Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp" nhằm tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề góc trong không gian, qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo cho học sinh lớp 11.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp

MỤC LỤC Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ............................................................................. Trang 3 1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 3 1.2. Mục đích của đề tài............................................................................. Trang 4 1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... Trang 4 1.4. Giới hạn của đề tài............................................................................. Trang 4 1.5. Nhiệm vụ của đề tài .......................................................................... Trang 4 1.6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... Trang 4 1.7. Bố cục của đề tài ............................................................................... Trang 4 Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.................................................... Trang 6 Chương 1. Cơ sở lý thuyết và thực tiễn.................................................... Trang 6 1.1. Khái niệm........................................................................................... Trang 6 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực............................................................... Trang 6 1.3. Thực trạng của đề tài.......................................................................... Trang 6 1.4. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 7 1.5. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 7 1.6. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất ……. Trang 7 Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các bài toán về góc trong hình học không gian Trang 10 tổng hợp môn Toán lớp 11 2.1. Một số kiến thức cơ bản...................................................................... Trang 10 2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua các bài toán về góc giữa hai đường thẳng trong Trang 18 hình học không gian tổng hợp ………………………………………….. 2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt Trang 24 phẳng trong hình học không gian tổng hợp …………………………….. 2.4. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng trong hình Trang 34 học không gian tổng hợp ……………………………………………….. 1
2.5. Hướng dẫn học sinh xây dựng và giải một số bài toán có nội dung thực tiễn, một số hoạt động trải nghiệm thực tế về góc trong hình học Trang 42 không gian tổng hợp ……………………………………………………. Chương 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu.......... Trang 47 Phần III. KẾT LUẬN.............................................................................. Trang 49 PHỤ LỤC.................................................................................................. Trang 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... Trang 57 2
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ mục tiêu cụ thể về giáo dục phổ thông, trong đó có mục tiêu: Hình thành năng lực công dân, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. Nội dung trọng tâm được thể hiện trong Nghị quyết này là “chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực”. Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học”. Trong số những năng lực chung, giải quyết vấn đề là năng lực hết sức quan trọng cần được hình thành cho học sinh để giải các bài toán bậc THPT. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Trong suốt quá trình dạy học, tôi nhận thấy rằng đa số các học sinh đặc biệt là học sinh trung bình - yếu rất sợ học các chủ đề của hình học không gian tổng hợp trong đó có chủ đề góc và theo thời gian các em sẽ dần lãng quyên rồi không học hình học không gian tổng hợp. Là một giáo viên giảng dạy môn Toán tôi luôn băn khoăn trăn trở để tìm các biện pháp nhằm giúp các em tích cực tiếp cận và tìm được nhiều cách giải cho các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp qua đó tạo sự hứng thú và say mê học tập cho học sinh. Qua thực tiễn dạy học cũng cho thấy sau khi học xong một chủ đề, học sinh vẫn còn gặp khá nhiều khó khăn khi trả lời câu hỏi “Học xong chủ đề này em sẽ giải quyết được những vấn đề nào thường gặp trong thực tiễn?” hay là việc tìm tòi lời giải cho các bài toán thực tiễn liên quan đến các chủ đề đã học. Do đó trong quá trình dạy học người giáo viên cần chú trọng thiết kế và tổ chức các hoạt động giáo dục toán học gắn với thực tiễn theo quan điểm học đi đôi với hành, lí luận gắn liền với thực tiễn; thể hiện mức độ cao nhất về sự chiếm lĩnh các kiến thức của người học mà mọi quá trình giáo dục đều hướng tới. Chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 sẽ được áp dụng cho lớp 11 năm học 2023 - 2024. Giáo viên là nòng cốt quyết định cho chất lượng giáo dục, vì thế sự thay đổi chất lượng giáo dục phải bắt nguồn từ sự thay đổi của chính đội ngũ 3
này. Nhận thức về dạy học toán gắn với sự phát triển các năng lực cốt lõi, năng lực chung của môn Toán là một trong những giải pháp đầu tiên nhằm thực hiện hóa mục tiêu giáo dục trong giai đoạn đổi mới. Với những lí do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp”. 1.2. Mục đích của đề tài - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. 1.3. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 11. - Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp trường khối 11, thi HSG cấp tỉnh khối 12. - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 1.4. Giới hạn của đề tài Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề góc trong không gian, qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo cho học sinh lớp 11. 1.5. Nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề. - Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp thuộc chương trình môn Toán lớp 11 hiện hành. - Định hướng cho học sinh kỹ năng giải các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp bằng cách vận dụng các kiến thức chương 3 môn hình học lớp 11 chương trình hiện hành, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Hướng dẫn học sinh xây dựng và giải một số bài toán có nội dung thực tiễn bằng cách vận dụng các kiến thức chương 3 môn hình học lớp 11, góp phần phát triển khả năng sáng tạo cho học sinh. 1.6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Phương pháp điều tra quan sát. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 1.7. Bố cục của đề tài Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. 4
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp thuộc chương trình môn Toán lớp 11. Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu. 5
Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn 1.1. Khái niệm - Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.” - Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là: + Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học. + Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... + Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn. 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực - Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau: + Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. + Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất. - Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 1.3. Thực trạng của đề tài Trong suốt quá trình dạy học, tôi nhận thấy rằng đa số các học sinh đặc biệt là học sinh trung bình - yếu rất sợ học các chủ đề của hình học không gian tổng hợp trong đó có chủ đề góc. Là một giáo viên giảng dạy môn Toán tôi luôn băn khoăn trăn trở để tìm các biện pháp nhằm giúp các em tích cực tiếp cận và tìm 6
được nhiều cách giải cho các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp qua đó tạo sự hứng thú và say mê học tập cho học sinh. Qua thực tiễn dạy học cũng cho thấy sau khi học xong một chủ đề, học sinh vẫn còn gặp khá nhiều khó khăn khi trả lời câu hỏi “Học xong chủ đề này em sẽ giải quyết được những vấn đề nào thường gặp trong thực tiễn?” hay là việc tìm tòi lời giải cho các bài toán thực tiễn liên quan đến các chủ đề đã học. Do đó trong quá trình dạy học người giáo viên cần chú trọng thiết kế và tổ chức các hoạt động giáo dục toán học gắn với thực tiễn theo quan điểm học đi đôi với hành, lí luận gắn liền với thực tiễn; thể hiện mức độ cao nhất về sự chiếm lĩnh các kiến thức của người học mà mọi quá trình giáo dục đều hướng tới. Nội dung của đề tài sẽ tập trung giải quyết các thực trạng đã nêu ở trên. 1.4. Cơ sở lý thuyết 1.4.1. Kiến thức cơ bản về chương 3 hình học lớp 11 chương trình hiện hành: Quan hệ vuông góc trong không gian. 1.4.2. Một số bài toán có nội dung thực tiễn. 1.5. Cơ sở thực tiễn Qua khảo sát thực tế của học sinh trường THPT Lê Lợi, hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo. Các bài toán có nội dung thực tiễn, liên môn thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước chuyển đổi. Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, chúng tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Cụ thể tháng 4 năm 2021, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Chúng tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau: Số Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm
- Nội dung khảo sát: Tìm hiểu sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp được đề xuất trong sáng kiến. - Phương pháp khảo sát và thang đánh giá: Trao đổi bằng bảng hỏi; với thang đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ 1 đến 4). Không cấp thiết (không khả thi: 1 điểm Ít cấp thiết (ít khả thi): 2 điểm Cấp thiết (khả thi): 3 điểm Rất cấp thiết (rất khả thi): 4 điểm Tính điểm trung bình X theo Excel 1.6.3. Đối tượng khảo sát: 23 giáo viên môn toán bậc THPT 1.6.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất: a. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất TT Các giải pháp Các thông số X Mức Quan điểm của Thầy (Cô) về sự cấp thiết của việc tổ 1 chức một số hoạt động trải nghiệm sáng tạo cho học 3.78 4 sinh thông qua dạy học chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp Quan điểm của Thầy (Cô) về sự cấp thiết của việc rèn 2 luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết một số bài toán 3.78 4 có nội dung thực tiễn nhằm định hướng các kỳ thi đánh giá năng lực Quan điểm của Thầy (Cô) về sự cấp thiết của dạy học 3 định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho 3.65 4 học sinh thông qua chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp Từ bảng số liệu trên chúng ta thấy rằng các giải pháp đề xuất trong sáng kiến được đồng nghiệp đánh giá có tính cấp thiết ở mức khá cao. b. Tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất 8
TT Các giải pháp Các thông số X Mức 1 Quan điểm của Thầy (Cô) về tính khả thi của việc tổ chức một số hoạt động trải nghiệm cho học sinh thông 3.78 4 qua chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp Quan điểm của Thầy (Cô) về tính khả thi của việc dạy 2 học định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề và 3.74 4 sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp Quan điểm của Thầy (Cô) về tính khả thi của việc 3 hướng dẫn học xây dựng và giải một số bài toán có nội 3.69 4 dung thực tiễn chủ đề góc trong hình học không gian tổng hợp Từ bảng số liệu trên chúng ta thấy rằng các giải pháp đề xuất trong sáng kiến được đồng nghiệp đánh giá có tính khả thi ở mức khá cao. 9
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các bài toán về góc trong hình học không gian tổng hợp môn Toán lớp 11 2.1. Một số kiến thức cơ bản 2.1.1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian a. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a  và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . Ta kí hiệu:  a; b    a; b  . b. Một số chú ý - Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. - Nếu u , v lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng a và b   trong không gian. Khi đó cos a; b   cos u; v . - 00   a; b   900 . - Nếu  a; b   900 ta nói hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau và được kí hiệu là a  b . - Nếu đường thẳng a song song hoặc trùng với đường thẳng b thì ta có  a; b   0 0 . Ví dụ 1.1. Cho hình lập phương ABCD. ABCD , gọi M là trung điểm của cạnh AB , O là trọng tâm của hình vuông CDDC  . a) Tính góc giữa các đường thẳng AB và CD . b) Tính cosin của góc giữa các đường thẳng OM và BC . Lời giải a) Ta có AB //CD   AB; CD    AB; AB   ABA  450 . b) Đặt AB  a  0 . 10
Cách 1: Đưa về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau: Gọi N là trung điểm của cạnh CD . Khi đó MN //BC . Suy ra  OM ; BC    OM ; MN  . CC   ABCD  Ta có:  ON //CC  ON   ABCD   ON  MN Suy ra  OM ; MN   OMN và ta có: ON 1 2 5 tan OMN    cosOMN  . MN 2 5 Cách 2: Đưa về tính góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng   Chọn hệ vectơ gốc là AB; AD; AA . Khi đó, ta có: BC  AD 1 1 1 MO  MA  AD  DO   AB  AD  DC  AD  AA . 2 2 2 2 2 1 a 5 Từ đó: BC.MO  AD  a 2 ; BC  a ; MO  MO  a 2  a 2  . 4 2  Suy ra: cos BC; MO   BC. MO BC . MO  a2 a 5  2 5 5 . a. 2 2.1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng a. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng   . Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bẳng 900 . Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng   thì góc giữa d và hình chiếu d  của nó trên   gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   được kí hiệu là  d ;    . 11
b. Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: +) 00   d ;     900 . +) Nếu đường thẳng d song song hoặc nằm trên   thì  d ;     00 . c. Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   cắt nhau: Bước 1: Tìm giao điểm I của d và   . Bước 2: Lấy điểm A  I , A  d , dựng AH    , H    . Khi đó:  d ;      d ; IH    AIH  . AH d  A;    AH d  A;    Chú ý: tan  AIH    ; sin  AIH    . IH IH IA IA Như vậy chúng ta có thể tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà không cần dựng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. d. Nhận xét: Cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng   . Khi đó  d ;      d ;    90 . Thật vậy: 0  d ;      d ;    AIH  IAH  90 . 0 Ví dụ 1.2: Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  , SA  a 3 ; tam giác ABC đều cạnh a . a) Tính góc giữa cạnh SC và mặt phẳng  ABC  . b) Tính cosin của góc giữa cạnh SC và mặt phẳng  SAB  . c) Tính sin của góc giữa đường thẳng SM với mặt phẳng  SBC  , trong đó M là trung điểm của cạnh AC . Lời giải a) Ta có  SC;  ABC    SCA . SA a 3 tan tan SCA    3  SCA  600 . CA a 12
b) Ta có: SC   SAB   S . Gọi K là trung điểm của cạnh AB . Khi đó:  SAB    ABC    SAB    ABC   AB  CK   ABC  CK  AB   CK   SAB    SC;  SAB    CSK . SK SA2  AK 2 13 Ta có: cosCSK    . SC SA2  AC 2 4 d  M ;  SBC   c) Ta có SM   SBC   S ; sin CSK  . Trong đó: SM a 2 a 13 SM  SA  AM  3a  2  2 . 2 4 2 d  M ;  SBC    d  A;  SBC   . 1 2 Kẻ AI  BC, AH  SI . Khi đó d  A;  SBC    1 AH và 2 a 3 a 3. AH  SA. AI  2  15 a  d  M ;  SBC    15 a . SA2  AI 2 3 3a 2  a 2 5 10 4 15 2 195 Từ đó: sin CSK  a.  . 10 a 13 65 2.1.3. Góc giữa hai mặt phẳng a. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.    ;       a; b  . 13
b. Nhận xét: Nếu mặt phẳng   song song hoặc trùng mặt phẳng    thì   ;      0 0 . c. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau   và    : Bước 1: Xác định giao tuyến d của   và    . Bước 2: Từ một điểm I bất kỳ trên đường thẳng c ta dựng trong   đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong    đường thẳng b vuông góc với c . Khi đó    ;       a; b  . Nhận xét: Để xác định các đường thẳng a, b trong bước 2 ta có thể thực hiện như sau: + Dựng mặt phẳng    vuông góc với đường thẳng c . + Khi đó a, b lần lượt là giao tuyến của    và hai mặt phẳng   ,    . d. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau trong các trường hợp thường gặp: Bài toán gốc 1: Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  . Dựng góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  (chúng ta thường gọi trường hợp này là xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy khi biết đường cao của hình chóp). Lời giải Ta có BC   SBC    ABC  Trong mặt phẳng  ABC  kẻ AH  BC . Khi đó BC   SAH   BC  SH suy ra   SBC  ;  ABC     AH ; SH   SHA . Chú ý các trường hợp đặc biệt trong bài toán gốc 1: + Nếu tam giác ABC vuông tại B thì H  B    SBC  ;  ABC    SBA . + Nếu tam giác ABC vuông tại C thì H  C    SBC  ;  ABC    SCA . + Nếu tam giác ABC cân tại A thì H là trung điểm của cạnh BC . 14
Bài toán gốc 2: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành. Xác định góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SCD  . Lời giải Do AB //CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB  và  SCD  là đường thẳng d đi qua đỉnh S và song song với AB . Trong các mặt phẳng  SAB  và  SCD  lần lượt kẻ các đường thẳng a, b đi qua S vuông góc với các đường thẳng AB, CD . Khi đó  SAB  ;  SCD     a; b  . Bài toán gốc 3: Cho tứ diện ABCD có AD  BC . Xác định góc giữa  ABC  và  DBC  . Lời giải Ta có  ABC    DBC   BC . Kẻ AH  BC . Khi đó BC   AHD   BC  HD . Suy ra   ABC  ;  DBC     AH ; DH  . Bài toán gốc 4: Cho tứ diện ABCD có AB  BD, AC  CD . Xác định góc giữa  ABC  và  DBC  . Lời giải Ta có  ABC    DBC   BC . Kẻ AH  BC . Khi đó do ABC  DBC suy ra BC  HD . Suy ra   ABC  ;  DBC     AH ; DH  . e. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng thông qua diện tích hình chiếu của một đa giác: Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng   có diện tích S và H’ là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng    và H’ có diện tích S  , góc giữa hai mặt S phẳng   và    là  . Khi đó: cos  . S f. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng thông qua khoảng cách: 15
Cho hai mặt phẳng   và    cắt nhau theo giao tuyến d . A là điểm bất kỳ trên mặt phẳng   , A  d . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên mặt phẳng    và trên đường thẳng d . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng   , AH d  A;        là góc AKH và sin AKH   . AK d  A; d  Như vậy để tính góc giữa hai mặt phẳng   và    trong chương trình môn toán lớp 11 hiện hành, chúng ta có thể hướng dẫn học sinh thực hiện theo một trong 4 cách: Cách 1: Dựng và tính góc giữa hai mặt phẳng. Cách 2: Dùng định nghĩa. S Cách 3: Tính góc thông qua diện tích hình chiếu cos  . S d  A;     Cách 4: Tính góc thông qua tính khoảng cách sin    ;      , d  A; d  trong đó d        . Đối với học sinh trung bình yếu chúng ta cần tăng cường rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng theo bài toán gốc 1. Ví dụ 1.3: Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  , SA  a 3 ; tam giác ABC vuông cân tại B , AB  a . a) Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  . b) Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAB  . c) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAC  . Tính tan  . Lời giải a) Áp dụng bài toán gốc 1 ta có góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  là góc SBA . Trong tam giác SBA ta có: SA a 3 tan SBA    3  SBA  600 hay góc giữa hai mặt phẳng  SBC  AB a và  ABC  bằng 60 . 0 16
CB  AB  b) Ta có   CB   SAB    SBC    SAB  CB  SA  do SA   ABC    Do đó góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAB  bằng 900 . c) Cách 1 (Dựng góc): Ta có SC   SBC    SAC  . Kẻ BH   SAC  . Do  SAC    ABC  nên ta có BH   SAC  . Kẻ HK  SC . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAC  là góc BKH   . BH Ta có tan   , trong đó HK 1 a 2 BH  AC  2 2 a 2 SA HK SA.HC a 3. sin C    HK   2  a 30 . SC HC SC 2 5 20 a 2 20 2 15 Do đó tan   .  . 2 a 30 3 Cách 2 (Sử dụng khoảng cách): Ta có SC   SBC    SAC  . Xét điểm B thuộc mặt phẳng  SAC  . Áp dụng bài toán gốc 4, ta có: d  B;  SAC   sin   , trong đó: d  B; SC  d  B;  SAC    BH  a 2 2 SB.BC 2a.a 2a SB.BC  d  B; SC .SC  d  B; SC     . SC a 5 5 d  B;  SAC   a 2 5 10 Suy ra sin    .  . d  B; SC  2 2a 4 Cách 3 (Sử dụng công thức hình chiếu): 17
Hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng  SAC  là SHC . SSHC S SA. AC a 3.a 2 6 15 Ta có: cos   SAC     tan   . SSBC 2SSBC 2SB.BC 2.2a.a 4 3 Cách 4 (sử dụng định nghĩa): Kẻ AI  SB , do  SAB    SBC   AI   SBC  . Trong mặt phẳng  SBH  , kẻ IJ //BH  J  SH   IJ   SAC  và AIJ vuông tại J . Từ đó, ta có góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAC  là góc giữa hai đường thẳng AI và IJ tức là góc AIJ   . IJ Ta có: cos  , trong đó: AI SA. AB a 3.a a 3 SA. AB  AI .SB  AI    . SB 2a 2 2 IJ SI SA2  SA  2  a 3  a 2 3 2a   2  IJ    .HB    .  . HB SB SB  SB   2a  2 8 3 2a 2 6 15 Suy ra cos  .   tan   . 8 a 3 4 3 2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua các bài toán về góc giữa hai đường thẳng trong hình học không gian tổng hợp Ví dụ 2.1. (Sáng tác). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  2a, BC  a ; SAB  SCB  900 ; M là trung điểm của AB , biết góc giữa đường thẳng SA và  ABC  bằng 450 . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và CM . Lời giải Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD  . Khi đó:  BC  CD   BC   SCD   BC  CD .  BC  SD Tương tự ta có AB  AD . Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật. 18
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  là góc SAD  450  SD  AD  a . Để tính góc giữa hai đường thẳng SB và CM giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thực hiện theo một trong hai cách sau: Cách 1: Đưa về bài toán tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau: Gọi N là trung điểm của cạnh SA . Khi đó MN //SB   SB; CM    MN ; CM  . Xét tam giác CMN , ta có: 1 a 6 CM  MB 2  BC 2  a 2 ; MN  SB  ; 2 2 2a 2 3 2 CN  CD  ND  4a  2  a . Do đó: 2 2 4 2 2 2 a 6  3 2  a 2  2    a CM 2  NM 2  CN 2  2   2   3. cosCMN   2.CM .NM a 6 6 2.a 2. 2 3 Từ đó cos SB; CM   . 6  Cách 2: Chọ hệ vectơ cơ sở là DA; DC; DS . Khi đó, ta có:  2 SB  DB  DS  DA  DC  DS  SB  SB  a 2  4a 2  a 2  a 6 1 2 CM  BM  BC   DC  DA  CM  CM  a 2  a 2  a 2 2   1   1 2 2 Ta có SB.CM  DA  DC  DS .  DC  DA   DA  DC  a 2  2  2 a 2  cos SB; CM = SB.CM   SB.CM a 6.a 2  6 3 . 3 Từ đó cos SB; CM   . 6 Từ ví dụ 2.1 và nhận xét mục 2.1.2.d chúng ta có thể hướng dẫn học sinh xây dựng bài toán: Ví dụ 2.2. (Sáng tác). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  2a, BC  a ; SAB  SCB  900 ; N là trung điểm của SA , biết 19
góc giữa đường thẳng SA và  ABC  bằng 450 . Tính sin của góc giữa hai đường thẳng CN và mặt phẳng  SDK  , trong đó K là trung điểm của cạnh BC . Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Ta chứng minh được: CM   SDK  . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng CN và CM Gọi  là góc giữa đường thẳng CN và  SDK  . Khi đó sin   cos NC 2  MC 2  MN 2 5 sin   cos   . 2.NC.MC 6 Ví dụ 2.3. (Sáng tác). Cho hình lập phương ABCD. ABCD , điểm M thuộc cạnh AB thỏa mãn MB  2MA , N là trung điểm của cạnh DD . a) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và AC  . b) Tính tan của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng  CBD  . Lời giải a) Cách 1: Chọn hệ vectơ cơ sở là   AB; AD; AA . Đặt AB  a  0 . Khi đó: AC   AB  AD  AA  AC   a 2  a 2  a 2  a 3 MN  MA  AD  DN 1 1   AB  AD  AA 3 2 1 2 1 7a  MN  a  a2  a2  9 4 6 1 1 7 AC.MN   a 2  a 2  a 2  a 2 3 2 6 7 2 a  Từ đó, ta có: cos AC  ; MN  6 7  3 3  cos AC ; MN   3 3 . a 3. a 6 20