Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học thông qua dạy học chủ đề đồ thị hàm số

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài là đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán trong chủ đề đồ hàm số cho học sinh theo định hướng hình thành và phát triển một số năng lực tư duy và lập luận.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học thông qua dạy học chủ đề đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ---- SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC TÊN ĐỀ TÀI GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LĨNH VỰC: TOÁN HỌC MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2020 – 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP ---- SÁNG KIẾN KHOA HỌC GIÁO DỤC TÊN ĐỀ TÀI GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LĨNH VỰC: TOÁN HỌC MÔN: TOÁN GIÁO VIÊN: NGUYỄN TRUNG THÀNH SỐ ĐIỆN THOẠI: 0902029789 NĂM HỌC 2020 - 2021
MỤC LỤC PHẦN I - MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................. 2 4. Giả thuyết khoa học .................................................................................................. 3 5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu............................................................. 3 6. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................... 3 7. Đóng góp của đề tài .................................................................................................... 3 PHẦN II. NỘI DUNG ............................................................................................... 3 A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC ............................ 3 I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT ............................................. 3 II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN ..................... 4 III. MỘT SỐ KẾT QUẢ KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ HIỆN NAY................................................................................................................ 6 B. GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.................................................................................................................... 7 I. THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP DƯỚI DẠNG CÁC TÌNH HUỐNG CÓ VẤN ĐỀ, QUA ĐÓ GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ, NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC .................................................................................................................... 7 1. Thiết kế một số tình huống dạy học về đọc hiểu, nhận dạng hình dáng đồ thị hàm số, nhằm rèn luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị, kĩ năng vẽ đồ thị ...................................................... 8 2. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề liên quan đến bài toán đồng biến, nghịch biến ....................................................................................... 13 3. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề liên quan đến bài toán cực trị ................................................................................................................. 21 4. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề liên quan đến bài toán max, min của hàm số ......................................................................................... 28 4. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề liên quan đến bài toán tiệm cận của đồ thị hàm số ................................................................................ 30 II. TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH THÓI QUEN KHÔNG SUY NGHĨ RẬP KHUÔN, MÁY MÓC, KHÔNG BỊ PHỤ THUỘC VÀO CÁC DẠNG BÀI CÓ SẴN ĐỂ HỌC SINH CÓ TƯ DUY LOGIC, XỬ LÍ LINH HOẠT TRƯỚC NHỮNG TÌNH HUỐNG MỚI .................................................................................... 32 III. HƯỚNG DẪN VÀ TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH NHÌN BÀI TOÁN DƯỚI NHIỀU GÓC ĐỘ KHÁC NHAU ĐỂ TÌM NHIỀU LỜI GIẢI KHÁC NHAU...... 39
IV. KHUYẾN KHÍCH VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÂY DỰNG BÀI TOÁN MỚI VỀ CHỦ ĐỀ HÀM SỐ NHẰM HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SÁNG TẠO ......................................................................................................... 47 1. Xây dựng bài toán mới bằng thao tác tư duy tương tự hóa ................................................ 47 2. Xây dựng bài toán mới từ bài toán cơ bản nâng dần mức độ có sự hỗ trợ của phần mềm Geogebra ................................................................................................................................ 52 V. XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN MANG TÍNH THỰC TIỄN VỀ CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẰM TẠO CƠ HỘI HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC, QUA ĐÓ RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC ............................................................................................. 56 C. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI........ 58 1. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm ................................................... 58 2. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................................. 59 PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................. 62 1. Kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai SKKN ..................................... 62 2. Kiến nghị và đề xuất ............................................................................................... 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 64
PHẦN I - MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, nhân cách học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn; tạo dựng sự kết nối giữa các tư tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học khác. Nội dung môn Toán thường mang tính trừu tượng, khái quát. Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể. Trong quá trình học và áp dụng toán học, học sinh luôn có cơ hội sử dụng các phương tiện công nghệ, thiết bị dạy học hiện đại, đặc biệt là máy tính điện tử và máy tính cầm tay hỗ trợ quá trình biểu diễn, tìm tòi, khám phá kiến thức, giải quyết vấn đề toán học. Ở cấp THPT môn Toán giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng quát về Toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế, những ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến toán học trong cuộc đời. Bên cạnh nội dung giáo dục cốt lõi, trong mỗi năm, những học sinh có định hướng khoa học tự nhiên và công nghệ được chọn học một số chuyên đề. Các chuyên đề này nhằm tăng cường kiến thức về Toán học, kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, đáp ứng sở thích, nhu cầu và định hướng nghề nghiệp của học sinh. Chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong môn Toán, có nhiều ứng dụng trong các môn khoa học khác cũng như trong thực tiễn cuộc sống. Trong kì thi THPTQG, môn Toán được thi theo hình thức trắc nghiệm. Qua thực tế giảng dạy và qua tìm hiểu các đề thi THPTQG, đề minh họa đề thi THPTQG, đề thi thử THPTQG của các trường trên cả nước, chúng tôi thấy có rất nhiều dạng toán mới, lạ về chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, đặc biệt là các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số, cần người học phải có kiến thức vững vàng và có các năng lực Toán học mới có thể giải quyết được. Tuy các bài toán trong chủ đề phong phú và đa dạng, có nhiều phương pháp giải khác nhau và chiếm một phần đáng kể về điểm số trong các kì thi THPTQG thì thời gian để dạy phần này lại khá ít, đồng thời việc khai thác các tiềm năng của chủ đề phát triển các năng lực cho học sinh cũng còn khá eo hẹp. Các bài tập về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số trong sách giáo khoa chỉ đơn thuần là các bài toán 1
rất cơ bản, chủ yếu vận dụng trực tiếp các kiến thức ở mức độ nhận biết và thông hiểu. Cũng đã có một số đề tài đã đề cập đến chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, nhưng việc dạy học chủ đề này theo định hướng hình thành và phát triển năng lực người học thì vẫn còn mới và chưa có những đề tài cụ thể để làm sáng tỏ vấn đề này. Với nguồn tài liệu tham khảo còn khá hạn hẹp như thế, rất khó để các em học sinh có thể tự nâng cao kỹ năng giải các loại bài về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, đặc biệt các bài toán về đồ thị hàm số, càng khó khăn hơn khi mục tiêu là giành được điểm tối đa của những em học sinh khá, giỏi. Do vậy, để giải được các bài toán về hàm số và các vấn đề liên quan hiện nay trong các kỳ thi, học sinh cần được trang bị các kiến thức, kỹ năng và phát triển năng lực tương ứng. Để tất cả các em học sinh có thể học tốt phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, làm chủ được kiến thức của chủ đề này thì các em cần được rèn luyện các kỹ năng giải toán về hàm số theo định hướng phát triển năng lực, góp phần hình thành và phát triển một số năng lực Toán học cũng như các năng lực chung cốt lõi. Đó chính là lý do mà tôi chọn viết đề tài: “ Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học thông qua dạy học chủ đề đồ thị hàm số”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán trong chủ đề đồ hàm số cho học sinh theo định hướng hình thành và phát triển một số năng lực tư duy và lập luận, dưới đây là một số biện pháp: - Thiết kế và tổ chức các hoạt động học tập cho học sinh dưới dạng các tình huống có vấn đề qua đó góp phần hình thành và phát triển một số năng lực toán học, như năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực GQVĐ. - Luyện tập và hướng dẫn cho HS thói quen không suy nghĩ rập khuôn, máy móc, không phụ thuộc vào các dạng toán có sẵn để hình thành tư duy logic, xử linh hoạt, mềm dẻo các vấn đề mới. - Hướng dẫn và luyện tập cho HS nhìn nhận một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để xây dựng nhiều phương án giải quyết khác nhau. - Khuyến khích và tạo điều kiện để học sinh tự xây dựng bài toán mới dựa trên các bài toán cơ bản, nhằm mục đích rèn luyện tư duy sáng tạo. - Xây dựng một số bài toán mang tính thực tiễn về chủ đề hàm số nhằm tạo cơ hội hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, năng lực toán học. Kĩ năng thiết kế các hoạt động học tập theo định hướng phát triển năng lực. - Nghiên cứu các kỹ năng, năng lực chủ yếu khi giải toán về đồ thị hàm số. - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài. 2
4. Giả thuyết khoa học Với cơ sở lý luận trên, nếu thiết kế được các hoạt động học tập phù hợp, hệ thống được các kỹ năng giải toán hàm số, lựa chọn được các ví dụ, phân tích, tìm ra phương pháp giải và xây dựng được hệ thống câu hỏi bài tập theo hướng phát triển năng lực thì sẽ giúp học sinh học tốt phần hàm số, góp phần phát triển năng lực cho học sinh, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông. 5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu - Dạy học theo định hướng phát triển năng lực. - Học sinh lớp 12. - Giáo viên giảng dạy toán và THPT. 6. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng bao gồm: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát và thực nghiệm sư phạm tại các trường THPT trên địa bàn thành phố Vinh là vùng lân cận. 7. Đóng góp của đề tài - Về mặt lý luận: Đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong giải toán hàm số. - Về mặt thực tiễn: Sử dụng sáng kiến để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh khi dạy học chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT. - Tính mới của đề tài là đưa ra được hệ thống các biện pháp nhằm hình thành và phát triển một số năng lực Toán học, đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận của học sinh thông qua học chủ đề đồ thị hàm số. Trong mỗi biện pháp, tác giả đã trình bày các ví dụ minh họa, phân tích để làm rõ những lưu ý, hiệu quả trong quá trình sử dụng các biện pháp sư phạm đã đề xuất. Các biện pháp này cần được thực hiện đồng bộ trong quá trình dạy học để bổ sung, hỗ trợ cho nhau trong việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS. PHẦN II. NỘI DUNG A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT Chương trình môn Toán giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau: – Hình thành và phát triển năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán 3
học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán, góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi. – Có những kiến thức, kĩ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Công nghệ,...; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế. – Hình thành và phát triển các đức tính kỷ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt, độc lập, sáng tạo, hợp tác, thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Toán. – Có hiểu biết tương đối tổng quát về những ngành nghề liên quan đến toán học làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời. Môn Toán cấp trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau: a) Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau nhằm giải quyết vấn đề; sử dụng được các mô hình toán học để mô tả các tình huống, từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá cho vấn đề tương tự; sử dụng thành thạo công cụ, phương tiện học toán, biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện, học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học. b) Hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chung và những phẩm chất đặc thù mà giáo dục toán học đem lại: tính kỉ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt; độc lập, hợp tác; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học toán. c) Góp phần giúp học sinh có những hiểu biết làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp sau Trung học phổ thông. II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển các đức tính kiên trì, kỉ luật, trung thực, hứng thú và niềm tin trong học Toán; đồng thời hình thành và phát triển được các năng lực tự chủ và tự học, giao tiếp và hợp tác, giải quyết vấn đề và sáng tạo. Đặc biệt, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Theo Từ điển Tiếng Việt, “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng” 4
(Hoàng Phê, 1998). Nguyễn Thanh Hưng (2019, tr 184-187) cho rằng: “tư duy là giai đoạn cao của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra quy luật của sự vật bằng các hình thức như biểu tượng, phán đoán, suy lí,... Đối tượng của tư duy là những hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu. Các thao tác tư duy chủ yếu gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa,...”. Theo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán, một trong những biểu hiện quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát” (Bộ GD-ĐT, 2018). Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: – So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hoá, khái quát hoá; tương tự; quy nạp; diễn dịch. – Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận. – Thực hiện thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm sự tương đồng và khác biệt trong nhiều tình huống và biết khẳng định kết quả của việc quan sát. – Biết lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề. – Biết rút ra kết luận từ giả thiết đã cho. – Chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp. – Biết sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề. – Biết giải thích, chứng minh hoặc điều chỉnh giải pháp về phương diện toán. Từ các bài toán đếm quen thuộc, HS có thể tự tìm lời giải cho các bài toán tương tự, tìm ra được sự khác nhau giữa các bài toán, và cao hơn là có thể phát biểu các bài toán mới. Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem lập luận là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy toán học và là một thành phần của năng lực toán học, tập trung vào khả năng của HS thực hiện hoạt động suy luận và chứng minh (hoặc bác bỏ) - từ đó lựa chọn được đúng đắn đối tượng, cách thức và kết quả quy luật toán học... khi học Toán. Từ đó, chúng tôi xác định cấu trúc của năng lực tư duy và lập luận toán học của HS trong học Toán bao gồm 05 thành tố: - Kĩ năng lập luận để xác định cấu trúc bài toán và phân chia các trường hợp; - Kĩ năng lập luận để nhận diện bài toán và kiến thức có liên quan; - Kĩ năng lập luận để tìm đoán và lựa chọn đường lối giải; - Kĩ năng lập luận để thực hiện quá trình giải bài toán; - Kĩ năng lập luận để đánh giá quá trình giải và nghiên cứu sâu bài toán. 5
III. MỘT SỐ KẾT QUẢ KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ HIỆN NAY Để có tìm hiểu vần đề này, chúng tôi đã tiến hành khảo sát tìm hiểu về phía học sinh. Chúng tôi đã phát phiếu khảo sát cho hơn 400 học sinh của trường và các trường lân cận trên địa bàn để các em phát biểu những ý kiến, nguyện vọng của mình khi học chủ đề hàm số. Nội dung khảo sát như sau: Phiếu khảo sát Họ và tên học sinh................................................. Lớp 12…….. Trường THPT:………………………………………………………. Hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống trong bảng có câu trả lời phù hợp với em Không/ Nội dung Có chưa (1) Em có yêu thích học môn Toán không ? (2) Em có thấy rằng môn Toán có nhiều ứng dụng thiết thực trong cuộc sống không ? (3) Khi học chủ đề hàm số, em có gặp khó khăn khi giải các bài toán về đồ thị hàm số không ? (4) Em thường học và giải các bài toán theo các dạng đã có sẵn phải không ? (5) Em có thành thạo kĩ năng đọc hiểu đồ thị của hàm số không? (6) Em có tự tin giải được một bài toán mới lạ về đồ thị hàm số, mà em chưa gặp dạng bao giờ không ? Qua việc điều tra và tìm hiểu thực trạng hiện nay, thu được một số ý kiến sau: - Nhiều GV đã bước đầu đổi mới phương pháp dạy học, chuyển dần từ truyền thụ kiến thức sang hình thành và phát triển năng lực, nhưng vẫn còn nhiều GV ngại đổi mới phương pháp dạy học, ngại tìm tòi cái mới. - Đa số HS hiện nay học toán để thi THPTQG, thi đại học, chưa hiểu rõ tầm quan trọng của Toán học với thực tiễn, chưa hiểu rõ thông qua học tập Toán giúp các em hình thành và một số năng lực cơ bản cần thiết để bước vào cuộc sống. - Nhiều HS bị động trong việc học Toán, nắm không vững kiến thức Toán học, gặp nhiều khó khăn khi học Toán, có tâm lí sợ học Toán. - Nhiều HS chỉ làm theo các ví dụ có lời giải sẵn, các dạng toán có sẵn, đứng trước 1 dạng toán mới, các em gặp rất nhiều khó khăn, không có năng lực để giải quyết những dạng toán mới đó… 6
B. GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP DƯỚI DẠNG CÁC TÌNH HUỐNG CÓ VẤN ĐỀ, QUA ĐÓ GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ, NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC Trong phần này tôi xin trình bày việc thiết kế một số hoạt động học tập của học sinh dưới dạng các tình huống có vấn đề, học sinh cần tích cực và chủ động trong quá trình tiếp nhận nhiệm vụ, tri giác vấn đề, tìm cách giải quyết vấn đề, trình bày lời giải và nghiên cứu lời giải, đề xuất phương pháp tối ưu hoặc khái quát hóa bài toán. Qua đó góp phần hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận cho học sinh. Theo quan điểm dạy học định hướng phát triển năng lực học sinh, quá trình dạy học bao gồm một hệ thống các hành động có mục đích của giáo viên tổ chức hoạt động trí óc và tay chân của học sinh, đảm bảo cho học sinh chiếm lĩnh được nội dung dạy học, đạt được mục tiêu xác định. Trong quá trình dạy học, giáo viên tổ chức định hướng hành động chiếm lĩnh tri thức của học sinh phỏng theo tiến trình của chu trình sáng tạo khoa học. Như vậy, chúng ta có thể hình dung diễn biến của hoạt động dạy học như sau: - Giáo viên tổ chức tình huống, giao nhiệm vụ cho học sinh. Học sinh hăng hái đảm nhận nhiệm vụ, gặp khó khăn, nảy sinh vấn đề cần tìm tòi giải quyết. Dưới sự chỉ đạo của giáo viên, vấn đề được diễn đạt chính xác hóa, phù hợp với mục tiêu dạy học và các nội dung cụ thể đã xác định. - Học sinh tự chủ tìm tòi giải quyết vấn đề đặt ra. Với sự theo dõi, định hướng, giúp đỡ của giáo viên, hoạt động học của học sinh diễn ra theo một tiến trình hợp lí, phù hợp với những đòi hỏi phương pháp luận. - Giáo viên chỉ đạo sự trao đổi, tranh luận của học sinh, bổ sung, tổng kết, khái quát hóa, thể chế hóa tri thức, kiểm tra kết quả học phù hợp với mục tiêu dạy học các nội dung cụ thể đã xác định. Tổ chức tiến trình dạy học như vậy, lớp học có thể được chia thành từng nhóm nhỏ. Tùy mục đích, yêu cầu của vấn đề học tập, các nhóm được phân chia ngẫu nhiên hay có chủ định, được duy trì ổn định hay thay đổi trong từng phần của tiết học, được giao cùng một nhiệm vụ hay những nhiệm vụ khác nhau. Trong nhóm nhỏ, mỗi thành viên đều phải làm việc tích cực, không thể ỷ lại vào một vài người hiểu biết và năng động hơn. Các thành viên trong nhóm giúp đỡ nhau tìm hiểu vấn đề nêu ra trong không khí thi đua với các nhóm khác. Kết quả làm việc của mỗi nhóm sẽ đóng góp vào kết quả học tập chung của cả lớp. Các kĩ thuật dạy học tích cực sẽ 7
được sử dụng tốt trong nhóm nhỏ trên lớp để thực hiện các nhiệm vụ nhằm đạt mục tiêu dạy học. Như vậy, mỗi bài học bao gồm các hoạt động học theo tiến trình sư phạm của phương pháp dạy học tích cực được sử dụng. Mỗi hoạt động học có thể sử dụng một kĩ thuật dạy học tích cực nào đó để tổ chức nhưng đều được thực hiện theo các bước như sau: (1) Chuyển giao nhiệm vụ học tập: nhiệm vụ học tập rõ ràng và phù hợp với khả năng của học sinh, thể hiện ở yêu cầu về sản phẩm mà học sinh phải hoàn thành khi thực hiện nhiệm vụ; hình thức giao nhiệm vụ sinh động, hấp dẫn, kích thích được hứng thú nhận thức của học sinh; đảm bảo cho tất cả học sinh tiếp nhận và sẵn sàng thực hiện nhiệm vụ. (2) Thực hiện nhiệm vụ học tập: khuyến khích học sinh hợp tác với nhau khi thực hiện nhiệm vụ học tập; phát hiện kịp thời những khó khăn của học sinh và có biện pháp hỗ trợ phù hợp, hiệu quả; không có học sinh bị "bỏ quên". (3) Báo cáo kết quả và thảo luận: hình thức báo cáo phù hợp với nội dung học tập và kĩ thuật dạy học tích cực được sử dụng; khuyến khích cho học sinh trao đổi, thảo luận với nhau về nội dung học tập; xử lí những tình huống sư phạm nảy sinh một cách hợp lí. (4) Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập: nhận xét về quá trình thực hiện nhiệm vụ học tập của học sinh; phân tích, nhận xét, đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ và những ý kiến thảo luận của học sinh; chính xác hóa các kiến thức mà học sinh đã học được thông qua hoạt động. 1. Thiết kế một số tình huống dạy học về đọc hiểu, nhận dạng hình dáng đồ thị hàm số, nhằm rèn luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị, kĩ năng vẽ đồ thị Để giải quyết các bài toán liên quan tới đồ thị hàm số thì trước hết HS cần có kĩ năng đọc hiểu đồ thị của các dạng hàm số quen thuộc. Thông qua đồ thị hàm số, HS cần thu được các thông tin từ đồ thị, để từ đó mới có thể giải quyết các bài toán khác. Ví dụ 1.1.1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của hàm số đã cho ? Những bài toán dạng này giúp ích HS rèn luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị rất tốt. GV cần chú ý đến rèn luyện cho HS kĩ năng này. Từ đồ thị đã cho, chúng ta thu được một số kết quả sau : - Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;  1 và 1;    , hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 . 8
- Điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số lần lượt là  1; 4  , 1;0  . - Dựa vào đồ thị chúng ta thấy f  x   0, x  2 và f  x   0, x, 2 . Cũng đồ thị trên, nhưng chúng ta thay đổi hàm số y  f  x  bởi y  f   x  , ta có bài toán sau : Ví dụ 1.1.2. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của hàm số y  f  x  ? Sai lầm thường gặp trong quá trình dạy học cho thấy HS hay nhầm lẫn giữa hình dáng đồ thị hàm số y  f  x  với y  f   x  . Để khắc phục vấn đề này, GV cần có thời gian rèn luyện kĩ năng nhận dạng, đọc hiểu đồ thị hàm số. Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có -) f   x   0  x  2 , do đó hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  2;    . f  x   0  x  2 , do đó hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng   ;  2  . -) Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại x  2 . Ngoài việc nhầm lẫn giữa đồ thị hàm số y  f   x  và y  f  x  , còn có sai lầm về việc nhầm lẫn x  1 cũng là một điểm cực trị của hàm số y  f  x  . Trong quá trình dạy học, GV cần làm cho HS nắm vững được kiến thức đã học về hàm số. Qua x  1 giá trị f   x  không đổi dấu, do đó nó không phải là điểm cực trị của hàm số y  f  x. Sau khi HS đã có kĩ năng đọc hiểu đồ thị cơ bản, GV cần rèn luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị có liên quan đến phép tịnh tiến đồ thị, đồ thị của hàm số hợp. Ví dụ 1.1.3. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của hàm số y  f  x  3  ? Đồ thị hàm số y  f  x  3  được suy ra từ đồ thị y  f  x  bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang trái 3 đơn vị. 9
Từ đó GV cho HS thực hiện việc vẽ đồ thị hàm số y  f  x  3  . Từ đồ thị của hàm số y  f  x  3  HS dễ dàng rút ra được các kết luận tương tự như ví dụ 1.1.1. Từ ví dụ 1.1.2 bằng cách kết hợp với phép tịnh tiến đồ thị chúng ta có ví dụ sau : Ví dụ 1.1.4. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của hàm số y  f  x  2  ? Nếu chúng ta kết hợp phép tịnh tiến ở cả 2 hàm số y  f  x  và y  f   x  , chúng ta có bài toán sau : Ví dụ 1.1.5. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  1 như hình vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của hàm số y  f  x  2  ? Bản chất của ví dụ 1.1.5 là dùng phép tịnh tiến trực tiếp đồ thị y  f   x  1 sang phải 3 đơn vị ta được đồ thị y  f   x  2  . Nếu thêm vào hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, thì chúng ta có thêm nhiều bài toán mới giúp rèn luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị hàm số, chẳng hạn : Ví dụ 1.1.6. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm như hình vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của hàm số y  f  x  2  ? Trước hết, tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang bên phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y  f  x  2  . Tiếp theo, giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f  x  2  nằm trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f  x  2  nằm 10
phía dưới trục hoành qua Ox , xóa bỏ phần đồ thị nằm dưới trục hoành ta được đồ thị hàm số y  f  x  2  . Từ đồ thị hàm số y  f  x  2  HS dễ dàng cho các kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số đó. Dạng bài tập này rèn luyện rất tốt kĩ năng vẽ đồ thị của hàm số qua phép tịnh tiến và phép lấy đối xứng qua trục. Khi HS đã thành thạo kĩ năng vẽ đồ thị thì HS dễ dàng đọc hiểu đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một dạng hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ở biến cũng thường gặp và gây nhiều khó khăn hơn cho HS. Ví dụ 1.1.7. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm như hình vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của hàm số y  f  x  2  ? Để vẽ được đồ thị hàm số y  f  x  2  cần thực hiện 2 bước : Bước 1. Vì y  f  x  là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Với x  0 thì f  x   f  x  nên hai hàm số này có đồ thị trùng nhau. Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y  f  x  bằng cách giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f  x  nằm bên phải trục tung. Xóa bỏ toàn bộ phần đồ thị y  f  x  nằm bên trái trục tung. Cuối cùng lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số y  f  x  . Bước 2. Thực hiện phép tịnh tiến sang phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y  f  x  2  . Từ đây HS dễ dàng đọc hiểu về đồ thị hàm số y  f  x  2  , từ đó đưa ra kết luận về tính đơn điệu và cực trị của nó. Nếu thay x  2 bằng x  2  1 ta có bài toán khó hơn như sau : Ví dụ 1.1.8. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm như hình vẽ. Từ đồ thị, hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của hàm số y  f  x  2  1 ? 11
GV cần hướng dẫn từng bước để HS nắm vững kĩ năng vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng này. Bước 1. Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  1 . Bước 2. Vẽ đồ thị hàm số y  g  x   f  x  1 bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y  f  x  1 nằm bên phải trục tung, xóa bỏ phần đồ thị nằm bên trái Oy , cuối cùng lấy đối xứng qua Oy . Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số y  g  x  2  f  x  2  1 bằng cách tịnh tiến đồ thị y  g  x  sang bên trái 1 đơn vị. Qua khảo sát và thực tế dạy học có nhiều HS khá, giỏi mắc sai lầm về cách vẽ đồ thị hàm số y f  x  2  1 . Sai lầm phổ biến là nhầm lẫn cách vẽ đồ thị y  f  x  2  1 được vẽ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  2  sang bên phải 1 đơn vị. GV cần làm rõ sai lầm nêu trên để HS hiểu sâu sắc hơn. Nếu thực hiện tịnh tiến sang phải 1 đơn vị đồ thị hàm số y  f  x  2  thì chúng ta thu được đồ thị hàm số y  f  x  3  . Để đi đến các bài toán về đồ thị hàm số có liên quan đến hàm số hợp phức tạp hơn, GV cần yêu cầu HS nhắc lại đạo hàm của hàm số hợp. Sau đó GV dẫn dắt HS rèn luyện kĩ năng đọc hiểu đồ thị hàm số có liên quan đến hàm số hợp. Ví dụ 1.1.9. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của như hình vẽ. Hãy cho biết về tính đơn điệu, cực trị của hàm số y  g  x   f  x  2 x  ? 2 Từ đồ thị hàm số chúng ta có bảng biến thiên x  1 1  f  x   0  0  f  x 4   0 12
 x 2  2 x  1  x 1   Ta có g   x   f  x  2 x . 2 x  2  ; g   x   0   x 2  2 x  1  2    . x 1  x 1 2  Ta có bảng biến thiên của hàm số y  g  x  : x  1 2 1 1 2  g x   0  0  0  g  x   Từ bảng biến thiên ta có kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số y  g  x  . 2. Thiết kế một số tình huống dạy học theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề liên quan đến bài toán đồng biến, nghịch biến Ví dụ 1.2.1. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  g  x   f  x  đồng biến 2 trên khoảng nào sau đây ?  1 1 A.   ;  . B.  0;2  .  2 2  1  C.   ;0  . D.  2;  1 .  2  Bước 1. Chuyển giao nhiệm vụ: Hãy tìm lời giải cho bài toán nói trên, để chọn phương án đúng. Bước 2. Thực hiện nhiệm vụ học tập: - Tri giác vấn đề: Dựa vào đồ thị hàm số f   x  ta có các kết quả:  x  1 1) f   x   0   x  1 ;   x  4 2) f   x   0  x   ;  1  1; 4  ; f   x   0  x   1;1   4;   . 3) Cần tìm khoảng đồng biến của hàm số y  f  x  . 2 - Tìm phương án giải quyết vấn đề: Định hướng 1. (Dành cho lời giải tự luận) 13
+) Hàm số f  x 2  là hợp của hai hàm số y  f  u  và hàm số u  x 2 . Do đó nghĩ tới việc tính đạo hàm của hàm hợp: g   x   f   u  .u  . Ta có g   x   2 x. f   x  . +) Cần tìm khoảng đồng biến của hàm số g  x   f  x  tức là cần tìm khoảng mà 2 g x   0 . +) Để biết dấu của g   x  ta lập bảng xét dấu của nó và lập bảng biến thiên. Từ đó kết luận về khoảng đồng biến của hàm số y  g  x  . Định hướng 2. (Dành cho giải toán hình thức trắc nghiệm) +) Bài toán không cho biết công thức hàm số f  x  cụ thể, nhưng kết quả bài toán lại chỉ có một, không phụ thuộc vào công thức của f  x  . +) Nếu kết quả bài toán đúng cho hàm f  x  thỏa mãn các điều kiện trên thì cũng thỏa mãn cho hàm g  x  thỏa mãn tính chất tương tự. +) Chọn hàm f  x  là hàm số cụ thể thỏa mãn các yêu cầu giả thiết, sau đó tìm khoảng đồng biến của hàm số f  x  . 2 Bước 3. Báo cáo kết quả và thảo luận: - Quyết định phương án giải quyết vấn đề, trình bày phương án: Lời giải 1. (Tự luận)  x  1 Dựa vào đồ thị hàm số f   x  ta có: f   x   0   x  4 và f   x   0  x   ;  1  1; 4  ; f   x   0  x   1;1   4;   . x  0 x  0    2 Do đó g   x   2 x. f   x  x 0 ; g x   0     x  1   x  1 . 2  f   x   0 2   x2  4  x  2  Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án C . Lời giải 2. (Trắc nghiệm) Vì kết quả bài toán không phụ thuộc đến công thức của hàm số f  x  , nên chỉ cần chọn hàm số thỏa mãn yêu cầu, hình dáng đồ thị f   x  cho thấy nó có hình dáng 14
tương tự hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm x   1, x  1, x  4 và nó có hệ số bậc ba là a  0 nên ta chọn f   x     x  1 x  1 x  4  . Hàm số y  g  x   f  x  đồng biến khi và chỉ khi g   x   0 2  x  0   x  0    1  x  1  x  2     2 f  x 2  0      x2  4   1  x  0 .     x  0  x  0 1  x  2  f  x2  0       1  x  4 2 Từ kết quả đó và đối chiếu các kết quả trong bốn phương án ta chọn đáp án C . - Nghiên cứu sâu phương án, giải pháp, đề xuất các vấn đề mới, khái quát hóa,... Bài toán trên đề cập đến việc tìm tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số hợp. Bản chất của nó là việc đi tìm đạo hàm của hàm số hợp, từ đó lập bảng biến thiên của hàm số hợp để kết luận về tính đồng biến, nghịch biến. Dựa trên ý tưởng đó có thể thay thế x 2 trong bài toán nói trên bằng một hàm số khác sẽ cho chúng ta bài toán mới. Chẳng hạn các bài toán sau: Bài toán 1.2.1. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số y  g  x   f  x  4 x  7  đồng 2 biến trên những khoảng nào? Bài toán 1.2.2 Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  g  x   f   x 2  4 x  19 đồng biến trên các khoảng nào? Nếu kết hợp với các phép biến đổi đồ thị chúng ta có thể có những bài toán phức tạp hơn. Bài toán 1.2.3. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  g  x   f  x  1  đồng biến trên các khoảng nào? Bước 4. Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập: 15
Giáo viên nhận xét về quá trình thực hiện nhiệm vụ học tập của học sinh; phân tích, nhận xét, đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ và những ý kiến thảo luận của học sinh; chính xác hóa các kiến thức mà học sinh đã học được thông qua hoạt động. Ở các bài toán trên, giả thiết cho đồ thị của f   x  . Nếu chúng ta thay x bởi 1 biểu thức khác thì sẽ có được bài toán mới. Bài toán 1.2.4. Hàm số y  f   x  3  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng nào? Đây là bài toán không quá khó đối với HS sau khi đã giải Ví dụ 2.1.1. Tuy nhiên từ bài toán này sẽ gợi mở cho HS cách xây dựng nhiều bài toán mới lạ. Thay thế x  3 bởi một hàm số bậc nhất ta có bài toán: x  Bài toán 1.2.5. Hàm số y  f    3  có đồ 2  thị như hình vẽ. Hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng nào? Ví dụ 1.2.2. Cho hàm số y  f  x  . Biết hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  g  x   f  2 x  3 x 2  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  1 1  A.  ;  . B.  ;   .  3 2  1 1  1 C.  ;  . D.  2;  . 3 2  2 Bước 1. Chuyển giao nhiệm vụ: Hãy tìm lời giải cho bài toán nói trên, để chọn phương án đúng. Bước 2. Thực hiện nhiệm vụ học tập: - Tri giác vấn đề: Dựa vào đồ thị hàm số f   x  ta có các kết quả: x  1 1) f   x   0   .  x  2 2) f   x   0  x   ;1   2;   ; f   x   0  x  1; 2  . 3) Cần tìm khoảng đồng biến của hàm số y  f  2 x  3 x  . 2 16