Tài liệu ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng “Tài liệu ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY  TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2022 - 2023 (HỌC KÌ II) Họ và tên: ....................................... Lớp: ............................................... Tài liệu lưu hành nội bộ 1
PHẦN GẢI TÍCH .............................................................................................................................. 3 CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ................................................ 3 BÀI 1. NGUYÊN HÀM ................................................................................................................. 3 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm ........................................ 3 VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm  f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số ................................... 4 VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ........................ 5 VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp .................................................. 5 BÀI 2. TÍCH PHÂN ...................................................................................................................... 7 VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm ............................................. 8 VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số ........................................................ 9 VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần ........................................ 10 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối ............................................. 10 VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ ............................................................................ 11 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác................................................................... 12 VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit .............................................................. 13 BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ............................................................................................. 13 VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng ..................................................................................... 14 VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể............................................................................................... 15 BÀI 4. ÔN TẬP TÍCH PHÂN .................................................................................................... 15 CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC .......................................................................................................... 17 BÀI 5. SỐ PHỨC ......................................................................................................................... 17 VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia ............................................... 18 VẤN ĐỀ 2: Tập hợp điểm ........................................................................................................ 19 BÀI 6. ÔN TẬP SỐ PHỨC ......................................................................................................... 19 PHẦN HÌNH HỌC .......................................................................................................................... 20 CHƯƠNG III : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN...................................... 20 BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ................................................................................. 20 BÀI 2. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ......................................................................... 20 VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm ................................................... 22 VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích. ............................................................................................................................................ 23 VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu ............................................................................................ 23 VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu............................................................. 25 BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ................................................................................. 25 VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng ................................................................................ 26 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ....................................................................... 28 VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng. ........................................................................................................................................ 29 VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................ 29 VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ...................................................................................................................................... 30 Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng ......................................................................................... 31 BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ........................................................................... 31 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng ............................................................................. 33 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng .................................................................. 37 VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng .................................................. 38 VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu ...................................................... 39 1
VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách ..........................................................................................................39 VẤN ĐỀ 6: Góc.........................................................................................................................41 VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác ................................................................................................41 Bài tập ôn phương trình đường thẳng ........................................................................................43 2
PHẦN GẢI TÍCH CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1. NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu: F '( x ) = f ( x ) , x  K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:  f ( x )dx = F ( x ) + C , C  R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất •  f '( x )dx = f ( x ) + C •   f ( x )  g( x )dx =  f ( x )dx   g( x )dx •  kf ( x )dx = k  f ( x )dx (k  0) 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp •  0dx = C x ax •  a dx = + C (0  a  1) •  dx = x + C ln a •  cos xdx = sin x + C  x +1 •  x dx = + C, (  −1) •  sin xdx = − cos x + C  +1 1 1 •  dx = ln x + C •  dx = tan x + C x cos2 x •  e x dx = e x + C 1 •  dx = − cot x + C 1 1 sin2 x • dx = − + C x2 x 1 1 ax + b •  cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a  0) •  eax + b dx = e + C , (a  0) a a 1 1 1 •  sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a  0) •  dx = ln ax + b + C a ax + b a 4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu  f (u)du = F (u) + C và u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì:  f u( x ) .u '( x )dx = F u( x ) + C b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:  udv = uv −  vdu VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Câu 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1 2x4 + 3 x −1 a) f ( x ) = x 2 – 3 x + b) f ( x ) = c) f ( x ) = x x2 x2 ( x 2 − 1)2 1 2 d) f ( x ) = e) f ( x ) = x + 3 x + 4 x f) f ( x ) = − 3 x2 x x 3
x g) f ( x ) = 2 sin 2 h) f ( x ) = tan 2 x i) f ( x ) = cos2 x 2 1 cos 2 x k) f ( x ) = l) f ( x ) = m) f ( x ) = 2sin 3 x cos 2 x 2 2 sin x.cos x 2 sin x.cos2 x  e− x  n) f ( x ) = e x ( e x – 1) o) f ( x ) = e x  2 +  p) f ( x ) = e3 x +1  cos2 x  Câu 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5; F (1) = 3 b) f ( x ) = 3 − 5cos x; F ( ) = 2 3 − 5x 2 x2 + 1 3 c) f ( x ) = ; F (e) = 1 d) f ( x ) = ; F(1) = x x 2 x3 − 1 1 e) f (x )= ; F (−2) = 0 f) f ( x ) = x x + ; F (1) = −2 x2 x   3x 4 − 2 x3 + 5 g) f ( x ) = sin 2 x.cos x; F '  = 0 h) f ( x ) = ; F (1) = 2 3 x2 Câu 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:   a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x; F  =3 2 b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x; F( ) = 0 c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x; F(2) = −2 VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm  f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u( x ) .u '( x ) thì ta đặt t = u( x )  dt = u '( x )dx . Khi đó:  f ( x )dx =  g(t )dt , trong đó  g(t )dt dễ dàng tìm được. Chú ý: Sau khi tính  g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x). • Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến   x = a sin t, − t 2 2 2 2 a −x hoặc x = a cos t, 0t    x = a tan t, − t 2 a +x 2 2 2 hoặc x = a cot t, 0 t  Câu 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx a)  (5 x − 1)dx b)  c)  5 − 2xdx (3 − 2 x )5 x d)  (2 x 2 + 1)7 xdx e)  ( x 3 + 5)4 x 2 dx f)  dx 2 x +5 3x 2 dx g)  x 2 + 1.xdx h)  dx i)  5 + 2x 3 x (1 + x )2 4
sin x tan xdx k)  sin 4 x cos xdx l)  dx m)  cos5 x cos2 x e x dx 2 +1 e x n)  o)  x.e x dx p)  dx x e −3 x ln3 x dx etan x q)  x dx r)  s)  cos2 x dx ex + 1 Câu 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx a)  1 − x 2 .dx b)  4 − x2 VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: x  P( x).e dx  P( x ).cos xdx  P( x ).sin xdx  P( x ).ln xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x) Câu 1. Tính các nguyên hàm sau: a)  x.sin xdx b)  x cos xdx c)  ( x 2 + 5)sin xdx d)  ( x 2 + 2 x + 3) cos xdx e)  x sin 2 xdx f)  x cos 2 xdx 2 g)  x.e x dx h)  x 3e x dx i)  ln xdx k)  x ln xdx l)  ln 2 xdx m)  ln( x 2 + 1)dx Câu 2. Tính các nguyên hàm sau: x ln xdx a)  e dx b)  c)  sin x dx x d)  cos x dx e)  x.sin x dx f)  sin 3 xdx ln(ln x ) g)  dx h)  sin(ln x )dx i)  cos(ln x )dx x Câu 3. Tính các nguyên hàm sau: x a)  e x .cos xdx b)  e x .sin 2 xdx c)  dx cos2 x VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp P( x ) 1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) = Q( x ) – Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). 1 A B Chẳng hạn: = + ( x − a)( x − b) x − a x − b 5
1 A Bx + C = + , vôùi  = b2 − 4ac  0 ( x − m)(ax 2 + bx + c) x − m ax + bx + c 2 1 A B C D = + + + ( x − a )2 ( x − b ) 2 x − a ( x − a ) 2 x − b ( x − b) 2 2. f(x) là hàm vô tỉ  ax + b  ax + b + f(x) = R  x , m  → đặt t=m  cx + d  cx + d  1  + f(x) = R  → đặt t = x+a + x+b  ( x + a)( x + b)    • f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: 1 1 sin ( x + a) − ( x + b)  sin(a − b)  + = . ,  söû duïng 1 =  sin( x + a).sin( x + b) sin(a − b) sin( x + a).sin( x + b)  sin(a − b)  1 1 sin ( x + a) − ( x + b)  sin(a − b)  + = . ,  söû duïng 1 =  cos( x + a).cos( x + b) sin(a − b) cos( x + a).cos( x + b)  sin(a − b)  1 1 cos ( x + a) − ( x + b)  cos(a − b)  + = . ,  söû duïng 1 =  sin( x + a).cos( x + b) cos(a − b) sin( x + a).cos( x + b)  cos(a − b)  + Nếu R(− sin x, cos x ) = − R(sin x, cos x ) thì đặt t = cosx + Nếu R(sin x, − cos x ) = − R(sin x, cos x ) thì đặt t = sinx + Nếu R(− sin x, − cos x ) = − R(sin x, cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Câu 1. Tính các nguyên hàm sau: dx dx x2 + 1 a)  x( x + 1) b)  ( x + 1)(2 x − 3) c)  2 dx x −1 dx dx dx d)  e)  f)  x 2 − 7 x + 10 x2 − 6 x + 9 x2 − 4 x x x3 g)  dx h)  dx i)  dx ( x + 1)(2 x + 1) 2 x2 − 3x − 2 x2 − 3x + 2 dx dx x k)  l)  m)  dx x ( x 2 + 1) 1 + x3 x3 − 1 Câu 2. Tính các nguyên hàm sau: 1 x +1 1 a)  dx b) x dx c)  1 + 3 x + 1dx 1+ x +1 x −2 1 x x d)  dx e)  x −3 x dx f)  x( x + 1)dx x+4 x dx 1 − x dx 1 − x dx g)  3 4 h)  1+ x x i)  3 1+ x x x + x +2 x dx dx dx k) 3 l)  m)  (2 x + 1)2 − 2 x + 1 x 2 − 5x + 6 x2 + 6 x + 8 Câu 3. Tính các nguyên hàm sau: 6
a)  sin 2 x sin 5 xdx b)  cos x sin 3 xdx c)  (tan2 x + tan 4 x )dx cos 2 x dx dx d)  1 + sin x cos x dx e)  2 sin x + 1 f)  cos x 1 − sin x sin3 x dx g)  cos x dx h)  cos x dx i)    cos x cos  x +   4 k)  cos x cos 2 x cos3 xdx l)  cos3 xdx m)  sin 4 xdx BÀI 2. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: b F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là  f ( x )dx . a b  f ( x )dx = F(b) − F(a) a • Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b b b  f ( x )dx =  f (t)dt =  f (u)du = ... = F(b) − F(a) a a a • Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: b S =  f ( x )dx a 2. Tính chất của tích phân 0 b a b b •  f ( x )dx = 0 •  f ( x )dx = −  f ( x )dx •  kf ( x )dx = k  f ( x )dx (k: const) 0 a b a a b b b b c b •   f ( x )  g( x )dx =  f ( x )dx   g( x )dx •  f ( x )dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx a a a a a c b • Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì  f ( x )dx  0 a b b • Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì  f ( x )dx   g( x )dx a a 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b u( b )  f  u( x ) .u '( x )dx =  f (u)du a u( a ) trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b  K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì: b b b  udv = uv −  vdu a a a Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. 7
b b – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho  vdu dễ tính hơn  udv . a a VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b  f ( x )dx = F(b) − F(a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Câu 1. Tính các tích phân sau: x −1 2 2 2 3  (x + 2 x + 1)dx b)  ( x + + e 3 x +1 )dx  3 2 a) c) dx 1 1 x 1 x2 2 x −1 (x 4 +4 )2 e 1 1 + x 2 )dx d)  2 +2 dx e)  dx f)  ( x + + x x 2 −1 x −2 x2 1 2 2 x − 2x g)  dx 1 x3 Câu 2. Tính các tích phân sau: 2 5 2 dx a)  x + 1dx b)  c)  ( x 2 + x x + 3 x )dx 1 2 x+2 + x −2 1 2 2 xdx 2 3x 4 d) 0 dx e) 0 3 dx f) 0 x x 2 + 9dx 1 − x2 1 + x3 Câu 3. Tính các tích phân sau:     2 6 a)  sin( 2 x + 6 )dx b)  (2 sin x + 3cosx + x )dx c)  ( sin 3 x + cos 2 x ) dx 0  0 3    4 tan x .dx 3 4 2 2 d)  2 e)  3 tan x dx f)  (2 cot x + 5) dx 0 cos x   4 6    2 dx 2 1 − cos x 2 2 g)  1 + sin x h)  1 + cos x dx i)  sin x.cos2 xdx 0 0 0     3 2 sin( − x ) 4 (tan x − cot x )2 dx 4 4 k)  l)   dx m)  cos x dx −  − sin( + x ) 0 6 2 4 Câu 4. Tính các tích phân sau: 1 x 2 2x e − e− x ( x + 1).dx 1e −4 a)  dx b)  c) 0 dx x −x 2 x 0e +e 1 x + x ln x e +2 8
ln 2 ex 2 x e− x 1e x d) 0 dx e)  e (1 − )dx f) 0 dx 1 x ex + 1 2x  x 2 ecos x 4e e 1 + ln x g)  sin xdx h) 1 dx i) 1 dx 0 x x 1 e ln x 1 x2 1 k) 1 x dx l) 0 xe dx m)  x dx 0 1+ e VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx . a b u( b ) Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x ) = f u( x ) .u '( x ) thì  g( x )dx =  f (u)du a u( a )  Dạng 2: Giả sử ta cần tính  f ( x )dx .  Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b)  b b thì  f ( x )dx =  f  x(t) x '(t)dt =  g(t)dt ( g(t) = f  x(t).x '(t) )  a a Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến   x = a sin t, − t 2 2 2 2 a −x hoặc x = a cos t, 0t    x = a tan t, − t 2 2 2 2 a +x hoặc x = a cot t, 0 t  a    x= , t   − ;  \ 0 sin t  2 2 x 2 − a2 a   hoặc x= , t   0;   \   cos t 2 Câu 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1 1 1 x3 x5 a)  x(1 − x) dx 19 b)  c) 0 x 2 + 1 dx 0 (1 + x ) 2 3 0 1 1 1 xdx d)  e)  x 1 − x 2 dx f)  x 3 1 − x 2 dx 0 2x + 1 0 0 ln 2 x5 + 2x3 ex 2 3 3 dx g)  x x2 + 4 h)  1+ x2 dx i)  1 + ex dx 5 0 0 ln 3 x e dx 2 + ln x dx 1 + 3 ln x ln x e e k)  l)  m)  dx ( e + 1) 3 2x x 0 x 1 1 9
   2 2 3 6 sin 2 x cos x. sin x sin 2 x n) 0 cos 2 x + 4 sin 2 x 0 1 + sin 2 x dx dx o) p)  2 sin 0 2 x + cos 2 x dx Câu 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): 1 1 2 2 dx x 2 dx   x 4 − x 2 dx 2 a) b) c) 0 1− x 2 0 4− x 2 1 3 1 1 dx dx xdx d) x 0 2 +3 e)  (x 0 2 + 1)( x 2 + 2) f) x 0 4 + x2 +1 0 dx x −1 2 2 1 dx g)  h)  dx i)  −1 x2 + 2 x + 2 1 x3 0 (1 + x ) 2 5 2 2 2 3 dx 2 x2 k)  l)  dx m)  x 2 x − x 2 dx 2 x x2 − 1 0 1 − x2 0 VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b b b b x  P( x ).e dx  P( x ).cos xdx  P( x).sin xdx  P( x ).l n xdx a a a a u P(x) P(x) P(x) lnx dv e dxx cos xdx sin xdx P(x) Câu 1. Tính các tích phân sau:   4 2 2  x sin 2 xdx b)  ( x + sin 2 x) cos xdx x 2 a) c) cos xdx 0 0 0 2  4 3 1 d)  x cos xdx e)  x tan 2 xdx f)  ( x − 2)e 2 x dx 0  0 4 ln 2 e 3  xe dx  x ln xdx i)  ln( x 2 − x)dx x g) h) 0 1 2 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ. Câu 1. Tính các tích phân sau: 2 2 2  x − 2 dx x − x dx x + 2 x − 3 dx 2 2 a) b) c) 0 0 0 3 5 3 2 x d)  x − 1 dx e)  ( x + 2 − x − 2 )dx f) 2 − 4 dx −3 −2 0 4 3 1 g)  x 2 − 6 x + 9dx h)  x 3 − 4 x 2 + 4 x dx i)  4 − x dx 1 0 −1 10
Câu 2. Tính các tích phân sau:  2  2 a)  1 − cos 2 x dx b)  1 − sin 2 x .dx c)  sin x dx 0 0  − 2  2  d)  1 − sin xdx e)  1 + cos xdx f)  1 + cos 2xdx − 0 0 Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. Câu 1. Tính các tích phân sau: 3 1 3 dx dx x 3 dx a)  b)  2 c)  2 1 x+ x 0 x − 5x + 6 0 x + 2x + 1 3 1 3 4 x x 2 dx dx d)  (1 + 2 x ) 0 3 dx e)  (1 − x ) 2 9 f) x 1 2 (1 + x) 4 dx 1 (4 x + 11)dx 1 x3 + x + 1 g) 2 x(x − 1) h) x 2 + 5x + 6 i)  x + 1 dx 0 0 Câu 2. Tính các tích phân sau: 2 dx 3 (3x +2 2 ) 2 x3 + 2x 2 + 4x + 9 a) 0 x 2 − 2x + 2 b) 0 x +1 2 dx c) 0 x2 + 4 dx 1 1 1 1 x3 + x + 1 x d) 2 2  2 dxdx e) f)  4 dx 0 ( x + 2) ( x + 3) 0 x + 1 0 1 + x VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ. Câu 1. Tính các tích phân sau: 2 2 1 1 x3 dx  x x + 1dx  x+  2 a) b) dx c) 0 0 x +1 2 0 x +1 + x 6 dx 2 2 x x4 d) 1+ x −1 dx e)  f)  dx 1 2 2x +1+ 4x +1 0 x5 + 1 10 dx 4x − 3 1 1  x x + 1dx 2+ 3 2 g) h) i) dx 5 x − 2 x −1 0 0 3x + 1 7 2 3 3 3 x +1 dx x5 + x3 k)  3x + 1 dx l)  m)  dx x x2 + 4 1 + x2 3 0 5 0 2 2 2 3 2 1+ x dx dx n)  1− x dx o)  p)  0 2 x x2 − 1 1 x x3 + 1 Câu 2. Tính các tích phân sau: 1 3 1 2 2 x2 + 1 dx a) x 1 + x dx b)  dx c)  0 1 x2 x2 + 1 0 (1 + x 2 )3 11
2 3 1 d)  x 2 + 2008dx e) 3 2  x 10 − x dx f)  1 + x 2 dx 1 0 0 Câu 3. Tính các tích phân sau:    2 cos xdx 2 2 cos xdx a)  b)  sin x cos x − cos2 xdx c)  0 7 + cos 2 x 0 0 2 + cos2 x    2 2 sin 2 x + sin x 3 cos xdx 6 d)  1 − cos3 x sin x cos5 xdx e)  dx f)  0 0 1 + 3 cos x 0 2 + cos 2 x Câu 4. Tính các tích phân sau: ln3 ln 2 e dx e2 x dx 1 + 3 ln x ln x a)  b)  c)  x dx 0 ex + 1 0 ex + 1 1 ln3 0 ln 2 ln 2 x e x dx d)  dx e)  x(e2 x + 3 x + 1)dx f)  ln 2 x ln x + 1 −1 (e x + 1)3 0 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác. Câu 1. Tính các tích phân sau:    4 4 2 sin x a)  sin 2 x. cos xdx b)  tan xdx c)  1 + 3 cos x dx 0 0 0  2   d)  sin xdx 3 e)  sin xdx 2 f)  cos 2 3 x 0 0 0    2 2 2 2 4 4 g)  sin x cos xdx h)  sin 2 x cos 3 xdx i)  sin x cos5 xdx 0 0 0 Câu 2. Tính các tích phân sau:    2 2 1 + sin 2 x + cos 2 x 3 tan x a)  0 1 − cos 3 x sin x cos 5 xdx b)  sin x + cos x dx c)   cos x 1 + cos 2 x dx 6 4   2   (1 + sin x ) 2 4 4  cos 2 x(sin x + cos x )dx  3 d) e) 4 (tan x + e sin x cos x)dx f) 2 sin 2 xdx 0 0 0 Câu 3. Tính các tích phân sau:    2 1 2 dx 2 1 a)  sin x dx b)  2 − cos x c)  2 + sin x dx  0 0 3    2 cos x 2 cos x 2 sin x d)  1 + cos x dx e)  2 − cos x dx f)  2 + sin x dx 0 0 0 Câu 4. Tính các tích phân sau: 12
   2 4 3 xdx x a)  (2 x − 1) cos xdx b) 0 1 + cos 2 x c)  cos 2 dx 0 0 x    2 2 2 3 2 2 x +1 d)  sin xdx e) x cos xdx f)  sin 2 x.e dx 0 0 0 VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. Câu 1. Tính các tích phân sau: 1 1 1 ln 2 e x dx dx a)  b)  c)  dx x 0 1+ e e +5 0e +4 x x 0 1− ex ln 8 ln 2 ex ln 8   e + 1.e dx  x 2x d) dx e) f) dx ln 3 ex +1 ln 3 0 1+ ex 2 2 2x 1 1 e e− x g)  −x dx h)  x dx i)  −x dx 1 1− e 0 e +1 0e +1 e 1 −2 x ln 3 ln x e 1 k)  dx l)  dx m)  dx 1 x (ln 2 x + 1) 0e −x +1 0 x e +1 Câu 2. Tính các tích phân sau:  2 2 1 a)  e sin xdx  xe  xe x 2x −x b) dx c) dx 0 0 0  e 1 + ln 2 x 2 1 d)  (e x + cos x) cos xdx e)  x ln (1 + x )dx f)  x dx 0 0 1 e2 e3 ln x + ln(ln x )  ln x  ln(ln x ) e g)  dx h)   + ln 2 x dx i)  dx e x 1  x ln x + 1  e 2 x  2 3 1 ln x ln(sin x ) ln( x + 1) k)  dx l)  dx m)  dx 1 x2  cos2 x 0 x +1 6 BÀI 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b là: S =  f ( x ) dx (1) a • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b. 13
b là: S =  f ( x ) − g( x ) dx (2) a Chú ý: b b • Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:  f ( x ) dx =  f ( x )dx a a • Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b c d b  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a a c d c d b =  f ( x )dx +  f ( x )dx +  f ( x )dx a c d (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d. d S =  g( y) − h( y) dy c 2. Thể tích vật thể • Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b Thể tích của B là: V =  S( x )dx a • Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox: b V =   f 2 ( x )dx a b Tổng quát: V =   f 2 ( x ) − g2 ( x ) dx a Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d là: V =   g2 ( y )dy c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: ln x 1 a) y = x 2 − 4 x − 6, y = 0, x = −2, x = 4 b) y = , y = 0, x = , x = e x e 1 + ln x ln x c) y = , y = 0, x = 1, x = e d) y = , y = 0, x = e, x = 1 x 2 x 14
1 e) y = ln x , y = 0, x = , x = e f) y = x 3 , y = 0, x = −2, x = 1 e x 1 1 g) y = , y = 0, x = 0, x = h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 1 − x4 2 10 Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: −3 x − 1 a) y = , y = 0, x = 0 b) y = x , y = 2 − x, y = 0 c) y = e x , y = 2, x = 1 x −1 Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1 a) y = x , y = , y = 0, x = e b) y = sin x − 2 cos x, y = 3, x = 0, x =  x c) y = 2 x 2 − 2 x, y = x 2 + 3 x − 6, x = 0, x = 4 Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y = 4 − x 2 , y = x 2 − 2 x b) y = x 2 + 2, y = 4 − x 1 2 1 c) y = x , y = − x2 + 3 d) y = x 2 + 2 x, y = x + 2 4 2 Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) (C ) : y = x 3 − 3 x + 2, x = −1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2. b) (C ) : y = x 3 − 2 x 2 + 4 x − 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2. VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Câu 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:  1 a) y = sin x , y = 0, x = 0, x = b) y = x 3 − x 2 , y = 0, x = 0, x = 3 4 3  c) y = sin 6 x + cos6 x , y = 0, x = 0, x = d) y = x , x = 4 2 e) y = x 3 − 1, y = 0, x = −1, x = 1 f) y = x 2 , y = x x2 x3 g) y = , y= h) y = − x 2 + 4 x, y = x + 2 4 8 Câu 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) y = ( x − 2)2 , y = 4 b) y = x 2 , y = 4 x 2 , y = 4 1 c) y = , y = 0, x = 0, x = 1 d) y = 2 x − x 2 , y = 0 2 x +1 e) y = x.ln x, y = 0, x = 1, x = e f) y = x 2 ( x  0), y = −3 x + 10, y = 1 BÀI 4. ÔN TẬP TÍCH PHÂN Câu 1. Tính các tích phân sau: 3 3 x7 2 2 a)  x 2 − x dx b)  8 4 dx c) x − 2 x + 1 dx 0 2 1+ x − 2x 1 2 2 5 1  x −1  dx d)   x+2  dx e)  ( x + 2 − x − 2 )dx f)  2 −1  −3 0 2x + 5x + 2 1 0 2 3 xdx dx x + 2x2 + 4x + 9 g)  2 h)  2 i)  dx 0 ( x + 1) −1 x + 2x + 4 0 x2 + 4 15
1 1 1 x3 xdx xdx k)  dx l)  m)  x2 + 1 0 0 1+ x2 0 ( x + 1) 3 Câu 2. Tính các tích phân sau: 2 3 9 x a) 1 1 + x − 1 dx b)  x 3 1 + x 2 dx c)  x 3 1 − x dx 0 1 3 4 2 x5 + 2 x3 2dx x4 d)  dx e)  f)  dx 0 2 x +1 −1 x+5+4 0 5 x +1 2 2 0 xdx g)  x 2 4 − x 2 dx h)  i) x 1 + x dx 0 1 2+ x + 2−x −1 3 1 3 x −3 k)  1 + x 2 . x 3dx l)  x 3 x 2 + 3 dx m) 3 dx 0 0 −1 x +1 + x + 3 1 3 7/3 x +1 o)  x 5 1 − x 2 dx p)  x 3 + 1x 3 .dx q)  dx 3 0 0 0 3x + 1 1 10 1 x2 + x dx r) 3 dx s)  t)  x 3 1 − x 2 dx 0 ( x + 1)2 5 x − 2 x −1 0 Câu 3. Tính các tích phân sau:  /4 /2 /2 1 − 2sin 2 x sin 2 x + sin x sin 2 x cos x a)  1 + sin 2 x dx b)  1 + 3 cos x dx c)  1 + cos x dx 0 0 0 /2 /2 /2 sin 2 x d)  dx e)  sin x sin 2 x sin 3 x dx f)  cos5 xdx 2 2 0 cos x + 4 sin x 0 0 /2 /3  tan x x sin x g)  cos 2 x(sin 4 x + cos4 x )dx h)  dx i)  dx 2 0 1 + cos x 2 0 / 4 cos x 1 + cos x /4 /2 /2 sin 2 x sin x k)  x tan 2 x dx l)  dx m)  dx 0 0 cos x + 1 0 1 + 3 cos x /2 /2 / 4 sin 2004 x 4 sin3 x 1 − 2 sin 2 x o)  dx p)  1 + cos x dx q)  1 + sin 2 x dx 0 sin 2004 x + cos2004 x 0 0 /2 /2 /3 cos3 x sin xdx x sin2 xdx r)  sin x + 1 dx s)  x t)  0 0 2 sin x + 2 cos x cos 2 0 sin 2 x cos2 x 2 Câu 4. Tính các tích phân sau: 3 3 1 2 a)  x ln( x + 5)dx b)  ln( x 2 − x)dx c)  ( x − 2)e2 x dx 0 2 0 /2 ln 5 e dx d)  (esin x + cos x ) cos x dx e)  f)  x 2 ln 2 x dx x −x 0 ln 3 e + 2e −3 1 e 3 1 1 x +1 2 dx g)  ln xdx h)  ( x + 1)e x dx i)  1 x 0 0 1+ e x 16
2 1 2 x 2e x 2 2x ln(1 + x ) k)  2 dx l)  (4 x − 2 x − 1)e dx m)  dx 0 ( x + 2) 0 1 x2 /2 e 1 ln x o)  e3 x sin 5 x dx p)  dx q)  x ln(1 + x 2 )dx 2 0 1 x 0 e e3 3 − 2 ln x 1 + 3 ln x . ln x ln 2 x e r)  x 1 + 2 ln x dx s)  x dx t)  x ln x + 1 dx 1 1 1 Câu 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 4 a) y = x 3 − 3 x + 1, y = 0, x = 0, x = −1 b) y = , y = 0, x = −2, x = 1 2−x 1 9 c) y = − x 4 + 2 x 2 + , y = 0 d) y = e x , y = 2, x = 1 4 4 1 1 e) y = x − 1 + , y = 0, x = 2, x = 4 f) y = x 2 − 2 x, y = − x 2 + 4 x 2 x −1 2x +1 −x2 + x g) y = , y = 0, x = 0 h) y = , y=0 x +1 x +1 m) y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 , tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung. 1 3 n) y = x − 3 x , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = 2 3 . 4 Câu 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục: a) y = x , y = 0, x = 3; Ox b) y = x ln x , y = 0, x = 1, x = e; Ox c) y = xe x , y = 0, x = 1; Ox d) y = 4 − x 2 , y = x 2 + 2; Ox e) y 2 = 4 − x, x = 0; Oy f) x = ye y , x = 0, y = 1; Oy CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC BÀI 5. SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b  R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) • z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. a = a ' • Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i   (a, b, a ', b '  R) b = b ' 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b  R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u = (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức) 3. Cộng và trừ số phức: • ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i • ( a + bi ) − ( a’ + b’i ) = ( a − a’) + ( b − b’) i • Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi 17
• u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u + u ' biểu diễn z + z’ và u − u ' biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : • ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i • k (a + bi) = ka + kbi (k  R) 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi z  z • z = z ; z  z ' = z  z ' ; z.z ' = z.z ';  1  = 1 ; z.z = a2 + b2  z2  z2 • z là số thực  z = z ; z là số ảo  z = − z 6. Môđun của số phức : z = a + bi • z = a2 + b2 = zz = OM • z  0, z  C , z =0z=0 z z • z.z ' = z . z ' • = • z − z'  z  z'  z + z' z' z' 7. Chia hai số phức: 1 z' z '.z z '.z z' • z−1 = z (z  0) • = z ' z−1 = = • = w  z ' = wz z 2 z z 2 z.z z 8. Căn bậc hai của số phức:  2 2 • z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi  z2 = w   x − y = a  2 xy = b • w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 • w  0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau • Hai căn bậc hai của a > 0 là  a • Hai căn bậc hai của a < 0 là  −a .i 9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A  0 ).  = B2 − 4 AC −B   •   0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = , (  là 1 căn bậc hai của ) 2A B •  = 0 : (*) có 1 nghiệm kép: z1 = z2 = − 2A Chú ý: Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*). VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức. Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. Câu 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 1  2 5  a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) 2 − i +  − 2i  c) ( 2 − 3i ) −  − i  3  3 4   1   3  1 3 1   5 3  d)  3 − i  +  − + 2i  − i e)  + i  −  − + i  f) (2 − 3i)(3 + i)  3   2  2 4 5   4 5  3 −i 2 −i 3 1+ i g) − h) i) 1+ i i 1 + 2i 1− i 1+ i 2 − 3i 3+i k) l) m) 2−i 4 + 5i (1 − 2i )(1 + i ) Câu 2. Thực hiện các phép toán sau: a) (1 + i)2 − (1 – i)2 b) (2 + i)3 − (3 − i)3 c) (3 + 4i)2 18
3 1  (1 + 2i ) 2 − (1 − i ) 2 d)  − 3i  e) f) (2 − i)6 2  (3 + 2i ) 2 − (2 + i ) 2 g) (−1 + i )3 − (2i )3 h) (1 − i)100 i) (3 + 3i)5 Câu 3. Cho số phức z = x + yi . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: z +i a) z2 − 2z + 4i b) iz − 1 VẤN ĐỀ 2: Tập hợp điểm Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y. Câu 1. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) z + z + 3 = 4 b) z − z + 1 − i = 2 c) z − z + 2i = 2 z − i d) 2i.z − 1 = 2 z + 3 e) 2i − 2 z = 2 z − 1 f) z + 3 = 1 z − 3i g) z + i = z − 2 − 3i h) =1 i) z − 1 + i = 2 z+i k) 2 + z = i − z l) z + 1  1 m) 1  z − i  2 Câu 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) z + 2i là số thực b) z − 2 + i là số thuần ảo c) z.z = 9 BÀI 6. ÔN TẬP SỐ PHỨC Câu 1. Thực hiện các phép tính sau: 6 6  −1 + i 3   1 − i 7  a) (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) b)   +   2   2  16 8 1+ i   1− i  3 + 7i 5 − 8i c)   +  d) +  1− i   1+ i  2 + 3i 2 − 3i e) (2 − 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) f) 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009 g) i2000 + i1999 + i201 + i82 + i 47 h) 1 + i + i2 + ... + i n , (n  1) i) i.i2 .i3 ...i2000 k) i −5 (−i)−7 + (−i)13 + i −100 + (−i)94 Câu 2. Cho các số phức z1 = 1 + 2i, z2 = −2 + 3i, z3 = 1 − i . Tính: a) z1 + z2 + z3 b) z1z2 + z2 z3 + z3 z1 c) z1z2 z3 z1 z2 z3 z12 + z2 2 d) z12 + z2 2 + z32 e) + + f) z2 z3 z1 z2 2 + z32 Câu 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z2 + 5 = 0 b) z2 + 2z + 2 = 0 c) z2 + 4z + 10 = 0 d) z2 − 5z + 9 = 0 e) −2z2 + 3z − 1 = 0 f) 3z2 − 2z + 3 = 0 Câu 4. Tìm tất cả các số phức z sao cho ( z − 2)( z + i) là số thực. 3 Câu 5. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 + 3i = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 2 19