intTypePromotion=1

Toán Ứng dụng - Chương 2: Định thức

Chia sẻ: Lê Trinh Vàng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

0
61
lượt xem
6
download

Toán Ứng dụng - Chương 2: Định thức

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa bù đại số của phần tử aij Bù đại số của phần tử aij là đại lượng Aij  (1)i  j M ij

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Toán Ứng dụng - Chương 2: Định thức

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng --------------------------------------------------------------- Đại số tuyến tính Chương 2: Định thức • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
  2. NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa định thức và ví dụ. II – Tính chất của định thức III – Khai triển Laplace
  3. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------- Cho A  aij nn là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số ký hiệu bởi det ( A)  aij nn  A Ký hiệu M ij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A; Định nghĩa bù đại số của phần tử aij Bù đại số của phần tử aij là đại lượng Aij  (1)i  j M ij
  4. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa định thức bằng qui nạp a) k =1: A  a11   A  a11  a11 a12  b) k =2: A     A  a11a22  a12 a21  a11 A11  a12 A12  a21 a22   a11 a12 a13  c) k =3: A   a21 a22 a23   A  a11 A11  a12 A12  a13 A13    a31 a32 a33  ...............  a11 a12  a1n  d) k =n:A     A  a11 A11  a12 A12    a1n A1n  * 
  5. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1 2  3 Tính det (A), với A  2 3 0     3 2 4  Giải A  1 A11  2  A12  (3)  A13 1 2 3 11 11 3 0 A11  (1) 2 3 0  (1)  12 2 4 3 2 4 11 3 0 1 2 2 0 13 2 3 A  1 (1)  2  (1)  (3)  (1) 2 4 3 4 3 2 A  12  16  15  11
  6. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------- 1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đó a1 j * a2 j * A  a1 j A1 j  a2 j A2 j  anj Anj  anj
  7. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 3  1 3 Tính định thức det (A), với A  5 2 2    4 0 0  Giải. Khai triển theo hàng thứ 3 3 1 3 3 1 3 31 31 1 3 A5 2 2  4  ( 1) 5 2 2  4  (1)  32 2 2 4 0 0 4 0 0
  8. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ  2 3 3 2  3 0 1 4 Tính định thức det (A), với A     2 0 3 2  4 0 1 5  
  9. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải Khai triển theo cột thứ hai 2 3 3 2 3 0 1 4 A  (3)  A12  0  A22  0  A32  0  A42  3 A12 2 0 3 2 4 0 1 5 3 1 4 A  3 2 3 2    171 4 1 5
  10. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo. Ví dụ 2 1 3 0 4 0 3 6 7 1 A  0 0 5 2 8  2  (3)  5  4 1  120 0 0 0 4 9 0 0 0 0 1
  11. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức h  h 1.Nếu A  i i  B thì | B |  | A | hi hi   h j 2.Nếu A   B thì | B || A | hi  h j 3. Nếu A  B thì | B |  | A |
  12. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức  1 1 2 1    2 3 5 0  A 3 2 6  2    2 1 3 1 
  13. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải 1  1 h2  h2  2h1 1 2 1 1 2 1 2 3 5 0 h3  h3  3h1 0 1 1 2 | A | 3 2 6 2 0 1 0 1 h4  h4  2h1 2 1 3 1 0 3 7 1 1 1 2 Khai triển theo cột đầu tiên | A| 1  (1)11  1 0 1 3 7 1 1 1 2 1 2 1 1 | A |  1 0 1  1  (1)  19  4  15  4 0  15
  14. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý; Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột) ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác. Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
  15. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức  3 2 1 1    2 3 2 0  A 3 1 4  2    4 1 3 1 
  16. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải 3 2 1 1 3 2 1 1 2 3 2 0 h3  h3  2h1 2 3 2 0 | A | 3 1 4  2 h4  h4  h1 3 5 2 0 4 1 3 1 1 1 4 0 2 3 2 Khai triển theo cột số 4 | A| 1  (1)1 4 3 5 2 1 1 4 2 3 2 1 3 5 8 | A | 5 8 0  (2)  (1)  30 5 5 5 5 0
  17. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- det (AT) = det (A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0 Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0 Chú ý: det(A+B)  det(A) + det(B).
  18. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A)  0. Chứng minh Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A)  0 Giả sử det(A)  0. Khi đó T  A11 A12  A1n  1 A A22  A2 n  A 1  PA , với P   21  A A      A An 2  Ann   n1
  19. II. Tính chất của định thức ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  *     a j1 a j1  a j1  A *     ai1 ai1  ai1   *    | A |, i  j ai1 A j1  ai 2 A j 2    ain A jn    0, i  j  *     a j1 a j1  a j1  B *     a j1 a j1  a j1   *   
  20. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Công thức tính ma trận nghịch đảo A-1 Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó T  A11 A12  A1n  1 A A22  A2 n  PA   21 1 A  PA , với  A      A An 2  Ann   n1
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2