân liên kết như  là “Bạn chơi với ai tôi sẽ  đoán được con  người bạn như thế nào”. 2.3.3. Hướng dẫn và rèn luyện một số  dạng nguyên hàm, tích phân   liên kết thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn giảm   bớt được tối đa thời gian.  Dạng 1: Tích phân chứa ax 1 dx 1 e  Bài 1: Cho tích phân  I x a b ln 2 a, b Q.   0 e 1 Đề minh họa lần 3 – BGD – 2017  Tính giá trị của biểu thức:  S a 3 b 3 .     A. S 2                 B. S 2                     C. S 0                    D. S 1 1 ex Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * dx 0 ex 1 1 1 I I* dx x0 1 0 e 1 Ta có:  I 1 ln 1 d ex 1 1 e 1 2 I* dx ln e x 1 ln 0 ex 1 0 2 Vậy  a 1, b 1 S 0.   Đáp án C 1 ex c 1 Bài 2: Cho tích phân  I x dx a b ln .  0 e e x 2d Tính giá trị của biểu thức:  P a b c d 2 . 1 2 1     A. 2 2e                 B. 1 2e                     C. 2 2e                    D. 1 2e . 2 1 x e Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * dx 0 ex e x 4
  5. 1 1 I I* dx x0 1 0 1 1 e2 1 Ta có:  I ln 1 d ex e x x x 1 e2 1 2 2 2e I I* dx ln e e ln 0 ex e x 0 2e 1 1 Vậy  a ,b ,c e2 , d e P 1 2e 2 .   Đáp án D 2 2 1 dx Bài 3: Cho tích phân  I 3x a b log c d , a, b, c.d Q.   0 5 1         Tính giá trị của biểu thức:  S a 3 c 2 b 3b. 88     A. S 88                 B. S 88                     C. S 3                    D. S 66 1 53 x Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * 3x dx 0 5 1 1 1 I I* dx x0 1 0 1 Ta có:  I 1 log 5 63 1 1 d 55 x 1 1 1 1 3 I* dx ln 5 3 x 1 log 5 63 3 ln 5 0 5 3 x 1 3 ln 5 0 3 1 Vậy  a 1, b ,c 5, d 63 S 88.   Đáp án A 3 *Nhận xét: Tích phân liên kết là phần khuyết biểu thức chứa biến của tử trong   mẫu.  Một số dạng thường gặp: dx e ax dx 1.  I I * e ax b e ax b e ax dx e ax dx 2.  I I* e ax e ax e ax e ax dx a ax dx 3.  I I* a ax b a ax b a x dx a ax dx 4.  I I* a ax a x a ax a x Dạng 2: Tích phân hàm hữu tỷ: 5
  6. 3 x4 1 1 b b Bài 1:  Cho tích phân  I dx ln , a, b, c N ,   là phân số tối giản.  2 x6 1 a c c Tính giá trị của biểu thức:  P a 2 b c.     A. 113                 B. 131                     C. 68                    D. 31 3 x2  Hướng dẫn: Ta có  x 6 1 (x 2 1)( x 4 x 2 1) , xét tích phân liên kết  I * dx    2 x6 1 3 31 3 x4 x2 1 dx 1 x 1 1 3 I I* dx ln ln 2 x6 1 2 x 2 1 2 x 12 2 2 1 147 Ta có :  3 I ln . 1 3 d (x3 ) 1 x3 1 1 117 6 52 I* ln ln 3 2 ( x 3 1)( x 3 1) 6 x3 1 2 6 98 Vậy  a 6, b 147, c 52 P 131.   Đáp án B 1 x4 1 Bài 2:  Cho tích phân  I dx a , a, b Z    0 x6 1 b Tính giá trị của biểu thức:  P a 2 ab 3b 2 .     A. 27                 B. 37                     C. 28                    D. 54 1 x2 Hướng dẫn: Ta có  x 6 1 (x 2 1)( x 4 x 2 1) , xét tích phân liên kết  I * dx    0 x6 1 1 1 x4 x2 1 dx 1 I I* dx arctan x 0 0 x6 1 0 x 2 1 4 Ta có :  I . 1 1 d (x3 ) 1 1 3 I* arctan( x 3 ) 3 0 (x3 )2 1 3 0 12 Vậy  a 0, b 3 P 27.   Đáp án A *Nhận xét:  Tích phân liên kết là biểu thức liên hợp chứa biến của tử  trong   mẫu.  Dạng 3: Tích phân hàm lượng giác. Bài 1:   Cho tích phân  I 2 sin 3 x dx a b ( a, b Q).   0 sin x cos x    Tính giá trị của biểu thức:  P a 2 b 2 . 6
  7. 1 1 1 1        A. 4                      B. 8                      C. 2                         D. 16 Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * 2 cos 3 x dx 0 sin x cos x Ta có  2 2 1 1 2 1 I I* sin 2 x sin x. cos x cos 2 x dx 1 sin 2 x dx x cos 2 x 0 0 2 4 0 2 0 sin 3 ( t) 2 2 cos 3 t Đặt  x t dx dt   I dt dt I* 2 sin( t ) cos( t) cos t sin t 0 2 2 2 1 I I* 1 Ta có  2 I 4 I I* 1 1 1 Vậy  a ,b , P .   Đáp án B 4 4 2 Bài 2:  Cho tích phân  I cos 2 x. cos 2 xdx a b sin 2 x c sin 4 x d .   Tính giá trị của biểu thức:  P a 2 b 4c. 1 3 3     A. 4                         B.                         C.                        D. 2. 4 4 Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * sin 2 x. cos 2 xdx . Ta có 1 I I* cos 2 xdx sin 2 x C 1 2 1 1 1 I x sin 2 x sin 8 x C 1 cos 4 x 1 1 4 4 16 I I* cos 2 2 xdx dx x sin 4 x C 2 2 2 8 1 1 1 3 Vậy  a ,b ,c P .   Đáp án C 4 4 18 4 a sin x Bài 3:  Cho tích phân  I dx 0 sin x cos x 4 Giá trị của  a  là: 7
  8. A. B. C. D. . 3                         4                         2                        6 a cos x Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * dx 0 sin x cos x Ta có  a a I I* dx x0 a 0 1 a I a ln sin a cos a a cos sin x 2 I* I dx ln sin x cos x ln sin a cos a 0 sin x cos x 0 Mà  I a .  Đáp án C 4 2 3 a 3 b Bài 4:  Cho tích phân    I cos 2 x. cos 4 xdx. , a, b, c N ,   c   là phân số  tối  0 b c giản. Tính giá trị của biểu thức:  P a 3 b c 2 .     A. 83                         B. 102                         C. 88                        D. 83. 3 Hướng dẫn: Tích phân liên kết  I * cos 2 x. sin 4 xdx. 0 Ta có  3 3 1 cos 4 x 1 sin 4 x 3 1 3 I I* cos 2 2 xdx dx x 2 2 4 2 3 8 0 0 0 5 3 I 3 64 12 3 sin 2 2 x sin 2 x 1 sin 3 2 x 7 3 I I* cos 2 x 1 dx . 0 2 2 4 3 0 32 Vậy  a 5, b 64, c 12 P 83.   Đáp án D sin 3 xdx 1 c Bài 5:  Cho tính phân   I bx . ln 2 cos 3 x 5 sin 3x d. 2 cos 3 x 5 sin 3 x a 3   Tính giá trị của biểu thức:  P a 2 b 2 c 2 (ab bc). 8
  9.     A. 1015                      B. 1105                     C. 1005                    D. 1050 cos 3 xdx Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I *   2 cos 3 x 5 sin 3 x Ta có 2 I * 5I dx x c1 5 cos 3x 2 sin 3 x 1 d (2 cos 3 x 5 sin 3x ) 1 5I * 2 I dx ln 2 cos 3 x 5 sin 3x c2 2 cos 3x 5 sin 3 x 3 2 cos s3x 5 sin 3 x 3 1 2 I 5x ln 2 cos 3x 5 sin 3 x d 29 3 Vậy  a 29, b 5, c 2 P 1005.   Đáp án C 2 Bài 6:  Cho tính phân   I sin x a b ln c dx , a, b, c, d Z 0 sin x cos x 1 d Tính giá trị của biểu thức:  P abc (ab bc ca).     A. 2                         B. 2                         C. 10                        D. 8 2 Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * cos x dx 0 sin x cos x 1 2      Ta có   I * I cos x sin x dx ln sin x cos x 1 02 0 0 sin x cos x 1 2 2 2     Mặt khác  I I * cos x sin x 1 dx dx dx 0 sin x cos x 1 0 0 sin x cos x 1 2 2 1 1 1 dx dx   2 x x x2 x2 2x x 2 2 2 x x 2 x 0 2 sin . cos cos sin sin cos 0 sin . cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 2 d tan 1 1 2 x 2 dx ln tan 1 ln 2 2 2 x x 2 x 2 2 2 0 cos 2 tan 1 0 tan 1 0 2 2 2 2 ln 2 I 4 9
  10. Vậy  a 1, b 2, c 2, d 4 P 2.   Đáp án B 4 Bài 7:  Cho tích phân  I 1 cos 2 3x. cos 2 6 xdx , a, b N  0 a b Tính giá trị của biểu thức:  P a 2 b 2 ab.     A. 229                         B. 292                         C. 922                        D. 92 4 Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * sin 2 3 x. cos 2 6 xdx   0 Ta có  4 14 1 sin 12 x 4 I I* cos 2 6 xdx 1 cos12 x dx (x 0 20 2 12 0 8 1 I . 16 18 4 14 1 sin 3 6 x 4 1 I I* cos 6 x. cos 2 6 xdx 1 sin 2 6 x d (sin 6 x) sin 6 x 0 60 6 3 0 9 Vậy  a 16, b 18 P 292.   Đáp án B Bài 8:   Cho tích phân   I 6 sin x a 3   trong đó   a   là phân số  tối  dx , b 0 (sin x cos x) 3 b c giản. Tính giá trị của biểu thức:  P ab 2 a 2 b bc 2     A. 32                         B. 20                         C. 32                        D. 8 6 Hướng dẫn:  Xét tích phân liên kết  I * cos x 3 dx   0 (sin x cos x ) Ta có  10
  11. 6 6 dx 1 dx 1 6 2 3 1 3 1 I I* cot x 0 (sin x cos x ) 2 2 2 4 2 2 2 0 sin 2 ( x ) 0 1 3 4 I   2 4 6 cos x sin x 1 6 1 2 3 3 I* I dx (2 3) 0 (sin x cos x) 3 2(sin x cos x) 2 0 2 2  Vậy  a 1, b 2, c 4 P 32.   Đáp án A Bài 9:  Cho tích phân  I 2 sin 4 x 4 dx a b , a, b Q  0 sin x cos 4 x Tính giá trị của biểu thức:  P a 2 b 3 4b 1 63 63 17     A. 9                         B. 64                         C. 64                        D. 64 Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * 2 cos 4 x 4 4 dx   0 sin x cos x Đặt  x t dx dt ,  x 0 t ,  x t 0 2 2 2 0 sin 4 ( t) I 2 dt 2 cos 4 t 4 4 dt I* sin 4 ( t ) cos 4 ( t) 0 sin t cos t 2 2 2 Ta có  2 I I* dx I 0 2 4 I I* 1 63 Vậy  a 0, b P .   Đáp án B 4 64 2 sin n x Tổng quát:     I n dx .   0 sin x cos n x Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết  I * 2 cos n x n n dx   0 sin x cos x 11
  12. Đặt  x t dx dt x 0 t ,  x t 0  2 2 2 0 sin n ( t) 2 2 cos n t     I dt dt I* n sin n ( t ) cos n ( t) 0 sin t cos n t 2 2 2 I I* Ta có  2 I 4 I I* *Nhận xét: Biểu thức của  I *  là biểu thức của  I  trong đó:  sin x  được thay bởi  cos x  và ngược lại. Một số dạng thường gặp: sin xdx cos xdx 1.  I I* a sin x b cos x c a sin x b cos x c sin n xdx cos n xdx 2.  I I* sin n x cos n x sin n x cos n x sin n xdx cos n xdx 3.  I I* a sin x b cos x a sin x b cos x sin 2 xdx cos 2 xdx 4.  I I* a sin x a cos x b a sin x a cos x b sin xdx cos xdx 5.  I I* (a sin x b cos x) n (a sin x b cos x) n 6.  I cos 2ax. cos 2 n xdx I* cos 2ax. sin 2 n xdx Tích phân hàm lượng giác là một phần kiến thức khó và phức tạp đòi hỏi   học  sinh  phải  biết   vận dụng  linh  hoạt các  công  thức  lượng  giác, bảng  các   nguyên hàm. Nhưng khi ta sử  dụng tích phân liên kết thì việc biến đổi đã được   giảm đi rất nhiều, bài toán trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn. 2.3.4. So  sánh cách giải khác ta thấy được tính  ưu việt của phương   pháp tính phân liên kết. Ví dụ 1:  Tính tích phân  I 3 cos 2 x dx   0 sin x 3 cos x 12
  13. 3 sin 2 x         Xét tích phân liên kết  I * dx 0 sin x 3 cos x Ta có  3 3 dx 1 dx 1 x 6 I I* ln tan ln 3 sin x 3 cos x 2 2 2 6 0 0 sin( x ) 0 3 3 3 3I I* ( 3 cos x sin x )dx 2 cos( x )dx 2 sin x 1 0 6 6 0 1 4I ln 3 1 I (1 ln 3 ). 4 Cách giải khác:  Giả sử cos 2 x (a sin x b cos x)(sin x 3 cos x) c(sin 2 x cos 2 x) x cos 2 x (a c) sin 2 x (a 3 b) sin x. cos x (b 3 c ) cos 2 x x 1 a a c 0 4 3 3 1 3 1 13 dx a 3 b 0 b I cos x sin x dx 4 2 0 2 2 4 0 sin x 3 cos x b 3 c 1 1 c 4 3 3 3 1 1 dx 1 1 x 1 cos( x )dx sin( x ) ln tan( ) (1 ln 3 ) 20 6 80 2 6 8 2 6 4 sin( x ) 3 0 π 2 sin x Ví dụ 2: Tính tích phân  I = dx.  HSG Thanh Hóa năm 2010­2011 ( ) 3 0 sin x + 3 cos x 2 cos x         Xét tích phân liên kết  I * dx 0 (sin x 3 cos x) 3 13
  14. 3 dx 13 dx 1 2 3 I 3I * tan x (sin x 3 cos x) 2 40 4 6 3 0 cos 2 ( x ) 0 Ta có   6 2 (sin x 3 cos x)' 1 2 1 I* 3I dx 0 (sin x 3 cos x ) 3 2(sin x 3 cos x ) 2 0 3 3 I 3I * 3 2 3 3 4I I 3 3 6 3 I * 3I 3 Cách giải khác (cách giải trong đáp án):  1 3 Ta có:  sin x = (sin x + 3 cos x) − (cos x − 3 sin x) .  4 4 (Điều này không phải dễ  dàng có được, hoặc phải dùng hệ  số  bất định   như ví dụ 1, hoặc phải là học sinh giỏi mới tính nhanh được biểu thức đó). 1 3 = (sin x + 3 cos x) − (sin x + 3 cos x) '. 4 4 π π Suy ra  I = 1 2 1 3 (sin x + 3 cos x) ' 2 � 4 0 (sin x + 3 cos x) 2 dx − 4 � 0 (sin x + 3 cos x ) 3 dx π 2 1 1 3 2 1 � π �2 3 3 3 3 dx = tan �x − � + = + = . 16 8(sin x 3 cos x) 2 0 cos ( x2 ) 0 16 � 6 �0 12 12 12 6 6 *Nhận xét:  Đây là các bài toán khó đối với nhiều học sinh, nếu giải bằng   phương pháp khác thì học sinh gặp phải khó khăn là phải tách các biểu thức   lượng giác để sử dụng được bảng các nguyên hàm. Nhìn vào hai cách giải trên thì rõ ràng cách giải khác dài dẫn đến mất khá   nhiều thời gian để  giải quyết xong bài toán. Còn cách dùng tích phân liên kết   nhanh và mang lại hiệu quả rất cao. Qua 2 ví dụ trên đã cho ta thấy tác dụng rất tích cực của phương pháp tích   phân liên kết khi giải toán tích phân.  14
  15. Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tại tổ  chuyên môn, tôi đã đưa ra các   bài tập để các đồng nghiệp thử giải và so sách các cách giải; kết quả là những   bài toán có thể  áp dụng được phương pháp này thì cho kết quả  nhanh hơn rất   nhiều so với các cách giải khác. Các chuyên gia máy tính cũng cho rằng một bài tích phân mà có đến ba,   bốn tham số trở lên thì ta nên làm tự luận thì nhanh hơn.  2.3.5. Hệ  thống bài tập sử  dụng tích phân liên kết giúp học sinh rèn  luyện. Tính các tích phân sau: 1 1 dx e 2 x dx Bài 1:  I .            HD: Tích phân liên kết  I * .  0 e2x 3 0 e 2x 3 1 1 e2 3 ĐS : I ln . 3 6 4 cos xdx sin xdx Bài 2:   I .            HD: Tích phân liên kết  I *   sin x cos x sin x cos x 1 ĐS : I x ln sin x cos x c 2 sin xdx cos xdx Bài 3:   I .         HD: Tích phân liên kết  I * 3 cos x 7 sin x 3 cos x 7 sin x 1 ĐS : I 7 x 3 ln 3 cos x 7 sin x c 58 Bài 4:   I 4 cos 3 x. sin xdx   HD: Tích phân liên kết  I * 4 sin x 3 . cos xdx   4 . . 0 sin x cos 4 x 4 0 sin x cos 4 x 2 ln 2 ĐS : I 16 Bài 5:     I 6 cos 2 x   HD: Tích phân liên kết  I * 6 sin 2 x dx. dx. 0 cos 2 x 0 cos 2 x ln(7 4 3 ) ĐS : I 12 8 15
  16. 6 3 Bài 6:   I cos 2 x. sin 2 xdx    HD: Tích phân liên kết  I cos 2 x. sin 4 xdx. 0 0 1 3 3   ĐS : I 8 4 3 3 sin x 2 cos x 3 sin x 2 cos x cos xdx Bài 7:   I dx .      HD:  I dx 3 dx 5 cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin xdx 1  Tích phân liên kết  I * . ĐS : I x 5 ln cos x sin x c cos x sin x   2 2 Bài 8:   I 4 sin x 3 cos x   .dx 0 sin x cos x 1 4 4 4 4 HD:  I 4 sin x 3 cos x sin xdx dx dx 3 dx 0 sin x cos x 1 0 0 sin x cos x 1 0 sin x cos x 1 4 cos xdx 7 Tích phân liên kết  I * .   ĐS : I ( 2 ln 2) sin x cos x 1 4 0 3 3 1 x4 Bài 9:     I dx.   HD: Tích phân liên kết  I dx. 1 x (1 x 2 ) 6 1 x 6 (1 x 2 ) 468 164 3 45 ĐS : I 540 cos 2 xdx sin 2 xdx Bài 10:  I .    HD:Tích phân liên kết  I 2 sin 2 x 3 cos 2 x 2 sin 2 x 3 cos 2 x 1   ĐS : I 13 3x ln 2 sin 2 x 3 cos 2 x c Để học sinh hiểu sâu và thêm hứng thú, say mê với giải toán nguyên hàm  và tích phân, đồng thời phát huy khả năng sáng tạo của các em tôi đã định hướng  giúp học sinh dựa trên cơ sở các dạng nguyên hàm thường gặp (ở mục 2.3.3) xây  dựng các bài nguyên hàm và tích phân mới bằng cách thay số, cận cụ thể. (Phụ  lục 1) Trong một số tiết luyện tập tôi đã yêu cầu một số em học sinh khá giỏi ra   bài tập cho cả lớp cùng làm, các em rất hứng thú và nhiều em đã sáng tạo khi ra   16
  17. bài tập, có rất nhiều bài nguyên hàm và tích phân hay được các em đưa ra như  em: Nguyễn Thị  Linh, Nguyễn Thùy Dương, Vũ Thị  Lan Anh... Cách làm như  vậy khiến học sinh thật sự  trở  thành trung tâm của quá trình dạy học, các em  chủ động tiếp thu kiến thức và tích cực hơn trong việc tự học trên lớp cũng như  ở nhà. 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,  với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục Tôi đã cho 2 lớp làm bài kiểm tra ở hai thời điểm trước tác động (kiểm tra   viết 45 phút lần 1) và sau khi tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 2, hai đề lần 1   và lần 2 lượng kiến thức tương đương nhau) để  thấy được hiệu quả  của sáng  kiến.  Đề kiểm tra (Phụ lục 2): Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách  tham khảo, đề  thi thử  THPT Quốc Gia của một số  trường THPT.  Kết quả  bài  khảo sát kiến thức về nguyên hàm và tích phân được thống kế như sau:                      Bảng 1: Lớp thực nghiệm 12C6. Điểm Số bài 0 ­ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trước tác  sl 0 4 5 11 11 6 4 0 0 động 41 % 0,0 9,8 12, 26, 26, 14, 9,8 0,0 0,0 2 8 8 6 Sau tác  sl 0 0 0 9 12 5 7 8 0 động 41 % 0,0 0,0 0,0 21, 29, 12, 17, 19, 0,0 9 3 2 1 5 Bảng 2: Lớp đối chứng 12C5. Bảng 3: Trước tác độĐi ng.ểm Số bài 0 ­ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trước tác  sl 0 4 4 10 12 7 4 0 0 động 41 % 0 9,8 9,8 24, 29, 17, 9,8 0,0 0,0 4 2 0 Sau tác  sl 0 3 4 9 12 8 5 0 0 động 41 % 0,0 7,3 9,8 21, 29, 19, 12, 0,0 0,0 17 9 3 5 2
  18. Bảng 4: Sau tác động. Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm Điểm trung bình 5,80 6,63 Chênh lệch điểm trung bình  0,83 (SMD) So sánh kết quả:  Năm học 2017 – 2018 tôi đã áp dụng các giải pháp nêu  trong đề tài vào thực tiễn dạy học, cụ thể: Lớp đối chứng 12C5  năm học 2017­ 2018, sĩ số  41:  tôi dạy chủ  đề  trên  nhưng không sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài. Lớp thực nghiệm 12C6 năm học 2017­ 2018, sĩ số 41: tôi dạy chủ đề trên  bằng cách sử dụng các giải pháp như đã nêu trong đề tài. Bảng 3 và bảng 4 cho thấy, sau tác động sự  chêch lệch giữa điểm trung  bình của các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh  lệch kết quả điểm trung bình của các lớp thực nghiệm đều cao hơn điểm trung  bình của các lớp đối chứng là không phải ngẫu nhiên mà do kết quả  của tác  động. Năm học 2017 – 2018, SMD = 0,83 cho thấy mức độ ảnh hưởng của việc   hướng dẫn học sinh khai thác kiến thức mới cho học sinh lớp 12 ở trường THPT   Triệu Sơn 3 là lớn. Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm   12C6 là điểm trung bình = 6,63 và kết quả bài kiểm tra của lớp đối chứng 12C5  là điểm trung bình = 5.80. Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp là 0,83.  Kết quả  cho thấy điểm trung bình của lớp thực nghiệm so với lớp đối  chứng đã có sự  tiến bộ  rõ rệt, lớp được tác động 12C6 có điểm trung bình cao  hơn lớp đối chứng 12C5. Kết quả thu được là  ­ Qua quan sát thực tế  từ  việc trực tiếp giảng dạy, tôi thấy học sinh lớp   12C6 giải khá nhanh và thuần thục các bài toán về nguyên hàm và tích phân được   tôi sưu tầm từ các đề  thi học sinh giỏi trong tỉnh và của các trường THPT trong  cả nước. Còn lớp 12C5 đa số các em học sinh kỹ năng giải còn chậm, chưa linh   hoạt. Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cho đề  tài có nhiều điểm tương  đồng nhau về  ý thức học tập, đặc biệt là năng lực học tập và kết quả  điểm   kiểm tra môn Toán trước khi tác động. 18
  19. ­ Đã rèn luyện kỹ  năng giải các bài toán tích phân, kỹ  năng tính toán, kỹ  năng tìm tích phân liên kết và phát huy tính sáng tạo tìm tòi lời giải cho một bài  toán, một dạng toán. ­ Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ  động khai thác kiến thức ,  100% học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có  kết quả cụ thể. Từ  những kết quả  trên tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà đề  tài đưa ra là hoàn toàn khả  thi và có thể  áp dụng hiệu quả  trong quá trình dạy  học.    2.4.2.  Hiệu quả  của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân,  đồng nghiệp và nhà trường Qua thực tế  giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao  chất lượng giảng dạy phần nguyên hàm và tích phân của bản thân, góp phần vào   việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà trường.   3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1. Kết luận Từ  kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự  giúp  đỡ  đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề  tài đã  hoàn thành và đạt được những kết quả chính sau đây: + Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề  “Nguyên hàm và  tích phân” hiện nay. + Đề  tài đã đưa ra giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng tìm tích  phân liên kết cho các bài toán khó mà đòi hỏi phải giải quyết trong thời gian   ngắn. + Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp. + Đề  tài đã đưa ra một số  bài tập áp dụng trên cơ  sở  các dạng bài tập quen   thuộc và hệ  thống các bài tập luyện tập được trích từ  các đề  thi học sinh giỏi,   các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, của Sở giáo dục ở một số  tỉnh, thành phố  trên cả  nước  để  học sinh được  rèn luyện kỹ  năng giải trắc   nghiệm Toán. 3.2. Kiến nghị Trên đây là một số sáng kiến và kinh ngiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vị  trong các năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được xem xét, mở rộng hơn nữa   19
  20. để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích và say mê học   Toán hơn. Tôi xin chân thành cảm  ơn các đồng nghiệp trong tổ  chuyên môn, trong  nhà trường và các em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm   này. XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN  Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình  VỊ viết, không sao chép nội dung của người  khác. Người viết Vũ Thị Phượng 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2