Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học: Một số giải pháp rèn kĩ năng giải toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó cho học sinh lớp 4D trường Tiểu học Quảng Châu, thành phố Sầm Sơn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là về phương pháp dạy học dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Phân tích đánh giá và làm rõ nguyên nhân khó khăn và tồn tại trong khi giải dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Đề xuất một số ý kiến để giải dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Thông qua tìm hiểu để có biện pháp cải tiến, khắc phục những tồn tại trong dạy và học giải loại toán này để không nhầm lẫn với dạng khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học: Một số giải pháp rèn kĩ năng giải toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó cho học sinh lớp 4D trường Tiểu học Quảng Châu, thành phố Sầm Sơn

1. Mở đầu 1.1. Lí do chọn đề tài. Trong thời đại ngày nay cuộc cách mạng khoa học công nghệ đang phát triển mạnh mẽ thì nhiệm vụ đặt ra cho nhà trường nói chung và nhà trường Tiểu học nói riêng là phải giáo dục con người một cách toàn diện về đủ các mặt: Tri thức, đạo đức, thể chất,... Mỗi môn học ở Tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển cơ sở ban đầu rất quan trọng của nhân cách con người. Trong các môn học ở Tiểu học, cùng với các môn Tiếng Việt, Tự nhiên xã hội, môn Toán có vai trò và vị trí quan trọng vì: Các kiến thức, kỹ năng của môn Toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng trong đời sống thực tế, cần thiết cho mọi người lao động, hỗ trợ các môn học khác và là bước tiếp theo để học tốt môn Toán ở Trung học cơ sở. Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư duy lôgic, phát triển trí tuệ. Nó có vai trò to lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề có suy luận, có khoa học toàn diện, chính xác, có nhiều tác dụng phát triển trí thông minh, tư duy độc lập sáng tạo, linh hoạt... góp phần giáo dục ý chí nhẫn nại, ý chí vượt khó khăn. Môn Toán giúp HS nhận biết những mối quan hệ số lượng hình không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà HS có những phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống. Toán học là một môn học chiếm thời gian đáng kể trong kế hoạch đào tạo của nhà trường Tiểu học. Không ai có thể phủ nhận khả năng ứng dụng rộng rãi các kiến thức toán học vào cuộc sống, Vì vậy mà toán học đã thu hút được nhiều nhà khoa học, nhà sư phạm nghiên cứu cách dạy cũng như mạch kiến thức toán học cho hiệu quả nhất để vừa đảm bảo được tính phổ thông vừa đảm bảo được tính khoa học. Chương trình toán 4, các bài toán có lời văn được sắp xếp dưới dạng các bài toán điển hình như: Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó, tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Dạy các dạng toán này GV cần hình thành cho HS kĩ năng giải toán bằng phương pháp số học. HS nắm vững được bản chất của dạng toán, tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, giải được bài toán. Từ vị trí và nhiệm vụ vô cùng quan trọng của môn toán vấn đề đặt ra cho người dạy là làm thế nào để giờ dạy học toán có hiệu quả cao, học sinh được phát triển tính tích cực, chủ động sáng tạo trong việc chiếm lĩnh kiến thức toán học. Vậy giáo viên phải có phương pháp dạy học như thế nào để truyền đạt kiến thức và khả năng học bộ môn này tới học sinh Tiểu học ? Sau những năm trực tiếp giảng dạy lớp 4 và lớp 5, tôi thấy HS gặp nhiều khó khăn trong việc giải toán có lời văn. Chẳng hạn là dạng toán: Tìm
2 hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Loại toán này, các em được học ở Tuần 28 của lớp 4, tức là gần cuối học kì 2. Dạng toán này, các em cũng sẽ tiếp tục vận dụng nhiều ở Lớp 5. Đây là một dạng toán điển hình ở Tiểu học. Nhưng vì sao có nhiều em HS lại gặp sai lầm khi học dạng toán này ? Vì sao các em gặp khó khăn khi vận dụng cách giải dạng toán này để giải các bài toán có liên quan ? Vì sao các em giải xong rồi mà không biết kết quả tìm ra là sai hay đúng ?... Những câu hỏi đó đã thôi thúc tôi tìm tòi về những sai lầm của HS, tìm ra những biện pháp để giúp HS làm đúng và làm nhanh mỗi khi gặp dạng toán này. Với mong muốn góp phần nâng cao hiệu dạy học toán ở Tiểu học và khắc phục những lỗi sai của HS, tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu và mạnh dạn đưa ra: Một số giải pháp rèn kĩ năng giải toán về Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó cho học sinh lớp 4D trường Tiểu học Quảng Châu, thành phố Sầm Sơn, năm học 20202021. 1.2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp dạy học dạng toán: "Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó cho HS lớp 4.” Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp dạy học dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Phân tích đánh giá và làm rõ nguyên nhân khó khăn và tồn tại trong khi giải dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Đề xuất một số ý kiến để giải dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Thông qua tìm hiểu để có biện pháp cải tiến, khắc phục những tồn tại trong dạy và học giải loại toán này để không nhầm lẫn với dạng khác. 1.3. Đối tượng nghiên cứu. Một số giải pháp rèn kĩ năng giải toán về Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó cho học sinh lớp 4D trường Tiểu học Quảng Châu, thành phố Sầm Sơn, năm học 20202021. 1.4. Phương pháp nghiên cứu. Nhóm phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc sách tham khảo các tài liệu có liên quan. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra, khảo sát, thực nghiệm, tổng kết kinh nghiệm và các phương pháp khác. 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm. 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm. Từ xa xưa đến nay, toán học được phát minh và phát triển do những nhu cầu thực tế của đời sống con người và do cả nhu cầu của bản thân nó. Toán là một môn học cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp mang tính khoa học sáng tạo, góp phần xây dựng khả năng tư duy logic cho học sinh. Phương pháp dạy học toán ở tiểu học là sự vận dụng các phương pháp dạy
3 học toán nói chung cho phù hợp với mục tiêu, nội dung, điều kiện dạy học ở Tiểu học. Đặc điểm của toán học mang tính trừu tượng cao, khái quát cao, nhưng đối tượng toán học lại mang tính thực tiễn, phương pháp dạy học toán được xem xét trên quan điểm thừa nhận thực tiễn là nguồn góc của sự nhận thức và là tiêu chuẩn của tâm lý. Vì vậy trong quá trình dạy học toán ở Tiểu học GV cần lưu ý: Phải tổ chức hướng dẫn HS vận dụng các kiến thức, kĩ năng đã học vào cuộc sống hàng ngày cũng như các môn học khác, đặc biệt là kiến thức giải toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó cho HS lớp 4. Phải nắm được mối quan hệ giữa toán học thực tế, giữa số học và hình học. Tổ chức các hoạt động thực hành có nội dung gắn liền với thực tế để HS nhận thức đúng những ứng dụng của toán học. 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. * Đặc điểm tình hình của HS lớp thực nghiệm. + Lớp 4D Lớp thực nghiệm GV chủ nhiệm có sức khoẻ bình thường. Trình độ sư phạm: Đại học sư phạm Học sinh: 35 em, trong đó: + Con nông dân: 30 em = 85,7%. + Con cán bộ, công nhân, viên chức: 6 em = 14,3%. + Các em đều ở phường Quảng Châu nhưng ở các khu phố khác nhau. Lớp 4D là lớp tiên tiến của trường, các em học hành chăm chỉ, đạo đức tốt, sức khoẻ tốt, đi học chuyên cần. Tình cảm thầy trò tốt đẹp, GV được HS yêu mến và phụ huynh tín nhiệm. + Lớp 4C Lớp đối chứng GV chủ nhiệm có sức khoẻ bình thường. Trình độ sư phạm: Đại học sư phạm Học sinh: 32 em, trong đó: + Con nông dân: 30 em = 93,7%. + Con cán bộ, công nhân, viên chức: 2 em = 6,3% + Đa số các em đều ở phường Quảng Châu, nhưng có 1 số em ở ngoài phường. Lớp 4C các em học hành chăm chỉ, đạo đức tốt, sức khoẻ bình thường, ít nghỉ học. Để nắm được thực trạng dạy và học dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó ở đơn vị mà tôi đang công tác. Tôi đã dạy và dự giờ thăm lớp các lớp khối 4. * Về phía học sinh:
4 Khi gặp các bài toán có dữ kiện cho ở dạng không tường minh, HS lúng túng do HS không hiểu rõ đề và chưa có kỹ năng phân tích đề toán để đưa dữ kiện về dạng tường minh. Khi vẽ sơ đồ biểu diễn bài toán, HS chưa biết cách biểu diễn cho trực quan dễ hiểu. Mặt khác khi giải toán HS không nhìn vào sơ đồ để giải nên có những bài toán HS giải đúng nhưng sơ đồ vẽ sai hoặc ngược lại. Do kỹ năng phân tích đề toán chưa tốt nên HS lúng túng khi giải các bài toán có dữ kiện có dạng gián tiếp. Khi giải các dạng toán trên HS chưa có ý thức tự tìm hiểu sự khác nhau trong các vận dụng sơ đồ đoạn thẳng do đó chưa hiểu được đặc trưng của sơ đồ đoạn thẳng trong mỗi dạng toán. HS chưa thực sự sáng tạo để đưa ra cách giải tốt nhất cho mình. Các em đang còn tình trạng tóm tắt bằng lời chứ chưa tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng. Nhiều khi, HS chưa nhận biết hết tác dụng của sơ đồ đoạn thẳng dẫn đến hiện tượng sơ đồ vẽ đúng, quy trình giải sai hoặc sơ đồ sai mà giải lại đúng. Đặc biệt một số em nhận thức chậm khi giải quyết vấn đề thế nào là tổng, tỷ số, số lớn, số bé. * Về phía giáo viên: GV trong khi dạy giải toán điển hình chưa biết kết hợp phương pháp dạy học truyền thồng với các phương pháp hiện đại nên chưa xây dựng được quy trình giải toán cho HS và chưa giúp cho HS có kỹ năng phân tích dạng toán. GV chưa nhận thức hết được tầm quan trọng của mỗi phương pháp dạy học, chưa nắm được mặt mạnh, mặt yếu của từng phương pháp. Chính vì vậy mà việc áp dụng các phương pháp một cách máy móc gây ra nhiều hạn chế cho quá trình nhận thức của học sinh. GV nghiên cứu chưa kĩ bài trước khi dạy. Trong lúc dạy còn thiếu sự năng động sáng tạo, còn lệ thuộc vào tài liệu có sẵn. Kiến thức truyền thụ chưa nổi bật trọng tâm, tiết học còn kéo dài mà HS thì không hứng thú trong học tập. GV chưa làm rõ cho HS hiểu về các thuật ngữ toán học: Tổng tỉ. GV chưa chú trọng rèn kỹ năng vẽ sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh. Với những bài toán sơ đồ đoạn thẳng, GV mới chỉ yêu cầu HS tới mức giải từng bài toán cụ thể, chưa tập trung giải các bài toán tương tự. GVchưa khai thác đến mức độ tối đa khả năng sáng tạo của học sinh. GV còn rơi vào tình trạng giảng nhiều làm cho các em tiếp thu bài một cách thụ động và giải quyết vấn đề một cách máy móc. Hình thức tổ chức dạy học còn đơn điệu, nghèo nàn. GV chưa thực sự là người tổ chức hướng dẫn giờ học để HS chủ động chiếm lĩnh tri thức, với những hình thức tổ chức như thế đã ảnh hưởng đến quá trình tiếp thu kiến
5 thức mới của các em, dẫn đến dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó chưa được giải quyết đúng theo như yêu cầu của toán học. Để tìm thêm về thực trạng, tôi đã tiến hành dạy hai tiết dạy của hai lớp 4D (Dạy thực nghiệm) và 4C (Dạy đối chứng), đồng thời sau giờ học tôi đã tiến hành kiểm tra thực nghiệm và đối chứng hai lớp bằng đề kiểm tra sau: Bài 1: Trong vườn có tất cả 15 cây chanh và cam. Số cây cam gấp 4 lần số cây chanh. Hỏi trong vườn có bao nhiêu cây chanh và bao nhiêu cây cam ? 1 Bài 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là 99 và tỉ số của chúng là 10 ? Bài 3: Tuổi mẹ và tuổi con cộng lại là 42 tuổi. Tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ và tuổi con ? Bài 4: Nêu bài toán rồi giải bài toán theo sơ đồ sau: ? con Gà: 36 con gà Vịt: ? con Qua quá trình kiểm tra khảo sát, tôi thu được kết quả như sau: Tóm tắt đúng Giải đúng Đặt đề đúng Bài toán Lớp Lớp Lớp 4D 4C 4D 4C 4D 4C Bài toán 1 85% 83% 83% 80% Bài toán 2 65% 55% 63% 52% Bài toán 3 20% 15% 20% 14% Bài toán 4 72% 70% 80% 75% Từ kết quả khảo sát trên cho thấy về trình độ nhận thức thì hai lớp tương đương nhau. Nhưng so với yêu cầu kỹ năng về giải toán thì đang còn thấp. 2.3. Một số giải pháp rèn kĩ năng giải toán Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của hai số đó. Từ những tồn tại nêu trên ta phải đặt ra câu hỏi: Liệu phương pháp và hình thức dạy học của GV hiện nay đã thể hiện đúng tinh thần đổi mới chưa? Dạy học đã lấy HS làm trung tâm hay chưa ?, dạy học theo hướng tích cực chưa ? GV đã khơi gợi được sự sáng tạo của HS chưa ? Tại sao HS làm bài lại chưa tốt ?... Với những thực trạng trên, chúng ta phải suy ngẫm và đưa ra những điều chỉnh phương pháp dạy học của GV trong giảng dạy giải toán, đặc biệt là trong giảng dạy giải toán điển hình.
6 * Về phía giáo viên: Theo như chương trình sách giáo khoa và sách giảng dạy đã định, GV phải biết vận dụng linh hoạt và sắp xếp nội dung hợp lý, từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó. Áp dụng các hình thức dạy học một cách phù hợp. Đồng thời đưa thêm các dạng toán điển hình vào trong chương trình để vừa củng cố, vừa nâng cao, mở rộng thêm về dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó. Dựa vào dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó và tuỳ vào mục đích, yêu cầu của từng bài cụ thể mà GV phải phối hợp các phương pháp cũng như đa dạng hoá các hình thức tổ chức dạy học theo hướng tập trung vào HS phát huy được tính chủ động sáng tạo gây được hứng thú cho người học. GV phải là người hướng dẫn tổ chức để HS chủ động sáng tạo tích cực lĩnh hội các kiến thức để từ đó áp dụng các kiến thức đó vào thực tế cuộc sống hằng ngày. Giáo viên phải lập kế hoạch, tổ chức hướng dẫn nhẹ nhàng, hợp tác giúp học sinh phát triển năng lực cá nhân của học sinh. Giáo viên và học sinh ảnh hưởng nhau, thích nghi và hỗ trợ nhau. Tạo điều kiện để học sinh hứng thú, tự tin trong học tập. Khi dạy: "Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó", học sinh được học 2 tiết bài mới (tiết 1: "Tỉ số ở dưới dạng số tự nhiên", có nghĩa là so sánh giữa giá trị của số lớn với giá trị của số bé. Tiết 2: "Tỉ số ở dưới dạng phân số") thì học sinh thường bị vướng mắc ở dạng tỉ số là phân số nên giáo viên dạy cần lưu ý nhấn mạnh để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ. Từ mối quan hệ tỉ số là hai số trong bài giáo viên hướng dẫn học sinh tìm ra sự biểu diễn trên sơ đồ tóm tắt bài toán. Đây là loại toán giải khó đối với học sinh lớp 4 nên giáo viên phải giúp học sinh: + Xác định đúng tổng, tỉ số đã cho. + Xác định được hai số phải tìm là số nào ? Từ đó hướng tới phương pháp giải chung là (phương pháp giải bài toán): Tìm tổng số phần bằng nhau; Tìm giá trị của một phần bằng cách lấy tổng của hai số chia cho tổng số phần bằng nhau, rồi dựa vào mối quan hệ giữa tỉ số của hai số của hai số mà tìm ra giá trị của mỗi số phải tìm. Trên cơ sở đó học sinh sẽ nắm cách giải đặc trưng của loại toán này. Để củng cố được kĩ năng và kiến thức của loại toán này, tôi cho các em tự đặt đề toán theo loại toán đó đồng thời chọn các bài toán khó cho học sinh hoàn thành tốt (áp dụng vào tiết luyện tập hay buổi dạy riêng biệt đối với học sinh hoàn thành tốt).
7 Tất cả sự chuẩn bị trên của giáo viên đều được thể hiện cụ thể trên bài soạn đủ các bước, đủ các yêu cầu và thể hiện được công việc của thầy và trò trong giờ giải toán. Để HS nắm chắc được bản chất của dạng toán này, GVcần lưu ý đến các yêu cầu sau: + Làm sáng tỏ các thuật ngữ toán học (Tỉ số Tổng Số lớn Số bé). + Sử dụng linh hoạt phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. + Bằng sơ đồ trực quan để nêu lên mối quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán. + Đưa thêm các dạng toán mẫu mở rộng nâng cao từ dạng toán trên. + Khi hướng dẫn HS giải cần tuân thủ theo các bước sau: Bước 1: Tìm hiểu đề bài. Đọc kỹ đề bài. Xác định yếu tố đã cho. Xác định yếu tố cần tìm. Bước 2: Tìm cách giải. Phân tích các dữ kiện và mối quan hệ giữa chúng. Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Lập kế hoạch giải. Bước 3: Tiến hành giải bài toán. Tìm tổng số phần bằng nhau. Tìm số bé. Tìm số lớn. Bước 4: Kiểm tra, đối chiếu Thử lại kết quả và đối chiếu với yêu cầu của bài toán. 2.3.1: Hướng dẫn học sinh xác định đúng Tổng của bài toán. Hướng dẫn HS xác định cho đúng: Thế nào là tổng của hai số ? (Tổng của 2 số là do hai số cộng lại với nhau) Tổng của hai số được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau, có dạng tường minh, có dạng chưa tường minh. Trong quá trình dạy học, giáo viên cần giới thiệu để học sinh làm quen rồi nhận ra. Sau đây là một số ví dụ: * Ví dụ: Bài toán cho tổng ở dạng tường minh, học sinh dễ nhận ra hơn. Tổng của hai số bằng 100. Số thứ nhất cộng với số thứ hai bằng 90. Cả hai kho có tất cả 150 tấn gạo. Tổng số tuổi của hai mẹ con là 45 tuổi. ............
8 * Ví dụ: Bài toán cho tổng ở dạng chưa tường minh, mức độ gây khó. Tổng của hai số là số lớn nhất có hai (ba, bốn,...) chữ số. Tổng của hai số là số bé nhất có hai (ba, bốn,...) chữ số. Nửa chu vi của một hình chữ nhật là 1m 20cm. Tổng số đo hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật là 6dm 5cm. ........... * Ví dụ: Bài toán cho tổng ở dạng chưa tường minh nhưng mức độ khó hơn. Tổng của hai số là số lớn nhất (hoặc bé nhất) có ba chữ số khác nhau. Tổng của hai số là số chẵn (lẻ) lớn nhất (hoặc bé nhất) có ba chữ. Chu vi của một hình chữ nhật là 7dm 2cm. Trung bình cộng của hai số là 75, số lớn gấp đôi số bé. Tìm hai số đó. ............ 2.3.2: Hướng dẫn học sinh xác định đúng Tỉ số, Số bé, Số lớn của bài toán. Hướng dẫn HS xác định cho đúng: Thế nào là tỉ số của hai số ? (Tỉ số của 2 số là kết quả của phép chia số bé chia cho số lớn hoặc số lớn chia cho số bé) Giúp học sinh nắm chắc khái niệm “Tỉ số” là một việc làm cực kì cần thiết. Đây là khái niệm mới, trừu tượng mà lại phát biểu theo nhiều cách nói khác nhau, có dạng tường minh, có dạng chưa tường minh. Trong quá trình dạy học, giáo viên cần giới thiệu để học sinh làm quen rồi nhận ra. Sau đây là một số ví dụ minh họa: * Ví dụ: Tỉ số được phát biểu dưới dạng số tự nhiên đã tường minh. Tổng của hai số là 60, số lớn gấp 4 lần số bé. Tìm hai số đó. Kho A và kho B có tất cả 45 tấn gạo. Số gạo ở kho A gấp đôi số gạo ở kho B. Tìm số gạo trong mỗi kho. Cả hai hộp có 72 cái bút. Nếu giảm số bút ở hộp đỏ đi 3 lần thì ta được số bút trong hộp xanh. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu cái bút ? Cả hai can có tất cả 80 lít dầu. Nếu gấp số dầu ở can thứ nhất lên 4 lần thì ta được số dầu trong can thứ hai. Hỏi mỗi can có bao nhiêu lít dầu ? Một sợi dây dài 28m được cắt thành hai đoạn, đoạn thứ nhất dài gấp 3 lần đoạn thứ hai. Hỏi mỗi đoạn dài bao nhiêu mét ? * Ví dụ: Tỉ số được phát biểu dưới dạng phân số đã tường minh. 2 Tổng của hai số bằng 65, số bé bằng số lớn. Tìm hai số đó. 3 1 Một hình chữ nhật có chu vi là 7dm 2cm, chiều rộng bằng chiều 5 dài. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. Tổng của hai số là 100. Nếu lấy số thứ nhất chia cho số thứ hai ta 3 được . Tìm hai số đó. 2
9 ……… * Ví dụ: Tỉ số được phát biểu dưới dạng chưa tường minh. Tổng của hai số là 70, số lớn gấp rưỡi số bé. Tìm hai số đó. Tổng của hai số là 198. Nếu ta viết thêm chữ số 0 vào bên phải số thứ hai thì ta được số thứ nhất. Tìm hai số đó. Quyển sách có 120 trang. Biết 2 lần số trang đã đọc bằng 3 lần số trang chưa đọc. Tìm số trang đã đọc, số trang chưa đọc. 1 1 Tổng của hai số bằng 760. Biết số thứ nhất bằng số thứ hai. 2 3 Tìm hai số đó. ……… 2.3.3: Hướng dẫn học sinh sử dụng linh hoạt phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. Sau khi HS đã nhận đúng tổng, nhận đúng tỉ số thì hướng dẫn HS cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn minh họa cho bài toán. Dạng toán này, bước vẽ sơ đồ vô cùng quan trọng. Khi học sinh vẽ đúng có nghĩa là HS đã hiểu đúng được nội dung bài toán và nó thể hiện đặc trưng của bài toán. Nhìn vào sơ đồ, ta đã nhận ra được các yếu tố đã cho, các yếu tố cần tìm. Vẽ sơ đồ bài toán là tiện cho việc giải bài toán chứ không phải là vẽ sơ đồ để trưng bày. Điều này trong thực tế dạy học, tôi đã bắt gặp rất nhiều em biết vẽ sơ đồ đúng nhưng không biết dùng nó để giải cho xong bài toán. * Ví dụ minh họa: 2 Bài toán 1: Tổng của hai số bằng 65, số bé bằng số lớn. Tìm hai số 3 đó. Phân tích bài toán: Ta thấy bài toán có tổng, có tỉ số tường minh rồi. Số bé ta kẻ 2 phần bằng nhau; Số lớn ta kẻ 3 phần như thế. Ta có sơ đồ: ? Số bé: 65 Số lớn: ? Bài toán 2: Tổng của hai số là 60, số lớn gấp 4 lần số bé. Tìm hai số đó. Phân tích bài toán: Ta thấy bài toán có tổng, có tỉ số tường minh rồi. Số lớn ta kẻ 4 phần bằng nhau; Số bé ta kẻ 1 phần như thế. Ta có sơ đồ: ? Số bé: 60
10 Số lớn: ? Bài toán 3: Tổng của hai số là 70, số lớn gấp rưỡi số bé. Tìm hai số đó. Phân tích bài toán: Ta thấy bài toán có tổng, có tỉ số chưa tường minh. 3 Ta đổi: Gấp rưỡi = 2 Số lớn ta kẻ 3 phần bằng nhau; Số bé ta kẻ 2 phần như thế. ? Ta có sơ đồ: Số bé: Số lớn: 70 ? 1 1 Bài toán 4: Tổng của hai số bằng 760. Biết số thứ nhất bằng số 2 3 thứ hai. Tìm hai số đó. Phân tích bài toán: Ta thấy bài toán có tổng, có tỉ số chưa tường minh. 1 1 Biết số thứ nhất bằng số thứ hai, nghĩa là số thứ nhất được chia 2 3 thành 2 phần bằng nhau còn số thứ hai được chia thành 3 phần như thế. Lấy 2 mỗi số 1 phần ta được 2 phần bằng nhau. Hay suy ra số thứ nhất bằng số 3 thứ hai. Số bé ta kẻ 2 phần bằng nhau; Số lớn ta kẻ 3 phần như thế. ? Ta có sơ đồ: Số thứ nhất: 760 Số thứ hai: ? 2.3.4: Hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài toán theo quy trình 4 bước. * Ví dụ minh họa: 2 Bài toán 1: Tổng của hai số bằng 65, số bé bằng số lớn. Tìm hai số 3 đó. Bước 1: Tìm hiểu đề. GV gọi HS đọc kĩ đề bài; Xác định các yếu tố đã cho (Tổng = 65, tỉ số = 2/3) Xác định các yếu tố cần tìm (Tìm số bé, tìm số lớn)
11 Bước 2: Tìm cách giải. Phân tích các dữ kiện và mối quan hệ giữa chúng (Số bé bằng 2/3 số lớn) Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng (Số bé gồm 2 phần, số lớn gồm 3 phần) Lập kế hoạch giải. ? Ta có sơ đồ: Số bé: 65 Số lớn: ? Bước 3: Tiến hành giải bài toán. Tìm tổng số phần bằng nhau. Tìm số bé. Tìm số lớn. (hoặc ngược lại) Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 2 + 3 = 5 (phần) Số bé là: 65 : 5 x 2 = 26 Số lớn là: 65 26 = 39 Đáp số: Số bé: 26; Số lớn: 39 Bước 4: Kiểm tra, đối chiếu Đây là bước rất quan trọng để HS xác định được việc giải đúng hay sai. Tổng của hai số = Số bé + Số lớn = 26 + 39 = 65 26 26 Tỉ số của hai số = Số bé : Số lớn = 26 : 39 , rút gọn phân số ta 39 39 2 được . 3 Vậy bài toán đã giải đúng. * Rút ra cách giải dạng toán Tổng tỉ số. Từ việc phân tích bài toán và tìm ra cách giải của bài toán trên, hướng dẫn HS tổng hợp lại các bước giải dạng toán này, như sau: ? Bài toán trên ta giải bằng mấy bước ? (4 bước) ? Đó là những bước nào ? Bước 1: Vẽ sơ đồ Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau Bước 3: Tìm số bé (hoặc số lớn) Bước 4: Tìm số còn lại
12 Bài toán 2: Một hình chữ nhật có chu vi là 8dm 4cm, chiều rộng bằng 1 chiều dài. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. 6 Bước 1: Tìm hiểu đề. GV gọi HS đọc kĩ đề bài; 1 Xác định các yếu tố đã cho (Chu vi = 8dm 4cm, Chiều rộng = chiều 6 dài) Xác định các yếu tố cần tìm (Diện tích của hình chữ nhật) Bước 2: Tìm cách giải. Phân tích các dữ kiện và mối quan hệ giữa chúng (Chu vi = 8dm 4cm, ta cần phải đổi ra đơn vị cm bằng 84cm; Tổng bằng nửa chu vi của hình chữ nhật, ta lấy 84 : 2 = 42cm, 42cm là tổng; tỉ số: Chiều rộng = 1/6 chiều dài) Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Lập kế hoạch giải (Tìm nửa chu vi Vẽ sơ đồ Tìm chiều rộng Tìm chiều dài Tìm diện tích) Ta có sơ đồ: ?cm Chiều rộng: Chiều dài: 42cm ?cm Bước 3: Tiến hành giải bài toán. Đổi đơn vị đo. Tìm nửa chu vi của hình chữ nhật. Vẽ sơ đồ cho bài toán Tìm tổng số phần bằng nhau. Tìm số bé (Chiều rộng …) Tìm số lớn (Chiều dài …) Tìm diện tích của hình chữ nhật Bài giải Đổi: 8dm 4cm = 84cm Nửa chu vi hình chữ nhật là: 84 : 2 = 42 (cm) Ta có sơ đồ: ?cm Chiều rộng: Chiều dài: 42cm ?cm Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
13 1 + 6 = 7 (phần) Chiều rộng của hình chữ nhật là: 42 : 7 = 6 (cm) Chiều dài hình chữ nhật là: 42 6 = 36 (cm) Diện tích của hình chữ nhật là: 36 x 6 = 216 (cm2) Đáp số: 216cm2 Bước 4: Kiểm tra, đối chiếu Đây là bước rất quan trọng để HS xác định được việc giải đúng hay sai. Tổng của hai số = Số bé + Số lớn = 6 + 36 = 42 (cm) 6 6 Tỉ số của hai số = Số bé : Số lớn = 6 : 36 , rút gọn phân số ta 36 36 1 được . 6 Vậy bài toán đã giải đúng. * Bài toán 3: Năm nay, tổng số tuổi của bố và con là 42 tuổi. Tuổi bố gấp 6 lần tuổi con. Tính tuổi của mỗi người hiện nay ? Với bài toán trên GV hướng dẫn HS tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. ? tuổi Tuổi con: Tuổi bố: 42 tuổi ? tuổi Tổng số tuổi của hai người bằng tổng số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng. Tìm số tuổi của mỗi người. Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 6 = 7 (phần) Tuổi con hiện nay là: 42 : 7 = 6 (tuổi) Tuổi bố hiện nay là: 42 6 = 36 (tuổi) Đáp số: Con 6 tuổi và bố 36 tuổi. Thử lại: Tổng số tuổi của bố và con là 42 tuổi: (36 + 6 = 42 tuổi) Tuổi bố gấp 6 lần tuổi con: (36 : 6 = 6 lần) Trên đây là một số ví dụ thường gặp về dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Đôi khi gặp các bài toán mẫu có tính chất nâng cao, đòi hỏi GV phải phối hợp linh hoạt hơn các bước giải toán trên. *Về phía học sinh
14 Đọc kĩ đề toán trước khi giải. Xác định đúng dạng toán “Tìm 2 số biết tổng và tỉ số của 2 số đó”. HS phải hiểu rõ các thuật ngữ (Tổng, tỉ số, số lớn, số bé) Học sinh phải tham gia vào các hoạt động học tập một cách tích cực, hứng thú, tự nhiên và tự tin. Trách nhiệm của học sinh là phát hiện, chiếm lĩnh và vận dụng. * DẠY THỰC NGHIỆM ĐỐI CHỨNG Được tiến hành qua hai tiết dạy sau: + Lớp 4D (thực nghiệm) + Lớp 4C (đối chứng) Tiết 1: BÀI TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ SỐ CỦA HAI SỐ ĐÓ 1. Mục tiêu: Biết cách giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của 2 số đó. Làm bài 1 trang 147. 2. Phương pháp và hình thức tổ chức dạy học: Phương pháp trực quan. Phương pháp giảng giải. Phương pháp nêu vấn đề. Hình thức tổ chức (Nhóm Tổ Cá nhân … ). 3. Hoạt động lên lớp: 3.1. Kiểm tra: Tính nhẩm: Gọi HS lên bảng làm: a 8 6 12 b 2 2 3 a + b 8 + 2 = 10 a : b 8 : 2 = 4 a gấp mấy lần b 4 lần b : a 2 : 8 = 1/4 b bằng một phần mấy của a 1/4 Sau khi làm bài xong GV đặt câu hỏi nhìn vào kết quả em cho cả lớp biết một ví dụ về bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số. a + b = 8 + 2 = 10 thì 8 + 2 là tổng ; 10 là tổng của 8 và 2. a : b = 8 : 2 = 4; 4 là tỉ số giữa 8 và 2; Tỉ số đó cho biết quan hệ gấp số lần. 3.2 Bài mới: a) Đặt vấn đề:
15 Bài toán 1: Đoạn thẳng AB và đoạn thẳng CD có độ dài tổng cộng là 15cm. Đoạn thẳng AB dài gấp 4 lần đoạn thẳng CD. Tính độ dài của mỗi đoạn thẳng. Bước 1: GVcho HS đọc kỹ đề toán. Nêu ra được các yếu tố của bài toán. Câu hỏi gợi mở nêu vấn đề Dự kiến trả lời của học sinh Đoạn thẳng AB và đoạn CD dài tất cả 15 cm bao nhiêu cm ? Đoạn thẳng AB dài gấp mấy lần đoạn 4 lần thẳng CD ? Đoạn AB gồm mấy phần ? 4 phần Đoạn CD gồm mấy phần ? 1 phần Để bước này đạt kết quả cao, GV phải đưa ra các kiến thức, câu hỏi mang tính chất gợi mở hướng dẫn để HS đi sâu vào tìm hiểu nội dung của bài toán. Bước 2: Hướng dẫn HS nêu ra được mối quan hệ giữa các dự kiện và tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Câu hỏi gợi mở nêu vấn đề Dự kiến trả lời của học sinh Nhìn vào sơ đồ thì đoạn thẳng AB và đoạn thẳng CD có tổng là mấy phần ? 5 phần 5 phần đó ứng với mấy cm ? 15 cm 1 phần thì ứng với mấy cm ? 3 cm Đề bài yêu cầu tìm gì ? Tính độ dài đoạn AB và đoạn CD Tổng của hai số đó là bao nhiêu ? 15 Tỉ số của hai số đó là bao nhiêu ? 4 : 1 hay 1 : 4 = 1/4 Bước 3: Lập kế hoạch giải. Câu hỏi gợi mở nêu vấn đề Dự kiến trả lời của học sinh Muốn tìm tổng số phần bằng nhau 4 + 1 = 5 phần ta làm như thế nào ? Muốn tính độ dài đoạn CD ta làm Lấy tổng chia cho tổng số phần như thế nào ? 15 : 5 = 3 cm Muốn tính độ dài đoạn AB ta làm Lấy độ dài đoạn CD nhân với 4 như thế nào ? 3 x 4 = 12 cm Cho hai HS lên bảng làm: ?cm
16 Đoạn CD: Đoạn AB: 15 cm ?cm Bước 4: Kiểm tra. Thử lại kết quả: 12 + 3 = 15 ; 12 : 4 = 3 Bài toán 2: Hà và Lan nuôi được 8 con gà. Số gà của Hà gấp 3 lần số gà của Lan. Hỏi mỗi bạn nuôi mấy con gà ? Tương tự như bài 1, sau khi HS tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng, GV hướng dẫn HS giải bài toán. ? con Số gà của Hà: Số gà của Lan: 8 con ? con Bài giải Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 1 = 4 (phần). Số gà của Lan là: 8 : 4 = 2 ( con ). Số gà của Hà là: 2 x 3 = 6 ( con ). Đáp số: Hà có 6 con gà; Lan có 2 con gà. b) Bài tập tại lớp. Bài 1: Số lớn gấp mấy Tổng gồm mấy Cho hai số Tổng của hai số lần số bé lần số bé 10 và 2 10 + 2 = 12 10 : 2 = 5 (lần) 5 + 1 = 6 15 và 5 49 và 7 72 và 12 Bài 2: Cả tuổi Mẹ và tuổi Con là 42 tuổi. Tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ, tuổi con ? GV hướng dẫn HS tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng và hướng dẫn giải tương tự như các bài toán khác. Lưu ý khắc sâu kiến thức về cách giải dạng toán trên.
17 *Kiểm tra trắc nghiệm. Bài toán: Một đàn gà có 45 con gồm cả gà trống và gà mái. Số gà mái nhiều gấp 4 lần số gà trống. Tính số gà mỗi loại ? Yêu cầu thực hiện: a) Em hãy điền chữ Đ vào ô trống mà em cho là có kết quả đúng nhất. Tỉ số của số gà mái so với số gà trống là 4 : 1 Đây là dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Đây là dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó. Số bé ứng với số gà trống cần tìm. Số lớn ứng với số gà mái cần tìm. Hai số phải tìm là gà trống. b) Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng rồi giải Tiết 2: LUYỆN TẬP 1. Mục tiêu: Giải được bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Làm bài 1, 2 trang 148. 2. Các hoạt động dạy học chủ yếu: a) Kiểm tra: Gọi HS lên bảng làm bài tập 3 (SGK trang 148) b) Luyện tập tại lớp. Gọi HS lên bảng làm bài tập 2, cả lớp làm bài 1; 2. Bài 2: Một người đã bán được 280 quả cam và quýt, trong đó số cam 2 bằng số quýt. Tính số cam, số quýt đã bán ? 5 * Hướng dẫn HS tóm tắt và giải: ? quả Số quả quýt: Số quả cam: 280 quả ? quả Tổng số phần bằng nhau là: 5 + 2 = 7 (phần) Số quả cam là: ( 280 : 7) x 2 = 80 (quả) Số quả quýt là: 280 80 = 200 (quả). Đáp số: 80 quả cam và 200 quả quýt Bài tập về nhà: Bài số 3, 4. Bài kiểm tra trắc nghiệm (15 phút) Cho hai bài toán sau:
18 Bài toán 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 240m, chiều 1 rộng bằng chiều dài. Tính diện tích mảnh vườn đó ? 5 Bài toán 2: Chiều dài của mảnh vườn gấp 5 lần chiều rộng và hơn chiều rộng 80m. Tính diện tích của mảnh vườn đó ? Yêu cầu thực hiện: Em hãy cho biết bài toán nào là bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó và giải bài toán đó ? 2.4. Hiệu quả của việc rèn kĩ năng giải toán Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cho học sinh lớp 4D. + Đối với học sinh: Các em đã có thói quen đọc kĩ đề và xác định đúng dạng toán trước khi giải. Học sinh hiểu rõ các thuật ngữ: Tổng tỉ số lớn số bé. Học sinh xác định đúng: Tổng tỉ số lớn số bé. Học sinh không còn lúng túng khi gặp các bài toán giải có lời văn. Học sinh nắm vững được các bước cơ bản để giải bài toán dạng tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của 2 số. Thông qua thực tế hai tiết dạy học bằng phương pháp và hình thức thực nghiệm, tôi đã thu được kết quả như sau: Tóm tắt đúng Giải đúng Điền đúng Bài toán 4D 4C 4D 4C 4D 4C Phần a 100% 95% 100% 90% 95% 90% Phần b 100% 90% 98% 90% 100% 95% + Đối với giáo viên: Áp dụng các hình thức dạy học một cách phù hợp. Đồng thời đưa thêm các dạng toán điển hình vào trong chương trình để vừa củng cố, vừa nâng cao, mở rộng thêm về dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Giáo viên phải là người hướng dẫn tổ chức để học sinh chủ động sáng tạo tích cực lĩnh hội các kiến thức để từ đó áp dụng các kiến thức đó vào thực tế cuộc sống hằng ngày. Để học sinh nắm chắc được bản chất của dạng toán này, giáo viên cần lưu ý đến các yêu cầu sau: + Làm sáng tỏ các thuật ngữ toán học (Tỉ số Tổng Số lớn Số bé ). + Sử dụng linh hoạt phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. + Bằng sơ đồ trực quan để nêu lên mối quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán. + Đưa thêm các dạng toán mẫu mở rộng nâng cao từ dạng toán trên. + Đánh giá học sinh thường xuyên, biểu dương những học sinh có tiến bộ để khích lệ tinh thần học tập của các em.
19 3. Kết luận, kiến nghị. 3.1. Kết luận. Qua quá trình thực hiện đề tài: Một số giải pháp rèn kĩ năng giải toán về Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó cho học sinh lớp 4D trường Tiểu học Quảng Châu, thành phố Sầm Sơn, năm học 20202021 đã giúp tôi cũng như các đồng nghiệp học tập được nhiều điều bổ ích. Trước hết từ cơ sở lí luận của đề tài giúp cho tôi xác định đúng được vị trí của việc giải toán tìm 2 số biết tổng và tỉ của 2 số ở lớp 4 trong giải toán có lời văn ở Tiểu học cũng như trong dạy toán. Hơn nữa, từ thực trạng dạy giải toán tìm 2 số biết tổng và tỉ của 2 số cho HS lớp 4, giúp tôi cũng như các đồng nghiệp khắc phục được những sai lầm, tồn tại hiện nay, góp phần bé nhỏ của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy học. Kết quả thực nghiệm làm cơ sở cho các biện pháp khắc phục những tồn tại trong dạy giải toán nói chung cũng như trong dạy giải toán tìm 2 số biết tổng và tỉ của 2 số ở lớp 4 nói riêng, cụ thể: Về phương pháp dạy học, đề tài giúp tôi có được sự kết hợp hài hoà giữa những phương pháp truyền thống và đổi mới phương pháp trong dạy toán tìm 2 số biết tổng và tỉ của 2 số ở Tiểu học. Về nội dung dạy học, đề tài giúp tôi và đồng nghiệp xây dựng nội dung dạy học giải toán một cách hệ thống, khoa học, có tác dụng khắc sâu kiến thức và phương pháp giải toán. Từ kết quả đó đề tài giúp tôi và đồng nghiệp có thêm những kinh nghiệm khác nhằm nâng cao chất lượng dạy học trong giải toán ở Tiểu học 3.2. Kiến nghị. * Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo: Thường xuyên tổ chức các buổi hội thảo chuyên môn, chuyên đề trong toàn thành phố để các giáo viên của các nhà trường có điều kiện gặp gỡ, trao đổi học tập lẫn nhau về chuyên môn nghiệp vụ. Tích cực tham mưu với cấp trên nhằm hỗ trợ cho các nhà trường về cơ sở vật chất, hỗ trợ điều động con người để các nhà trường có đủ số lượng giáo viên đứng lớp. Từ đó góp phần quan trọng đến việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. * Đối với nhà trường và đồng nghiệp: GV cần kết hợp linh hoạt giữa phương pháp truyền thống và phương pháp dạy học hiện đại, cụ thể: Khi dạy nội dung kiến thức mới, GV nên đặt ra tình huống có vấn đề để HS tự phát hiện kiến thức mới trong hoạt động tư duy sáng tạo của bản thân học sinh, giờ học sẽ sôi nổi hơn vì HS thực sự hứng thú học tập.
20 Trong dạy giải toán: Sau khi HS giải bài toán trong sách giáo khoa, GV có thể phát triển đề toán bằng cách: GV thay đổi số liệu đối tượng của bài tập rồi yêu cầu HS giải. Giáo viên yêu cầu học sinh nhìn và tóm tắt, tự đặt đề rồi giải (đối với HS hoàn thành tốt). Sử dụng phương pháp nêu vấn đề để xây dựng quy trình giải các bài toán trên. GV cần rèn luyện thêm kỹ năng phân tích đề từ những bài toán cơ bản giúp cho HS có cơ sở để giải các bài toán mở rộng nâng cao. Xây dựng hệ thống bài tập có cùng một phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng HS theo trình tự logic. GV có thể xây dựng ra phiếu học tập cho học sinh. Để đạt được kết quả cao phải có sự kiên trì bền bỉ. Thời gian không phải một tuần, hai tuần là học sinh sẽ có khả năng giải toán tốt, mà đòi hỏi phải tập luyện trong một thời gian dài học tập của các em. Giáo viên chỉ là người hướng dẫn, đưa ra phương pháp, còn học sinh sẽ là người đóng vai trò hoạt động tích cực tìm ra tri thức và lĩnh hội tri thức rồi biến nó là vốn tri thức của bản thân. Trong quá trình thực hiện đề tài, chắc chắn đề tài không tránh khỏi hạn chế, kính mong bạn bè đồng nghiệp chân thành góp ý xây dựng để đề tài hoàn thiện hơn, hiệu quả hơn, góp phần vào nhiệm vụ giáo dục nâng cao chất lượng toàn diện cho học sinh. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn! Sầm Sơn, ngày 19 tháng 4 năm 2021 XÁC NHẬN Tôi xin cam đoan đây là SKKN của CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ mình viết, không sao chép nội dung của HIỆU TRƯỞNG người khác. NGƯỜI VIẾT Nguyễn Khắc Hồi Mai Đức Tuấn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa Toán 4 NXB Giáo dục Việt Nam. 2. Sách giáo viên Toán 4 NXB Giáo dục Việt Nam. 3. Sách Toán Bồi dưỡng học sinh lớp 4 NXB Giáo dục Việt Nam.