Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh

Chia sẻ: Convetxao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp học sinh có được hệ thống kiến thức cơ bản nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu, lĩnh hội tri thức một cách chủ động, sáng tạo, làm công cụ giải quyết các bài toán liên quan đến chứng minh hình học. Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. Thông qua đó, các em sẽ tìm ra phương án giải các bài toán tiếp theo. Giúp học sinh giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán chứng minh hình học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh

MỤC LỤC Trang Mở đầu 2 1. Lý do chọn đề tài 2 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tượng nghiên cứu, Phạm vi đề tài 3 4. Phương pháp nghiên cứu 3 5. Dự kiến kết quả của đề tài. 3 Nội dung 4 I. Cơ sở lý luận của đề tài 4 II. Thực trạng dạy học Toán 7 ở trường THCS 5 III. Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học lớp 7 cho học sinh 6 1. Định hướng chung 6 2. Các nhóm biện pháp. 8 2.1. Giảng lý thuyết 8 2.2. Dạy bài tập tự luận 11 2.2.1. Chứng minh các yếu tố bằng nhau 11 2.2.2. Chứng minh các đường thẳng song song, vuông góc 15 2.2.3. Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy 19 2.2.4. Chứng minh các hình 22 3. Kết quả 26 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 1/ 29
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Toán học là một trong những khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng chưa bao giờ toán học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay. Trong toán học, phân môn hình học ra đời rất sớm, từ sự cần thiết đo đạc ruộng đất và nó luôn gắn bó với nhu cầu hằng ngày của con người. Môn hình học cung cấp cho học sinh những kiến thức cấn thiết trong cuộc sống, giúp phát triển tư duy logic, phát triển trí tưởng tượng không gian và óc thẩm mỹ . Bài tập hình học cũng có vai trò của bài tập toán nói chung, tức là chỉ ra sự áp dụng lý thuyết vào thực hành và đảm bảo việc hiểu lý thuyết: chỉ có quá trình áp dụng lý thuyết tổng quát và trừu tượng vào những ví dụ cụ thể và những bài toán nhiều loại mới có thể hiểu lý thuyết một cách đầy đủ được. Chứng minh hình học là rất mới lạ, rất khó đối với lứa tuổi 12-14 tuổi, đang chập chững những bước đi ban đầu trong quá trình học hình học. Vì vậy, giáo viên cần coi trọng khâu giải toán hình học. Về mặt tổ chức (xây dựng nền nếp làm bài ở lớp, ở nhà, cách sử dụng vở bài tập, vở nháp, vở bài soạn, sử dụng thước và compa…) cũng như về mặt dạy học sinh giải toán (dạy học sinh giải toán chứ không phải giải toán cho học sinh). Thế nào là dạy học sinh giải toán hình học? Với vai trò quan trọng của bài toán hình học, với quan điểm dạy học nhằm phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức của học sinh, rõ ràng rằng dạy học sinh giải toán hình học không phải chỉ cung cấp lời giải cho học sinh và tìm mọi cách làm cho học sinh hiểu và nhớ những lời giải mẫu đó. Nhiệm vụ chủ yếu của giáo viên khi dạy học sinh giải toán hình học là tổ chức những hành động trí tuệ bên trong đầu óc của học sinh để tự các em khám phá ra lời giải: hướng dẫn, gợi ý, nêu vấn đề kích thích học sinh biết suy nghĩ đúng hướng trước bài toán hình học cụ thể, biết vận dụng một cách hợp lý nhất những tri thức hình học của mình để độc lập tìm tòi được mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận của bài toán và từ đó tìm được cách giải. Chỉ có qua quá trình hoạt động trí tuệ chủ động sáng tạo như vậy mới chuyển hóa được trí nhớ tạm thời khi thu nhận những thông tin mới trong giờ học thành trí nhớ lâu dài, giữ lại được những thông tin cần thiết nhất trong thời gian lâu dài và mới có thể nắm vững tri thức, kỹ năng hình học. Vì vậy, để giúp học sinh, tôi đã nghiên cứu và viết đề tài “ Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh”. 2. Mục đích nghiên cứu: Đề xuất “Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh” nhằm: - Giúp học sinh có được hệ thống kiến thức cơ bản nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu, lĩnh hội tri thức một cách chủ động, sáng tạo, làm công cụ giải quyết các bài toán liên quan đến chứng minh hình học. - Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. Thông qua đó, các em sẽ tìm ra phương 2/ 29
án giải các bài toán tiếp theo. - Giúp học sinh giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán chứng minh hình học. - Thông qua phương pháp giải các bài toán chứng minh hình học, giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập hình học, đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục. 3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi của đề tài: Đề tài tập trung nghiên cứu thực trạng và giải pháp cụ thể về “Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh”. 4. Phương pháp nghiên cứu: - Khảo sát, thu thập tài liệu. - Nghiên cứu tài liệu tham khảo, phương pháp điều tra. - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. 5. Dự kiến kết quả của đề tài: Khi chưa thực hiện đề tài, học sinh chỉ giải được một số bài toán chứng minh đơn giản, hay mắc sai lầm, thường xuyên gặp khó khăn, định hướng giải chưa đúng, lúng túng và rối trong việc trình bày lời giải. Khi thực hiện đề tài, gây được hứng thú học tập, học sinh tích cực tìm hiểu và có kĩ năng tốt hơn trong giải toán chứng minh hình học. Các em tự giải quyết được nhiều bài tập, hạn chế được sai lầm hay mắc phải. 3/ 29
NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận của đề tài: Việc dạy học định hướng phát triển năng lực về bản chất chỉ là cần và coi trọng thực hiện mục tiêu dạy học hiện tại ở các mức độ cao hơn, thông qua việc yêu cầu HS ”vận dụng những kiến thức, kĩ năng một cách tự tin, hiệu quả và thích hợp trong hoàn cảnh phức hợp và có biến đổi, trong học tập cả trong nhà trường và ngoài nhà trường, trong đời sống thực tiễn”. Việc dạy học thay vì chỉ dừng ở hướng tới mục tiêu dạy học hình thành kiến thức, kĩ năng và thái độ tích cực ở HS thì còn hướng tới mục tiêu xa hơn đó là trên cơ sở kiến thức, kĩ năng được hình thành, phát triển khả năng thực hiện các hành động có ý nghĩa đối với người học. Nói một cách khác việc dạy học định hướng năng lực về bản chất không thay thế mà chỉ mở rộng hoạt động dạy học hướng nội dung bằng cách tạo một môi trường, bối cảnh cụ thể để HS được thực hiện các hoạt động vận dụng kiến thức, sử dụng kĩ năng và thể hiện thái độ của mình. Như vậy việc dạy học định hướng năng lực được thể hiện ở các trong các thành tố quá trình dạy học như sau: - Về mục tiêu dạy học: Mục tiêu kiến thức: ngoài các yêu cầu về mức độ như nhận biết, tái hiện kiến thức cần có những mức độ cao hơn như vận dụng kiến thức trong các tình huống, các nhiệm vụ gắn với thực tế. Với các mục tiêu về kĩ năng cần yêu cầu HS đạt được ở mức độ phát triển kĩ năng thực hiện các hoạt động đa dạng. Các mục tiêu này đạt được thông qua các hoạt động trong và ngoài nhà trường. - Về phương pháp dạy học: Ngoài cách dạy học thuyết trình cung cấp kiến thức cần tổ chức hoạt động dạy học thông qua trải nghiệm, giải quyết những nhiệm vụ thực tiễn. Như vậy thông thường, qua một hoạt động học tập, HS sẽ được hình thành và phát triển không phải 1 loại năng lực mà là được hình thành đồng thời nhiều năng lực hoặc nhiều năng lực thành tố mà ta không cần (và cũng không thể) tách biệt từng thành tố trong quá trình dạy học. - Về nội dung dạy học: Cần xây dựng các hoạt động, chủ đề, nhiệm vụ đa dạng gắn với thực tiễn. - Về kiểm tra đánh giá: Về bản chất đánh giá năng lực cũng phải thông qua đánh giá khả năng vận dụng kiến thức và kĩ năng thực hiện nhiệm vụ của HS trong các loại tình huống phức tạp khác nhau.Trên cơ sở này, các nhà nghiên cứu ở nhiều quốc gia khác nhau đề ra các chuẩn năng lực trong giáo dục tuy có khác nhau về hình thức, nhưng khá tương đồng về nội hàm. Trong chuẩn năng lực đều có những nhóm năng lực chung. Nhóm năng lực chung này được xây dựng dựa trên yêu cầu của nền kinh tế xã hội ở mỗi nước. Trên cơ sở năng lực chung, các nhà lí luận dạy học bộ môn cụ thể hóa thành những năng lực chuyên biệt. Tuy nhiên không dừng ở các năng lực chuyên biệt, các tác giả đều cụ thể hóa thành các năng lực thành phần, những năng lực thành phần này được cụ thể hóa thành các thành tố liên quan đến kiến thức, kĩ năng… để định hướng quá trình dạy học, kiểm tra đánh giá của GV. 4/ 29
II. Thực trạng dạy học toán 7 ở trường THCS 1. Về phía giáo viên - Thiên về cung cấp lời giải cho học sinh tiếp thu một cách thụ động: chưa chú trọng dạy học sinh giải toán hình học. - Thường bằng lòng và kết thúc công việc giải bài toán hình học khi đã tìm được một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm tòi cách giải khác, cách giải hay hơn hoặc khai thác thêm ở bài toán vừa giải để phát huy tư duy linh hoạt và sáng tạo của học sinh; thường chú ý số lượng hơn là chất lượng bài giải. - Đôi lúc chú trọng mặt đề cao và coi nhẹ mặt bảo đảm cái cơ bản theo yêu cầu của chương trình theo chuẩn KTKN; thích cho học sinh giải những bài toán khó, bài toán lạ trong khi còn nhiều học sinh vẫn lúng túng với những bài toán rất cơ bản. 2. Về phía học sinh - Rất lúng túng trước đầu bài toán hình học: không biết làm gì, bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào, không biết liên hệ những điều nói trong đề bài với những kiến thức đã học, không phân biệt được điều đã cho và điều cần tìm, thậm chí không nắm được các kiến thức hình học, nên không biết cách làm bài. - Suy luận hình học kém, chưa hiểu thế nào là chứng minh, cho nên lý luận thiếu căn cứ, không chính xác, không chặt chẽ, lấy điều phải chứng minh làm giả thiết; suy nghĩ rất hời hợt, máy móc. Không rút được kinh nghiệm để làm các bài tương tự. - Trình bày bài giải hình học không tốt, hình vẽ không chính xác, không rõ ràng; ngôn ngữ và ký hiệu tùy tiện; câu văn lủng củng, không ngắn gọn, sáng sủa, lập luận thiếu khoa học, không logic. Kĩ năng vẽ đường phụ còn thấp. Những khuyết điểm trên đây của học sinh chủ yếu do chúng ta chưa quan tâm đầy đủ đến việc uốn nắn, rèn luyện từng cái nhỏ, cái bắt đầu nhưng rất quan trọng, trong những bước đi ban đầu học hình học và giải toàn hình học (đặc biệt là năm lớp 7) . Cho nên học sinh thường mắc sai lầm ngay cả khi thực hiện những thao tác rất đơn giản. Bảng kết quả khảo sát ý kiến học sinh về dạng bài chứng minh hình học 7 khi chưa thực hiện đề tài: Lớp Rất khó khăn Khó khăn Không khó 7A1 30% 50% 20% 7A2 29% 46% 25% 7A3 70% 30% 0 7A4 82% 28% 0 7A5 68% 32% 0 5/ 29
III. Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học lớp 7 cho học sinh. 1. Định hướng chung 1.1. Về phía giáo viên: Yêu cầu 1: Làm cho học sinh, kể cả học sinh yếu, giải được toán hình học và qua đó làm cho học sinh nắm vững các tri thức hình học và hiểu rõ thêm thế nào là chứng minh hình học. Ở lớp 6, yêu cầu chủ yếu là vẽ hình, đo đạc, luyện tập sử dụng các dụng cụ vẽ và đo, quan sát hình và mô tả hình, rút ra một số tính chất của các hình. Ở lớp 7, bước đầu làm quen với định lý, nắm được hai phần của định lý, thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý, bước đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học. Vì vậy đây là năm học rất quan trọng cần được chuẩn bị kỹ càng, giúp học sinh nắm được trình tự cơ bản của bài toán chứng minh hình học, có như thế mới tạo cho học sinh tâm lý tự tin đối với môn học và là cơ sở cho những năm học sau. Hiện nay trong dạy học hình học có tình trạng là nhiều học sinh không giải được toán hình học, do đó những học sinh này không những không có điều kiện để hiểu rõ thêm những tri thức hình học (kể cả phép chứng minh) mà còn dễ bi quan, thiếu tự tin, mất hứng thú học tập. Cho nên dạy giải toán hình học, trước hết phải làm cho học sinh giải được toán, nhất là học sinh yếu, sao cho khả năng giải đó ngày càng tăng lên. Muốn thế cần chú ý các biện pháp sau: - Mỗi tiết học nhất thiết dành thời gian làm một số bài tập ở lớp, những bài tập này phải lựa chọn sao cho có tác dụng gợi ý giúp học sinh giải được các bài tập cho về nhà. - Tập cho học sinh thói quen chuẩn bị tốt trước khi chứng minh, phần chuẩn bị này không ngoài những điểm sau : + Đọc kỹ đề, phải hiểu rõ nghĩa tất cả các từ trong bài, nhằm hoàn toàn hiểu ý bài tập đó + Phân biệt được giả thiết và kết luận của bài tập, rồi dựa vào những điều đã cho trong giả thiết để vẽ hình. Hình vẽ cần phải chính xác, rõ ràng. + Ghi được giả thiết và kết luận của bài toán; biết thay những từ toán học trong bài bằng các ký hiệu, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn và dễ hiễu hơn. Yêu cầu 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh óc tìm tòi cách giải bài toán Một trong những phương pháp toán học quan trọng nhất, có tác dụng rõ rệt trong việc rèn luyện ở học sinh óc tìm tòi cách giải bài toán hình học là phương pháp phân tích, đặt biệt là phương pháp phân tích đi lên. Phương pháp này thường bắt đầu từ kết luận. Tìm những điều kiện cần phải có để dẫn tới kết luận đó; rồi nghiên cứu từng điều kiện, xét xem điều kiện nào có thể đứng vững được, ngoài ra cần có những điều kiện gì nữa. Cứ như vậy suy ngược từng bước, cho đến lúc những điều kiện đó phù hợp với giả thiết mới. 6/ 29
Yêu cầu 3: Dạy học sinh tìm tòi những cách giải khác nhau của một bài toán hình học và biết lựa chọn cách giải tốt nhất. Việc dạy học sinh tìm tòi nhiều cách giải khác nhau là hoàn toàn có thể thực hiện được vì: - Khả năng giải bài toán bằng nhiều cách phụ thuộc vào vốn kiến thức hình học của từng học sinh, vốn kiến thức đó được tích lũy dần qua các lớp học. - Có thêm kiến thức mới, tìm được cách giải tốt hơn sẽ làm cho học sinh năng động hơn, yêu thích môn học hơn và tất sẽ có kết quả học tập ngày càng tốt hơn Để giúp học sinh có khả năng tìm tòi những cách giải khác nhau, giáo viên cần: + Giúp đỡ học sinh tích lũy, hệ thống hóa và nắm vững các cách chứng minh khác nhau của cùng một tương quan hình học (bằng nhau, song song, thẳng hàng, cùng nằm trên một đường tròn …). + Tập cho học sinh biết phân tích đề bài, biết căn cứ vào giả thiết (tức tình huống cụ thể) mà lựa chọn một số công cụ thích hợp trong loại công cụ có liên quan đến luận điểm. Như vậy trong số những con đường đi vừa xuất hiện, học sinh có thể loại trừ ngay những con đường không thích hợp và chỉ giữ lại một số con đường thích hợp. Đối với nhiều học sinh, lúc đầu phải thử với từng con đường đi còn lại đó, có thể thất bại nhiều lần mới xác định con đường đi đúng. Nhưng chính công việc mò mẫm ban đầu đó lại cần thiết trong quá trình nghiên cứu khoa học. + Luôn luôn khuyến khích việc tìm nhiều cách giải khác nhau, khi học lý thuyết cũng như khi giải toán, có những hình thức động viên khác nhau đối với những đối tượng học sinh khác nhau. Chúng ta không nên đòi hỏi học sinh tìm được cách giải độc đáo. Tất nhiên như vậy là rất quý. Trong mọi trường hợp, mỗi cố gắng tìm tòi độc lập của học sinh điều có giá trị, cần được trân trọng xem xét và khai thác để nâng cao tính giáo dục . Rõ ràng rằng nếu giáo viên thành công trong việc làm cho học sinh có hứng thú tìm kiếm những cách giải khác nhau một bài toán hay những cách chứng minh khác nhau một định lý thì điều đó không những làm cho học sinh nắm vững thêm những kiến thức hình học đã học, biết vận dụng chúng một cách linh hoạt sáng tạo mà còn giúp phát triển năng lực nghiên cứu của học sinh Yêu cầu 4: Dạy học sinh biết khai thác bài toán Nếu biết khai thác nhiều khía cạnh của một bài toán sẽ giúp phát triển cao nhất năng lực nhận thức của học sinh. Giáo viên nắm kĩ và biết tổ chức khai thác bài toán, nhằm phát huy tính độc lập sáng tạo của học sinh, giúp học sinh “học một biết mười”. Đối với những bài toán khác nhau có thể có những cách khai thác khác nhau. Sau đây là một số hướng khai thác cần thiết : + Thay đổi một phần của giả thiết, ví dụ xét trường hợp đặc biệt hoặc trường hợp rộng hơn …, thì kết quả thay đổi như thế nào, hoặc có thể thay đổi những gì ở giả thiết thì cách giải và kết quả vẫn không thay đổi. 7/ 29
+ Có thể giải quyết thêm vấn đề gì mới, ví dụ xét mệnh đề đảo, dựa vào bài toán này có thể giải bài toán tương tự nào khác hoặc đặt ra bài toán nào khác. Yêu cầu 5: Nâng cao kỹ năng giải toán hình học cho học sinh và tiếp tục dạy cho học sinh trình bày tốt bài giải. Việc xây dựng cho học sinh một nền nếp tốt trong việc giải toán hình học là rất quan trọng và cần được chú trọng ngay từ giai đoạn đầu học hình học. Kỹ năng giải toán hình học được nâng cao dần trên cơ sở hình thành và hoàn thiện những thói quen, nền nếp làm bài tập. Sau đây là những thói quen, nền nếp quan trọng, nêu dưới dạng quy tắc : - Đọc kỹ đầu bài, vẽ hình rõ và đúng, hiểu rõ và ghi giả thiết, kết luận bài toán theo ngôn ngữ và ký hiệu hình học. - Nhớ và huy động bộ công cụ liên quan đến kết luận của bài toán, căn cứ vào nội dung của giả thiết mà lựa chọn những công cụ thích hợp. - Sử dụng hết những điều giả thiết đã cho. Trong nhiều trường hợp, không tìm ra cách giải là vì còn có điều trong giả thiết chưa sử dụng đến. - Mỗi điều khẳng định của mình phải có căn cứ. - Từng bước, từng phần phải kiểm tra để kịp thời phát hiện và sửa những sai lầm nếu có - Khi giải xong, nhìn lại con đường vừa đi: có thể coi đây là giai đoạn nhận thức tư tưởng, giai đoạn tích lũy kinh nghiệm. 1.2 Về phía học sinh: - Thực hiện tốt nhiệm vụ hướng dẫn tự học do giáo viên giao. - Đọc sách tham khảo, làm nhiều bài tập, tìm bằng được đáp án. - Tích cực học tập trên lớp. - Rèn kỹ năng vẽ hình. 2. Các nhóm biện pháp 2.1. Giảng lý thuyết: a) Sau khi gi¶ng mçi kiÕn thøc, gi¸o viªn h-íng dÉn ngay häc sinh biÕt c«ng dông cña kiÕn thøc ®ã dïng ®Ó chøng minh g×? Khi chøng minh ph¶i chØ ra nh÷ng dÊu hiÖu g× cña gi¶ thiÕt cÇn cã ®Ó ®i ®Õn kÕt luËn. * Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Dạy dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. - Công dụng: chứng minh hai đường thẳng song song. 8/ 29
c - Mô c cắt d và d’ 1 2 A d hình   hoặc A3  B B A  hoặc 4 3 1 1 1 suy    1800 A4  B1 luận:GT 1 2 d' 4 3 KL d // d’ B Hình 1 Ví dụ 2: Dạy tính chất hai đường thẳng song song. - Công dụng: tính số đo góc. - Mô hình suy luận: c GT d // d’; c cắt d và d’ 1 2 A d 3 KL  A3  B ; 1 4   ; A1  B1 d'   1 2 A  B  1800 4 1 4 3 B Hình 2 Ví dụ 3: Dạy tam giác bằng nhau và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác. - Công dụng: Chứng minh các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. - Mô hình để suy luận (hình 4): GT  ABC =  A’B’C’ A A' KL A  B A '; B '; C  C ' AB = A’B’; AC = A’C’ BC = B’C’ B C B' C' Hình 4 - Mô hình để chứng minh hai tam giác bằng nhau (hình 4): + Trường hợp cạnh- cạnh – cạnh (c-c-c) GT  ABC ;  A’B’C’ AB = A’B’ AC = A’C’ BC = B’C’ KL  ABC =  A’B’C’ 9/ 29
+ Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c-g-c) GT  ABC ;  A’B’C’ AB = A’B’ B B ' BC = B’C’ KL  ABC =  A’B’C’ + Trường hợp góc- cạnh – góc (g-c-g) GT  ABC ;  A’B’C’ B B ' BC = B’C’  C C ' KL  ABC =  A’B’C’ - §Ó chøng minh hai gãc hay c¸c cÆp ®o¹n th¼ng b»ng nhau b»ng ph-¬ng ph¸p tam gi¸c bằng nhau ta cã thÓ lµm theo c¸c b-íc : Bíc 1: XÐt hai tam gi¸c cã chøa hai gãc ®ã hay c¸c cÆp ®o¹n th¼ng Êy. Bíc 2: Chøng minh hai tam gi¸c ®ã bằng nhau. Bíc 3: Suy ra c¸c cÆp gãc, c¸c cÆp c¹nh t-¬ng øng b»ng nhau. - NÕu  ABC cã A  = 900,  A’B’C’ cã  A ' = 900 (h×nh 5) Th× viÖc chøng minh hai tam gi¸c nµy bằng nhau sÏ ®¬n gi¶n h¬n theo hai tr-êng hîp TH1: Cạnh huyền- góc nhọn: B B' GT ΔABC ( A  900 ) ΔA’B’C’ ( A'  900 ) BC = B’C’ B B ' KL  ABC =  A’B’C’ A C A' C' Hình 5. TH2: Cạnh huyền – cạnh góc vuông. GT ΔABC ( A  900 ) ΔA’B’C’ ( A '  900 ) BC = B’C’ AB = A’B’ KL  ABC =  A’B’C’ Ví dụ 4: Dạy định lý Pytago. - Công dụng: tính độ dài cạnh của tam giác vuông. 10/ 29
- Mô hình để suy luận (hình 6): B GT ΔABC  A  900 KL BC2 = AB2 + AC2 A C Hình 6 Dạy định lý Pytago đảo: - Công dụng: chứng minh tam giác vuông. - Mô hình để suy luận (hình 5) GT ΔABC BC2 = AB2 + AC2 KL  A  900 b) Khả năng giải bài tập phụ thuộc nhiều vào việc tiếp thu kiến thức. Mỗi khi giảng khái niệm, định lý mới, cần có những câu hỏi, bài tập miệng giúp học sinh nắm vững các dấu hiệu bản chất của khái niệm, trước khi đi vào giải bài tập trong SGK. *Ví dụ minh họa: Dạy định lý tổng ba góc trong tam giác. Sau khi phát biểu và chứng minh định lý, giáo viên đưa ra câu hỏi vận dụng sau : “ Cho biết số đo góc x trong mỗi hình vẽ sau: A C 78° 59° x B C 52° A B 2.2. Dạy bài tập tự luận: * Khi dạy bài tập tự luận, giáo viên cần chia thành các dạng bài điển hình. Với mỗi dạng bài cần chỉ ra các phương pháp chứng minh cụ thể. Dưới đây là các dạng bài và phương pháp chứng minh của dạng bài đó trong phần hình học lớp 7. 2.2.1 Chứng minh các yếu tố bằng nhau: a) Chứng minh hai góc bằng nhau: * Để chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể thực hiện một trong các cách sau: (1) Chứng minh chúng là hai góc đối đỉnh (2) Chứng minh chúng cùng bằng một góc thứ ba. (3) Chứng minh chúng cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba 11/ 29
(4) Chứng minh chúng là những góc so le trong (hoặc đồng vị, hoặc so le ngoài) tạo nên bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. (5) Chứng minh chúng là hai góc đáy của một tam giác cân (6) Chứng minh chúng là hai góc tương ứng trong hai tam giác mà ta chứng minh được là bằng nhau. (7) Chứng minh chúng là các góc nhọn có cạnh tương ứng song song (hoặc vuông góc). * Một số bài tập minh họa: Bài tâp 1. Cho ΔABC có B   1100 , C   300 . Gọi Ax là tia đối của tia AC. Tia phân giác củagóc BAx cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng ΔKAB có hai góc bằng nhau. Bài giải:   ABC Có KBA   1800 (kề bù) x   700 Tính được KBA 1 A 2 Theo định lý tổng ba góc trong tam giác có:  ABC     1800 ACB  BAC 1100 300 C  0 B Thay số : BAC  40 K  Mà BAC xAB  1800 (kề bù) =>  xAB  1400 =>    70 0 (AK là tia phân giác của góc xAB) A1  A 2   KBA => KAB   700 Bài tập 2: Cho ΔABC vuông tại A. Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại C. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D và cắt d tại E. Chứng minh rằng ΔCDE có hai góc bằng nhau. Bài giải: E  BCE vuông tại C nên: B   900 (1) B 2  ABD vuông tại A nên: B ADB  90 0 1 2 1 Mà   (đối đỉnh) nên: B ADB  CDE   CDE 1   90 0 Mặt khác B  B (gt) nên : B  CDE 1 2 2   90 0 (2)   CDE Từ (1) và (2) suy ra E  => đpcm A D C E d 12/ 29
Bài tập 3: Cho hình vẽ: Biết AB // OM // CD và Â = Cˆ = A 120° B 1200 M Hỏi tia OM có là tia phân giác AOC không? O Bài giải: 120° AB // OM  A   D AOM  1800 (hai góc trong cùng phía) C  AOM  600   0 CD // OM => C  COM  180 (hai góc trong cùng phía)   600 Tính được: COM Do đó    600 AOM  COM Vậy OM là tia phân giác của góc AOC *Bài tập đề nghị: Cho A ABC, kẻ tia phân giác AD của góc A. Từ một điểm M thuộc đoạn thẳng DC, ta kẻ đường thẳng song song với AD. Đường thẳng này cắt cạnh AC ở điểm E và cắt tia đối của AB tại điểm F. a) Chứng tỏ tam giác EAF có hai góc bằng nhau. b) Chứng tỏ   AEF  MEC b. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau * Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, ta thường sử dụng các cách sau: (1) Chứng minh chúng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba. (2) Chứng minh chúng cùng bằng hiệu hoặc tổng của những đoạn bằng nhau. (3) Sử dụng sự liên hệ giữa đường trung tuyến thuộc cạnh huyền với cạnh huyền của tam giác vuông. (4) Chứng minh chúng là hai cạnh bên của tam giác cân (5) Chứng minh chúng là các khoảng cách từ một điểm thuộc tia phân giác của một góc đến hai cạnh của góc ấy. (6) Chứng minh chúng là các khoảng cách từ một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đến hai đầu mút của đoạn thẳng ấy. (7) Chứng minh chúng là những đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song. (8) Chứng minh chúng là hai cạnh tương ứng trong hai tam giác mà ta chứng minh chúng là bằng nhau. * Một số bài tập minh hoạ: Bài tập 1: Cho một góc nhọn xOy. Trên Ox ta đặt hai điểm A, B với OA < OB. Trên Oy ta đặt hai điểm C, D sao cho OC = OA, OD = OB. a) Chứng minh: AD = BC b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. CM: IA = IC và ID = IB. c) Chứng minh: I nằm trên tia phân giác của xOy. 13/ 29
Bài giải GT   900 xOy y A, B  Ox, OA < OB D C, D  Oy, OA = OC, OB = OD AD cắt BC tại I. KL a) AD = BC C I b) IA = IC, IB = ID c) I thuộc tia phân giác của góc xOy O B x A a) Xét  OCB và  OAD có: OC = OA (gt)  COB AOD OB = OD (gt) =>  OCB =  OAD (c-g-c) => BC = AD (hai cạnh tương ứng) b) Vì  OCB =  OAD (cmt) => ODA   OBC  (hai góc tương ứng) (1)   OAD => OCB  (hai góc tương ứng)   BCD Mà OCB   1800 (kề bù); OAD   DAB   1800 (kề bù)   DAB => BCD  (2) Lại có: CD = OC – OD; AB = OB – OA Mà OA = OC; OB = OD (gt) => CD = AB (3) Từ (1), (2), (3) suy ra  ICD =  IAB (g-c-g) => IA = IC; IB = ID (hai cạnh tương ứng) c) Xét  OCI và  OAI có: OC = OA (gt) IC = IA (cmt) OI là cạnh chung. =>  OCI =  OAI (c-c-c) => COI AOI (hai góc tương ứng) => I nằm trên tia phân giác của góc xOy. Bài tập 2: Cho tam giác ABC có B  C  . Tia phân giác BD và CE của góc B và C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OH  AC, OK  AB. Chứng minh: a)  BCD =  CBE b) OB = OC c) OH = OK Bài giải: 14/ 29
A GT  ABC, B  C  B B ; C  C  1 2 1 2 OH  AC, OK  AB E D K H KL a)  BCD =  CBE O b) OB = OC 1 2 1 2 c) OH = OK B C a) Vì  ABC    B ACB  B1  C 2  C 1  2 Xét  BCD =  CBE có:   EBC DCB  (gt) BC là cạnh chung B C  (cmt) 2 2 =>  BCD =  CBE (g-c-g)   CDO b) Từ (a) suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng) và BEO  (hai góc tương ứng) Xét  OBE và  OCD có:  C B  (cmt) 1 1 BE = CD (cmt)   CDO BEO  (cmt) =>  OBE =  OCD (g-c-g) => OB = OC (hai cạnh tương ứng) c) Xét  OHB và  OKC có:   OKC OHB   900 OB = OC (cmt)  C B  (cmt) 1 1  OHB =  OKC (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OK (hai cạnh tương ứng) * Bài tập đề nghị Cho một đường thẳng d và ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy thuộc d. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, ta vẽ hai tam giác đều ABD, BEC. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, CD a) Chứng minh: AE = DC b) Chứng minh tam giác MBN là tam giác đều. 2.2.2 Chứng minh các đường thẳng song song, chứng minh các đường thẳng vuông góc. a) Chứng minh hai đường thẳng song song. * Ta có thể sử dụng các cách sau để chứng minh hai đường thẳng song song: (1) Chứng minh chúng tạo với một đường thẳng thứ ba các góc so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau. (2) Sử dụng tiên đề Euclide, thường chứng minh bằng phản chứng. 15/ 29
(3) Chứng minh chúng cùng song song với một đường thẳng. (4) Chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng. * Bài tập minh hoạ: Bài tập 1. Cho hình vẽ sau. Hãy chứng tỏ đường thẳng xy // Am bằng 3 cách. m x 1 1 2 B 2 A y Bài giải: B Cách 1: Ta có B   1080 (hai góc kề bù) => B   1200 1 2 2  Do đó B A1  1200 2 Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.  xy // Am (hai góc đồng vị bằng nhau) Cách 2: Tính  A2  600 =>    600 => xy // Am (hai góc SLT bằng nhau) A2  B1 Cách 3: Tính B  1200 ,  A2  600 =>    1800 => xy // Am (hai góc TCP bù nhau). A2  B 2 2 Bài tập 2. Tìm trên hình vẽ bên các cặp đường thẳng song song: a A 700 1100 b B C c 1100 b   Bài giải: aA ABb  1800 => a // b (hai góc TCP bù nhau)   1100 => b // c (hai góc đồng vị bằng nhau) Tính BCc d  aA   1800 => a // c (hai góc TCP bù nhau) B  BCc a Bài tập 3. Cho hình vẽ bên: a) Chứng tỏ a // b b A 500 b) Chứng tỏ: a // c Bài giải: c 500 B e 16/ 29
a  d a)   a / / b (cùng vuông góc với d) b  d b) A  B   500 . Mà hai góc này ở vị trí so le trong => b // c (hai góc SLT bằng nhau) c) Vì a // b, b // c nên a // c (cùng song song với b) *) Bài tập đề nghị: Cho hình vẽ: t a) Hai đường thẳng Mz và Ny có n song song với nhau hay không? M 300 z Vì sao? 1500 b) Hai đường thẳng Ny và Ox có y N song song với nhau hay không? Vì sao? 1200 O x b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc : *) Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể sử dụng một trong các cách sau: (1) Chứng minh đó là hai đường phân giác của hai góc kề bù. (2) Chứng minh hai đường này cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc bằng 900 (3) Chứng minh đường thẳng thứ nhất vuông góc với một đường thẳng khác mà song song với đường thẳng thứ hai. (4) Sử dụng tính chất ba đường cao trong tam giác. (5) Chứng minh đường thẳng thứ nhất là đường trung trực của một đoạn thẳng nằm trên đường thẳng kia. (6) Sử dụng tính chất đường cao của tam giác cân. (7) Chứng tỏ chúng là hai đường thẳng chứa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, thường kết hợp với việc tính tổng hai góc hoặc sử dụng định lý Pytago. *) Các bài tập minh họa: Bài tập 1: Cho hai đường thẳng song song xx’ và yy’. Vẽ đường thẳng a cắt xx’ tại A, cắt yy’ tại B. Tia phân giác của các góc xAB và ABy cắt nhau tại C; tia phân giác của các góc BAx’ và ABy’ cắt nhau tại D. Chứng minh rằng: a) CA  DA; CB  DB b) AC  CB; AD  BD Bài giải: 17/ 29
GT xx’ // yy’ A   CAB xAC  ; BAD   DAx ' x x'  ;  yBC  CBA ' ABD  DBy C D KL a) CA  DA; CB  DB b) AC  CB; AD  BD y B y' a) AC là tia phân giác của góc xAB (gt) AD là tia phân giác của góc BAx’ (gt) Mà hai góc xAB và BAx’ kề bù.  CA  DA Chứng minh tương tự có: CB  DB  b) Vì xx’ // yy’ => xAB ABy  1800 (kề bù)   CBA => CAB   1800 : 2  900 =>  CAB vuông tại C => AC  CB Chứng minh tương tự có  DAB vuông tại D => AD  BD Bài tập 2: Cho góc xOy, lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. Gọi K là giao điểm của AB và tia phân giác góc xOy. Chứng minh rằng:OK  AB Bài giải: GT góc xOy A A  Ox, B  Oy; OA = OB   KOB KOA  K KL OK  AB O B Vì OA = OB (gt) =>  AOB cân tại O Mà OK là đường phân giác xuất phát từ đỉnh O (gt) => OK đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh O (t/c tam giác cân) => OK  AB Bài tập 3: Cho tam giác ABC nhọn có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D. Chứng minh: AD  BE. Bài giải: 18/ 29
A GT  ABC nhọn, AC > AB AE = AB   CAD BAD  E KL AD  BE. B C D Xét  ABD và  AED có: AB = AE (gt)   CAD BAD  (gt) AD là cạnh chung. =>  ABD =  AED (c-g-c) => DB = DE (hai cạnh tương ứng) Mà AB = AE (gt) => AD là đường trung trực của đoạn thẳng BE (tính chất trung trực) Do đó: AD  BE. * Bài tập đề nghị: Cho tam giác ABC vuông tại C. Kẻ đường cao CH. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = BC; CN = CH. Chứng minh: MN  AC 2.2.3. Chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy a) Chứng minh các điểm thẳng hàng * Các cách thường dùng để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: (1) Chứng minh AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB hoặc BA + AC = BC) (2) Chứng minh  ABC  1800 (3) Sử dụng tiên đề Euclide, chứng minh hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC cùng song song với một đường thẳng khác. (4) Sử dụng tính chất của các đường trong tam giác (trung tuyến, phân giác, đường cao, trung trực). Chứng minh rằng A, B, C cùng thuộc một trong các đường ấy. *Bài tập minh hoạ: Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng. Bài giải: E N D GT  ABC D thuộc tia đối AB: AD = AB E thuộc tia đối AC: AE = AC A CM = EN KL M, A, N thẳng hàng. B C M 19/ 29
Xét ΔABC và ΔADE có: AB = AD (gt)   DAE BAC  (đối đỉnh) AC = AE (gt) => ΔABC = ΔADE (c-g-c)  => DEA ACB (hai góc tương ứng) Xét ΔAEN và ΔACM có: AC = AE (gt)  DEA ACB (cmt) CM = EN (gt) => ΔAEN = ΔACM (c-g-c)   CAM => EAN  (hai góc tư)   NAC Mà EAN   1800 (kề bù) => CAM  NAC  1800   1800 => Ba điểm M, A, N thẳng hàng. Hay NAM Bài tập 2: Cho  ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm AB. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB, trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho EN = EC. Chứng minh rằng: ba điểm M, A, N thẳng hàng. Bài giải: A M GT ABC N 1 2 3 DA = DC; EA = EB D E M thuộc tia đối DB: DM = DB N thuộc tia đối EC: EN = EC B C KL M, A, N thẳng hàng. Xét  ADM và  CDB có: DA = DC (gt)   (đối đỉnh) ADM  CDB DM = DB (gt) =>  ADM =  CDB (c-g-c)   A3   ACB (hai góc tương ứng)  AM // BC (hai góc so le trong bằng nhau)(1) Chứng minh tươn tự có  AEN =  BEC (c-g-c)    (hai góc tương ứng) A1  ABC  AN // BC (hai góc so le trong bằng nhau) (2) Từ (1) và (2) suy ra qua điểm A có hai đường thẳng cùng song song với BC (trái với tiên đề Ơclit) Do đó: AN trùng với AN hay ba điểm M, A, N thẳng hàng. 20/ 29