Toán -Tích phân xác định

Chia sẻ: Phi Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

118
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Miền D giới hạn bởi đừơng cong y=f(x), 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0 được gọi là hình thang cong Yêu cầu đặt ra là tính diện tích hình thang Chia đoạn [a,b] thành n-phần tùy ý bởi các điểm Tích phân xác định xk xk+1

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán -Tích phân xác định

6.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 6.2.1. Định nghĩa 6.2.2. Các tính chất của TPXĐ 6.2.3. Liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm 6.2.4. Các phương pháp tính TPXĐ
6.2.1. Định nghĩa 1. Bài toán diện tích hình thang cong y B f(x) A S 0 a b x Cho hình thang cong aABb,giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b và đường cong y = f(x), trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Hãy tính diện tích hình thang cong aABb ?
y B f (ξ2) f(x ) f (ξ1) f (ξi ) A x 0 a =x 0 ξ1 x1 ξ2 x2 xi-1 ξ i xi xn=b
n S n = ∑ f (ξ i )∆ xi i =1 Như vậy: khi ∆xi càng nhỏ và n càng lớn thì diện tích hình bậc thang sẽ xấp xỉ diện tích hình thang cong. Do đó, diện tích hình thang cong được tính như sau: n S = lim ∑ f (ξi )∆xi n →∞ i =1
2. Định nghĩa tích phân xác định 1. Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên [a, b]. n lim ∑ f (ξ i )∆ xi (n → ∞ sao cho max ∆xi → 0) n→ ∞ i =1 tồn tại hữu hạn không phụ thuộc vàocách chia đoạn [a,b] và cách chọn ξi thì giới hạn đó được gọi là của hàm f(x) trên [ a, b ]. tích phân xác định Khi đó ta gọi f(x) là hàm khả tích trên [ a, b ].
Kí hiệu : b ∫ f ( x)dx a [a, b] : gọi là đoạn lấy tích phân, b a: cận dưới, b: cận trên. ∫tích phân xác định : dấu a f(x) : hàm dưới dấu tích phân x : biến số tích phân
Chú ý. 1. Cho f(x) là hàm xác định tại a. a ∫ f ( x)dx = 0 a 2. Cho f(x) xác định trên đoạn [ a, b ] b a ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx a b 3. Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm dưới dấu tích phân xác định, phụ thuộc vào các cận, không phụ thuộc vào biến số tích phân. b b b Tức là : ∫ f ( x)dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t )dt a a a
2. Ý nghĩa hình học y f(x) S 0 a b x b Nếu f(x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] thì ∫ f ( x)dx a là diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b và trục Ox. b S = ∫ f ( x)dx a
3. Định lí tồn tại tích phân xác định Định lí • Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn đó. • Nếu f(x) có một điểm gián đoạn loại một (x = c) trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn ấy và ta có : b c b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a a c Mệnh đề trên vẫn đúng nếu f(x) có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một trên đoạn [a, b].
6.2.2. Tính chất của TPXĐ Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a, b], khi đó: b b 1. ∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx , với K: hằng số a a b b b 2. ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx a a a b c b 3. ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx với c ∈ [a, b] a a c b 4. ∫ dx = b − a a b b 5. Nếu f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx a a 6. Nếu m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] thì b m(b –a) ≤ f ( x)dx ≤ M (b – a) ∫ a
Ví dụ: Ước lượng giá trị tích phân: π 2 I = ∫e sin 2 x dx 0
7. Định lí giá trị trung bình Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì tồn tại ít nhất c∈[a,b] sao cho: b 1 f (c ) = ∫ f ( x)dx b−a a b hay (b − a) f (c) = ∫ f ( x)dx a
Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ta luôn tìm được ít nhất một điểm c ∈ [a, b] sao cho SaMNb= y SaABb N A f(x) f(c ) B M S 0 a c b x f(c) gọi là giá trị trung bình của f(x) trên đoạn [a, b].
6.2.3. Liên hệ giữa TPXĐ và nguyên hàm. 1. Đạo hàm của tích phân theo cận trên Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b]. Tích phân x I(x) = f (t)dt a víi a ≤ x ≤ b lµ mét nguyªn hµm cña hµm f(x) trªn [a, b]. Tức là: �x � = I’(x) = �f (t)dt � f (x) �a �
2. Công thức Newton – Leibiz. Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) liên tục trên [a, b] thì: b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a hay: b f (x)dx = F(x) a . b a
6.2.4. Các phương pháp tính TPXĐ 1. Phương pháp đổi biến số - Đặt x = ϕ(t) - Đặt t = ϕ(x) Ví dụ: Tính 2 Đặt x = 2sint ∫ 4 − x dx 2 0 π Đặt t = sinx 2 cos x ∫ 1 + sin 2 x dx 0
2. Phương pháp tích phân từng phần b b ∫ udv = uv − ∫ vdu b a a a Ví dụ: Tính π Đặt u = x 4 dv = cosxdx ∫ x cos xdx 0 e Đặt u = lnx ln x dv = 1/x3dx ∫ x3 dx 1