zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

SỬ DỤNG HÀM NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN THỐNG KÊ

Chia sẻ: Le Nhu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Báo xấu

87
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

C3. HÀM NHIỀU BIẾN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn)Rn:n d( x, y ) (...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SỬ DỤNG HÀM NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN THỐNG KÊ

C3. HÀM NHIỀU BIẾN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi  R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi  R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. 1
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn)  Rn: n 2 d( x, y )   ( xi  yi ) i1 Một số tính chất của d: a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  xi = yi, I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y) 2
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận: Cho x0Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x  Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0. Điểm trong: Điểm x0Rn được gọi là điểm trong của D  Rn nếu D chứa một lân cận của x0. Điểm biên: Điểm x0  Rn được gọi là điểm biên của D  Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 3
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D  R2, một ánh xạ f: D  R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: f : ( x, y )  z  f ( x, y ) • D: miền xác định • f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z  1  x2 y2 z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) Hàm n biến: D  Rn, một ánh xạ f: D  R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: f : ( x1, x 2,...xn )  z  f ( x1, x 2,...xn ) 4
C3. HÀM NHIỀU BIẾN 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M0(x0,y0), có thể không xác định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M0) <  => f(M) – L <  d(M, M0 )  (x - x0 )2  (y - y 0 )2 lim f ( x, y )  L lim f (M)  L lim f ( x, y )  L x  x0 MM0 ( x,y )( x0 ,y 0 ) y  y0 5
C3. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. sin( x 2  y 2 ) xy lim Ví dụ: lim x2  y2 x2  y2 ( x,y ) ( 0,0 ) ( x,y )( 0,0 ) 6
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) ( x,y )( x 0 ,y0 ) Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D  R2 thì: • Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 7
C3. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0)  D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M0. Ký hiệu: f z ' fx ( x0 , y0 ), ( x 0 , y 0 ), ( x0 , y0 ) x x Đặt xf = f(x0 + x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0. xf ' fx  lim  x  0 x 8
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. yf ' fy  lim y 0 y Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4 32 4 z  x  5 x y  2y u  xy 9
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2.   f   2f   f   2f '' ''  fyx ( x, y )   2  fxx ( x, y )   y  x  yx x  x  x   f   2f   f   2f '' ''  fxy ( x, y )  fyy ( x, y )     x  y  xy y  y  yy Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… 10
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0. Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3) 11
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng: z f u f v z f u f v     x u x v x y u y v y Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y 12
C3. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. Ví dụ: xy – ex + ey = 0 13
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: Fx y'   Fy Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 14
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0. Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: Fy z z Fx   y Fz x Fz Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z) 15
C3. HÀM NHIỀU BIẾN 4. CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận  của M0 sao cho f(M)  f(M0), M   (f(M)  f(M0), M  ). F(M0) gọi chung là cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 16
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi định thức Hessian: z xx z xy H z yx z yy z xx z xy Đặt: H1  z xx, H2  z yx z yy • Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0: z đạt cực đại z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x3 + y3 17
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2…xn). Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = … fx1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt fij  fxix j f11 f12 ... f1n Ta có định thức Hessian: f11 f12 f21 f22 ... f2n H1  f11 , H2  ,...Hn  f21 f22 ... ... ... ... fn1 fn2 ... fnn • Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z 18
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện. Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên. Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì: L x  fx  gx  0  L y  fy  gy  0  L  c  g( x, y )  0  là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng. 19
C3. HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1. 2 2 z  1 x  y Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c. Hàm Lagrange L = f + (c-g) L1  f1  g1  0 L  f  g  0 2 2 2  .......... .......... .... L  f  g  0 n n n L  c  g  0  20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.