intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Toán Ứng dụng - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng

Chia sẻ: Lê Trinh Vàng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:92

Thêm vào BST
Báo xấu
223
lượt xem 45
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'toán ứng dụng - chương 7: trị riêng, véctơ riêng', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán Ứng dụng - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Đại số tuyến tính Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
  2. Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 7.2 – Chéo hóa ma trận. 7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao. 7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. 7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 7.6 – Dạng toàn phương
  3. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  3 2   1 2 Ví dụ. A u  v   1   1 0  1 Tính A u và A v . Hãy cho biết nhận xét. Av u v Au Số  được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác không, sao cho Ax   x . Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A tương ứng với trị riêng  .
  4. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1 6  6 3 A u  v    2   5 2   5 Véctơ nào là véctơ riêng của A? Giải  1 6  6   24  6 Au        4    4.u  5 2  5   20   5  Ta có Au  4.u  u là véctơ riêng  1 6  3   9  Av        5 2  2   11  Không tồn tại số  để A v  v  v không là véctơ riêng
  5. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. 3 4 1  1; 2  3 A   6 5  Số nào là trị riêng của A? Giải. Xét hệ phương trình Ax  1 x  3 4  x1   x1   4x 1  4x 2  0      1    6 5 x 2  x2   6x 1  6x 2  0 Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không, 1 ví dụ x    khi đó Ax  1 x.  1  Vậy 1 là trị riêng. Kiểm tra tương tự thấy 2 không là trị riêng.
  6. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử 0 là trị riêng của ma trận A  x 0  0 : A x 0  0x 0  A x 0  0x 0  0  (A  0I )x 0  0 Hệ thuần nhất có nghiệm khác không  det(A  0I )  0 det(A   I )  0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A. Đa thức PA ( )  det( A   I ) gọi là đa thức đặc trưng của A. Vậy  là trị riêng khi và chỉ khi  là nghiệm của phương trình đặc trưng.
  7. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n. Bước 1. Lập phương trình đặc trưng det( A   I )  0. (Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo  ) Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại. Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR 1 (chẳng hạn) bằng cách giải hệ phương trình ( A  1I ) X  0. Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng với trị riêng 1.
  8. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Bội đại số của trị riêng  là bội của trị riêng  trong phương trình đặc trưng. Định nghĩa Không gian nghiệm của hệ (A  1I )X  0 được gọi là không gian con riêng ứng với TR 1 , ký hiệu E 1 Định nghĩa Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng tương ứng với trị riêng đó.
  9. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Bội hình học của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội đại số của nó. Chú ý Bội hình học của trị riêng lớn hơn hoặc bằng 1 (  0). Định lý Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính.
  10. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 1 1   Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của Ví dụ. A  2 4 2   các kgian con riêng ứng. 1 1 3   Lập phương trình đặc trưng của A: det(A   I )  0 3 1 1  2 4 2  0  (  2)2 (  6)1  0 1 1 3 Trị riêng 1  2 BĐS = 2 BHH chưa biết? Trị riêng 2  6 BĐS = 1 BHH = 1
  11. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với 1  2. 3  2 1 1  x 1  ( A  1I ) X  0  2 42 2  x 2   0     1 1 3  2  x    3  Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát  x1  1 0  1   0   là cơ sở của kgian  x   x  0   x  1    0  ,  1   con riêng E   E 2  2  1  2        1 x   1  1  1  1  dim(E  )  2  3          1 Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con riêng ứng với trị riêng 2  6.
  12. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ.  1 1 1   1 1  1  Tìm trị riêng; cơ sở, chiều A  của các kgian con riêng ứng       của ma trận vuông cấp n. 1 1  1   Xét phương trình đặc trưng: det(A   I )  0 Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng 1  0 . Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng 1, ta có thừa số chung là (n   ) suy ra 2  n là trị riêng thứ 2. Tương ứng với TR 1  0 xét hệ thuần nhất (A  1I )X  0 Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của 1 lớn hơn hoặc bằng n -1. Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!
  13. 7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Cho 0 là trị riêng của ma trận vuông A. m 1) Chứng tỏ 0 là trị riêng của ma trận Am. 1 2) Giả sử A khả nghịch, chứng tỏ là trị riêng của A-1. 0 1) 0 là trị riêng của A  x 0  0 : A x 0  0x 0 A m x 0  A .A ...A x 0  A .A ....A 0x 0  ...  0m x 0 Chứng tỏ 0m là trị riêng của Am.
  14. 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức là cùng chung tập trị riêng). Giả sử hai ma trận A và B đồng dạng, tức là (P ) P 1A P  B . det(B   I )  det(P 1A P   I )  det(P 1A P   P 1IP )  det(P 1 (A   I )P )  det(P 1 ).det( A   I ).det( P )  det(A   I ) Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng. Chú ý. Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơ riêng thì khác nhau.
  15. 7.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Định nghĩa Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận chéo. Tức là tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P 1A P  D trong đó D là ma trận chéo. Không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được. Chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận khả nghịch P và ma trận chéo D. Ta phân tích cấu trúc của ma trận P và cấu trúc ma trận D.
  16. 7.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------ Giả sử ma trận vuông A chéo hóa được bởi ma trận P và D.  a11  a1n   1 0  0  0    A     D  2 0    a  a        n1 nn  0 0     n  p11  p1n  P         P*1 P*2  P*n    p  p   n1 nn  Trong đó P*1, P*2 ,..., P*n là các cột thứ 1, thứ 2, …., thứ n tương ứng của ma trận P.
  17. 7.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------ Ta có P 1A P  D  A P  PD Cột thứ nhất của AP là:  a11  a1n  p11  p1n  A P            A P*1    a  a  p  p   n1 nn  n 1 nn  Cột thứ nhất của PD là  p11  p1n  1  PD              1P*1 p  p  0    n1 nn  n Vậy AP*1  1P*1 Hay 1 là trị riêng của A. P*1 là véctơ riêng của A tương ứng với trị riêng 1.
  18. 7.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------ Hoàn toàn tương tự ta thấy: Tất cả các cột của ma trận P là các véctơ riêng của A. Các phần tử nằm trên đường chéo của D là các trị riêng của A. Vì P là ma trận khả nghịch nên tất cả các cột (các véctơ riêng của A) độc lập tuyến tính. Định lý Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n véctơ riêng độc lập tuyến tính. Hệ quả 1. Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.
  19. 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hệ quả 2 (thường sử dụng trong bài tập) Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng. Giả sử phương trình đặc trưng của A là (  2)2 (  3)1  0 1  3 Bội đại số = 1 Bội hình học = 1 2  2 Bội đại số = 2 Bội hình học = ? Để tìm BHH của TR 2  2 ta tìm chiều của không gian con riêng (khgian nghiệm) tương ứng của hệ (A  2 I )X  0. Nếu BHH của 2  2 bằng 2, thì BHH của cả hai trị riêng bằng BĐS của chúng, suy ra A chéo hóa được để tạo nên ma trận P. Trong trường hợp này, ta chọn đủ 3 VTR độc lập tuyến tính: 1 VTR ứng với 1 và 2 VTR ứng với 2 .
  20. 7.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Các bước chéo hóa ma trận vuông A cấp n. Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Xác định bội đại số của từng trị riêng. Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng. Tìm cơ sở của các không gian con riêng. Xác định bội hình học của trị riêng. Bước 3. Nếu bội hình học của một TR nào đó nhỏ hơn BĐS của TR này thì A không chéo hóa được. Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được. Ma trận P có các cột là các cơ sở của những kgian con riêng. Các phần tử trên đường chéo chính của D là các trị riêng.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2