Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực mô hình hóa một số bài toán thực tế cho học sinh khối 12

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Góp phần phát triển năng lực mô hình hóa một số bài toán thực tế cho học sinh khối 12" nhằm nghiên cứu những vấn đề cơ bản của năng lực mô hình hóa toán học, nội dung toán lớp 12, làm sao để hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh, sáng kiến xác định các biện pháp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học toán lớp 12 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực mô hình hóa một số bài toán thực tế cho học sinh khối 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH KHỐI 12 NGƯỜI THỰC HIỆN: VÕ ANH TÚ Tổ Toán – Tin Trường THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN – 2022 1
MỤC LỤC MỤC ĐỀ TRANG Phần I: Đặt vấn đề 2 Phần II: Nội dung nghiên cứu 6 Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn 6 Chương II: Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa 19 toán học trong dạy học giải tích 12. Biện pháp 1: Tăng cường hoạt động trải nghiệm trên các tình huống thực tiễn dẫn đến hình thành các kiến thức toán học. 21 Biện pháp 2: Hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng năng lực mô 41 hình hóa toán học đối với chủ đề tích phân. Biện pháp 3: Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc thiết kế 46 các hoạt động mô hình hóa toán học Phần 3 Kết luận 51 2
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài: Trong đổi mới giáo dục nước ta hiện nay, các vấn đề thực tiễn cũng thường xuyên được đưa vào các chương trình học, sách giáo khoa, sách bài tập … nhằm mục đích giúp các em học sinh có thể vận dụng những tri thức đã học vào giải quyết các vấn đề thực tế trong cuộc sống. Từ lâu toán học đã là môn khoa học cơ sở, đóng vai trò cực kỳ quan trọng không chỉ trong phát triển văn minh nhân loại mà còn gắn liền với thực tiễn cuộc sống xung quanh chúng ta một cách mật thiết. Mác và Ăng – Ghen đã chứng minh rằng khoa học, trong đó toán học là cốt lõi không những phát minh mà còn luôn luôn phát triển trên một cơ sở vật chất nhất định, đó là thực tiễn đời sống – những vấn đề tưởng như không hề liên quan lại nhưng lại có mối liên kết với toán học. Thông qua quá trình dạy học toán, chúng ta đặc biệt chú trọng đến bồi dưỡng cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào các môn khoa học khác và bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào đời sống. Điều đó cho học sinh thấy rõ mỗi liên hệ giữa toán học và thực tiễn, thấy rõ toán học là một dạng phản ánh của thực tại khách quan, thấy rõ nguồn gốc, đối tượng và công cụ của toán học. Lâu nay, không ít giáo viên dạy Toán khi dạy học các hoạt động như: Dạy học khái niệm, định lý, phương pháp giải toán thường chủ yếu rèn các kĩ năng trong nội bộ toán học mà chưa quan tâm đến việc hình thành cho các em năng lực giải quyết vấn đề để khi các em gặp những bài toán thực tiễn cần vận dụng tri thức, kiến thức toán học để giải quyết thì các em lại không hiểu, hoặc không có hướng giải quyết. Vô hình chung các em cho rằng toán học chỉ là một môn học khô khan, không có sự liên kết với thực tiễn. Vậy năng lực nào có thể bao quát nhiều năng lực khác nhau đưa lại hiệu quả cao trong dạy học toán? Trong dạy học toán ở trường phổ thông, chúng ta có thể sử sụng ngôn ngữ mô hình như là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử. “Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin”. Một học sinh có năng lực mô hình hóa sẽ tự mình “sáng tạo” mô hình của bài toán, tự khám phá và tìm hiểu cấu trúc bài toán, có thể hiểu được bản chất của vấn đề thực tiễn từ đó giải quyết bài toán một cách logic và khoa học. Như vậy ta thấy rằng để hình thành năng lực mô hình hóa ta phải hình thành cho cho học sinh rất nhiều năng lực thành phần bao gồm tư duy, suy luận, phân tích, tổng hợp, tưởng tượng, sáng tạo, biểu diễn, mô tả vấn đề. 3
Trong mục tiêu chung của chương trình môn toán 2018 là “hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học …” (trang 6) Mục tiêu của môn toán cấp trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau: góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: “… Thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong môi trường được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hóa được cho vấn đề tương tự…” Yêu cầu về “mô hình toán học” trong chương trình toán học trung học phổ thông phải đảm bảo đầy đủ các nội dung sau: - Thiết lập được mô hình toán học “gồm các công thức, phương trình, sở đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị …” để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn. - Giải quyết những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập - Lý giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa…) để đưa ra các bài toán giải được. Trong cả ba bộ sách giáo khoa lớp 10 (chương trình CCGD 2018) thì việc trình bày mạch nội dung kiến thức theo mô hình hóa là rất rõ ràng; trong SGK “kết nối tri thức” toán lớp 10 có trình bày các bước mô hình hóa toán học Như vậy việc dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học là một trong những mục tiêu cơ bản phải thực hiện được trong chương trình CCGD 4
2018 và chương trình bắt đầu thực hiện và năm học 2022-2023 ở cấp phổ thông trung học. Do đó việc đổi mới phương pháp dạy học với yêu cầu và mục tiêu giáo dục là rất cần thiết. Để chuẩn bị tốt cho công tác giảng dạy chương trình mới cũng như góp phần nâng cao chất lượng dạy học cho học sinh các lớp 10-11-12 (năm nay) – những học sinh không được học chương trình CCGD mới. Bản thân tôi được sự cho phép và giúp đỡ của tổ chuyên môn nghiên cứu và thể hiện đổi mới phương pháp dạy học một số tiết học tại lớp 12. Đây là bước học tập, làm quen với cách chuẩn bị bài soạn, hình thức giảng dạt, nội dung dạy học v.v cho các năm học mới 2022-2023. Không chỉ cho bản thân mà cho cả tổ chuyên môn. “Góp phần phát triển năng lực mô hình hóa một số bài toán thực tế cho học sinh khối 12” 2. Mục đích nghiên cứu: Trên cơ sở nghiên cứu những vấn đề cơ bản của năng lực mô hình hóa toán học, nội dung toán lớp 12, làm sao để hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh, sáng kiến xác định các biện pháp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học toán lớp 12 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh. 3. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu và đề xuất các bài toán rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở nội dung toán học lớp 12 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài tập trung làm rõ một số vấn đề sau: - Khái niệm năng lực mô hình hóa toán học. - Các yếu tố đặc trưng của mô hình hóa toán học. - Biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học ở cấp trung học phổ thông? - Những định hướng, biện pháp, cách thức bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong dạy học toán 12. 5
5. Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến lý thuyết mô hình, mô hình hóa, năng lực, năng lực mô hình hóa toán học, các nội dung thực tiễn toán lớp 12, các tài liệu về giáo dục môn Toán, về tâm lý học, lý luận dạy học, chương trình, sách giáo khoa phục vụ cho đề tài thông qua một số phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, chọn lọc... + Điều tra quan sát: - Điều tra thực trạng dạy học nội dung toán lớp 12 thông qua dự giờ, trao đổi với giáo viên, sử dụng phiếu điều tra và phân tích kết quả. - Tham khảo ý kiến của các nhà giáo dục về các vấn đề liên quan. - Quan sát việc thực hiện các hoạt động học tập của học sinh trên lớp học. + Thực nghiệm sư phạm: - Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của đề tài. Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn 1. Năng lực mô hình hóa toán học. 1.1 Cách hiểu về năng lực Định nghĩa 1: “Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao” (Từ điển Tiếng Việt) Định nghĩa 2: Năng lực là một nhóm gồm các đặc điểm tâm lí của con người đáp ứng yêu cầu của một số hoạt động cụ thể và là điều kiện cần thiết để hoàn thành mục đích, yêu cầu của hoạt động. Định nhĩa 3: Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người thỏa mãn các đặc điểm và tính chất của một hành động cụ thể là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc hành động đó. Từ những định nghĩa có thể thấy năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẽ gắn với tính sáng tạo tuy có khác nhau về mức độ. 6
Hầu hết các công trình nghiên cứu tâm lí học và giáo dục học đều thừa nhận: “Con người có năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng, thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành và phát triển của năng lực khác nhau”. Tóm lại năng lực là khả năng giải quyết một vấn đề, giải quyết càng trọn vẹn càng xuất sắc thì chứng tỏ được năng lực càng cao, ngược lại nếu không thể giải quyết vấn đề thì chứng tỏ rằng năng lực còn hạn chế hoặc chưa có năng lực đó. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng định nghĩa năng lực của chương trình giáo dục phổ thông mới “Năng lực: là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [3] 1.2 Năng lực toán học Theo V.A. Krutecxki năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân, trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ đáp ứng những yêu cầu trong hoạt động toán học (học tập và nghiên cứu). Cụ thể hơn: Định nhĩa 1: Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí của con người mà đáp ứng được những yêu cầu của hoạt động toán học và tiếp thu, lĩnh hội các tri thức, kỹ năng trong lĩnh vực toán học một cách nhanh chóng, dễ dàng và sâu sắc ở những điều kiện tương đương. Định nghĩa 2: Theo Krutecxki: “Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động toán học và những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt là nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học”. Năng lực toán học được hiểu từ 2 góc độ: Góc độ lĩnh hội (học tập, tiếp thu) toán học: Những năng lực học tập chương trình toán phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng, vững chắc và có kết quả cao về kiến thức, kỹ 7
năng, kỷ xảo tương ứng của môn toán. Cụ thể hơn học sinh càng có năng lĩnh hội (học tập, tiếp thu) toán học thì càng có sự vận dụng linh hoạt và phong phú về kiến thức, kỹ năng trong môn toán. Góc độ khoa học (sáng tạo) toán học: Năng lực sáng tạo, phát hiện những điều mới mẻ mà trước đó chưa biết. Thông qua học tập, nghiên cứu, con người có thể hình thành nên những tri thức mới, hoàn thiện những kết quả, nh kiến thức còn dở dang và phát triển, sáng tạo chúng lên tầm cao mới. Năng lực toán học ở mỗi học sinh khác nhau về mức độ. Do vậy dạy học toán, vấn đề quan trọng là lựa chọn nội dung, phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về năng lực toán học cho các em học sinh. A.N. Cônmôgôrôp nhà toán học nỗi tiếng của nước Nga cho rằng: “ Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để các em đó tiếp thu nắm được toán học trong nhà trường trung học dưới sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”. V.A. Krutecxki thì nói đến năng lực toán học của học sinh là nói đến trí thông minh trong học toán. Trong cùng một điều kiện dạy - học toán như nhau có những học sinh tiếp thu nhanh hơn, vận dụng tốt hơn so với một số em khác, các khả năng đó được hình thành và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán. Sự hiệu quả trong việc giải quyết vấn đề của một con người thường phụ thuộc vào các năng lực mà cá nhân đó nắm giữ, bao gồm cả vấn đề về toán học. Sự đam mê, hứng thú, sự chăm chỉ và ý chí phấn đấu cô gắng cũng ảnh hưởng đến kết quả của quá trình học tập toán học. Ngoài ra sự ủng hộ, khuyến khích và hỗ trợ từ môi trường học tập, gia đình và xã hội cũng là một yếu tố nâng cao hiệu quả học tập môn toán. 1.3 Mô hình, mô hình hóa toán học Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số định nghĩa: - A là mô hình của B đối với một hệ thống X bao gồm các đặc điểm cụ thể nào đó nếu A được xây dựng hoặc thiết kế giống như B theo những đặc điểm đó. - “Mô hình là một vật hay hệ thống đóng vai trò đại diện hoặc thể hiện cho vật hay hệ thống vật mà ta cần nghiên cứu” [18, tr.175]. 8
- “Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu” [21, tr.347]. Tóm lại, mô hình là vật trung gian, là một vật được đơn giản hóa từ chủ thế hay bản gốc, nó giữ nguyên các đặc trưng cơ bản của bản thế giúp chúng ta thuận lợi vào dễ dàng hơn trong việc nghiên cứu. Như vậy, mô hình có một số đặc trưng sau đây: - Mô hình là đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, do đó mô hình phải bảo toàn được đặc trưng cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quyết định). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này là nguyên liệu để con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới. Tuy nhiên không phải trong trường hợp nào mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc, có những trường hợp một số yếu tố của mô hình cần sự tỉ mi để phù hợp với quá trình học tập và nghiên cứu. Ngày nay, với sự phát triển của công nghệ, khoa học và kỹ thuật, con người có thể vận dụng nhiều công cụ hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể sử dụng để dự báo được những hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn. [8] - Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, con người suy đoán, phân tích, tổng hợp những khía cạnh, những đặc điểm mà mình cần sử dụng để tạo nên mô hình, có thể coi đó là một quá trình trừu tượng hóa. Trong quá trình này, con người đã xóa đi những dấu hiệu không phải là bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp mô hình hóa có tính chất cách mạng, có tính phát triển mạnh mẽ. Vì vậy quá trình thiết kế mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực. - Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc, nếu có một mô hình có thể mô tả hoàn toàn vật gốc thì mô hình đó đã chính là vật gốc, hay đúng hơn là ta đã không cần vật gốc. Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc, mặt đặc trưng hoặc là mặt ta cần để nghiên cứu. Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên để lắp ráp và 9
sắp xếp chúng lại một cách logic để có đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu là không hề đơn giản. - Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không phải là cái bất biến. Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn. - Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả hiện thực khách quan. Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: Mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác [12], [15]. Mô hình được thiết kế như một vật để thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của các vật thể thực tế (Mason & Davis ,1991). Thông qua mô hình, ta có thể chỉnh sửa và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật gốc. Tuy nhiên, điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và hoàn cảnh áp dụng của mô hình đó (Swetz & Hatler, 1991; Verschaffel, 2002). Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ Vật lý, Sinh học, và Kĩ thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế, Xã hội học và Khoa học chính trị) [8]. Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán của Việt Nam có tương đối ít các bài toán về mô hình hóa, chỉ chiếm khoảng vài phần trăm số lượng các bài toán, bài tập. Bài toán có thể được xây dựng từ các môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học hoặc có nguồn gốc từ thực tế cuộc sống. Sau đó, các công cụ và ngôn ngữ toán học được sử dụng để xây dựng các mô hình. Đây gọi là quá trình toán học hóa. Bài toán sau đó được giải bằng kiến thức toán học. Cuối cùng lời giải dược chuyển sang ngôn ngữ thực tiễn và được hiểu trong ngữ cảnh thực tế [8], [9]. Theo Swetz & Hartzler (1991), quy trình mô hình hóa toán học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [10], [28]: - Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Nắm bắt được vấn đề thực tiễn, hình thành các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề được nêu ra, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học. 10
- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để giải quyết yêu cầu của bài toán, hay bài toán toán học, hay mô hình toán học. - Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Làm rõ được ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tế cuộc sống (bài toán gốc). - Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Nhận xét về các giả thuyết, làm rõ các hạn chế của mô hình toán học gặp phải cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, so sánh với thực tiễn để cải tiến mô hình đã thiết kế. Hầu hết các sơ đồ đều tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Bloom và Leib (2006) bao gồm 7 bước mô tả quá trình giải quyết nhiệm vụ mô hình hóa. Đặc điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực bởi Bloom cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình mô hình hóa[24]. Các giai đoạn được thể hiện theo sơ đồ trên như sau: - Giai đoạn 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống, khám phá và thiết lập mục tiêu giải quyết cho tình huống. - Giai đoạn 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được mô hình thực của tình huống, lựa chọn các biến quan trọng để mô tả tình huống. 11
- Giai đoạn 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán, hay thiết lập mô hình bằng công cụ và ngôn ngữ toán học, mô tả mối quan hệ giữa các biến số. - Giai đoạn 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán, phân tích các mối quan hệ giữa các biến để rút ra kết luận. - Giai đoạn 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế; - Giai đoạn 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần 2; - Giai đoạn 7: Trình bày cách giải quyết. Năm 2007, Stillman, Galbraith, Brown đưa ra sơ đồ mô hình hóa mở rộng với sự cải tiến chi tiết của sơ đồ. Bên cạnh việc mô tả quá trình mô hình hóa, Stillman và các cộng sự nhấn mạnh tính chất phản ánh quá trình thông qua mũi tên hai chiều, đồng thời chú ý đến các hoạt động nhận thức của học sinh xảy ra trong suốt quá trình. Trong đó: Các mục từ A đến G là các bước của quá trình mô hình hóa, các mũi tên thể hiện sự chuyển đổi giữa các bước. (1) Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống. (2) Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán. (3) Giải toán. (4) Giải thích kết quả toán. (5) So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí. (6) Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình không được chấp nhận). (7) Lặp lại quá trình (nếu mô hình không được chấp nhận). Như vậy có thể hiểu năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra. Nhiều nhà nghiên cứu đã thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập mô hình hóa để xác định những kĩ năng mà học sinh cần đạt được để giải quyết tình huống thực tiễn dựa theo quy trình trên.”[20], [23], [24]. Từ đó, các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học đó là: 12
(1) Đơn giản giả thuyết. (2) Làm rõ mục tiêu. (3) Thiết lập vấn đề. (4) Xác định biến, tham số, hằng số. (5) Thiết lập mệnh đề toán học. (6) Lựa chọn mô hình. (7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị. (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. Ta thấy rằng việc vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học giúp học sinh phát triển các kĩ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ giáo viên tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn và giúp học sinh hiểu sâu kiến thức, rèn luyện các kĩ năng giải quyết vấn đề [12], [20], [23], [24], [28]. 1.4 Quy trình mô hình hóa toán học. Quy trình mô hình hóa toán học được hiểu là quá trình thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học và áp dụng toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn. Quy trình mô hình hóa được vận hành một cách linh hoạt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây: 13
- Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực tiễn, xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Đây là quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn sang toán học bằng cách xây dựng mô hình toán học tương ứng. - Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải quyết bài toán đã được toán học hóa. Để giải được bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả. - Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình huống thực tiễn ban đầu. Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn. - Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, tìm hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới. Ở bước này, có thể xảy ra hai trường hợp: - Trường hợp 1: Mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn. Khi đó, cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các công cụ toán học đã sử dụng và kết quả thu được. - Trường hợp 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tiễn. Khi đó, cần tìm hiểu nguyên nhân và hạn chế. Mô hình toán học xây dựng đã phù hợp chưa, có phản ánh được đầy đủ thực tiễn hay không? Nếu chưa cần xây dựng lại, điều chỉnh sao cho phù hợp. Trong thực tế dạy học, quy trình mô hình hóa ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trở nên dễ hiểu hơn đối với học sinh ở trường phổ thông. Cơ chế điều chỉnh này được thể hiện qua mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn: 14
Cơ chế điều chỉnh trên bao gồm các bước cụ thể như sau[27]: - Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế; - Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra; - Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình MHH; - Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với tình huống thực tế cũng như tính toán đến sự phức tạp của nó; - Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn; - Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ phức tạp cao hơn; - Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng. Theo tác giả, Nguyễn Danh Nam đưa ra quy trình 7 bước tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học môn Toán như sau: - Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xây dựng giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế. 15
- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng, các giả thuyết đã nêura ở bước 1. - Bước 3: Xây dựng bài toán dựa trên các ngôn ngữ toán học để mô tả tình huống thực tế. - Bước 4: Sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học để giải bài toán. - Bước 5: Tìm ra được lời giải của bài toán, hiểu ý nghĩa của mô hình toán học đối với tình huống thực tiễn - Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình, kiểm tra tính hợp lý và tính tối ưu của mô hình đã xây dựng. - Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn. 2. Vai trò của năng lực mô hình hóa đối với học sinh lớp 12. Hiện nay trong nhà trường phổ thông các bài toán thực tiễn đã xuất hiện nhiều hơn, ngay cả trong đề thi đại học, luôn có những câu hỏi về các bài toán trong thực tế cuộc sống. Để giải quyết những bài toán này đòi hỏi học sinh phổ thông phải có những năng lực và kỹ năng cần thiết đặc biệt là năng lực mô hình hóa toán học, năng lực này không chi bao hàm nhiều năng lực khác nó còn phát triển về mặt tư duy toán học cho học sinh. Chính vì vậy năng lực mô hình hóa đóng một vai trò thiết yếu trong việc dạy học ở nhà trường phổ thông. 3. Đặc điểm và nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hóa toán học. 16
Một số nghiên cứu gần đây đặt ra nhiều câu hỏi nghiên cứu liên quan đến việc vận dụng mô hình hóa trong dạy học toán ở trường phổ thông: Làm thế nào để thiết kế các hoạt động mô hình hóa có ý nghĩa đối với học sinh? Thiết kế các hoạt động mô hình hóa như thế nào? Những khó khăn trong việc thực hiện các giai đoạn khác nhau của quá trình mô hình hóa là gì? Cấu trúc nhận thức liên quan đến năng lực mô hình hóa và những kĩ năng nhận thức nào liên quan đến giai đoạn nào của quá trình mô hình hóa? [6] [13] [1] Hoạt động mô hình hóa có đặc điểm là yêu cầu học sinh toán học hóa các tình huống, thường là các tình huống thực tiễn. Toán học hóa là thành phần quan trọng của bài toán mô hình hóa vì nó dựa trên các ý tưởng toán học quan trọng giúp học sinh có thể đào sâu và phát triển sự thông hiểu toán học. Đây là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong tình huống thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận. Mô hình hóa sẽ giúp giáo viên thiết lập các hoạt động nhóm mới trong lớp học nhằm tạo ra sự xung đột về kiến thức và thúc đẩy quá trình hợp tác. Hoạt động mô hình hóa tạo cơ hội cho học sinh hiểu được tình huống thực tiễn theo nhiều cách khác nhau để từ đó chia sẻ kế hoạch, xây dựng mô hình, tranh luận về những ưu nhược điểm của mô hình, đưa ra quyết định và công bố kết quả. Vì thế, giáo viên cần lựa chọn các tình huống thực tiễn đòi hỏi việc thu thập các số liệu, hình ảnh hay hiện tượng xã hội. Theo An (2013), để giải quyết một tình huống mô hình hóa, học sinh sẽ trải qua ba giai đoạn của một tình huống được đặt trong ngữ cảnh thực tế từ phức tạp đến đơn giản [1]: - Tình huống thực tế: Là tình huống xuất phát từ môi trường bên ngoài toán học, không có các đối tượng, kí hiệu và cấu trúc toán học. Trong tình huống này, thông tin có thể không đầy đủ, dữ liệu có thể quá nhiều hoặc quá ít, yêu cầu đặt ra thường không rõ ràng dẫn đến có nhiều phương án để giải quyết vấn đề. - Tình huống toán học hóa (ứng với mô hình thực tế): Là tình huống vẫn chứa đựng những yếu tố đặc trưng của tình huống thực tế ban đầu, nhưng đã được đơn giản hóa, lí tưởng hóa, đặc biệt hóa, thêm các điều kiện, giả thiết phù hợp đồng thời hạn chế những yếu tố không cần thiết cho phép học sinh có thể sử dụng công cụ toán học đã được học để giải quyết vấn đề. Giáo viên có thể thiết kế được nhiều tình huống toán học hóa khác nhau của cùng một tình huống thực tế. 17
- Tình huống mô hình hóa (ứng với mô hình toán học): Là tình huống bao gồm các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó ứng với các yếu tố cơ bản và mối quan hệ của chúng trong tình huống thực tế. Do đó, ở mức độ phức tạp của các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế sẽ tăng dần từ tình huống mô hình hóa đến tình huống toán học hóa và tình huống thực tế. Hiện nay các bài tập và ví dụ trong sách giáo khoa môn Toán phổ thông chủ yếu là “tình huống không đặt trong ngữ cảnh thực tế” và “tình huống mô hình hóa”. Vì thế, nếu đưa quá trình mô hình hóa vào dạy học, bắt đầu với một tình huống thực tế sẽ làm học sinh gặp phải những khó khăn nhất định [11], [12]. Vì vậy, trong dạy học toán, giáo viên có thể thiết kế các hoạt động mô hình hóa như sau: - Xuất phát từ một tình huống thực tế để thiết kế hoạt động. Tình huống này phải phù hợp với đối tượng học sinh và chứa đựng tri thức toán học mà các em đã được học. - Xác định danh mục những kiến thức, kĩ năng toán học mà học sinh cần có để xây dựng mô hình toán học và giải bài toán bằng công cụ toán học. - Tạo mối liên kết giữa tình huống thực tế và toán học: Làm cho tình huống rõ ràng hơn (lí tưởng hóa, đơn giản hóa, đặc biệt hóa); Đưa ra các giả thiết phù hợp; Xác định các biến số trong tình huống; Thu thập thêm dữ liệu thực tế cho tình huống; Mô tả chi tiết tình huống mô hình hóa. 4. Thực trạng bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh 12. Để nắm rõ hơn thực trạng về việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa ở các em học sinh trung học phổ thông, chúng tôi đã tổ chức một buổi khảo sát nhanh về khả năng giải quyết các bài toán thực tiễn sử dụng phương pháp mô hình hóa ở các lớp 12A5 và Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu. Câu hỏi: Các em có gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán thực tiễn trong nội dung sách giáo khoa Giải tích 12 hay không ? Sau đây là kết quả thu được: 18
Thống kê mức độ khó khăn khi giải quyết các bài toán thực tiễn ở chương trình Giải tích 12 13, 19% Cao Trung bình 15, 21% 42, 60% Thấp Qua bảng thống kê trên, có 42 em học sinh trên 70 em được khảo sát đều trả lời bản thân gặp nhưng khó khăn nhất định trong việc đọc hiểu và giải quyết bài toán thực tiễn, gần một nửa trong số còn lại cho rằng những bài toán này khá dễ dàng và bản thân có thể giải quyết một cách nhanh chóng và những em còn lại thì gặp rắc rối ở một số bài toán cụ thể hoặc gặp một số vấn đề khi giải quyết bài toán. Tuy vậy đa số học sinh được hỏi ý kiến đều thích và muốn học các tiết học có những nội dung liên quan đến những những ứng dụng của Toán học trong thực tế, tìm hiểu nguồn gốc thực tiễn của toán học nhưng ở trên lớp có khá ít thời gian để các giáo viên có thể tổ chức những hoạt động và xây dựng hệ thống bài tập thực tiễn cho các em. Chương II: Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học giải tích 12. 1. Các định hướng xây dựng biện pháp Để bồi dưỡng năng lực mô hình hóa cho các em học sinh ở trung học phổ thông chúng ta cần rèn luyện và phát triển cho các em các kỹ năng thành phần của năng lực mô hình hóa. (Đã được nêu ở trang 20, mục 1.1.2) Để rèn luyện các kỹ năng này chúng tôi xin đưa ra một số biện pháp cụ thể như sau: - Tăng cường hoạt động trải nghiệm trên các tình huống thực tiễn. 19
Thứ nhất việc được trải nghiệm các hoạt động thông qua các bài toán thực tiễn sẽ giúp các em có sự tiếp xúc một cách tự nhiên với các bài toán, làm cho các em quen thuộc với các ngôn ngữ khác với ngôn ngữ trong tóa học, các định nghĩa, các yếu tố về vật lý, hóa học, sinh học … tránh đi sự khó khăn trong bước đầu làm quen với bài toán, các em có thể hiểu và xác định được các yếu tố có trong bài toán, giả thiết là gì, yêu cầu và mục tiêu của bài toán là gì qua đó rèn luyện cho các em các kỹ năng (1) (2) (3) (8). Thứ hai trong quá trình hoạt động diễn ra các em sẽ nắm tường tận được các bước hình thành của mô hình toán học bao gồm (4) (5). - Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn. Xậy dựng các hệ thống bài tập theo chủ đề là một phương pháp thường được sử dụng không chỉ trong việc bồi dưỡng, phát triển năng lực mà còn để củng cố kiến thức, hình thành và hoàn thiện các kỹ năng tính toán và biến đổi trong toán học (4) (5) (6) cũng như tăng cường tính tự lập, tính tư duy, sáng tạo của học sinh, trong nghiên cứu này tôi sẽ đưa ra hệ thống bài tập theo từng hoạt động ở định hướng 1 chứ không xây dựng một hệ thống bài tập riêng. - Ứng dụng công nghệ thông tin. Sử dụng công nghệ thông tin trong dạy học toán ngày càng phổ biến và hữu ích, đặc biệt trong việc ứng dụng vào mô hình hóa toán học. Các phần mềm mô phỏng những chuyển động hình học, chuyển động điểm, sự biến thiên của đồ thị hàm số... để cho người học có thể quan sát được “điều” mà các phương tiện khác khó có thể thực hiện được. Đối với các học sinh chưa quen thuộc và chưa hình thành được năng lực mô hình hóa với các bài toán có tính trừu tượng thì các phần mềm công nghệ thông tin sẽ giúp các em bước đầu làm quen và xác định được các khái niệm thông qua các hình vẽ, các biểu đồ chuyển động, qua đó hình thành nên các kỹ năng (6) (7) Một số phần mềm thường được sử dụng hiện này như: Geometer’s Sketchpad, Cabri Geometry, Maple, Mindmap (vẽ bản đồ tư duy)... không chỉ hỗ trợ việc học tập môn toán nói chung mà còn góp phần nâng cao sự hiệu quả trong việc dạy học mô hình hóa nói riêng. 20