Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề: góc trong không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề: góc trong không gian" chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề “góc trong không gian” qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề: góc trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ : “GÓC TRONG KHÔNG GIAN" MÔN : TOÁN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NAM YÊN THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ : “GÓC TRONG KHÔNG GIAN" Môn: Toán Người thực hiện: Nguyễn Thị Bảo Thời gian thực hiện: Năm 2022 Số điện thoại: 0396 806 139
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 1. Lý do chọn đề tài…………………………………………… 1 2. Mục đích của đề tài………………………………………… 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu…………………………. 2 4. Giới hạn của đề tài………………………………………….. 2 5. Tính mới của đề tài ……………………………………… 2 6 . Phương pháp nghiên cứu……………………………………. 3 PHẦN II. NỘI DUNG……………………………………………. 3 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn……………………………………. 3 1.1 Cơ sở lý luận…………………………………………………. 3 1.1.1 Khái niệm ………………………………………………….. 4 1.1.2 Yêu cầu cần đạt về năng lực………………………………… 4 1.1.3 Nội dung chủ đề “ góc trong không gian” trong chương trình 4 1.2 Cơ sở thực tiễn …………………………………………….. 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong 4 không gian. 2.1 Một số kiến thức cơ bản …………………………………… 4 2.1.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian………………… 6 2.1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng………………………. 7 2.1.3 Góc giữa hai mặt phẳng……………………………………. 8 2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo 8 2.2.1 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua dạng toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng 2.2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua dạng toán liên quan đến góc giữa đường 14 thẳng và mặt phẳng 2.2.3 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng 26 tạocho học sinh thông qua dạng toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng 2.2.4 Bài tập tự luyện…………………………………………….. 35 3. Kết quả thực nghiệm sư phạm………………………………….. 37
3.1 Mục đích thực nghiệm…………………………………………. 37 3.2 Nội dung thực nghiệm…………………………………………. 37 3.3 Kết quả thực nghiệm………………………………………….. 38 III. KẾT LUẬN………………………………………………… 39 1. Kết luận……………………………………………………. 39 2. Kiến nghị………………………………………………….. 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………. 40
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1.Lý do chọn đề tài Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ mục tiêu cụ thể về giáo dục phổ thông, trong đó có mục tiêu: phát triển năng lực công dân, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học,…”. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Để góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường THPT, hoạt động dạy giải bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy học bộ môn Toán ở bậc THPT. Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, tức là phải hình thành cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. Hình học không gian là nội dung trong chương trình học của các lớp ở trường phổ thông, được giới thiệu trong hình học lớp 5, lớp 8, lớp 9 và đi sâu nghiên cứu ở các lớp 11 và 12. Đây là phần kiến thức rất quan trọng đối với con người trong cuộc sống thực tế. Vì sự quan trọng như vậy nên trong chương trình học dành khá nhiều thời gian cho việc dạy và học hình học không gian. Tuy nhiên, việc dạy và học hình học không gian gặp rất nhiều khó khăn; khó khăn không chỉ đối với học sinh mà cả với giáo viên. Có nhiều điều làm cho việc dạy và học hình học không gian chưa đạt kết quả cao, và có lẽ điều khó khăn nhất trong việc dạy và học nội dung này là việc chúng ta phải biểu diễn và hình dung một vật thể thực trong không gian ba chiều lên trên giấy ( tức là trên không gian hai chiều), do đó việc tưởng tượng và nhìn nhận hình cho đúng với thực tế là rất khó khăn. Trong đề THPT Quốc Gia nay là TN THPT và các đề Đánh giá năng lực của các trường Đại học thường có câu về hình học không gian liên quan đến “góc trong không gian”. Với tâm lý chung của nhiều học sinh là sợ học hình không gian thì những bài toán dạng này bị các em bỏ qua vì nghĩ nó quá khó để có thể hiểu. Là một giáo viên giảng dạy bộ môn Toán tôi luôn băn khoăn, trăn trở trong việc tìm các giải pháp để các em với học lực môn Toán khác nhau xoá đi suy nghĩ sợ học 1
hình không gian nói chung và các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng giải các bài toán liên quan đến “ góc trong không gian”, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từng bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập môn Toán,hình thành năng lực tự học, khả năng sáng tạo cho học sinh. Với những lí do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề : góc trong không gian ” 1.2. Mục đích của đề tài Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh các bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những bài toán khó và phức tạp . Từ đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho cho học sinh. 1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 11 và giáo viên THPT . Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung chương trình Hình Học 11, mở rộng phù hợp với nội dung thi ĐH, HSG. 1.4. Giới hạn của đề tài Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề “góc trong không gian” qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11. ơ 1.5. Tính mới của đề tài - Đề tài xây dựng được hệ thống bài tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng với nhiều phương pháp giải quyết khác nhau. - Đề tài có đưa vào các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian liên quan đến góc với các hướng giải quyết khác nhau. 1.6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Phương pháp điều tra quan sát. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 2
PHẦN II. NỘI DUNG 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1. Cơ sở lý luận 1.1.1. Khái niệm - Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.” - Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là: + Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học. + Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... + Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn. 1.1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực - Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau: + Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. + Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất. - Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 1.1.3. Nội dung chủ đề “góc trong không gian” trong chương trình môn toán lớp 11. Phần này được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 11 với các nội dung Mục III: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian - bài 2 - chương III. Mục V.3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - bài 3 - chương III. Mục I : Góc giữa hai mặt phẳng - bài 4 - chương III. 3
1.2. Cơ sở thực tiễn. Có thể nói chủ đề góc trong không gian là một chủ đề hay trong chương trình môn Toán lớp 11, nó liên quan đến nhiều bài toán hình học không gian trong các đề thi TNTHPT, đề đánh giá năng lực của các trường Đại học, đề thi học sinh giỏi . Kiến thức cơ bản về nội dung này được đề cập trong sách giáo khoa nhưng vẫn còn một số tồn tại: - Bài tập về góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hầu như là không được đề cập trong sách giáo khoa. Bài tập góc giữa hai mặt phẳng được đề cập nhưng rất ít. - Khi giảng dạy giáo viên ít chú trọng đến đến việc xác định góc và tính góc, dẫn đến nhiều học sinh lúng túng khi gặp dạng toán này. Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Nam Yên Thành nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo (nhiều em có điểm môn Toán tuyển sinh vào 10 chưa đạt 2,0 điểm). Các bài toán thuộc chủ đề góc trong không gian trong các đề thi thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước biến đổi. Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. 2 .Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong không gian. 2.1. Một số kiến thức cơ bản 2.1.1.Góc giữa hai đường thẳng trong không gian a. Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . Kí hiệu: a; b a b a' b' O b) Tính chất. +) a b a; b 900 +) 00 a; b 900 a / /b +) a; b 00 a b 4
+) Nếu u , v lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và b và u; v  thì : a; b  khi  900 0 0 0 a; b 90 a; b 1800  khi 900  1800 c). Cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b Cách 1: Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a , b lần lượt song song với a và b . Khi đó a; b a '; b ' Cách 2: Từ điểm O thuộc đường thẳng a hoặc b, vẽ đường thẳng đi qua O và song song với đường thẳng còn lại . Khi đó : a; b a; b ' a '; b . a b' O b d) Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Phương pháp 1: Xác định góc , sau đó tính góc (dùng định lý cosin hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông ). Phương pháp 2: Tính góc giữa hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng.   cos  a; b  = cos u; v với cos  u; v   u.v u.v ( u , v lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và b ). 2.1.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng   thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   bằng 90 . Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng   thì góc giữa a và hình chiếu a của nó trên   được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   . Kí hiệu :  a;    5
A φ M a' H a α b) Tính chất :  +) a     a,    900  +) 00   a;     900 a//  +) a;  00 a  c) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau. Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: +) Nếu a    thì a,    900   +) Nếu a không vuông góc với   thì ta tìm hình chiếu a’ của a lên   Cách tìm hình chiếu a của a trên mặt phẳng   ta có thể làm như sau A φ M a' H a α B1: Tìm giao điểm M  a    . B2: Xác định một điểm A trên đường thẳng a  A  M  và tìm hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng   . B3: Kết luận : a là đường thẳng đi qua hai điểm M và H. Khi đó :  a;      a; a '  AMH   d) Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau Phương pháp 1 : Dựng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( mục 2.1.2 c) sau đó tính góc ( sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông) Phương pháp 2 : Không xác định góc mà sử dụng khoảng cách : 6
AH d A,  Theo cách xác định góc ở mục 2.1.2 c ta suy ra sin  AM AM ( M là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, A là điểm khác M nằm trên đường thẳng ) 2.1.3 Góc giữa hai mặt phẳng. b a) Định nghĩa: a Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai  đường thẳng lần lượt vuông góc với hai  mặt phẳng đó. Kí hiệu :  ,  b) Tính chất : )    ,  900 +) 00  ,  900  //  +)  ,  00   c) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: Cách 1: +) Xác định giao tuyến   c. +) Lấy điểm I bất kì thuộc c. +) Trong   dựng a  c tại I c I +) Trong    dựng b  c tại I a b +) KL:  ,  a, b   7
Cách 2: +) Xác định giao tuyến   a. β +) Lấy A  A a dựng H A  A a AK a, K a , AH  ,H  Khi đó, a AHK suy ra HK a. a φ A K Do đó,  ,  AK , HK AKH  α AH d A,  Từ đó suy ra sin  AK d A, a d) Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: Phương pháp 1 : Dựng góc giữa hai mặt phẳng ( mục c ), sau đó tính góc . Phương pháp 2: Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng  ,  .Tính góc giữa hai đường thẳng a, b đó. S' Phương pháp 3: Sử dụng công thức hình chiếu S ' S .cos cos  S (  là góc giữa hai mặt phẳng  và  . Phương pháp 4. Sử dụng khoảng cách (dựa vào cách 2 mục 2.1.3c ) AH d A,  sin  AK d A, a (với A là điểm nằm trên mặt phẳng  , A không nằm trên giao tuyến a của hai mặt phẳng  và  ) 2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh 2.2.1 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp thông qua dạng toán tính góc giữa hai đường thẳng Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi ,cạnh bên SA  AB và SA vuông góc với BC . a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC . b) Gọi I , J lần lượt là các điểm thuộc SB, SD sao cho IJ / / BD . Chứng minh góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J. 8
Phân tích bài toán : S J I D A B C Ta thấy AD//BC và SA vuông góc với BC nên SA vuông góc với AD. Đáy ABCD là hình thoi mà SA=AB nên SA=AB=AD=BC=CD. a) Cách 1: Ta thấy góc giữa hai đường thẳng SD và BC chính là góc giữa hai đường thẳng SD và AD. Ta tính góc SDA để suy ra góc giữa hai đường thẳng SD và BC. Cách 2: Ta tính tích vô hướng SD.BC để suy ra góc giữa hai véctơ SD, BC . Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng SD và BC. b) Vì IJ// BD nên góc giữa IJ và AC là góc giữa BD và AC. Lời giải a) Cách 1: Ta thấy AD//BC và SA vuông góc với BC nên SA vuông góc với AD. Đáy ABCD là hình thoi mà SA=AB nên SA =AD. Vậy tam giác SAD vuông tại cân tại A. Do BC// AD nên SD; BC AD; AD . Mà SDA 450 ( vì tam giác SAD vuông cân). Vậy : SD; BC 450 . Cách 2: Ta có: SD.BC SA AD .BC SA.BC AD.BC 0 AD.BC AD 2 SD.BC AD 2 1 cos SD, BC SD, BC 450 . Vậy : SD; BC 450 . SD . BC AD 2. AD 2 b) Vì IJ// BD nên IJ ; AC BD; AC 900 ( ABCD là hình thoi). Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và IJ luôn không đổi và bằng 900 , không phụ thuộc vào vị trí của I và J. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy ABCD là hình vuông. Gọi N là trung điểm của SB. a) Chứng minh các tam giác SAB, SCD là các tam giác vuông. 9
b) Tính góc giữa hai đường thẳng : AN và CN; AN và ND; AN và SD. Phân tích bài toán : a) Hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng a, AC và BD là hai đường chéo của hình vuông nên ta sẽ tính được độ dài theo a. Từ đó áp dụng định lý Py-ta-go đảo để chứng minh tam giác vuông. b) Các tam giác CAN và AND có thể tính được độ dài ba cạnh của chúng. Ta sẽ sử dụng định lý Cosin tính ANC và AND , từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AN và NC; AN và ND. Lời giải S N B A D C Do đáy ABCD là hình vuông cạnh a AC BD a 2 a) Tam giác SAC có : SA2 SC 2 a 2 a 2 2a 2 AC 2 .Theo định lý Py-ta-go đảo ta có tam giác SAC vuông tại S . Chứng minh tương tự ta có tam giác SBD vuông tại S . b) Tam giác SAB và SBC là các tam giác đều cạnh a, AN và CN là các trung a 3 tuyến AN CN . 2 Áp dụng định lý Cosin vào tam giác ANC, ta có: 2 2 a 3 a 3 2 a 2 AN 2 NC 2 AC 2 2 2 1 cos ANC 2. AN .NC a 3 a 3 3 2. . 2 2 1 1 1 ANC arccos với 900 arccos 1800 . Vậy AN , CN 1800 arccos 3 3 3 *) Vì tam giác SBD vuông tại S, N là trung điểm của SB nên: 2 a 5a 2 a 5 ND 2 SD 2 SN 2 a2 ND 2 4 2 10
Áp dụng định lý Cosin vào tam giác AND, ta có : 2 2 a 3 a 5 2 2 2 a2 AN ND AD 2 2 2 15 cos AND 2. AN .ND a 3 a 5 15 2. . 2 2 2 15 2 15 AND arccos . Vậy AN , DN arccos 15 15 *) Tính góc giữa AN và SD. Ta có : AN .SD AB BN .SD AB.SD BN .SD AB.SD DC.SD DC.SD 1 2 a.a.cos600 a 2 1 2 AN .SD a 2 1 Cos AN,SD Cos AN , SD . AN . SD a 3 3 .a 2 1 Vậy Cos AN,SD arccos 3 Ví dụ 3. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA   ABC  và SA  a 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB và SC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AN và CM . Phân tích bài toán : Bài toán yêu cầu tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AN và CM , ở đây yếu tố song song chưa có sẵn nên chắc chắn việc xác định góc để tính sẽ gặp nhiều khó khăn hơn so với việc tính góc giữa hai véc tơ chỉ phương. Lời giải: Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra S a AM  CE  . N 2  Khi đó AE //CM  AN ; CM  AN ; AE   .    E C A Mặt khác SC  SA  AC  2a  độ dài đường 2 2 M SC a 3 trung tuyến AN là AN   a . AE  CM  B 2 2 Do ABC đều nên CM  AM  AMCE là hình chữ nhật. Khi đó CE  AE mà CE  SA  CE   SAE   CE  SE . 11
1 SEC vuông tại E có đường trung tuyến EN  SC  a . 2 AN 2  AE 2  NE 2 3 3 Ta có: cos NAE    0  cos   2. AN . AE 4 4 Cách 2: Ta có: AN  1 2   1 AS  AC ; CM  AM  AC  AB  AC . 2 Khi đó AN .CM  1 2  1   1 1 1 a 2 3a 2 AS  AC  AB  AC   AB. AC  AC 2  a 2 cos 60   2  4 2 4 2 8 . 3a 2 SC a 3 8 3 Lại có AN   a; CM   cos =  . 2 2 a 3 4 a. 2 Ví dụ 4.Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có các cạnh bằng a, BAD 600 , BAA ' DAA ' 1200 . a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D . b) Tính góc giữa AC’ với B’D. Lời giải : C Đặt AB x, AD y, AA ' z . B 2 2 2 Khi đó : x y z a2 ; D A a2 x. y x . y cos x, y 2 C' 2 a B' x.z x . z cos x, z ; 2 D' a2 A' y.z y . z cos y, z 2 a) Vì AB / / A ' B ' nên AB; A ' D A ' B '; A ' D . ÁP dụng định lý Cosin cho tam giác A ' AD ta có: A ' D2 A ' A2 AD 2 2AA '. ADcosDAA' 3a 2 A' D a 3 . Theo công thức hình hộp, ta có : DB ' DC DA DD ' x y z 2 2 2 2 2 DB '2 DB ' x y z x y z 2 x. y 2 x.z 2 y.z 2a 2 Áp dụng định lý Cosin vào tam giác A ' B ' D ta có: 12
A ' D 2 A ' B '2 DB '2 3a 2 a 2 2a 2 1 cos B ' A ' D 2. A ' D. A ' B ' 2a 3a 3 1 Vậy AB; A ' D A ' B '; A ' D arccos 3 b) Ta có : AC ' x y z 2 2 2 2 2 AC '2 AC ' x y z x y z 2 x. y 2 x.z 2 y.z 2a 2 AB ' AB AA ' x z 2 2 2 2 AB '2 AB ' x z x 2 x.z z a2 AB ' a Tứ giác ADC ' B ' là hình bình hành mà AB ' AD a, AC ' B ' D nên tứ giác ADC ' B ' là hình vuông. Vậy AC ' B ' D ,tức là AC '; B ' D 900 . Nhận xét: Bài toán này sử dụng ưu thế của phương pháp véc tơ. Nếu không sử dụng phương pháp véctơ thì việc tính độ dài các đoạn thẳng AC’, DB’ sẽ gặp nhiều khó khăn. Ví dụ 5. (Trích đề thi hsg tỉnh Sơn La lớp 11 năm học 2020-2021) Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của AB , H là hình chiếu vuông góc của C lên SB và góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng HCM bằng 600 . Tính sin của góc tạo bởi MH và SC . Lời giải Ta có S CM SA CM SAB CM SB 1 CM AB Mà CH SB 2 . Từ (1) và ( 2) suy ra H SB CMH A C Lại có: M K AB HCM M 0 AB, HCM BMH 60 BH HCM Trong tam giác SBC dựng HK / / SC K BC . Khi đó MH , SC MH , HK Trong a 3 a tam giác BMH có BH MB.sin 600 ; MH MB.cos600 2 2 13
a 2a. SA AB AB.MH 2 2a 3 Ta có SAB MHB SA MH BH BH a 3 3 2 3a 3 SB SA2 AB 2 SC 2 BH HK BK a 3 3a HK / / SC HK BH ; BK SB SC BC 2 4 a 13 Trong tam giác MBK có: MK 2 BM 2 BK 2 2BM .BK .cos 600 MK 4 MH 2 HK 2 MK 2 3 Trong tam giác MHK có : cos MHK 2.MH .HK 8 61 Vậy sin MH , SC 1 cos 2 MHK 8 2.2.2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp thông qua dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có AB  a; BC  a 3 . Biết SA   ABC  , SB tạo với đáy một góc 60 . Tính cosin góc giữa SC và mặt phẳng  ABC  . Phân tích bài toán : Giả thiết cho SA   ABC  nên việc xác định hình chiếu của SB, SC lên  ABC  là dễ dàng, từ đó ta xác định được góc và tính . Lời giải Vì SA   ABC  nên hình chiếu của SB,SC S lên (ABC) lần lượt là AB, AC     SB;  ABC    S B; AB  SBA  60 . Do đó SA  AB tan SBA  a tan 60  a 3 . A C Ta có: AC  AB 2  BC 2  2a.  SC;  ABC     SC; AC   SCA . B AC AC 2a 2 Khi đó: cos SCA     . SC SA  AC 2 2 3a  4a 2 2 7 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, BD  a 3, SA   ABCD  . Biết SC tạo với đáy một góc 60 . Tính tan góc tạo bởi SC và mặt phẳng  SAB  . 14
Phân tích bài toán : Giả thiết cho SC tạo với đáy một góc 60 nên đầu tiên ta phải đi xác định góc 60 là góc nào.Vì có SA vuông góc với đáy nên chỉ cần dựng CH  AB ta sẽ suy ra được H là hình chiếu của C lên SAB . Lời giải: Ta có: AC  BD tại O, S OA  OC , OB  OD . Xét tam giác OAB vuông tại O ta có: A D OB 3 sin OAB   H O AB 2 B C  OAB  60  ABC đều cạnh a Mặt khác SA   ABCD    SC;  ABCD     SA; AC   SCA  60 . Suy ra SA  AC tan 60  a 3 . Dựng CH  AB (Do ABC đều cạnh a nên H là trung điểm của AB). Mà : CH  SA ( Vì SA   ABCD     CH   SAB    SC ;  SAB    SC ; SH  CSH a 3 CH a 13 Ta có: CH   tan CSH  trong đó SH  SA2  AH 2  . 2 SH 2 3 39 Do đó tan CSH   . 13 13 Nhận xét: Ví dụ 1,2 xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng định nghĩa. Việc xác định hình góc và tính góc không gây ra nhiều khó khăn. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD 2cm, DC 1cm, ADC 1200 . Cạnh bên SB 3 cm , hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi  là góc tạo bởi SD và mặt phẳng (SAC) . Tính sin  . Phân tích bài toán : Việc xác định hình chiếu của điểm D lên mặt phẳng (SAC) ở đây không dễ, ta sẽ nghĩ đến việc tính góc dựa vào khoảng cách. Khoảng cách từ điểm D đến SAC được tính thông qua khoảng cách từ điểm B đến SAC . Lời giải 15
Ta có: S SAB SBC SB SAB ABCD SB ABCD SBC ABCD K C B 2 2 0 BD AB AD 2. AB. AD.cos 60 3 SD SB 2 BD 2 6 H O A D 2 2 0 AC AD DC 2. AD.DC.cos120 7 Gọi H là hình chiếu của B trên AC , K là hình chiếu của B trên SH . Khi đó BK SAC . 1 1 21 Do S ABC BH . AC AB.BC.sin1200 BH 2 2 7 1 1 1 6 6 Ta có: BK d B, SAC BK 2 BH 2 BS 2 4 4 6 Mà d D, SAC d B, SAC d D, SAC 4 d D, SAC 1 Vậy sin  . SD 4 Câu 4. (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lạng Sơn lớp 12 năm học 2021-2022) Cho tứ diện ABCD với AB BCD và AB 2 2 . Tam giác ACD có ba góc nhọn, đường cao AK 2 6 và AC 5, AD 7 . Gọi L là trung điểm của BC . Tính góc tạo bởi đường thẳng KL và mặt phẳng ACD . Phân tích bài toán: Việc dựng góc ở bài toán này cũng gây ra nhiều khó khăn trong khi đưa về khoảng cách lại là bài toán quen thuộc. Vậy nên ta chọn phương pháp sử dụng khoảng cách để giải quyết bài toán này. Lời giải 16