Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án xây dựng các đánh giá biên trên và biên dưới, mô phỏng tính chất vĩ mô vật liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu vi mô, phương pháp số được sử dụng để tính toán cho các mô hình cụ thể.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần

VIÊN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ------o0o------ VŨ LÂM ĐÔNG ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội – 2016
Công trình được hoàn thành tại: Viện Hàn lâm khoa học và Công nghệ Việt Nam Học viện Khoa học và Công nghệ Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH Phạm Đức Chính Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp học viện họp tại: Vào hồi giờ, ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1 MỞ ĐẦU Lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đã có những bước phát triển vượt bậc trong nghiên cứu khoa học. Việc xây dựng các mô hình vật liệu đã được thực hiện từ rất sớm và từ những mô hình căn bản. Các tính chất vĩ mô của vật liệu phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố như tính chất của vật liệu thành phần, tỷ lệ thể tích các thành phần, liên kết giữa các thành phần, đặc trưng hình học…qua đó nói lên tính chất vĩ mô của vật liệu chịu tác động của rất nhiều yếu tố.. Chính vì vậy luận án được thực hiện với mục đích xây dựng những đánh giá cho mô đun đàn hồi vĩ mô đẳng hướng vật liệu tổ hợp nhiều thành phần cho kết quả tốt hơn những kết quả đã công bố trước đây. Tính thời sự và ý nghĩa của luận án Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (còn gọi là vật liệu Composite) đang được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống hiện nay, có thể thấy vật liệu tổ hợp nhiều thành phần sẽ là loại vật liệu chủ đạo trong tương lai vì tính năng làm việc hiệu quả cũng như giá thành chi phí sản xuất chế tạo hợp lý. Từ những thành phần vi mô khác nhau sẽ có những thông số đặc trưng riêng biệt cấu thành nên vật liệu tổng thể, tuy nhiên việc xác định các đại lượng vĩ mô này không hề đơn giản bởi chúng ta thường chỉ có những thông tin hạn chế về cấu trúc hình học, tính chất vật liệu cấu thành… Mục tiêu của luận án Xây dựng các đánh giá biên trên và biên dưới, mô phỏng tính chất vĩ mô vật liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng các thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu vi mô, phương pháp số được sử dụng để tính toán cho các mô hình cụ thể.
2 Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp giải tích - biến phân thông qua các phiếm hàm năng lượng xây dựng biên trên và biên dưới đối với các mô đun đàn hồi vĩ mô. • Phương pháp số sử dụng chương trình MATLAB để thiết lập các công thức, ma trận...tối ưu các tham số hình học của vật liệu trong các đánh giá. Chương trình CAST3M (thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn) áp dụng tính cho một số mô hình vật liệu tuần hoàn nhằm so sánh kết quả với các đánh giá. Những đóng góp của luận án • Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể. • Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu nhiều thành phần và áp dụng cho một số mô hình hỗn độn và tuần hoàn cụ thể. • Áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán đồng nhất hóa và tính toán số cho một số dạng hình học tuần hoàn nhiều thành phần, có so sánh với các đánh giá. Cấu trúc của luận án Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn chương, cụ thể: Chương 1: Tổng quan về lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu Trình bày về lịch sử, các kết quả nổi bật của các tác giả nghiên cứu trong nước và ngoài nước trước đây trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu. Cách tiếp cận bài toán đồng nhất hóa vật liệu thông qua
3 đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài toán đàn hồi và đường lối biến phân thông qua các hàm năng lượng. Chương 2: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần Đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát hơn trường phân cực Hashin- Strikman. Xây dựng đánh giá biên trên và đánh giá biên dưới cho mô đun đàn hồi thể tích keff. Áp dụng để đánh giá cho một số mô hình vật liệu đặc trưng. Chương 3: Xây dựng đánh giá bậc ba cho mô đun đàn hồi trượt vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần Xây dựng đánh giá biên trên và đánh giá biên dưới cho mô đun đàn hồi trượt μeff thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Áp dụng để đánh giá cho một số mô hình vật liệu đặc trưng. Chương 4: Phương pháp số áp dụng cho bài toán đồng nhất hóa vật liệu Xây dựng chương trình tính toán số PTHH cho một số bài toán đồng nhất hóa cụ thể, cho bài toán vật liệu tổ hợp có điều kiện biên tuần hoàn có so sánh với các đánh giá ở hai chương trước. Kết luận chung: trình bày những kết quả chính đã nhận được trong luận án và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu.
4 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC ĐỒNG NHẤT HÓAVẬT LIỆU 1.1. Một số tính chất của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần Xét phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của vật liệu tổ hợp Buryachenko [11], Hill [30]; phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thước của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý nghĩa. Hình 1.1 Phần tử đặc trưng (RVE) Xét phần tử đặc trưng V của vật liệu tổ hợp, được cấu thành bởi n thành phần chiếm các không gian Vα ⊂ V và có các hệ số đàn hồi kα , μα ; α = 1, …, n . Trong trường hợp chọn phần tử đặc trưng V có tâm trùng với gốc của hệ tọa độ Đề các vuông góc {x 1, x 2 , x 3 } . Phương trình cân bằng: ∇⋅ σ = 0 , x ∈V (1.1) trường ứng suất này quan hệ với trường biến dạng thông qua định luật Hook: σ(x) = C(x) : ε(x) (1.2) hệ số đàn hồi thành phần (trong trường hợp các vật liệu thành phần là đẳng hướng) C(x) = T(kα , μα ) trong đó T là tenxơ bậc 4 đẳng hướng.
5 2 Tijkl (k, μ ) = kδ ij δ kl + μ (δ ikδ jl + δ ilδ jk − δ ij δ kl ) , (1.3) d δ ij là toán tử Kronecker, d là số chiều không gian: d = 2 hoặc 3. Trường biến dạng ε(x) được biểu diễn qua trường chuyển dịch u( x ) : 1 ε(x) = ⎣⎡∇u + (∇u )T ⎦⎤ ; x ∈ V (1.4) 2 Các điều kiện biên thuần nhất thường được sử dụng. Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng có dạng như sau: 1 1 σ = VV ∫ σ dx , ε = VV ε dx ∫ (1.5) Quan hệ giữa các giá trị trung bình ứng suất và biến dạng trên miền V được biểu diễn qua ten xơ đàn hồi vĩ mô (hiệu quả) Ceff : σ = Ceff : ε , Ceff = T(k eff , μ eff ). (1.6) Đây được gọi là đường lối giải trực tiếp các phương trình của bài toán đàn hồi. Ngoài ra một cách tiếp cận khác để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô bằng cách tìm cực trị của phiếm hàm năng lượng trên miền V (trường khả dĩ ε cần là trường tương thích): ε0 : Ceff : ε0 = inf0 ∫ ε : C : εdx (1.7) 〈 ε 〉= ε V hoặc thông qua nguyên lý biến phân đối ngẫu (trường khả dĩ cần là trường cân bằng): σ 0 : (Ceff )−1 : σ 0 = inf 0 ∫ σ : (C)−1 : σd x (1.8) 〈 σ〉 =σ V Với đường lối biến phân trên nếu không cho được kết quả chính xác thì sẽ cho được cận trên và cận dưới của tính chất hiệu quả, một kết quả khả dĩ khi áp dụng cho những vật liệu cụ thể mà chúng ta không có được đầy đủ mọi thông tin về hình học vật liệu.
6 1.2. Tổng quan về lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu Từ cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 việc nghiên cứu tính chất các môi trường liên tục của vật liệu nhiều pha đã được các nhà khoa học hàng đầu trên thế giới thời đó thực hiện. Trong trường hợp mô hình vật liệu là hai pha với các hạt cốt liệu có dạng đẹp như hình cầu, bầu dục (ellipsoid) phân bố xa nhau trong pha nền liên tục (tỷ lệ pha cốt liệu là nhỏ), Eshelby [20] đã tách một hạt cốt liệu trong miền vô hạn của pha nền, tính được chính xác trường ứng suất và biến dạng. Trên cơ sở đó ông tìm được hệ số đàn hồi vĩ mô trong một vùng tỷ lệ thể tích vI (các hạt cốt liệu xa nhau). Đối với mô hình vật liệu có các thành phần phân bố hỗn độn - hình học pha không hoàn toàn xác định điều này gây khó khăn cho đường hướng giải phương trình trực tiếp thì một số phương pháp mô hình được đề xuất mà tiêu biểu là phương pháp sơ đồ vi phân (differentials scheme) với nội dung tính ứng suất và biến dạng từng bước với pha nền của bước trước chứa tỷ lệ nhỏ cốt liệu cầu hay hình bầu dục (dựa theo kết quả Eshelby) và tính mô đun vĩ mô của hỗn hợp cho bước sau. Thay cho việc nhận được lời giải giải tích thông qua việc giải phương trình thì có một cách đi khác cũng hướng tới việc tìm được các tính chất vĩ mô của vật liệu tổ hợp đó là đường lối biến phân, đây là phương pháp tìm cực trị các phiếm hàm năng lượng. Mặc dù không tìm được các trường ứng suất, biến dạng chính xác tương ứng với các điểm cực trị thì với cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ ta cũng nhận được tương ứng các đánh giá đối với giá trị cực trị của các phiếm hàm năng lượng và các tính chất vĩ mô của vật liệu tương đối gần với giá trị thực có thể.
7 Hashin và Shtrikman (HS) [28] đã xây dựng nguyên lý biến phân riêng và đưa vào trường khả dĩ phân cực (polarization fields) với các giá trị trung bình khác nhau trên các pha khác nhau, kết quả cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng đã cho thấy tốt hơn hẳn kết quả của Hill-Paul khi nó nằm trong đánh giá này. Ở trong nước các nghiên cứu của Phạm Đức Chính đã xét đến bài toán cho vật liệu nhiều pha khi xem xét đến sự khác biệt của tỷ lệ thể tích pha, hình học vi mô của các thành phần cấu thành được đặc trưng bởi các tham số hình học bậc ba đã tìm được biên tường minh cho các đặc trưng vĩ mô của các loại vật liệu, trong một số trường hợp tìm được đánh giá tối ưu (đạt được bởi một số mô hình hình học cụ thể). Để có những đánh giá hẹp hơn so với đánh giá HS sau này các tác giả đã nghiên cứu và xây dựng các bất đẳng thức biến phân có chứa các hàm ngẫu nhiên mô tả thông tin bổ xung về hình học pha của các vật liệu cụ thể. Các hàm ngẫu nhiên bậc n (n-point correlation functions) phụ thuộc vào xác suất của n điểm bất kỳ được lấy tình cờ (với khoảng cách nhất định) rơi vào cùng một pha giữa chúng. Không xuất phát từ nguyên lý HS, nhưng từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu và sử dụng trường khả dĩ phân cực HS, Pham đã tìm được đánh giá hẹp hơn HS nhờ thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu. Một hướng nghiên cứu rất được quan tâm trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đó là phương pháp số mà kỹ thuật số cổ điển đã xây dựng xấp xỉ từ các trường khả dĩ động học. Tuy nhiên cũng có các trở ngại chính: rất khó để tìm được trường khả dĩ đơn giản trên toàn bộ vùng khảo sát hoặc nếu có tìm được thì dẫn tới hệ phương trình lớn và phức tạp. Những vấn đề này đã được khắc phục bởi thực tế là
8 các xấp xỉ cục bộ, trên một phần nhỏ của vùng khảo sát có lời giải thích hợp và đồng thời dẫn đến hệ phương trình gọn gàng và phạm vi tính toán phù hợp với khả năng của hệ thống máy tính tốc độ cao. Kỹ thuật xấp xỉ phần tử thông minh (element-wise) đã được công nhận ít nhất 60 năm trước đây bởi Courant [17]. Đã có nhiều phương pháp xấp xỉ như vậy để giải phương trình đàn hồi, phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Ý nghĩa của phương pháp này là phân vùng vật thể thành một tập hợp các miền con rời rạc gọi là phần tử. Quá trình này được thiết kế để giữ cho kết quả đại số cũng như quản lý tính toán bộ nhớ hiệu quả nhất có thể.
9 CHƯƠNG 2. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI THỂ TÍCH VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN Thông tin bậc ba về hình học pha của vật liệu đã được xây dựng và sử dụng bởi nhiều tác giả trong đánh giá và xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu tổ hợp. Bằng việc đưa ra trường khả dĩ mới tổng quát hơn trường phân cực Hashin-Shtrikman giúp cho các đánh giá tính chất vật liệu sát hơn so với những đánh giá trước đó, sử dụng các tham số thông tin bậc ba về hình học của vật liệu mô tả cấu trúc vi mô của vật liệu tổ hợp. 2.1. Xây dựng đánh giá biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu Để xây dựng đánh giá cận trên cho mô đun đàn hồi vĩ mô k eff từ (1.7), ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng: ⎛ δij N ⎞ ∑ εij = ⎜ + aα ϕ,αij ⎟ ε0 ; i , j = 1,…, d (2.1) ⎝ d α=1 ⎠ δ trong đó ε ij0 = ij ε 0 là biến dạng thể tích cho trước, ϕ α là hàm thế d điều hòa, δij là toán tử Kronecker, chỉ số Latin sau dấu phảy biểu diễn đạo hàm theo hệ tọa độ Đề các tương ứng. Đưa (2.1) vào (1.7) và tiến hành rút gọn ta được: ⎡ N N ⎤ ∫ ∑ Wε = ε : C( x ) : εd x = ⎢ kV + vα kα ( 2aα + aα2 ) + ⎢⎣ ∑ Aαβγ 2μα aβ aγ ⎥ (ε0 )2 V α=1 α ,β, γ=1 ⎦⎥ (2.2) trong đó: N - kV = ∑ vα kα là giá trị trung bình số học Voigt. α =1
10 Aαβγ = ∫ϕ βα γα - ij ϕij d x là thông tin hình học bậc ba của vật liệu. Vα Để tìm cực trị phiếm hàm năng lượng có ràng buộc (ở đây là tìm cực tiểu) ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange, từ đó nhận được: ⎡ N ⎤ ∫ ∑ Wε = ε : C : εd x = ⎢ kV + vα kα aα ⎥ (ε0 )2 = ⎡⎣kV − v 'k ·Ak−1 ·vk ⎤⎦ (ε0 )2 V ⎣ α=1 ⎦ (2.3) trong đó: v 'k = {v1k1 , , vN k N } ; vk = {v1 (k1 − kR ), , vN (k N − kR )} T T - { } k Ak = Aαβ , α, β = 1, ,N N ⎛ N ⎞ k Aαβ = vα kα δαβ + ∑⎜ A γ=1 ⎝ αβ γ − vα kR ∑k −1 δβ δ Aγ ⎟2μ γ δ=1 ⎠ Từ (1.7) và (2.3), chúng ta xây dựng được đánh giá cận trên cho mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô k eff của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần: k eff ≤ K UA ({kα , μα , vα },{ Aαβγ }) = kV − v′k ·Ak −1 ·vk (2.4) 2.2. Xây dựng đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu Chúng ta lựa chọn trường khả dĩ: ⎡ N ⎤ ∑ σij = ⎢δij + aα (ϕ,αij − δij I α )⎥ σ0 ; i , j = 1, , d ; (2.5) ⎣ α=1 ⎦ α trong đó I là chỉ số hình học pha của vật liệu. Đưa (2.5) vào (1.8), biến đổi và sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị với các biến aα ta được: ⎡ d − 1 N aα vα ⎤ 0 2 ⎡ −1 ⎤ 0 2 ∑ −1 Wσ = ⎢ kR−1 − ⎥ (σ ) = ⎢ kR − v 'k ·A k ·vk ⎥ (σ ) (2.6) ⎣ d α=1 kα ⎦ ⎣ ⎦
11 trong đó: N vα - kR−1 = ∑k α=1 α là trung bình cộng điều hòa Reuss , T ⎧1 − d 1− d ⎫ - vk = ⎨ v1 (k1−1 − kV−1 ), , vN (k N−1 − kV−1 )⎬ , ⎩ d d ⎭ A k = Aαβ { } k - (1 − d )2 N ⎛ αβ vα N ⎞ ∑ ∑k A k −1 δβ −1 A αβ = 2 v k δ α α αβ + ⎜ Aγ − δ γ ⎟( 2μ γ ) , d γ=1 ⎝ kV δ=1 ⎠ T ⎧1 − d 1− d ⎫ - v'k = ⎨ v1k1−1 , , vN k N−1 ⎬ . ⎩ d d ⎭ Đánh giá cận dưới cho mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô k eff của vật liệu tổ hợp đàn hồi đẳng hướng được xác định: ′ −1 k eff ≥ K AL ({kα , μα , vα },{ Aαβγ }) = (kR−1 − v k ·A k ·vk )−1 (2.7) 2.3. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể 2.3.1. Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha (a) (b)
12 18 16 HS 14 DXC 3D 12 10 k eff 8 6 4 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 v2 (c) Hình 2.1 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng quả cầu lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng với k1 = 1, μ1 = 0.3, k2 = 20, μ2 = 10, v2 = 0.1 → 0.9 . (a) Quả cầu lồng nhau; (b) Hỗn hợp dạng cầu đối xứng; (c) HS - Biên trên và biên dưới Hashin-Shtrikman tương ứng với giá trị mô đun đàn hồi thể tích chính xác của vật liệu quả cầu lồng nhau ζ 2 = 1 và ζ 1 = 0 , DXC 3D - Biên trên và biên dưới cho vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu. 2.3.2. Mô hình quả cầu lồng nhau ngẫu nhiên Xem xét vật liệu dạng quả cầu không chồng lấn (tách rời) có kích cỡ bằng nhau phân bố ngẫu nhiên hai thành phần (hình 2.5a) và quả cầu chồng lấn ngẫu nhiên (hình 2.6a) nằm trong pha nền 1. Biên cho mô hình này khảo sát trong khoảng v2 = 0.1 → 0.99, k1 = 1, μ1 = 0.3, k2 = 20, μ2 = 10, so sánh với biên Hashin-Shtrikman biểu diễn trong hình 2.2b, 2.3b.
13 9 8 HS 7 KCL 3D 6 k eff 5 4 3 2 1 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 v2 (a) (b) Hình 2.2 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn (KCL 3D) 20 18 HS 16 CL 3D 14 12 k eff 10 8 6 4 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 v2 (a) (b) Hình 2.3 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn (CL 3D)
14 Nhận xét: Trên hình 2.2b, cho thấy biên dưới có xu hướng tiệm cận với biên HS còn biên trên khá cách xa nhau bởi vì kα khá chênh lệch giữa cốt (quả cầu) và nền. Hình 2.3b tuy vẫn có xu hướng tiệm cận với biên dưới của HS nhưng biên trên cũng gần với biên trên HS tại đầu mút v2 = 0.99 . 2.3.3. Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha Đây là dạng vật liệu các quả cầu lồng nhau với các kích thước khác nhau nhưng có cùng tỷ lệ thể tích các pha và điền đầy vùng không gian vật liệu khảo sát. Thành phần vật liệu k1 = 12, μ1 = 8, k2 = 1, μ 2 = 0.3, k3 = 30, μ3 = 15. 12 11 10 9 8 k eff 7 6 5 4 HS PDC 1996 3 NCX 3D 2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 v1 (a) (b) Hình 2.4 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau ba pha khảo sát trong khoảng 1 v1 = 0.1 → 0.9, v2 = v3 = (1− v1) . 2 (a) Mẫu vật liệu quả cầu lồng nhau ba pha ; (b) So sánh giữa biên HS, biên cũ (PDC 1996), và biên mới (NCX 3D) hội tụ với giá trị chính xác của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô
15 Nhận xét: Hình 2.4b thể hiện kết quả tính chính xác với mô hình quả cầu lồng nhau 3 pha. Tuy trong trường hợp quả cầu lồng nhau 2 pha thì biên PDC 1996 hội tụ nhưng trong trường hợp 3 pha thì không thể mặc dù biên của PDC 1996 cũng có xét đến thông tin hình học bậc ba của vật liệu. Ở đây ta có kết quả trùng nhau giữa biên trên và biên dưới, một đóng góp mới của luận án khi so sánh kết quả với những công bố trước đó. 2.3.4. Mô hình vật liệu tựa đối xứng Ví dụ này tác giả xem xét đến vật liệu dạng tựa đối xứng (TDX) trong không gian 3 chiều (hình 2.5a) đây là loại vật liệu không có sự phân biệt rõ ràng giữa pha nền và pha cốt liệu (Pham [50], Torquato [77]). k eff của vật liệu này nằm trong biên Hashin-Shtrikman và đại diện cho các loại vật liệu tổ hợp đẳng hướng tựa đối xứng. 16 14 HS 12 TDX 3D 10 k eff 8 6 4 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 v1 (a) (b) Hình 2.5 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX 3D), v1 = 0.1 → 0.9, v2 = v3 = 0.5(1 − v1 ) với k1 = 1, μ1 = 0.3, k2 = 12, μ 2 = 8, k3 = 30, μ3 = 15
16 2.4. Kết luận Trên đây với đường lối biến phân tác giả đã trình bày cách xây dựng đánh giá trên và đánh giá dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô k eff của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu. Phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng để tối ưu hóa các phiếm hàm có các biến tự do ràng buộc. Có thể thấy rằng các trường khả dĩ mà được lựa chọn (chứa N-1 tham số tự do) tổng quát hơn so với trường khả dĩ trong [1] chỉ chứa 1 tham số tự do bởi vậy đánh giá mới là tốt hơn khi N ≥ 3 , như đã được so sánh cụ thể trong trường hợp quả cầu lồng nhau 3 pha. Mô hình bài toán được xây dựng trong trường hợp không gian d chiều cho nên kết quả được sử dụng trong các trường hợp mô hình không gian khác nhau, các đánh giá chứa đựng ngoài thông tin về tính chất (kα , μα ) , tỷ lệ thể tích vα của các thành phần, còn chứa các thông tin bậc 3 về hình học pha của vật liệu Aαβγ . Thông tin hình học bậc ba của vật liệu được đưa ra nhằm tính đến ảnh hưởng bởi hình học cụ thể của vật liệu giúp cho kết quả đánh giá tốt hơn. Các kết quả đã áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể như mô hình quả cầu lồng nhau nhiều thành phần, quả cầu phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn và chồng lấn, quả cầu phân bố dạng tuần hoàn và vật liệu tựa đối xứng nhiều thành phần trong không gian 2 chiều và 3 chiều. Để cho rõ ràng, trong tính toán so sánh, tác giả chọn tính chất các vật liệu khác nhau nhiều. Khi khác biệt nhỏ đi các đánh giá tiến sát tới nhau cho được giá trị gần đúng tính chất vĩ mô của vật liệu. Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố trong các công trình khoa học 1., 2., 4. và 5.
17 CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ BẬC BA CHO MÔ ĐUN ĐÀN HỒI TRƯỢT VẬT LIỆU TỔ HỢP ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN Cách thực hiện cũng giống như trong chương 2 là tiếp cận theo đường hướng năng lượng giúp chúng ta xác định được biên trên và biên dưới của mô đun đàn hồi trượt vĩ mô. 3.1. Xây dựng đánh giá biên trên mô đun đàn hồi thể trượt vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu Để xây dựng đánh giá trên cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô μeff , ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng: N ⎡ 1 ⎤ ∑ εij = εij0 + ⎢aα (ϕ,αik εkj α=1 ⎣ 2 0 + ϕ,αjk ε0ki ) + bα ψ ,αijkl ε0kl ⎥, i , j = 1,..., d ; (3.1) ⎦ trong đó ε0ij = εij0 (εii0 = 0) là biến dạng lệch cho trước, ψ α là hàm thế song điều hòa, aα , bα là các hệ số tự do cần tìm chịu ràng buộc. Đưa (3.1) vào (1.7) và tiến hành rút gọn ta được: ∫ ( Wε = ε : C : εd x = μV − v′μ ·Aμ−1 ·vμ 2ε0ij ε 0ij .) (3.2) V Từ (1.7) và (3.2), chúng ta có được biên trên cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô μ eff của vật liệu đàn hồi đẳng hướng nhiều thành phần: μ eff ≤ M UAB ({kα , μ α , vα },{ Aαβγ , Bαβγ }) = μV − v′μ ·Aμ−1 ·vμ (3.3) ′ Các véctơ v μ , vμ và ma trận Aμ trong miền không gian 2N chiều: T ⎧v v 2 v (μ − μ R ) 2 v (μ − μ R ) ⎫ vμ = ⎨ 1 (μ1 − μ R ), , N (μ N − μ R ), 1 1 , , N N ⎬ , ⎩d d d(d + 2) d ( d + 2) ⎭ { } Aμ = Aαμβ , α, β = 1, ,2N , T N ⎧v μ v μ 2v1μ1 2v μ ⎫ v′μ = ⎨ 1 1 , ⎩ d , N N, d d ( d + 2) , d ( d + 2) ⎭ α =1 ∑ , N N ⎬ , μV = vα μ α .
18 3.2. Xây dựng đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu Để xây dựng đánh giá dưới cho mô đun đàn hồi trượt vĩ mô μ eff , ta lựa chọn trường khả dĩ có dạng: N (3.4) σij = σij0 + ∑ ⎡⎣a ( ϕ α=1 α α 0 ,ik σkj + ϕ,αjk σki 0 ) − I α σij0 − (aα + bα )δij ϕ,αkl σkl 0 + bα ψ ,αijkl σkl 0 ⎤ , i , j = 1,..., d ; ⎦ trong đó σ0ij = σij0 (σii0 = 0) là ứng suất lệch cho trước. Đưa (3.4) vào (1.8) và tiến hành rút gọn cuối cùng ta có được kết quả đánh giá biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần: ( ) ′ −1 μ eff ≥ M AB L {kα , μ α , vα },{ Aαβγ , Bαβγ } = (μ −R1 − v μ ·A μ ·vμ )−1 (3.5) trong đó: T ⎪⎧ ( 2 − d )v1 −1 ( 2 − d )vN −1 2v (μ −1 − μV−1 ) 2v (μ −1 − μV−1 ) ⎪⎫ vμ = ⎨ (μ1 − μV−1 ), , (μ N − μV−1 ), 1 1 , , N N ⎬ ⎩⎪ d d d ( d + 2) d(d + 2) ⎭⎪ ⎪⎧ ( 2 − d )v1μ1 2vN μ −N1 ⎪⎫ −1 ′ ( 2 − d )vN μ −N1 2v1μ1−1 vμ =⎨ , , , , , ⎬, ⎩⎪ d d d ( d + 2) d(d + 2) ⎭⎪ { } N μ vα A μ = Aαβ , α, β = 1, ,2N ; μ −R1 = ∑μ α =1 α . 3.3. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể 3.3.1. Mô hình vật liệu tựa đối xứng Trong trường hợp vật liệu tổ hợp đối xứng không có sự khác biệt giữa pha nền và pha cốt liệu [50] trong không gian 3 chiều (hình 3.1a), thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aαβγ , Bαβγ có dạng đặc biệt [50-51].