Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số kinh nghiệm về dạy học giải phương trình tích Đại số 8

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm "Một số kinh nghiệm về dạy học giải phương trình tích Đại số 8" nhằm hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học bộ môn toán và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính logic, chỉ ra các phương pháp dạy học các loại bài tập Giải các dạng phương trình đưa về dạng phương trình tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số kinh nghiệm về dạy học giải phương trình tích Đại số 8

1/15 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ===*****=== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐẠI SỐ 8” Môn : Toán Cấp học : Trung học Cơ sở Tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Đơn vị công tác : Trường THCS Liên Trung Chức vụ : Giáo viên Năm học : 2020 – 2021 MỤC LỤC
2/15 TT Nội dung Trang PHẦN I.ĐẶT VẤN ĐỀ 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 1 3 3. Đối tượng nghiên cứu 2 4 4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 2 5 5. Phương pháp nghiên cứu 2 6 6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu 2 7 7. Kết quả khảo sát trước khi thực hiện 2 PHẦN II –GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 1.Tên đề tài 3 2 2. Cơ sở lý luận 3 3 3.Thực trạng 3-4 4 4. Các nguyên nhân, yếu tố tác động 4 5 5 .Giải pháp, biện pháp 4-6 6 6. Các ví dụ 6 - 14 7 7. Kết quả khảo sát sau khi thực hiện 14 PHẦN III.KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1 Kết luận 15 2 Khuyến nghị 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/15 PHẦN I.ĐẶT VẤN ĐỀ Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng , đó là niềm say mê của những người yêu thích toán học . Đối với học sinh để có một kiến thức vững chắc , đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện , học hỏi rất nhiều và bền bỉ . Đối với giáo viên : làm thế nào để trang bị cho các em có đầy đủ kiến thức ? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân 1. Lý do chọn đề tài Chuyên đề “Giải phương trình tích ”được học khá kỹ ở chương trình lớp 8 , nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên . Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn đề quan trọng . Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán 8 tôi đã dày công tìm tòi ; nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải phương trình tích đa dạng và dễ hiểu . Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh . Trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung ; dùng hằng đẳng thức; tách hạng tử ; phương pháp thêm bớt hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; để làm một số dạng bài tập giải phương trình tích. Khi học chuyên đề này học sinh rất thích thú , vì có các ví dụ đa dạng , có nhiều bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng tích từ đó giúp các em học tập kiến thức mới và giải được một số bài toán khó. 2. Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài Trong nhiều năm tôi được phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy . Tôi đã tích lũy được nhiều kiến thức về dạng toán “ giải phương trình tích” và những dạng bài tập vận dụng đặc biệt là hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu ; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học bộ môn toán và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính logic, chỉ ra các phương pháp dạy học các loại bài tập “ Giải các dạng phương trình đưa về dạng phương trình tích” Đổi mới phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học và bồi dưỡng học sinh đại trà và học sinh giỏi Cụ thể là : - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp đã thực hiện - Những chuyển biến sau khi áp dụng - Rút ra bài học kinh nghiệm
2/15 3. Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 8B do tôi trực tiếp giảng dạy . 4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu giải phương trình tích và các bài tập vận dụng trong chương trình học kỳ II môn đại số lớp 8. Vận dụng các phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử; nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức của học kì I. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách và tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề 6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu Thời gian nghiên cứu của đề tài là trong năm học 2020 – 2021. Đề tài này có thể thực hiện đối với học sinh đại trà và học sinh khá giỏi khối lớp 8 ở trường Trung học cơ sở. 7. Kết quả khảo sát trước khi thực hiện: - Học lực môn toán năm học 2019 - 2020 Tổng số Giỏi Khá Trung bình Yếu học sinh 35 HS SL % SL % SL % SL % 2 4,3% 7 20% 15 42,9% 11 32,8%
3/15 PHẦN II –GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Tên đề tài: “MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐẠI SỐ 8” 2. Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải tự học ; tự nghiên cứu rất cao .Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục . Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo ; tư duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội . Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môn toán ( cụ thể là môn đại số lớp 8 ) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan . Để làm được như vậy thì giáo viên cần gợi sự say mê học tập ; tự nghiên cứu , đào sâu kiến thức của các em học sinh. 3. Thực trạng : a)Thuận lợi : - Ban giám hiệu nhà trường chỉ đạo thường xuyên coi việc phát triển năng lực chuyên môn là then chốt ; nhà trường đã phát động nhiều phong trào nhằm đẩy mạnh công tác chuyên môn . Tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để các thầy cô giáo có điều kiện học hỏi đúc rút được nhiều kinh nghiệm cho bản thân - Đa số giáo viên nhiệt tình trong công tác giảng dạy ; học sinh ham học - Cơ sở vật chất của nhà trường đầy đủ ; đồ dung học tập phong phú - Tài liệu tham khảo đa dạng ; đội ngũ giáo viên có năng lực vững vàng ,nhiệt tình. - Đa số các em ham học ; thích nghiên cứu đã nhận thức đúng đắn về ý thức học tập cần phải hăng say học tập. - Học sinh đã nắm được kiến thức một cách có hệ thống ; các em đã nắm được các dạng bài tập và phương pháp giải các bài tập đó. - Đã gợi được sự say mê học tập của các em học sinh. b) Khó khăn : - Lực học của các em không đồng đều . Một số em học sinh tiếp thu còn chậm không đáp ứng được yêu cầu của chương trình. - Thời lượng thực hiện giảng dạy còn hạn chế . Một số em học sinh tiếp thu còn chậm. - Thời gian thực tế trên lớp ít nên việc lồng ghép các dạng toán có liên quan còn khó khăn do đó có những bài toán mới học sinh còn bỡ ngỡ chưa biết cách giải.
4/15 -Một số em lười học, bị mất gốc nhiều dẫn đến trong quá trình biến đổi hay bị sai sót, hoặc không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng chưa linh hoạt các kiến thức liên quan vào giải phương trình. -Nhiều em chưa biết sắp xếp thời gian học một cách khoa học nên học chưa hiệu quả v.v… 4.Các nguyên nhân ; các yếu tố tác động - Xuất phát từ thực trạng nói trên nguyên nhân chủ yếu là nhằm giúp cho các em học sinh có ý thức học tập đúng đắn ; tạo sự ham mê học tập giúp các em có điều kiện lĩnh hội được một số kiến thức để các em học tập sau này được tốt hơn - Xuất phát từ sự ham học hỏi của học sinh và sự ham mê nghiên cứu và lòng yêu nghề của bản thân - Sự chỉ đạo sát sao của các cấp chuyên môn phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy 5. Giải pháp , biện pháp a)Mục tiêu của giải pháp , biện pháp - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng “ Phương trình tích ” . Đồng thời vận dụng các phương pháp đó để giải các bài toán hay và khó hơn . - Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử rồi phân tích đa thức đưa về dạng tích. Giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích là gì ? ” Và những dạng bài tập nào thì vận dụng được nó và vận dụng như thế nào Phân tích vế trái thành một tích ( thừa số ) là biến đổi vế trái thành một tích của các đa thức ; đơn thức khác của ẩn và vế phải bằng 0 b)Điều kiện thực hiện giải pháp ; biện pháp - Thực hiện chuyên đề của tổ,với sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp. - Thực hiện trong quá trình giảng dạy thông qua các tiết học trên lớp ; các tiết giải bài tập và một số tiết dạy phụ đạo. - Biện pháp tổ chức thực hiện tập trung hoặc phân theo từng nhóm đối tượng học sinh. c) Mối quan hệ giữa các giải pháp biện pháp Với các phương pháp biến đổi như giải phương trình tích đơn giản ; phương pháp tách hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; phương pháp quy đồng mẫu và khử mẫu ; phương pháp cộng vào hai vế ; nhóm rồi quy đồng đưa các hạng tử có tử giống nhau để đặt nhân tử chung đều có mục đích chung là đưa các phương trình đó về dạng phương trình tích.
5/15 d) Nội dung và phương pháp thực hiện Để chuẩn bị tốt cho việc giải phương trình tích trong học kì II, ở học kì I tôi đã chú trọng rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho các em. Đối với các em trung bình yếu thì tôi tập trung vào các phương pháp phân tích đa thức cơ bản và làm đi làm lại các bài tập đơn giản để các em nắm được các phương pháp. Ngoài ra để nâng cao chất lượng học sinh giỏi và khá tôi đưa thêm một số phương pháp mở rộng như phương pháp tách hạng tử, phương pháp thêm bớt và phương pháp đặt biến phụ.Vì vậy khi dạy phần phương trình tích sẽ thuận lợi hơn rất nhiều.Khi vào giải phương trình tích tôi cho học sinh ôn lại một tích bằng không khi nào và tôi đã làm như sau đối với dạng phương trình tích. Giáo viên đặt câu hỏi : Một tích bằng 0 khi nào ? Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng ? - Cần cho học sinh thấy rõ là : Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số phải có một thừa số bằng 0 - Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích đó bằng 0 Ví dụ : Giải phương trình : 2 x 3 x 1 0 ( 1 ) Phương pháp giải : Tính chất nêu trên của phép nhân có thể viết ab = 0 a = 0 hoặc b = 0 ( với a ; b là các số ) Đối với phương trình ta cũng có : 2 x 3 x 1 0 2x – 3 = 0 Hoặc x + 1 = 0 Do đó để giải phương trình ( 1 ) ta phải giải hai phương trình 1/ 2x – 3 = 0 2x = 3 x = 1,5 2/ x + 1 = 0 x=-1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 1,5 và x = - 1 Và ta viết tập hợp nghiệm của phương trình là : S = { 1,5; −1} Giải phương trình như trên được gọi là giải phương trình tích Giáo viên đưa ra dạng phương trình tích tổng quát . GV? : Để giải phương trình tích : A(x 1 ) . A(x 1 ) . ……….A(x n ) = 0 ( II ) thì ta cần giải những phương trình nào ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải các phương trình sau A( x 1 ) = 0 ( 1 ) ; A( x 2 ) = 0 ( 2 ) ;… ; A ( x n ) = 0 ( n ) Nghiệm của các phương trình ( 1 ) ; ( 2 ) …….( n ) là nghiệm của phương trình ( II ).Với các giá trị của x thỏa mãn điều của phương trình ( II ) Sau khi học sinh nắm được kiến thức cơ bản của phương trình tích , khi luyện tập các dạng bài tôi đã phân dạng toán dựa vào kinh nghiệm và nghiên cứu tài liệu để học sinh biết được các phương trình nào thì nên đưa về dạng tích
6/15 và cách phân tích dạng phương trình đó ra sao. Và đây là một số ví dụ mà tôi đã áp dụng. 6.Một số ví dụ áp dụng DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN Ví dụ 1: Giải phương trình x 1 x 4 2 x 2 x Nhận xét: Ở phương trình này có chứa dấu ngoặc nhưng chưa có nhân tử chung ở các tích do đó ta làm như sau: Bước 1 : Chuyển hạng tử ở vế phải về vế trái và đổi dấu hạng tử đó. Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức và hằng đẳng thức A 2 – B2 để bỏ dấu ngoặc , sau đó áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích. Ta có : x 1 x 4 2 x 2 x x 1 x 4 2 x 2 x 0 x2 x 4x 4 22 x2 0 2x 2 5x 0 x 2x 5 0 Bước 2 : Giải phương trình tích vừa tìm được rồi kết luận nghiệm x 0 x 0 x 2x 5 0 5 2x 5 0 x 2 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 0; 2 Ví dụ 2 : Giải phương trình : 3 x 5 2 x 2 1 0 Gợi ý: Đây là phương trình tích ở dạng chính tắc do đó vẫn thực hiện cách giải thông thường , vì 2; 3; 5 cũng được coi là các hệ số thông thường Giải : Ta có 3 x 5 2x 2 1 0 3 x 3 x 5 0 5 2x 2 1 0 1 x 2 2 3 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = ; 5 2 2 3 1 Ví dụ 3: Giải phương trình : x 1 x 3x 7 7 7 Cách 1: Tương tự ví dụ 1 ta thực hiện phép chuyển vế ta có : 3 1 3 1 x 1 x 3x 7 x 1 x 3x 7 0 7 7 7 7 3 3 2 3 3 2 x 1 x x 0 x x 1 x 0 7 7 7 7
7/15 1 x 0 x 1 3 x 1 1 x 0 3 7 7 x 1 0 x 7 3 7 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 1; 3 Cách 2: chuyển hạng tử ở vế phải sang vế trái khi đó vế phải bằng 0, quan sát hai hạng tử đầu ở vế trái nếu đặt 1/7 ra ngoài sẽ xuất hiện nhân tử chung, sử dụng đặt nhân tử chung đưa được về phương trình tích. 3 1 3 1 1 1 x 1 x 3x 7 x − 1 − x ( 3x − 7 ) = 0 ( 3x − 7 ) − x ( 3x − 7 ) = 0 7 7 7 7 7 7 1 x 0 x 1 1 ( 3x − 7 ) ( 1 − x ) = 0 3 7 7 x 1 0 x 7 3 7 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 1; 3 Ví dụ 4: Giải phương trình : x 2 2 x 1 4 0 Gợi ý: biến đổi vế trái dựa vào hằng đẳng thức . Giải : Ta có x 2 2 x 1 4 0 ( x 2 2 x 1) 4 0 2 x 1 22 0 x 1 2 x 1 2 0 x 3 0 x 3 x 3 x 1 0 x 1 0 x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 3} Ví dụ 5: Giải phương trình : x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 0 Cách 1: học sinh có thể sử dụng hằng đẳng thức để bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn các hạng tử và phân tích vế trái thành nhân tử. Cách 2: Gợi ý: nhận ra được hằng đẳng thức bình phương của một tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức rồi mới phân tích thành nhân tử Ta xem ( x- 1 ) =A ; ( x + 2 ) = B phương trình có dạng ( A + B ) 2 = 0 Giải : Ta có x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 0 2 x 1 x 2 0 x 1 x 2 0 1 x 1 x 2 0 2x 1 0 x 2 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = − 2 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
8/15 Ví dụ 1 : Giải phương trình : x 3 3x 2 2 x 0 Cách 1 : Ta có : x 3 3x 2 2 x 0 x x 2 3 x 2 0 x ( x 2 + x + 2 x + 2 ) = 0 ( tách 3x = x + 2x ) x x2 x 2x 2 0 ( nhóm hạng tử ) xxx 1 2x 1 0 ( đặt nhân tử chung cho từng nhóm ) x( x 1)( x 2) 0 ( đặt nhân tử chung ) x 0 x 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S ={0; -1; -2} Cách 2: Đối với phương trình bậc cao f(x) = 0, nếu tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng hệ số của hạng tử bậc lẻ thì đa thức f(x) có nhân tử là (x + 1), do đó khi tách hạng tử để làm sao nhóm các hạng tử sẽ xuất hiện nhân tử chung là x +1.còn nếu tổng hệ số của các hạng tử bằng 0 thì sẽ có nhân tử x – 1.Ở ví dụ trên ta thấy 1+2 = 3. Do đó ta sẽ làm như sau : Ta có x 3 3x 2 2 x 0 x 3 x 2 2 x 2 2 x 0 ( tách 3x 2 = x 2 + 2 x 2 ) x3 x2 2x 2 2x 0 x 2 ( x 1) 2 x( x 1) 0 x 1 x2 2x 0 x( x 1)( x 2) 0 x 0 x 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S ={0; -1; -2} Ngoài ra ta có thể thử 1 số nghiệm nhỏ như 0; 2; -2; 3; -3 vào phương trình nếu có nghiệm ta thử thì sẽ tách các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung chứa nghiệm đó. Ví dụ 2: Giải phương trình : x 3 19 x 30 0 Ở đây ta x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta làm như sau: Giải : Ta có : x 3 19 x 30 0 x 3 9 x 10 x 30 0 x3 9x 10 x 30 0 x x2 9 10 x 3 0 x 3 x2 3x 10 0 x 3 x2 5 x 2 x 10 0 x 3 x2 5x 2 x 10 0 ( x 3) x x 5 2x 5 0 x 3 x 5 x 2 0 x 3 0 x 3 x 5 0 x 5 x 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S ={- 3; - 2; 5}
9/15 Ví dụ 3 : Giải phương trình : 3x 2 5 x 2 0 ac = b1.b2 Cách 1: tách hạng tử bx = b1 x + b2 x bằng cách tính b = b1 + b2 ac = −6 b1 = 6 Ở ví dụ trên ta có b=5 b2 = −1 Như vậy phương trình được biến đổi như sau: 3x 2 5x 2 0 3x 2 6x x 2 0 ( 3x 2 ) + 6x − ( x + 2) = 0 3x ( x + 2 ) − ( x + 2 ) = 0 x 2 x 2 0 ( x + 2 ) ( 3x − 1) = 0 3x 1 0 x 1 3 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 2; 3 Cách 2: Tách hạng tử 5x = 12x – 7x và hạng tử -2 = 12-14. Sau đó nhóm để xuất hiện nhân tử chung: 3x 2 + 5x − 2 = 0 ( 3x 2 + 12x + 12 ) − ( 7x + 14 ) = 0 3 ( x 2 + 4x + 4 ) − 7 ( x + 2 ) = 0 3( x + 2) − 7 ( x + 2) = 0 2 ( x + 2) 3 ( x + 2) − 7 =0 ( x + 2 ) ( 3x-1) = 0 x 2 x 2 0 1 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 2; 3x 1 0 x 3 3 Ví dụ 4: Giải phương trình : x 2 3x 2 0 Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x Ta có : x 2 3x 2 0 x 2 x 2 x 2 0 x2 x 2x 2 0 xx 1 2x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 x 2 0 x 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {1; 2} Cách 2 : Tách hạng tử 2 = - 4 + 6 Ta có : x 2 3x 2 0 x 2 3x 4 6 0 x2 4 3x 6 0 x 2 x 2 3x 2 0 x 2 0 x 2 x 2 x 1 0 x 1 0 x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {1; 2}
10/15 3 9 1 Cách 3 : Biến đổi -3x = -2.x. ;2= ; 2 4 4 3 9 1 Ta có : x 2 3x 2 0 x2 2.x. 0 2 4 4 2 2 3 9 1 3 1 x2 2.x. 0 x 0 2 4 4 2 2 3 1 3 1 x− + x− − =0 ( x − 1) ( x − 2 ) = 0 2 2 2 2 x 2 0 x 2 x 1 0 x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {1; 2} Ở dạng này học sinh trung bình khá nên chọn cách 1 dễ dàng thực hiện hơn Vì để tách hạng tử bx các em có thể sử dụng máy tính để tìm nghiệm của phương trình ax2 +bx +c = 0 sau đó tách hạng tử bx theo nghiệm tìm được. Qua các ví dụ ở dạng 1 và 2 giáo viên củng cố một số kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích. - Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi về tích bằng cách đặt nhân tử chung. - Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử dụng ngay phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử - Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút gọn hoặc tìm cách nhóm các hạng tử để làm xuất hiện tích. - Nếu phương trình có một vế là tam thức bậc hai thì tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi nhóm và làm xuất hiện nhân tử chung. DẠNG 3: BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN PHỤ. Ví dụ 1: Giải phương trình : x 4 13x 2 36 0 Gợi ý: đặt biến phụ sau khi tìm được giá trị của biến phụ ta lắp giá trị đó vào biểu thức liên quan ban đầu để tìm nghiệm . Ở đây ta đặt x 2 = a ta có cách giải sau Giải :Ta có : x 4 13x 2 36 0 a 2 13a 36 0 a2 4a 9a 36 0 a 2 4a 9a 36 0 a 4 0 a 4 a 4 a 9 0 a 9 0 a 9 x2 4 x 2 Vì ta đặt x 2 a x 2 9 x 3
11/15 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 2; 3 Ví dụ 2: Giải phương trình : 2 x 4 5 x 2 2 0 Gợi ý: ta biến đổi vế trái bằng cách đặt ẩn phụ x 2 = a để đưa về dạng tích Giải :Ta có : 2 x 4 5 x 2 2 0 2a 2 5a 2 0 2a 2 4a a 2 0 2a 2 4a a 2 0 2a a 2 a 2 0 2a 1 a 2 0 a 2 a 2 0 1 2a 1 0 a 2 x2 2 Vì ta đặt x 2 a 1 x2 2 Điều này không thể xảy ra vì x 2 0 với mọi giá trị của x Vậy phương trình đã cho vô nghiệm,tập nghiệm của phương trình là : S = Ví dụ 3: Giải phương trình : 2 x 4 7 x 2 4 0 Gợi ý: ta biến đổi vế trái bằng cách đặt ẩn phụ x 2 a để đưa về dạng tích Giải : Ta có : 2 x 4 7 x 2 4 0 2a 2 7a 4 0 2a 2 8a a 4 0 2a 2 8a a 4 0 a 4 a 4 0 2a 1 a 4 0 1 2a 1 0 a 2 x2 4 Vì ta đặt x 2 a 1 x 2 x2 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 2 Ví dụ 4: Giải phương trình: ( 2 x 2 − 3x − 1) − 3 ( 2x 2 − 3x − 5 ) − 16 = 0 2 Ở phương trình này vế trái là đa thức bậc 4 do đó ta có thể sử dụng đặt biến phụ để đưa về đa thức bậc hai rồi biến đổi. ta biến đổi như sau: Đặt 2x 2 − 3x − 1 = y thì 2x 2 − 3x − 5 = y − 4 Phương trình đã cho có dạng: y − 3 ( y − 4 ) − 16 = 0 ( y + 1) ( y − 4 ) = 0 2 y +1 = 0 y = −1 2x 2 − 3x − 1 = −1 x ( 2x − 3) = 0 y−4 =0 y=4 2x 2 − 3x − 1 = 4 ( x + 1) ( 2x − 5 ) = 0 3 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là : s = −1; 0; ; 2 2 Ví dụ 5: Giải phương trình: x ( x − 1) ( x + 4 ) ( x + 5 ) = 84 ở phương trình này ta nhận thấy nếu tính tích x ( x + 4 ) = x + 4x và 2
12/15 ( x − 1) ( x + 5 ) = x 2 + 4x − 5 việc nhóm như vậy sẽ dễ dàng đặt biến phụ để đưa vế trái về tam thức bậc hai như ví dụ 4. Ta làm như sau: x ( x − 1) ( x + 4 ) ( x + 5 ) = 84 x ( x + 4 ) . ( x − 1) . ( x + 5 ) − 84 = 0 (x 2 + 4x ) ( x 2 + 4x − 5 ) − 84 = 0 Đặt: x 2 + 4x = y x 2 + 4x − 5 = y − 5 Phương trình đã cho có dạng: y ( y − 5) − 84 = 0 y 2 − 5 y − 84 = 0 y+7 =0 y = −7 x 2 + 4x = 12 ( x − 2) ( x + 6) = 0 ( y + 7 ) ( y − 12 ) = 0 y − 12 = 0 y = 12 x 2 + 4x = −7 x 2 + 4x + 7 = 0 Vì x 2 + 4x + 7 = ( x + 2 ) + 3 > 0 nên tập nghiệm của phương trình là: S = { −6; 2} 2 DẠNG 4: BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của phương trình .Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu thức khác không . Sau đây là một số ví dụ về dạng phương trình này. x 2 1 2 Ví dụ 1: Giải phương trình : x 2 x xx 2 ( 1 ) ĐKXĐ: x 0 và x 2 x 2x x 2 2 Ta có ( 1 ) xx 2 xx 2 x 2x x 2 2 x2 2x x 2 2 x2 x 0 xx 1 0 x 0 x 0 x 1 0 x 1 Vì điều kiện xác định của phương trình là : x 0 và x 2 Nên với x = 0 loại . Do đó tập nghiệm của phương trình là : S ={-1} x 2 3 2 x 11 Ví dụ 2: Giải phương trình : (2) ĐKXĐ: x 2 x 2 x 2 x2 4 2 x 2 3x 2 2 x 11 Ta có (2) x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 3x 2 2 x 11 x2 9 x 20 0 x 4 0 x 4 x 4 x 5 0 x 5 0 x 5 Vì x = 4 ; x = 5 Thuộc tập xác định của phương trình Vậy tập nghiệm của phương trình là : S ={4; 5} 3 2x 1 Ví dụ 3 : Giải phương trình : x (3) ĐKXĐ: x 2 x 2 x 2 3 2x 1 x x 2 Ta có :(3) x 2 x 2
13/15 3 2x 1 x 2 2x x2 4x 4 0 2 x 2 0 x 2 0 x 2 (không thỏa mãn ĐKXĐ ) Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 1 1 Ví dụ 4 : Giải phương trình : x x2 (4) ĐKXĐ: x 0 x x2 x3 x x4 1 Ta có: (4) x2 x2 x3 x x4 1 x3 x x4 1 0 x3 x4 1 x 0 1 x x3 1 0 1 x x 1 x2 x 1 0 2 1 3 Vì x 2 x 1 x 0 2 4 Nên x 1 0 x 1 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của phương trình là : S = {1} DẠNG 5: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo mỗi dạng phương trình mà ta có thể có những cách biến đổi khác nhau . Để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích . Sau đây là một dạng phương trình đặc trưng 2 x 1 x x Ví dụ 1: Giải phương trình : 1 2001 2002 2003 Gợi ý: ta cộng thêm 2 vào hai vế của phương trình và biến đổi như sau: 2 x 1 x x 2 x 1 x x 1 1 1 1 2001 2002 2003 2001 2002 2003 2003 x 2003 x 2003 x 2003 x 2003 x 2003 x 0 2001 2002 2003 2001 2002 2003 1 1 1 2003 x 0 2003 x 0 x 2003 2001 2002 2003 1 1 1 Vì 0 2001 2002 2003 Vậy nghiệm của phương trình là : S = {2003} x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Ví dụ 2 : Giải phương trình : 94 93 92 91 90 89 Cộng thêm 3 vào hai vế của phương trình ta được x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 94 93 92 91 90 89 x 95 x 95 x 95 x 95 x 95 x 95 94 93 92 91 90 89
14/15 x 95 x 95 x 95 x 95 x 95 x 95 0 94 93 92 91 90 89 1 1 1 1 1 1 x 95 0 94 93 92 91 90 89 1 1 1 1 1 1 x 95 0 x 95 Vì 0 94 93 92 91 90 89 Vậy nghiệm của phương trình là : S ={- 95} x 5 x 15 x 25 x 1990 x 1980 x 1970 Ví dụ 3: Giải phương trình : 1990 1980 1970 5 15 25 Trừ đi 3 đơn vị vào hai vế của phương trình ta được x 5 x 15 x 25 x 1990 x 1980 x 1970 1 1 1 1 1 1 1990 1980 1970 5 15 25 x 1995 x 1995 x 1995 x 1995 x 1995 x 1995 0 1990 1980 1970 5 15 25 1 1 1 1 1 1 x 1995 0 1990 1980 1970 5 15 25 1 1 1 1 1 1 x 1995 0 x 1995 Vì 0 1990 1980 1970 5 15 25 Vậy nghiệm của phương trình là : S = {1995} Nhận xét: đối với các ví dụ ở dạng 5 nếu quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thì việc giải phương trình rất phức tạp vì mẫu thức chung khá lớn. do đó nếu gặp phương trình ở dạng này ta nên cộng, trừ tử với mẫu của mỗi phân thức nếu thấy xuất hiện biểu thức giống nhau thì tìm cách cộng hoặc trừ thêm vào mỗi hạng tử một số nào đó để khi quy đồng từng nhóm làm xuất hiện tử giống nhau rồi áp dụng đặt nhân tử chung và giải phương trình thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn 7.Kết quả khảo sát sau thực hiện Trên đây là một số kinh nghiệm trong việc dạy học môn toán giải phương trình tích.Được ứng dụng một số phương pháp biến đổi khác nhau trong quá trình giải để đưa về dạng phương trình tích . qua việc thực hiện kết quả đạt được là học sinh đã tiếp thu bài tốt hơn rất nhiều so với khi chưa thực hiện phương pháp này Kết quả trước và sau khi thực hiện kinh nghiệm dạy về phương trình tích được khảo sát như sau .Khảo sát 35học sinh lớp 8B, kết quả đạt được như sau : Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài Xếp loại Số lượng % Số lượng % Giỏi 2 4,3 5 14,3 Khá 7 20 14 40 TB 15 42,9 12 34,3 Yếu 11 32,8 4 11,4
15/15 PHẦN III.KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1.Kết luận Việc áp dụng các phương pháp biến đổi phương trình để đưa về dạng phương trình tích rất có hiệu quả . Làm cho học sinh thay đổi được tính tư duy ; sự nhận thức nhanh hơn ; nhìn nhận một vấn đề sâu rộng hơn ; chắc chắn hơn . học sinh đã biết phân tích biến đổi nhìn nhận bài toán bằng nhiều khía cạnh khác nhau . Kết quả khảo sát cao hơn nhiều so với khi chưa áp dụng phương pháp này Trong quá trình thực hiện bản thân tôi không thể tránh khỏi những khiếm khuyết thiếu sót .Tính lôgic của hệ thống các phương trình nên bản thân tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu từ quý thầy cô giáo nói chung và quý thầy cô giáo bộ môn toán nói riêng .Nhất là các đồng chí trong tổ chuyên môn để bản thân tôi đúc rút được nhiều kinh nghiệm hơn trong quá trình dạy học nói chung và trong việc dạy học bộ môn toán nói riêng trong đó có việc dạy học giải phương trình tích . Bản thân tôi xin chân thành cảm ơn! 2. Khuyến nghị : - Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian hơn nữa để các em được tham dự các chuyên đề rút ra từ những kinh nghiệm như trên. - Nhà trường cần tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất về kinh phí để thực hiện các chuyên đề có tính chất liên quan. - Trong quá trình thực hiện đề tài tôi luôn nhận được sự khích lệ, góp ý kịp thời của ban giám hiệu và đồng nghiệp trong trường . Đó là một nguồn cổ vũ, động viên tôi rất lớn, giúp tôi thành công khi thực hiện đề tài này. Tôi rất xúc động đón nhận tấm lòng cùng sự quan tâm của các thầy cô và xin trân trọng cảm ơn. - Do năng lực còn hạn chế, kinh nghiệm chưa nhiều, chắc chắn rằng đề tài sẽ có thiếu sót. Mong các thầy cô giáo, các anh chị em đồng nghiệp tham gia góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn . Tôi xin chân thành cảm ơn!
1/15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa đại số 8 tập II - Phan Đức Chính; Tôn Thân - Nhà xuất bản giáo dục 2. Sách hướng dẫn giáo viên Đại số tập II - Nguyễn Huy Đoan - Nhà xuất bản giáo dục 3. Đại số tập II; Sách bài tập đại số 8 tập II - Lê văn Hồng - Nhà xuất bản giáo dục 4. Ôn tập đại số 8 - Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục 5. Các bài toán hay đại số 8 - Lê Đình Phi - Đại học quốc gia Hà Nội 6. Các bài toán chọn lọc (Bồi dưỡng học sinh khá ; giỏi ) - Nguyễn Ngọc Đạm; Nguyễn Quang Hanh; Ngô Long Hậu - Nhà xuất bản đại học sư phạm Hà Nội 7. 405 Bài tập đại số 8 - Nguyễn Đức Tấn; Phan Hoàng Ngân; Nguyễn Anh Hoàng - Nguyễn Đức Hòa -Nhà xuất bản đại học quốc gia