intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 27

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:28

Thêm vào BST
Báo xấu
64
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để khảo sát một chuyển động, ta phải biết cách giải phương trình Schrödinger Nhưng việc giải chính xác phương trình như vậy chỉ có thể thực hiện được trong vài trường hợp rất đặc biệt Trong những trường hợp khác, ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 27

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 27 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ NHẤT
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Để khảo sát một chuyển động, ta phải biết cách giải phương trình Schrödinger Nhưng việc giải chính xác phương trình như vậy chỉ có thể thực hiện được trong vài trường hợp rất đặc biệt Trong những trường hợp khác, ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng Trong chương này, ta sẽ là quen với một trong những phương pháp giải gần đúng quan trọng nhất: ˆ ˆ Coi hamiltonian H của hạt (hoặc hệ hạt) như là nhận được từ một hamiltonian H 0 (ứng với một phương trình có thể giải chính xác) bằng tác dụng một “nhiễu loạn” {H − H } lên hệ, sau dó “điều chỉnh” nghiệm chính xác ứng vớiH ˆ ˆ 0 ˆ 0 theo nhiẽu loạn Trong bài này ta chỉ xét “nhiễu loạn dừng” { ˆ ˆ tức là H − H 0 } không phụ thuộc thời gian.
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ nhất ˆ Như đã nói trên, giả sử H 0 là hamiltonian ứng với phương trình Schrödinger giả được chính xác. Khi đó, ta có thể tìm được các trạng thái dừng ψ n 0 0 ứng với các trị riêng E n (n=1, 2, 3, …) tức là: ˆ 0 H 0ψ n = E nψ n 0 0 (27.1) ˆ Tiếp theo, giả sửH là hamiltonian của hạt đang dược khảo sát ˆ ˆ Giả sử H khá gần với H 0 tức là: ˆ ˆ H = H 0 + εWˆ (27.2) ˆ với W là một toán tử cho trước, ε là một hằng số rất nhỏ (từ “rất nhỏ” có ý nghĩa cụ thể trong những bài toán cụ thể) gọi là tham số nhiễu loạn. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm hiểu E và ψ sao cho:
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ Hψ = Eψ (27.3) hay: (H ˆ 0 ˆ + εW ψ = Eψ ) (27.4) Nghiệm của (27.3) sẽ được tìm dưới dạng: ψ = ∑ a nψ n 0 (27.5) n Thế (27.5) vào (27.4), ta thu được: ∑ ( a n H 0ψ n + εWψ n = ∑ a n Eψ n ˆ 0 ˆ 0 0 ) ( ) n n hay: ∑n a n E nψ n + εWψ n = ∑ a n Eψ n 0 0 ˆ 0 0 n suy ra: ∑ ˆ [ a n εW + E − E n ψ n = 0 0 0 ( )] (27.6) n ψ n * ồi lấy tích phân trong toàn không gian, với giả thiết là hệ Nhân hai vế (27.6) với r 0 {ψ } 0 n đã được trực giao và chuẩn hóa (trực chuẩn), ta được:
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ∑ [δ ( E − E ) + εW ]a n mn 0 n mn n =0 ( 27.7) 0 ˆ trong đó: Wmn = ∫ψ m*Wψ n dv 0 (27.8) là phần tử của ma trậnWˆ Các đẳng thức (27.7) cho ta một hệ phương trình bậc nhất với vô số phương trình (m=1, 2, 3, …) và vô số ẩn số (a1, a2, a3,…) Nhớ rằng các hệ số a1, a2, a3,…và E là phụ thuộc ε, tức là chúng là các hàm của biến ε, ta viết chúng dưới dạng chuõi lũy thừa theo ε : +∞ a m = ∑ a mk ) ε k ( (27.9) k =0 +∞ E = ∑ E (k )ε k (27.10) k =0
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Thế (27.9) và (27.10) vào (27.7), hay tiện hơn, thế chúng vào đẳng thức sau (cố nhiên là tương đương với (27.7)): ( ) a m E m − E + εWmm + ε ∑ Wmn a n = 0 0 (27.7') n ≠m ta được  (  (E 0 m ) ( ) ( ) − E ( 0) a m0 ) + ε  Wmn − E (1) a m0) + E m − E ( 0 ) a m ) + ∑ Wmn a n0 )  + ( ( 0 (1  m≠n   (  ( ) ( ) + ε 2  Wmn − E (1) a m ) + E m − E ( 0) a m2) + ∑ Wmn a n1) − E ( 2) a m0 )  + (1 0 ( (  m≠n  + ... = 0 (27.11) (Ở chỗ dấu chấm (…) là tất cả các số hạng từ bậc 3 trở lên). Nếu bỏ qua các số hạng từ bậc k+1 trở lên trong khi giải, ta sẽ có xấp xỉ bậc k. 2. Xấp xỉ bậc 0 và bậc 1 Bỏ qua tất cả các số hạng chứa ε, từ (27.9), (27.10), (27.11) ta được
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam a m = a m0 ) ( (27.9') E = E (0) (27.10') ( E m0) - E (0) )am0) = 0 ( ( (27.11') Vì hàm trạng thái ψ = ∑ a nψ n 0 n không thể đồng nhất bằng 0 nên ít nhất phải có một hệ số ak nào đó khác không. Nhưng khi đó, từ (27.11’) ta có E ( 0 ) = E m với mọi m ≠ k; do đó a m ≡ a m0 ) = 0 0 ( với mọi m ≠ k. Như vậy, ψ trùng với một trong các trạng thái ψn 0 Bây giờ ta giữ lại thêm số hạng chứa ε (và bỏ qua các số hạng chứa các lũy thừa bậc 2 trở lên). Khi đó. a m = a m0 ) + εa m1 ) ( ( (27.9'' ) E = E ( 0 ) + εE (1) (27.10'' )  (  (E (0) m ) ( ( ) ( ( ( ) - E ( 0 ) a m0 ) + ε  Wmn − E (1) a m0 ) + E m0 ) - E ( 0 ) a m1) + ∑ Wmn a n0 )  = 0 ( (27.11'' )
  9. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam (0) Chọn a m và E ( 0) như trong xấp xỉ bậc 0, tức là a m0) = δ mk ( và E ( 0 ) = E k0 (với k cố định), khi đó (29.11’’) trở thành:   (E 0 m 0 k ) - E δ mk ( (1) ) 0 ( 0 ) + ε  Wmn − E δ mk + E m - E k a m + ∑ Wmnδ mk  = 0 (1)  n ≠m  Rõ ràng số hạng đầu ở vế trái của đẳng thức này luôn bằng 0, do đó ta có: (W mn ) ( ) − E (1) δ mk + Em - Ek0 am1) + ∑ Wmnδ mk = 0 0 ( (27.12) n ≠m với m = k, từ (27.12) ta được: Wkk − E (1) = 0 hay E (1) = Wkk (27.13)
  10. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam với m ≠ k, cũng từ (27.12) ta có: (E 0 m - E k0 ) a m1) + Wmk = 0 ( suy ra (với m ≠ k): Wmk a m1) = ( (27.14) ( E m - E k0 0 ) Ta còn phải xác định a k1) ( Muốn thế, ta viết lại hàm trạng thái ψ như sau (với an lấy gần đúng bằng a n0 ) + εa n1) ): ( ( ψ = ∑ anψ n = ∑ ( an0 ) + εan1) )ψ n = ∑ an0 )ψ n + ε ∑ an1)ψ n 0 ( ( 0 ( 0 ( 0 (27.15) n n n n Do a = δ nk (0) n nên (27.15) có thể viết lại thành: ψ = ψ k0 + ε ∑ a n1)ψ n ( 0 (27.16) n
  11. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta yêu cầu ψ cũng phải được chuẩn hóa. Khi đó, với cách viết: ∫ ϕ *ψdv = ϕ ψ (27.17) và chú ý rằng ϕ αψ = α ϕ ψ và αϕ ψ = α * ϕ ψ , ta có: 1= ψ ψ =   2 = ψ ψ + ε  ∑ an1)ψ n ψ k0 + ψ k0 0 k 0 k ( 0 ∑a ψ(1) n 0 n  +ε ∑ am1)ψ m ( 0 ∑ an1)ψ n = ( 0  n n  m n ( ) = 1 + ε ak1)* + ak1) + ε 2 ∑ an1)*an1) ( ( ( ( (27.18) n
  12. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bỏ qua số hạng bậc hai trong (27.18), ta được a k1)* + a k1) = 0 ( ( ( ) , tức là phần thực của a k1) bằng 0. Nhưng vì luôn có thể chọn a m1) ( ( thực nên ta có: a k1) = 0 ( (29.19)  (  (E 0 m ) ( ) ( ) − E ( 0) a m0 ) + ε  Wmn − E (1) a m0) + E m − E ( 0 ) a m ) + ∑ Wmn a n0 )  + ( ( 0 (1  m≠n   (  ( ) ( ) + ε 2  Wmn − E (1) a m ) + E m − E ( 0) a m2) + ∑ Wmn a n1) − E ( 2) a m0 )  + (1 0 ( (  m≠n  + ... = 0 (27.11) Ta hãy viết lại hệ thức (27.11) cho m = k (hãy luôn nhớ: k cố định!) và bỏ qua các số hạng bậc cao hơn 2. Ta có:
  13. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  (0)  ( E − E )a + ε (Wkk − E )ak + ( Ek − E )ak + ∑Wkn an  + 0 k ( 0) ( 0) k (1) (0) 0 (0) (1)  n≠k   (  + ε 2 (Wkk − E (1) ) ak1) + ( Ek0 − E ( 0 ) ) ak 2) + ∑ Wkn an1) − E ( 2) ak0)  + ( ( (  n≠k  + ... = 0 (27.11'' ' ) Thế các giá trị trong xấp xỉ bậc 0 và 1 vào đây (E (0) ( ( ) = E k0 , a k0 ) = δ nk , E (1) = Wkk , a k1) = 0 ta được: ∑ Wkn a n1) = E ( 2 ) n≠k ( suy ra: Wnk Wnk E ( 2) =∑ 0 (27.20) n≠ k Ek − En0
  14. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam còn a k 2vẫn được tìm từ điều kiện chuẩn hóa đối với hàm trạng thái. ( ) Tuy nhiên, việc tính a k2) ( không thật quan trọng, nếu ta không tiến hành các bước xấp xỉ bậc cao hơn nữa. Ở xấp xỉ bậc 2, năng lượng được tính theo công thức: WnkWnk E = E + εWkk − ε ∑ 0 0 k 2 (27.22) n≠ k En − Ek0
  15. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú ý: 1. Ta có εWkk (số hạng hiệu chỉnh năng lượng bậc 1) chính là ∫ψ εψ dv 0* 0 k k tức là giá trị trung bình của nhiễu loạn, nếu trạng thái tương ứng là trạng thái cơ bản thứ k (cố định) đối với hạt “không bị nhiễu loạn”. 2. Do Wkn = W * 2 n nên WknWnk = Wkn . Vì vậy “hiệu chỉnh bậc 2” của năng lượng luôn âm khi k là trạng thái nền, tức là trạng thái với mức năng lượng thấp nhất.
  16. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 4. Trường hợp suy biến Bây giờ ta xét trường hợp trong đó các mức năng lượng chưa bị 0 nhiễu loạn có thể suy biến, nghĩa là mỗi mức năng lượngE n ứng với một số hàm riêng độc lập tuyến tínhψ n1 ,ψ n 2 ,...,ψ np 0 0 0 n (suy biến cấp pn). Khi đó, thay cho (27.7’) ta có: a mp ( E m + εWmp ,mp − E ) + ε 0 ∑a nq Wmp ,nq = 0 (27.23) nq ≠ mp trong đó, đương nhiên: 0* ˆ 0 Wmp,nq = ∫ ψ mpWψ nq dv (27.24) Lý giải tương tự trường hợp không suy biến, ta được: E ( 0 ) = E k0 , a kp ) ≠ 0 với mọi p=1, 2, 3,…, pn; (0 a kp ) = 0 (0 với m ≠ k.
  17. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tiếp theo: (E ) pk 0 k + εWkp ,kp − E a kp ) + ε ∑ a kq )Wkp ,kq = 0 (0 (0 (27.25) q≠ p Các hệ thức (27.25) (với p=1, 2, 3,…, pk) chính là hệ gồm pk ( 0) aẩ phương trình bậc nhất với pk kp n số Định thức của hệ này buộc phải bằng 0 vì nếu không hệ phương trình chỉ có nghiệm tầm thường k0 ) = ... = a kpk) a (1 (0 tức là:
  18. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ek0 + εWk1,k 2 − E εWk1,k 2 ... εWk1,k pk εWk1,k 2 Ek0 + εWk 2 ,k1 − E... εWk 21,k pk =0 (27.26) . . . . . . εWk pk . ... Ek0 + εWk pk mk pk − E k1, 1
  19. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đẳng thức này chính là phương trình bậc (pk) đối với ẩn E. Vì khi khai triển định thức, ta được đa thức cấp pk đối với E nên (27.26) có pk nghiệm (tính α lần, nếu là nghiệm bội α). K ý hiệu các nghiệm đó là Ep=Ekp (p=1, 2, …, pk). Do ε rất nhỏ nên các nghiệm này rất gần nhau. Như vậy, nếu trong trường hợp không có nhiễu loạn, mức năng lượng thưa k có cấp suy biến là pk (pk trạng thái cùng ứng với năng lượngE k0 ) thì khi có nhiễu loạn, chính mức năng lượng này cũng bị tách thành nhiều mức ( pk mức) rất gần nhau!
  20. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta xét một trường hợp riêng: suy biến cấp 2. Khi đó, (27.26) trở thành: (E 0 k + εWk1 ,k1 − E ) εWk1 ,k2 =0 (27.27) εWk2 ,k1 ( Ek + εWk2 ,k2 − E ) 0 Đặt ( E − E ) = εδ . Khi đó (27.27) có dạng: 0 k (W k1 , k1 −δ ) Wk1 ,k 2 =0 Wk 2 ,k1 ( ) Wk 2 , k 2 − δ (27.28)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2