Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Tiếp cận, nhìn nhận khái niệm toán học dưới nhiều cách khác nhau để phát triển năng lực tư duy và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến giúp học sinh phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học góp phần phát huy tính tích cực chủ động và phát triển phẩm chất năng lực toàn diện cho học sinh được thể hiện theo cách riêng biệt mà không trùng với bất cứ giải pháp nào đã được đề cập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Tiếp cận, nhìn nhận khái niệm toán học dưới nhiều cách khác nhau để phát triển năng lực tư duy và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: TIẾP CẬN, NHÌN NHẬN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC DƯỚI NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2 _____________________________________________________________ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: TIẾP CẬN, NHÌN NHẬN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC DƯỚI NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Người thực hiện: NGÔ TRÍ THỤ Tổ bộ môn: Toán Tin Thời gian thực hiện: Năm học 2020 2021 Số điện thoại: 0982112369
Diễn Châu, tháng 3 năm 2021
MỤC LỤC PHẦN I. MỞ ĐẦU 1 PHẦN II. NỘI DUNG 3 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3 1.1. Cơ sở lí luận 3 1.1.1. Năng lực 3 1.1.2. Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực 3 1.1.3. Đặc điểm năng lực Toán học 5 1.1.4. Các thành tố của năng lực Toán học 5 1.1.5. Cấu trúc bài học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực 7 1.2. Cơ sở thực tiễn 8 2. TIẾP CẬN, NHÌN NHẬN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC DƯỚI NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 9 2.1. Bài Toán 1 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho, , . Chứng minh là ba đỉnh của một tam giác. 9 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM VÀ ĐIỀU TRA QUAN SÁT 24 3.1. Giáo án thực nghiệm số 1 24 3.2. Giáo án thực nghiệm số 2 34 3.3. Điều tra quan sát 46 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53
PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nâng cao chất lượng giáo dục đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Trong bối cảnh Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đòi hỏi giáo dục phổ thông cũng phải có bước chuyển căn bản tập trung vào xây dựng và hoàn thiện nhân cách (phẩm chất và năng lực) con người Việt Nam đáp ứng yêu cầu hội nhập và phát triển của đất nước. Trong giai đoạn hiện nay, việc tiếp cận dần với chương trình giáo dục phổ thông 2018 đang là một yêu cầu cấp thiết và gấp rút đối với ngành giáo dục đặc biệt là giáo viên, người trực tiếp thực thi và thực hiện chương trình, việc đổi mới cách thức và phương pháp dạy học đang là một xu thế tất yếu diễn ra. Một trong những phương pháp dạy học quan trong để giúp giáo viên và học sinh thực hiện tốt chương trình giáo dục phổ thông 2018 chính là phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực người học. Trong quá trình dạy và học Toán THPT, học sinh được tiếp cận với rất nhiều khái niệm Toán học cũng như các Định lí Toán học, các kết quả Toán học quan trọng. Một vấn đề đặt ra là làm thế nào để các em hiểu, nhớ và biết vận dụng khái niệm Toán học đó một cách linh hoạt trong nhiều tình huống bài tập Toán học thì đòi hỏi ở người giáo viên phải có một phương pháp tốt một sự trăn trở mỗi khi chuẩn bị bài, trước mỗi tiết học cho các em. Chính giáo viên cũng là người truyền cảm hứng môn học, truyền kiến thức, phương pháp môn học cho các em vì thế nếu trước mỗi khái niệm các em được phân tích, mổ xẻ và nhìn nhận theo nhiều hướng khác nhau sẽ giúp các em hiểu kĩ, hiểu sâu khái niệm từ đó giúp các em biết vận dụng chúng theo nhiều khía cạnh, nhiều góc độ khác nhau trước mỗi tình huống bài tập Toán học đồng thời từ việc biết vận dụng khái niệm Toán học theo nhiều góc độ khác nhau ấy sẽ giúp các em phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, đồng thời giúp các em có khả năng linh hoạt trong suy nghĩ giải quyết các vấn đề thực tiễn cuộc sống. Từ những mục đích nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Tiếp cận, nhìn nhận khái niệm toán học dưới nhiều cách khác nhau để phát triển năng lực tư duy và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông”. 2. Tính mới của đề tài Sáng kiến giúp học sinh phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học góp phần phát huy tính tích cực chủ động và phát triển phẩm chất năng lực toàn diện cho học sinh được thể hiện theo cách riêng biệt mà không trùng với bất cứ giải pháp nào đã được đề cập. 1
Chứng minh tính khả thi và tính hiệu quả khi áp dụng đề tài nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học. 2
PHẦN II. NỘI DUNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lí luận 1.1.1. Năng lực Các nhà tâm lí học cho rằng, năng lực là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng và thái độ có sẵn hoặc ở dạng tiềm năng của một cá nhân, là tổng hợp đặc điểm thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả cao. Hiện nay, quan niệm chung về năng lực được nhiều người thừa nhận là: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” (Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể (tháng 7/2017)). Như vậy: Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học. Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn. Khái quát lại năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công việc có hiệu quả. Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội. Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán; năng lực học tập độc lập và hợp tác”. 1.1.2. Dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực Theo Đặng Thành Hưng (2014): “Bản chất của giáo dục theo tiếp cận phát triển năng lực là lấy năng lực làm cơ sở (tham chiếu) để tổ chức chương trình và thiết kế nội dung học tập. Điều này cũng có nghĩa là năng lực của học sinh sẽ là kết quả cuối cùng cần đạt của quá trình dạy học hay giáo dục. Nói cách khác, thành phần cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các phẩm chất và năng lực của người học. Năng lực vừa được coi là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu giáo dục. Vì vậy, những yêu cầu về phát triển năng lực học sinh cần được đặt đúng chỗ của chúng trong mục tiêu giáo 3
dục”. Dạy học theo tiếp cận năng lực nhấn mạnh: Muốn có năng lực, học sinh phải học tập và rèn luyện trong hoạt động và bằng hoạt động. Mặt khác, các năng lực được hình thành trong quá trình dạy học không chỉ ở nhà trường mà còn dưới tác động của gia đình, xã hội, của chính trị, tôn giáo, văn hóa… “Lấy việc học của h ọc sinh làm trung tâm”, chú ý tới mỗi cá nhân học sinh, giúp họ tự tìm tòi, khám phá, làm chủ tri thức và vận dụng vào giải quyết các tình huống thực tế cuộc sống, qua đó có thể rút ra kinh nghiệm và tri thức cho riêng mình. Kết quả đầu ra của người học, những gì người học làm được sau khi kết thúc chương trình học hoặc kết thúc bài học, nhấn mạnh đến khả năng thực tế của học sinh. Cách học, yếu tố tự học của người học. Thay vì lối dạy truyền thống thầy giảng trò nghe có thể tổ chức cho các nhân tự học, học theo nhóm, học theo sở thích và mối quan tâm riêng của người học,... Giáo viên là người thiết kế, tổ chức và hướng dẫn học sinh tích cực, tự lực thực hiện các nhiệm vụ học tập. Môi trường dạy học phải tạo điều kiện tương tác tích cực giữa học sinh với học sinh, giữa giáo viên với học sinh, thúc đẩy và tạo cho học sinh hiện thực hóa năng lực của mình thông qua quan sát, tìm tòi, khám phá, sáng tạo. Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học (đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học hiện đại) nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực người học. Dạy học theo tiếp cận năng lực toán học nhấn mạnh các đặc điểm: Năng lực Toán học không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà còn cả động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học toán. Muốn có năng lực toán học học sinh phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập môn Toán. Nhấn mạnh đến kết quả đầu ra, dựa trên những gì người học làm được (có tính đến khả năng thực tế của học sinh). Khuyến khích người học tìm tòi, khám phá trí thức toán học vận dụng vào thực tiễn. Đích cuối cùng cần đạt là phải hình thành được năng lực học tập môn Toán ở học sinh. Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của người học. Giáo viên là người hướng dẫn và thiết kế, còn học sinh phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán học của riêng mình. Xây dựng môi trườ ng dạy học tương tác tích cực. Phối hợp các hoạt động tương tác của học sinh giữa các cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động chung cả lớp và hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh trong quá 4
trình dạy học môn Toán. Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ, thiết bị dạy học môn Toán (đặc biệt là ứng dụng công nghệ và thiết bị dạy học) nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực của người học. 1.1.3. Đặc điểm năng lực Toán học Năng lực Toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học. Hiệp hội giáo viên Toán của Mĩ mô tả: “Năng lực Toán học là cách thức nắm bắt và sử dụng nội dung kiến thức toán”. Ở Việt Nam trong những năm gần đây, các nhà nghiên cứu thường nhắc tới quan niệm về năng lực toán học của các nhà giáo dục toán học Đan Mạch và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện khoa học giáo dục Việt Nam). Theo Blomhoj & Jensen (2007): “Năng lực Toán học như khả năng sẵn sàng hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định”. Theo Niss (1999): “Năng lực Toán học như khả năng của các nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)”. Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai cụm. Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học. Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương diện toán. Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập và ứng dụng toán học. Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau. Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát triển cho người học qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông Việt Nam là: Năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học; năng lực độc lập và hợp tác”. 1.1.4. Các thành tố của năng lực Toán học Trước hết, mục đích then chốt của việc học toán là để trở thành những con người “thông minh hơn”, biết cách suy nghĩ, giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống. Muốn vậy, mỗi người cần biết cách “chuyển dịch”, mô tả các tình huống (có ý nghĩa toán học) đặt ra trong thực tiễn phong phú sang một bài toán hay một mô hình toán học thích hợp, tìm cách giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập, từ đó đối chiếu, giải quyết các vấn đề thực tiễn đề ra. Mặt khác, việc giải quyết các vấn đề toán học gắn liền với việc đọc 5
hiểu, ghi chép, trình bày, diễn đạt các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận, phản biện) với người khác, gắn liền với việ sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể. Năng lực học toán bao gồm các thành tố: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ phương tiện học toán. Mỗi thành tố của năng lực toán học cần được biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo. Điều này có độ phức tạp cao và được minh họa trong bảng: Các thành tố của năng lực Các tiêu chí, chỉ báo toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; 1. Năng lực tương tự; quy nạp; diễn dịch. tư duy và lập luận Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trược khi toán học kết luận. Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, 2. Năng lực bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống trong các bài toán mô hình hóa thực tế. toán học Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình thiết lập. Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp. Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học. 3. Năng lực Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn giải quyết đề. vấn đề toán học. Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tương tự. 6
Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra. 4. Năng lực Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý giao tiếp tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác toán học (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác). Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,…) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác. Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện 5. Năng lực khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công sử dụng nghệ thông tin) phục vụ cho việc học toán. công cụ, Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện phương tiện học toán, đặc biệt là phương tiện khoa học công nghệ để tìm học toán tòi khám phá giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi). Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí. 1.1.5. Cấu trúc bài học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực Mô hình dạy học theo tiếp cận phát triển năng lực gồm các bước chủ yếu: Trải nghiệm Phân tích, khám phá, rút ra bài học Thực hành, luyện tập Vận dụng kiến thức, kĩ năng vào thực tiễn. * Trải nghiệm: Để nhận thức được về một đối tượng, một sự việc hay một vấn đề nào đó, người học phải dựa trên vốn kiến thức, vốn kinh nghiệm đã có từ trước. Trong môn Toán, kiến thức hình thành trước thường là cơ sở để hình thành và phát triển những kiến thức tiếp theo. Do đó trong dạy học, giáo viên cần phải tìm hiểu vốn kinh nghiệm và hiểu biết sẵn có của học sinh trước khi học một kiến thức mới và tổ chức cho học sinh trải nghiệm. Sự định hướng và tổ chức các hoạt động của giáo viên là quan trọng, nhưng vốn kiến thức của học sinh, những trải nghiệm của học sinh vẫn là yếu tố quyết định trong việc hình thành kiến thức mới. Trong dạy học dựa trên trải nghiệm giáo viên cần tạo ra các tình huống 7
gợi vấn đề để học sinh được trải nghiệm bằng cách huy động các kiến thức và kinh nghiệm thực tiễn để suy nghĩ, biến đổi đối tượng hoạt động, tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Hoạt động trải nghiệm được thiết kế dựa trên mục tiêu bài học và những kiến thức đã có của học sinh. Hoạt động trải nghiệm sẽ giúp học sinh có hứng thú trong học tập, thôi thúc học sinh khám phá tìm hiểu kiến thức mới. *Phân tích, khám phá, rút ra bài học: Qua hoạt động trải nghiệm, học sinh đã bước đầu tiếp cận được với kiến thức cảu bài học. Do đó, hoạt động phân tích rút ra bài học cần phải được thiết kế với các hình thức tổ chức học tập phong phú giúp học sinh biết huy động kiến thức, chia sẻ và hợp tác trong học tập để thu nhận kiến thức mới. Sau khi học sinh đã phát hiện ra kiến thức mới, giáo viên là người chuẩn hóa lại kiến thức cho học sinh để rút ra bài học. *Thực hành, luyện tập: Hoạt động này cần được thiết kế sao cho mỗi học sinh đều được tự mình giải quyết vấn đề rồi chia sẻ với bạn về cách giải quyết vấn đề. Khi thiết kế hoạt động này, giáo viên cần xác định được những thuận lợi và khó khăn của học sinh, dự kiến được những tình huống học sinh cần sự trợ giúp trong học tập. Hoạt động này giúp học sinh củng cố kiến thức vừa học và huy động, liên kết với kiến thức đã có để thực hiện giải quyết vấn đề. Giáo viên cần tổ chức các hoạt động học tập phong phú để tránh sự nhàm chán cho học sinh. *Vận dụng kiến thức, kĩ năng vào thực tiễn: Mục đích của hoạt động này là giúp học sinh vận dụng được kiến thức, kĩ năng, thái độ đã được tích lũy từ quá trình học tập môn Toán và những kinh nghiệm của bản thân vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn học tập hoặc trong cuộc sống một cách sáng tạo; phát triển cho học sinh năng lực tổ chức và quản lí hoạt động, năng lực tự nhận thức và tích cực hóa bản thân. Giáo viên hướng dẫn học sinh kết nối, sắp xếp, vận dụng các kiến thức kĩ năng đã học để giải quyết vấn đề đặt ra. Giáo viên cũng có thể tổ chức hoặc đưa ra yêu cầu, dự án học tập để học sinh thực hiện theo cá nhân, theo nhóm. Như vậy, Dạy học theo hướng tiếp cận phát triển năng lực người học là cách thức tổ chức quá trình dạy học thông qua một chuỗi các hoạt động học tập tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh, với sự hợp tác của bạn học và sự hướng dẫn, trợ giúp hợp lí của giáo viên, hướng đến mục tiêu hình thành và phát triển năng lực toán học. Quá trình đó có thể được tổ chức theo chu trình bốn bước là: Trải nghiệm Phân tích, khám phá, rút ra bài học Thực hành, luyện tập Vận dụng kiến thức, kĩ năng vào thực tiễn. 1.2. Cơ sở thực tiễn Trong thực tiễn dạy và học Toán cho thấy đây là môn học khó cho đại đa số học sinh nhất là khi mà yêu cầu học sinh làm các bài tập mức độ vận dụng trở lên. Với đối tượng là học sinh trung bình và yếu chúng ta chỉ cần yêu cầu 8
học sinh biết tái hiện kiến thức, các em biết bắt chước các bài tập ví dụ mẫu, làm được các bài tập ở mức độ nhận biết và thông hiểu đã là một thành công nên việc đòi hỏi các em hiểu, vận dụng và nhìn nhận một khái niệm Toán học dưới nhiều cách khác nhau là rất khó khăn. Với đối tượng học sinh trung bình khá và khá về môn Toán chúng ta có thể yêu cầu các em phải làm thành thạo bài tập mức độ 1 và 2 và bước đầu biết vận dụng khái niệm vào giải quyết các bài tập ở mức độ vận dụng. Việc tiếp cận, nhìn nhận khái niệm Toán học dưới nhiều cách khác nhau có thể yêu cầu các em phải thực hiện dưới sự hướng dẫn khá cụ thể của giáo viên. Với đối tượng học sinh giỏi Toán chúng ta yêu cầu học sinh phải làm thành thạo các bài tập đến mức độ vận dụng và giải quyết được cơ bản các bài tập mức độ vận dụng cao. Việc tiếp cận, nhìn nhận khái niệm Toán học dưới nhiều cách khác nhau giáo viên có thể yêu cầu các em ở mức độ tự tìm hiểu, tìm hiểu độc lập với giáo viên trong quá trình tự học. Ở trên lớp công việc này giáo viên cũng có thể đặt ra yêu cầu các em tự tìm hiểu hoặc tìm hiểu có sự trợ giúp của giáo viên dưới dạng gới ý, gợi mở sau đó các em tự giải quyết vấn đề. Như vậy về cơ sở thực tiễn cho việc khả thi của đề tài là hoàn toàn có thể thực hiện được, đồng thời khi triển khai thực hiện đề tài cá nhân tác giả khẳng định rằng với đối tượng học sinh nào các em cũng sẽ thấy được sự hứng khởi nhất định đặc biệt với đối tượng học sinh giỏi các em sẽ rất hào hứng và tích cực qua đó sẽ phát triển năng lực Toán học nói riêng đặc biệt là hai thành tố “năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết các vấn đề toán học” và năng lực tư duy nói chung cho các em giúp các em linh hoạt hơn trong tư duy, trong giải quyết các tình huống thực tiễn cuộc sống. 2. TIẾP CẬN, NHÌN NHẬN KHÁI NIỆM TOÁN HỌC DƯỚI NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU ĐỂ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Trong phần này chúng tôi đưa ra những tình huống là các bài toán cụ thể mà trong đó muốn giải được thì học sinh phải nắm được khái niệm đề cập đến trong bài Toán đồng thời trong mỗi bài Toán đó chúng tôi sẽ dẫn dắt gợi mở giúp học sinh được tiếp cận và nhìn nhận khái niệm đó dưới nhiều cách khác nhau qua đó giúp các em hiểu sâu hơn khái niệm Toán học đồng thời giúp các em phát triển tư duy lôgic và lập luận Toán học, phát triển năng lực giải quyết vấn đề, giúp các em linh hoạt hơn trong các tình huống là các bài Toán thực tế của cuộc sống hàng ngày. 2.1. Bài Toán 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A ( 1;2 ) , B ( −3;1) , C ( 5;2 ) . Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Nhận xét: Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác khi và chỉ khi chúng là ba điểm không thẳng hàng. Như vậy bài Toán gián tiếp đề cập đến khái niệm Ba điểm không thẳng hàng. 9
Cách tiếp cận thứ nhất: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nếu chúng không cùng thuộc một đường thẳng, chẳng hạn điểm A không nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm B và C. Với cách tiếp cận này ta có lời giải: Lời giải: Viết phương trình đường thẳng BC : uuur r Ta có BC = ( 8;1) là VTCP của đường thẳng BC , n = ( 1; −8) là VTPT của đường thẳng BC . Phương trình đường thẳng BC : 1( x − 5) − 8 ( y − 2 ) = 0 � x − 8 y + 11 = 0 . Kiểm tra điểm A không thuộc đường thẳng BC : Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng BC ta thấy 1.1 − 8.2 + 11 = −4 0 � A �BC . Vậy A, B, C không thẳng hàng nên chúng là ba đỉnh của một tam giác. Cách tiếp cận thứ hai: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nếu chúng không cùng thuộc một đường thẳng, chẳng hạn điểm A không nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm B và C điều này đồng nghĩa với khoảng cách từ A đến đường thẳng BC là một số dương. Với cách tiếp cận này ta có lời giải: Lời giải: Phương trình đường thẳng BC là: x − 8 y + 11 = 0 . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC : 1.1 − 8.2 + 11 4 d ( A; BC ) = = >0 12 + ( − 8) 65 2 � A �BC . Vậy A, B, C không thẳng hàng nên chúng là ba đỉnh của một tam giác. Cách tiếp cận thứ ba: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi và chỉ khi uuur uuur hai véc tơ AB và AC không cùng phương. Với cách tiếp cận này ta có lời giải: uuur uuur Lời giải: Ta có AB ( −4; −1) , AC = ( 4;0 ) . 4 0 uuur uuur Do AB và AC không cùng phương. Vậy A, B, C không thẳng hàng −4 −1 nên chúng là ba đỉnh của một tam giác. Cách tiếp cận thứ tư: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi và chỉ khi uuur uuur hai véc tơ AB và AC không cùng phương điều này đồng nghĩa với góc giữa hai uuur uuur véc tơ AB và AC khác 00 và khác 1800. Với cách tiếp cận này ta có lời giải: uuur uuur uuur uuur uuur uuur ( ) AB. AC 16 Lời giải: Ta có AB ( −4; −1) , AC = ( 4;0 ) ; cos AB, AC = uuur uuur = 4 65 > 0 AB . AC uuur uuur ( uuur ) uuur � 00 < AB, AC < 1800 nên AB và AC không cùng phương. Vậy A, B, C không thẳng hàng nên chúng là ba đỉnh của một tam giác. Cách tiếp cận thứ năm: Ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác khi 10
và chỉ khi diện tích miền phẳng giới hạn bới ba đoạn thẳng nối ba điểm đó là một số dương. Với cách tiếp cận này ta có lời giải: Lời giải: Ta có AB = ( −3 − 2 ) 2 + ( 1 − 2 ) 2 = 26 , BC = ( 5 + 3) 2 + ( 2 − 1) 2 = 65 , AB + BC + CA 26 + 65 + 4 ( 5 − 1) + ( 2 − 2 ) = 4 , p = , 2 2 CA = = 2 2 p − AB = 65 + 4 − 26 , p − BC = 4 + 26 − 65 , p − CA = 65 + 26 − 4 . Ta xét số 2 2 2 1135 1135 p ( p − AB ) ( p − BC ) ( p − CA) = > 0 . Vậy S∆ABC = > 0 . 4 4 Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Cách tiếp cận thứ sáu: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một đường cong Parabol. Với cách tiếp cận này chúng ta sẽ chỉ ra có một đường Parabol đi qua 3 điểm A, B, C . Ta có lời giải: Lời giải: Xét parabol y = ax 2 + bx + c, a 0 . Thay tọa độ A, B, C vào phương a+b+c =2 trình y = ax 2 + bx + c, ta có hệ phương trình: 9a − 3b + c = 1 . 25a + 5b + c = 2 1 3 59 Giải hệ ta được a = − ,b = ,c = . Vậy A, B, C cùng thuộc Parabol 32 16 32 1 2 3 59 y=− x + x+ nên chúng không thẳng hàng. Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của 32 16 32 một tam giác. Cách tiếp cận thứ bảy: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một đường tròn.Với cách tiếp cận này chúng ta sẽ chỉ ra có một đường tròn đi qua ba điểm A, B, C . Ta có lời giải: Lời giải: Xét phương trình đường tròn x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b2 − c > 0 . Thay tọa độ A, B, C vào phương trình đường tròn ta có hệ phương trình: 2 a + 4b − c = 5 29 6a − 2b + c = −10 . Giải hệ ta được a = 3, b = − , c = −57 . Vậy A, B, C cùng thuộc 2 10a + 4b − c = 29 đường tròn có phương trình x 2 + y 2 − 6 x + 29 y − 57 = 0 nên chúng không thẳng hàng. Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Cách tiếp cận thứ tám: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi và chỉ khi hai đường thằng AB và BC không trùng nhau. Với cách tiếp cận này ta có lời giả: 11
Lời giải: Phương trình đường thẳng BC là: x − 8 y + 11 = 0 . Phương trình đường thẳng AB là: x − 4 y + 7 = 0 , ta thấy ngay AB và BC là hai đường thẳng cắt nhau vậy A, B, C là ba điểm không thẳng hàng nên chúng là ba đỉnh của một tam giác. Lời bình: +) Trong bài Toán trên ta bàn đến việc chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác là một bài Toán quen thuộc và khá đơn giản đối với học sinh lớp 10 THPT. Bài Toán trên đã gián tiếp đề cập đến khái niệm ba điểm không thẳng hàng. Một cách đơn giản ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi và chỉ khi chùng không cùng thuộc một đường thẳng thế thi với những cách tiếp cận như trên chúng ta đã chỉ ra cho học sinh thấy rằng khái niệm ba điểm không cùng năm trên một đường thẳng sẽ được hiểu trực tiếp rằng có một điểm không thuộc đường thẳng đi qua hai điểm còn lại, đồng thời cũng đã chỉ ra cho học sinh thấy rằng một điểm không thuộc đường thẳng đi qua hai điểm còn lại cũng có nghĩa rằng nó có khoảng cách khác 0 đến đường thẳng đó hoặc nó cùng với hai điểm kia tạo thành một miền phẳng có diện tích khác không. Ở đây tác giả muốn lưu ý thêm rằng, trong cách chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành miền phẳng có diện tích khác 0 chúng ta đã đi tính giá trị biểu thức p ( p − AB ) ( p − BC ) ( p − CA) và thấy nó khác 0 thì mới khẳng định A, B, C tạo thành tam giác chứ không phải thừa nhận A, B, C là ba đỉnh của một tam giác trước rồi mới đi tính diện tích của nó. Ngoài ra, chúng ta cũng đã cho học sinh thấy thêm hai cách tiếp cận, cách nhìn khác về khái niệm ba điểm thẳng hàng đó là: Ba điểm không thẳng hàng cũng đồng nghĩa với chùng cùng thuộc một đường Parabol hoặc một đường tròn. +) Việc cho học sinh tiếp cận với khái niệm ba điểm không thẳng hàng theo nhiều cách, nhiều con đường khác nhau có tác dụng: Giúp các em hiểu sâu hơn về khái niệm, nhớ khái niệm lâu hơn. Các em có cách nhìn phong phú hơn, linh hoạt hơn về khái niệm đó. Giúp các em phát triển tư duy lôgic và lập luận Toán học. Giúp các em có nhiều hướng xử lí, nhiều cách giải cho một bài Toán giúp phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học. Trong quá trình giải bài Toán theo nhiều cách khác nhau cũng gián tiếp cho giúp các em vận dụng các khái niệm khác liên quan đến lời giải. Về mặt thực tiễn cuộc sống: Giúp các em có kĩ năng nhìn nhận, phân tích, mổ xẻ trước các vấn đề của bài Toán thực tế cuộc sống hàng ngày và các em cũng sẽ có được kĩ năng xử lí tình huống, giải quyết tình huống gặp trong cuộc sồng hằng ngày một cách mềm dẻo và linh hoạt. +) Ngoài các cách tiếp cận và nhìn nhận khái niệm ba điểm thẳng hàng đã đề cập ở trên để giải quyết Bài Toán 1, thì chúng ta cũng có thể cho học sinh nhìn nhận bài Toán ở góc độ phản chứng. Chúng ta sẽ đặt câu hỏi cho các em 12
“Giả sử ngược lại ba điểm A, B, C không là ba đỉnh của một tam giác thì dẫn tới điều gì?” và bài Toán bây giờ chuyển về việc kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm A, B, C . 2.2. Bài Toán 2. (BT 11 trang 81 SGK HH12 Nâng cao NXB GD) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D ( −2;1; −2 ) . Chứng minh A, B, C , D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. Nhận xét: Bài Toán đề cập đến khái niệm “Hình tứ diện”. Theo định nghĩa (trang 52 SGK HH11 NXBGD; trang 49 SGK HH11 nâng cao NXB GD) thì: Trong không gian cho bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Hình tạo thành bởi bốn tam giác ABC , ACD , ABD và BCD gọi là hình tứ diện. Các điểm A, B, C , D gọi là đỉnh của tứ diện. Như vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C , D là bốn đỉnh của một tứ diện ta chứng minh chúng không đồng phẳng. Chúng ta sẽ giúp học sinh hiểu khái niệm bốn điểm không đồng phẳng theo nhiều cách tiếp cận và nhìn nhận khác nhau. Cách tiếp cận thứ nhất: Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng nghĩa là có một điểm không nằm trên mặt phẳng chứa ba điểm còn lại, chẳng hạn điểm D không thuộc mặt phẳng ( ABC ) . Ta có lời giải: Lời giải: Viết phương trình mp ( ABC ): uuur uuur r uuur uuur AB, AC �= ( 1;1;1) : là VTPT của mp( ABC AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1) nên n = � � � ). Phương trình mp ( ABC ): x + y + z − 1 = 0 . Thay tọa độ điểm D vào phương trình mp ( ABC ) ta có: −2 + 1 − 2 − 1 = −4 0 � D �mp ( ABC ) nên bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Vậy A, B, C , D là bón đỉnh của một tứ diện. Nhận xét: Việc viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) có thể có nhiều cách khác nữa, chẳng hạn có thể sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn hoặc gọi phương trình mặt phẳng ( ABC ) ở dạng tổng quát ax + by + cz + d = 0, a 2 + b2 + c 2 0 , giải hệ tìm a, b, c, d . Cách tiếp cận thứ hai: Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng nghĩa là có một điểm không nằm trên mặt phẳng chứa ba điểm còn lại, chẳng hạn điểm D không thuộc mặt phẳng ( ABC ) đồng nghĩa với điểm D có khoảng cách khác 0 tới mặt phẳng ( ABC ) . Ta có lời giải: Lời giải: Phương trình mp ( ABC ) : x + y + z − 1 = 0 . Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ABC ) : 13
1. ( −2 ) + 1.1 + 1. ( −2 ) − 1 4 d ( D, mp( ABC ) ) = > 0 suy ra điểm D mp ( ABC ) nên bốn = 1 +1 +1 2 2 3 2 điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Vậy A, B, C , D là bốn đỉnh của một tứ diện. Cách tiếp cận thứ ba: Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng uuur uuur uuur uuur uuur AB, AC , AD không đồng phẳng AB không thể biểu thị theo hai véc tơ AC và uuur AD . Ta có lời giải: uuur uuur uuur Lời giải: Ta có: AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1) , AD = ( −3;1; −2 ) . −1 = − x − 3 y x = −2 uuur uuur uuur Giả sử AB = x AC + y AD � 1 = y � y =1 hệ vô nghiệm. Suy ra 0 = x − 2y x − 2y = 0 uuur uuur uuur AB không thể biểu thị theo hai véc tơ AC và AD nên bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Vậy A, B, C , D là bốn đỉnh của một tứ diện. Cách tiếp cận thứ tư: Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB, AC , AD không đồng phẳng � � AB, AC �AD 0 . Ta có lời giải: � uuur uuur uuur Lời giải: Ta có: AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1) , AD = ( −3;1; −2 ) . uuur uuur uuur uuur uuur �AB, AC �= ( 1;1;1) , � AB, AC �AD = −4 0 suy ra bốn điểm A, B, C , D không � � � � đồng phẳng. Vậy A, B, C , D là bốn đỉnh của một tứ diện. Cách tiếp cận thứ năm: Bốn điểm A, B, C , D là bốn đỉnh của một tứ diện bốn miền tam giác ABC , ABD , ACD và BCD tạo thành một vật thể chiếm chỗ không gian có thể tích khác 0. Ta có lời giải: uuur uuur uuur Lời giải: Ta có: AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1) , AD = ( −3;1; −2 ) . Kiểm tra được không có ba điểm nào trong bốn điểm A, B, C , D thẳng hàng. uuur uuur uuur uuur uuur AB, AC �= ( 1;1;1) , � � AB, AC �AD = −4 � � � � 1 uuur uuur uuur 2 2 suy ra �� AB, AC �AD = >0 � VABCD = > 0 . Vậy A, B, C , D là bốn đỉnh của một tứ � 6 3 3 diện. Cách tiếp cận thứ sáu: Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng khi và chỉ khi có hai bộ mỗi bộ ba điểm trong bốn điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt, chẳng hạn ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt phẳng, ba điểm A, B, D cùng thuộc một mặt phẳng và hai mặt phẳng này khác nhau. Ta có lời giải: uuur uuur uuur Lời giải: Ta có: AB = ( −1;1;0 ) , AC = ( −1;0;1) , AD = ( −3;1; −2 ) . Phương trình mp ( ABC ) : x + y + z − 1 = 0 . uuur uuur AB, AD �= ( −2; −2;2 ) , phương trình mp ( ABD ) : x + y − z − 1 = 0 . � � � 14
Hai mp ( ABC ) và mp ( ABD ) là phân biệt nên bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Vậy A, B, C , D là bốn đỉnh của một tứ diện. Cách tiếp cận thứ bảy: Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng khi và chỉ khi có hai bộ mỗi bộ ba điểm trong bốn điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt, chẳng hạn ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt phẳng, ba điểm A, B, D cùng thuộc một mặt phẳng và hai mặt phẳng này khác nhau điều này cũng có nghĩa là hai mặt phẳng này sẽ tạo với nhau một góc nhọn. Ta có lời giải: Lời giải: ur Phương trình mp ( ABC ) : x + y + z − 1 = 0 , VTPT n1 = ( 1;1;1) . uur Phương trình mp ( ABD ) : x + y − z − 1 = 0 , VTPT n2 = ( 1;1; −1) . ur uur ur uur ( ) n1.n2 1 Cos n1 , n2 = ur uur = � Cos (? n1 . n2 3 ( 1 ABC ) , ( ABD ) = 3 ) (? ( ABC ) , ( ABD ) ) 00 . Vậy bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng nên chúng là bốn đỉnh của một tứ diện. Cách tiếp cận thứ tám: Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng khi và chỉ khi đường thẳng AD nằm ngoài mặt phẳng ( ABC ) điều này cũng đồng nghĩa với góc giữa đường thẳng AD và mp ( ABC ) nhọn. Ta có lời giải: ur Lời giải: Phương trình mp ( ABC ) : x + y + z − 1 = 0 , VTPT n1 = ( 1;1;1) . uuur AD = ( −3;1; −2 ) : VTCP của đường thẳng AD . ur uuur ur uuur ( n1. AD ) 5 Ta có: Cos n1 , AD = ur uuur = 42 � sin AD n1 . AD ? , ( ABC ) = 5 42 ( ) ( ? , ( ABC ) > 00 � AD ) . Vậy bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng nên chúng là bốn đỉnh của một tứ diện. Cách tiếp cận thứ chín: Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng tương đương với hai đường thẳng AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau. Ta có lời giải: x = 1 − t1 uuur uuur Lời giải: Ta có: AB = ( −1;1;0 ) , ptđt AB là y = t1 ; CD = ( −2;1; −3) , ptđt CD z=0 x = −2t2 −2t2 = 1 − t1 uuur uuur là y = t2 . Vì hệ t2 = t1 và AB kCD, ∀k nên hai đường thẳng AB và CD z = 1 − 3t2 1 − 3t2 = 0 chéo nhau. Vậy bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng nên chúng là bốn đỉnh của một tứ diện. Cách tiếp cận thứ mười: Bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng tương 15