Toán học lớp 10: Đại cương về hàm số (phần 2 nâng cao) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

358
lượt xem 77
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán học lớp 10: Đại cương về hàm số (phần 2 nâng cao) - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp kiến thức lý thuyết và 1 số bài tập ví dụ. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học lớp 10: Đại cương về hàm số (phần 2 nâng cao) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c TOÁN 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 01. I CƯƠNG V HÀM S Th y – P2 (Nâng cao) ng Vi t Hùng D NG 2. S BI N THIÊN C A HÀM S Ví d 1: [ VH]. Kh o sát s bi n thiên và l p b ng bi n thiên c a các hàm s sau a) y = 2 x 2 + 2 x − 2 trên ( −∞; −1) ; ( −1; +∞ ) . b) y = −2 x 2 + 4 x + 1 trên ( −∞;1) ; (1; +∞ ) . Ví d 2: [ VH]. Kh o sát s bi n thiên và l p b ng bi n thiên c a các hàm s sau 2 a) y = trên ( −∞;3) ; ( 3; +∞ ) . x−3 −1 trên ( −∞; 2 ) ; ( 2; +∞ ) . b) y = x−2 D NG 3. TÍNH CH N, L C A HÀM S Ví d 1: [ VH]. Xét tính ch n, l c a m i hàm s : a) y = x 4 − 3 x 2 + 1 b) y = −2 x 2 + x L i gi i: a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. 4 2 4 2 c) y = x 4 + 8 x Ta có: f ( − x ) = ( x ) − 3 ( − x ) + 1 = x − 3x + 1 = f ( x ) . V y f ch n. b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. 3 c) Ta có: f ( −1) = 14 + 8.1 = 9 và f ( −1) = 14 + 8.( −1) = −7  f (1) ≠ f ( −1) và f (1) ≠ − f ( −1) . → V y f(x) không ph i là hàm s ch n và cũng không ph i là hàm s l . Ví d 2: [ VH]. Xét tính ch t ch n, l c a các hàm s sau: a) y = x + 2 − x − 2 b) y = 2 x + 1 + 2 x − 1 L i gi i: a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Ta có: f ( − x ) = − x + 2 − − x − 2 = x − 2 − x + 2 = − f ( x ) . V y f (x) là hàm s l . b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Ta có: f ( − x ) = 2 x + 1 + −2 x − 1 = 2 x − 1 + 2 x + 1 = f ( x ) . V y f(x) là hàm s ch n. c) y = x + x Ta có: f ( − x ) = −2 ( − x ) + ( − x ) = 2 x − x = − f ( x ) . V y f l . 3 c) f (1) = 1 + 1 = 2 và f ( −1) = −1 + 1 = 0  f ( −1) ≠ ± f (1) nên f không có tính ch n, l . → Ví d 3: [ VH]. Xét tính ch n, l c a hàm s : 1 khi x > 0  a) y = f ( x ) = 0 khi x = 0 −1 khi x < 0   − x 3 − 6 khi x ≤ −2   b) y = f ( x ) =  x khi − 2 < x < 2  3 khi x ≥ 2 x − 6  L i gi i: a) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. khi − x > 0 khi x < 0 1 1   Ta có: f ( − x ) = 0 khi − x = 0 ⇔ f ( − x ) = 0 khi x = 0  f ( x ) = − f ( x ) . →  −1 khi − x < 0  −1 khi x > 0   V y f là hàm s l . b) D = R: x ∈ D → −x ∈ D. Tham gia khóa TOÁN 10 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H! Khóa h c TOÁN 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95  − − x 3 − 6 khi − x ≤ −2  x 3 − 6 khi x ≥ 2     Ta có: f ( − x ) =  − x → khi − 2 < − x < 2 ⇔ f ( − x ) =  x khi − 2 < x < 2  f ( − x ) = f ( x ) .   3 3  − x − 6 khi x ≤ −2  − x − 6 khi − x ≥ 2   V y f là hàm s ch n. ( ) ( ) D NG 4. CÁC HÀM S KHÁC th c a hàm s Ví d 1: [ VH]. L p b ng bi n thiên và v ... Ví d 2: [ VH]. L p b ng bi n thiên và v ... 4 y= . x y = 2x + 1 . 1 y = − x3 . 2 th c a hàm s th hàm s Ví d 3: [ VH]. Kh o sát s bi n thiên và v ... Ví d 4: [ VH]. Cho hàm s y= x +1 + x −1 x + 1 − x −1 . a) Tìm mi n xác nh c a hàm s . b) L p b ng bi n thiên và v th hàm s . L i gi i:  x + 1 ≠ −( x − 1) 2 x ≠ 0 a) i u ki n: x + 1 ≠ x − 1 ⇔  ⇔ ⇔ x≠0. x + 1 ≠ x −1 2 ≠ 0 V y D = R \ {0} . b)... x 2 − mx + m Ví d 5: [ VH]. Cho hàm s y = . Hãy xác nh m sao cho: x−m a) th c a hàm s không c t tr c tung. b) th c a hàm s không c t tr c hoành. c) th c a hàm s c t tr c hoành t i 2 i m phân bi t. L i gi i: 2 x − mx + m a) th c a hàm s y = không c t tr c tung khi x = 0 không thu c t p xác x−m x 2 − mx + m y= , do ó m = 0 . x−m x 2 − mx + m b) th c a hàm s y = không c t tr c hoành khi: x−m  x 2 − mx + m = 0 là vô nghi m ⇔  x−m   x 2 − mx + m = 0 là vô nghi m ho c có nghi m kép x = m   ∆ = m 2 − 4m < 0  2  ⇔   ∆ = m − 4m = 0 0 < m < 4  ⇔ ⇔ 0 ≤ m < 4. m  x = m = 0  2  nh c a hàm s c) th hàm s y= x 2 − mx + m c t tr c hoành t i hai i m phân bi t: x−m  x 2 − mx + m = 0 có 2 nghi m phân bi t  ⇔  x−m 2   f ( x) = x − mx + m = 0 có 2 nghi m phân bi t và khác m Tham gia khóa TOÁN 10 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H! Khóa h c TOÁN 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 2  m < 0  ∆ = m − 4m > 0 ⇔ ⇔ .  m > 4  f ( m) = m ≠ 0 Ví d 6: [ VH]. G i D (k ) là ư ng th ng có phương trình y = kx − k + 1 a) Ch ng t r ng khi k thay i, ư ng th ng dk quay quanh m t i m c nh. 4 b) Tìm k dk c t (C ) : y = . x L i gi i: a) Có th vi t phương trình c a dk dư i d ng: y = k ( x − 1) + 1 . Khi x = 1 thì y = 1, ∀k. V y dk luôn i qua i m I (1;1) c nh. b) Phương trình hoành giao i m: 4 kx + 1 − k = ⇔ kx 2 + (1 − k ) x − 4 = 0, x ≠ 0. x x=4. V i k = 0 ⇒ x = 4 : ư ng th ng y = 1 c t (C ) t i i m có hoành V i k ≠ 0 thì dk c t (C ) khi phương trình trên có nghi m, t c là khi: ∆ = (1 − k ) 2 + 16k = k 2 + 14k + 1 ≥ 0 ⇔ (k + 7) 2 ≥ 48 ⇔ k + 7 ≤ − 48 ho c k + 7 ≥ 48 . ⇔ k ≤ −7 − 2 21 ho c k ≥ −7 + 2 21 . Ví d 7: [ VH]. Cho hàm s y = x 4 + mx3 − mx + 3 (v i m là tham s ) Hãy tìm t t c nh ng i m M n m trên dư ng th ng y = x + 1 sao cho th c a hàm s nói trên không i qua chúng dù cho m l y b t kỳ giá tr nào. L i gi i: Xét i m M ( x0 ; x0 + 1) thu c ư ng th ng y = x + 1 Ta có M ( x0 ; x0 + 1) không thu c th c a hàm s ã cho v i m i m 4 3 ⇔ x0 + 1 ≠ x0 + mx0 + 3, ∀ m . 3 4 ⇔ ( x0 − x0 )n + ( x0 − x0 + 2) = 0 là vô nghi m 3  x0 − x0 = 0  x0 = 0 ⇔ 4 ⇔  x0 − x0 + 2 ≠ 9  x0 = ±1  iv im V y ba i m c n tìm trên ư ng th ng y = x + 1 là: A1 ( 0;1) , A2 ( −1; 0 ) , A3 (1; 2 ) . th c a hàm s : Ví d 8: [ VH]. Ch ng minh 2 a) y = x − 4 x + 3 có tr c i x ng là ư ng th ng x = 2 . 1 b) y = x + 1 − có tâm i x ng là i m I ( 0;1) . x L i gi i: Ngoài cách chuy n tr c b ng phép t nh ti n ưa v hàm s ch n, hàm s l , ta có th dùng x ng, tâm i x ng gi i như sau: nh nghĩa v tr c i a) T p xác nh D = R, ta có: f ( x + 2 ) − f ( 2 − x ) = x 2 − 1 − x 2 − 1 = 0, ∀x ∈ D ( ) V y theo nh nghĩa, th hàm s nh n ư ng th ng x = 2 làm tr c b) T p xác nh D = R. \ {0}. i x ng. 1 1 1  1     f ( x ) + f ( − x )  = 2  x + 1 − x +  − x + 1 + x   = 1, ∀x ∈ D 2    V y theo nh nghĩa, th hàm s nh n I(0; 1) làm tâm i x ng. Ta có: Ví d 9: [ VH]. Cho hàm s f ( x) = x 1 + x2 . Hãy xác nh hàm s f ( f ( x )) , f f ( f ( x )) . ( ) L i gi i: Tham gia khóa TOÁN 10 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H! Khóa h c TOÁN 10 – Th y f ( f ( x )) = f ( x) 1+ f 2 NG VI T HÙNG x x 2 Facebook: LyHung95 x 1 + 2x2 x ( x) = 1+ x  x 1−   2  1+ x =     2 = 1 + x2 1+ x 1 + x2 2 = f f ( f ( x )) = ( ) f ( f ( x )) 1 + f ( f ( x )) 2 x 1 + 2x 2 2 = 1 + 2 x2 2 = x 1 + 3x 2 . Ví d 10: [ VH]. Hãy xác a) f ( x + 3) = 2 x − 1 a) V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = 2 x − 7, x ∈ R. b) t x − 1 = u ⇔ x = u + 1 Ta có: f ( x − 1) = x 2 − 3x + 3, ∀x ∈ R. b) f ( x − 1) = x 2 − 3x + 3 . L i gi i: t u = x + 3 ⇔ x = u − 3, ta ư c: f ( u ) = 2 ( u − 3) − 1 = 2u − 7, u ∈ R. x   x 1+ 1+   1 + 2 x2  2   1 + 2x  nh hàm s y = f ( x ) , x ∈ R bi t r ng: ⇔ f ( u ) = ( u + 1) − 3 ( u + 1) + 3, ∀u ∈ R 2 V y hàm s c n tìm là f ( x ) = x 2 − x + 1, ∀x ∈ R. ⇔ f ( u ) = u 2 − u + 1, ∀u ∈ R. Ví d 11: [ VH]. Cho a, b ∈ R, a ≥ 0 . Ch ng minh r ng t n t i hàm s f ( f ( x ) ) = ax + b, ∀x ∈ R . y = f ( x ) , x ∈ R sao cho L i gi i: b Ch n f ( x ) = a .x + , x∈R a +1 Ta có: f ( f ( x ) ) = a . f ( x ) +  b  b = a  a .x + + a +1 a +1 a +1  b  b a  b = ax +  + = ax + b, ∀x ∈ R : pcm.  a +1  a +1   Ví d 12: [ VH]. Xác /s: f ( x) = 28 x + 4 5x 8  x −1   1− x  nh hàm s f(x) bi t 3 f  −5 f  =  3x + 2   x − 2  x −1 Ví d 13: [ VH]. Xác  2x +1  2 nh hàm s f(x) bi t f   = x + 2x  x −1  3x 2 − 3 /s: f ( x) = ( x − 2) 2 Ví d 14: [ VH]. Xác /s: f ( x) = x+4 3x − 2  3x − 1  x + 1 nh hàm s f(x) bi t f  =  x + 2  x −1 BÀI T P LUY N T P Bài 1: [ VH]. Ch ng minh hàm s không có tính ch n, l : a) y = x + 3 b) y = 3x 2 − 4 x + 2 c) y = x +1 x−2 d) y = 3x + 5 x −2 2 Bài 2: [ VH]. Xét tính ch n, l c a các hàm s : Tham gia khóa TOÁN 10 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H! Khóa h c TOÁN 10 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 a) f ( x ) = 2007 x x −4 2 b) f ( x ) = x4 + 2x2 + 1 9x − 1 2 c) y = 1 + x − 1 − x Bài 3: [ VH]. Xét tính ch n, l c a các hàm s : a) f ( x ) = 0 c) f ( x ) = x 4 − 3 x + 72 d) y = x − 4 + x + 4 b) f ( x ) = 3 ( 2 x + 1) + 3 ( 2 x − 1) 2 2  x 3 + 1; x ≤ −1  d) f ( x ) = 0, −1 < x < 1  3  x − 1, x ≥ 1 Bài 4: [ VH]. Xét s bi n thiên c a các hàm s sau trên các kho ng ã ch ra: a) y = 2 x + 3; R. b) y = − x + 5; R. c) y = x 2 − 4 x; a) y = ( −∞;2 ) , ( 2; +∞ ) d) y = 2 x 2 + 4 x + 1; b) y = ( −∞;1) , (1; +∞ ) Bài 5: [ VH]. Xét s bi n thiên c a các hàm s sau trên các kho ng ã ch ra: 4 ; ( −∞; −1) , ( −1; +∞ ) x +1 c) y = −6 x + 9 2 5x − 3 3 ; ( −∞;2 ) , ( 2; +∞ ) 2−x d) y = −6 x + 9 3x − 2 x +1 2x + 1 , g ( x) = 6 − 4x 3x + 1 e) y = f) y = Bài 6: [ VH]. Xác nh g ( f ( x) ) ; f ( g ( x) ) ; g ( g ( x) ) ; f ( f ( x) ) khi: b) f ( x ) = a) f ( x ) = 2 x − 4, g ( x ) = x 2 + 13 Bài 7*: [ VH]. Xác a) f ( x + 3) = x + x − 6 2 nh hàm s f(x) bi t b) f ( x ) − x. f ( − x ) = x + 1 d) f ( x ) + f   = x +1− x 1− x  f  b)  f   1  1 c) f ( x ) + xf  f  a)  f   x  =2  2x − 1  Bài 8*: [ VH]. Xác nh hàm s f(x) và g(x) bi t: ( x + 1) + x.g ( x + 1) = 2 x  x +1  x +1  + g  = x −1  x −1   x −1  ( 2 x − 1) + g (1 − x ) = x − 1  x   1    + 2g  =3  x +1  2x + 2  Tham gia khóa TOÁN 10 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!