Tài liệu ôn thi cao học 2005 - Môn: Giải tích cơ bản

Chia sẻ: Trần Bảo Quyên Quyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

355
lượt xem 180
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn: Giải tích cơ bản - Lý thuyết chuỗi

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi cao học 2005 - Môn: Giải tích cơ bản

GI I TÍCH (CƠ B N) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ngày 10 tháng 11 năm 2004 LÝ THUY T CHU I 1 Chu i s 1.1 Đ nh nghĩa ∞ Đ nh nghĩa 1. Cho (an )n là dãy s (có th th c hay ph c), chu i tương ng ký hi u là an . 1 k V i m i k ∈ N, đ t sk = an là t ng riêng ph n th k . Khi k thay đ i trên N, có dãy 1 t ng riêng ph n (sk )k . ∞ N u lim sk t n t i h u h n, ta nói chu i an h i t và đ t S = lim sk là t ng c a chu i, k→∞ k→∞ 1 ∞ S= an . 1 ∞ N u lim sk không t n t i ho c lim sk = +∞ hay lim sk = −∞, ta nói chu i an phân k→∞ k→∞ k→∞ 1 kỳ. Tính ch t 1. Tính h i t và t ng c a chu i không thay đ i n u thay đ i th t c a m t s h u h n s h ng. ∞ an và an cùng h i t ho c cùng phân kỳ. 2. Chu i n≥n0 1 ∞ an h i t thì lim an = 0. 3. Đi u ki n c n: n u chu i k→∞ 1 1
1.2 Chu i không âm ∞ an , an ≥ 0. Là chu i có d ng 1 Tính ∞ t ch an , an ≥ 0. Khi đó dãy t ng riêng ph n (sk )k là dãy tăng và n u (sk )k b ch n thì Cho 1 ∞ an h i t . chu i 1 D u hi u so sánh ∞ ∞ ∞ 1. Gi s 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ≥ n0 . Khi đó, n u bn h i t thì an h i t , n u an phân 1 1 1 ∞ bn phân kỳ. kỳ thì 1 an lim = k . Khi đó: 2. Gi s bn n→∞ ∞ ∞ (a) N u 0 < k < ∞ thì an , bn cùng h i t ho c cùng phân kỳ. 1 1 ∞ ∞ ∞ ∞ (b) N u k = 0 và bn h i t thì an h i t , n u an phân kỳ thì bn phân kỳ. 1 1 1 1 ∞ ∞ ∞ ∞ (c) N u k = ∞ và an h i t thì bn h i t , n u bn phân kỳ thì an phân kỳ. 1 1 1 1 Tiêu chu n tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên t c, f (x) ≥ 0 và f gi m. V i m i n ∈ N, đ t an = f (n). Khi đó: ∞ ∞ f (x)dx h i t ⇔ Chu i an h i t . Tích phân suy r ng 1 1 Chu i cơ b n: ∞ 1 • h i t khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 ∞ ∞ 1 n tn = • t , |t| < 1, h i t và t ng S = 1−t 0 0 D u hi u D’Alembert (t s ) ∞ an+1 an , an > 0. Gi s lim = k . Khi đó: Cho chu i s dương n→∞ an 1 ∞ 1. N u k < 1 thì an h i t . 1 2
∞ 2. N u k > 1 thì an phân kỳ. 1 3. N u k = 1, chưa k t lu n v s h i t . ∞ an+1 ≥ 1, ∀n ≥ n0 thì chu i an phân kỳ. Ghi chú. N u có an 1 D u hi u Cauchy (căn s ) ∞ √ an , an ≥ 0. Gi s lim an = k . Khi đó: Cho chu i không âm n k→∞ 1 1. N u k < 1 thì chu i h i t . 2. N u k > 1 thì chu i phân kỳ. 3. N u k = 1, chưa k t lu n v s h i t . 1.3 Chu i đan d u ∞ ∞ (−1)n an ho c (−1)n an , an ≥ 0. Có d ng 1 0 D u hi u Leibnitz ∞ (−1)n an , an ≥ 0. Gi s (an )n là dãy gi m và lim an = 0 thì chu i Cho chu i đan d u k→∞ 1 h i t . G i S là t ng c a chu i. Khi đó: |S | ≤ a1 . 1.4 Chu i b t kỳ ∞ an v i an có th âm hay dương. Có d ng 1 ∞ ∞ ∞ |an |. N u chu i |an | h i t thì chu i an h i t và ta nói Xét chu i không âm 1 1 1 ∞ ∞ ∞ |an | phân kỳ, ta nói chu i an h i t tuy t đ i. N u chu i an h i t nhưng chu i chu i 1 1 1 ∞ an là bán h i t . 1 Tính ch t ∞ an h i t tuy t đ i thì chu i có đư c b ng cách thay đ i th t các s h ng N u chu i 1 cũng h i t và t ng c a chu i không thay đ i. ∞ |an | h i t (phân kỳ) Ghi chú. N u b ng d u hi u D’Alembert ho c Cauchy mà chu i 1 ∞ an cũng h i t (phân kỳ) thì chu i 1 3
Đ nh lí 1. Cho (an )n là dãy gi m, an ≥ 0, lim an = 0. Cho (bn )n là dãy b t kỳ (không c n n→∞ n dương). Gi s có h ng s C > 0 sao cho v i m i n ∈ N, bk ≤ C . 1 ∞ ∞ an bn th a mãn |S | ≤ Ca1 . an bn h i t và t ng S = Khi đó, chu i 1 1 Thí d Xét s h i t c a chu i ∞ 1 1 Đ t f : [2, ∞) → R, f (x) = thì f liên t c, f (x) ≥ 0 và f gi m. Khi 1. α x lnα x n ln n 2 1 , n ≥ 2. đó, f (n) = n lnα n ∞ ∞ dx dt = (đ i bi n t = ln x) Xét tích phân suy r ng x lnα x tα 2 ln 2 Tích phân h i t khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1. ∞ 1 h i t khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1. V y chu i n lnα n 2 ∞ √ ( n a − 1)α v i a > 1 2. 1 lnα a √ an α 1 Đ t an = ( n a − 1)α = e n ln a − 1 và bn = thì lim =1 α n n→∞ bn ∞ lnα a h i t khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1. Chu i nα 1 V y chu i đã cho h i t khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1. ∞ 1 1 − ln sin ln 3. 2 2 n n5 5 1 1   sin 1 1 n 2/5  − ln sin = − ln  Đ t an = ln  1 n 2/5 n 2 /5 n 2 /5 t3 t2 sin t + o(t3 ) nên = 1 − + o(t2 ) Do sin t = t − 6 t 6 1 ln(1 + t) an 1 Đ t bn = 4/5 , dùng lim = 1, ta có lim = n t n→∞ bn 6 t→0 ∞ 1 Do chu i phân kỳ nên chu i đã cho phân kỳ. n 4/ 5 1 ∞ 1 1 − ln 1 + sin 4. n n 1 4
1 1 − ln 1 + Đ t an = sin n n Dùng khai tri n Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t3 ), ln(1 + t) = t − + o(t2 ) 6 2 2 t Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t2 ) 2 1 an Đ t bn = 2 , ta có lim =1 2n n→∞ bn ∞ 1 Do chu i h i t nên chu i đã cho h i t . 2n2 1 ∞ 1 n+1 − ln 5. n n 1 1 n+1 − ln Đ t an = n n t2 1 an Do t − ln(1 + t) = + o(t2 ), đ t bn = 2 , ta có: lim =1 2 2n n→∞ bn ∞ 1 Do chu i h i t nên chu i đã cho h i t . 2n2 1 ∞ an th a đi u ki n: 6. Xét s h i t c a chu i dương 1 √ 1 ∀n ≥ n0 , an ≤ 1− v i α ∈ (0, 1). n nα n 1 Ta có: 0 < an ≤ 1− , ∀n ≥ n0 nα n 1 Xét lim n2 1 − nα n→∞ n 1 1 2 ln n 1 = n 1− α 2 − nα ln 1 − α 1− α = 2 ln n − n ln 1 − Ta có ln n 1− α nα n n n ln n 1 = 0, lim nα ln 1 − α = −1 nên Do lim n→∞ n1−α n n→∞ n 1 lim n2 1 − =0 nα n→∞ D n đ n lim n2 .an = 0 n→∞ ∞ ∞ 1 an h i t . Do chu i h i t nên n2 1 1 ∞ an th a đi u ki n: 7. (a) Xét s h i t c a chu i 1 5
α an+1 n ≤ an > 0, v iα>1 an n+1 ∞ un v i: (b) Xét s h i t c a chu i 1 1.3. . . . .(2n − 1) un = 2.4. . . . .2n.(2n + 2) 1 (a) Đ t bn = , ta có nα α α an+1 n bn+1 1 ≤ = 1− , ∀n = an n+1 bn n+1 an+1 an a1 ≤ ≤ ··· ≤ = a1 , ∀n Suy ra bn+1 bn b1 ∞ ∞ 1 V y an ≤ a1 .bn , ∀n. Do α > 1, chu i an h i t . h i t nên chu i nα 1 1 3 un+1 2n + 1 3 1 2 =1− ≤ 1− (∗) = (b) Ta có un 2n + 4 2(n + 2) n+2 ∞ 1 Tương t (7a) v i bn = un h i t . ta có chu i (n + 1)3/2 1 Ta ch ng minh: v i t ∈ [0, 1], α > 1, (1 − t)α ≥ 1 − αt Đ t ϕ(t) = (1 − t)α − (1 − αt), ta có: ϕ (t) = −α(1 − t)α−1 + α ≥ 0 Do ϕ(0) = 0 nên ϕ(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)α ≥ 1 − αt 8. Cho α ∈ (0, 2π ), s > 0. Xét s h i t c a hai chu i ∞ ∞ cos nα sin nα , ns ns 1 1 Trư c tiên ch ng minh: có M > 0 sao cho n n cos kα ≤ M, sin kα ≤ M, ∀n 0 0 Do eikα = cos kα + i sin kα, ∀k ∈ N, ta có: n 1 − ei(n+1)α (1 − cos(n + 1)α) − i sin(n + 1)α eikα = = iα 1−e (1 − cos α) − i sin α 0 [(1 − cos(n + 1)α) − i sin(n + 1)α][(1 − cos α) + i sin α] = (1 − cos α)2 + sin2 α Đ ng nh t ph n th c và o n [1 − cos(n + 1)α](1 − cos α) + sin α. sin(n + 1)α 5 ≤ cos kα = 2 + sin2 α (1 − cos α)2 + sin2 α (1 − cos α) 0 6
n [1 − cos(n + 1)α] sin α + (1 − cos α). sin(n + 1)α 4 ≤ sin kα = 2 + sin2 α (1 − cos α)2 + sin2 α (1 − cos α) 0 V y đi u kh ng đ nh đư c ch ng minh. ∞ 1 an bn v i l n lư t bn = cos nα, bn = sin nα và an = Do hai chu i đã cho có d ng , ns 1 (an )n là dãy gi m, lim an = 0 và có h ng s C ≥ 0 th a mãn: n→∞ n n cos kα ≤ C, sin kα ≤ C, ∀n 1 1 ∞ ∞ cos nα sin nα V y chu i , h it . ns ns 1 1 ∞ lnα n (−1)n 9. Cho α > 0, s > 0. Xét s h i t c a chu i đan d u ns 2 α ln t Xét hàm ϕ(t) = ts α−1 ln t α Ta có ϕ (t) = s+1 (α − s ln t) ≤ 0 khi ln t ≥ t s α/s V y ϕ là hàm gi m khi t ≥ e lnα n lnα n (−1)n V i n0 ∈ N sao cho n0 ≥ eα/s , chu i đan d u có dãy là dãy gi m, ns ns n≥n0 lnα n lim =0 n→∞ ns Theo d u hi u Leibnitz, chu i đã cho h i t . 2 Bài t p 1. Tính t ng riêng và t ng (n u có) c a chu i sau ∞ 1 1 1 1 1 − HD: an = = (a) 4n2 4n2 −1 −1 2n − 1 2n + 1 2 1 ∞ 3n2 + 3n + 1 1 1 − HD: an = (b) n3 (n + 1)3 3 (n + 1)3 n 1 ∞ a−b 1 HD: arctg a − arctg b = arctg arctg (c) n2 +n+1 1 + ab 1 2. Xét s h i t c a các chu i sau 7
∞ 1 (a) n(n + 1) 1 √ √ ∞ n+1− n−1 (b) n 3/ 4 1 ∞ √ ( n2 + 1 − n)α (c) 1 ∞ n n 1 n+1 n+1 HD: lim =e (d) nα n n n→∞ 1 ∞ 1 HD: ln(1 + t) ∼ t ln 1 + (e) nα 1 ∞ 1 n+1 √ ln (f) n−1 n 1 ∞ t2 1 1 − cos HD: 1 − cos t ∼ (g) nα 2 1 ∞ 1 n4/3 arctg (h) n2 1 ∞ ln n (i) n 3/ 2 1 ∞ 2n + 3n (j) 4n + n2 1 3. Dùng tiêu chu n t s ho c căn s xét s h i t c a chu i ∞ n! (a) 8n .n2 1 ∞ 1.3.5. . . . .(2n − 1) (b) 22n .(n − 1)! 1 ∞ 7n (n!)2 (c) n 2n 1 ∞ n 2n + 1 n (d) 3n − 1 1 n2 ∞ 1 1 1+ (e) 2n n 1 ∞ n(n−1) n−1 (f) n+1 1 4. Xét s h i t c a chu i đan d u: 8
∞ n+1 (−1)n . (a) n2 +n+1 1 ∞ 1 (−1)n . ln 1 + , α>0 (b) nα 1 ∞ 1 1 (−1)n tg √ sin √ (c) n n 1 ∞ (−1)n (d) 1 n + cos √ 1 n ∞ √ √ HD: cos nπ = (−1)n ( n + 1 − n) cos nπ (e) 1 ∞ 1.4.7. . . . .(3n − 2) (−1)n+1 (f) 3.5.7. . . . .(2n + 1) 1 5. Xét s h i t và h i t tuy t đ i c a chu i ∞ 1 (−1)n+1 , α>0 (a) nα ln n 1 ∞ 1 (−1)n , α>0 (b) nα .n1/n 1 ∞ α n+1 n (−1) , α>0 (c) 2n2 + 1 1 ∞ cos na a ∈ (0, π ) , α > 0, (d) nα 1 HD (5d) ∞ ∞ cos2 na 1 cos 2na + 1 ,= nα nα 2 1 1 ∞ ∞ 1 cos 2na V i α ≤ 1, chu i phân kỳ, h it . nα nα 1 1 ∞ 2 cos na Suy ra chu i phân kỳ. nα 1 ∞ | cos na| 2 Do | cos na| ≥ cos na, ∀n ∈ N nên chu i phân kỳ. nα 1 ∞ cos na , α ≤ 1, h i t nhưng không h i t tuy t đ i. V y chu i nα 1 9
3 Chu i hàm s 3.1 S h it : n Đ nh nghĩa 2. V i m i n ∈ N, un : I ⊂ R → R, chu i hàm tương ng ký hi u là un . V i 1 ∞ m i x ∈ I, có chu i s th c un (x), khi x thay đ i trên I , có vô s chu i s , trong s đó có 1 nh ng chu i s h i t và nh ng chu i phân kỳ. ∞ ∞ x ∈ I, un (x), x ∈ D. D đư c g i là mi n Đăt D = un (x) h i t và đ t u(x) = 1 1 ∞ h i t c a chu i, ký hi u : u = un . 1 Ta nói : ∞ un h i t v u trên D ⇔ ∀x ∈ D, ∀ε > 0, ∃k0 : ∀k ≥ k0 =⇒ un (x) < ε. – n≥k0 1 ∞ un h i t đ u v u trên D ⇔ ∀ε > 0, ∃k0 ∈ N : ∀k ≥ k0 =⇒ un (x) < ε, ∀x ∈ D. – n≥k0 1 D u hi u Weierstrass: ∞ ∞ Gi s : |un (x)| ≤ an , ∀x ∈ D, ∀n ≥ n0 và an h i t . Khi đó chu i un h i t đ u trên 1 1 D. Đ nh lí 2 (Weierstrass). ∞ 1) Gi s : ∀n ∈ N, un liên t c trên D, un h i t đ u v u trên D. Khi đó u liên t c trên 1 D. ∞ 2) Gi s : ∀n ∈ N, un kh vi liên t c trên [a, b], chu i đ o hàm un h i t đ u v v và có 1 ∞ x0 ∈ [a, b] sao cho chu i s un (x0 ) h i t . 1 ∞ Khi đó có hàm u kh vi liên t c trên [a, b] sao cho chu i un h i t đ u v u trên [a, b] 1 ∞ và u = v = un . 1 x x ∞ u(t)dt = u(t)dt. Hơn n a : 1 a a 4 Chu i lũy th a: ∞ an (x − x0 )n , x0 là tâm c a chu i. Đ nh nghĩa 3. Chu i lũy th a là chu i có d ng 0 10
√ ∞ an+1 = ρ ho c lim n |an | = ρ. n an (x − x0 ) . Gi s : lim Đ nh lí 3. Cho chu i lũy th a an n→∞ n→∞ 0 1 Đ t R = và g i R là bán kính h i t c a chu i. Khi đó : ρ ∞ an (x − x0 )n h i t v hàm u trên (x0 − R, x0 + R). i. Chu i 0 ∞ an (x − x0 )n phân kỳ khi |x − x0 | > R. ii. Chu i 0 ∞ nan (x − x0 )n−1 , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R) iii. Hàm u kh vi và u (x) = 1 x ∞ an (x − x0 )n+1 , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R). Mi n h i t c a chu i u(t)dt = Hơn n a : n+1 0 x0 ∞ an (x − x0 )n là (x0 − R, x0 + R) có th thêm vào đi m đ u x0 − R và đi m cu i x0 + R 0 tùy t ng trư ng h p. Thí d : ∞ 1 có mi n h i t là |x| > 1. 1) Chu i 1 + x 2n 0 ∞ 1 1 1 ≤ , ∀x, |x| ≤ a và V i a > 1, ta có : h i t . V y chu i hàm h i 2n 1 + a2 n a2 n 1+x 0 t đ u trên mi n |x| ≥ a. ∞ (−1)n là chu i hàm đan d u, có mi n h i t là x > 1. V i a > 1, ε > 0, do tính 2) Chu i nln x 0 (−1)n 1 1 ch t c a chu i đan d u, có k0 ∈ N : < ε, v i k ≥ k0 ta có : ≤ ≤ kln a k0 a ln nln x n≥k 1 < ε. V y chu i h i t đ u trên mi n x ≥ a. k0 a ln ∞ xn , x = 1. 3) Chu i 1 + xn 0 1 V i |x| < 1, có n0 ∈ N sao cho : ∀n ≥ n0 thì |x|n < . 2 xn n ≤ 2|x| . Suy ra : 1 + xn V y mi n h i t c a chu i là (−1, 1). Tuy nhiên chu i không h i t đ u trên (−1, 1). Th t xk v y, v i ε = 1, v i m i k ∈ N có th ch n x ∈ (0, 1) sao cho: >1 1 − x2 Khi đó : xk xn xn ≤ 1< = . 1 − x2 n≥k 1 + x n≥k 1 + xn 11
xn an ≤ , ∀x, |x| ≤ a, ∀n ∈ N. V i m i 0 < a < 1, ta có : 1 + xn 1−a ∞ xn ∞ n h i t đ u trên [−a, a]. a h i t . V y chu i Chu i 1 + xn 0 0 ∞ ∞ cos nx sin nx h i t khi x = k 2π, k ∈ Z. Th t v y, v i m i 4) V i s > 0, chu i , ns ns 1 1 k, p ∈ N có h ng s M sao cho: k +p k +p M M cos nx ≤ sin nx ≤ , 1 − cos x 1 − cos x k k ∞ ∞ 1 cos nx sin nx gi m v 0 nên chu i , dãy h i t , có t ng ns ns xs k k ∞ ∞ cos nx sin nx S1 = , S2 = ns ns k k 1 M 1 M th a mãn: |S1 | ≤ , |S2 | ≤ s . s 1 − cos x k 1 − cos x k V i a > 0 và ε > 0 b t kỳ, M M ≤ , ∀x ∈ [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a], ∀i ∈ Z, do 1 − cos x 1 − cosa 1 M ch n k0 ∈ N sao cho: s . < ε. Khi đó, v i k ≥ k0 , ta có: k 1 − cos a ∞ ∞ cos nx sin nx ε, ∀x ∈ [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a]. < ε, ns ns k k ∞ ∞ sin nx cos nx h i t đêu trên mi n [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a], i ∈ Z. , Suy ra: chu i xs xs 1 1 ∞ sin n2 x ∞ cos n2 x Ghi chú: Chu i h i t trên R nhưng chu i đ o hàm t ng s h ng n2 1 1 không h i t . Công th c Maclaurin c a các hàm cơ b n: ∞ 1 tn , |t| < 1 = 1) 1−t 0 ∞ 1 (−1)n tn , |t| < 1 = 2) 1+t 0 ∞ tn t , ∀t ∈ R 3) e = n! 0 12
∞ t2n+1 (−1)n , ∀t ∈ R 4) sin t = (2n + 1)! 0 ∞ t2n (−1)n , ∀t ∈ R 5) cos t = (2n)! 0 ∞ tn+1 n (−1) , t > −1 6) ln(1 + t) = n+1 0 α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − n + 1) n 7) (1 + t)α = 1 + αt + t + . . . , |t| < 1. t + ... + 2! n! Chu i Taylor: ∞ f (n) (x0 ) (x − x0 )n là chu i Cho hàm f kh vi vô h n l n trong lân c n c a x0 . Chu i n! 0 Taylor c a f trong lân c n c a x0 . N u chu i Taylor c a f có bán kính h i t R > 0 thì ∞ f (n) (x0 ) (x − x0 )n , x ∈ (x0 − R, x0 + R). f (x) = n! 0 Bài T p 1. Tìm mi n h i t c a chu i hàm : ∞ 1 1) nx 1 ∞ (−1)n+1 2) 1 + nx 1 ∞ n−1 3) xnx 1 ∞ 1 xn + 4) 2n xn 0 2. Xét s h i t đ u c a chu i hàm: ∞ (−1)n 1) trên R. HD : dùng chu i đan d u. x 2n + n 1 ∞ xn e−nx trên [0, a] v i a > 0. 2) 0 ∞ 1 √ (x2n − x2n+1 ) trên [0, 1]. 3) n 0 1 1 HD : 0 ≤ un (x) = √ (x2n − x2n+1 ) ≤ √ , ∀x ∈ [0, 1]. n n(2n + 1) ∞ x2 (−1)n 4) trên R. (1 + x2 )n 0 13
3. Tìm mi n h i t c a chu i lũy th a sau : ∞ xn 1) n 1 ∞ (x − 2)n , s > 0. 2) ns 1 ∞ (x + 1)n 3) (2n − 1)! 1 ∞ xn 4) 3n + 2n 1 ∞ √ n (x + 1)n 2 5) 0 ∞ (x − 4)n √ 6) n 1 ∞ (−1)n−1 n x 7) n2n 1 ∞ n n+1 (x − 2)2n , HD : đ t t = (x − 2)2 8) 2n + 1 1 ∞ ∞ (x + 5)2n−1 (x + 5)2n−2 , HD : xét (x + 5) . 9) n2 4n n2 4n 1 1 ∞ 1 (x − 1)n 10) n(ln n)2 2 ∞ ln n (x + 2)n . 11) n 1 4. Tính t ng c a các chu i sau : ∞ (−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1). 1) 1 ∞ (−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1). Tính tích phân hai v . HD: đ t f (x) = 1 ∞ n x , x ∈ (−1, 1) 2) n 1 ∞ xn HD: f (x) = , f (0) = 0. Đ o hàm hai v . n 1 ∞ nxn , x ∈ (−1, 1) 3) 1 ∞ ∞ nxn−1 = x.S (x) v i S (x) = nxn−1 . HD : f (x) = x. 1 1 14
∞ 2 xn , x ∈ (−1, 1). 1+ 4) 3n+1 0 HD: tách thành t ng hai chu i. ∞ n(n + 1)xn−2 , x ∈ (−1, 1). 5) 2 ∞ ∞ n(n + 1)xn−2 , S (0) = 6, xS (x) = n(n + 1)xn−1 . HD : đ t S (x) = 2 2 5. Khai tri n Maclaurin c a các hàm s sau : 1) f (x) = sin2 x. HD : sin2 x = 2 (1 − cos 2x). 1 x3 + x + 1 2) f (x) = . x3 − 4x + 3 3 31 HD : f (x) = x + 4 − + . 2(x−1) 2(x−3) 2 3) f (x) = xex , Tính f (19) (0). ∞ ∞ x2n+1 f (k) (0) k x . Đ ng nh t h s c a x19 HD : f (x) = = hai v . n! k! 0 0 x , Tính f (17) (0). 4) f (x) = 1 + x4 √ 5) f (x) = 3 8 + x. √ 6) f (x) = ln(x + 1 + x2 ). x ∞ α(α − 1) . . . (α − n + 1) 2n −1 HD : f (0), f (x) = (1 + x2 ) , f (x) = t dt, v i 2 n! 0 0 1 α=− . 2 x sin t 7) f (x) = dt. t 0 15