zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Tìm nghiệm của phương trình hàm vi - tích phân bằng phương pháp đồng nhất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tìm nghiệm của phương trình hàm vi - tích phân bằng phương pháp đồng nhất được nghiên cứu với mục đích cung cấp một số dạng toán về phương trình vi phân - tích phân cũng như giúp các em học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi như THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, Olympic, tác giả đã đề cập đến cách sử dụng phương pháp đồng dạng để tìm hàm số trong bài toán về phương trình hàm vi phân - tích phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tìm nghiệm của phương trình hàm vi - tích phân bằng phương pháp đồng nhất

Vol8.No2_June 2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ FINDING ROOTS OF DIFFERENTIAL - INTEGRAL EQUATIONS BY THE IDENTITY METHOD Le Thieu Trang Tan Trao University, Viet Nam Email adress: lttrang0466@tuyenquang.edu.vn DOI: https://doi.org/10.51453/2354-1431/2022/744 Article info Abstract: To provide some math forms of differential - integral equations, as well as Received: 25/03/2022 help students achieve remarkable results in exams such as National High Revised: 03/05/2022 School, Excellent Student Contests, and Olympiads, the author has Accepted: 01/6/2022 mentioned how to use the homogenization method to find functions in the problem of differential - integral function equations. This helps form an effective way for students to encounter these math problems. These math Keywords: exercises have been collected and synthesized from several documents and contests in recent years; the author has supplemented and formed general Antiderivative, integral, differential – integral methods supporting students in different themes in studying and equation, identity, researching. Therefore, the students can design similar exercises by student. themselves. 29
Vol8.No2_June 2022 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC TÂN TRÀO ISSN: 2354 - 1431 http://tckh.daihoctantrao.edu.vn/ TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VI - TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT Lê Thiếu Tráng Trường Đại học Tân Trào, Việt Nam Địa chỉ email: lttrang0466@tuyenquang.edu.vn DOI: https://doi.org/10.51453/2354-1431/2022/744 Thông tin bài viết Tóm tắt Với mục đích cung cấp một số dạng toán về phương trình vi phân - tích Ngày nhận bài: 25/03/2022 phân cũng như giúp các em học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi như Ngày sửa bài: 03/05/2022 THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, Olympic, tác giả đã đề cập đến cách sử Ngày duyệt đăng: 01/06/2022 dụng phương pháp đồng dạng để tìm hàm số trong bài toán về phương trình hàm vi phân - tích phân. Từ đó giúp hình thành phương pháp giải hiệu quả Từ khóa: cho học sinh khi gặp các dạng toán này. Các bài tập toán này được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp từ một số tài liệu và một số cuộc thi trong những Nguyên hàm, tích phân, năm gần đây, tác giả đã bổ sung và hình thành những phương pháp chung phương trình vi - tích phân, hỗ trợ cho các em học sinh ở các chuyên đề khác nhau trong quá trình học đồng nhất, học sinh - sinh viên. tập và tìm hiểu. Vì vậy, các em hoàn toàn có thể tự thiết kế các bài tập tương tự.. I. ĐẶT VẤN ĐỀ phức tạp hơn tác giả sẽ giới thiệu trong các chuyên đề tiếp theo. Vi phân và tích phân là một trong những chủ đề hay và khó trong chương trình giải tích của Trung học II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU phổ thông và Đại học, đặc biệt là phần vận dụng và vận dụng cao trong các kì thi Trung học phổ thông Quốc * Kiến thức chuẩn bị gia, học sinh giỏi và Olympic học sinh - sinh viên. 2.1. Nguyên hàm [3] Về phương trình hàm liên quan đến vi phân, tích 2.1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f x xác định phân đã có các giáo trình giảng dạy của ngành toán trên khoảng K K là một khoảng, một đoạn, hoặc các trường Đại học và cả ở bậc Trung học phổ thông, đã có đầy đủ lý thuyết, bài tập thực hành bao gồm: Vi nửa khoảng của . Hàm số F x được gọi là phân, tích phân, phương trình vi – tích phân cơ bản. nguyên hàm của hàm số trên K nếu f x Tuy nhiên, những năm gần đây, trong các kì thi của học sinh và sinh viên đa số phần này các em đều làm F ' x  f x , x  K . chưa tốt, trong bài viết này, tác giả tập trung khai thác 2.1.2. Định lí. Nếu F x là một nguyên hàm của một dạng toán tìm hàm số trong phương trình hàm vi- tích phân, giúp cho học sinh và sinh viên nhận dạng hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm và giải quyết tốt những dạng toán này trong các kì thi số G x  F x  C cũng là một nguyên hàm và giúp người học chủ động xây dựng được hệ thống bài tập trong học tập và nghiên cứu. Các dạng toán của hàm số f x trên K. 30
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 Đảo lại, nếu F x là một nguyên hàm của hàm b a số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên  2) f x dx   f x dx . a b K đều có dạng F x  C , với C là hằng số tùy ý. b Họ nguyên hàm của f x kí hiệu: 3) Nếu f a x dx  0 thì f x  0 , với a  b . . 4) Ta có: b b b Hệ quả. Nếu biết f x dx   f u du   f t dt  ... . a a a 2.2.2. Các phương pháp tính tích phân. Ngoài 2.1.3. Các phương pháp tính nguyên hàm. phương pháp dùng bảng nguyên hàm cơ bản, ta còn Ngoài phương pháp dùng bảng nguyên hàm cơ bản, có các phương pháp sau [5]: ta còn có các phương pháp sau: + Phương pháp đổi biến số: a. Phương pháp đổi biến số: Định lí. Nếu hàm số u  u x có đạo hàm liên Định lí. Hàm số u  u x có đạo hàm liên tục tục trên K, hàm số y  f u liên tục và hàm hợp trên K và hàm số f u liên tục sao cho f u x  f u x  xác định trên K, a, b  K , ta có: xác định trên K . Khi đó nếu F là một nguyên hàm u b của f, tức là: b  f u x  u ' x dx   f u du . thì a u a . + Phương pháp tính tích phân từng phần: Định lí. Nếu u  u x , v  v x là các hàm b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: số có đạo hàm liên tục trên a; b thì: Nếu u  u x và v  v x có đạo hàm liên tục b b b trên a; b thì:  u x v ' x dx  u x v x  a   u ' x v x dx a a  u x v ' x dx  u x v x   v x u ' x dx b b  udv  uv   vdu . b . Hay viết gọn lại là: . a a a Hay viết gọn lại là:  udv  uv   vdu . 2.3. Một số bất đẳng thức tích phân [5] 2.2. Tích phân [4] 2.3.1. Định lí 1. Cho hàm liên tục 2.2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f x liên tục f : a, b  . Nếu f x  0, x  a, b thì: trên đoạn a; b . Giả sử F x là một nguyên hàm b của hàm số trên đoạn a; b , hiệu số f x dx  0 , dấu bằng khi f x a F b  F a được gọi là tích phân từ a đến b f x  0, x  a;b . hay tích phân xác định trên đoạn a; b của Hệ quả 1. Cho hàm liên tục f : a, b  thì b hàm số f x . 2n b   f a x  dx  0 , dấu bằng xảy ra khi f x  0, Kí hiệu:  a f x dx . với mọi x  a; b . Khi đó ta có : Hệ quả 2. Cho hai hàm liên tục f : a, b  b F b F a . b f a x dx  F x a và g : a, b  . Nếu f x  g x , x  a, b thì Hệ quả. b b  f x dx   g x dx . a 1) f x dx  0 ; a a a 31
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 2.3.2. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và Phân tích. Ta thấy biểu thức dưới dấu tích phân trung bình nhân AM-GM (Inequality Arithmetic có chứa f ' x , do đó để sử dụng giả thiết này ta 2 and Geometric Means). Cho n số thực không âm cần làm xuất hiện f ' x . Như vậy phải xuất phát a1, a2 ,..., an , ta có: 1 1 từ giả thiết x f x dx  sử dụng phương 2 a1  a2  ...  an n 3  a1a2 ...an . Dấu bằng xảy ra 0 n pháp từng phần để có f ' x . Sau đó từ các giả thiết khi a1  a2  ...  an . đã có tiếp tục đánh giá để tìm hàm f x . 2.3.3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Cho 1 f , g : a; b  là các hàm khả tích trên a; b . Giải. Trong tích phân: I  x 2 f x dx .  0 2 b b  b  du  f ' x dx Ta có: f x dx. g 2 x dx    f x .g x dx  , 2 a  Đặt  f x u   . a a  2 x3 dấu bằng khi f x  kg x , k  0 .  x dx  dv  v   3 Ta được: III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM NGHIỆM 1 CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VI - TÍCH PHÂN x3 11 3 3 0 I f x  x f ' x dx BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT 3 0 1 1 Trong nhiều chủ đề về phương trình hàm vi-tích 1 1 1  f 1   x3 f x dx    x 3 f ' x dx  1 phân, có một dạng toán thường gặp là: Biết một số 3 30 3 0 giả thiết về giá trị hàm tại một điểm và biết một số . đẳng thức về vi, tích phân của nó. Ta cần xác định 1 1 Như vậy:  x f ' x dx  1 và f ' x dx  7 . 3 2 hàm hoặc một số yếu tố liên quan đến hàm. Trong 0 bài báo này, do khuôn khổ có hạn nên tác giả làm rõ 0 một số dạng toán này từ nhận dạng, phân tích dẫn Xét đồng nhất: đến phương pháp chung để tìm hàm bằng phương 2  f ' x  ax3   0  f '2 x  2ax3 f ' x  a 2 x 6  0 pháp đồng nhất đa thức, đồng thời bạn đọc có thể chủ động xây dựng được hệ thống bài tập tương tự. Còn nhiều dạng toán liên quan khác, tác giả sẽ đề Theo giả thiết ta có: cập trong những bài viết tiếp theo. 1 2 1 1 1   f ' x  ax3  dx   f 2 ' x dx  2a  x 3 f ' x dx  a 2  x 6dx 3.1. Dạng toán 1. Tìm hàm f x bằng đồng 0 0 0 0 a2 nhất nhị thức  7  2a  . 7 Giả thiết bài toán có hai đẳng thức tích phân, Ta cần tìm a sao cho: chẳng hạn , và một 1 3 2 a2 0   f ' x  ax   dx  0  7  2 a  7 0a 7 số giá trị hàm tại một điểm. Tìm f x hoặc những biểu thức, phép toán liên quan đến f x . Vậy Phương pháp. Tùy theo giả thiết ta đồng nhất nhị 1 2 thức bằng các biểu thức thích hợp. Chẳng hạn với hai   f ' 0 x  7 x3  dx  0  f ' x  7 x3 , x  0;1 giả thiết ở trên có thể gợi ý đồng nhất 7 2  f '2 x  ax3   0 để tìm f x .  f x   x4  C . 4 Ví dụ 1. Tìm hàm f x có đạo hàm liên tục Thay f 1  0 ta được 7. Vậy C 1 4 trên 0;1 , biết rằng f 1  0 , x dx  7 và f' 2 7 7 0 f x   x4  . 4 4 1 1 [2]. x f x dx  2 3 Ví dụ 2. Tìm hàm số f x liên tục trên 1;4 , 0 32
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 thỏa mãn: f x Ví dụ 3. Tìm hàm số có đạo hàm liên tục 4 5 f' x 9 f 1  1, f 4  3ln  1 , 2  1 x 1 dx  và 10 trên 0;1 . Biết rằng: 1 4 5 27 [2]. 3 f 1 0, f' x dx   2ln 2 và 2  xf ' x dx  9ln  2 1 2 10 0 2 Phân tích. Về loại toán khá giống với ví dụ 1, 1 f x 3 [2]. tuy nhiên có độ phức tạp hơn và biểu thức đồng  0 x 1 2 dx  2ln 2  2 nhất cũng cần nhìn nhận sâu sắc hơn để tìm mối liên hệ giữa các biểu thức. Phân tích. Dạng toán tương tự ví dụ trên, Giải. Giả thiết: nhưng khi tích phân từng phần 1 f x  2 dx sẽ 0 x 1 xuất hiện giá trị f 0 chưa biết. Ta cần khử . Ta cũng có: f 0 trong quá trình tìm f x . 1 4 5 Giải. f x I  4 f' 1 x dx  f x 1  f 4  f 1  3ln 2 Trong tích phân 0 x 1 2 dx , f x u du  f ' x dx   đặt   .  4 xf ' x 4 dx    f ' x  f' x 5 9 .  1   1  dx  3ln  dx  dv v  x  1 1 x 1  2 10  x 1 2  1   x 1 4 x 5 9 Hay  xf ' x . dx  3ln  . Dẫn đến Nhận được: 1 x 1 2 10 xét đồng nhất: 1 f x 1 f' x f 1 1 f' x 2 I  dx    f 0  dx  a x x 1 x 1 2 x 1  xf ' x   0 0 0 0  x 1 . xf ' x a2 x  xf '2 x  2a  0  Như vậy sẽ còn f 0 chưa biết. Để tìm x 1 x 1 2 4 4 xf ' x 4 x f 0 , ta đưa vào tham số như sau:  xf ' x dx  2a  dx  a 2  dx  0 2 x 1 1 x 1 2 1 1 f x u du  f ' x dx Đặt:   .  1   1  a  3  0  a  3  x f ' x  3 x 2  x 1 2 dx  dv v  k x 1   x 1 3  f' x   . Khi đó: x 1 1 1 1 f x  1   1  Thay .  0 x 1 dx    2  x  1 k f x  0   0 x  1  k  f ' x dx  Vậy f x  3ln x  1  1  3ln 2 . 1 Nhận xét. Trong hai ví dụ trên ta thấy, để tìm  1   1      k  f 1  1 k f 0     k  f ' x dx hàm f x ta cần xử lí giả thiết, sau đó tìm biểu  2  0  x  1  1 thức đồng nhất thích hợp. Đây là tư tưởng cho  1    1 k f 0      k  f ' x dx . Chọn k hàng loạt dạng toán như trên. Tuy nhiên, có những 0 x 1  bài cần bổ sung tham số khi tích phân từng phần, sao cho 1  k  0  k  1. hoặc tìm biểu thức đồng nhất thích hợp hơn. Các Ta được: bài tập tự luyện ở phần sau, người học có thể tự 1 f x 3 1 x 3 đưa ra hệ thống bài tập tương tự.  0 x 1 2 dx  2ln 2  2  0 x  1 f ' x dx   2ln 2 2 33
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 f x u  Đặt  du  f ' x dx , khi đó:   Từ gợi ý biểu thức dưới dấu tích phân, ta sẽ dùng 2dx  dv  v  2 x  k  đồng nhất: 1 1  x  2 xf ' x  ax  2 I  2x  k f x 1   2 x  k f ' x dx  f ' x  a x  1  0  f ' x  2a x  1   x  1   0 2 1 1   k  2 f 1   2 x  k f ' x dx . 1 1 xf ' x  ax   1 2 2  x    f ' x a dx  0   f ' 2 x  2 a     dx Chọn k  2 ta được 0 x  1  x  1  x  1   1 1 I   2 f x dx    2 x  2 f ' x dx . 1 1 1 2 1 1 xf ' x  ax    f '2 x dx  2a  dx     dx . Từ giả thiết: 0 0 x 1 0 x 1  1 f '2 x   4 f x  8 x 2  16 x  8, x  1;1 3 (giả thiết); Ta có:  f ' x dx   2ln 2 2 0 2 1 1 1 1 xf ' x 3    f '2 x dx  2  2 f x dx   8 x 2  16 x  8 dx 2a  dx  2a   2ln 2  (đã tính ở trên); 0 x  1  2  1 1 1 2 1 2 1 2 1  1 1 1  ax   1  2 1 23    x  1  dx  a 2  1   dx  a  1    dx  a   2ln 2  f' x dx  2  2 x  2 f ' x dx   8 x 2  16 x  8 dx 2   2  x 1 x 1 2 0 0  x 1  0  2  1 1 1 . 1 1 1 2    f ' x  2x +2  dx   2 x  2 dx   8x 2  16 x  8 dx  0 2 Do đó: 1 1 1 1  x  3 2 3  23  . 0  f ' x  a x  1 dx  2  2ln 2  2a  2  2ln 2   a  2  2ln 2  Do đó f ' x  2 x  2  f x  x 2  2 x  C . Thay Để 1 2 f 1  0  C  3 .  x  3 3  23  0  f ' x  a x  1 dx  0  2  2ln 2  2a  2  2ln 2   a  2  2ln 2   0  a  1 Vậy f x  x 2  2 x  3 . Vậy: Nhận xét. Qua hai ví dụ trên, ta thấy rõ phương x x  1  pháp xử lí dạng toán đồng nhất nhị thức, có thể f' x   f x  dx   1   dx  x  ln x  1  C x 1 x 1  x 1 cần đưa vào tham số trong tích phân từng phần khi còn giá trị hàm số chưa biết. Người học có thể Thay f 1  0  C  ln 2  1  dựa vào dạng toán và phương pháp trên tự xây dựng được hệ thống bài tập trong quá trình học f x  x  ln x  1  ln 2 1 . tập và nghiên cứu. Ví dụ 4. Tìm hàm số y  f x liên tục trên 3.2. Dạng toán 2. Tìm hàm f x bằng đồng 1;1 , thỏa mãn: nhất tam thức Bài toán được xét tương tự các dạng trên, nhưng f 1  0 và số lượng đẳng thức nhiều hơn, chẳng hạn có các giả f '2 x   4 f x  8 x 2  16 x  8, x  1;1 [2]. thiết: b b Phân tích. Với các giả thiết đã cho, ta thấy vẫn cần tìm biểu thức để đồng nhất. Tuy nhiên  f x dx  M ,  xf x dx  N , a a b còn thiếu . Do đó ta cần một tham số để f x dx  P . Tìm f x hoặc những biểu thức, 2 khử . a phép toán liên quan đến f x . 1 Giải. Xét I  2 f x dx .  1 Phương pháp. Từ số lượng giả thiết gợi ý liên kết với tam thức (hoặc hơn nữa) tùy theo số lượng 34
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 giả thiết, chẳng hạn như ba giả thiết trên gợi ý liên 1 1 8 2 I   e2 x  f '2 x  f 2 x  dx  4  e x f x dx  kết tam thức  f x  ax  b  . 3   0 0 . Đặt u x  e x f x , khi đó: Ví dụ 5. Tìm hàm số f x liên tục trên 0;1 , thỏa mãn: u '  e x f x  e x f ' x  e x f ' x  u ' u , 1 1 1 với .  f x dx   xf x dx  1 và f x dx  4 2 0 0 0 Như vậy: [1]. 1 1 8 I    u ' u  u 2  4u  dx   u '2  2uu ' 4u  dx  2 Phân tích. Từ các giả thiết ta thấy các biểu thức   3 0 0 tích phân cùng cận và các biểu thức dưới dấu tích . phân chứa f 2 x , xf x , f x nên để đồng Ta có: nhất, gợi ý xuất phát từ tổng ba số bình phương. 1 u2 15 1  uu ' dx   ; Giải. Xét đồng nhất: 0 2 0 2 2  f x  ax  b   0  f '2 x  2axf x  2bf x  a 2 x 2  2abx  b2 x 2  0 1 1 1  udx  xu 0   xu ' dx  4   xu ' dx , 1 . 0 0 0  1 1 1 1 thay vào trên được: f x dx  2a  xf x dx  2b  f x dx   a 2 x 2  2bx  b 2 dx  0 2 1 8 I   u '2  4 xu ' dx  . Dùng đồng nhất 0 0 0 0 0 3 a2 Ta cần tìm  4  2 a  b   ab  b 2  0 . 1  u ' 2 x  a dx  0 tìm được a  2 2 3 sao cho: 0 1 Do đó . Theo cách đặt suy ra 2   f x  ax  b dx  0 , 0 e f x  e f ' x  2x  2 x x ' 2  e x f x   2 x  2 hay 4  2 a  b  a  ab  b 2  0 3  e x f x   2x  2 dx  x 2  2 x  C .  a  3b  6 a  3b  6b  12  0 . Từ 2 2 đây Thay . tìm được b  2; a  6 . Vậy từ x2  2x  1 2 Vậy f x  x  x  1 e x . 1 e 2   f 0 x  6 x  2 dx  0  f x  6 x  2, x  0;1 Nhận xét. Qua hai ví dụ trên ta thấy, hướng xử lí bài toán có phần phức tạp hơn, đòi hỏi phải phát . hiện được mối quan hệ từ các giả thiết dẫn đến xác Ví dụ 6. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục định biểu thức đồng nhất. trên 0;1 . Biết rằng: 3.3. Dạng toán 3. Tìm f x khi biết một bất ef 1  4 f 0  4 và đẳng thức tích phân đối với f x 1 1 8 Trong bài báo này tác giả chỉ đề cập dạng tìm        e f x dx  3 [1]. 2x 2 2 x e f ' x f x  dx 4 hàm bằng cách dùng một số bất đẳng thức cơ bản. 0 0 Nội dung đầy đủ về bất đẳng thức tích phân sẽ được Phân tích. Từ giả thiết ta thấy chỉ có một đẳng trình bày trong một chuyên đề khác. thức đối với tích phân. Ta cần xem xét kĩ để làm b gọn biểu thức và đưa về dạng đã biết. Dạng 3.1. Sử dụng tính chất: f x dx  0 , 2n Giải. Xét a dấu bằng khi f x  0, x  a; b . 35
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 Ví dụ 7. Tìm hàm số y  f x nhận giá trị dương 1 1 f' x 3 f 2 x  2 dx   2 6 f ' x . f x dx [1]. và có đạo hàm liên tục trên 0,1 , thỏa mãn: 0 0 Phân tích. Ta thấy trong bất đẳng thức đã cho 2 f' x  1 có chứa biểu thức bậc hai của f x , ta sẽ đưa về f 1  ef 0  e và    dx  1 [1]. 0 f x  hằng đẳng thức để đánh giá dấu bằng. Phân tích. Từ giả thiết ta thấy sẽ tồn tại một Giải. Ta biến đổi giả thiết như sau: hằng số m sao cho có đẳng thức xảy ra. Để tìm 1 1 m , ta dùng phương pháp đồng nhất. Lời giải như f' 0 x 3 f 2 x  2 dx   2 6 f ' x . f x dx 0 sau: Giải. Xét: 1 2   f ' x 3 f 2 x  2  2 6 f ' x . f x dx  0 1 f' x   f 0 x  m  dx  0 0  1   2 1 1 f' x  f' x  2 3 f ' x . f x  2 dx  2 x  f ' x dx  0      2m.  m 2  dx  0 0   f x  f x 0 0   2 f' x  1 1  f' x  2    3f ' x .f x  2 0 f ' x f 2 x  0  f x  dx   0  2m. f x  m2  dx . 3  Ta có: 2 1 2   f ' x f 2 x dx   dx  f 3 x  x  C 3 3 3 . Ta có: f 0  3 C ; f 1  3 2  C . Thay vào giả  2 m  m2 . Do thiết f 1  f 0  1 ta được: 2 1 f' x  2 21  f 2  dx  1  2m  m  1  m  1  0  m  1 2 C 1 0  x  9 2 21  f x  3 2x  1 . Vậy 9 2 1 f' x  Dạng 3.2. Dùng bất đẳng thức giữa trung bình 0  f x  dx  1 cộng và trung bình nhân AM-GM (Inequality   1 f' x  2 Arithmetic and Geometric Means) f' x    1 dx  0   1  f x  ke x 0 f x  f x Ví dụ 9. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục . trên 0;1 . Biết rằng: Vì f 1  ef 0  e nên k  1  f x  e x . 1 1 dx Nhận xét. Việc đưa vào tham số để bất đẳng f 1  ef 0 và  2   f '2 x dx  2 . f x 0 [1] thức xảy ra dấu bằng thường được dùng trong 0 những bất đẳng thức đơn giản. Đối với những bài Phân tích. Bất đẳng thức đã cho có dạng phức tạp hơn, ta có thể xử lí bằng các bất đẳng nghịch đảo, điều đó gợi ý cho ta dùng bất đẳng thức cơ bản (xét ở các dạng sau), hoặc đưa về các thức AM-GM, mục đích tìm ra bất đẳng thức hằng đẳng thức. ngược chiều với giả thiết. Ví dụ 8. Tìm hàm số f x có đạo hàm dương Giải. Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: liên tục trên 0;1 . Biết rằng: 1 dx 1 1  1        f '2 x  dx 2 2 f ' x dx  2 0 f x 0 0  f x  f 1  f 0  1 và 36
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 1 f' x 1 f 1 Nhận xét. Trong thực tế, việc tìm bất đẳng thức  2 dx  2 ln f x  2 ln  2 ln e  2 ngược chiều với giả thiết khá phổ biến. Để làm 0 f x 0 f 0 được điều đó, chúng ta cần có những đánh giá . thích hợp nhờ các bất đẳng thức cơ bản. Những Do giả thiết: bài toán tương tự trong phần bài tập tự luyện. Trong các ví dụ trên, mới chỉ lấy một ví dụ minh 1 1 dx 1 f 0 2 x 0  f '2 x dx  2  f ' x  f x  f x f ' x 1 họa, các bài tập tương tự sẽ cho trong phần tự luyện tập. 1 1 f2 x Riêng phần bất đẳng thức tích phân, tác giả sẽ đi   f x f ' x dx   xdx   x  C  f x  2 x  2C 0 0 2 sâu và đầy đủ trong một chuyên đề khác. Trong bài báo này, tác giải chỉ dừng lại ở việc tìm hàm số bằng bất đẳng thức cơ bản. Sau đây là các bài tập tự luyện. Người đọc cần nhận dạng và sử dụng phương pháp thích hợp như các ví dụ mẫu ở trên. Sau đó các bạn thử xây dựng Vì f 1  ef 0 nên mỗi dạng toán một số bài xem còn mắc ở bước nào, 1 2 vì các bạn vẫn cần một số phép thử đặc biệt thì mới C  f x  2x  2 . e2  1 e 1 được một bài toán đẹp. Dạng 3.3. Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy- Bài tập tự luyện [1], [2], [4]. Schawarz Bài 1. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục Ví dụ 10. Tìm hàm f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn: trên 0;1 . Biết rằng: 1 11 và f 1  1, x f x dx  5 1 1 f 1  0, 1 78 f' 2 x dx  7 và 0 x f x dx  3 2 [1]. 0 1 0 4 f' x d  f x   . Phân tích. Bài toán này phần trên chúng ta đã 0 13 dùng phương pháp đồng nhất. Tuy nhiên, nếu đánh giá và sử dụng bất đẳng hợp lí sẽ có lời giải Hướng dẫn: Đồng nhất  0. hay và ngắn gọn hơn. Kết quả f x  2 x 6  5 . 1 1 ta 7 7 Giải. Tích phân từng phần x f x dx  2 0 3 Bài 2. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục được: trên 0;1 , thỏa mãn: 1 4 và f 1  1,  xf 0 x dx  15 . 1 49 . Mặt khác, dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz f' x dx  2 ta có: 0 45 2 Hướng dẫn. Đồng nhất  f ' x  ax 2   0 .   Kết quả: f x  7 3 2. . x  9 9 Từ đó phải có đẳng thức xảy ra, tức là Bài 3. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục f ' x  kx3 . Thay vào trên tìm được k  7 . trên 0;1 , thỏa mãn: 7 Vậy f ' x  7 x , x  0;1  f x   x  C . 3 1 4 2 và 1 9 7 7 7 f 1  1, f 0 x dx  5 f' 0 2 x dx  . 5 Thay f 1  0  C   f x   x4  . 4 4 4 37
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 Hướng dẫn. Đồng nhất  f ' x  ax 2   0 . Kết 2 Hướng dẫn. Đồng nhất 2 quả: f x  x3 .  f ' x  a x3  1   0 . Kết quả:   Bài 4. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục 7 35 f x   x4  7 x  . 4 4 trên 0;1 , thỏa mãn: Bài 9. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục f 1  0 , và trên 1; 2 , đồng biến trên 1;2 thỏa mãn: . và Hướng dẫn. Đồng nhất . 2  f ' x  axe   0 . x Kết quả: f x   xe  e x x . 2 Hướng dẫn. Đồng nhất  f ' x  a   0 . Kết Bài 5. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục quả f x  2 x  2 . trên 0;1 , thỏa mãn: Bài 10. Tìm hàm số f x liên tục trên 1;4 , 1 1 thỏa mãn: f 0  f 1  0, f x dx  và 2 2 0 f 1  1, f 4  8 và 1 f' 0 x cos xdx  2 . Tìm f x . f '2 x x3  f x  9 x3  x  3x, x  1;4 . 2 Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có: Hướng dẫn. Đồng nhất  f x  a sin x   0 . f x 1 3 . Kết quả: f x  sin x . f '2 x  9  3 x x x Bài 6. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn:   f    0, và  cos xf x dx  . f' x dx  2 2 4 4 Dùng tích phân từng phần tính 4 f x 2 2  dx . 1 x3 2 Hướng dẫn. Đồng nhất  f ' x  a sin x   0 . f x u du  f ' x dx Kết quả: f x  cos x . Đặt    , ta được:  dx 2  3  dv v   k Bài 7. Tìm hàm số f x có đạo hàm liên tục  x  x trên 1;2 , thỏa mãn: 4 f x  2  4 4  2   1 x3 dx     x k f x  1    1 x  k  f ' x dx  2 f 2  0, 1 4  1 k  x  1 f x dx   và 2 3  7 k  6  2    f ' x dx . 1 1 x 2 2 x dx  7 . Thay vào trên ta được: f' 2 1 4 4  1 k 1    1  x  2  f ' x dx  21  2ln 2 2 2 f ' x dx 7 k 6 2 Hướng dẫn. Đồng nhất  f ' x  a x  1   0 . 3   7 4 7 f x  x 1  . 4 4 Bài 8. Tìm hàm số f x liên tục trên 1;1 , thỏa mãn: 2 Chọn k  6 thì 4   1 6  1  f ' x   x  2  dx  0 , 1 16 và 1 f 1  0 ,  x f x dx  2 x dx  112 . f' 2 1 3 1 38
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 1 f x u   du  f ' x dx , hay f ' x   3  f x  2 x  3x .  chọn được x  dx  dv  v  x  k  Bài 11. Tìm hàm số f x liên tục trên 0;1 , k  2 . thỏa mãn: Xét đồng 1 1 2 1 1 nhất:  f ' x  a x  2   0  a  . f x dx  5 và  xf x dx   x f x dx  1 . 2 2 0 Kết quả: f x  1 x  2 2  1 . 0 0 Tìm f x . 4 Hướng dẫn. Đồng nhất 2 Bài 15. . Tìm hàm f x liên tục trên , biết  f x  ax  b x   0 . Kết quả   1 1 2 2 1 5 . f x  15 x -15 x . f 0 1,  0 f '2 x dx  và 6 f 0 x dx  12 Bài 12. Tìm hàm f x liên tục trên , 1 2 1, Hướng dẫn. Trong f đặt 1 1 2 x dx  biết: f 0  0 , 2 1 và 1 6  f x dx   f ' x dx  . 2 0 12 6  f x u  du  f ' x dx , 0 0 1   chọn được 2 1 , dx  dv  v  x  k  Hướng dẫn. Trong đặt f x dx  12 1 0 k  . 2 f x u   du  f ' x dx , chọn được k   1 .   Xét đồng nhất: dx  dv  v  x  k  2 2  f ' x  a 2 x  1   0  a  1 . Kết quả: 2 Đồng nhất  f ' x  a 2x  1   0  a  1 .   f x  x  x 1. 2 Kết quả: f x  x  x . 2 Bài 16. Tìm hàm số f x  0 , có đạo hàm Bài 13. Tìm hàm f x liên tục trên , f ' x  0 , liên tục trên 0,1 thỏa mãn: 2 biết: f 0  0 , 2 và f 0  1 và f' x dx  2 0 3 1 1   f x  4 f ' x  dx  3 f ' x f x dx . 2 3 3 2 4 f 0 x dx   . 3 0 0 Hướng dẫn. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 Hướng dẫn. Trong 2 ba số dương ta có:  f x dx  , đặt 0 3 f x u   du  f ' x dx   , chọn được k  2 .  3f ' x f 2 x  dx  dv  v  x  k  1 1 .   f x  4 f '3 x  dx  3 f ' x f 2 x dx 3 Xét đồng nhất 0 0 2 1  f ' x  a x  2   0  a   . Kết quả Kết hợp giả thiết ta có: 2 1 2 f x  x x. 4 Bài 14. Tìm hàm f x liên tục trên , biết: Bài 17. Tìm hàm số f x  0 , có đạo hàm 2 2 2 2 f 0  0,  f ' x dx  và 2 3  0 f x dx  . 3 f ' x  0 , liên tục trên 0,1 thỏa mãn: 0 1 xf ' x 2 f 0  1, f 1  e2 và dx  1 . Tìm f x . Hướng dẫn. Trong  2 f x dx  , đặt  f x 0 3 0 39
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 Hướng dẫn. Cần chỉ ra 1 xf ' x 2 f2' x  0 f x dx  1 . Ta có: f 1  1, f 2  16 và  1 xf x dx  24 . 2 2 xf ' x f' x . Hướng dẫn. Ta có: f ' x  1 . f ' x , gợi ý  x. f x f x xf x x f x dùng bất đẳng thức AM-GM: f' x f' x Xét đồng nhất: x.  ax  b. . Ta f2' x f 2' x f' x f x f x  mx  2m  2m , m  0, x  1; 2 xf x f x f x có: f' x xf ' x  mx  2 m . , m  0, x  0;1 . Khi đó: f x f x 2m 2 2m 24   4m f x  24   12 m , dấu bằng Vậy ta cần tìm m > 0 để: 3 1 3 khi . Tìm được f x  x 4 . 1 f' x  1 xf ' x 0  f x  mx dx  2 m .0 f x dx . Bài 20. Tìm hàm f x có đạo hàm liên tục   2 trên 1; 2 và thỏa mãn x f x dx  31 . 3 Hay: . 1 Dấu bằng xảy ra khi m = 4. Hướng dẫn: Áp dụng hai lần bất đẳng thức Từ đó suy ra: Cauchy-Schwarz, ta có: Dấu bằng xảy ra khi 2  3 2 2 314    x 4 f x dx  f 4 x dx   f 4 x dx  3  3875 f' x f' x 1   4  2  4x   dx   4 xdx . Tìm được 1 1   x dx  f x f x 1  . Dấu bằng khi Bài 18. Tìm hàm f x có đạo hàm liên tục 2 1 f x  kx  k  x 4 dx  31  k  5  f x  5x 2 . trên 0,1 biết: f 0  1, f 1  3 và  f x f ' x  2 dx  1 .   0 1 Bài 21. Tìm hàm f x  0 có đạo hàm Hướng dẫn. Với m > 0, xét: f ' x  0 , liên tục trên 0,1 , thỏa mãn: 2  f x f ' x   m  2 m. f x f ' x , hay cần tìm m sao cho: 1 xf ' x 1 1 f 0  1, f 1  e2 và  dx  1 . f x    f x f ' x   m dx  2 m.  f x f ' x  dx 2 0  0 0 Hướng dẫn. Theo bất đẳng thức Cauchy-Shwarz: . Dấu bằng xảy ra khi . 2 2  1 xf ' x  1 f' x  1 1 f' x Khi đó: 12    dx     x . dx    xdx. dx 0 f x  0 f x  f x     0 0 1 f 1 .  ln 1 2 f 0 f' x Dấu bằng xảy ra khi f x f ' x  1 . Thử lại Dấu bằng khi  kx . Thay vào f x tìm được . 1 xf ' x  dx  1  k  4 . Tìm được . Bài 19. Tìm hàm f x  0 , có đạo hàm liên tục 0 f x trên 1;2 thỏa mãn: 40
Le Thieu Trang/Vol8 No.2_June 2022| p.29-41 f x Trong quá trình sưu tầm và tổng hợp tài liệu, do Bài 22. Tìm hàm có đạo hàm liên tục khả năng và thời gian có hạn nên một số kết quả của trên 0,1 thỏa mãn: chuyên đề mới dừng lại ở những kết luận ban đầu, một số vấn đề của chuyên đề có thể chưa được phát và triển sâu và cách làm có thể chưa tối ưu. Vì vậy rất 1 2 mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của các   f 0 x f ' x  dx  1 . thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để chuyên đề có chất lượng tốt hơn. Hướng dẫn. Theo bất đẳng thức Cauchy- 1 Schwarz. Ta có: 1 2 1 f 0 x f ' x dx  2 f x 0  1 và REFERENCES [1] Olympiad exam problems and preparation 2 1  1 1 2 materials for pupils and students of the Vietnam 12    f x f ' x dx    12 dx.  f x f ' x  dx  1.1  1 0  0 0 Mathematical Association (http://vms.org.vn). Dấu bằng khi f x f ' x  k , thay vào [2] Fanpage: Mathematical journals and 1 materials - Conquering the Math Olympiad. f 0 x f ' x dx  1 được k  1  . [3] Liem,N.X. (1997), Calculus Volume 1, Education Publishing House, Hanoi. IV. KẾT LUẬN [4] Tri,N.D. (editor)-Ta Van Dinh-Nguyen Ho Quynh (2008), Advanced Mathematics volume 2, Qua theo dõi đề thi THPT Quốc gia, các kì thi Education Publishing House, Hanoi. Olympic cho học sinh, sinh viên, tác giả nhận thấy [5] Long,T.D., Sang,N.D., Tien,N.V.T., Toan, các dạng toán về phương trình vi - tích phân được H.Q. (2008), Calculus exercise, volume 1, Hanoi cho từ cơ bản đến phức tạp, có thể là tích hợp từ các National University Publishing House. bài toán cơ bản, nếu tổng hợp được từng dạng cụ thể dần hình thành chuyên đề đầy đủ cho người học nâng cao kiến thức, có thể tự tổng quát và tạo được hệ thống bài tập trong học tập và nghiêm cứu. 41

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.