Tiểu luận giải tích phức: Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian Banach

Chia sẻ: Trương Văn đại | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

223
lượt xem 35
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài tiểu luận giải tích phức "Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian Banach" dưới đây để nắm bắt được một số kết quả của giải tích phức cổ điển, một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian Banach. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn chuyên ngành Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiểu luận giải tích phức: Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH ĐẮK LẮK, NĂM 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG ĐẮK LẮK, NĂM 2015
DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN 1q Trương Văn Đại (Nhóm Trưởng) 2q Dương Thế Dũng (Nhóm Phó) 3q Phan Hữu Thế 4q Nguyễn Hữu Hải 5q Cù Thị Kim Dung 6q Lê Đình Sơn 7q Nguyễn Đình Toản 8q Nguyễn Thị Thu Thuỷ 9q Nguyễn Thị Phượng i
MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Định lí Hanh-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Nguyên lí ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Định lí đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.4 Nguyên lí bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển . . . . . . 3 1.2.1 Nguyên lí Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Định lí Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Đa thức và chuỗi trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Ánh xạ chỉnh hình 6 2.1 Ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.6 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.7 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.8 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ii
2.1.9 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Định lý : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Hàm chỉnh hình theo từng biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Bổ đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Mệnh đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Chỉnh hình yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.1 Định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.2 Định lý: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.3 Bổ đề: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Kết luận 16 iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT N : t Tập hợp các số tự nhiên N u 1, 2, . . . N0 : Yt u Tập hợp các số N0 N 0 E : Đối ngẫu đại số của E E1 : Đối ngẫu topo của E Eco1 : Không gian E 1 với topo compact mở p q B a, r : Hình cầu mở tâm a bán kính r p q B a, r : Hình cầu đóng tâm a bán kính r l1 : Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối c0 : Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không c0 : Tập các dãy số thực dương hội tụ về không intU : Phần trong của U U : Bao đóng của U XK : Không gian Banach sinh bởi K X p q P E, F : Không gian các đa thức từ E vào F p q Hb E, F : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn của E giá trị trong F p q H U : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng p q H U, F : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F NpNq : Tập các đa chỉ số tr. : Trang iv
Mở đầu Vào thế kỉ 16 G. Cardano (1501-1576) đã nói đến các số "ảo" như là căn của các số âm. Đến giữa thế kỉ 18 các số phức rải rác xuất hiện trong các công trình toán học của I. Newton, N. Bernoulli, A. Clairaut... Song người được coi là sáng lập môn hàm phức chính là L. Euler (1707-1783). Ông đã nghiên cứu các hàm phức sơ cấp, đưa vào khái niệm khả vi năm (1755) và phép tính tích phân năm (1777). Nhiều ứng dụng hàm phức vào giải tích thực, thủy động học và phép vẽ bản đồ cũng do ông khởi xướng. Lý thuyết hàm phức ra đời mang ý nghĩa vô cùng to lớn. Nhờ lý thuyết hàm phức C.F. Gauss (1777-1855) đã chứng minh được định lí cơ bản của đại số (1799): một đa thức bậc n trong trường số phức có đúng n nghiệm nếu kể số nghiệm bằng bội của nó. Đầu thế kỉ 19 lý thuyết hàm phức đã phát triển thành một trong số nghành quan trọng nhất của giải tích toán học. Công lao to lớn thuộc về A.L Cauchy (1789-1857), người đã phát triển phép tính tích phân, K. Weierstrass (1815-1897), người đã phát triển lý thuyết chuỗi hàm và B. Riemann (1826-1866), người đã xây dựng cơ sở hình học của lý thuyết hàm phức. Ngày nay lý thuyết hàm phức là một trong những lí thuyết đóng vai trò quan trọng nhất của toán học, có ứng dụng vô cùng to lớn trong các nghành vật lý và kĩ thuật rất khác nhau như: thủy động học, khí động học, các lý thuyết điện từ trường, mạch điện, nước ngầm, nổ định hướng,đàn hồi... Trong nội dung của tiểu luận này chúng tôi nhắc lại một số kết quả của giải tích phức cổ điển sau đó trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian Banach. Tiểu luận chắc chắn không thể tránh khỏi các sai sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc và quý thầy cô để tiểu luận được hoàn thiện hơn. 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi tóm tắt lại một số định lí cơ bản trong giải tích hàm như định lí Hanh-Banach, nguyên lí ánh xạ mở, định lí đồ thị đóng và nguyên lí bị chặn đều. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển như nguyên lí Maximum, công thức tích phân Cauchy, định lí Liouville. Cuối cùng chúng tôi trình bày các định nghĩa về đa thức và chuỗi trong không gian Banach như là công cụ để định nghĩa ánh xạ chỉnh hình trong không gian Banach. 1.1 Một số định lí cơ bản trong giải tích hàm 1.1.1 Định lí Hanh-Banach Cho E là không gian định chuẩn, F là không gian con của E và A là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F . Khi đó tồn tại một phiếm hàm A˜ trên ˜F E tuyến tính liên tục sao cho A| A và A} }} }A˜ . 1.1.2 Nguyên lí ánh xạ mở Cho E , F là hai không gian Banach và A là một toàn ánh tuyến tính từ E vào F . Khi đó A là ánh xạ mở, tức là với mỗi tâp U mở trong E ta có tập p q A U mở trong F 1.1.3 Định lí đồ thị đóng Cho E, F là hai không gian định chuẩn, nếu A là một ánh xạ tuyến tính p p qq liên tục thì A là ánh xạ đóng. Tức là tập x; A x đóng trong không gian 2
topo tích E.F 1.1.4 Nguyên lí bị chặn đều t u P Giả sử E là một không gian Banach,F là không gian định chuẩn và Aα , α Γ là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Khi đó, nếu với mọi P x E ta có sup Aα x } } 8 αPΓ 1.2 Một số kết quả cơ bản trong giải tích phức cổ điển 1.2.1 Nguyên lí Maximum pq Giả sử f z chỉnh hình trên miền D và liên tục trên miền D. Nếu f z pq pq không là hằng số thì |f z | đạt cực đại trên biên của D. 1.2.2 Công thức tích phân Cauchy pq Định lí. Giả sử f z chỉnh hình trong miền hữu hạn đơn liên D và z0 D P , là đường cong Jordan, trơn, kín bất kì bao quanh z0 và nằm trong D. Khi đó ta có công thức tích phân Cauchy » f pζ q p q f z0 1 2πi ζ z0 . γ pq Hơn nữa, nếu f z liên tục trên biên của D thì với mọi z P D; ta có » f pζ q p q f z 1 2πi ζ z . γ 1.2.3 Định lí Liouville pq Nếu hàm f z chỉnh hình và bị chặn trên toàn mặt phẳng phức thì f z là pq hàm hằng. 3
1.3 Đa thức và chuỗi trong không gian Banach 1.3.1 Đa thức 1.3.1.1 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa: Giả sử E, F là các không gian Banach còn m N. Ánh xạ P A : Em Ñ F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa là với mọi a p a1 , a2 , ..., am qP ¤ ¤ E m và mọi 1 j m, các ánh xạ Ej Q xj Ñ Apa1 , ..., aj 1 , xj , aj 1 , ..., am q là tuyến tính. p q p q Kí hiệu: La m E, F và L m E, F lần lượt là các không gian vectơ các ánh xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng. Với P p q A La m E, F , xác định }A} sup }Apx1, ..., xmq} : xj P E, }xj } ¤ 1, 1 ¤ j ¤ m và gọi là chuẩn (suy rộng) của A. p q p q p q p Khi m 1, ta viết La 1 E, F La E, F và L 1 E, F L E, F . Khi F K q p viết La m E, K q p q p q p q La m E và L m E, K L m E . Cuối cùng khi m 1, sẽ p q viết như thông thường La E p qE #, L E E . 1.3.1.2 Đa thức Định nghĩa: Ánh xạ P : E Ñ F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhất P p bậc m)nếu tồn tại A La m E, F sao cho q P pxq Axm @x P E . p q Ta kí hiệu Pa m E, F không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E p q tới F và P m E, F là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục p q P p của Pa m E, F . Đối với mỗi P Pa m E, F , đặt q }P } sup }P pxq} : x P E, }x} ¤ 1 và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P . Khi F K ta viết Pa m E, K p Pa q pmE q và P pmE, Kq P pmE q. 4
1.3.2 Chuỗi lũy thừa 1.3.2.1 Định nghĩa: P E là chuỗi có dạng ° Pmpx aq, 8 Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a m 0 ở đây Pm P PapmE, F q với mọi m P N0 . Chú ý rằng chuỗi lũy thừa ° P px aq có thể viết như °8 A px aqm, ở 8 m m m 0 m 0 pm Pm. đây Am P Lsa pm E, F q, A 5
Chương 2 Ánh xạ chỉnh hình 2.1 Ánh xạ chỉnh hình Trong chương này ta đưa ra khái niệm ánh xạ chỉnh hình dưới thuật ngữ của chuỗi lũy thừa và sau đó là một số tính chất của chúng tương tự như hàm chỉnh hình một biến phức. Tất cả các không gian Banach trong chương này đều là các không gian Banach phức và được kí hiệu bởi E, F ,... 2.1.1 Định nghĩa Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U Ñ F gọi là chỉnh hình hay giải P tích nếu với mọi a U tồn tại trong hình cầu B a, r p q U và một dãy các đa P p thức Pm P m E, F sao choq ¸ 8 p q f x p aq Pm x m 0 P p q hội tụ đều với x B a, r . p q Kí hiệu H U, F là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F . Khi F p C ta viết H U, C q p q H U . 2.1.2 Nhận xét p q dãy Pm trong định nghĩa là được xác định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu Pm P m f paq với mọi m P N0 . Chuỗi °8 P mf paqpx aq như thông thường m0 gọi là chuỗi Taylor của f tại a. Ta kí hiệu Am f paq là phần tử duy nhất thuộc Ls pm E, F q thỏa mãn A{m f paq P m f paq. 6
2.1.3 Ví dụ p P E, F q p H E, F . q P p q P p Chứng minh. Chỉ cần chứng minh P H E, F với mọi P P m E, F . Giả q P p sử A Ls m E, F sao cho Pq p Cho a, x E. Do Nhị Thức Newton ta có A. P m ¸ P pxq Ax Aamj px aqj . m m j j 0 Như vậy P chỉnh hình trên E và j P P a p q m j Aamj nếuj ¤m p q và P j P a 0 nếu j ¡ m. Ngoài ra P j P paq là đa thức trên E bậc j với giá p trị trong Ls j E, F . q 2.1.4 Ví dụ Giả sử °8 P pxq là chuỗi lũy thừa từ E tới F có bán kính hội tụ bằng 8, m j 0 và mọi Pm là liên tục. Nếu ta xác định ¸ 8 p q f x p q PE Pm x , x j 0 P p thì f H E, F . q Chứng minh. Giả sử Pm A pm với Am Ls mE, F và M P p q P N0. Ta sẽ chứng tỏ ¸8 ¸ 8 m j j m j Am a r } }} } 8 j 0 mj P với mọi a E và r 0. ¡ Thật vậy, bằng cách thay đổi thứ tự lấy tổng ta có ¸ 8 8 ¸ ¸ 8 8 ¸ m j }Am} }a}mj rj m j }Am} }a}mj rj j 0 m j m0 j 0 ¸ 8 }Am}p}a} r qm m0 . Chuỗi cuối cùng hội tụ vì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa bằng 8. Đặc 7
8 biệt ¸ m j }Am} }a}mj rj 8. mj °8 Vậy chuỗi pmjqAmamj xác định phần tử Qi P P pj E, F q với j P N0. Mặt m j 8 khác ta có ¸ 8 ¸ 8 ¸ f xp q p q Pm x m j p aqj Am amj x m0 m0 j 0 ¸ 8 ¸ 8 ¸ 8 m j Am am j px aq Qj px aq j j 0 mj j 0 đều theo x P Bpa, rq. Như vậy f P HpE, F q. 2.1.5 Ví dụ p q Giả sử ϕm là dãy trong E 1 hội tụ điểm tới không. Nếu xác định ¸ 8 p q f x pϕmpxqqm, x P E m0 P p q thì f H E . Chứng minh. Do nguyên lí bị chặn đều tồn tại C ¡ 0 sao cho }ϕm} C với P mọi m N0 . Ta sẽ chứng tỏ 8 8 ¸ ¸ m j |ϕmpaq|mj }ϕm}j rj 8 j 0 m j với mọi a P E và mọi 0 ¤ r ¤ 1e . Thật vậy, ¸8 ¸ 8 ¸8 ¸ m m j |ϕm paq|mj }ϕm }j rj m j |ϕmpaq|mj }ϕm}j rj j 0 m j m0 j 0 ¸8 p|ϕmpaq| }ϕm}rqm . m0 ¸8 ¤ p|ϕmpaq| Crqm m0 Chuỗi cuối cùng này hội tụ vì Cr 1 và ϕmpaq Ñ 0 khi m Ñ 0. Do đó ta có 8 ¸ m j |ϕmpaq|mj }ϕm}j 8. mj 8
°8 Vậy chuỗi pmjqpϕmpaqqmj ϕjm các định một phần tử Qj P P pj E q với j P N0. mj Mặt khác ta cũng có ¸ 8 p q f x r|ϕmpaq| ϕmpx aqsj m0 ¸8 ¸ m m j pϕmpaqqmj pϕmpx aqqj m0 j 0 ¸8 ¸ 8 m j ϕpaqmj pϕm px aqqj j 0 m j ¸8 Qj px aq j 0 đều theo x P Bpa, rq. Như vậy f P HpE q. 2.1.6 Mệnh đề P p Giả sử U là tập mở liên thông của E và giả sử f H U, E . Nếu f đồng q nhất bằng không trên một tập con mở khác rỗng V của U thì f đồng nhất bằng không trên U . pq Chứng minh a Trước tiên, ta coi U là lồi. Giả sử a V, x U . Đặt P P A tλ P C : a p aq P U u. λ x Do U là lồi , A là lồi, đặc biệt liên thông. Với mọi ψ P F 1 , hàm g pλq ψ f pa λpx aqq, λ P A là chỉnh hình trên A và đồng nhất bằng không trên đĩa mở ∆pa, εq với ε ¡ 0 nào đó. Khi đó g đồng nhất bằng không trên A do định lí duy nhất đối với hàm chỉnh hình vô hướng. Đặc biệt ψ f x p q p q g 1 0. ĐỊnh lí Hahn-Banach cho ta f x p q 0. pq b Trong trường hợp tổng quát. Giả sử A kí hiệu tập hợp các điểm a U sao P cho f đồng nhất bằng không trên một lân cận của a. Rõ ràng A là mở. DO f 0 trên V nên A H . Còn chứng minh A là đóng trong U . Khi đó do p q tính liên thông của U suy ra f 0 trên U . Giả sử an là dãy trong A hột tụ P ¡ tới b U . Chọn r 0 sao cho B b, r p q U và chọn n để an B b, r . Từ aP p q pq p q P suy ra f 0 trên B b, r . Vậy b A và đó là điều cần chứng minh. Tiếp theo ta mở rộng Nguyên lí ánh xạ mở. 9
2.1.7 Mệnh đề P p q Giả sử U là tập mở liên thông trong E và giả sử f H U . Nếu f khác p q hằng số trên U thì f V là mở với mọi tập con mở V của U . p q Chứng minh. CHỉ cần chứng minh f V là mở trong C với mọi tập lồi mở V P U . Giả sử V là tập con lồi mở của U và x V . Do nguyên lí đồng nhất P hàm f khác hằng số trên V . Vậy tồn tại y V sao cho f x p q p q f y . Vì V là lồi, tập A t P λ C:x λ y x V p qP u là lôi. Hàm p q f rx λpy xqs g λ xác định và chỉnh hình trên A với g p0q f pxq f py q g p1q. Nguyên lí ánh xạ mở đối với hàm chỉnh hình một biến phức cho ta g pAq mở trong C. Bởi vì f pxq g p0q P g pAq f pV q, suy ra f pV q là mở trong C. 2.1.8 Mệnh đề P p q Giả sử U là tập con mở, liên thông của E và giả sử f H U . Nếu tồn tại P a U sao cho f x | p q| ¤ | p q| P f a với mọi x U thì f là hằng số trên U . Chứng minh. Giả sử f là hằng số trên U . Bởi nguyên lí ánh xạ mở tập f U p q là mở trong C. Vậy nó chứa đĩa ∆ f a , r p p q qt P λ C: f a λ | p q | u r . Nhưng điều này không thể xảy ra vì f x | p q| ¤ | p q| f a với mọi x U . P Để kết thúc mục này, ta đưa ra Định lí Liouville. 2.1.9 Định lí P p q Nếu ánh xạ f H E, F bị chặn trên E thì f là ánh xạ hằng. P P Giả sử. Giả sử x E và ψ F 1 . Khi đó hàm g λ p q p q ψ f λ là chỉnh hình và bị chặn trên C. Do định lí Liouvulle cổ điển nên g là hằng số, đặc biệt p q p q ψ f x ψ f 0 . Định lí Hahn-Banach cho ta f x p q p q f 0 . Vậy f là hàm hằng. 10
2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình Trong mục này ta sẽ chứng minh một ánh xạ là chỉnh hình nếu nó là liên tục và hạn chế của nó trên mọi đường thẳng phức là chỉnh hình. Đó là đặc trung rất thuận lợi cho việc kiểm tra tính chỉnh hình của một ánh xạ nào đó 2.2.1 Định nghĩa: Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U Ñ F gọi là G chỉnh hình nếu P P đối với mọi a U và b E, ánh xạ λ Ñ p q f a λb là chỉnh hình trên tập mở t P λ C : a λb U P u p q Ký hiệu: HF U, F là KGVT các ánh xạ G chỉnh hình từ U vào F . Nếu F p q C, ta viết HG U, C HG U p q p q Ví dụ: Chứng minh P a λb là đa thức theo λ với mọi a, b E P Nhận xét: Bằng cách kiểm tra lại các chứng minh đối với ánh xạ chỉnh hình ta nhận thấy các kết quả tương ứng sau còn đúng với ánh xạ G bchỉnh hình là nguyên lý đồng nhất, nguyên lý ánh xạ mở, nguyên lý Maximum và định lý Liouville,... 2.2.2 Định lý : Giả sử U là tập mở trong E. Khi đó, đối với ánh xạ f : U F F thì các Ñ phát biểu sau tương đương: (a) f là chỉnh hình (b) f là liên tục và G-chỉnh hình | (c) f là liên tục và f U XM là chỉnh hình với mọi không gian con hữu hạn chiều M của E. Chứng minh p qñp q a b là hiển nhiên pqñpq b c Giả sử f : U Ñ F là G chỉnh hình và liên tục. Giả sử M là P X không gian con hữu hạn chiều của E với a U M và giả sử e1 , e2 , ..., en là một cơ sở của M. Ta có khai triển chuỗi: ¸ p f a λ1 e1 ... λn en q cα λα1 1 ...λαnn α 11
Ở đây chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó ∆n 0, r . Nếu với p q P m N0 xác định ¸ P m pλ1e1 ... λn en q cα λα1 1 ...λαnn |α|m thì ta có khai triển chuỗi luỹ thừa ¸ p f a λ1 e1 ... λn en q p P m λ1 e1 ... λn en q m0 và (c) được chứng minh p qñp q c a Giả sử B a, r p q U . Nếu M là không gian con hữu hạn chiều của | E chứa a thì do giả thiết f U XM là chỉnh hình thì ta có tồn tại chuỗi luỹ thừa °8 P M px aq từ M vào F sao cho m m 0 ¸ 8 f x p q PmM xp aq m0 P với x Bpa,rq M X Nếu M và N là 2 không gian con hữu hạn chiểu của E chứa a thì do tính duy nhất của khai triển Taylor, ta có: PmM t pq pq PmN t với mọi t M N thì P X P mọi m N0 . Như vậy có thể xác định Pm : E F bởi Pm t Ñ PmM t nếu pq pq M là không gian con hữu hạn chiều chứa a và t. Dễ thấy Pm P m E, F . P p q Thật vậy, với M và N là 2 không gian con hữu hạn chiều của E chứa a. Chọn AMm P p q P p L m M, F và = Anm Lsa m N, F sao cho PmM {AM m q zAN m . Do p qq p q tính chất đối xứng của AM N m và Am , ta có Am M ANm trên M N m . Vậy họ p X q AMm với M xác định như trên cho ta Am Lsa m E, F sao cho Apm Pm. Như P p q P p vậy Pm Pa m E, F và q ¸ 8 p q f x p aq, @x P Bpa,rq Pm x m 0 Do f liên tục ta có thể tìm được hình cầu Bpa,sq Bpa,rq và c 0 sao cho ¡ } p q} ¤ f x P c với x Bpa,sq . Cho t E với t P }}¤ 1. Giả sử M là không gian con hữu hạn chiều của E chứa a và t. Bởi công thức tính tính phân Cauchy, ta có »2 f pa q dζ Pm tp q PmM ptq 1 2πi ζm 1 ζt |ζ |s 12
} } ¤ csm. Vậy Pm là liên tục và chuỗi luỹ thừa ° Pmpx aq 8 Từ đó suy ra, Pm m0 có bán kính hội tụ ¥ s. Vậy paq được chứng minh. 2.3 Hàm chỉnh hình theo từng biến Giả sử U là mở trong Cn và giả sử f : u Ñ F là chỉnh hình tách. Khi đó, f liên tục khi và chỉ khi f bị chặn địa phương Chứng minh: Giả sử f : U Ñ F là chỉnh hình tách và bị chặn địa phương. P ¡ Cho a U và chọn r 0, c 0 để f ζ ¡ } p q} ¤ c, với mọi ζ ∆n a, r P p qX U . Khi P p q đó , với mọi ζ ∆n a, r ta có thể viết ¸ n f pζ q f paq rf pa1, ..., aj1, ζ1, ..., ζnq f pa1, ..., aj , ζj 1 , ..., ζn qs j 1 Từ giả thiết ta suy ra hiệu p q f pa1, ..., aj1, ζ1, ..., ζnq f pa1, ..., aj , ζj gj ζj q 1 , ..., ζn chỉnh hình theo ζj khi các biến khác không đổi. Hơn nữa, }g pζj q} ¤ 2c với |ζj aj | ¤ r. Theo bổ đề Schwart áp dụng cho gj , ta nhận được: ¸ }f pζ q f paq} ¤ 2c |ζj aj | ; @ζ P ∆npa, rq n j 1 r Bất đẳng thức này chngs tỏ f là liên tục. Điều kiện đủ được chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. 2.3.1 Bổ đề: Giả sử U là tập mở trong Cn . Khi đó, ánh xạ f : U Ñ F là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó chỉnh hình tách và liên tục. Chứng minh: Chỉ cẩn chứng minh điều kiện đủ P Giả sử a U . Ta có khai triển chuỗi ¸ p f a λq cα λα1 1 ...λαnn α và chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó. Do đó, f là chỉnh hình Bổ đề này được mở rộng đến không gian Banach tuỳ ý. 13
2.3.2 Mệnh đề: Giả sử E1 , ..., En và F là các không gian Banach, U là tập mở trong E1 ... En . Khi đó, ánh xạ f : U ÑF là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó chỉnh hình tách và liên tục. Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Giả sử f : U Ñ F là chỉnh hình tách và liên tục. Giả sử a p a1 , ..., an qP U và b p b1 , ..., bn qP E1 ... En . Khi đó ánh xạ: g : pλ1 , ..., λn q Ñ f pa1 q pλ1, ..., λnq P Cn λ1 b1 , ..., an λn bn ; λ là chỉnh hình tách. Như vậy, g là G chỉnh hình. Đặc biệt, λ Ñ f pa1 rb, ..., an rbq là chỉnh hình. Vậy f là G chỉnh hình và liên tục. Suy ra, f chỉnh hình Với khái niệm G chỉnh hình ta đã chuyển sự nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình tới trường hợp không gian xác định là 1 chiều. Tiếp theo, ta đưa vào khái niếm chỉnh hình yếu để đưa việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình giá trị Banach về ánh xạ chỉnh hình giá trị vô hướng. 2.4 Chỉnh hình yếu 2.4.1 Định nghĩa: Giả sử U là tập mở trong E và f : U Ñ F . Ánh xạ f gọi là chỉnh hình yếu hay giải tích yếu nếu φ f : u Ñ P C là chỉnh hình với mọi φ F 1 . Tương tự f gọi là G chỉnh hình yếu nếu φ f là G chỉnh hình với mọi φ F 1 P 2.4.2 Định lý: Giả sử U là tập mở trong E và f : U Ñ F . Khi đó, (a) f là G chỉnh hình nếu và chỉ nếu f là G chỉnh hình yếu (b) là chỉnh hình nếu và chỉ nếu f là chỉnh hình yếu Trước khi chứng minh bổ đề này ta thiết lập bổ đề sau: 2.4.3 Bổ đề: Giả sử U là tập mở trong C. Khi đó, ánh xạ f : U Ñ F là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó là chỉnh hình yếu. 14