Tài liệu về Xác suất

Chia sẻ: Dau Con | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu dành cho các bạn sinh viên đang theo học tại các trường đại học, cao đẳng tham khảo nhằm củng cố các kiến thức và nâng cao khả năng phân tích trong học tập. Chúc các bạn học tốt nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu về Xác suất

CHÖÔNG 1 XAÙC SUAÁT 1.1. THÍ NGHIEÄM NGAÃU NHIEÂN, KHOÂNG GIAN MAÃU, BIEÁN COÁ 1.1.1 Thí nghieäm ngaãu nhieân (Random Experiment) Thí nghieäm ngaãu nhieân laø moät thí nghieäm coù hai ñaëc tính : Khoâng bieát chaéc haäu quaû naøo seõ xaûy ra. • Nhöng bieát ñöôïc caùc haäu quaû coù theå xaûy ra • Thí duï 1.1.1: Thaûy moät con xuùc saéc laø moät Thí nghieäm ngaãu nhieân vì : Ta khoâng bieát chaéc maët naøo seõ xuaát hieän • Nhöng bieát ñöôïc coù 6 tröôøng hôïp xaûy ra. • (xuùc saéc coù 6 maët 1, 2, 3, 4, 5, 6) 1.1.2. Khoâng gian maãu (Sample Space) Taäp hôïp caùc haäu quaû coù theå xaûy ra trong thí nghieäm ngaãu nhieân goïi laø khoâng gian maãu cuûa thí nghieäm ñoù. Thí duï 1.1.2: Khoâng gian maãu cuûa thí nghieäm thaûy moät con xuùc xaéc laø: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Thí duï 1.1.3: Khoâng gian maãu cuûa thí nghieäm thaûy cuøng moät luùc hai ñoàng xu laø: E = {SS, SN, NS, NN} vôùi S: Saáp, N: Ngöûa 1.1.3. Bieán coá (Event) 1.1.3.1. Bieán coá Moãi taäp hôïp con cuûa khoâng gian maãu laø moät bieán coá • Bieán coá chöùa moät phaàn töû goïi laø bieán coá sô ñaúng • Thí duï 1.1.4: Trong thí nghieäm thaûy 1 con xuùc saéc : Bieán coá caùc maët chaün xuaát hieän laø : {2, 4, 6} • Gv. Cao Haøo Thi
Bieán coá caùc maët leû xuaát hieän laø : {1, 3, 5} • Caùc bieán coá sô ñaúng laø : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} • 1.1.3.2. Bieán coá xaûy ra (hay thöïc hieän) Goïi r laø moät goïi haäu quaû xaûy ra vaø A laø moät bieán coá neáu r ∈ A ta noùi bieán coá A xaûy ra • neáu r ∉ A ta noùi bieán coá A khoâng xaûy ra • Thí duï 1.1.5 : Trong thí nghieäm thaûy moät con xuùc saéc neáu maët 4 xuaát hieän thì: Bieán coá {2,4,6} xaûy ra vì 4 ∈ {2, 4, 6} • Bieán coá {1,3,5} khoâng xaûy ra vì 4 ∉ {1, 3, 5} • Ghi chuù: Þ ⊂ E => Þ laø moät bieán coá • r ∉ Þ => Þ laø moät bieán coá voâ phöông (bieán coá khoâng) E ⊂ E => E laø moät bieán coá • ∀ r, r ∈ E => E laø moät bieán coá chaéc chaén 1.1.4. Caùc pheùp tính veà bieán coá Cho 2 bieán coá A, B vôùi A ⊂ E vaø B ⊂ E 1.1.4.1. Bieán coá hoäi A ∪ B (Union) Bieán coá hoäi cuûa 2 bieán coá A vaø B ñöôïc kyù hieäu laø A ∪ B. A ∪ B xaûy ra (A xaûy ra HAY B xaûy ra) E A B A∪B Gv. Cao Haøo Thi 2
1.1.4.2 Bieán coá giao A ∩ B (Intersection) A ∩ B xaûy ra (A xaûy ra VAØ B xaûy ra) E A B A∩B 1.1.4.3 Bieán coá phuï A = C E (Bieán coá ñoái laäp, Component of A) A A xaûy ra A khoâng xaûy ra E A A 1.1.4.4. Bieán coá caùch bieät ( bieán coá xung khaéc, mutually exclusive event) A caùch bieät vôùi B A∩B=Þ A caùch bieät vôùi B A vôùi B khoâng cuøng xaûy ra E A B A∩B=Þ Gv. Cao Haøo Thi 3
Thí duï 1.1.6 : Trong thí nghieäm thaûy moät con xuùc saéc, ta coù khoâng gian maãu: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Goïi A laø bieán coá maët leû xuaát hieän => A = {1, 3, 5} • Goïi B laø bieán coá khi boäi soá cuûa 3 xuaát hieän => B = {3, 6} • Goïi C laø bieán coá khi maët 4 xuaát hieän => C = {4}, bieán coá sô ñaúng. • Ta coù: A ∪ B = {1, 3, 5, 6} A ∩ B = {3} A = {2,4,6} : bieán coá khi maët chaün xuaát hieän. A ∩ C = Þ => A vaø C laø 2 bieán coá caùch bieät. 1.1.4.5. Heä ñaày ñuû (Collectively Exhaustive) Goïi A1, A2…, Ak laø k bieán coá trong khoâng gian maãu E Neáu A1∪ A2∪… ∪Ak = E thì K bieán coá treân ñöôïc goïi laø moät heä ñaày ñuû. 1.2 XAÙC SUAÁT (Probability). 1.2.1. Ñònh nghóa : Neáu thoâng gian maãu E coù N bieán coá sô ñaúng vaø bieán coá A coù n bieán coá sô ñaúng thì xaùc suaát cuûa bieán coá A laø : n(A) P(A) = N Moät caùch khaùc ta coù theå vieát : Soá tröôøng hôïp A xaûy ra P(A) = Soá tröôøng hôïp coù theå xaûy ra Thí duï 1.2.1: Trong thí nghieäm thaûy moät con xuùc saéc, xaùc suaát cuûa bieán coá caùc maët chaün xuaát hieän laø : n(A) 3 1 P(A) = == N 62 1.2.2 Tính chaát : a. Goïi A laø moät bieán coá baát kyø trong khoâng gian maãu E 0 ≤ P(A) ≤ 1 Gv. Cao Haøo Thi 4
b. P (Þ) = 0 ==> Þ laø Bieán coá voâ phöông P (E) = 1 ==> E laø Bieán coá chaéc chaén 1.2.3. Coâng thöùc veà xaùc suaát : 1.2.3.1. Xaùc suaát cuûa bieán coá hoäi: P (A ∪ B) = P (A) + P(B) - P( A ∩ B) Chöùng minh: Goïi N : laø soá phaàn töû cuûa khoâng gian maãu E n1: laø soá phaàn töû cuûa (A-B) n2: laø soá phaàn töû cuûa (A∩B) n3: laø soá phaàn töû cuûa (B -A) E A n1 n2 n3 B n(A ∪ B) = n1 + n2 + n3 = n1 + n2 + n2 + n3 - n2 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) Do ñoù : n( A ∪ B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A ∩ B )/N P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Ghi chuù : Neáu A vaø B laø 2 bieán coá caùch bieät, ta coù: A ∩ B = Þ => P(A ∩ B) = P(Þ) = 0 ==> P (A ∪ B) = P(A) + P(B) 1.2.3.2 Xaùc suaát cuûa bieán coá phuï (bieán coá ñoái laäp) Bieán coá phuï cuûa bieán coá A trong khoâng gian quan maãu E laø A P(A) + P ( A ) = 1 Chöùng minh A∪ A = E Gv. Cao Haøo Thi 5
P (A∪ A ) = P(E) P(A) + P( A ) - P(A ∩ A ) = 1 vì P(A∩ A ) = P(Þ) = 0 1.2.4. Coâng thöùc nhaân veà xaùc suaát : 1.2.4.1 Xaùc xuaát coù ñieàu kieän : Goïi P (B / A) laø xaùc suaát coù ñieàu kieän cuûa bieán coá B sau khi bieán coá A ñaõ thöïc hieän. P(B/A) = P(A ∩ B)/ P(A) Vôùi P(A) > 0 ; P(B) > 0 hay P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B) Chöùng minh : Goïi E laø khoâng gian maãu chöùa hai bieán coá A,B • Giaû söû A thöïc hieän roài thì A laø bieán coá chaéc chaén, ta coù theå choïn A laøm khoâng gian • maãu thu goïn. Bieán coá B thöïc hieän sau khi bieán coá A xaûy ra trôû thaønh bieán coá B/A. • Trong khoâng gian maãu bieán coá B/A thöïc hieän neáu vaø chæ neáu A ∩ B thöïc hieän. • r ∈ B/A r∈A∩B E A B A∩B Theo ñònh nghóa, ta coù: n(A ∩ B) n(A ∩ B) P(A ∩ B) N P(B / A ) = = = n( A ) n( A ) P(A ) N 1.2.4.2. Coâng thöùc nhaân veà xaùc suaát: Cho hai bieán coá A vaø B trong khoâng gian maãu E, xaùc suaát cuûa bieán coá giao ñöôïc tính theo coâng thöùc: P(A∩B) = P(B/A) * P(A) hay P(A∩B) = P(A/B) * P(B) Gv. Cao Haøo Thi 6
1.2.4.3. Bieán coá ñoäc laäp : Bieán coá goïi laø ñoäc laäp vôùi bieán coá A veà phöông dieän xaùc suaát neáu xaùc suaát cuûa bieán coá B khoâng thay ñoåi cho duø bieán coá A ñaõ xaûy ra, nghóa laø: P(B/A) = P(B) Ngöôïc laïi P(A/B) = P(A) Trong tröôøng hôïp hai bieán coá ñoäc laäp, coâng thöùc nhaân trôû thaønh: P(A∩B) = P(A) * P(B) 1.2.5. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû - Coâng thöùc Bayes 1.2.5.1. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû : Giaû söû bieán coá B xaûy ra khi vaø chæ khi moät trong caùc bieán coá cuûa heä ñaày ñuû caùch bieät nhau töøng ñoâi moät A1, A2…, Ak xaûy ra. Bieát xaùc suaát P(Ai) vaø P(B/Ai) haõy tìm P(B) A1 A2 Ak E B B∩A1 B∩A2 B∩Ak Theo giaû thieát baøi toaùn thì B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B∩Ak) P(B) = P[(B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪…∪ (B∩Ak)] = P(B∩A1) + P(B∩A2) + … + P(B∩Ak) Vì P(B∩Ai) = P(B/Ai) * P(Ai) Gv. Cao Haøo Thi 7
k ∑ P(B / A i ) * P (A i ) P(B) = i =1 Coâng thöùc naøy ñöôïc goïi laø coâng thöùc xaùc xuaát ñaày ñuû. Thí duï 1.2.2: Trong nhaø maùy coù 4 phaân xöôûng. Phaân xöôûng I saûn xuaát chieám 1/3 toång saûn löôïng cuûa nhaø maùy; Phaân xöôûng II chieám 1/4; Phaân xöôûng III chieám 1/4; Phaân xöôûng IV chieám 1/6. Tyû leä pheá phaåm töông öùng vôùi caùc phaân xöôûng laø 0.15, 0.08, 0.05, 0.01. Tìm xaùc suaát ñeå laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm trong kho saûn phaåm cuûa nhaø maùy thì saûn phaåm ñoù laø pheá phaåm Giaûi : Goïi A1, A2, A3, A4 laø bieán coá laáy ñuùng moät saûn phaåm cuûa phaân xöôûng I,II,III,IV. Goïi B laø bieán coá laáy ñöôïc moät pheá phaåm B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4) 4 ∑ P ( B / A i ) * P( A i ) ==> P(B) = i =1 Theo ñeà baøi: ∑ P(Ai) = 1 P(A1) = 1/3, P(A2) = 1/4, P(A3)= 1/4, P(A4) = 1/6, P(B/A1) = 0.15, P(B/A2) = 0.08, P(B/A3) = 0.05, P(B/A4) = 0.01 Vaäy P(B) =1/3 * 0.15 + 1/4 * 0.08 + 1/4 * 0.05 + 1/6 * 0.01 = 0.0816 1.2.5.2. Coâng thöùc Bayes: Giaûi baøi toaùn ngöôïc cuûa baøi toaùn treân, töùc laø bieát caùc P(Ai), P(B/Ai) vaø bieán coá B ñaõ xaûy ra, tìm P(Ai/B) Ta coù : B = (B∩A1) ∪ (B∩A2) ∪ (B∩A3) ∪ (B∩A4) vaø P(Ai∩B) = P(Ai/B) * P(B) = P(B/Ai) * P(Ai) P(B/A i ) * P(A i ) P(Ai /B) = P(B) P(B/A i ) * P(A i ) P(Ai /B) = k ∑ P(B/A i ) * P(A i ) i =1 Gv. Cao Haøo Thi 8
Coâng thöùc naøy ñöôïc goïi laø coâng thöùc Bayes, hay coâng thöùc xaùc suaát caùc giaû thieát veà caùc bieán coá Ai coù theå xem nhö giaû thieát theo ñoù bieán coá B xuaát hieän. Ta phaûi tính xaùc suaát cuûa caùc giaû thieát vôùi ñieàu kieän bieán coá B xuaát hieän. Thí duï 1.2.3: Xeùt laïi thí duï 2.2, cuõng vôùi giaû thieát ñoù baây giôø ta yeâu caàu xaùc suaát ñeå laáy moät saûn phaåm cuûa phaân xöôûng thöù nhaát bieát noù laø moät pheá phaåm. Ta phaûi tìm P(A1/B) P(A1/B) = [P(B/A1) * P(A)]/P(B) = [0.15 * 1/3]/0.0816 = 0.61 1.2.6. Coâng thöùc Bernoulli : 1.2.6.1. Coâng thöùc Bernoulli : Neáu tieán haønh nhöõng pheùp thöùc ñoäc laäp, trong moãi pheùp thöû xaùc suaát hieän cuûa bieán coá A nhö nhau vaø baèng p thì xaùc suaát ñeå bieán coá A xuaát hieän k laàn trong n pheùp thöû ñoù ñöôïc bieåu dieãn baèng coâng thöùc Bernoulli k Pn(k) = C pk qn-k Vôùi q = 1-p n Ghi chuù : a. Trong tröôøng hôïp bieán coá A xuaát hieän töø k1 ñeán k2 laàn trong n pheùp thöû thì ta kyù hieäu xaùc xuaát ñoù laø Pn(k1,k2) Goïi Aki laø bieán coá A xuaát hieän ki laàn A = Aki ∪ Ak1+1 ∪…∪ Ak2 k2 Pn (k1,k2) = P(A) = ∑ C in p i q n − i i = k1 b. Khi n vaø k khaù lôùn vieäc tính toaùn Pn(k) vaø Pn(k1, k2) seõ phöùc taïp. Ñeå khaéc phuïc ñieàu ñoù ngöôøi ta phaûi tìm caùch tính gaàn ñuùng caùc xaùc suaát ñoù baèng caùc aùp duïng caùc ñònh lyù giôùi haïn. Thí duï 1.2.4: Trong thuøng coù 30 bi: 20 traéng vaø 10 ñen. Laáy lieân tieáp 4 bi, trong ñoù moãi bi laáy ra ñeàu hoaøn laïi thuøng tröôùc khi laáy bi vaø tieáp theo vaø caùc bi ñeàu ñöôïc troän laïi. Hoûi xaùc suaát ñeå trong 4 bi laáy ra coù 2 bi traéng. Giaûi: Xaùc suaát laáy ñöôïc bi traéng p = 20/30 =2/3 coù theå xem nhö nhau trong 4 pheùp thöû: q = 1 - p = 1/3 aùp duïng coâng thöùc Bernoulli Gv. Cao Haøo Thi 9
2 2 4*3 2  1 8 (4-2) P4(2) = C p²q = ≈ 0.3    = 2 1 * 2  30   3  4 27 Thí duï 1.2.5: Xaùc suaát xuaát hieän bieán coá A baèng 0.4. Hoûi xaùc suaát ñeå trong 10 pheùp thöû bieán coá A xuaát hieän khoâng quaù 3 laàn. Giaûi: p = 0.4, q = 0.6 Xaùc suaát ñeå bieán coá A xuaát hieän 0 laàn : P10(0) = q10 Xaùc suaát ñeå bieán coá A xuaát hieän 1 laàn : P10(1) = 10pq9 Xaùc suaát ñeå bieán coá A xuaát hieän 2 laàn : P10(2) = 45p2q8 Xaùc suaát ñeå bieán coá A xuaát hieän 3 laàn : P10(3) = 120p3q7 Xaùc suaát ñeå bieán coá A xuaát hieän khoâng quaù 3 laàn P10(0,3) = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) ≈ 0.38 Ghi chuù: n! a) Chænh hôïp Apn = (n - p)! n! b) Toå hôïp Cpn = p!(n - p)! c) Hoaùn hôïp pn = Cnn = n! = n* (n - 1) * ( n - 2) * …. 3 * 2 * 1 1.2.6.2. Soá laàn xuaát hieän chaéc chaén nhaát: Trò soá cuûa Pn(k) noùi chung phuï thuoäc vaøo k. Ta tìm moät soá k0 sao cho Pn(k0) ñaït giaù trò lôùn nhaát. Soá k0 goïi laø soá laàn xuaát hieän chaéc chaén nhaát cuûa bieán coá A trong n pheùp thöû. Ta coù: np-q ≤ k0 ≤ np + p p ≠ 0 vaø p ≠ 1 Thí duï 2.6 : Xaùc suaát baén truùng ñích baèng 0.7. Baén 25 phaùt. Xaùc ñònh soá laàn coù khaû naêng truùng ñích nhaát. Giaûi : n = 25 p = 0.7 q = 0.3 Gv. Cao Haøo Thi 10
np - q ≤ k0 ≤ np + p 25 * 0.7 – 0.3 ≤ k0 ≤ 25 * 0.7 + 0.7 17.2 ≤ k0 ≤ 18.2 Vì k laø soá nguyeân, neân choïn k = 18 1.2.6.3. Caùc coâng thöùc gaàn ñuùng ñeå tính Pn (k) vaø Pn (k1,k2) Caùc coâng thöùc ñöôïc ruùt ra töø caùc ñònh lyù giôùi haïn. 1.2.6.3.1. Coâng thöùc Moixre - Laplace : a. Pn(k) ≈ ϕ(xk)/ npq Coâng thöùc Moixre - Laplace ñöôïc söû duïng khi n khaù lôùn • p laø xaùc suaát cuûa bieán coá A trong pheùp thöû Bernoulli, p khoâng quaù gaàn 0 vaø 1 • xk = (k-np)/ npq ϕ(x) = 1 / 2π * e-x²/2 : haøm soá Gauss f(x)/ 2π x Thí duï 1.2.7: Xaùc suaát ñeå saûn xuaát ra moät chi tieát loaïi toát laø 0.4. Tìm xaùc suaát ñeå trong 26 chi tieát saûn xuaát ra thì coù 13 chi tieát loaïi toát. Vaán ñeà laø tìm P26(13) n = 26 p = 0.4 q = 0.6 xk = (k - np)/ npq = 1.04 ϕ(xk) = ϕ(1.04) = 0.2323 P26(13) = ϕ(xk) / npq = 0.2323/2.5 = 0.093 b. Pn (k1, k2) ≈ Þ (β) - Þ (α) Gv. Cao Haøo Thi 11
Þ(x) 1/2 0 -1/2 α = (k1 - np)/ npq β = (k2 - np)/ npq x Þ(x) = 1/ 2π ∫ e-x²/2dx : haøm Laplace chuaån 0 Thí duï 1.2.8: Moät phaân xöôûng saûn xuaát boùng ñeøn ñaït trung bình laø 70% saûn phaåm loaïi toát. Tìm xaùc suaát ñeå trong 1000 boùng ñeøn coù töø 652 ñeøn 760 boùng ñeøn loaïi toát. Xaùc suaát phaûi tìm laø P1000 (652, 760) n = 1000, p = 0.7 q = 0.3 k1 = 652 k2 = 700 α = (k1 - np)/ npq = - 3.31 => Þ (α) = Þ(-3.31) = - 0.499520 β = (k2 - np)/ npq = 4.14 => Þ (β) = Þ(4.14) = 0.499968 P1000 (652, 760) = Þ (β) - Þ (α) = 0.999488 1.2.6.3.2. Coâng thöùc Poisson a. Neáu n ∞ vaø p 0 sao cho np = λ (const) thì Pn (k) ≈ (e-λλk) / k! b. Ñònh lyù Poisson cuõng coù theå duøng ñeå tính gaàn ñuùng Pn (k1,k2) k2 k2 ∑ Pn (k) ≈ ∑ e k!λ k −λ Pn (k1, k2) = k = k1 k = k1 Gv. Cao Haøo Thi 12
Thí duï 1.2.9 : Toång saûn phaåm cuûa xí nghieäp A trong 1 quí laø 800. Xaùc xuaát ñeå saûn xuaát ra moät pheá phaåm laø 0.005. Tìm xaùc suaát ñeå cho : 1. Coù 3 saûn phaåm laø pheá phaåm 2. Coù khoâng quaù 10 saûn phaåm bò hoûng Giaûi: n =800, p = 0.005 => λ = np = 4 1. P800(3) = e-44³/3! = 0.1954 10 ∑ e-44k/k! = 0. 997 2. P800(0.10) = k =0 Gv. Cao Haøo Thi 13