Tích phân - Phương pháp đổi biến số

Chia sẻ: Nguyen Chi Toai | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

1.849
lượt xem 365
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo ôn thi đại học, cao đẳng - Tích phân - Phương pháp đổi biến số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tích phân - Phương pháp đổi biến số

1vansitran@gmail.com-01689583116 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn  π π Đặt x = |a| sint; với t ∈  − ;  a2 − x2  2 2 hoặc x = |a| cost; với t ∈ [ 0; π ] a  π π Đặt x = ; với t ∈  − ;  \ { 0} sint  2 2 x2 − a2 a π  hoặc x = ; với t ∈ [ 0; π ] \   cost 2  π π Đặt x = |a|tant; với t ∈  − ;  a2 + x2  2 2 hoặc x = |a|cost; với t ∈ ( 0; π ) a+x a−x hoặc Đặt x = acos2t a−x a+x ( x − a) ( b − x) Đặt x = a + (b – a)sin2t 1  π π Đặt x = atant; với t ∈  − ;  a + x2 2  2 2 1 1 − x2 Bài 1: Tính I = ∫ x2 dx 2 2 Giải:  π π Đặt x = cost, t ∈  − ;  . ⇒ dx = - sint dt  2 2 Đổi cận: 2 π x 2 4 t 1 0 1 π π π 1− x 2 0 1 − cos 2t .sint I= ∫ dx = − ∫ dt = 4 sin t .sin t = 4 2 sin t 4  1  Khi đó: 2 x2 π cos 2t ∫ 0 cos 2t dt ∫ cos t dt = ∫  cos t − 1dt = 0 2 0  2  2 4 π π  π = ( tan t − t ) 4 = 1 − . (vì t ∈ 0;  nên sint ≥ 0 ⇒ sin t = sin t ) 0 4  4 a Bài 2: Tính I = ∫ x a − x dx 2 2 2 0 Giải:  π π Đặt x = asint, t ∈  − ;  . ⇒ dx = acostdt  2 2
2vansitran@gmail.com-01689583116 Đổi cận: x 0 a π t 0 2 π π π a 2 2 4 2 Khi đó: I = ∫ x a − x dx = a 2 sin 2 t a 2 ( 1 − sin 2 t ) .acostdt = a 4 sin 2 tcos 2tdt = a sin 2 2tdt = 2 2 2 0 ∫ 0 ∫ 0 4 ∫0 π π 4 2 a4  1  π a4 = a t − sin 4t  2 = 8 ∫ ( 1 − cos4t ) dt = 8  4 0  0 16 1 Bài 3: Tính I = ∫ x 1 − x dx 2 2 0 Giải:  π π Đặt x = sint, t ∈  − ;  . ⇒ dx = costdt  2 2 Đổi cận: x 0 1 π t 0 2 π π π 1 2 2 2 Khi đó: I = ∫ x 1 − x dx = sin 2 t 1 − sin 2 t .costdt = 1 sin 2 tcos 2tdt = 1 sin 2 2tdt = 2 2 0 ∫0 4∫ 0 4∫ 0 π π 12 1 1  π ( 1 − cos 4t ) dt = 8  t − 4 sin 4t  2 = 16 8∫ =  0 0 1 Bài 4: Tính I = ∫ x 1 − x dx 3 2 0 Giải: Đặt t = 1 − x 2 ⇔ t2 = 1 – x2 ⇒ xdx = -tdt Đổi cận: x 0 1 t 1 0 1 1 1 1  t3 t5  1 2 Khi đó: I = ∫ x 1 − x dx = I = ∫ x 1 − x xdx = ∫ ( 1 − t ) .t.tdt = ∫( t 2 − t 4 ) dt =  −  = . 3 2 2 2 2 0 0 0 0  3 5  0 15 2 e dx Bài 5: Tính I = ∫ x ln e 5 x Giải: dx Đặt t = lnx ⇒ dt = x Đổi cận: x e e2 t 1 2 e2 2 dx dt  1  2 15 Khi đó: I = ∫ = ∫ 5 = − 4  = . e x ln 5 x 1 t  4t  1 64
3vansitran@gmail.com-01689583116 1 Bài 6: Tính I = ∫ x ( x + 1) dx 3 4 4 0 Giải: dt Đặt t = x4 + 1 ⇒ dt = 4x3dx ⇒ x dx = 3 4 Đổi cận: x 0 1 t 1 2 1 2 1 4  1 5  2 31 Khi đó: I = ∫ x ( x + 1) dx = 4 ∫ t dt =  20 t  1 = 20 . 3 4 0 41   π 2 ∫ Bài 7: Tính I = sin 5 xcoxdx 0 Giải: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x 0 2 t 0 1 π 2 1 Khi đó: I = sin 5 xcoxdx = t 5 dt = 1 . ∫ 0 ∫ 0 6 π 12 Bài 8: Tính I = ∫ tan 4 xdx 0 Giải: π π 12 12 sin 4 x Ta có: ∫ tan 4 xdx = ∫ cos 4 x dx 0 0 dt Đặt t = cos4x ; ⇒ dt = −4s in 4 xdx ⇒ sin 4 xdx = − 4 Đổi cận: π x 0 12 1 t 1 2 π π 1 12 12 2 1 1 sin 4 x 1 dt 1 dt 1 1 Khi đó: I = ∫ tan 4 xdx = ∫ 0 0 cos 4 x dx = − ∫ = ∫ = ln t 1 = ln 2. 41 t 41 t 4 4 2 2 π 2 ∫ Bài 9: Tính I = cos 5 xdx 0 Giải: π π π 2 2 2 Ta có: cos 5 xdx = cos 4 xcoxdx = ( 1 − sin 2 x ) 2 coxdx ∫ 0 ∫ ∫0 0
4vansitran@gmail.com-01689583116 Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x 0 2 t 0 1 π π π π Khi đó: I = cos 5 xdx = ( 1 − sin 2 x ) 2 coxdx = ( 1 − t 2 ) 2 dt = ( 1 − 2t 2 + t 4 ) dt =  t − 2t + t  = 5 . 2 2 2 2 3 5 1 ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0   3  5  0 18 π 4 1 Bài 10: Tính I = ∫ 0 cos 4 x dx Giải: 1 Đặt t = tanx ; ⇒ dt = dx cos 2 x Đổi cận: π x 0 4 t 0 1 π π 4 1 4 1 1  t3  1 4 Khi đó: I = ∫ dx = ∫ ( 1 + tan x ) 2 dx = ∫ ( 1 + t ) dt =  t +  = . 2 0 cos 4 x 0 cos 2 x 0  30 3 π 2 cos 3 x Bài 11: Tính I = ∫ dx π s in 2 x 6 Giải: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π π x 6 2 1 t 1 2 π π 1 1 1 2 cos x 3 (1 − s in 2 x) 2 1− t2 1   1  1 Khi đó: I = ∫ 2 dx = ∫ 2 cosxdx = ∫ 2 dt = ∫  2 − 1 dt =  − − t  1 = . π s in x π s in x 1 t 1t   t  2 6 6 2 2 2 π 2 ∫ Bài 12: Tính I = sin 3 xcos3 xdx 0 Giải: Đặt t = sinx ; ⇒ dt = cosxdx Đổi cận: π x 0 2 t 0 1
5vansitran@gmail.com-01689583116 Khi đó: π π 2 2 1 1  t4 t6  1 1 I = ∫ sin xcos xdx = ∫ sin x ( 1 − sin x ) cosxdx = ∫ t ( 1 − t ) dt = ∫ ( t 3 − t 5 ) dt =  −  = . 3 3 3 2 3 2 0 0 0 0  4 6  0 12 π 2 ∫ Bài 13: Tính I = esin 2 x sin 2 xdx 0 Giải: Đặt t = sin2x ; ⇒ dt = s in 2 xdx Đổi cận: π x 0 2 t 0 1 π 1 2 1 ∫ 0 ∫ Khi đó: I = esin 2 x sin 2 xdx = et dt = et 0 0 = e − 1. π 2 Bài 14: Tính I = sin 2 x dx ∫ 1 + cos 2 x 0 Giải: Đặt t = 1 + cos2x ; ⇒ dt = − s in 2 xdx ⇒ s in 2 xdx = −dt Đổi cận: π x 0 2 t 2 1 π 1 2 2 2 Khi đó: I = sin 2 x dx = − dt = dt = ( ln t ) = ln 2. ∫ 1 + cos 2 x 0 ∫t ∫t 2 1 1 π 4 ∫ Bài 15: Tính I = tan 3 xdx 0 Giải: dt Đặt t = tanx ; ⇒ dt = ( 1 + tan x ) dx = ( 1 + t ) dt ⇒ dx = 2 2 t +1 2 Đổi cận: π x 0 4 t 0 1 π t 2 1 1 d ( t + 1) 1 1 1 1 1 2 4 t3  t  1 2t I = ∫ tan 3 xdx = ∫ dt = ∫  t − 2  dt = ∫ tdt − ∫ 2 dt = − ∫ 2 = t2 +1  t +1  2 0 t +1 2 0 2 0 t +1 Khi đó: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 = − ln ( t 2 + 1) = − ln 2 = ( 1 − ln 2 ) . 2 2 0 2 2 2 1 1 Bài 16: Tính I = ∫ dx 0 1+ x Giải:
6vansitran@gmail.com-01689583116 Đặt t = x ; ⇒ t 2 = x ⇒ dx = 2tdt Đổi cận: x 0 1 t 0 1 1 1 1 1 t  1  1 Khi đó: I =∫ dx = 2 ∫ dt = 2∫ 1 −  dt = 2 ( t − ln 1 + t ) 0 = 2 ( 1 − ln 2 ) . 0 1+ x 0 1+ t 0 1+ t  1 Bài 17: Tính I = ∫ x 1 − x dx 33 4 0 Giải: 3 2 Đặt t = 1 − x ⇒ t = 1 − x ⇒ x dx = − t dt 3 4 3 4 3 4 Đổi cận: x 0 1 t 1 0 1 1 3 3 1 3 Khi đó: I = ∫ x 3 3 1 − x 4 dx = ∫ t 3dt = t 4 = . 0 40 16 0 16 0 1 Bài 18: Tính I = ∫x −1 2 + 2x + 4 dx Giải: 0 0 1 1 Ta có: ∫ x 2 + 2 x + 4 dx = ∫ dx ( 3) 2 −1 ( x + 1) + 2 −1  π π Đặt x + 1 = 3 tan t với t ∈  − ;  . ⇒ dx = 3 ( 1 + tan t ) dt 2  2 2 Đổi cận: x -1 0 π t 0 6 π π 0 1 36 3 π 3 Khi đó: I = ∫ 2 dx = ∫ dt = 3 t 6 = 18 . x + 2x + 4 3 0 −1 0 1 x3 Bài 19: Tính I = ∫ dx 0 1 + x8 Giải: 1 1 x3 x3 Ta có: ∫ 1 + x8 dx = ∫ dx 1 + ( x4 ) 2 0 0  π π 1 Đặt x 4 = tan t với t ∈  − ;  . ⇒ x dx = ( 1 + tan t ) dt 3 2  2 2 4 Đổi cận: x 0 0 π t 0 4
7vansitran@gmail.com-01689583116 π π π 1 x 3 x 1 1 1 + tan t 3 4 1 2 1 π4 Khi đó: I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = t 4 = . 0 1+ ( x ) 1+ x 8 4 2 4 0 1 + tan t 2 40 4 16 0 0 e 1 + ln x Bài 20: Tính I = ∫ dx 1 x Giải: dx Đặt t = 1 + ln x ⇒ t = 1 + ln x ⇒ 2tdt = 2 x Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: I = ∫ e 1 + ln x 2 2 ( t3 2 2 2 2 −1 ) dx = ∫ t.2tdt =2 ∫ t dt =2 = 2 . 1 x 1 1 31 3 1 ln ( 2 − x ) Bài 21: Tính I = ∫ dx 0 2− x Giải: −dx Đặt t = ln ( 2 − x ) ⇒ dt = 2− x Đổi cận: x 1 1 t ln2 0 1 ln ( 2 − x ) 0 ln 2 t 2 ln 2 ln 2 2 Khi đó: I = ∫ dx = − ∫ tdt = ∫ tdt = = . 0 2− x ln 2 0 2 0 2 π 2 cosx Bài 22: Tính I = ∫ 0 1 + sin 2 x dx Giải:  π π Đặt sin x = tan t với t ∈  − ;  ⇒ cosxdx = ( 1 + tan t ) dt 2  2 2 Đổi cận: π x 0 2 π t 0 4 π π π 2 cosx 1 + tan t 4 2 π4 Khi đó: I = ∫ 0 1 + sin x 2 dx = ∫ 0 1 + tan t 2 dt = ∫ dt = 0 4 π 2 1 Bài 23: Tính I = ∫ dx π sin x 3 Giải: x 1 x 2dt Đặt t = tan ⇒ dt = 1 + tan 2  dx ⇒ dx = 2 2 2 1+ t2
8vansitran@gmail.com-01689583116 1 1 2tdt 1 dx = . = dt Ta tính: sin x 2t 1 + t 2 t 1+ t2 Đổi cận: π π x 3 2 3 t 1 3 π 2 1 1 1 1 3 1 Khi đó: I = ∫ π sin x dx = ∫ t dt = ( ln t ) 3 = − ln 3 = ln 3. 2 3 3 3 3 e 1 Bài 24: Tính I = ∫ dx 1 x ( 1 + ln x ) Giải: dx Đặt t = 1 + ln x ⇒ dt = x Đổi cận: x 1 e t 1 2 e 2 1 dt 2 Khi đó: I = ∫ dx = ∫ = ln t = ln 2. 1 x ( 1 + ln x ) 1 t 1 1 Bài 25: Tính I = ∫ x e dx 3 5 x 0 Giải: dt Đặt t = x ⇒ dt = 3 x dx ⇒ x dx = 3 2 2 3 Đổi cận: x 1 0 t 1 0 1 1 1 1 t 1 t1 1 t e 1 t1 1 Khi đó: I = ∫ x e dx = ∫ te dt = te − ∫ e dt = − e = 5 x3 0 30 3 0 30 3 3 0 3 1+ 5 Bài 26: Tính I = 2 x2 + 1 ∫ 1 x4 − x2 + 1 dx Giải: 1+ 5 1+ 5 1 1+ 5  1  2 x +1 2 2 1+ 2 1 + 2  x2  x  dx Ta có: ∫ x − x2 + 1 4 dx = ∫ 1 dx = ∫  1 2 1 1 x −1 + 2 2 1 x −  +1 x   x 1  1  Đặ t t = x − ⇒ dt =  1 + 2  dx x  x  Đổi cận: 1+ 5 x 1 2
9vansitran@gmail.com-01689583116 t 0 1 1 dt Khi đó: I = ∫ 0 1+ t2 Đặt t = tan u ⇒ dt = ( 1 + tan u ) du 2 Đổi cận: x 0 1 π t 0 4 π π π dt 1 1 + tan u 4 2 π 4 Vậy I = ∫ =∫ du = ∫ du = u 4 = . 1+ t 2 1 + tan u 2 4 0 0 0 0 2 dx Bài 27: Tính I = ∫ 1 x 1 + x3 Giải: 2 2 dx x 2 dx Ta có: ∫x 1 1 + x3 =∫ 1 x3 1 + x3 2tdt Đặt t = 1 + x ⇒ t = 1 + x ⇒ 2tdt = 3 x dx ⇒ x dx = 3 2 3 2 2 3 Đổi cận: x 1 2 t 2 3 Khi đó: 2 2 3 3 dx x 2 dx 2 dt 1  1 1  I =∫ =∫ = ∫ 2 = ∫  t − 1 − t + 1  dt = 1 x 1+ x 3 1 x 3 1+ x 3 3 2 t −1 3 2   3 −1 3   = 1 ( ln t − 1 − ln t + 1 ) =  1 ln tt + 1  = 1  ln 1 − ln 2 − 1  = 1 ln 2 + 1 = 1 ln 3  1 3 2   2 3 2  2 +1  3 2 2 −1 3  ( ) ( 2 −1 ) 2 2 3x3 Bài 28: Tính I = ∫ dx 0 x2 + 2x + 1 Giải: 2 2 3x3 3 x3 Ta có: ∫ 2 dx = ∫ dx 0 ( x + 1) 0 x + 2x +1 2 Đặt t = x + 1 ⇒ dt = dx Đổi cận: x 0 2 t 2 3 Khi đó: 2 3x3 2 3x3 3 3 ( t − 1) 3 3 3 ( t 3 − 3t 2 + 3t − 1) I =∫ 2 dx = ∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = 0 ( x + 1) 0 x + 2x +1 2 1 t2 1 t2 3  9 −2   t2 1 3 3 = ∫  3t − 9 + − 3t  dt =  3 − 9t + 9 ln t + 3  = ( 32 − 12 ) − 9 ( 3 − 1) + 9 ( ln 3 − ln1) + 1 − 3 = 9 ln 3 − 8 1 t   2 t 1 2
10vansitran@gmail.com-01689583116 ln 2 e 2 x + 3e x Bài 29: Tính I = ∫ 0 e 2 x + 3e x + 2 dx Giải: Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx Đổi cận: x 0 ln2 t 1 2 Khi đó: ln 2 ln 2 2 2 e 2 x + 3e x ex + 3 t +3  2 1  I = ∫ 2x dx = ∫ 2 x e x dx = ∫ 2 dt = ∫  − dt = 0 e + 3e + 2x 0 e + 3e + 2 x 1 t + 3t + 2 1 t +1 t + 2  2 2 1 1 2 2 3 4 9 4 27 = 2∫ dt − ∫ dt = 2 ln t + 1 − ln t + 2 = 2 ( ln 3 − ln 2 ) − ( ln 4 − ln 3) = 2 ln − ln = ln − ln = ln 1 t +1 1 t+2 1 1 2 3 4 3 16 4 dx Bài 30: Tính I = ∫ 1 ( x 1+ x ) Giải: Đặt x = t 2 ⇒ dx = 2tdt Đổi cận: x 1 4 t 1 2 4 2 2 2 dx 2tdt dt 1 1  I =∫ =∫ 2 =2 ∫ =2 ∫  −  dt = Khi đó: 1 x 1+ x ( 1 ) t (1+ t ) 1 t ( 1+ t ) 1  t 1+ t  2  2 1 4 = 2 ( ln t − ln t + 1 ) = 2  ln − ln  = 2 ln . 1  3 2 3 1 Bài 31: Tính I = ∫ (1− x ) 2 3 dx 0 Giải:  π Đặt x = sin t , t ∈ 0;  ⇒ dx = costdt  2 Đổi cận: x 0 1 π t 0 2 Khi đó: π π π π 1 2 ( 1 − sin t ) .costdt = ∫ cos t.costdt = ∫ cos tdt = ∫  1 + cos2t  dt = 2 2 2 2 (1− x )2 3 3 I =∫ dx = ∫ 2 3 4   0  0 0 0 0 2 π π π π π π 1 2 1 1 1 2 2 1 π 1 sin 2t 2 12 = ∫ ( 1 + 2cos 2t + cos 2t ) dt = ∫ dt + ∫ cos 2tdt + ∫ 2cos 2tdt = . + . 2 2 2 + ∫ ( 1 + cos 4t ) dt = 40 40 20 80 4 2 2 2 80 0 π π π π 1 1 2 π π 1 sin 4t 2 π π 3π = + ∫ dt + ∫ cos 4tdt = + + . 2= + = . 8 80 80 8 16 8 4 8 16 16 0
11vansitran@gmail.com-01689583116 π 2 Bài 32: Tính I = ∫ cos xdx 3 π 6 Giải: π π π π π 2 2 2 2  sin 3 x  2 I = ∫ cos 3 xdx = ∫ cos 2 x.cosxdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) cosxdx = ∫ ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) =  sin x −  = π π π π  3 π 6 6 6 6 6 1 1 1 5 = 1− − + = 3 2 24 24 π 4 sin 4 x Bài 33: Tính I = ∫ 0 sin x + cos 4 x 4 Giải: π π π π 4 4 4 4 sin 4 x 2sin 2 xcos 2 x 2sin 2 xcos 2 x 2sin 2 xcos 2 x I=∫ 4 dx = ∫ 4 dx = ∫ dx = ∫ dx = sin x + cos x 4 sin x + cos x 4 1 − 2sin xcos x 2 2 0 1− 1 2 0 0 0 sin 2 x 2 π π 4 −1  1 2  1 2 1 =∫ d 1 − sin 2 x  = − ln 1 − sin 2 x 4 = − ln = ln 2 1 2 0 1− sin 2 x  2  2 0 2 2 π 2 cos 3 x Bài 34: Tính I = ∫ dx π 1 + sin x 4 Giải: π π π π I=∫ 2 3 cos x dx = ∫ 2 cos x2 cosxdx = ∫ 2 ( 1 − sin 2 x ) 2 cosxdx = ∫ ( 1 − sin x ) cosxdx = π 1 + sin x π 1 + sin x π 1 + sin x π 4 4 4 4 π π π π 2 2 1 2  1  3− 2 2 = ∫ ( cosx − cosx sin x ) dx = ∫ cosxdx − ∫ s in 2 xdx =  sin x + sin 2 x  2 = π π 2π  4 π 4 4 4 4 4 π  sin x − cosx  2 Bài 35: Tính I = ∫  dx π  sin x + cosx  4 Giải: π π π 2  sin x − cosx  −d ( sin x + cosx ) 2 I = ∫ dx = ∫ = − ( ln sin x + cosx ) 2 = ln 2 π  sin x + cosx  π sin x + cosx π 4 4 4
12vansitran@gmail.com-01689583116 π 2 ∫ Bài 36: Tính I = sin 3 xdx 0 Giải: π π π π 2 2 2  cos 3 x  1 2 I = ∫ sin xdx = ∫ sin x sin xdx = − ∫ ( 1 − cos x ) d ( cosx ) = −  cosx − 3 2 2  2 = 1− =  3  3 3 0 0 0 0 cos3 x Bài 37: Tính I = ∫ dx sin x Giải: π I =∫ cos3 x dx = ∫ 4cos x − 3cosx 3 dx = ∫ ( 4cos 2 x − 3) 2 .cosxdx = ∫ 4 ( 1 − sin 2 x ) − 3 .d ( sin x ) = sin x sin x sin x 0 sin x  1  1 2 = ∫  −4sin x + d ( sin x ) = −4. sin x + ln ( sin x ) + C  sin1  2 s in3 x Bài 38: Tính I = ∫ dx sin x Giải: s in3 x 3s inx − 4sin 3 x 1 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ ( 3 − 4sin 2 x ) dx = 3 x − 2 ∫ ( 1 − cos 2 x ) dx = 3 x − 2 x + 2. sin 2 x + c sin x sin x 2 = x + sin 2 x + C 1 x Bài 39: Tính I = ∫ dx 0 x + x2 + 1 4 Giải: • Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx Đổi cận: x 0 1 t 0 1 1 1 x 1 dt I =∫ 4 dx = ∫ Khi đó: x + x +1 2 2 0  1 2 3 t +  + 0  2 4 1 • Đặt y = t + ⇒ dy = dt 2 Đổi cận: t 0 1 1 3 y 2 2 3 1 2 1 dt 1 dy Khi đó: I= 20∫  1 2 3 = 2 ∫  2 1 3 t +  + 2 y + 2   2 4  4 3 2 • Đặ t z = y ⇒ dz = dy 4 3
13vansitran@gmail.com-01689583116 Đổi cận: 1 3 y 2 2 1 z 3 3 3 2 3 3 1 dy 3 dz 1 dz 2∫ ∫ ∫ I= = = = Khi đó:  3 3 2 3 2 4 3 z +1 2 1 y2 +  1 z + 1 2  3 4 4 3  4 Đặt z = tan u ⇒ dz = ( 1 + tan u ) du 2 • Đổi cận: 1 z 3 3 π π u 6 3 π π 1 3 dz 1 1 + tan u 3 1 3 π2 Ta được: I = 3 ∫ 1 z +1 2 = ∫ 1 + tan 2 u du = 3 u π = 6 3 3π 3 6 6 1 x Bài 40: Tính I = ∫ dx 0 ( 2 x + 1) 2 Giải: t −1 dt • Đặ t t = 2 x + 1 ⇔ x = ⇒ dx = 2 2 Đổi cận: x 0 1 t 1 3 t −1 1 3 3 Khi đó: I = x 2 . dt = 1  1 − 1  dt = 1  ln t + 1  3 = 1  ln 3 − 2  ∫ ( 2 x + 1) 2 dx = ∫ t 2 2 4 ∫  t t 2  4  0 1 1    t 1 4  3  0 Bài 41: Tính I = ∫ x ( x + 1) dx 2 9 −1 Giải: • Đặt t = x + 1 ⇔⇒ dt = dx Đổi cận: x -1 0 t 0 1 0 1 1 1 I = ∫ x 2 ( x + 1) dx = ∫ ( t − 1) t 9 dt = ∫ ( t 2 − 2t + 1) t 9 dt = ∫ ( t 11 − 2t 10 + t 9 ) dt = 9 2 −1 0 0 0 Khi đó: t t t 1 1 2 1 12 1 11 10 = −2 +  = − + =  12 11 10  0 12 11 10 660
14vansitran@gmail.com-01689583116 π 2 dx Bài 42: Tính I = ∫ 0 1 + cosx Giải: π  x π π 2 d  2 π 2 dx dx  2  = tan x = 1 I=∫ 1 + cosx ∫ 2cos 2 x ∫ cos 2 x = = 2 2 0 0 0 0 2 2 1 Bài 43: Tính I = ∫ x . 1 + 3 x .dx 15 8 0 Giải: 1 1 ∫x . 1 + 3 x .dx = ∫ x8 . 1 + 3x8 .x 7 dx 15 8 Ta có: 0 0 dt Đặt t = 1 + 3 x ⇒ dt = 24 x dx ⇒ dx = 8 7 • 24 Đổi cận: x 0 1 t 1 4 Khi đó:  5  ( ) 3 1  t 2 t 2  4 29 1 1 4 4 t −1 1 1 3 1 I = ∫ x . 1 + 3 x .dx = ∫ x . 1 + 3 x .x dx = ∫ 15 8 8 . t . dt = ∫ t 2 − t 2 dt =  8 7 − = 3 24 72 1 72  5 3  1 270 0 0 1   2 2  1 3 x Bài 44: Tính I = ∫ dx 0 x+ x2 + 1 Giải: x3 ( x2 + 1 − x ) x3 ( x2 + 1 − x ) dx = ∫( x ) 1 1 1 1 x3 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ 3 x 2 + 1 − x 4 dx = 0 x + x +1 2 0 ( x +1 + x 2 )( x +1 − x 2 ) 0 ( x2 + 1 − x2 ) 0 1 1 1 1 x5 1 1 = ∫ x 3 x 2 + 1dx − ∫ x 4 dx = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − 5 0 0 5 0 0 0 1 4 4 2 4 43 J • Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx 2 Đổi cận: x 0 1 t 1 2 ( ) 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 1 1 5 2 2 3 2 J = ∫ ( t − 1) t . dt = ∫ t 2 − t 2 dt = ∫ t 2 dt − ∫ t 2 dt = t 2 − t 2 = 1 2 21 21 21 5 1 3 1 Khi đó: 5 3 2 2 1 22 1 4 2 2 2 2 2 2 2 = − − + = − + = + 5 5 3 3 5 3 15 15 15 2 2 1 Vậy I = − 15 15
15vansitran@gmail.com-01689583116 π 4 Bài 45: Tính I = sin 4 x dx ∫ 1 + cos 2 x 0 Giải: π π 4 4 sin 4 x 2sin 2 xcos 2 x Ta có: ∫ 1 + cos x dx = ∫ 0 2 0 1 + cos 2 x dx • Đặt t = 1 + cos x ⇒ dt = −2sin xcosxdx = − sin 2 xdx 2 • cos 2 x = t − 1 ⇒ cos 2 x = 2cos 2 x − 1 = 2 ( t − 1) − 1 = 2t − 3 Đổi cận: π x 0 4 3 t 2 2 3 3 2 −2 ( 2t − 3) dt  62 2  6 2 I =∫ = ∫  −4 + dt = ∫  4 − dt = ( 4t − 6 ln t ) 3 = 2 2 t t 3 t 2 Khi đó: 2  3  3 4 = 4  2 −  − 6  ln 2 − ln  = 2 − 6 ln  2  2 3 π 2 dx Bài 46: Tính I = ∫ π 1 + sin 2 x 4 Giải: π π π π π 2 dx 2 dx 2 dx 2 1 dx 1  π 1 I=∫ =∫ =∫ = ∫ = tan  x −  2 = π 1 + sin 2 x π ( sin x + cosx )  π 2 4π 2 2 2 π   π  2π cos 2  x −   4  2cos  x −  4   4 4 4 4 4    π 4 Bài 47: Tính I = ∫ co s 2 x dx ( sin x + cosx + 2 ) 3 0 Giải: π π 4 co s 2 x ( cosx − sin x ) ( cosx + sin x ) dx 4 Ta có: 0 ∫ ( sin x + cosx + 2 ) 0 3 dx = ∫ ( sin x + cosx + 2 ) 3 • Đặt t = cosx + sin x + 2 ⇒ dt = ( cosx − sin x ) dx Đổi cận: π x 0 4 t 2 2+ 2
16vansitran@gmail.com-01689583116 2+ 2 I= ∫ ( t − 2 ) dt =2+ 2  1 − 2  dt =  − 1 + 1  2 + 2 = − 1 + 1 + 1 − 1 = 0 t3 ∫  t 2 t3   t t2  0 0     2+ 2 6+4 2 3 9 Khi đó: 1− 2 − 2 2 2 1+ 2 2 1 4 2 + 4−9 4 2 −5 = + = − = − = = 6+ 4 2 9 9 2 3+ 2 2 ( ) ( 9 2 2 + 1 18 2 + 1 18 2 + 1 ) ( ) ( ) π 4 co s 2 x Bài 48: Tính I = ∫ 0 sin x + cosx + 2 dx Giải: π π 4 co s 2 x 4 ( cosx − sin x ) ( cosx + sin x ) dx Ta có: ∫ sin x + cosx + 2 dx = ∫ 0 0 sin x + cosx + 2 • Đặt t = cosx + sin x + 2 ⇒ dt = ( cosx − sin x ) dx Đổi cận: π x 0 4 t 2 2+ 2 Khi đó: 2+ 2 ( t − 2 ) dt =2+ 2 1 − 2  dt = t − 2 ln t 2 + 2 = 2 + 2 − 2 ln 2 + 2 − 3 + 2 ln 3 = I= ∫ ∫  t ( ) ( ) 0   0 t 0 ( ) = 2 − 1 + 2 ln 3 − ln 2 + 2  = 2 − 1 + 2 ln   3 2+ 2 π 2 Bài 49: Tính I = sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) 3 dx ∫ 0 Giải: • Đặt t = 1 + sin 2 x + 2 ⇒ dt = 2sin xcosxdx = sin 2 xdx Đổi cận: π x 0 2 t 1 2 π 2 2 4 2 Khi đó: I = sin 2 x ( 1 + sin 2 x ) 3 dx = t 3dt = t 1 15 ∫ 0 ∫ 1 41 = 4− = 4 4 π 2 Bài 50: Tính I = sin xcosx ( 1 + cosx ) 2 dx ∫ 0 Giải: Ta có: π π π 2 2 2 I = ∫ sin xcosx ( 1 + cosx ) dx = ∫ sin xcosx ( 1 + 2cosx + cos 2 x ) dx = ∫ ( cosx + 2cos 2 x + cos 3 x ) .sin xdx 2 0 0 0 • Đặt t = cosx ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận:
17vansitran@gmail.com-01689583116 π x 0 2 t 1 0 0 1  t 2 2t 3 t 4  1 17 Khi đó: I = − ∫ ( t + 2t + t ) dt = ∫ ( t + 2t + t ) dt =  + +  = 2 3 2 3 1 0 2 3 4  0 12 π 2 sin xcosx Bài 51: Tính I = ∫ 0 a 2cos 2 x + b 2 sin 2 x dx Giải: π π π 2 2 2 sin xcosx sin xcosx sin xcosx Ta có: I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx 0 a 2cos 2 x + b 2 sin 2 x 0 a 2 ( 1 − sin 2 x ) + b 2 sin 2 x 0 ( b2 − a 2 ) sin 2 x + a 2 2tdt = 2 ( b 2 − a 2 ) sin xcosxdx  Đặt t = ( b − a ) sin x + a ⇒ t = ( b − a ) sin x + a ⇒  2 2 2 2 2 2 2 2 2 • tdt sin xcosxdx = 2  b − a2 Đổi cận: π x 0 2 t |a| |b| b tdt 1 b b−a 1 Khi đó: I = ∫ = 2 .t = 2 = a t(b −a ) 2 2 b −a 2 a b −a 2 a+b 2 x +1 Bài 52: Tính I = ∫ dx 0 3 3x + 2 Giải: t3 − 2 • Đặt t = 3 3 x + 2 ⇒ t 3 = 3 x + 2 ⇒ 3t 2 dt = 3dx; x = 3 Đổi cận: x 0 2 t 3 2 2 t −2 3 3 .t 2 dt = 1 t 4 + t dt = 1  t + t  2 = 1  42 − 4 2 − 1 = 37 − 4 2 2 2 5 2 Khi đó: I = ∫ t 3 3∫2 ( ) 3  5 2  3 2 3  5 5  15   3 2     4 dx Bài 53: Tính I = ∫x x2 + 9 7 Giải: dx tdt tdt Đặt t = x + 9 ⇒ t = x + 9 ( t > 0 ) ⇒ tdt = xdx; = 2 = 2 2 2 2 • x x t −9 Đổi cận: x 4 7 t 5 4 5 dt 1 t −3 5 1 7 Khi đó: ∫ 2 = ln = ln 4 t −9 6 t +3 4 6 4
18vansitran@gmail.com-01689583116 π 4 dx Bài 54: Tính I = ∫ 0 1 + tan x Giải: 1 dt dt • Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = ( 1 + tan 2 x ) dx ⇒ dx = = 2 cos x 1 + tan x 1 + t 2 2 Đổi cận: π x 0 4 t 0 1 1  t −1  1 1 dt 1 1 tdt 1 1 dt 1 dt 1 I =∫ = ∫ − dt = ∫ − ∫ + ∫ 0 ( 1+ t ) ( 1+ t ) 2 2 1+ t ) 2 ( 1+ t2 )  0  ( 2 01+ t 2 0 t2 +1 2 0 t2 +1 Khi đó:   1 2 4 1 4 2 43 14 2 4 4 3 3 J1 J2 J3 1 1 dt 1 1 ln 2  Tính: J1 = ∫ = ln t + 1 = 2 0 t +1 2 0 2 1 d ( t + 1) 1 1 1 2 1 tdt 1 ln 2  Tính: J 2 = ∫ 2 = ∫ 2 = ln t 2 + 1 = 2 0 t +1 4 0 t +1 4 0 4 π  Tính: J 3 = 1 dt = 1 du = π (với t = tanu) 1 4 2 ∫ t2 +1 2 ∫ 0 0 8 ln 2 ln 2 π π ln 2 Vậy I = − + = + 2 4 8 8 4 π 2 dx Bài 55: Tính I = ∫ π sin x 3 Giải: π π π 2 2 dx sin xdx 2 sin xdx Ta có: ∫ =∫ =∫ π 1 − co s x 2 2 π sin x π sin x 3 3 3 • Đặt t = cosx ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận: π π x 3 2 1 t 0 2 Khi đó: 1 1 1 1 0 1 −dt 2 dt 1 2 1 1  1 2 dt 1 2 dt 1 1 1 3 I =∫ =∫ = ∫ + dt = − ∫ + ∫ = − ( ln t − 1 − ln t + 1 ) 2 = −  ln − ln  = 1 1− t 1− t 2 0  1− t 1+ t  2 0 t −1 2 0 t +1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 = − ln = ln 3 2 3 2
19vansitran@gmail.com-01689583116 1 x + sin x Bài 56: Tính I =∫ dx 0 cos 2 x Giải: 1 1 1 x + sin x xdx sin x I =∫ 2 dx = ∫ +∫ dx Ta có: cos x cos x 0 cos 2 x 2 0 1 2 4 14 2 4 4 3 0 3 I1 I2 π 3  Tính I1 = xdx ∫ cos 2 x 0 u = x   du = dx Đặ t  1 ⇒  dv = cos 2 x dx v = tan x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: π π π π π 3 π 3 xdx π 3 3 sin x π 3 3 d ( cosx ) π 3 I1 = ∫ = x tan x 3 − ∫ tan xdx = −∫ dx = +∫ = + ( ln cosx ) 3 = cos 2 x 3 cosx 3 cosx 3 0 0 0 0 0 0 π 3 1 = + ln 3 2 π π π sin x3 −d ( cosx ) 3 1  Tính I 2 = ∫ dx = ∫ = 3 = 2 −1 = 1 cos 2 x cos 2 x cosx 0 0 0 π 3 Vậy I = − ln 2 + 1 3 1 x3 Bài 57: Tính I =∫ dx 0 x + x2 + 1 Giải: Ta có: x3 ( x2 + 1 − x ) x3 ( x2 + 1 − x ) dx = ∫( x ) 1 1 1 1 x3 I =∫ dx = ∫ dx = ∫ 3 x 2 + 1 − x 4 dx = 0 x + x +1 2 0 ( x+ x +12 )( x +1 − x 2 ) 0 x +1− x 2 2 0 1 1 1 1 x5 1 1 = ∫ x 3 x 2 + 1.dx − ∫ x 4 = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − = ∫ x 2 x 2 + 1.xdx − 0 0 0 5 0 0 5 • Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx 2 Đổi cận: x 0 1 t 1 2 ( ) 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 1 32 1 12 I = ∫ ( t − 1) t . dt − = ∫ t − t dt − = − + ∫ t dt − ∫ t dt 2 2 1 2 5 21 5 5 21 21 Khi đó: 5 3 1  1 52 2 1 32 2  2 1 22 22 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2 = − + t . − t .  = − + − − + = − + − =− + 5 2 5 2 31 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15
20vansitran@gmail.com-01689583116 1 x Bài 58: Tính I=∫ dx −1 5 − 4 x Giải: • Đặt t = 5 − 4 x ⇒ dt = −4dx Đổi cận: x -1 1 t 9 1 5−t  1  1 x 1  −  dt 1 9 5 − t 9 5 1 1 9 4  4 I=∫ dx = ∫ = ∫ dt = ∫ dt − ∫ tdt = −1 5 − 4 x Khi đó: 9 t 16 1 t 812 t 16 1 5 9 1 2 9 5 1 5 13 1 = t − . t 3 = ( 3 − 1) − ( 27 − 1) = − = 8 1 16 3 1 8 24 4 12 6 9 Bài 59: Tính I = ∫ x 1 − xdx 3 1 Giải: • Đặt t = 1 − x ⇒ dt = − dx Đổi cận: x 1 9 t 0 -8 Khi đó: ( ) 9 −8 0 3 4 3 7 0 3 3 468 I = ∫ x 3 1 − xdx = ∫ ( 1 − t ) t ( −dt ) = ∫ = − ( −2 ) + ( −2 ) = − 4 7 3 3 t − 3 t 4 dt =  t 3 − t 3  1 0 −8 4 7  −8 4 7 7 π 3 dx Bài 60: Tính I = ∫  π π sin x sin  x +  6  6 Giải: π π π 3 3 3 dx dx 2dx I =∫ =∫ =∫ =  π π  3 1  π 3 sin x + sin xcosx 2 π sin x sin  x +  6 ( sin x )  sin x + cosx  6 6  6  2 2  π π π 3 2dx 3 2d ( tan x ) 3 d ( tan x ) =∫ =∫ = 2 3∫ = π 6 ( co s x ) ( 2 3 tan 2 x + tan x ) π 6 ( tan x ) ( ) 3 tan x + 1 π 6 ( 3 tan x )( ) 3 tan x + 1 π  3 1 1  = 2 3∫  − d ( tan x ) = π  3 tan x 3 tan x + 1  6