Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ" nhằm điều tra thực trạng về tình hình dạy và học chủ đề max – min trong hình học toạ độ ở trường THPT; Nghiên cứu các kiến thức nền tảng liên quan đến chủ đề max – min trong hình học toạ độ qua SGK và các tài liệu tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA GIẢI TOÁN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ LĨNH VỰC: CHUYÊN MÔN TOÁN Năm học 2021 – 2022 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA GIẢI TOÁN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ LĨNH VỰC: CHUYÊN MÔN TOÁN Nhóm tác giả: Nguyễn Thị Kim Duyên Đậu Thanh Kỳ Tổ bộ môn: Toán – Tin Năm thực hiện: 2022 Số điện thoại: 0914.927.156 2
PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong những năm gần đây, tốc độ phát triển nhanh chóng của tri thức nhân loại và sự tiến bộ của khoa học kĩ thuật, đặc biệt là công nghệ thông tin làm cho mô hình dạy học theo tiếp cận nội dung không còn phù hợp nữa. Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực." Ở trường phổ thông nói chung, việc dạy học môn toán để đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hình thành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của môn toán như: năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận toán học), năng lực tính toán (gồm: năng lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngôn ngữ toán; năng lực mô hình hóa; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán). Tư duy sáng tạo của con người là “chìa khóa” đưa thế giới không ngừng phát triển, nhờ có tư duy sáng tạo mới giúp con người khám phá, phát minh ra những công trình vĩ đại làm thay đổi thế giới. Phát triển tư duy sáng tạo cho HS (HS) là việc làm rất quan trọng và cần thiết trong quá trình dạy học, giáo dục HS. Phát triển tư duy sáng tạo sẽ giúp HS tự tin vào bản thân để không ngừng khám phá, tìm tòi, phát hiện cái mới; sáng tạo sẽ giúp HS chủ động tiếp thu kiến thức, có nghị lực và niềm tin để chinh phục những khó khăn trong học tập. Cao hơn tư duy sáng tạo sẽ giúp HS tìm ra con đường ngắn nhất, nhanh nhất để đạt thành công trong học tập, trong cuộc sống. Trong chương trình toán học phổ thông, bài toán max – min trong hình học toạ độ đóng một vai trò khá quan trọng. Nó thường xuất hiện là câu khó trong các đề thi học kỳ, thi vào các trường Chuyên, thi HSG các cấp, thi tốt nghiệp THPT. Max – min trong hình học toạ độ là phần kiến thức có nhiều tiềm năng trong việc phát triển tư duy sáng tạo (TDST) cho HS, nội dung xuyên suốt từ hình học Oxy ở lớp 10 cho đến Oxyz ở lớp 12. Mặc dù tầm quan trọng của các bài toán max – min trong hình học toạ độ lớn như thế, nhưng nó không được dạy như một chủ đề biệt lập, nó chỉ được lồng ghép vào một số bài toán trong chương trình. Chính vì vậy HS không được học một cách bài bản, không xâu chuỗi được kiến thức trong khi nội dung kiến thức chuyên đề này xuyên suốt trong chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông. Với những trăn trở như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ” nhằm khơi gợi tư duy, định hướng giải toán trong hình học toạ độ với mong muốn giúp các em HS hứng thú và đạt hiệu quả cao hơn khi học chủ đề này. 1
II. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. - Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học chủ đề max – min trong hình học toạ độ ở trường THPT. - Nghiên cứu các kiến thức nền tảng liên quan đến chủ đề max – min trong hình học toạ độ qua SGK và các tài liệu tham khảo. - Triển khai đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức và bài toán cực trị trong hình học toạ độ phù hợp đưa vào các tiết học chính khoá, các tiết học thêm buổi chiều và các buổi bồi dưỡng HSG. - Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với HS, giáo viên toán qua đó thấy được hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung cực trị trong hình học toạ độ cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng khi dạy học chủ đề này nói riêng cũng như học môn toán nói chung. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - HS bậc trung học phổ thông. - GV dạy toán bậc trung học phổ thông. - Tài liệu về PPDH, hình học Oxy, Oxyz. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp điều tra, phân tích. - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp phỏng vấn. - Phương pháp phân tích - tổng hợp - Phương pháp thực nghiệm. V. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần I. Đặt vấn đề. Phần II. Nội dung. Phần III. Kết luận. 2
PHẦN II. NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lí luận của đề tài 1.1.Tư duy 1.1.1. Khái niệm tư duy Theo Từ điển Tiếng Việt thì: “Tư duy (TD) là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng” Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó” 1.1.2. Đặc điểm của tư duy TD mà con người là chủ thể chỉ nảy sinh khi gặp tình huống “có vấn đề”. Tuy nhiên vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ cá nhân (cái gì đã biết, cái gì còn cần tìm kiếm), đồng thời nằm trong ngưỡng hiểu biết của cá nhân và là nhu cầu động cơ tìm kiếm của cá nhân. Tiếp theo, TD luôn phản ánh cái bản chất nhất chung cho nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại, một phạm trù, đồng thời trừu xuất khỏi những sự vật đó những cái cụ thể, cá biệt. Ngoài ra, TD luôn phản ánh gián tiếp hiện thực. Trong TD, có sự thoát khỏi những kinh nghiệm cảm tính. 1.1.3. Các thao tác của tư duy a. Các giai đoạn hoạt động của tư duy Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảy sinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người. Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề; Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm; Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết; Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết; Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra. b. Các thao tác tư duy Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy. Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác sau: + Phân tích và tổng hợp. Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) 3
những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. + So sánh và tương tự. So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng. Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối tượng kia. + Trừu tượng hóa. Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động). + Khái quát hóa và đặc biệt hóa. Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. 1.2. Các vấn đề về tư duy sáng tạo 1.2.1. Khái niệm tư duy sáng tạo Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy có tính linh hoạt, độc lập và tính phê phán, đặc trưng bởi sự sản sinh ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm hướng đi mới, cách giải quyết mới và tạo ra kết quả mới. 1.2.2. Các đặc trưng của tư duy sáng tạo - Tính mềm dẻo: Biết chuyển hướng khi gặp trở ngại khó khăn, biết quy lạ về quen. Vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy cơ bản, các kinh nghiệm, kĩ năng đã có vào giải toán. Có thể thấy rằng tính mềm dẻo (linh hoạt) của TD có những đặc điểm sau: + Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; + Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại; + Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có vào trong những điều kiện, hoàn cảnh mới trong đó có những yếu tố đã thay đổi; + Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, phương pháp, cách thức suy nghĩ đã có; + Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện đã quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng đã quen biết. 4
- Tính nhuần nhuyễn: Biết xét bài toán dưới nhiều góc độ, từ đó đề xuất được các cách giải khác nhau cho một bài toán và lựa chọn được cách giải tối ưu. Tính nhuần nhuyễn của TD thể hiện ở các đặc trưng sau: + Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau; có cái nhìn đa chiều, toàn diện đối với một vấn đề; + Khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và nhiều tình huống khác nhau; + Khả năng tìm được nhiều giải pháp cho một vấn đề từ đó sàng lọc các giải pháp để chọn được giải pháp tối ưu. - Tính độc đáo: Biết tìm ra những phương thức giải quyết lạ, độc đáo để cải tiến những cách giải đã có để trở nên tối ưu hơn. Tính độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng sau: + Khả năng tìm ra những liên tưởng và kết hợp mới; + Khả năng tìm ra các mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có quan hệ với nhau; + Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác. Ngoài ra, TDST còn được đặc trưng bởi nhiều yếu tố khác. Chẳng hạn như: tính chi tiết: là khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng; tính nhạy cảm: là năng lực phát hiện vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, bất hợp lý một cách nhanh chóng, có sự tinh tế của các cơ quan cảm giác, có năng lực trực giác, có sự phong phú về cảm xúc, nhạy cảm, cảm nhận được ý nghĩ của người khác Các đặc trưng cơ bản của TDST không tách rời nhau mà trái lại, chúng có quan hệ mật thiết, bổ sung và hỗ trợ lẫn nhau. Tính mềm dẻo của tư duy tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp dưới các góc độ khác nhau, nhờ đó đề xuất được phương án hay, đặc sắc. 2. Cơ sở thực tiễn của đề tài. Để tìm hiểu cụ thể và có cái nhìn đầy đủ, chính xác thực trạng việc phát triển tư duy sáng tạo cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ, chúng tôi tiến hành điều tra, khảo sát bằng phiếu câu hỏi (ở phần phụ lục) với đối tượng là 300 học sinh và 86 giáo viên của các trường THPT tại địa bàn thành phố Vinh và phụ cận. Sau khi điều tra tôi thu được kết quả cụ thể sau: 2.1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên - Hầu hết giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu HS làm các bài tập được giao trong sách giáo khoa mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát hiện nguồn gốc của bài toán hay việc phát triển, mở rộng và tổng quát bài toán nhằm phát triển TDST cho HS. - Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, giáo viên chỉ tập trung chữa bài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố, khắc sâu lý thuyết đã học. Nhiều giáo viên chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổi bật lên được mối quan 5
hệ giữa các bài tập này với bài tập khác, giữa những kiến thức đang học với những kiến thức trước đó. - GV cũng chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ về vấn đề cần giải quyết. Nhiều GV còn không dám để HS tự do tranh luận vì sợ làm mất thời gian, không hoàn thành được bài dạy (cháy giáo án). Các hoạt động trao đổi, thảo luận được tiến hành rất nhanh, rất gấp gáp, dẫn đến không kích thích được HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp và giải pháp độc đáo cho vấn đề. Tức không phát huy được các yếu tố của TDST ở HS. - GV chưa chú ý tạo ra các điều kiện để kích thích TDST của HS, chẳng hạn như chưa tạo ra sự thi đua, thử thách, kích thích động cơ sáng tạo của HS, chưa chú ý rèn luyện các biểu hiện của tính linh hoạt, mềm dẻo, thuần thục trong giải quyết vấn đề, tính độc đáo, hoàn thiện, chi tiết trong sản phẩm bài làm của HS, mà đây chính là các yếu tố đặc trưng cơ bản của TDST. 2.2. Thực trạng học tập của HS Thông qua khảo sát điều tra HS học tập tại trường và các trường bạn trên địa bàn tỉnh Nghệ An thì thu được các thông tin: - Rất nhiều HS còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo: nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế. - Đa số HS thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, rất ít HS nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Vì vậy khi đứng trước một bài toán mới, bài toán chưa có thuật giải hay những bài toán nâng cao HS thường có tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc các kiến thức và liên kết những kiến thức cũ để giải quyết vấn đề mới có liên quan. - HS chưa hứng thú với chủ đề max – min trong hình học toạ độ vì tâm lý nghĩ rằng chủ đề này rất khó nên không thể chinh phục được. - Không biết khai thác giả thiết để tìm chìa khoá lời giải, lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Vậy làm thế nào để khắc phục được thực trạng đó? Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi mạnh dạn đề xuất một số giải pháp cụ thể đã được áp dụng có hiệu quả tại đơn vị - trường THPT Huỳnh Thúc Kháng. 6
B. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS THPT THÔNG QUA GIẢI TOÁN MAX – MIN TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ 1. Các căn cứ và nguyên tắc để đề xuất giải pháp. - Đảm bảo tính khách quan, khoa học Cần xác định thái độ khách quan, khoa học trong nghiên cứu. Các giải pháp đề xuất cần được dựa trên cơ sở hoạt động nghiên cứu kỹ lưỡng về lý luận và thực tiễn tại trường THPT. Trong quá trình đó cần tuân thủ nghiêm ngặt quy trình khoa học khi xử lý thông tin, dựa trên các số liệu điều tra, khảo sát, có đầy đủ các căn cứ cần thiết khi ra quyết định. Các giải pháp cần được kiểm chứng, khảo nghiệm thực tế, có khả năng thực hiện cao. - Đảm bảo tính thực tiễn Các giải pháp đề xuất cần dựa trên cơ sở thực tiễn tình hình phát triển giáo dục của thế giới, đất nước, địa phương, điều kiện thực tế của nhà trường, xuất phát từ sự phân tích thực trạng và các nguyên nhân cụ thể. Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi đề xuất các giải pháp được thực hiện có hiệu quả tại trường THPT Huỳnh Thúc Kháng. Điều đó cũng có nghĩa là các giải pháp phải đáp ứng mục tiêu đào tạo và phù hợp với điều kiện cụ thể của nhà trường. - Đảm bảo tính khả thi Các giải pháp đề xuất phải đảm bảo tính khả thi, có khả năng áp dụng vào thực tiễn một cách thuận lợi, hiệu quả, phù hợp với tình hình thực tế cơ sở giáo dục. Khi đề xuất, cần tính toán, cân nhắc đầy đủ các điều kiện thực tiễn của nhà trường như tình hình đội ngũ, đối tượng HS… Trong quá trình thực hiện, các giải pháp có thể được điều chỉnh, bổ sung, cải tiến để ngày càng hoàn thiện, có khả năng ứng dụng trong một phạm vi rộng lớn hơn. - Đảm bảo yêu cầu đổi mới PPDH hiện nay Các giải pháp đề xuất phải đảm bảo phù hợp với yêu cầu đổi mới PPDH hiện nay. Ngày nay, trước ngưỡng cửa của thế kỷ XXI - đòi hỏi nhà trường phổ thông phải đào tạo ra những con người không những nắm vững được những kiến thức khoa học mà loài người đã tích lũy được mà còn phải có những năng lực sáng tạo giải quyết những vấn đề mới mẻ của đời sống bản thân mình, của đất nước, của xã hội. Như vậy, PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động để phát huy TDST cho các em. 2. Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển TDST cho HS THPT thông qua giải toán max – min trong hình học toạ độ. Biện pháp 1. Củng cố kiến thức nền liên quan và tiếp cận các dạng bài toán max – min thường gặp trong hình học tọa độ từ đó hoàn thiện phương pháp giải mỗi dạng. 7
Như chúng ta đã biết, các bài toán toán max – min trong hình học nói chung, max – min trong hình học toạ độ nói riêng hội tụ rất nhiều kiến thức, kỹ năng và phương pháp giải toán sơ cấp. Vì vậy, HS giải toán max – min trong hình học phải huy động rất nhiều kiến thức liên quan, qua đó các em cũng được củng cố, khắc sâu kiến thức toán rất nhiều. Đây cũng là một mảng kiến thức hay được đề cập trong các đề thi HS giỏi và các câu vận dụng cao ở đề thi TN THPT. Tầm quan trọng của nó không nhỏ, tuy nhiên HS và GV cũng chưa thực sự quan tâm nhiều về chủ đề này. Điều này dẫn đến việc giải các bài tập max – min trong hình học toạ độ HS còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kỹ năng giải toán, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của HS, từ đó HS tiếp thu kiến thức một cách hình thức và thụ động. Để khắc phục những tồn tại đã chỉ ra ở trên, người GV cần phải có phương pháp dạy học tích cực, quan tâm hơn nữa phần max – min trong hình học toạ độ, giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp của chủ đề này, ứng dụng của nó trong thực tiễn từ đó làm cho HS thấy được sự thiếu hụt tri thức của bản thân và có nhu cầu muốn được bù đắp sự thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức của bản thân mình. Hầu hết các bài toán về max – min trong hình học toạ độ đều liên quan đến các kiến thức hình học, các bất đẳng thức Đại số. Muốn giúp các em HS phát triển tư duy sáng tạo trong khi học chủ đề này thì cái đầu tiên là phải có một nền “Kiến thức vững chắc”, bởi mỗi quá trình sáng tạo bất kỳ đều bắt đầu từ sự tái hiện cái đã biết. 1.1. Một số kiến thức liên quan thường dùng để giải bài toán max – min hình học + Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu : Trong các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến một đường thẳng, thì : - Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên. - Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại. + Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác - Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại. - Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau nếu cạnh thứ ba của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc đối diện cũng lớn hơn và ngược lại. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc. - Bất đẳng thức 3 điểm: cho 3 điểm A, B, C ta có: AB + AC  BC " = "  A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C . AB − AC  BC ; " = "  A, B, C thẳng hàng và A nằm ngoài B và C - Tổng quát: cho n điểm A1; A2 ..., An Ta có: A1 A2 + A2 A3 + ... + An−1 An  A1 An . Dấu bằng xảy ra A1; A2 ..., An thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó. + Bất đẳng thức trong đường tròn: - Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. - Trong một đường tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cách đến tâm lớn hơn và ngược lại. - Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn. - Trong hai cung nhỏ một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn. 8
+ Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối: Với hai số a, b tùy ý, ta có: a + b  a + b . Dấu “=” xảy ra  ab  0 . Mở rộng: + a + b + c  a + b + c Dấu “=” xảy ra  abc  0 . + a1 + a2 + ... + an  a1 + a2 + ... + an .Dấu “=” xảy ra  a1a2 ...an  0 Với hai số a, b tùy ý, ta có: + a − b  a − b . Dấu “=” xảy ra  ( a − b ) .b  0 . + a − b  a − b . Dấu “=” xảy ra  ab  0 . + Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ u = ( a; b ) và v = ( c; d ) ta có: u + v  u + v Dấu bằng xảy ra u  v a 2 + b2 + c 2 + d 2  (a + c) + (b + d ) 2 2 Khi đó a b Dấu bằng xảy ra  = 0 c d + Bất đẳng thức Cauchy tổng quát. a1 + a2 + ... + an n Cho a1 , a2 ,..., an  0 .Ta đó  a1.a2 ...an ; n " = "  a1 = ... = an ; n  N , n  1 1.2. Các công thức về khoảng cách trong không gian (trong mặt phẳng tương tự) Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm A ( x A ; y A ; z A ) ; B ( xB ; yB ; z B ) , khi đó: AB = AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng ( P) : Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2  0) . Khi đó: | Ax0 + By0 + Cz0 + D | d ( M ;( P) ) = A2 + B 2 + C 2 | [ MA , u ] | Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng  là: d ( M ;  ) = | u | Trong đó điểm A   và u là vtcp của đường thẳng  . | [u1 , u2 ].M 1M 2 | Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 là: d ( d1 ; d 2 ) = | [u1 , u2 ] | Trong đó M 1 , M 2 lần lượt là các điểm thuộc đường thẳng d1 , d 2 và u1 ; u2 lần lượt là các VTCP của hai đường thẳng d1 , d 2 . 1.3. Các công thức về góc trong không gian (trong mặt phẳng tương tự) Góc giữa hai đường thẳng: 9
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) u1.u2 cos ( d1; d 2 ) = cos u1 , u2 = = u1 . u2 x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22 u1 ( x1 ; y1; z1 ), u2 ( x2 ; y2 ; z2 ) lần lượt là các VTCP của hai đường thẳng d1 , d 2 . Góc giữa hai đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) . x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) ud .nP sin ( d ;( P) ) = cos ud , nP = = u d . nP x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22 ud ( x1 ; y1; z1 ), nP ( x2 ; y2 ; z2 ). lần lượt là các VTCP, VTPT của đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) . Góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) nP .nQ cos ( ( P);(Q) ) = cos nP , nQ = = nP . nQ x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22 nP ( x1 ; y1; z1 ), nQ ( x2 ; y2 ; z2 ) lần lượt là các VTPT của mặt phẳng ( P ); (Q) . Lưu ý:   + Hàm số y = sin x đồng biến trên đoạn 0;   2   + Hàm số y = cos x nghịch biến trên đoạn 0;   2 1.2. Phương pháp chung để giải các bài toán max – min trong hình học nói chung, hình học toạ độ nói riêng. Cách 1: Phương pháp đại số Chuyển đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số và dùng các bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm min, max. Ta thực hiện theo các bước sau: + Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết. + Thiết lập biểu thức điều kiện (nếu có). Thiết lập biểu thức giải tích cho các điểm cần tìm cực trị. + Lựa chọn phương pháp tìm max – min, thông thường là: - Phương pháp tam thức bậc hai. - Sử dụng bất đăng thức. - Sử dụng đạo hàm. Cách 2: Phương pháp hình học Với hướng làm này, ta sử dụng các bất đẳng thức trong phần 1.1 để đánh giá. Mấu chốt của phương pháp hình học là phải tìm được yếu tố cố định, không đổi ẩn chứa trong 10
đề bài, sau đó chúng ta đánh giá đại lượng cần tìm max – min thông qua đại lượng không đổi. Mỗi cách giải đều có ưu và nhược điểm riêng, với cách giải theo hướng đại số sẽ có lợi thế là ít cần đến trí tưởng tượng không gian, dễ hiểu với cả các đối tượng HS. Nhược điểm của phương pháp này là cần tính toán nhiều hơn, do đó sẽ mất nhiều thời gian và dễ có sai sót. Với cách giải theo hướng hình học thường cho lời giải ngắn gọn, phù hợp với thi trắc nghiệm hiện nay. Tồn tại của phương pháp hình học là nó đòi hỏi HS phải có kiến thức nền tốt, tư duy nhạy bén và phải được tập luyện thường xuyên nữa. Tuy nhiên, đối với các bài toán hình học toạ độ liên quan đến max – min, nếu chỉ dùng phương pháp đại số thì sẽ không giúp người làm toán thấy được vẻ đẹp của các bài toán max – min trong hình học nói chung, hình học toạ độ nói riêng. 1.3. Một số bài toán max – min trong hình học toạ độ (các bài toán xây dựng dưới đây chủ yếu đã được lấy các ví dụ trong phần các biện pháp) + Các bài toán đến max – min liên quan về độ dài của điểm đối với: điểm, đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng, mặt cầu… + Các bài toán đến max – min liên quan về số đo góc giữa đường thẳng với đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa mặt phẳng với mặt phẳng. + Các bài toán đến max – min liên quan về khoảng cách giữa đường đường thẳng với đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa mặt phẳng với mặt phẳng… Bài toán 1. Cho điểm A và đường thẳng ( d ) . Tìm điểm M trên ( d ) sao cho MAmin . Phương pháp giải. - Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ( d ) . - M  (d ) ta luôn có MA  AH  MAmin = AH  M  H Bài toán 2. Cho hai điểm A, B và đường thẳng ( d ) . Tìm điểm M trên ( d ) sao cho ( MA + MB )min . Phương pháp giải. TH1. A, B nằm khác phía so với ( d ) . + Gọi I = ( d )  ( AB )  I nằm giữa A và B. + M  (d ) ta luôn có MA + MB  AB = IA + IB  ( MA + MB) min = AB  M  I TH2. A, B nằm khác phía so với ( d ) . + Lấy A1 là điểm đối xứng với A qua ( d ) + Gọi I = (d )  ( A1B )  I nằm giữa A1 và B. + M  (d ) ta luôn có MA + MB = MA1 + MB  A1B = IA1 + IB  ( MA + MB ) min = A1B  M  I Bài toán 3. Cho hai điểm A, B và đường thẳng ( d ) . Tìm điểm M trên ( d ) sao cho MA − MB max Phương pháp giải. 11
TH1. A, B nằm cùng phía so với ( d ) . + Gọi I = (d )  ( AB) | IA − IB |= AB. + M  (d ) ta luôn có MA − MB  AB = IA − IB + | MA − MB |max = AB  M  I . TH2. A, B nằm khác phía so với ( d ) . + Lấy A1 là điểm đối xứng với A qua ( d ) . + Gọi I = (d )  ( A1B)  I nằm ngoài A1 và B. + M  (d ) ta luôn có MA − MB = MA1 − MB  A1B = IA1 − IB  MA − MB max = A1B  M  I Bài toán 4. Cho hai điểm A, B và đường thẳng ( d ) . Tìm điểm M trên ( d ) sao cho MA − MB min Phương pháp giải. + Lập phương trình đường trung trực ( d ) của đoạn thẳng AB + M  (d ) ta luôn có MA − MB  0  MA − MB min = 0  MA = MB  M = (d )  ( AB) Bài toán 5. Cho hai điểm A, B và đường thẳng ( d ) . Tìm M trên ( d ) sao cho n.MA + m.MB ( m, n  ; m + n  0) min Phương pháp giải. Cách 1: + Viết phương trình đường thẳng (d) ở dạng tham số t. + Đặt tọa độ M trên ( d ) phụ thuộc tham số t. + Tính n.MA + m.MB = f (t ) là một tam thức bậc 2 ẩn t với hệ số a > 0. min + Đánh giá f ( t ) để tìm GTNN . → Cách 2: + Xác định I là điểm sao cho n.MB + m.MA = 0 . I cố định và duy nhất + T = nMA + mMB = (m + n) MI = m + n .MI + Do m, n không đổi nên T đạt GTNN  MI min  M là hình chiếu của I lên ( d ) Bài toán 6: Tìm điểm M thuộc ( P ) sao cho aMA + bMB + cMC min (a + b + c  0) . Phương pháp giải: + Tìm điểm I thõa mãn hệ thức: aIA + bIB + cIC = 0  ax A + bxB + cxC  xI = a+b+c   ay + byB + cyC Tọa độ điểm I là:  yI = A  a+b+c  az A + bz B + czC  zI = a+b+c  Phân tích ( ) u = aMA + bMB + cMC = ( a + b + c ) MI + aIA + bIB + cIC = ( a + b + c ) MI Khi đó u = a + b + c .MI  u  MI min  M là hình chiếu của I lên ( P ) . min 12
+ Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với ( P ) . Chọn vtpt của mặt phẳng ( P ) làm vtcp của đường thẳng IM  u IM = nP . + Khi đó M = ( P )  ( IM ) . Bài toán 7: Tìm điểm M thuộc ( P ) sao cho T = aMA2 + bMB 2 + cMC 2 đạt max hoặc min. Phương pháp giải: +) Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA + bIB + cIC = 0 . 2 2 2 +) Phân tích T = aMA + bMB + cMC = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a MI + IA + b MI + IB + c MI + IC  ( a + b + c ) MI 2 + 2MI ( aIA + bIB + cIC ) + aIA 2 + bIB 2 + cIC 2 = (a + b + c) MI 2 + aIA2 + bIB 2 + cIC 2 . +) Nếu a + b + c  0 thì T đạt min  MI min  M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng ( P ) . +) Nếu a + b + c  0 thì T đạt max  MI min  M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng ( P ) . Bài toán 8: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( P) sao cho ( MA + MB )min hoặc MA − MB max Phương pháp giải: 8.1. Tìm M thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho ( MA + MB )min +) Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng ( P ) . - Nếu A, B khác phía mặt phẳng ( P ) thì MA + MB  AB , suy ra ( MA + MB )min = AB . Dấu bằng xảy ra  A, M , B thẳng hàng và M nằm trong đoạn AB , hay M = AB  ( P) . - Nếu A, B cùng phía mặt phẳng ( P ) . Gọi A ' là điểm đối xứng A qua mặt phẳng ( P ) , khi đó khi đó A ', B khác phía ( P) . Ta có MA + MB = MA + MB  AB , suy ra ( MA + MB )min = A ' B . Dấu bằng xảy ra  A, M , B thẳng hàng hay M = AB  ( P ) 8.2. Tìm M thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho MA − MB max +) Nếu A, B cùng phía mặt phẳng ( P ) , ta có MA − MB  AB suy ra MA − MB max = AB . Dấu bằng xảy ra  A, M , B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn AB , hay M = AB  ( P ) . +) Nếu A, B khác phía mặt phẳng ( P ) . Gọi A ' là điểm đối xứng A qua mặt phẳng ( P ) , khi đó MA − MB = MA '− MB  A ' B , suy ra MA − MB max = A ' B . Dấu bằng xảy ra  A, M , B thẳng hàng hay M = AB  ( P ) 13
Bài toán 9: Trong không gian toạ độ Oxyz tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho ( MA + MB )min hoặc MA − MB max ; MA − MB min Phương pháp giải: 9.1. Tìm M thuộc đường thẳng ( d ) sao cho ( MA + MB )min Cách 1: Đại số: - Chuyển d về dạng ptts, tham số hoá điểm M theo biến t - Biểu thị MA + MB theo hàm f ( t ) - Dùng bất đẳng thức véc tơ hoặc dùng đạo hàm để tìm min của f ( t ) . Cách 2: Hình học: Đặt ( P ) = ( d , B ) . Gọi H , K lần lượt là hình A chiếu của A, B lên đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) ; A '  ( P ) sao cho A ', B nằm khác phía đối với d và A ' H ⊥ d ; A ' H = AH (xem hình). Ta có MA + MB = MA '+ MB  A ' B d B H suy ra ( MA + MB )min = A ' B . E M K P A' Dấu bằng xảy ra  A ', M , B thẳng hàng và M nằm trong đoạn AB , hay M  E = A' B  d . Xác định M 0 như sau: ta có M 0 nằm trên đoạn HK và EH A ' H AH AH = =  EH = − .EK EK BK BK BK Lưu ý: trong trường hợp ( d ) và AB đồng phẳng thì bài toán đơn giản hơn nhiều. 9.2. Tương tự cho bài toán tìm M thuộc d sao cho MA − MB max . Bài toán 10: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến ( P ) lớn nhất, với A là điểm không thuộc d . Phương pháp giải: Cách 1:Đại số: + Gọi n ( a; b; c ) (a 2 + b 2 + c 2  0) là vtpt của mặt phẳng ( P ) cần lập, đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là ud .Ta có: n(P) .ud = 0 rút được một ẩn theo hai ẩn còn lại. Chẳng hạn, rút a theo b, c + Lắp công thức tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) ., ta được một biểu thức b đồng bậc hai biến b, c . Xét c = 0 ; xét c  0 , đặt t = ta đưa về một biểu thức theo biến t c + Dùng bất đẳng thức véc tơ hoặc dùng đạo hàm để tìm min của f ( t ) . Cách 2: Hình học: 14
Đường thẳng d xác định đi qua điểm B và có véc A tơ chỉ phương là ud .Kẻ AH ⊥ ( P); AK ⊥ d  d ( A; ( P ) ) = AH  AK d H ( K cố định do A, d cho trước). B K P d  ( P) Suy ra d max = AK . Khi đó  ( P ) ⊥ ( A; d ) n(P) ⊥ ud Gọi ( )  ( A, d ) ta có: n = ud ; AB  ,  n(P) ⊥ n Khi đó chọn vtpt của mặt phẳng ( P ) là n(P) = ud ; ud ; AB      Bài toán 11: Trong không gian toạ độ Oxyz , lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P ) , đi qua điểm B sao cho khoảng cách từ điểm A đến d lớn nhất, nhỏ nhất? Phương pháp giải: Cách 1: Đại số + Gọi u (a 2 + b 2 + c 2  0) là vtcp của đường thẳng d cần lập, mặt phẳng ( P ) có vtpt là nP .Ta có: nP .ud = 0 rút được một ẩn theo hai ẩn còn lại. Chẳng hạn, rút a theo b, c + Lắp công thức tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d , ta được một biểu b thức đồng bậc hai biến b, c . Xét c = 0 ; xét c  0 , đặt t = ta đưa về một biểu thức theo c biến t . + Dùng bất đẳng thức véc tơ hoặc dùng đạo hàm để tìm min (max) của f ( t ) Cách 2: Hình học: A + Kẻ MK ⊥ d ; MK ⊥ ( P)  d ( M ;d ) = MK + Kẻ AK ⊥ d ; AH ⊥ ( P );  d ( A;d ) = AK Ta có: AH  AK  AB  AH  d ( A; d )  AB d H .+) Ta có  d ( A; d )max = AB  K  B. K B P Khi đó đường thẳng d nằm trong ( P ) , đi qua B và vuông góc với đường thẳng AB , suy ra d có một véc tơ chỉ phương là ud =  nP ; AB  +) Mặt khác, lại có AK  AH  d ( A; d )min = AH  K  H . Khi đó đường thẳng d nằm trong ( P ) , đi qua B và đi qua hình chiếu H của A .Ta có thể tìm toạ độ điểm H rồi lập phương trình đường thẳng BH hoặc có thể xác định vtcp của đường thẳng d như sau: d = ( P )  ( AHB ) . Trong đó n ( AHB ) =  nP ; AB  Khi đó đường thẳng d có một véc tơ chỉ phương là ud =  nP ;  nP ; AB      15
Chú ý: Trong trường hợp d min thì d chính là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng ( P ) . Bài toán 12: Trong không gian toạ độ Oxyz , lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P ) , đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d ' lớn nhất, với d ' là đường thẳng cho trước và cắt ( P ) . Phương pháp giải: Cách 1: Đại số + Gọi u ( a; b; c ) (a 2 + b 2 + c 2  0) là vtcp của đường thẳng d cần lập, mặt phẳng ( P ) có vtpt là nP .Ta có: nP .ud = 0 rút được một ẩn theo hai ẩn còn lại. Chẳng hạn, rút a theo b, c + Lắp công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d , d ' , ta được một biểu b thức đồng bậc hai biến b, c . Xét c = 0 ; xét c  0 , đặt t = ta đưa về một biểu thức theo c biến t . + Dùng bất đẳng thức véc tơ hoặc dùng đạo hàm để tìm min (max) của f ( t ) tuỳ theo yêu cầu của đề ra. Cách 2: Hình học: +) Gọi I = d   ( P ) , qua A dựng đường thẳng d' d'' d '' d '  d ' ( Q )  ( d ; d '') . ( ) ( Khi đó d ( d ; d  ) = d d ; ( Q ) = d I ; ( Q ) ) ( ) +) Kẻ IH ⊥ ( Q ) ; IK ⊥ d   d I ; ( Q )  IK K H d ta có điểm K cố định I A  d ( I; ( Q ) )max = IK  H  K . A' P Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với đường thẳng IK. Gọi A là hình chiếu vuông góc của A lên d '  AA ' IK nên d ⊥ AA ' Suy ra ta có thể chọn vtcp cho đường thẳng d là: ud =  nP ; AA ' . Bài toán 13: Lập phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa d sao cho mặt phẳng ( Q ) tạo với mặt phẳng ( P ) cho trước một góc nhỏ nhất (hoặc tạo với đường thẳng d ' cho trước một góc lớn nhất) Phương pháp giải: Cách 1: Đại số + Gọi nQ ( a; b; c ) (a 2 + b 2 + c 2  0) là vtpt của mặt phẳng ( Q ) cần lập, đường thẳng d có vtcp là ud .Ta có: nQ .ud = 0 ta rút được một ẩn theo hai ẩn còn lại. Chẳng hạn, rút a theo b, c 16
+ Lắp công thức tính góc giữa hai mặt phẳng ( P ) ; ( Q ) , ta được một biểu thức đồng bậc b hai biến b, c . Xét c = 0 ; xét c  0 , đặt t = ta đưa về một biểu thức theo biến t . c + Dùng bất đẳng thức véc tơ hoặc dùng đạo hàm để tìm min (max) của f ( t ) tuỳ vào yêu cầu của đề bài. Cách 2: Hình học Đường thẳng d đi qua điểm I và có vtcp là ud . Gọi A = d  ( P ); d ' = ( P )  (Q ) d I Dựng IH ⊥ ( P ) ; IK ⊥ d '  HK ⊥ d '  (( P );(Q )) = IKH = . Do IA  IK d' IH IH  sin  =  H A IK IA K P   min khi và chỉ khi K  A , khi đó d ⊥ d ' . d '  ( P ) suy ra chọn ud ' = ud ; nP  . Suy ra chọn vtpt nQ = ud ; ud '  = ud ; ud ; nP        Hoàn toàn tương tự cho bài toán tạo với đường thẳng d ' cho trước một góc lớn nhất. ( ( Q ) ; d ')  nQ = ud ; ud ; ud ;    max  Bài toán 14: Cho hai điểm A, B và mặt cầu ( S ) .Tìm điểm M trên ( S ) : a) T = MA + MB đạt GTNN (lớn nhất). Tổng quát: T = aMA + bMB (a + b  0) đạt GTNN (lớn nhất). b) T = MA2 + MB 2 đạt GTNN (lớn nhất). Tổng quát: T = aMA2 + bMB 2 (a + b  0) đạt GTNN (lớn nhất). c) MA + MB đạt GTNN (lớn nhất). d) aMA + bMB (a, b  0) đạt GTNN (lớn nhất). Biện pháp 2. Rèn luyện cho HS khả năng quy lạ về quen trong giải Toán. Trong khi tiến hành giải bài toán, HS có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết bài toán đó, các em có thể lúng túng không biết bắt đầu từ đâu. Khi đó, một trong những phương án có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực biến đổi, đưa về những bài toán đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến một bài toán đã biết cách giải. Rõ ràng, năng lực qui lạ về quen rất quan trọng trong việc giải toán của HS, vì rằng nếu thiếu kỹ năng này thì HS thường không biết làm gì để giải quyết bài toán đặt ra. Thực tiễn cho thấy năng lực giải toán của HS phụ thuộc rất lớn vào kỹ năng quy lạ về quen. Để rèn luyện kỹ năng này cho HS, HV cần cho HS được tập luyện thường xuyên, tạo hoạt động, đặt các câu hỏi gợi mở để giúp HS nhận thấy bài toán đã cho tương tự với bài toán quen thuộc đã giải, nhằm giúp HS liên tưởng và huy động kiến thức để giải quyết vấn đề đặt ra. 17
Ví dụ 1: Bài toán 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x = 1 + t x = 0  chéo nhau d1 :  y = 0 (t  ) ; d 2 :  y = 4 − 2u ( u  ) . Viết phương trình đường  z = −5 + t  z = 5 + 3u   thẳng  là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d 2 . Ở đây chúng tôi không bàn tới việc giải bài toán trên, mà chỉ muốn đưa ra một tình huống để luyện tập cho HS khả năng quy lạ về quen khi giải toán max – min trong hình học toạ độ. Sau khi HS đã học bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d 2 ở trên, chúng ta có thể ra bài toán sau: Bài toán 1.1. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng x = 1 + t x = 0  d1 :  y = 0 (t  ) ; d 2 :  y = 4 − 2u ( u  ) . Tìm A  d1; B  d 2 sao cho AB có  z = −5 + t  z = 5 + 3u   độ dài ngắn nhất. Bài toán trên thực chất chính là bài toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d 2 . Lời giải Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d 2 lần lượt là u d1 = (1;0;1) và u d2 = (0; −2;3) ; suy ra AB ( −1 − t ;4 − 2u;10 + 3u − t ) . AB có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi AB là đoạn vuông góc chung của d1; d2  AB.ud = 0 −2t + 3u = −9 t = 3     A ( 4;0; −2 ) ; B ( 0;6;2 ) 1  AB.u d2 = 0  −3t + 13t = − 22 u = − 1 Sau khi HS giải quyết xong bài toán 1.1 ở trên, chúng ta có thể đưa tiếp bài toán sau: Bài toán 1.2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (1; −1;0 ) ; B (1;0;1) và  x = −1 + t  đường thẳng d1 :  y = 1 + t ( t  ) . Tìm điểm M trên d sao cho tam giác ABM có  z = −2  diện tích nhỏ nhất. Bài toán 1.2 được phát biểu dưới một hình thức mới, đối với những HS học tập thụ động có thể các em không nhận ra mối liên hệ giữa bài toán này với bài toán 1.1. Để giúp HS đưa bài toán 1.2 về bài toán 1.1 quen thuộc vừa giải, GV có thể đặt một số câu hỏi như: GV: Hãy nêu công thức tính diện tích tam giác ABM ? 1 HS: S ABM = AB.MH ( H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB ) 2 GV: Trong công thức đó đại lượng nào không đổi, diện tích phụ thuộc vào đại lượng nào? 18