intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:27

Thêm vào BST
Báo xấu
11
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai nhằm: Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi; Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phương trình đưa được về phương trình bậc hai, từ đó có những thao tác tư duy nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phương trình này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9

  1. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 MỤC LỤC PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ Trang I. Lý do chọn đề tài 2 II. Mục đích và phương pháp nghiên cứu 3 1. Mục đích 2. Nhiệm vụ III. Phạm vi nghiên cứu 4 IV. Phương pháp nghiên cứu 4 PHẦN II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài: 5 B. Nội dung và biện pháp thực hiện 6 I. Một số kiến thức và kĩ năng cần thiết khi giải phương trình 6 II. Phương trình quy về phương trình bậc hai 6 III. Một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai 7 1) Phương trình chứa ẩn ở mẫu 7 2) Phương trình bậc ba 8 3) Phương trình trùng phương 10 4) Phương trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c 13 5) Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= m 15 6) Phương trình có hệ số đối xứng 16 7) Phương trình dạng a f ( x ) + bf ( x ) + c = 0 19 2 21 8) Phương trình vô tỷ PHẦN III – KẾT QUẢ 24 PHẦN IV – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I. Bài học kinh nghiệm 25 II. Những đề xuất sau khi thực hiện đề tài 25 I. Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ A. Lí do chọn đề tài: 1/27
  2. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 1. Cơ sở lý luận Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chương trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi người giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải được tiến hành thường xuyên ở trong các nhà trường phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dưỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra được cách giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán. Đối với môn toán lớp 8, 9 thì “ phương trình ” là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi vào trung học phổ thông và thi học sinh giỏi. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về “ phương trình quy về phương trình bậc hai”. Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa ra các bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh. 2. Cơ sở thực tiễn Toán học là một môn khoa học trừu tượng, đóng vai trò quan trọng trong đời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ nắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộc sống. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà trường THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần được rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức. Sự phân hoá đối tượng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ. Số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tương đối lớn, do đó nhu cầu được nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn. Căn cứ vào thực tế dạy học tôi thấy, phần kiến thức về phương trình và phương trình đưa về phương trình bậc hai ở chương trình THCS chưa được đề cập đến nhiều. Để dạy bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi đòi hỏi người giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. Chính vì thế nội dung bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho người học và người dạy . 2/27
  3. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đại số 8, 9 đã đưa ra cho học sinh một số loại phương trình quy về phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỷ, phương trình trùng phương, đưa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì chưa đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức “phương trình quy về phương trình bậc hai”. Trước tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống kiến thức nói về “phương trình quy về phương trình bậc hai” với một mong ước là làm tài liệu ôn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi. “Một số dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai” là một hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách giải của một số loại phương trình quy về phương trình bậc hai như: Phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vô tỷ. Với mỗi loại phương trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu. B. Mục đích và phương pháp nghiên cứu: 1. Mục đích: Sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai nhằm: + Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi + Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phương trình đưa được về phương trình bậc hai, từ đó có những thao tác tư duy nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phương trình này. + Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử. 2. Nhiệm vụ Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học và căn cứ vào mục đích nghiên cứu. Tôi xác định nhiệm vụ cho việc nghiên cứu đề tài này như sau: a. Tìm hiểu thực trạng quá trình nắm bắt, cách giải phương trình vô tỉ ở lớp 9. b. Tìm ra các nguyên nhân dẫn đến thực trạng đó. c. Nêu ra một số dạng bài tập và phương pháp giải cho học sinh. Để học sinh vận dụng, luyện tập nhằm khắc phục thực trạng trên. 3/27
  4. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 C. Phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng: Học sinh lớp 9 - Thời gian nghiên cứu: 2 năm D. Phương pháp nghiên cứu: Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: 1. Đối với giáo viên: - Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn các ví dụ, bài tập để minh họa hợp lý từ đó giúp học sinh nắm được cách làm. - Tổ chức cho học sinh được bồi dưỡng để triển khai đề tài. - Sử dụng các phương pháp : + Phương pháp điều tra. + Phương pháp thống kê. + Phương pháp so sánh đối chứng. + Phương pháp phân tích tổng hợp. - Thực hiện chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp. - Dạy học thực tế trên lớp để đúc rút kinh nghiệm. - Thông qua học tập bồi dưỡng, thường xuyên trau dồi chuyên môn. - Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên có kinh nghiệm của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân trong những năm giảng dạy tại trường THCS . - Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy, nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải toán. 2. Đối với học sinh: - Làm bài tập giáo viên giao, các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập có liên quan đến nội dung đề tài. - Sau khi giáo viên hướng dẫn qua các ví dụ thì phải nắm chắc và biết vận dụng vào làm các bài toán cùng loại. 4/27
  5. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 PHẦN II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A) Tình hình trước khi thực hiện đề tài Qua 4 năm giảng dạy lớp 9, khi giảng dạy về giải phương trình quy về phương trình bậc hai tôi thấy: - Nội dung này được đưa vào một tiết trong chương trình toán 9 (tiết 60) - Học sinh chưa biết cách giải mặc dù phương trình trong sách giáo khoa rất đơn giản. Trước tình hình đó tôi tiến hành kiểm tra khảo sát kỹ năng giải phương trình vô tỉ của học sinh lớp 9 mình dạy với đề bài: Giải các phương trình sau: x 2 − 3x + 6 1 a. = x −9 2 x −3 b. 2x − 3x − 2 = 0 4 2 c. x 3 + 3x 2 − 2x − 6 = 0 d. ( x + 3) + ( x + 5 ) = 2 4 4 e.(x + 4).(x + 5).(x + 7).(x + 8) = 4 - Kết quả thu được như sau: Điểm Số lượng Giỏi Khá Trung bình Yếu Câu a 47 19 17 7 4 b 47 23 14 6 4 c 47 17 14 8 8 d 47 10 9 17 11 e 47 6 9 21 11 - Qua bảng kết quả trên ta thấy ba ví dụ đầu thì học sinh giải được vì các em đã được làm quen với một số bài tập trong sách giáo khoa nên số học sinh giỏi và khá tương đối cao ở ví dụ d và e thì hầu hết học sinh chưa có kỹ năng làm chưa biết cách giải thích hợp có một số bài đạt điểm giỏi nhưng số lượng không nhiều mà chủ yếu rơi vào mức độ trung bình và yếu. * Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến thực trạng trên Qua tìm hiểu xem xét và phân tích tôi thấy một số nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên là: - Thứ nhất: Đây là dạng toán đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tính toán, biến đổi thành thạo, nắm chắc các kiến thức được học. 5/27
  6. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 - Thứ hai: Các dạng bài nằm rải rác trong chương trình học ở THCS nên học sinh còn gặp khó khăn trong cách vận dụng kiến thức - Thứ ba: Học sinh chưa nắm được dạng bài tập cơ bản nên rất lúng túng trong việc giải các bài tập nâng cao. B) Những nội dung và biện pháp thực hiện I. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: Khi học về giải phương trình học sinh cần nắm được một số kiến thức và kỹ năng sau: + Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia). + Các hằng đẳng thức đáng nhớ. + Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. + Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số. + Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của phương trình, tập xác định của một biểu thức. + Kỹ năng biến đổi các biểu thức. + Kỹ năng giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, phương trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản) II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Nhắc lại về phương trình bậc hai một ẩn số a. Định nghĩa: + Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng tổng quát: ax2+bx+c =0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a 0) + Nghiệm của một phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của hai vế bằng 0. b. Giải phương trình bậc hai Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax 2+bx+c = 0 (a 0) ta cần quan tâm tới dấu của biệt số ∆ của phương trình: ∆ =b2 - 4ac + Nếu ∆ < 0: Phương trình bậc hai vô nghiệm. −b + Nếu ∆ = 0: Phương trình bậc hai có nghiệm kép: x1 = x2= 2a −b ∆ + Nếu ∆ > 0: Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt: x1,2= 2a Khi b chẵn, hay b = 2b (b Ζ ) khi đó ta có: ∆ =b - ac ’ ’ ’ ’2 + Nếu ∆ ’< 0: Phương trình vô nghiệm 6/27
  7. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 + Nếu ∆ ’= 0: Phương trình có nghiệm kép + Nếu ∆ ’> 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt III. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Trong trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sau: 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở mẫu thức của phương trình. a) Cách giải: + Tìm tập xác định của phương trình + Quy đồng, khử mẫu + Biến đổi phương trình, đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 + Giải phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 + Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm được không thuộc tập xác định của phương trình). b) Các ví dụ : Ví dụ 1. Giải và biện luận theo a và b phương trình: a b + = 2 (1) x −b x −a Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: Hướng dẫn học sinh: Điều kiện: x a, x b : a b Ta có: + =2 x−b x −a 2(x − a)(x − b) = a(x − a) + b(x − b) 2x 2 − 3(a + b)x + a 2 + b 2 + 2ab = 0 2x 2 − 3(a + b)x + (a + b) 2 = 0 ∆ = (a + b) 2 0∀a,b Phương trình có hai nghiệm phân biệt: a+b x1 = a + b x2 = 2 * x1 ۹a b 0 ; x1 ۹b a 0 * x 2 ۹a a b ; x 2 ۹b a b Vậy với a b;a 0,b 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt. 7/27
  8. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 Ví dụ 2. Giải phương trình 4 1 4 1 − 2 − 2 + = 0 (2) 2x 3 + 3x 2 − 8x − 12 x − 4 2x + 7x + 6 2x + 3 Hướng dẫn học sinh: Phân tích mẫu thức thành nhân tử ta có 4 1 4 1 PT(2) − − + =0 (x − 2)(x + 2)(2x + 3) (x − 2)(x + 2) (x + 2)(2x + 3) 2x + 3 x−2 0 x 2 ĐKXĐ: x + 2۹−0 x 2 2x + 3 0 3 x − 2 Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3) Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x-2)+(x-2)(x+2) = 0 4 − 2x − 3 − 4x + 8 + x 2 − 4 = 0 x 2 − 6x + 5 = 0 Giải phương trình : x2- 6x + 5= 0 ta được 2 nghiệm: x1= 1, x2= 5 Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy x1 = 1 và x2 = là hai nghiệm của pt (2) c. Nhận xét: + Loại phương trình chứa ẩn ở mẫu là loại thường gặp ở trường phổ thông. + Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sánh các giá trị tìm được của ẩn với TXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trình. 2. Phương trình bậc ba Phương trình bậc ba (một ẩn số) là phương trình có dạng tổng quát: ax3+bx2+cx+d =0 . Trong đó x là ẩn số; a, b, c, d là các hệ số; a 0 a) Cách giải Để giải một phương trình bậc ba (đối với học sinh THCS) ta thường phải biến đổi đưa về phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. b) Các ví dụ: Ví dụ 1. Giải phương trình 2x3+ 7x2 + 7x + 2 = 0 (*) Hướng dẫn học sinh: 2x3+ 7x2 + 7x + 2 = 0 (2x3+2) + (7x2+7x) = 0 2(x3+1)+7x(x+1) = 0 8/27
  9. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 2(x+1)(x2-x+1)+7x(x+1) = 0 (x+1)(2x2+5x+2) = 0 x +1= 0 (1) 2x 2 + 5x + 2 = 0 (2) Giải phương trình (1) cho nghiệm x = -1 1 Giải phương trình (2) cho nghiệm x = -2 và x = - 2 1 Vậy phương trình (*) có tập nghiệm S ={ - 1; −2; − } 2 Ví dụ 2. Cho phương trình x -(2a+1)x +(a +2a-b)x-(a2-b) = 0 3 2 2 (1) Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phương trình đã cho. Hướng dẫn học sinh: Phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x1 = 1. Do đó pt (1) có thể viết: (x-1)(x2-2ax+a2-b) = 0 Xét PT bậc hai: x2- 2ax + a2-b = 0 (2) ∆ =b ’ * Nếu b < 0: phương trình (2) vô nghiệm phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1 * Nếu b = 0: phương trình(2) có nghiệm kép: x = a phương trình (1) có hai nghiệm: x = 1; x = a * Nếu b > 0: phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt: x = 1; x = a+ ∆ ; x = a- ∆ c. Nhận xét: Giải phương trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích. Khi đó, ta có một hệ thống hai phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai. + Ta cần chú ý tới hai tính chất của phương trình bậc ba: ax3+ bx2+ cx + d = 0 Nếu a + b + c + d = 0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ có nghiệm là x=1. Nếu a - b + c - d = 0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ có một nghiệm là: x = -1. Khi biết trước một nghiệm, ta chia vế trái của phương trình cho đa thức x-1 hoặc x+1 để phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử. + Với phương trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sự tồn tại nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên). 9/27
  10. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 3. Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4+ bx2+c = 0. Trong đó: x là ẩn số; a, b, c là các hệ số; a ≠ 0 a) Cách giải Với loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đặt ẩn phụ x 2= t ≥ 0. Từ đó ta có một phương trình bậc hai trung gian: at 2 + bt + c = 0, giải phương trình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x 2= t . Nếu những giá trị của t tìm được thoả mãn t ≥ 0, ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình ban đầu. b) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 - x2 - 6 = 0 (*) Hướng dẫn học sinh: Đặt x2 = t 0 phương trình (*) trở thành: t2 - t - 6 = 0 Giải phương trình t2 - t - 6 = 0 ta được t1=-2 ; t2=3 (GV chú ý sai sót học sinh thường gặp là PT ẩn t nhưng giải ra nghiệm x : x1 = -2 ; x2 = 3) + Với t = - 2 (loại vì t < 0) + Với t =3 x= 3 Vậy phương trình (*) có tập nghiệm: S = {- 3; 3 } Ví dụ 2: Cho phương trình x4- 2(m-1)x2 - (m-3) = 0 (**) Với giá trị nào của tham số m thì phương trình trên a) Có 4 nghiệm phân biệt. b) Có 3 nghiệm phân biệt. c) Có hai nghiệm d) Vô nghiệm. Hướng dẫn học sinh: Đặt x2= t 0 khi đó phương trình (**) được quy về một phương trình bậc hai: t2-2(m-1)t-(m-3) = 0 (***) ∆ = (m-1) + (m-3) = m - m - 2 ’ 2 2 a) Để (**) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (***) phải có 2 nghiệm dương phân biệt tương đương với: ∆' > 0 m2 − m − 2 > 0 ( m + 1) .( m − 2 ) > 0 m−2>0 x1 + x 2 > 0 m −1 > 0 m >1 m >1 (do m >1) x 1.x 2 > 0 m−3< 0 m
  11. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 Khi 2 < m < 3 thì phương trình (***) có hai nghiệm dương phân biệt, do vậy phương trình (**) có 4 nghiệm phân biệt (là hai cặp số đối nhau và khác nhau. b) Phương trình (**) có 3 nghiệm khi phương trình (***) có nghiệm x= 0 và nghiệm số thứ hai là số thực dương. Do vậy, trước hết phương trình (**) có dạng: ax4 + bx2 = 0 (c = 0) Do đó m - 3 =0 m = 3. Với m = 3 thì phương trình (**) trở thành: x4- 4x2 = 0 x2(x2-4) = 0 Phương trình (**) có hai nghiệm: x1 = 2; x2= -2 và một nghiệm kép x3 = 0 c) Điều kiện để phương trình (**) có hai nghiệm: *) Hoặc phương trình (***) có nghiệm kép dương. *) Hoặc phương trình (***) có 2 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có một nghiệm dương, nghiệm còn lại là âm. d) Phương trình (**) vô nghiệm khi: *) Phương trình (***) vô nghiệm. *) Hoặc phương trình (***) có hai nghiệm cùng âm. + Phương trình (***) vô nghiệm khi ∆ ’< 0 hay m2 - m - 2 < 0 (m+1)(m-2) < 0 Lập bảng xét dấu của tích (m+1)(m-2) Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m-2 nhờ vào tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y= ax+ b (a 0) Ta thấy nghiệm của bất phương trình (m+1)(m-2) < 0 là -1 < m < 2 Vậy phương trình (***) vô nghiệm khi : -1 < m < 2 ∆' 0 m2 − m − 2 > 0 c + Phương trình (***) có hai nghiệm cùng âm khi: >0 −(m − 3) > 0 a 2(m − 1) < 0 b −
  12. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 Vậy hệ tương đương với m −1 hoặc m 2 m0 a b Khi đó nghiệm của phương trình trùng phương là: x = 0; x= − a + Phương trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó nghiệm của phương trình trùng phương là hai cặp số đối nhau, khác nhau. + Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t = 0 (xảy ra khi b = c = 0) thì phương trình có nghiệm x = 0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau). 12/27
  13. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 + Khi nói đến nghiệm số của phương trình trùng phương là số lẻ thì trong đó phải có nghiệm số kép. 4 . Phương trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c (Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số) a+b a−b a) Cách giải: Ta biến đổi t = x + tức là: x+ a = t + 2 2 a−b x+ b = t - 2 2 4 a−b a−b 4 Phương trình đã cho trở thành 2t +12 t +2 2 −c =0 2 2 (Đây là phương trình trùng phương ẩn t, ta đã biết cách giải) b) Các ví dụ: Ví dụ 1. Giải phương trình: ( x + 3) + ( x + 5 ) = 2 4 4 (*) Hướng dẫn học sinh: Phương trình ( x + 3) + ( x + 5 ) = 2 4 4 3+5 Đặt t = x + t=x+4 2 Khi đó : x + 3 = t - 1 x+5=t+1 Phương trình (*) có dạng: (t-1)4+(t+1)4=2 2t 4 + 12t 2 + 2 = 2 t 4 + 6t 2 = 0 Phương trình t4 + 6t2 = 0 có nghiệm kép t = 0 Ta có x + 4 = t x+4=0 x=-4 Vậy phương trình (*) có nghiệm kép x = - 4 Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 6)4+ (x - 4)4= 82 (**) Hướng dẫn học sinh: Phương trình: (x + 6)4+ (x - 4)4= 82 6−4 Đặt t = x + t = x +1 2 x+6=t+5 x-4=t–5 Phương trình (**) trở thành: (t+5)4 + (t-5)4 = 82 2t4 + 300t2 + 1250 = 82 t4 + 150t2 + 584 = 0 (***) 13/27
  14. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 Giải phương trình (***) Đặt t2 = v 0 , thay vào phương trình (***) ta có : v2 + 150v + 584 = 0 ∆ ' = 5625 − 584 = 5041 ∆ ' = 5041 = 71 Ta có v1 = - 75+71 =-4 Không thỏa mãn điều kiện v 0 v2 = -75 -71 =-146 Không thỏa mãn điều kiện v 0 Vậy phương trình (***) vô nghiệm phương trình (**) vô nghiệm. c) Nhận xét a+b Bằng phép biến đổi t = x+ , ta đưa được phương trình (x+a)4+ 2 (x+b)4 = c về một phương trình trùng phương (trung gian) có dạng tổng quát: t4 + Bt2 + C = 0 Qua phép biến đổi t2 = X (víi t 0 ) Ta đưa được phương trình về một phương trình bậc hai trung gian: X2 + BX + C = 0 Số nghiệm của phương trình (x+a)4+(x+b)4 = c phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc hai trung gian X2 + BX + C = 0 *) Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì phương trình trùng phương t4 + Bt + C = 0 vô nghiệm và do đó phương trình đầu vô nghiệm. *) Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X 0 thì phương trình đầu có nghiệm: a+b t 0 = X0 x = t0- ở đó 2 t 0 = − X0 Lưu ý rằng số nghiệm của phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình trùng phương và do đó phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc hai trung gian. Như vậy: Nếu phương trình bậc hai trung gian X2 + BX + C = 0 + Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phương trình đầu vô nghiệm. + Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm thì phương trình đầu có hai nghiệm phân biệt. + Nếu phương trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dương (phân biệt) thì phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt. 14/27
  15. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 + Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 thì phương trình đầu có 3 nghiệm. + Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dương thì phương trình đầu có hai nghiệm kép phân biệt. 5. Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= m Trong đó 4 hệ số a, b, c,d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng nhau, chẳng hạn: a+ d = b+c a) Cách giải: Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c) Khai triển tích đó đưa về phương trình dạng: (x2+(a+d)x+ad)(x2+(b+c)x+bc) = m Do a+d = b+c nên ta đặt x2+(a+d)x+k = t (k có thể là ad hoặc bc, hoặc tuỳ ý). Khi đó, ta sẽ đưa được phương trình về dạng: At2 + Bt + C = 0 (A = 1) Giải phương trình này ta tìm được nghiệm của t (khi phương trình có nghiệm). Giải tiếp phương trình: x 2+(a+d)x+k = t ta sẽ có kết luận về nghiệm của phương trình ban đầu. Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đương nhiên phương trình ban đầu vô nghiệm. b) Các ví dụ: Ví dụ 1. Giải phương trình: (x+4)(x+5)(x+7)(x+8) = 4 (1) Hướng dẫn học sinh: Nhận xét: Ta thấy 4+8 = 5+7 = 12 Ta biến đổi phương trình (1) [ (x + 4)(x + 8)] [ (x + 5)(x + 7)] = 4 (x 2 + 12x + 32)(x 2 + 12x + 35) = 4 (*) Đặt x2+12x+32 = t x2+12x+35 = t+3 Thay vào (*) ta có: t(t+3) =4 hay t2+3t-4 = 0 (2) Phương trình (2) có nghiệm t1 =1; t2=-4 (Vì a+ b + c = 0) + Với t =1, ta có x2+12x+ 32 = 1 hay x2 + 12x + 31 = 0 ∆' = 5 x1 =-6+ 5 ; x2 =- 6- 5 ; + Với t =-4, ta có x + 12x + 32 =-4 hay x2+12x+36 = 0 2 ∆' = 0 Phương trình có nghiệm kép: x3 =x4 = -6 { Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = −6 + 5; − 6 − 5 − 6 } Ví dụ 2. Giải phương trình: (x+1)(x+7)(x-2)(x+4) = 19 (3) Hướng dẫn học sinh: Ta thấy 1 + 4 = 7 - 2 = 5 15/27
  16. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 Ta biến đổi phương trình (3) ta được: [ (x + 1)(x + 4)] [ (x + 7)(x − 2)] = 19 (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x − 14) = 19 (*) Đặt x2 + 5x - 14 = t x2 + 5x + 4 = t + 18 Thay vào phương trình (*) có: t(18+t) = 19 t2+18-19 = 0 Do 1 + 18 - 19 = 0 nên t1=1; t2=-19 +) Với t =1 thay vào x2 + 5x - 14 = t Ta có x2 + 5x - 15 = 0 ∆ = 52 + 60 = 58 ∆ = 58 −5 + 85 −5 − 85 Vậy x1= x2= 2 2 2 +) Với t =-19 thay vào x + 5x - 14 = t ta có x2 + 5x - 14 =-19 x 2 + 5x + 5 = 0 Ta có ∆ = 25 − 20 = 5 ∆= 5 −5 + 5 −5 − 5 Vậy x3= x4= 2 2 Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là −5 − 85 −5 + 85 −5 − 5 −5 + 5 S= ; ; ; 2 2 2 2 c) Nhận xét: Với loại phương trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái được phương trình bậc 4 đầy đủ ta sẽ khó giải bởi THCS chưa học. Bằng việc nhóm hợp lý 2 đôi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đưa được về phương trình bậc hai trung gian. + Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm phương trình ban đầu vô nghiệm. + Khi giải phương trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm được giá trị ta trả biến và giải phương trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của phương trình này (nếu có) là nghiệm của phương trình đầu. 6. Phương trình có các hệ số đối xứng Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (I) 2 e b Trong đó x là ẩn số; a, b, c, d,e là hệ số; a 0 và = với e 0 a d 16/27
  17. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 a) Cách giải e Khi = 1 hay e = a thì d = b thì phương trình (I) có dạng: a ax4 + bx3 + cx2 bx + a = 0 + Vì e = a nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (I) chia cả hai vế của phương trình (I) cho x2 ta được phương trình tương đương d e ax2+ bx + c + + 2 = 0 (II) x x e d Nhóm ax + 2 + bx + +c+0 2 x x e d Hay a x + +b x+ +c=0 2 2 ax bx d d2 d 2 d2 e Đổi biến: x+ = t x + 2 2 + 2. = t (do 2 = ) 2 bx bx b b a e 2d Nên x + 2 = t − 2 2 ax b 2d Ta có phương trình: a t − + bt + c = 0 2 b Ta được phương trình trung gian at2 + bt + c = 0 Giải phương trình at2+ bt + c = 0 tìm được nghiệm (sau trả biến và giải d phương trình x+ = t ). Sau đó ta biện luận về nghiệm của phương trình (I) bx b) Các ví dụ: Ví dụ 1. Giải phương trình: 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (*) Hướng dẫn học sinh: Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (*) nên chia cả hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương: 3 2 2x2 + 3x – 16 + + 2 = 0 x x 1 1 Suy ra 2 x + 2 + 3 x + − 16 = 0 2 (**) x x 1 1 Đặt x + = t thì x 2 + 2 = t 2 − 2 x x Phương trình (*) trở thành: 2 ( t − 2 ) + 3t − 16 = 0 2 2t 2 + 3t − 20 = 0 17/27
  18. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 Giải phương trình: 2t 2 + 3t − 20 = 0 −3 − 13 −3 + 13 Ta được t1 = = −4 ; t 2 = = 2,5 4 4 1 +) Với t =-4 ta có x + = −4 (x 0 ) x x 2 + 4x + 1 = 0 Giải phương trình x 2 + 4x + 1 = 0 Ta được : x1=-2+ 3; x2=-2- 3 (thỏa mãn x 0 ) 1 +)Với t = 2,5 ta có x + = 2,5 (x 0 ) x x 2 − 2,5x + 1 = 0 Giải phương trình: x 2 − 2,5x + 1 = 0 Ta được: x 3 = 2; x 4 = 0,5 (thỏa mãn x 0 ) { Vậy phương trình(*) có tập nghiệm: S = −2 + 3; −2 − 3;0,5;2 } Ví dụ 2. Giải phương trình: 2x4 - 12x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 (***) Hướng dẫn học sinh: Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình Chia 2 vế của phương trình (***) cho x2 ta được: 105 50 2x 2 − 21x + 74 − + 2 =0 x x 50 105 2x 2 + 2 − 21x + + 74 = 0 x x 25 5 2 x2 + 2 − 21 x + + 74 = 0 x x 5 25 Đặt x+ = t thì x 2 + 2 = t 2 − 10 x x Phương trình (****) trở thành: 2(t 2 − 10) − 21t + 74 = 0 2t 2 − 21t + 54 = 0 Giải phương trình này ta được: t1=6; t2=4,5 5 +) Với t = 6, ta có x + = 6 ( x 0 ) x x 2 − 6x + 5 = 0 Giải phương trình x 2 − 6x + 5 = 0 ta cã: x1=1; x2 = 5 thỏa mãn (x 0 ) 18/27
  19. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 5 +) Với t = 4,5, ta có : x + = 4,5 (x 0 ) x x 2 − 4,5x + 5 = 0 Giải phương trình x 2 −4,5x + 5 = 0 ta có: x3 = 2; x4 = 2,5 (thỏa mãn x 0 ) Vậy phương trình (***) có tập nghiệm: S = { 1;5;2;2,5} c) Nhận xét: + Giải phương trình đối xứng: bằng phép biến đổi tương đương và đổi biến đưa về phương trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của phương trình đối xứng ban đầu. + Về số nghiệm của phương trình đối xứng: - Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm phương trình đầu vô nghiệm. - Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t 1, t2 nhưng các phương d d trình x + = t1 ; x + = t 2 vô nghiệm phương trình đầu cũng vô bx bx nghiệm d d - Nếu các phương trình x + = t1 ; x + = t 2 có bao nhiêu nghiệm thì bx bx phương trình đầu có bấy nhiêu nghiệm 7. Phương trình dạng: a f ( x ) + bf ( x ) + c = 0 (1) 2 (Trong đó a 0 ; f(x) là biểu thức của biến x, x là ẩn của phương trình) a) Cách giải - Tìm tập xác đinh. - Giải phương trình bằng phép đổi biến f(x)=t, đưa phương trình về dạng: at2 + bt + c = 0(2) - Nếu phương trình (2) có nghiệm t = t0, ta giải tiếp phương trình f(x)= t0 (*) - Nghiệm của phương trình (*) thoả mãn điều kiện) là nghiệm của phương trình đã cho. b) Các ví dụ Ví dụ 1.Giải phương trình: x6 - 9x3 + 8 = 0 (*) Hướng dẫn học sinh: ĐKXĐ : ∀x R Đặt x3 = y, phương trình (*) trở thành y 2- 9y + 8 = 0 với nghiệm y 1=1 vµ y2= 8. Từ đó ta có hai phương trình: x3 = 1 vµ x3 = 8 Suy ra phương trình(*) có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2. Ví dụ 2. Giải phương trình 19/27
  20. Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9 x4 + 6x3+ 5x2 - 12x + 3 = 0(*) Hướng dẫn học sinh: ĐKXĐ: ∀x R Biến đổi vế trái: x4 + 6x3 + 5x2 - 12x + 3 = x4 + 6x3 + 9x2 - 12x + 3 = (x2+3x)2-4(x2+3x)+3 Phương trình (*) trở thành: (x2+3x)2- 4(x2+3x)+3 = 0 Đặt x2+ 3x = t Thay vào (x2+3x)2-4(x2+3x)+3 = 0 Ta có phương trình bậc hai trung gian: t2 - 4t + 3 = 0 Do 1-4+3 =0 t1 = 1; t2 = 3 Trả biến: +) Với t =1 thì x2+ 3x =1 x2 + 3x - 1 = 0 −3 + 13 −3 − 13 Giải ra ta được: x1= ; x2 = 2 2 2 2 +) Với t =3 thì x + 3x = 3 x + 3x - 3 = 0 −3 + 21 −3 − 21 Giải ra ta được: x3 = ; x4= 2 2 Vậy phương trình có tập nghiệm: −3 − 13 −3 + 13 −3 − 21 −3 + 21 S= ; ; ; 2 2 2 2 Ví dụ 3: Giải phương trình 2 2 1 1 13 + = (**) x +1 x+2 36 2 2 1 1 13 Hướng dẫn học sinh: Phương trình + = x +1 x+2 36 ĐKXĐ: x −1; x −2 1 1 Thêm vào 2 vế của (**) biểu thức: −2. . x +1 x + 2 Ta được phương trình tương đương : 2 2 1 1 1 1 13 1 1 + − 2. . = − 2. . x +1 x+2 x + 1 x + 2 36 x +1 x + 2 2 1 1 13 2 Hay − = − x +1 x + 2 36 (x + 1)(x + 2) 20/27
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2