Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán về phương trình bậc hai

Chia sẻ: Nguồn SKKN | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh nắm vững nội dung định lý Viét, ứng dụng của định lý viét trong việc giải các dạng toán có nội dung liên quan, từ đó dần hình thành khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát và các ứng dụng khác cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán về phương trình bậc hai

Trang 1 I. PHẦN MỞ ĐẦU : I.1. Lý do chọn đề tài : Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói riêng. Trong chương trình toán học lớp 9 thì phương trình bậc hai là một nội dung rất quan trọng, bài tập về chương này rất phong phú và đa dạng. Đây cũng là một nội dung thường xuyên có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi vào các trường chuyên … mà đặc biệt là các bài toán về ứng dụng của định lý Viét. Trước thực tế đó nhằm giúp học sinh nắm được một cách hệ thống và có kĩ năng giải các dạng toán này một cách thành thạo nhằm phát huy khả năng suy luận sáng tạo và linh hoạt của học sinh, từ đó tôi viết chuyên đề về “ Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán về phương trình bậc hai ” I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài : Giúp học sinh nắm vững nội dung định lý Viét, ứng dụng của định lý viét trong việc giải các dạng toán có nội dung liên quan, từ đó dần hình thành khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát và các ứng dụng khác cho học sinh. Rèn luyện cho học sinh tính độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập và phát hiện nội dung kiến thức mới
Trang 2 Giúp cho các giáo viên có thể tham khảo nghiên cứu và áp dụng trong từng trường hợp cụ thể phụ thuộc vào từng đối tượng học sinh. I.3. Đối tượng nghiên cứu : Do đặc điểm học sinh ở các lớp không đồng đều về nhận thức cũng như học lực nên tôi đã áp dụng phương pháp này ở lớp 9A2. Là lớp mà tôi đang trực tiếp giảng dạy. I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu : Tổ chức nghiên cứu chuyên đề này áp dụng tốt cho cả học sinh trung bình yếu; học sinh khá giỏi trong việc hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức chuẩn bị cho kiểm tra 45 phút, học kỳ II, ôn luyện học sinh giỏi, ôn thi vào THPT I.5. Phương pháp nghiên cứu : Qua tài liệu tham khảo, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua thực tế giảng dạy. Qua trao đổi học hỏi đồng nghiệp. II. PHẦN NỘI DUNG : II.1. Cơ sở lý luận : Toán học là một ngành khoa học cơ bản và giữ một vai trò vô cùng quan trọng trong đời sống kinh tế, xã hội. Toán học là cơ sở, là phương tiện để nghiên cứu các ngành khoa học khác. Với mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo của học sinh, nhằm nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề rèn luyện thực hiện kĩ năng vào thực tế tạo hứng thú học tập cho học sinh.
Trang 3 Dựa trên cơ sở đó giáo viên cần kết hợp giữa phương pháp dạy học truyền thống với các phương pháp dạy học hiện đại như dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ.....Hạn chế tối đa việc áp đặt kiến thức, giáo viên chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, gợi mở giúp học sinh tự khám phá kiến thức mới, học sinh cần thấy được việc áp dụng kiến thức mới trong cuộc sống như thế nào. Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) với các hệ số của nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng người Pháp Prăng xoa Viét (F. Viete) (1540 1603) tìm ra được mang tên ông: Định lý Viét. Có thể nói định lý Viét và các ứng dụng của nó là một chìa khoá quan trọng mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. Việc vận dụng hệ thức Viét vào giải toán đã gây được hứng thú giải bài tập cho học sinh, hình thành cho học sinh những ý tưởng phong phú, trau dồi tư duy và óc sáng tạo cho các em khi giải các bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai. II.2. Thực trạng : a. Thuận lợi khó khăn : * Thuận lợi : Nhà trường rất quan tâm đến việc giảng dạy bộ môn toán và luôn tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên và học sinh. Tập thể giáo viên tổ, nhóm chuyên môn nhiệt tình thường xuyên dự giờ góp ý để có được các bài dạy tốt hơn. Có tập thể học sinh đoàn kết, ngoan ngoãn và say mê học tập. Bản thân tôi thực sự cố gắng, nỗ lực phấn đấu và học hỏi thêm các đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy. * Khó khăn :
Trang 4 Một số học sinh các em chưa có ý thức tự giác học, mà còn mang tính ỷ lại lười suy nghĩ chưa độc lập trong việc tiếp thu kiến thức. Gia đình các em đa số làm nông nghiệp, kinh tế còn khó khăn nên chưa quan tâm nhiều đến các em. Các em chỉ học ở trên lớp mà thiếu hẳn việc luyện tập và thực hành ở nhà nên kiến thức học nhanh quên, kỹ năng thực hành kém. Bên cạnh đó cũng có những học sinh thực sự ham học, dẫn đến sự cách biệt về kiến thức trong cùng một lớp, gây khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức của giáo viên. b. Thành công hạn chế : Việc giúp học sinh hiểu và biết vận dụng định lý viét vào giải các dạng toán liên quan, góp một phần không nhỏ cho các em khi bước vào các kì kiểm tra, kì thi đặc biệt là kì thi vào THPT sắp tới. Tuy nhiên do phạm vi nghiên cứu chỉ trong một nội dung nhỏ nên chưa bao quát được tổng thể tất cả các nội dung, nhưng đó cũng là nền móng vững chắc để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này. c. Mặt mạnh mặt yếu : * Mặt mạnh : Qua đề tài giúp học sinh + Tạo động cơ học tập định lý + Phát biểu định nghĩa định lý + Bước đầu vận dụng định lý trong bài tập đơn giản + Vận dụng định lý trong bài tập tổng hợp * Mặt yếu : Chưa đưa ra giải pháp khắc phục đối với những học sinh lười học, ham chơi, học sinh có ý thức học kém ... d. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động :
Trang 5 Do thời gian có hạn nên tôi chỉ nêu ra một số dạng toán về phương trình bậc hai và phương pháp giải các dạng toán đó, đặc biệt là việc ứng dụng của hệ thức viét trong giải toán, để từ đó có thể giúp học sinh hiểu kĩ và sâu hơn các kiến thức về hệ thức viét và ứng dụng của định lý viét trong giải toán, giúp các em đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra 15 phút, kiểm tra một tiết, kiểm tra học kì và các kì thi học sinh giỏi, kì thi vào THPT...... Do chất lượng đầu vào của học sinh còn thấp nên ảnh hưởng một phần không nhỏ đến kết quả học tập của học sinh Do một số học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc học Do địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình không ổn định, còn khó khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em. Do cơ sở vật chất của trường còn thiếu sách, báo, tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh… II.3. Giải pháp, biện pháp : II.3.1 Tìm hiểu nội dung sách giáo khoa và phát hiện kiến thức mới: a. Định lý Viét. Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2+ bx + c=0 (a ≠ 0) thì b x1+ x2 = a c x1. x2 = a b. Tìm hai số biết tổng và biết tích của chúng. Nếu 2 số có tổng bằng S, tích bằng P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình :
Trang 6 X2 – SX + P = 0 điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0 c. Một số ứng dụng cơ bản của định lý viét : 1. Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2. 2. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2. 3. Biết 1 nghiệm suy ra nghiệm kia 4. Tìm 2 số biết tổng và tích. 5. Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm d. Phát hiện nội dung kiến thức mới : 1) Phân tích ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) thành nhân tử: b c Khi (*) có 0 x1, x2 / x1 + x2 = ; x1 . x2 = thì a a 2 b c ax2 + bx + c = a x x a x 2 ( x 1 x 2 ) x x 1x 2 a a = a(x2 x1x x2x + x1x2) = a(x x1) (x x2) 2) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: * Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 Nếu S = x1 + x2 (không đổi) còn P = x1 . x2 thay đổi. 2 S2 Do S 4P 0 P 4 S2 b S P = x1 = x2 = 4 2a 2 S2 S maxP = x1 = x2 = (Vì x2 Sx + P = 0 có nghiệm kép) 4 2 KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau. Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Không đổi) Còn S = x1 + x2 (thay đổi)
Trang 7 Do: S2 4P 0 S 2 P S 2 P 0 S 2 P 0 ; S = 2 P x1 = x2 = P KL: 2 số dương có tích không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau. 3) Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) (a 0) b c S ;P a a Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P
Trang 8 II.3.2 Xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải : Dạng 1 : Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm Phương pháp giải: * Tính Δ, chứng tỏ Δ ≥ 0 để phương trình có nghiệm x1, x2 * áp dụng định lý Viét Ví dụ 1: Đối với mỗi phương trình ký hiệu x1,x2 là 2 nghiệm (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào chỗ trống a. 4x2 13x + 5 = 0 Δ = ... x1 + x2 =....... x1.x2 =........ b. x2 x – 5 = 0 Δ = ... x1 + x2 =....... x1.x2 =........ c. 6x2 – x + 8 = 0 Δ = ... x1 + x2 =....... x1.x2 =........ d. 10x2 + 15x + 1 =0 Δ = ... x1 + x2 =....... x1.x2 =........ Hướng dẫn: Yêu cầu học sinh xác định hệ số a, b, c, tính Δ= b2 – 4ac Sau đó tiếp tục tính (x1+ x2) ; (x1.x2) (nếu có) Ví dụ 2 : Không giải phương trình hãy tính tổng và tích các nghiệm nếu có của mỗi phương trình. a/ x2 + 5x + 3 = 0 b/ 3x2 8x + 4 = 0 c/ 5x2 + x + 2 = 0 d/ 9x2 12x + 4 = 0 Giải: a/ Phương trình x2 + 5x + 3 = 0 có nghiệm vì a,c trái dấu x1 + x2= 5; x1.x2= 3 8 4 b/ Δ’ = (4)2 – 4.3 = 4 >0 ; x1 + x2= ; x1.x2 = 3 3 c/ Δ = 14.5.2 = 39
Trang 9 Ví dụ 3: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m. a/ x2 8x + m = 0 b/ x2 + 2(m+3)x + m2 = 0 Giải: a/ Phương trình x2 8x + m = 0 có nghiệm khi Δ’= 16 m ≥ 0 m ≤ 16 khi đó : x1+ x2 = 8 ; x1. x2 =m b/ Phương trình x2 + 2(m+3)x + m2 = 0 có nghiệm khi Δ’= (m +3)2 m2 ≥ 0 3 m +6m + 9 m ≥ 0 m ≥ 2 Khi đó x1 + x2= 2(m+3); x1.x2 = m2 Kết luận: Qua dạng toán này: – Củng cố điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2. – áp dụng hệ thức Viét cho phương trình bậc 2 cụ thể. *Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm. Phương pháp giải: c . áp dụng định lý Viét x1 + x2= b/a ; x1.x2 = a . Nhẩm x1 + x2 = m + n; x1x2 = m.n thì phương trình có nghiệm x1 = m; x2 = n c . Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = a c . Nếu a b+ c = 0 thì x1 = 1; x2 = a Ví dụ 1 : Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm mỗi phương trình sau: a. 23x2 – 27x + 4 = 0 (1) b. 14x2 – 40x – 54 = 0 (2) Giải:
Trang 10 a. Ta có a + b + c = 23 – 27 + 4 = 0 => phương trình (1) 4 có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 23 b. Ta có a b + c= 14 ( 40) + ( 54) = 14 + 40 54= 0 54 => phương trình (2) có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = 14 Ví dụ 2: Dùng hệ thức Viét tính nhẩm nghiệm phương trình a. x2 – 8x + 12 = 0 (1) b. x2 + 8x + 12 = 0 (2) Giải: a. Ta có 2 + 6 = 8 và 2.6 = 12 nên phương trình có nghiệm x1=2; x2=6 b. Ta có (2) + (6) = 8 và (2).(6) = 12 nên phương trình có nghiệm x1 = 2; x2 = 6 * Bài t ập tương tự : 1. Tính nhẩm nghiệm các phương trình a, 1,5x2 – 1,6x + 0,1= 0 (1) b, 3 x2 – (1 3 )x – 1= 0 (2) c, (2 3 )x2 + 2 3 x – (2+ 3 ) = 0 (3) d, (m1)x2 – (2m+3)x + m +4 = 0 m≠ 1 (4) e, x2 10x + 16 = 0 (5) f, x2 7x + 10 = 0 (6) g, (m+1)x2 + 3mx +2m 1 = 0 m≠ 1 (7) Ví dụ 3: Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và tìm nghiệm còn lại Giải: Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có nghiệm x1=1 nên thay x1 vào phương trình có 3.12 + 7.1 + m = 0 m = 10
Trang 11 Với m = 10 phương trình trở thành: 3x2 + 7x 10 = 0 Có a.c = 3(10) = 30 1.x2 = => x2 = a 3 3 *Bài tập tương tự 1. Phương trình 0,1x2 x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng 1, xác định số k và tìm nghiệm còn lại 2. Phương trình 15x2 + bx 1 = 0 có một trong các nghiệm bằng 1/3 xác định số b và tìm nghiệm còn lại *Dạng 3: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng *Phương pháp giải: Từ hệ thức cho trước của x, y tìm tổng S = x + y; P = x.y x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 Ví dụ : Tìm 2 số u,v trong mỗi trường hợp sau: a. u + v = 32 ; u.v = 231 b. u + v = 2 ; u.v = 9 c. u – v = 5 ; u.v = 24 Giải: a/ u, v là nghiệm của phương trình X2 – 32X + 231 = 0 (1) Δ’ = 162 – 231 = 25 > 0 ' = 5 Phương trình (1) có 2 nghiệm X1= 16 + 5 = 21; X2 = 16 – 5 = 11 Vậy u = 21; v = 11 hoặc u = 11; v = 21 b/ u, v là nghiệm của phương trình X2 – 2X+ 9 = 0 (2) Δ = (2)2 – 4.9 = 32
Trang 12 Ta có Δ= (5)2 4.1.(24)= 25 + 96 = 121 > 0 = 11 Phương trình (3) có 2 nghiệm X1 = 8; X2 = 3 Vậy u = 8; t = 3 hoặc u = 3; t = 8 Do đó u = 8; v = 3 hoặc u = 3; v = 8 *Bài tập tương tự : Tìm 2 số u, v trong mỗi trường hợp sau: a/ u + v = 8 ; u.v = 105 b/ u + v = 42 ; u.v = 441 c/ u + v = 42 ; u.v = 400 Dạng 4: Phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử *Phương pháp giải Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì: ax2 + bx + c = a(xx1)(xx2) Ví dụ : Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x1, x2 thì tam thức ax2 + bx + c = 0 phân tích thành nhân tử như sau: ax2 + bx + c = a(xx1)(xx2) áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử a/ 2x2 5x + 3 b/ 3x2 + 8x + 2 Giải: Biến đổi vế phải: a(xx1)(xx2) = ax2 a(x1 + x2) + a.x1.x2 b c = ax2 – a( )x + a. = ax2 + bx+ c a a Áp dụng: a/ Phương trình: 2x2 5x + 3 = 0 có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
Trang 13 3 Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = 2 3 Vậy 2x2 5x + 3 = 2(x 2)(x ) 2 b/ Phương trình 3x2 + 8x + 2 = 0 (*) có Δ’ = 4 2 – 6 = 10 > 0 ' 10 4 10 4 10 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1= ; x2= ; 3 3 4 10 4 10 Vậy 3x2 + 8x + 2 = 3(x ). (x + ) 3 3 Dạng 5 : Lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm của nó *Phương pháp giải: tính tổng 2 nghiệm S= x1 + x2 và tích 2 nghiệm P = x1.x2 Phương trình có 2 nghiệm x1,x2 là X2 – SX + P = 0 Ví dụ: 1/ Lập phương trình bậc2 có 2 nghiệm là cặp số 1 + 3 và 1 3 Ta có S = x1 + x2 = (1 + 3 ) + ( 1 3 ) = 2 P= x1.x2 = (1 + 3 ).( 1 3 ) = 1 – 3 = 2 Vậy 1 + 3 và 1 3 là nghiệm phương trình bậc hai X2 – 2X 2 = 0 5 3 2/ Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có 1 nghiệm là 5 3 2 5 3 5 3 Ta có x1 = = 4 15 5 3 2 Ta chọn nghiệm thứ 2 là x2 sao cho x1+x2; x1.x2 là nghiệm nguyên Chọn x2 = 4 + 15 Khi đó S= x1+x2= 8 P= x1.x2= (4 + 15 ).( 4 15 ) = 1 Vậy x1, x2 là nghiệm phương trình X2 – 8X+ 1 = 0 Dạng 6 : Dấu nghiệm số của phương trình bậc 2
Trang 14 *Phương pháp giải: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c= 0 (a≠0) có 2 nghiệm x1; x2 và S = x1 + x2; P = x1.x2 Khi đó : * Phương trình có 2 nghiệm trái dấu Δ > 0 P 0 * Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt Δ > 0 P > 0 S > 0 0 * Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Ví dụ: Cho phương trình x2 – 2(m1)x + m +1= 0 Xác định m để: a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu b. Có 2 nghiệm dương phân biệt c. Có đúng 1 nghiệm dương Giải: Δ’ =(m1)2 – ( m+1) = m2 – 3m = m (m3) S = 2(m1) P =( m +1) a/ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu Δ’> 0 m 0 m >1 P > 0 2(m1) > 0
Trang 15 S > 0 ( m +1) > 0 c/ Có đúng 1 nghiệm dương có các trường hợp xảy ra: * x2 – 2(m1)x + m +1= 0 có nghiệm kép dương Δ’= m (m3) = 0 m (m3) = 0 m = 3 S = 2(m1) > 0 m1 > 0 *Phương trình x2 – 2(m1)x + m +1 = 0 có 2 nghiệm trái dấu P
Trang 16 Theo hệ thức Viét có hệ x1 + x2 = 2 x1.x2 = m Kết hợp với hệ thức 3x1 + 2x2 =1 ta có hệ: x1 + x2 = 2 (1) 3x1+ 2x2 = 1 (2) x1.x2 = m (3) Từ (1) và (2) giải được x1 = 5; x2 = 7 Thay vào (3) ta được m = 35 thoả điều kiện (*) Vậy với m = 35 thì phương trình có nghiệm thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1 Ví dụ 2: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – 2(m1)x + m2 1 = 0 Tìm hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m. Giải: Phương trình có nghiệm Δ’ = (m1)2 – (m2 1) = 2m+2 ≥ 0 m ≤ 1 Áp dụng hệ thức Viét có hệ S = x1+x2 = 2(m1) (1) P = x1.x2 = m2 1 (2) S S S 2 Từ (1) suy ra m 1 = => m = + 1 thay vào (2) ta được 2 2 2 S 2 2 (S 2) 2 4 P = [ ( )] – 1 P= 2 4 Vậy hệ thức cần tìm là: 4x1.x2 = (x1+x2).( x1+x2+4) (x1+x2)2 + 4(x1+x2) = 4x1.x2 *Bài tập tương tự : 1/ Cho phương trình 2x2 + (2m 1)x + m 1 = 0 a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả điều kiện 3x1 4x2 = 11 b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều âm
Trang 17 c/ Tìm 1 hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m 2/ Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả một trong các điều kiện a/ x12 – x22 = 12 b/ x12 + x22 = 1 3/ Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 (m3)x + 2m + 1 = 0 Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Dạng 8: Biểu thức đối xứng của x1, x2 của phương trình bậc 2 Phương pháp giải: Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không đổi Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S = x1 + x2 và P = x1.x2 Từ hệ thức Viét tính S và P rồi thay vào biểu thức đối xứng Ví dụ: Giả sử x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + mx + 1 = 0 tính giá trị các biểu thức sau: a/ x13 + x23 x12 x 22 b/ + 2 x 22 x1 Giải: Phương trình có nghiệm Δ = m2 – 4 ≥ 0 | m | ≥ 2 Theo hệ thức Viét S = x1 + x2 = m ; P= x1.x2 =1 a/ Ta có x13 + x23 = (x1+x2)3 – 3x1.x2(x1+x2) = S3 3.P.S = m3 + 3m 2 x12 x 22 x x2 x1 x 2 b/ 2 + 2 = 1 2 . x2 x1 x2 x1 x2 x1 2 2 x2 x2 S2 2P 1 2 2 2 = (m2 –2)2 – 2 = m4 – 4m2 + 2 x1 x 2 P
Trang 18 Bài tập tương tự Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + mx + 4 = 0 xác định m sao cho x14 + x24 ≤ 32 Dạng 9: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc 2 không phụ thuộc vào tham số *Phương pháp giải: Điều kiện của phương trình bậc 2 có nghiệm Δ ≥ 0 Từ hệ thức Viét tìm S, P theo tham số m Khử tham số m từ S và P để có hệ giữa S và P không phụ thuộc tham số m Ví dụ: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 2(m1)x + m2 – 1 = 0 tìm hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m. Giải: Phương trình có nghiệm Δ’= (m1)2 – (m2 1) = 2m + 2 ≥ 0 m ≤ 1 áp dụng hệ thức Viét ta có: S = 2(m1) (1) P = m2 1 (2) 2 S 2 S 2 Từ (1) suy ra m= thay vào (2) được P = 1 4P =S2 + 4S 2 2 Vậy hệ thức cần tìm là (x1+x2)2 + 4(x1+x2) = 4x1.x2
Trang 19 Bài tập tương tự : Giả sử x1, x2 là nghiệm phương trình x2 – (m3)x + 2m + 1 = 0, tìm hệ thức giữa x1,x1 không phụ thuộc vào m II.4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu : Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu, cơ sở giải theo từng phương pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng loại toán này. Cho học sinh thực hành bài tập tương tự ngay tại lớp. Đặc biệt trong các giờ luyện tập, các tiết học tự chọn, ôn tập chương giáo viên tiếp tục cho học sinh giải các bài tập nâng cao, làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên chọn. Qua đó học sinh thấy được tầm quan trọng của loại toán này, tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình và rút ra cách giải các bài tập phức tạp hơn. Qua thực tế giảng dạy môn đại số 9 năm học 20112012 này. Sau khi xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ năm học 20102011 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở lớp 9A2 ( chủ yếu vào các tiết luyện tập, tiết dạy tự chọn, tiết ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên. Cụ thể như sau : Tổng số Trung Bài kiểm tra Giỏi Khá Yếu HSKT bình Khảo sát 40 2(5%) 6(15%) 27(68%) 5(12%) Bài KT 15 phút 40 10(25%) 12(30%) 18(45%) 0(0%) Bài KT 1 tiết 40 8(20%) 11(28%) 20(50%) 1(2%)
Trang 20 Qua bài kiểm tra 15 phút : Học sinh giỏi tăng 8em (20%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm Học sinh khá tăng 6em (15%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm Học sinh yếu kém giảm xuống 5em (12%) so với bài KSCL đầu năm Qua bài kiểm tra 1tiết : Học sinh giỏi tăng 6em (15%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm Học sinh khá tăng 5em (13%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm Học sinh yếu kém giảm xuống 4em (10%) so với bài KSCL đầu năm Như vậy sau khi tôi phân tích và đưa ra các dạng toán cùng phương pháp giải từng dạng toán về ứng dụng của định lý viét và phương trình bậc hai, kết quả thu được là học sinh đã hình thành, định hướng được cách giải loại toán này. Bằng phương pháp gợi mở nêu vấn đề, các câu hỏi dẫn dắt, các em tự phát hiện ra hướng giải cho từng bài tập tạo hứng thú, phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên. III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ : III.1. Kết luận : Phần kiến thức về định lý viét trong chương trình Đại số 9 rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính lôgíc toán học cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và phần Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực,