Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này tiến hành xét bài toán phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra. Chứng minh sự được tồn tại nghiệm của phương trình ứng với các điều kiện của hạch K (x,y) chỉ ra được dạng nghiệm tương ứng. Xét được tính chất bình phương liên tục của nghiệm, thiết lập sự tồn tại của hàm hiệp phương sai Rf (x1 ,x2 ) của nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra Existence, solution properties of the linear random integral equation Fredholm and Volterra forms Nguyễn Thị Huệ Email: minhhuesaodo@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 02/7/2020 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 28/9/2020 Ngày chấp nhận đăng: 30/9/2020 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra. Chứng minh sự được tồn tại nghiệm của phương trình ứng với các điều kiện của hạch K (x,y) chỉ ra được dạng nghiệm tương ứng. Xét được tính chất bình phương liên tục của nghiệm, thiết lập sự tồn tại của hàm hiệp phương sai Rf (x1,x2) của nghiệm. Từ khóa: Phương trình tích phân; phương trình tích phân Fredholm; phương trình tích phân Volterra; hạch; hàm giải thức; hàm hiệp phương sai. Abstract In this paper, we consider the following linear random integral equation Fredholm and Volterra forms. To prove the existence of the solution of the equation to the conditions of kernel K (x,y) indicating the corresponding solution. Considering the average square of the solution, establish the existence of the covariance function Rf (x1,x2) of the solution. Keywords: Integral equation; the integral equation Fredholm form; the integral equation Volterra form; kernel; solver function; covariance function. 1. GIỚI THIỆU Sự tồn tại, tính duy nhất, dạng biểu diễn và các tính chất nghiệm của các dạng phương trình tích phân. Nhiều vấn đề trong toán học cũng như các bài toán thực tế của cơ học, vật lý, kỹ thuật dẫn đến phương Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào phương trình mà các hàm chưa biết nằm dưới dấu tích trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng phân, đó chính là dạng phương trình tích phân. Lý Fredholm và dạng Volterra tương ứng là: b thuyết tổng quát về các loại phương trình tích phân tuyến tính được xây dựng từ cuối thế kỉ XIX đầu thế ò f ( x,w ) - K ( x, y ) f ( y ,w ) dy = g ( x,w ) . a (1) kỉ XX, chủ yếu là trong các công trình của Volterra, x Fredholm và Hilbert. Trong các tài liệu [4, 5, 6, 7], các tác giả đã trình bày tổng quát về phương trình ò f ( x,w ) - K ( x, y ) f ( y ,w ) dy = g ( x,w ) . a (2) tích phân tuyến tính dạng tất định. Tuy nhiên, khi cả hàm cần tìm và các yếu tố đã cho trong phương Trong đó: trình tích phân đều chứa biến ngẫu nhiên thì được x ≥ 0, w là một điểm của Ω; lớp phương trình tích phân ngẫu nhiên. g (t, w) là hàm ngẫu nhiên xác định với x ≥ 0, w ∈ Ω; Nghiên cứu về bài toán về phương trình tích phân f (t, w) là hàm ngẫu nhiên chưa biết với x ≥ 0; ngẫu nhiên ta thường quan tâm đến các vấn đề: hạch ngẫu nhiên K (x,y) xác định với 0 ≤ x ≤ y
NGÀNH TOÁN HỌC - ( W, F ,P ) là không gian xác suất, đo được. các đại lượng ngẫu nhiên zn đôi một không tương quan với kì vọng 0 và dãy hàm tất định fn ( t ) sao - L2 [a,b] là không gian các hàm thực bình phương cho "t Î [a; b] ta có khai triển sau: khả tích trên [a,b]. ¥ Định nghĩa 1 (Xem [2]): x (t ) = m (t ) + åx f n= n n (t ) Quá trình ngẫu nhiên {x ( t )} là họ các biến ngẫu Trong đó: tÎT nhiên { x ( t ) : t Î T } được xác định trên không gian xác suất ( W, F ,P ) với tham số t của tập chỉ số T . - m(t) là hàm trung bình của x (t); Biến ngẫu nhiên x (t) có các đặc trưng như: Kì - Dãy fn ( t ) là cơ sở trực chuẩn của L2 [a,b] và là vọng, phương sai, hàm tự tương quan... các hàm riêng của toán tử tích phân A: L2 [a,b] → L2 [a,b] cho bởi: Định nghĩa 2 (Xem [2]): b Cho x (t) t ∈ T là một quá trình ngẫu nhiên. Khi đó: ò Ax ( t ) = K ( s, t ) x ( s ) ds a - Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên {x ( t )}tÎI Ở đó: là m (t ) = Ex (t ), t ÎT . K (s,t) là hàm tự tương quan của x (t). - Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên Exn = 0, Var xn = ln {x (t )} là: tÎI Trong đó: K ( s, t ) = cov ëé x ( s ) , x ( t ) ûù = Ex(s )x(t ) - m(s )m(t ). ln là giá trị riêng của A ứng với hàm riêng fn ( t ) - Hàm hiệp phương sai của hai quá tình ngẫu nhiên Sự hội tụ của chuỗi (1.37) là hội tụ trong L2 . x (s ), y (t ), s,t ÎT là: Định nghĩa 3 (Xem [2]): R ( s, t ) = cov éë x ( s ) , y ( t ) ùû Hàm g (x,w) với x Î [a, b] là hàm bình phương liên = E é x (s ) - E ( x (s ) ) y (t ) - E ( y (t ) ) ù . ( )( ) tục nếu g (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn ë û điều kiện: Định lí 1 (Xem [2]): ì1. E g x,w 2 < ¥, " x Î a, b . Hàm ngẫu nhiên x (t), t ∈ T = [a,b] là hàm L2 khả ïï { ( ) } [ ] tích trên T khi và chỉ khi hàm trung bình m (t) khả í 2 tích trên T và hàm tự tương quan K (s,t) khả tích { } ï2. lim g ( x + h,w ) - g ( x,w ) = 0, "x Î [a, b ]. ïî h ®¥ trên T × T. Khi đó ta có: Nghiệm của phương (1); (2) là một hàm ngẫu nhiên b b b f (x,w), mà tính chất ngẫu nhiên của nó phụ thuộc ò a ò a ò E x ( t ) dt = Ex ( t ) dt = m ( t ) dt ; a vào tính chất ngẫu nhiên của hàm g (x,w). b bb Ta có định lý về nghiệm của phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên. ò Var x ( t ) dt = òò K (s,t ) dsdt ; a aa Định lí 3: æb d ö bd Nếu èa ò c ò Cov ç x ( t ) dt, x ( t ) dt ÷ = ç ÷ ø òò K (s,t ) dsdt. ac i. K ( x, y ); x, y Î [a, b] là hạch Fredholm và K ( x, y ) < 1 . Nếu x (t ),t ÎT = [a; b], y ( t ),t ÎT = [c;d ] là L2 khả ii. g (x,w) với x, y Î [a, b];w Î W là hàm ngẫu nhiên tích trên T = [a,b] thì bậc hai thỏa mãn điều kiện bình phương liên tục. Khi đó: Hàm f (x,w) được xác định bởi: éb ù éd ù bd ò ò E ê x ( t ) dt ú ê y ( t ) dt ú = òò Ex (s ) y (t ) dsdt ; b êa ë ú êc ûë ú û ac ò f ( x,w ) = g ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy a (3) éb d ù bd Với x, y Î [a, b];w ÎW và G ( x, y ) là giải thức liên kết ë ò c ò cov ê x ( t ) dt , y ( t ) dt ú = êa ú û òò cov éë x (s ), y (t )ùû dsdt. ac với K (x,y) sẽ là nghiệm của phương trình Fredholm (1) trên [a,b] × Ω. Định lí 2 (Xem [2]): Chứng minh: (Khai triển Karunen-Loève) cho x (t), t ∈ T = [a,b] là hàm ngẫu nhiên L2 liên tục. Khi đó tồn tại dãy Đối ứng từ phương trình (1) là: Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 71
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC bæb ö 2 òò ç G x, y g y ,w dy ÷ dx ç aèa ÷ ø b bæb b ö ò g ( x,w ) = f ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy a (4) òò 2 2 < ç G ( x, y ) dy g ( y ,w ) dy ÷dx ç ÷ ò aèa a ø Trong đó: b bb 2 2 G ( x, y ) là giải thức liên kết với K (x,y) được xác = ò g ( y ,w ) dy . òò G ( x, y ) dxdy < ¥ ( h.c.c ) . định như sau: a aa ¥ Cuối cùng, ta chỉ ra rằng hàm ngẫu nhiên f (x,w) G ( x, y ) = - å K ( ) ( x, y ) n =1 n (5) được xác định bởi (4) thỏa mãn phương trình ngẫu (1) Với K ( x, y ), K ( 2) ( x, y )... được xác định quy nạp nhiên Fredholm (1) trên [a,b] × Ω hầu chắc chắn. như sau: Xét sự độc lập: 1 b K ( ) ( x, y ) = K ( x, y ) ; b ò K ( x, y ) + G ( x, y ) - K ( x, z ) G ( z, y ) dz = 0. (7) K ( 2) ( x, y ) = ò K ( x, z ) K ( z, y ) dz; a Nhân cả hai vế (7) với g (x,w) và lấy tích phân trên a [a,b], ta được: Tổng quát: b b æ b ö K (n) ( x, y ) = ò K ( n -1) ( x, z ) K ( z, y ) dz, n = 3,4.... òa ç è a ò g ( y ,w ) ç K ( x, y ) + G ( x, y ) - K ( x, z ) G ( z, y ) dz ÷ dy = 0. ÷ ø a Với giả thiết K ( x, y ) < 1 thì giải thức liên kết loại Khi sắp xếp lại, được kết quả là: Neumann (5) là hội tụ tuyệt đối. b bb Từ g (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn ò g ( y ,w ) K ( x, y ) dy - òò K ( x, z ) G ( z, y ) g ( y,w ) dzdy a aa (8) điều kiện bình phương liên tục ta có: b ò b 2 = - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy . ò g ( x, w ) a dx < ¥ (h.c.c). (6) b a 2 Từ hàm giải thức G ( x, y ) là một hạch L2 trên [a,b], Từ ò G ( x, y ) g ( y , w ) dy Î L2 [a, b ], ( h.c.c ) và từ suy ra: a K ( x, z ) Î L2 [a, b ], "x Î [a, b ] ta có: b 2 ò G ( x, y ) b b dy < ¥, "x Î [a, b ]. a òa ò K ( x, z ) dz G ( x, y ) g ( y ,w ) dy < ¥ a ( h.c.c ) . b Do đó, tích phân ò a G ( x, y ) g ( y ,w ) dy tồn tại trên Áp dụng kết quả của định lý Tonelli cho tích phân thứ 2 trong vế trái của (8) ta được: [a,b] × Ω. Từ đó, ta có thể kết luận rằng: bb b f ( x,w ) = g ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ò òò K ( x, z ) G ( z, y ) g ( y,w ) dzdy aa (9) a b æb ö Là định nghĩa tốt trên [a,b] × Ω. = ò a çò K ( x, z ) ç G ( z, y ) g ( y ,w ) dy ÷dz. èa ÷ ø Bây giờ ta chứng minh rằng b Với tích phân đầu trong vế trái của (8), ta đổi biến ò G ( x, y ) g ( y ,w ) dy Î L2 [a, b ] từ y sang z và sử dụng (9) thì ta viết lại được (8) a như sau: Với hầu hết mọi "w Î W . b æ b ö Ứng dụng bất đẳng thức Holder’s, ta có: ò a è a ò K ( x, z ) ç g ( z,w ) - G ( z, y ) g ( y ,w ) dy ÷ dz ç ÷ ø 2 æb ö b 2 b 2 b ç èa ò ÷ ø a a ò ç G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ÷ < G ( x, y ) dy g ( y ,w ) dy . ò ò = - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy . a Do đó: Sử dụng định nghĩa của f (x,w) cho bởi (3), biểu thức trên trở thành: 2 bæb ö b b òò ç G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ÷ dx ç aèa ÷ ø a a ò K ( x, z ) f ( z,w ) dz = - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy . ò (10) bæb b ö 2 2 aèa òò ç G x, y dy g y ,w dy ÷dx ç a ÷ ø ò 72 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 b bb 2 2 òg a y ,w dy . òò G aa x, y dxdy ¥ h.c.c .
ìæ b 2 ïç ö üï NGÀNH TOÁN HỌC E í G x, y g y ,w dy ÷ ý ç ïè a ÷ ø ïþ ò î Viết lại (10) và sử dụng định nghĩa của f (x,w) ta có: b ìï b üï 2 2 ò b K ( x, z ) f ( z,w ) dz a îï a þï ò < G ( x, y ) dy E í g ( y ,w ) dy ý < ¥ ò a b Với "x, y Î [a, b] , từ g (x,w) liên tục trong ò = g ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy - g ( x,w ) a hình vuông.ìæ Như vậy,b nó theo sau từ ö (3) ü là = f ( x,w ) - g ( x,w ) . { 2 ï } ç g x 1, w - E f ( x,w ) ïìïèçæ£ ¥, "x Î [aab, b] , thiết lập sự ÷öøtồn G xò1 , y g y , w dy ÷ ï ïü tại ï Tức là, biểu thức (10) tương đương với phương Rf x1, x2 của hàm hiệp E ïíç g x1,w - G x1, y g y ,w dy ÷ ïý ïïìæç phương sai ïè ò bb R (x ,x ). Phép tính a f 1 2 ÷öö ïü của øï trình Fredholm (1). Chú ý: Kết quả của Định lí 3 dễ dàng đặc biệt hóa Rfhàm x1, xR2 (x E f ,x ï 1 2ïç ïç í) là ïîïèèæ ì g tính æ x12,,wwtrực -- G b G tiếp. b x xò 1, 2 , y Từ y g g (12) yy, w , wvà dy dy(3)÷÷ ïýïta có: ÷÷ö ïïö ü øø÷ þï÷ ï E ïíçïìgç gx2x,1w,w- - G òò aa Rf x1, x2 G x x , , y y g g y y, w, w dydy ï với phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên ç ïîèæxïèï ç æ b b 21 ÷öïý÷öø ïüï E g x , w g , w òò ï ç g x , w - a a G x , y g y ,w dyø þ÷ ï Volterra (2). Rf x1, x2 1 E 2 ( ) ( ïçíïgç x2 ,1w - Gb x2 ,1y g y ,w dy ÷ ï÷ ýï ) ( ) ç ï æ ÷ ö E (gxìï,xx1,w) =gE ïîèxïè2 ,w b a ü ø ïþø÷ ïïý Khi đó, nghiệm của (2) có dạng: R f 1 2 - E íg x1,w çæG x2 , y g y ,w dy ýò ò íç g x2 ,w -a b G x2 , yï g y ,w dy ï ÷ö x E g ìîï x1,w g xïîïab èç2 ,gw( x ,w ) - a G ( x , yüþï) g ( y ,w ) dy ø÷ ïþï ò f ( x,w ) = g ( x,w ) - G ( x, y ) g ( y ,w ) dy . (11) - E íg x1,w ïçG x22, y g y ,w dy ò ò 2 ý ÷ï E ìïg x1,w gîbbèx2 ,w a üïïþ øþ a î ï ò a - E íg x12,,w G x , y g y , w dy Hệ quả: = E {ìg ì( x1,ww) g b( xG b ,x 2 w )} 21 ýü ï ï ïüþ ï òò Nếu K (x,y) là một hạch Volterra trên [0, r ] ´ [0, r ], r > 0 î ígìígx2x,1w,w b G G x , y g y ,w dy -E a a -E b x1,2y g y ,w dy ý ü ý và nếu g (x,w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai trên [0,∞] ì ïì bï î b ü þï ýþ ï ï üï òò -E îï g x ,wa G x2 , y ) g ( y ,w ) dy a -EEïíígíG x(x21,1,wy )gGb yx,(w × Ω, liên tục trên hình vuông [0,r] × [0,r] mà thỏa ïìîE bïò ïîa îìï a 1, ydy g b y G , wx ò 2 dy , y ý g ï ïþ þüï y , w dy ý. ïü mãn phương trình ngẫu nhiên Volterra thì hàm ngẫu nhiên f (x,w) được xác định bởi (11) trên [0,∞] - ò g x , w ò E í ìíG x1,2y g b y ,w 1dy G x2 , y güý y ,w dy þý . a G x , y ag y ,w dy ò Rf x-1ïîìï,Exa2ïíîg ( xRg,w x) 1a,G x2 x , y ag y ,w dy ïþ ïþüï b b × Ω thỏa mãn phương trình (2) trên [0,∞] × Ω. ò ò E í Gb x1,2y g y ,(w 1dy) Gb( x2 ,)y gý y ,w dy ý . ò Rf xb1ïî, xaìï2îï Rg x1a, x2 þï ïþ üï Vấn đề chỉ ra dạng nghiệm của phương trình tích ò ò - EGìí bxG2 , yx1,Ey gg xy1,,ww dy ò g byG,w x2 ,dy y g y ,w dy ý. a phân ngẫu nhiên tuyến tính Fredholm - Volterra đã b ï üï Rf +xa1E, xî2a G (R g x1, x2 y ) g ( y ,w ) dy ýþ . ò ò ò a được giải quyết. - Gí x2 , yx1,Ey ) gg ( xy1,,ww) dy g yG,w( x2 ,dy Rfb a x1îï, xa2 b Rg x1, x2 a þï 3. KẾT QUẢ CHÍNH - òò - GbG x1x,2y, yEEg gy ,xw1,wg gx2y,w Rfb ( x1, x2 ) = Rg ( x1, x2 ) ,w dy dy òò - a- Gb xG1, xy2 ,Ey gE yg,wx1g,w xg2 ,wy ,w dy dy a Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về tính chất của nghiệm của phương b a òò a- ( G ( x2 , y ) E {g ( x1,w ) g ( y ,w )} dy ) trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính Fredholm - b-b bG x1, y E g y ,w g x2 , w dy a Volterra. òò ò - a-G xG1, yx1 ,Gy xE bb b 1 , y E 2 2g y ,w g g x 1 x , w2 w dydy1dy 2 , w g x , 2 - òò -G (xG,(yx ,Gy x) E, y{g (Ey ,gw )xg,w aa 3.1. Hàm hiệp phương sai của nghiệm bb aa ò a 1 11 2 ( xg,wx )},w) dydy dy 2 1 2 2 1 2 Định lí 4: òò G x , y G x ,by E g x ,w g x ,w dy dy a - bb 1 1 2 2 1 2 1 2 Nếu hàm ngẫu nhiên f (x,w) là nghiệm của (1), (2) R(gG (xx1,, yx2) G-( xò G - òò aa x2 ,{yg (R ) g1,(yx ,dy x g,w x w )}) dy dy bb 1 b ,y )E 1 2 2 1 2 1 2 theo Định lí 3 thì hàm hiệp phương sai của f (x,w) RgG xx1,, yx2 G-xò G - òò aa a 2 , yg R , y xE x g,w xg1, yx ,dy w dy dy được xác định bởi: 1 1 b 2 2 1 2 1 2 ò aa a =bRg ( x1, x2 ) - Gb ( x2 , y ) Rg ( x1, y ) dy Rf ( x1, x2 ) = E {f ( x1,w ) f ( x2 ,w )}, x1, x2 Î [a, b ]. (12) Chứng minh: ò b b ò - GRgx1,xy1, xR2g -ay,xG2 xdy 2 , y Rg x1, y dy Để thiết lập sự tồn tại của hàm Rf (x1,x2), ta chứng ò b ò - a GR( gx1,xy1,) xR2g (-y,x a G2 )xdy 2 , y Rg x1, y dy - ò G x , y R y,x dy a a 2 { tỏ rằng E f ( x,w ) } £ ¥,"x Î [a,b] , nghĩa là f (x,w) b bb 1 g 2 là hàm ngẫu nhiên bậc hai. --òòò G( Gx( x, y, y R) G (y,x a b bb 11 x , y dy 1 g ) R ( y , y ) ) dy dy . 2 2 2 g 1 2 1 2 òòò GGxx, y, y R G y,x a aa -- 11 1 g x , y dyR y , y dy dy . 2 2 2 g 1 2 1 2 Từ bất đẳng thức bất đẳng thức Holder’s: Đặt bb - òò G x , y G x , y R y , y dy dy . a aa b 1 1 2 2 1 2 1 2 H ( x , x ) = R ( x , x ) - ò G ( x , y ) R ( x , y ) dy . 2 bb g æb ö b b - òò G x , y G x , y R y , y dy dy . a a1 2 g 1 2 2 g 1 2 2 çò ç G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ÷ < ÷ ò G ( x, y ) ò dy g ( y ,w ) dy Phép bb 1 1 2 a2 g 1 2 1 2 èa ø a a - òòtính aa G đơnx , y giản 1 1 G xdưới , y đây R biểu y , ydiễndycho 2 dyR. (x ,x ) 2 g 1 2 1 2 f 1 2 Và của hàm hiệp phương sai R (x ,x ) đặt trong hàm g 2 aa 1 2 ngẫu nhiên g (x,w): ìæ b ö üï b ïç ïçè a ò E í G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ÷ ý ÷ ï ø þ Rf ( x1, x2 ) = H ( x1, x2 ) - G ( x2 , y ) Rg ( x1, y ) dy ò î a b 2 ï ìb 2 üï ò a G x, y dy E í g y ,w dy ý ¥ Tạp chí Nghiên ò ïî a cứu khoa học, ïþ Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 73
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Với hàm g (x,w) là liên tục trong hình vuông, hàm 3.2. Sự bình phương liên tục của nghiệm hiệp phương sai của nó Rg (x1,x2) là hàm đối xứng Bây giờ ta chứng tỏ rằng nghiệm ngẫu nhiên f (x,w) không âm liên tục trên [a,b] × [a,b]. Do đó, từ định là bình phương liên tục nếu hạch K (x,y) của toán lý Mercer: tử tích phân là liên tục. ¥ Rg ( x1, x2 ) = ål f n =1 n n ( x1 ) fn ( x2 ). (13) Định lý 5. Trong (13), φn(x) là dãy hàm số đặc trưng của Cho K (x,y) là hạch Fredholm trên [a,b] × [a,b] và Rg (x1,x2) và λn là dãy các giá trị riêng liên kết. G ( x, y ) biểu thị cho liên kết giải thức. Nếu K (x,y) b liên tục trên [a,b] × [a,b] thì nghiệm f (x,w) của b ò lnfn ( x ) = Rg ( r , x ) fn ( r ) dr , x Î [a, b ] a phương trình tích phân (1) là bình phương liên tục trên [a,b]. ò Rg r , x fn r dr , x Î ba, b Chứng minh: a b ò = fm ( x ) fn ( x ) dx = d xm´n . a Đặt x0 Î [a, b] . Từ (3) và ứng dụng của bất đẳng ò = fm x fn xỞdx a đó,= d xm´n . là delta Kronecker. thức Minkowski: 1 Đặt æ E f x,w - f x ,w 2 ö 2 b ç è { ( ) ( 0 ) ÷ ø } ò xn (w ) = g ( x,w ) fn ( x ) dx, n = 1,2,3.... a 1 æ g ( x, w ) - g ( x , w ) 2 ö2 Biến ngẫu nhiên xn (w ) được xác định từ ç 0 ÷ b ç = E b ÷ 2 ò g ( x, w ) 2 dx < ¥ (h.c.c) và hàm đặc trưng liên tục ç çç a ò( + g ( y ,w ) ´ ( G ( x, y ) - G ( x0 , y ) ) dy ÷ ÷÷ ) a è ø ¥ trên [a,b]. Trình tự xn (w )n =1 là trực giao trên Ω và 1 < æç E g ( x,w ) - g ( x0 ,w ) ö÷ 2 2 "x Î [a, b] : è { ø } ¥ 1 1 å ln2xn (w )fn ( x ) æ ìb ç ï 2 üö2 ï÷ ò n =1 + ç E í g ( y ,w ) ( G ( x, y ) - G ( x0 , y ) ) dy ý ÷ . Là đại diện cho g (x,w) với nghĩa sau: ç ïa ï÷ 2ü è î þø ì N 1 ï ï lim E í g ( x,w ) - n ®¥ ï å ln2 xn (w ) fn ( x ) ý = 0. ï Từ g (x,w) là bình phương liên tục. 2 î n =1 þ { lim E g ( x,w ) - g ( x0 ,w ) x ® x0 } = 0. Đặt y n ( x ), n = 1,2,3... là nghiệm của phương trình Từ đây, nó biểu diễn là: tích phân (xác định): 2 b b ò y n ( x ) - K ( x, y )y n ( y ) dy = fn ( x )y n ( x ) a lim x ® x0 ò g ( y,w ) ( G ( x, y ) - G ( x , y )) dy a 0 = 0. (14) b Ứng dụng của bất đẳng thức Holder: ò = fn ( x ) - G ( x, y )y n ( y ) dy . b 2 a Như trước G ( x, y ) , là giải thức của hạch K (x,y) ò ( g ( y,w ) ´ ( G ( x, y ) - G ( x , y ))) dy a 0 Fredholm (hoặc Volterra). Nó có thể chứng tỏ b b f (x,w) là nghiệm của (1), nhận y n ( x ) làm đại diện 2 2 trực giao. < ò g ( y ,w ) a ò dy . G ( x, y ) - G ( x0 , y ) dy . a ¥ 1 f ( x,w ) = å ln2xn (w )y n ( x ), x Î [a, b ]. Từ g (x,w) là bình phương liên tục, n =1 ìï b 2 üï Mà theo sau nó là hàm hiệp phương sai Rf (x1,x2) nhận y n ( x ) làm đại diện trực giao. ò E í g ( y ,w ) dy ý = M < ¥. ïî a ïþ Vậy Do đó: ¥ ìb 2ü Rf ( x1, x2 ) = ål y n n ( x1 )y n ( x2 ). ï ò( ï E í g ( y ,w ) ´ ( G ( x, y ) - G ( x0 , y ) ) dy ý ) n =1 ïa ï î þ b 2 M. G x, y - G x0 , y dy . 74 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, a ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 ò
ìb 2ü ï ï NGÀNH TOÁN HỌC ò E í g y , w ´ G x, y - G x 0 , y ïa dy ý ï î þ b 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO ò < M. G ( x, y ) - G ( x0 , y ) dy . a [1] Đặng Hùng Thắng, (2013), Xác suất nâng cao, Bởi vậy, nó còn được biểu diễn là: Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội. b [2] Nguyễn Duy Tiến, (2005), Các mô hình xác 2 lim x ® x0 ò G ( x, y ) - G ( x0 , y ) dy = 0. suất và ứng dụng – Phần II – Quá trình dừng a và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Với ε > 0, giả thiết K (x,y) liên tục trên [a,b] × [a,b] Hà Nội. do đó giải thức G ( x, y ) cũng liên tục trên [a,b] × [3] Cấn Văn Tuất (2005), Phương trình vi phân và [a,b]. Từ G ( x, y ) liên tục đều trên [a,b] × [a,b], ta có phương trình tích phân, Nhà xuất bản Đại học thể chọn d > 0 mà: sư phạm. b 2 [4] Bharucha-Reid A.T, (1972), Random Integral ò G ( x, y ) - G ( x , y ) a 0 dy < e Equations, Academic Press NewYork. Với x - x0 < d . Điều này thiết lập (14). [5] T.A.Burton (1983), Volterra Intergral and Diferential Equations, Academic Press, New York. 4. KẾT LUẬN [6] Ram.P.Kanwal (1971), Linear Intergral equations: theory and technique, Academic Bài báo trình bày được các điều kiện tồn tại Press, New York. nghiệm, xác định dạng nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm [7] William Vernon Lovitt (1950), Linear và dạng Volterra. Sử dụng tính chất bình phương Intergral equations, Dover Pub Publications liên tục của hàm g (x,w) và tính liên liên tục của Inc, New York. hạch K (x,y) xét được tính bình phương liên tục của [8] F.G.Tricomi (1957), Intergral equations, nghiệm, chỉ ra hàm hiệp phương sai của nghiệm. Interscience Publishers, Inc, New York. [9] P.A. Cojuhari, (2013), Random Integral Hướng mở rộng kết quả của bài báo là xét phương Equations On Time Scales, AGH University of trình tích phân ngẫu nhiên không tuyến tính. Tìm Science and Technology Press. điều kiện tồn tại nghiệm, tính duy nhất của nghiệm ngẫu nhiên và sự hội tụ ổn định của nghiệm phương trình tích phân ngẫu nhiên không tuyến tính. THÔNG TIN TÁC GIẢ Nguyễn Thị Huệ - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu): + Năm 2008: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán học - Đại học Vinh. + Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê - Trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN. - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ. - Lĩnh vực quan tâm: Nghiên cứu toán lý thuyết và các ứng dụng của toán trong các ngành kỹ thuật. - Điện thoại: 0977944536. - Email: minhhuesaodo@gmail.com. Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 3 (70) 2020 75