Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề cương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY  TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2022 - 2023 Họ và tên: ....................................... Lớp: ............................................... Tài liệu lưu hành nội bộ 1
Mục lục CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ......................................................................... 5 BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ..................................................................................... 5 BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ....................................................... 7 BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP .......................................... 10 ÔN TẬP CHƯƠNG I .................................................................................................... 13 CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ ................................... 14 BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM ................................................................................................ 14 BÀI 2. HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP .................................................................... 16 BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON....................................................................................... 19 BÀI 4. BIẾN CỐ ........................................................................................................... 21 BÀI 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ .............................................................................. 23 CHƯƠNG III: DÃY SỐ, CẤP SÓ CỘNG, CÁP SỐ NHÂN ........................................ 25 BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ......................................................... 25 BÀI 2. DÃY SỐ............................................................................................................. 27 BÀI 3. CẤP SỐ CỘNG ................................................................................................. 30 BÀI 4. CẤP SỐ NHÂN ................................................................................................. 33 CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH – PHÉP ĐỒNG DẠNG .............................................. 35 BÀI 1. PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP TỊNH TIẾN ........................................................ 35 BÀI 5. PHÉP QUAY ..................................................................................................... 38 BÀI 6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH – HAI HÌNH BẰNG NHAU. ..................... 42 BÀI 7. PHÉP VỊ TỰ ...................................................................................................... 45 BÀI 8. PHÉP ĐỒNG DẠNG ......................................................................................... 47 CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG ............................................................................................ 49 BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ................................... 49 BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ............................................................... 53 BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. ........................................ 55 BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ..................................................................... 58 BÀI 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN. ........................................................................................................... 62 3
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. HÀM SỐ y  sin x VÀ y  cos x Hàm số y  sin x Hàm số y  cos x - Tập xác định: - Tập xác định: - Tập giá trị:  1;1 - Tập giá trị:  1;1 - Là hàm số lẻ - Là hàm số chẵn - Hàm số tuần hoàn chu kì T  2 - Hàm số tuần hoàn chu kì T  2 - Đồng biến trên mỗi khoảng - Đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; k 2         k 2 ;  k 2   2 2  - Nghịch biến trên mỗi khoảng - Nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2   3    k 2 ;  k 2  2 2  - Đồ thị là đường hình sin - Đồ thị là đường hình sin II. HÀM SỐ y  tan x VÀ y  cot x Hàm số y  tan x Hàm số y  cot x   - Tập xác định: \ k  - Tập xác định: \   k  2  - Tập giá trị: - Tập giá trị: - Là hàm số lẻ - Là hàm số lẻ - Hàm số tuần hoàn chu kì T   - Hàm số tuần hoàn chu kì T   - Đồng biến trên mỗi khoảng xác định - Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định - Đồ thị: - Đồ thị: B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1  cos x     a) y = b) y = tan  x   c) y = cot  x   sin x  3  6 5
  1 x 3 d) y = cot  2 x   e) y = sin f) y =  4 1 x 2 cos x   cot x g) y = tan  2 x   h) y = i) y  tan 2 x  cot 3x  4 cos x  1 sin x 3sin x j) y  k) y = tan x + cot x l) y = 2  cos x cos x Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = 3 – 2 sin x b) y = 2 + 3 cosx c) y= 4sinx +3  d) y= - 3sin( x  ) e) y = 5sin 2 x  3 f) y = 5  2cos2 x 3 1  4 cos 2 x g) y  3  2sin 2 3x h) y= i) y= 3 – 4 sin2xcos2x 3 j) y = 2 sin x – cos 2x 2 k) y= 2 cos x  1 l) y= 4  5 sin x  2  m) y  sin 4 x  cos4 x n) y  sin x  sin  x   o) y  cos x  sin x 2  3 
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. PHƯƠNG TRÌNH sin x  m + Nếu m  1 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu m  1 : gọi  là một nghiệm của phương trình.  x    k 2 sin x  m   , k  x      k 2 Đặc biệt: 1. sin x  0  x  k   2. sin x  1  x   k 2 2  3. sin x  1  x    k 2 2 Nhận xét:    1. Trên   ;  phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu là arcsin m  2 2  x  arcsin m  k2 sin x  m   , kZ  x    arcsin m  k2 2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức  x  a 0  k3600 s inx  sin a 0   , kZ  x  180  a  k360 0 0 0 3. Một vài lưu ý sin u   sin v  sin u  sin(v)   sin u  cos v  sin u  sin   v  2    sin u   cos v  sin u  sin  v    2 II. PHƯƠNG TRÌNH cos x  m + Nếu m  1 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu m  1 : gọi  là một nghiệm của phương trình.  x    k 2 cos x  m   , k  x    k 2 Đặc biệt:  1. cosx  0  x   k 2 2. cos x  1  x  k 2 3. cosx  1  x    k 2 Nhận xét: 1. Trên  0; , phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu arccos m cos x  m  x   arccos m  k2 , k  2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức cosx  cosa0  x  a0  k3600 , k  Z 7
3. Một vài lưu ý cos u   cos v  cos u  cos(  v)   cos u  sin v  cos u  cos   v  2    cos u   sin v  cos u  cos   v  2  II. PHƯƠNG TRÌNH tan x  m  Điều kiện: x   k , k  2 Gọi  là một nghiệm của phương trình. tan x  m  x    k , k  Nhận xét:    1. Trên   ;  phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu là arctanm  2 2 tan x  m  x  arctan m  k , k  2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức tanx  tan a  x  a  k180 , k Z . 0 0 0 3. Một vài lưu ý tan u   tan v  tan u  tan(v)   tan u  cot v  tan u  tan   v  2    tan u   cot v  tan u  tan   v  2  II. PHƯƠNG TRÌNH cot x  m Điều kiện: x  k , k  Gọi  là một nghiệm của phương trình. cot x  m  x    k , k  Nhận xét: 1. Trên  0;  phương trình có nghiệm duy nhất, kí hiệu arccot m cot x  m  x  arc cot m  k , k  2. Nếu x tính theo đơn vị độ ta dùng công thức cotx  cot a0  x  a0  k1800 , k  Z B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng toán liên quan đến giải phương trình lượng giác cơ bản Câu 1. Giải các phương trình sau:    2 a) sin x  sin(2 x  ) b) cos( x  )  cos3x c) tan(2 x  )  tan 4 3 3 5 1 d) cot(3x  1)  cot 4 e) sin 2 x   f) cot(3x  10o )  1 2 1 2 g) tan x   h) cos 3x  i)cos 5x= -3 3 2  3 2 j) sin(  3x)  k) cot x=2 l) tan(2x+3)=  5 5 5 Câu 2. Giải các phương trình sau: 1  3 a) sin 2 x  ( 180o  x  240o ) b) sin( x  )  ( 0  x  2 ) 2 4 2
1 3  3 c) cos2 x  ( 180o  x  240o ) d)cos 2x = (  x  ) 2 2 2 2 1 e) tan 2 x  1 ( 15o  x  245o ) f) tan x   (   x  3 ) 3  g) cot (3x – 45o) = -1 ( 180o  x  180o )h) cot (4 x  ) =1( 0  x  2 ) 5 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN, DẠNG TÍCH. Câu 1. Giải các phương trình sau: 1 1 a) cos 2 2 x  b) sin 2 2 x  4 2 1 x 1 c) sin 2 x   0 d) cot 2  4 2 3 3 e) 4cos2 x  3  0 f) sin 2 x  4  x  x  g) cos 2x tan x = 0 h)  cot  1 tan  1  0  3  2  i) sin 3x cot x = 0 j) tan (x – 30 ) cos (2x – 150o) = 0 o Câu 2. Giải các phương trình sau: a) sin 3x – cos 5x = 0 b) sin 3x = cos 2x c) sin x + cos 2x = 0 d) cos 4x + cos 3x = 0 e) sin 2x+ cos x = 0 f) tan 3x + tan x = 0       g) cos  2 x    cos  x    0 h) tan 3x + tan  2 x    0  3  6  4 i) sin 6x + sin 4x = 0 j) tan (3x + 2) - cot 2x = 0 Câu 3. Giải các phương trình sau: a) sinx + sin3x + sin5x = 0 b) cos x  cos 2 x  sin x  sin 2 x c) sin x  sin 2 x  sin 3x  0 d) sin x  sin 2x  sin 3x  sin 4x  0 3 e) cos 2 x  cos 8x  cos 6 x  1  0 f) sin 2 x  sin 2 3x  sin 2 5 x  2 g) cos x  cos 2 x  sin 3x h)cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 9
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương trình bậc 2 theo một hàm số lượng giác. Phương pháp giải a sin 2 u  b sin u  c  0  a  0  . Đặt t  sin u ,điều kiện 1  t  1 a cos2 u  b cos u  c  0  a  0  . Đặt t  cos u ,điều kiện 1  t  1 a tan 2 u  b tan u  c  0 . Đặt t  tan u , điều kiện cos u  0 a cot 2 u  b cot u  c  0  a  0  . Đặt t  cot u ,điều kiện sin u  0 Câu 1. Giải các phương trình sau: a) 2 sinx – 2 =0 b) 2 cos(2 x  500 )  3  0     c) 2sin  5 x    1  0 d) 2cos  3x    1  0  3  4 e) cot( x  300 )  3  0 f) 3 tan 2x – 3 = 0 Câu 2. Giải các phương trình sau: a) 2cos2 x  3cos x  1  0 b) 2 tan 2 x  3tan x  1  0 c) 2sin 2 x  sin x  1  0 d) 8cos2 x  2sin x  7  0 x x e) cos2 x  sin x  1  0 f) sin 2  2cos  2  0 2 2 g) sin x – cos 2x – 2 = 0 h) 2cos x  cos 2 x  2 2 i) cos2 x  3sin x  2  0 j) 7 sin x + cos 2x = 6 k) tan2 4 x  tan 4 x  2  0 l) tan x + cot x = 2 m) tan x – 2 cot x + 1 = 0 n) 5tan x  2cot x  3  0 o) 2sin 2 x - 3sin x  1  0 p) 2cos 2 x  3sin x 1  0 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Đinh nghĩa: Là phương trình có dạng: a.sin x  b.cos x  c (1) ; với a, b, c  và a2  b2  0 . Hoặc a.sin x  b.cos x  c ; a.cos x  b.sin x  c 2. Cách giải: * Điều kiện để phương trình có nghiệm : a 2  b2  c2  Chia hai vế phương trình (1) cho a 2  b2 , ta được a a c sin x  cos x  (*) a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2  sin  với   0, 2  a b  Đặt  cos  ; a 2  b2 a 2  b2 c (*)  sin x.cos   cos x.sin   a 2  b2 c  sin  x     : Phương trình lượng giác cơ bản. a 2  b2
 cos  với   0, 2  a b Hoặc đặt  sin  ; a b 2 2 a  b2 2 c c Thì (*)  sin x.sin   cos x.cos    cos  x     a b 2 2 a  b2 2 Câu 1. Giải các phương trình sau: a) 3 cos x  sin x  2 b) cos x  3 sin x  1 c) 3 cos x  sin x  2 d) cos x  3 sin x  2 e) 3 cos 7 x  sin 7 x  2 f) 3 cos3x  sin 3x  1  0 x x g) 2 sin  cos  2 h) 2sin x  5cos x  5 2 2   6 1 i) cos(2 x  )  sin(2 x  )  j) sin x  (3  3 cos x ) 3 3 2 3 k) 5 sin x  2 cos x  4 l)5 cos 2x + 12 sin 2x – 13 = 0 Câu 2. Giải các phương trình sau: a) cos 7 x  sin 5x  3 (cos 5x  sin 7 x) b) 3 sin 3x  3 cos 9 x  1  4 sin 3 3x 3(1  cos 2 x) 1 c)  cos x d) sin 2 x  sin 2 x  2sin x 2  e) sin(  x)  sin(  x)  1 f) cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x 2  g) 4(sin 4 x  cos4 x)  3 sin 4 x  2 h) sin(  3x)  sin 3x  1 2 i) cos 7 x cos5x  3 sin 2 x  1  sin 5 x sin 7 x PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng : a.sin 2 x  b.sin x.cos x  c.cos 2 x  d ,  a 2  c 2  0  2. Cách giải: Cách 1:  * Xét cos x  0  x   k , k  có là nghiệm của phương trình hay không. 2  * Xét cos x  0  x   k , k  2 Chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x , ta được phương trình a tan 2 x  b tan x  c  d (1  tan 2 x) Cách 2: 1  cos 2 x 1  cos 2 x Sử dụng công thức hạ bậc: sin 2 x  ; cos 2 x  2 2 (1)  b sin 2 x  (c  a) cos 2 x  2d  a  c : phương trình bậc nhât đối với sin x và cos x . Câu 1. Giải các phương trình sau: a) 2sin 2 x  7sin x.cos x  cos2 x  4 b) 3sin 2 2 x  sin 2 x.cos 2 x  4cos 2 2 x  2 x x 1 c) sin 2  sin x  2cos 2  2 2 2 Câu 2. Giải các phương trình sau: 11
a) 2sin 2 x  sin x cos x  3cos2 x  0 b) 4cos2x + sinx.cosx + 3sin2x – 3 = 0 c) 4 cos 2 x  3 sin x cos x  sin 2 x  3 d) 2 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  2 e) 4 sin 2 x  2 sin 2 x  3 cos 2 x  1 f) cos 2 x  sin 2 x  5 sin 2 x  2 g) 3sin 2 x  4sin x cos x  5cos2 x  2 h) 4 cos 2 x  3 sin x cos x  3 sin 2 x  1 1 i) sin 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  j) 6sin 2 x  sin x cos x  cos2 x  2 2 1 k) 25sin 2 x  15sin 2 x  9cos2 x  25 l) 3 sin x  cos x  cos x m) sin 2 x  3sin x cos x  1  0 n) 4sin x  3 3 sin 2 x  2cos2 x  4 2
ÔN TẬP CHƯƠNG I Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số 2017 a) y . sin x 1 sin x b) y . cos x 1 1 c) y . sin x 2 1 d) y . sin x cos x 1 1 e) y tan x cot x sin x cos x f) y tan 3x cot x. Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a) y 3sin 2 x 1 b) y 2 sin x 2 3 c) y 5 4 sin 2 x cos 2 x d) y sin x cos x e) y 2 sin 2016 x 2017 Câu 3. Giải các phương trình 2x a) sin 0 3 3 3 b) sin 2 x 400 2 1 c) sin 2 x 3 2 2 cos 2 x d) 0 1 sin 2 x e) sin x 1 sin x 2 0 f) sin 5x 3 cos5x 2sin7 x g) 3 cos x sin x 2 sin 2 x. 2 2 h) 2sin2 x 3sin x 1 0 i) 4 sin 2 2 x 2 1 2 sin 2 x 2 0 x x j) 2 sin 2 3cos 0 4 4 13
CHƯƠNG II: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ BÀI 1. QUY TẮC ĐẾM A. LÝ THUYẾT: 1. Quy tắc cộng a) Định nghĩa: Xét một công việc H . Giả sử H có k phương án H1 , H 2 ,..., H k thực hiện công việc H . Nếu có m1 cách thực hiện phương án H1 , có m2 cách thực hiện phương án H 2 ,.., có mk cách thực hiện phương án H k và mỗi cách thực hiện phương án H i không trùng với bất kì cách thực hiện phương án H j ( i  j; i, j 1, 2,..., k ) thì có m1  m2  ...  mk cách thực hiện công việc H . b) Công thức quy tắc cộng Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó: A1  A2  ...  An  A1  A2  ...  An 2. Quy tắc nhân. a) Định nghĩa: Giả sử một công việc H bao gồm k công đoạn H1 , H 2 ,..., H k . Công đoạn H1 có m1 cách thực hiện, công đoạn H 2 có m2 cách thực hiện,…, công đoạn H k có mk cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo m1.m2 ...mk cách. b) Công thức quy tắc nhân Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó: A1  A2  ...  An  A1 . A2 ..... An . Chú ý: 3. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng; quy tắc nhân + Để đếm số cách thực hiện một công việc H nào đó theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem công việc H đó có bao nhiêu phương án thực hiện? Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn? + Để đếm số cách thực hiện công việc H theo quy tắc nhân, ta cần phân tích công việc H được chia làm các giai đoạn H1 , H 2 ,..., H n và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn H i ( i  1, 2,..., n ). + Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:
- Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân. - Nếu bỏ 1 phương án nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng. B. CÁC DẠNG TOÁN TỰ LUẬN Câu 1. Bạn cần mua một áo sơ mi cỡ 30 hoặc 32. Áo cỡ 30 có 3 màu khác nhau, áo cỡ 32 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách lựa chọn ? Câu 2. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 11 cuốn sách Văn khác nhau và 7 cuốn sách anh văn khác nhau. Một học sinh được chọn một quyển sách trong các quyển sách trên. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn. Câu 3. Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau . Câu 4. Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người. Câu 5. Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì gặp nhau đúng một lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra . Câu 6. Từ thành phố A có 10 con đường đi đến thành phố B, từ thành phố A có 9 con đường đi đến thành phố C, từ B đến D có 6 con đường, từ C đến D có 11 con đường và không có con đường nào nối trực tiếp B với C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D. Câu 7. Hội đồng quản trị của công ty X gồm 10 người. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra ba người vào ba vị trí chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí, biết khả năng mỗi người là như nhau. Câu 8. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho: a) Nam, nữ ngồi xen kẽ? b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề nhau? c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi kề nhau? Câu 9. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau: a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. Câu 10. Cho các chữ số 1, 2, 3,..., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau. Câu 11. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là: a) Số chẵn b) Số lẻ c) Số chia hết cho 5 Câu 12. Cho tập A  1,2,3,4,5,6,7,8 a) Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3 b) Tức các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123. 15
BÀI 2. HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Hoán vị: Cho tập hợp A có n phần tử  n  1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn Định lí 1: Pn  n(n  1)...2.1  n! với Pn là số các hoán vị. Chú ý: + Có n! cách xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy.   + Có n  1 ! cách xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn tròn nếu không có sự phân biệt giữa các ghế. 2. Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử  n  1 . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chinht hợp chập k của n phần tử đã cho. n! Định lý 2: Ank  n  n  1 ...  n  k  1  với Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử  n  k ! 1  k  n  . 3. Tổ hợp: Giả sử tập A có n phần tử  n  1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử có kí hiệu là Cnk . QUY ƯỚC 0!  1 Cn0  An0  1 Ank n  n  1 ...  n  k  1 n! Định lý 3: Cnk    k! k! k ! n  k ! Định lý 4 (hai tính chất cơ bản của số Cnk ) a) Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0  k  n . Khi đó Cnk  Cnnk . b) Hằng đẳng thức Pascal: Cho số nguyên dương n và số nguyên dương k với 1  k  n . Khi đó Cnk1  Cnk  Cnk 1 . B. BÀI TẬP Vấn đề 1: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp  Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập 1;2;3;4;5 ?  Câu 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 hành khách: a) Vào 5 ghế xếp thành một dãy. b) Vào 5 ghế xung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này. Câu 3. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác 0 được thành lập từ hai trong năm điểm trên? Câu 4. Tổ 1 gồm 10 em, bầu ra 3 cán sự gồm một tổ trưởng, một tổ phó, một thư kí (không kiêm nhiệm) Hỏi có bao nhiêu cách. Câu 5. Một tổ trực gồm 8 nam và 6 nữ. Giáo viên muốn chọn ra 5 học sinh trực. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này có ít nhất một nữ sinh.
Câu 6. Có 30 câu hỏi gồm 15 dễ, 10 trung bình, 5 khó, sắp xếp thành các đề, mỗi đề có 5 câu đủ ba loại, số câu dễ không ít hơn hai. Hỏi lập được bao nhiêu đề? Câu 7. Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành 4 tổ sao cho mỗi tổ có 10 học sinh? Câu 8. Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, theo cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Câu 9. Một trung tâm tuyển sinh đại học có 5 cổng. Có bao nhiêu cách chọn để một thí sinh bắt buộc vào một cổng và ra một cổng khác. Câu 10. Có 4 con đường nối liền thành phố A và thành phố B, 2 con đường nối liền thành phố B và C, 3 con đường nối liền thành phố C và D. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần? b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A? Câu 11. Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các số trên, có thể lập được bao nhiêu: a) Số có 5 chữ số b) Số có 5 chữ số khác nhau c) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau d) Số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. e) Số gồm 4 chữ số và nhỏ hơn 5000. Câu 12. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả hai đều là số chẵn? Câu 13. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau? Câu 14. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau? Câu 15. Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Câu 16. Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Câu 17. Từ tập A  0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Câu 18. Một tập thể gồm 6 nam và 8 nữ. Có bao nhiêu cách chọn chọn 1 tổ công tác gồm: a) 6 người b) 6 người trong đó có 1 nhóm trưởng c) 6 người, trong đó có 1 đội trưởng và 1 đội phó d) 6 người trong đó có cả nam lẫn nữ e) 6 người sao cho có đúng 3 nam f) 6 người sao cho có ít nhất 2 nữ Câu 19. Một cái hộp có 5 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Từ cái hộp trên, có bao nhiêu cách chọn ra: a) 6 quả cầu b) 6 quả cầu trong đó có đúng 2 quả cầu trắng c) 6 quả cầu trong đó có ít nhất 3 quả cầu trắng. d) 4 quả cầu có đủ 3 màu. Câu 20. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 chiếc ghế được kê thành hàng ngang, sao cho: a) Nam và nữ ngồi xen kẽ. b) Các bạn nam ngồi liền kề. Câu 21. Một bình đựng 12 viên bi, trong đó có 7 bi vàng và 5 bi đỏ. Lấy ra 5 viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a) Bốc tùy ý. b) Có 2 bi đỏ, 3 bi vàng. c) Có nhiều nhất hai bi đỏ. d) Có ít nhất 3 bi đỏ. Câu 22. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó? Câu 23. Một lớp có 25 em học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn: 17
a) 1 ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ và 4 uỷ viên b) 1 ban văn nghệ gồm 5 em trong đó có đúng 2 em nữ c) Một đội trực sao đỏ gồm 5 em sao cho có ít nhất 3 em nam d) Một đội trực nhật gồm 4 em sao cho có nhiều nhất là 2 em nữ Câu 24. Có bao nhiêu cách chọn một lớp trưởng, một lớp phó, một thủ quỹ từ một lớp có 40 em? Câu 25. Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Từ các số trên, có thể lập được bao nhiêu số: a) Số gồm 4 chữ số khác nhau b) Số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau c) Số chẵn gồm 4 số khác nhau Vấn đề 2: Phương trình đại số, tổ hợp Giải các phương trình sau: x  Ax  9 Ax A10 9 8 a) b) 2Cn2 1 3 An2 20 0 c) Px A  72  6( A  2Px ) 2 x 2 x 5 2 d) Cnn21  Cnn 2  A 2 n e) 2 Ax2  Cxx 1  23x f) 2(Cx2  Cx3 )  3x 2  5x g) Ax21  C1x  79 h) C1x  6Cx2  9 x 2  20 x
BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM 1. Công thức nhị thức Newton Khai triển  a  b  được cho bởi công thức sau: n Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có n  a  b   Cnk a nk bk  Cn0 a n  Cn1a n 1b  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n . 1 n k 0 Quy ước a0  b0  1 Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton). Trong biểu thức ở VP của công thức (1) a) Số các hạng tử là n  1 . b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đén 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. 2. Hệ quả Với a  b  1, thì ta có 2n  Cn0  Cn1  ...  Cnn . Với a  1; b  1 , ta có 0  Cn0  Cn1  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn k n 3. Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton  x  1  Cn0 xn  Cn1 xn1  Cn2 xn2  ...  Cnk xnk  ...  Cnn1x  Cnn n  1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnk xk  ...  Cnn1xn1  Cnn xn n   x 1  Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...   1 Cnk xk  ...   1 Cnn1xn1   1 Cnn xn n k n 1 n   Cnk  Cnnk  Cnk  Cnk 1  C k 1,  n  1 n1 k.n ! n  n  1!  k.Cnk    nCnk11  n  k !k!  n  k ! k  1! 1 k.n ! n  n  1! 1  Cnk    Cnk11 k 1  k  1 n  k !k !  n  1 n  k ! k  1! n  1 4. Tam giác Pascal. Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau: Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1. Nếu biết hàng thứ n  n  1 thì hàng thứ n+1tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai 19
số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Một số công thức cần lưu ý x  m n  x m.n , x m .x n  x mn m xm 1  x mn , n xm  x n , xn  xn xn B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp chung: - Xác định số hạng tổng quát của khai triển T k 1Cnk a nk bk (số hạng thứ k  1 ). - Từ T k 1 kết hợp với yêu cầu bài toán ta thiết lập một phương trình (thông thường theo biến k ). - Giải phương trình để tìm kết quả. Câu 1. Xác định hệ số của x 25 . y10 trong khai triển  x3  xy  15 Câu 2. Trong khai triển  x  y  , xác định hệ số của số hạng chứa x8 . y 3 . 11 Câu 3. Xác định hệ số của x 6 trong khai triển  2  3x  . 10 Câu 4. Xác định hệ số của số hạng chính giữa của khai triển  3x  2 y  4 10  3  Câu 5. Trong khai triển  2 3 x   ,  x  0  , hãy xác định số hạng không chứa x .  x  1 Câu 6. Xác địn số hạng thứ 5 trong khai triển  a 2   .  b 10  1  Câu 7. Trong khai triển  2x3  2  , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x ?  x  n  1  Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức  2  x3  , biết rằng: Cn1  Cn3  13n , x  n ,n  2 , x  0 n  1 Câu 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 2  3  biết n là số nguyên dương thỏa mãn  x  Cn  Cn  13n. 1 3