Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán về góc trong Hình học không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán về góc trong Hình học không gian" nhằm xây dựng được lớp bài toán và các định hướng xử lý bài toán về xác định và tính các loại góc trong hình học không gian; đề tài đã xây dựng lớp các bài toán về ứng dụng bài toán liên quan đến góc để xử lý các bài toán hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán về góc trong Hình học không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ HƯNG NGUYÊN ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Tác giả: Nguyễn Văn Hậu - 0814271188 Trần Đình Hoàng - 0852630715 Năm thực hiện: 2022 Hưng Nguyên, tháng 4 năm 2022
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ....................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài.......................................................................................... 1 1.2. Tổng quan và tính mới của đề tài ................................................................. 1 PHẦN II. NỘI DUNG .......................................................................................... 3 2.1. Cơ sở lý luận ................................................................................................ 3 2.1.1. Tư duy ................................................................................................... 3 2.1.2. Tư duy sáng tạo ..................................................................................... 3 2.1.3. Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo ..................................................... 3 2.2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................. 3 2.2.1. Thực trạng phát triển tư duy, tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông ................................................................................................. 3 2.2.2. Năng lực học, giải toán tính các loại góc trong trong hình học không gian ở trường trung học phổ thông hiện nay .......................................... 4 2.3. Cơ sở lí thuyết về góc trong hình học không gian......................................... 4 2.3.1. Tích vô hướng của hai vectơ .................................................................. 4 2.3.2. Các cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian .............. 4 2.3.3. Góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng ................................................ 5 2.3.4. Góc giữa hai mặt phẳng ......................................................................... 5 2.4. Giải pháp thực hiện ...................................................................................... 6 2.4.1. Rèn luyện và phát triển tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo thông qua khai thác bài toán về góc trong hình học không gian ................................. 6 2.4.2. Rèn luyện tính nhuần nhuyễn cho học sinh thông qua giải bài toán về góc trong hình học không gian bằng nhiều cách khác nhau ....................... 27 2.4.3. Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán, tìm ra phương thức giải quyết sáng tạo, độc đáo.................................................................................. 42 2.4.4. Thực nghiệm sư phạm ......................................................................... 47 PHẦN III. KẾT LUẬN ...................................................................................... 50 3.1. Kết luận ..................................................................................................... 50 3.2. Hướng phát triển của đề tài ........................................................................ 50 3.3. Bài học kinh nghiệm .................................................................................. 50 3.3.1. Đối với giáo viên ................................................................................. 50 3.3.2. Đối với học sinh................................................................................... 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT TT Từ viết tắt Từ đầy đủ 1 GV Giáo viên 2 HS Học sinh 3 QG Quốc gia 4 SKKN Sáng kiến kinh nghiệm 5 TDST Tư duy sáng tạo 6 THPT Trung học phổ thông
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Mục tiêu chung của giáo dục phổ thông 2018 và bộ môn Toán nói riêng là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa... Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông bảo đảm phát triển phẩm chất và năng lực người học thông qua nội dung giáo dục với những kiến thức, kỹ năng cơ bản; chú trọng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học để giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống. Điều đó đòi hỏi học sinh không chỉ cần phải tích cực chủ động tiếp thu lĩnh hội kiến thức mới mà còn phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học biết kết nối những kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới. Vì lẽ đó việc đổi mới phương pháp dạy học trong dạy học môn Toán càng trở nên quan trọng bức thiết và đó cũng chính là nhiệm vụ của những người giáo viên dạy Toán. Thực tế cho thấy có nhiều giáo viên vẫn nặng nề về truyền thụ kiến thức, chưa hoặc ít sử dụng các phương pháp dạy học tích cực. Phần lớn học sinh mới chỉ giải quyết trực tiếp các bài tập mà chưa khai thác được tiềm năng của bài tập đó. Học sinh mới chỉ giải quyết vấn đề một cách rời rạc hầu như chưa xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn hơn. Do đó chưa phát triển được tư duy sáng tạo cho học sinh. Vì vậy việc bồi dưỡng, rèn luyện các thao tác tư duy là việc làm rất quan trọng với học sinh phổ thông. Điều này giúp học sinh tích lũy được nhiều kiến thức, phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lôgic. Qua đó từng bước hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho người học. Trong chương trình môn Toán trung học phổ thông, Hình học không gian là một trong những chủ đề khó nhưng lại luôn có mặt trong các kỳ thi Học sinh giỏi cũng như THPT QG. Không những thế mà đây là các bài toán hay, có nhiều cách giải độc đáo, nếu giải được sẽ tạo ra nhiều hứng thú cho người học. Đặc biệt bài toán xác định và tính các loại góc trong hình học không gian lại gây nhiều khó khăn và lúng túng cho học sinh THPT. Để học tốt chủ đề này HS ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có thêm nhiều kỹ năng giải toán, có tư duy sáng tạo. Ngược lại học sinh học tốt môn toán nói chung chủ đề hình học không gian nói riêng thì sẽ góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo. Vì vậy, trong quá trình dạy học chủ đề này GV nếu biết cách khai thác và sáng tạo ra các bài toán về góc trong hình học không gian từ các bài tập đơn giản thì không những giúp cho HS học tập có hiệu quả mà còn tạo hứng thú học tập góp phần quan trọng trong việc rèn luyện và bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho các em. Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán về góc trong Hình học không gian”. 1.2. Tổng quan và tính mới của đề tài Thứ nhất, đề tài đã trình bày cơ sở lí luận và thực tiễn về vấn đề phát triển 1
năng lực tư duy cho học sinh thông qua khai thác và sáng tạo bài toán xác định và tính các loại góc trong hình học không gian. Thứ hai, đề tài đã xây dựng được lớp bài toán và các định hướng xử lý bài toán về xác định và tính các loại góc trong hình học không gian Thứ ba, đề tài đã xây dựng lớp các bài toán về ứng dụng bài toán liên quan đến góc để xử lý các bài toán hình học không gian. Thứ tư, đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, nâng cao kết quả kì thi THPT Quốc gia. 2
PHẦN II. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở lý luận 2.1.1. Tư duy “Tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó chủ thể nhận thức chưa biết”. [1] 2.1.2. Tư duy sáng tạo Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy có tính linh hoạt, độc lập và tính phê phán, đặc trưng bởi sự sản sinh ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm hướng đi mới, cách giải quyết vấn đề mới và tạo ra kết quả mới. [5]. 2.1.3. Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo - Tính mềm dẻo: Biết chuyển hướng khi gặp trở ngại khó khăn, biết quy lạ về quen. Vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy cơ bản, các kinh nghiệm, kỹ năng đã có vào giải toán. - Tính nhuần nhuyễn: Biết xét bài toán dưới nhiều góc độ, từ đó đề xuất được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán và lựa chọn được nhiều cách giải tối ưu. - Tính độc đáo: Biết tìm ra những phương thức giải quyết lạ, độc đáo để cải tiến những cách giải đã có để trở nên tối ưu hơn. 2.2. Cơ sở thực tiễn 2.2.1. Thực trạng phát triển tư duy, tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy môn Toán, giao lưu chuyên môn với nhiều trường bạn tôi thấy vấn đề phát triển tư duy toán học cho học sinh còn nhiều hạn chế. Nó xảy ra ở cả phương pháp giảng dạy của giáo viên và cách học tập của học sinh. Về giáo viên: Trong quá trình dạy học luyện tập ở trường phổ thông, vẫn còn nhiều GV chỉ chữa bài tập đơn lẻ cho học sinh, hoặc chỉ ra bài tập mang tính áp dụng, rập khuôn, máy móc về cách giải chưa thực sự chú trọng để khai thác, phát triển và sáng tạo ra bài toán mới. Do đó không phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo, khó hình thành và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Về học sinh: Học sinh THPT còn ngại học Toán, yếu Toán là do kiến thức bị hổng từ các cấp dưới, hơn nữa chưa chịu khó suy nghĩ, ít tư duy trong quá trình học tập; 3
Học sinh vẫn còn thụ động, thiếu tích cực, máy móc, thiếu độc lập, ít sáng tạo của bản thân; Rất nhiều học sinh chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp vào các hoạt động học tập để lĩnh hội kiến thức mới nên kết quả học tập vẫn chưa cao; Đa số học sinh khi học tập giải bài tập Toán, chỉ quan tâm đến kết quả bài toán đúng hay sai, hoặc là hài lòng với lời giải của mình; ít tìm tòi lời giải khác, không khai thác để phát triển bài toán, sáng tạo ra bài toán mới nên không phát huy được nhiều tính tích cực, độc lập và sáng tạo của bản thân. 2.2.2. Năng lực học, giải toán tính các loại góc trong trong hình học không gian ở trường trung học phổ thông hiện nay Qua bài kiểm tra 15 phút ở ba lớp - Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên năm học 2020 - 2021. Kết quả: Lớp Tốt Khá Trung bình Yếu 12A1 22,5% 24,5% 43,8% 9,2% 12A2 5,4% 15,6% 58,8% 20,2% 12 C 4,8% 15,2% 58,9% 21,1% 2.3. Cơ sở lí thuyết về góc trong hình học không gian 2.3.1. Tích vô hướng của hai vectơ   Cho a và b là hai vectơ trong không gian        a.b  a . b .cos a ,b . 2.3.2. Các cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian Cách 1 Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta lấy điểm O bất kì, sau đó dựng hai đường thẳng a  và b cùng đi qua O đồng thời a //a, b // b .   Khi đó a,b   a ,b . 4
Cách 2   Tìm hai vectơ chỉ phương u1, u2 lần lượt của hai đường thẳng a, b . Khi đó góc   u1 . u2 giữa hai đường thẳng xác định bởi cos a   ,b    . u1 . u2  Nhận xét: 0  a,b   90. 2.3.3. Góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d và mặt phẳng   . a) Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì ta nói góc giữa chúng bằng 90 . b) Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng   thì góc giữa chúng bằng góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng   . Nhận xét:    Với   d,() A là điểm tuỳ ý trên đường thẳng d , H là hình chiếu của A trên   , d    O ta có: sin    d A,    ;cos  OH AO OA 2.3.4. Góc giữa hai mặt phẳng a. Định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 5
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0 . b. Diện tích hình chiếu của một đa giác Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng   có diện tích S và đa giác H  là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng   . Khi đó diện tích S  của H  được tính theo công thức: S   S cos  Với  là góc giữa   và   . S Nhận xét: Khi đó cos   S 2.4. Giải pháp thực hiện Để phát triển phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học luyện tập hoặc dạy học bài tập toán, giáo viên luôn chú trọng định hướng để học sinh được rèn luyện các thao tác tư duy, tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, khai thác và phát triển để sáng tạo ra nhiều bài toán mới và chọn được phương pháp giải tối ưu, độc đáo từ bài toán đã cho. Trong phạm vi đề tài, tôi lựa chọn một số biện pháp sau đây thông qua khai thác các bài toán về góc trong hình học không gian. 2.4.1. Rèn luyện và phát triển tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo thông qua khai thác bài toán về góc trong hình học không gian Từ cơ sở lí luận, theo tôi, giáo viên (GV) có thể rèn tính mềm dẻo của TDST cho HS theo quy trình giải toán gồm 3 bước sau: - Bước 1: Phân tích tìm lời giải bài toán (xét xem bài toán thuộc dạng nào? Chọn lựa, huy động kiến thức thích hợp để tìm lời giải) - Bước 2: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để trình bày lời giải bài toán - Bước 3: Khai thác bài toán dựa trên: + Sự linh hoạt khi chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; 6
+ Sử dụng các thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để khai thác bài toán theo các hướng sau: Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự; Hướng 2: Khái quát hóa bài toán; Hướng 3: Thay đổi giả thiết để có bài toán mới và nghiên cứu các ứng dụng của bài toán. Trong đề tài này, tôi đưa ra ba kiểu bài toán và định hướng cho HS khai thác các bài toán đó tương ứng với ba loại góc trong không gian được trình bày trong SGK Hình học lớp 11 hiện hành. Đó là góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng.  Bài toán 1. Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a. Gọi H là trung điểm AB . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABCD  tại H lấy điểm S thay đổi khác H , đặt x  SH (x  0) , gọi  là góc giữa SC và SAD  . Tính sin  . - Bước 1: Phân tích tìm lời giải bài toán Đây là bài toán thuộc dạng tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Với các kiến thức đã học thì GV có thể định hướng cho HS dễ dàng sử dụng cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng qua khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng như sau. Góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng (P) d được tính theo công thức: M sin    d M , P   d(M,(P)) MI Trong đó : I φ O I là giao điểm của d với mặt phẳng (P) P M là điểm trên đường thẳng d khác I Cụ thể: * Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD ) * sin    d C , SAD   SC - Bước 2: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để trình bày lời giải bài toán 7
Lời giải S C d(C,(SAD)) N K B C H φ S A M D SAD * Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD )   Ta có d H , SAD   HN . Mà    BC / /AD  d C , SAD   d B, SAD   2d H , SAD     Đặt x  SH (x  0) . Tam giác SHM vuông tại H và HN là đường cao nên HN  SH .HM SM  3ax   d C , SAD    2 3ax . 3a  4x 2 2 3a  4x 2 2 sin    d C , SAD   2 3ax  2 3ax . SC (4x  3a )(x  7a ) 2 2 2 2 4x  21a  31a x 4 4 2 2 - Bước 3: Khai thác bài toán Sử dụng các thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để khai thác bài toán theo các hướng sau: Hướng 1: Đặc biệt hoá bài toán. Rõ ràng các hướng có thể khai thác là đặc biệt hình chóp đã cho như cho đáy là hình vuông, hình chữ nhật; ta cho độ dài cạnh x  SH (x  0) là một giá trị cụ thể nào đó; hay ta làm ngược lại là cho góc yêu cầu tính khoảng cách, diện tích, thể tích; hoặc có thể yêu cầu tích góc giữa đường thẳng với mặt phẳng khác… Như vậy ta đã có một kho các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với các mức độ từ nhận biết, thông hiểu và vận dụng với cách giải tương tự là nhờ khoảng cách hoặc đơn giản hơn nếu dễ dàng xác định được góc của nó. Chẳng hạn như: 8
 Ví dụ 1. Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a. Gọi H là trung điểm AB . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABCD  tại H lấy điểm S sao cho SH  a , gọi  là góc giữa SC và SAD  . Tính tan  . Hướng 2: Khai thác kết quả của bài toán: Căn cứ vào kết quả của bài toán ta dễ dàng đánh giá được 2 3ax sin   4x 4  21a 4  31a 2x 2 2 3ax 12  sin    sin   . 4 21.a x  31.a x 2 2 2 2 4 21  31 21 Dấu đẳng thức xảy ra khi x  4 .a . 4 21 Vậy  lớn nhất khi và chỉ khi sin  lớn nhất khi và chỉ khi SH  4 .a. 4 Do đó ta có thể tạo ra bài toán mới như sau:  Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a. Gọi H là trung điểm AB . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABCD  tại H lấy điểm S thay đổi khác H . Tính theo a độ dài của SH để góc giữa SC và SAD  có số đo lớn nhất. (Đây chính là đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Nghệ An năm học 2015 -2016) Lời giải vắn tắt 2 3ax Đặt x  SH (x  0) . Theo Ví dụ 1 ta có sin   4x 4  21a 4  31a 2x 2 2 3ax 12 Do đó sin    sin   . 4 21.a x  31.a x 2 2 2 2 4 21  31 21 Dấu đẳng thức xảy ra khi x  4 .a . 4 21 Vậy  lớn nhất khi và chỉ khi sin  lớn nhất khi và chỉ khi SH  4 .a. 4 9
 Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD có BAD  60, AB  2a. Gọi H là trung điểm AB . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABCD  tại H lấy điểm S thay đổi khác H . Tính thể tích của khối chóp S .ABCD khi góc giữa SC và SAD  có số đo lớn nhất. Lời giải vắn tắt Theo Ví dụ 2. Ta có  lớn nhất khi và chỉ khi sin  lớn nhất khi và chỉ khi 21 Ta có SH  4 .a , S ABCD  2a 2 3 . 4 1 1 21 2 189 VS .ABCD  SH .SABCD  2a 2 3. 4 .a  .a 3 4 . 3 3 4 3 4 Bài toán 2. Cho hình chóp tam giác S .ABC . Có SA  a, BC  b . Gọi V , d lần lượt là thể tích của khối chóp S .ABC và khoảng cách giữa SA và BC . Gọi  là góc giữa SA và BC . Tính sin  theo V , a, b và d . - Bước 1: Phân tích tìm lời giải bài toán Đây là bài toán thuộc dạng tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian. GV có thể gợi ý cho HS thông qua định nghĩa về góc giữa hai đường thẳng trong không gian để xác định góc giữa chúng. Khi đã xác định được góc thì việc tính toán trở nên rất dễ dàng. Dựng hình bình hành SABD . Khi đó góc giữa SA và BC bằng hoặc bù với . góc DBC Vì SD / /AB do đó VS .ABC  VD.ABC  VE .BCD . - Bước 2: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để trình bày lời giải bài toán Lời giải S D E d A C F Bằng hoặc bù với φ B 10
Dựng hình bình hành SABD . Khi đó góc giữa SA và BC bằng hoặc bù với góc . DBC Vì SD / /AB nên VS .ABC  VD.ABC , SA / /BD  VA.BCD  VE .BCD .  Do đó ta có V  VE .BCD . Mà d SA, BC   d E , BCD   d  1 1 1 S BCD  BD.BC sin   SABC . sin   a.b.sin  . 2 2 2 1 3  1  Suy ra V  VE .BCD  d E, BCD  .SBCD  a.b.d sin  6 Do đó 6V sin   a.b.d - Bước 3: Khai thác bài toán Sử dụng các thao tác tư duy: Tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa để khai thác bài toán theo các hướng sau: Nhận xét. Từ kết quả của bài toán ta thấy có một hệ thức liên hệ giữa các 6V 1 đại lượng rất đẹp là sin   hay V  a.b.d sin  . Do đó chúng ta có thể a.b.d 6 khai thác bài toán theo các hướng sau: Hướng 1. Đặc biệt hoá bài toán. Thứ nhất. Ta cho tất cả các cạnh của hình chóp trong giả thiết đều bằng nhau và bằng a . Khi đó ta sẽ có kết quả cho một tứ diện đều cạnh a như sau: S a E a 2 2 A C F B a 2 * Ta dễ dàng tính được d  2 11
* Góc giữa SA và BC bằng 90 1 a 2 a3 2 * Do đó V  a.a. sin 90  6 2 12 a3 2 Kết quả 1. Thể tích cho tứ diện đều cạnh a là: V  12 GV có thể gợi ý HS đề xuất các bài toán mới theo các ý tưởng sau: 1) Một tứ diện đều nếu biết độ dài cạnh thì ta sẽ tính ngay được thể tích của nó nhờ Kết quả 1. 2) Một tứ diện đều nếu biết độ dài cạnh thì ta sẽ tính được khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy của nó thông qua thể tích nhờ Kết quả 1. 3) Một số hình đa diện ta có thể phân chia được thành các hình chóp trong đó có thể tạo được hình tứ diện đều sau đó áp dụng Kết quả 1. Và còn nhiều bài toán khác liên quan đến hình tứ diện đều đều khi biết một số dữ kiện. Ví dụ 4. Cho khối tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a 2 . Thể tích khối tứ diện bằng 2a 3 3 2a 3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải 2 a3   3 Áp dụng Kết quả 1 ta có thể tích khối tứ diện là V  .a 2  . 12 3 Ví dụ 5. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , M là trung điểm BC . Thể tích V của khối chóp M .ABC bằng bao nhiêu? 3a 3 a3 2a 3 2a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 24 2 12 24 Lời giải D M A C B 12
1 1 a3 2 a3 2 Ta có VM .ABC  VABCD  .  . 2 2 12 24 Ví dụ 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BD. Lấy điểm không đổi P trên cạnh AB (khác A, B ). Thể tích khối chóp PMNC bằng 9 2 8 3 27 2 A. . B. . C. 3 3 . D. . 16 3 12 A P M N B D C 1 Ta có VPCMN  VDPMN  VMCND  VABCD 4 3 2 3 27 2 1 27 2 9 2 Mặt khác VABCD   nên VMCND  .  12 12 4 12 16 Ví dụ 7. Cho tứ diện S .ABC có SA  1 , SB  2 , SC  3 và   BSC ASB   CSA   60 . Tính thể tích khối tứ diện S .ABC . 2 2 3 A. . B. . C. . D. 2. 12 2 2 Lời giải S 60° 1 60° C' 1 1 2 B' A C 1 B VS .AB C  SB  SC  1 1 1 6 2 2       VS .ABC  6VS .AB C    . VS .ABC SB SC 2 3 6 12 2 13
Một cách tương tự ta có ví dụ sau Ví dụ 8. Cho khối chóp S .ABC có ASB   BSC  CSA   600 , SA  a, SB  2a, SC  4a . Tính thể tích khối chóp S .ABC theo a . 2 2a 3 2a 3 4 2a 3 8 2a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải S ° a 60° 60 C' a a 3a B' A C a B 2a 3 Ta có VS .AEF  . 12 VS .AEF SA SE SF 1 2 2a 3  . .   VS .ABC  8VS .AEF  . VS .ABC SA SB SC 8 3 Ví dụ 9. Cho khối tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a 2 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD  là a 3 2a a 3 2a 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 3 Lời giải 2   a3 3 Áp dụng Kết quả 1 ta có thể tích khối tứ diện là V  .a 2  . 12 3 a2 3 Diện tích của tam giác BCD là S BCD  2 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD  là: a3 3.  d A, BCD    3V S BCD  3  2a 3 3 a2 3 2 14
Qua các ví dụ trên ta thấy Kết quả 1. quả thật là rất hiệu quả trong việc giải các bài toán liên quan đến tứ diện đều. Điều này là phù hợp với việc thi trắc nghiệm của kỳ thi TN THPT QG đang áp dụng hiện nay. Thứ hai. Ta cho các cạnh đối của hình chóp trong giả thiết bằng nhau theo ba kích thước là a, b, c . Khi đó ta sẽ có kết quả cho một tứ diện gần đều như sau: S a b E c c C A b F a B * Ta tính d  EF SC 2  SB 2 BC 2 SA2 b 2  c 2  a 2 EF  SF  SE  2 2 2    2 4 4 2 b2  c2  a 2 d  2 * Tính sin             Ta có SABC .  SA. SC  SB  SASC .  SASB . SA2  SC 2  AC 2 SA2  SB 2  AB 2 c 2  b 2    2 2 2 Do đó   SA.BC c2  b2 c 2  b 2  2 cos    sin   1  cos   1   2  SA.BC a2  a 2  a 2   b2  c2 a 2  c2  b2   a2 * Do đó 1 b2  c2  a 2 a 2   b2  c2 a 2  c2  b2  V  a.a. . 6 2 a2 15
 2 12 a 2    b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2  Kết quả 2. Tứ diện gần đều có kích thước các cặp cạnh đối diện lần lượt là a,b và c có thể tích bằng: V  2 12 a 2    b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2  GV có thể gợi ý HS đề xuất các bài toán mới theo các ý tưởng sau: 1) Một tứ diện gần đều nếu biết độ dài các cặp cạnh đối thì ta sẽ tính ngay được thể tích của nó nhờ Kết quả 2. 2) Một tứ diện gần đều nếu biết độ dài các cặp cạnh đối thì ta sẽ tính được khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy của nó thông qua thể tích nhờ Kết quả 2. 3) Một số hình đa diện ta có thể phân chia được thành các hình chóp trong đó có thể tạo được hình tứ diện đều sau đó áp dụng Kết quả 2. 4) Khai thác kết quả 2. Ta có: 3 a 2    b 2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2  a 2  b2  c2  a 2  c2  b2  b2  c2  a 2  3 a 2  b2  c2  3 a  3 2  b2  c2    a 2  b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2    27  a 2    b2  c2 a 2  c2  b2 b2  c2  a 2    3 a 2  b2  c2  a 2  b2  c2 V   6 a 2  b2  c2  a2  b2  c2 9 108 Nếu ta cho tổng a 2  b 2  c 2  P không đổi khi đó ta có 6P P V  108 Do đó ta có lớp các bài toán về Max của thể tích khối tứ diện đều. Và còn nhiều bài toán khác liên quan đến hình tứ diện gần đều khi biết một số dữ kiện. Ví dụ 10. Tính thể tích V của khối chóp S .ABC có độ dài các cạnh SA  BC  5, SB  AC  6, SC  AB  7 . 16