Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

103
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận án gồm 3 chương. Chương 1 trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu. Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính duy nhất của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các hàm phân hình nhỏ. Chương 3 dành cho việc nghiên cứu tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ phân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gian xạ ảnh có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêu mặt di động và thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức n chiều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến

1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1925, R. Nevanlinna công bố bài báo về sự phân bố giá trị của hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Sau đó, nó nhanh chóng được mở rộng sang trường hợp hàm phân hình nhiều biến phức và ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức, lập nên lý thuyết mà sau này mang tên Nevanlinna (hay còn được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị). Nhiều ứng dụng đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chỉ ra trong việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình, phân hình như: Bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán về tính Hyperbolic của đa tạp đại số xạ ảnh; Bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình. Phát triển lý thuyết cũng như nghiên cứu ứng dụng của Lý thuyết Nevan- linna trong những lĩnh vực khác nhau đã liên tục thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong suốt gần 100 năm qua. Trong bối cảnh đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến". 2. Mục đích nghiên cứu 1. Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh rằng với hai hàm phân hình khác hằng f và g trên mặt phẳng phức, nếu chúng có cùng ảnh ngược không kể bội của năm điểm phân biệt thì f = g (Định lý năm điểm) và g là một biểu diễn phân tuyến tính của f nếu chúng có cùng số ảnh ngược (tính cả bội) của bốn điểm phân biệt (Định lý bốn điểm). Số điểm cần thiết trong các kết quả nói trên của R. Nevanlinna đã ở mức ít nhất có thể. Tuy vậy, từ hai kết quả đó, ta sẽ xuất hiện câu hỏi tự nhiên là: Liệu Định lý bốn điểm có được mở rộng đến trường hợp không tính bội hay bội được ngắt bởi một mức nào đó hay không? Vấn đề này thu hút sự quan tâm của H. Cartan, G. Gundersen, N. Steinmetz, H. Fujimoto, M. Shirosaki, Trần Văn Tấn và nhiều tác giả khác. Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề sau: Mở rộng Định lý bốn điểm nói trên tới trường hợp bội được ngắt với mức thấp và bốn điểm được thay bởi bốn hàm phân hình nhỏ (so với các hàm f, g đang xét).
2 2. Một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết Nevanlinna là nó cho ta các tiêu chuẩn về tính suy biến hay chặt hơn là tính hằng của các đường cong (chỉnh hình, phân hình). Trong khi đó, theo nguyên lý Bloch, mỗi định lý dạng Picard bé (về tiêu chuẩn đường cong hằng) đều tương ứng với một tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đó chính là cầu nối giữa lý thuyết Nevanlinna và lý thuyết về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Nhiều tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ chỉnh hình, phân hình dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng, siêu mặt đã được chỉ ra bởi L. Zalcman, H. Fujimoto, W. Bergweiler, Z. Tu, Phạm Ngọc Mai - Đỗ Đức Thái - Phạm Nguyễn Thu Trang, Sĩ Đức Quang - Trần Văn Tấn, Y. Zhang và nhiều tác giả khác. Vấn đề nghiên cứu thứ hai của luận án là: Tính chuẩn tắc cho họ các ánh xạ phân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gian xạ ảnh phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêu mặt di động. 3. Định lý Picard lớn cổ điển chỉ ra rằng: Mỗi hàm chỉnh hình trên một đĩa thủng nếu tránh 2 giá trị phân biệt thì có thể thác triển chỉnh hình qua điểm thủng. Kết quả trên đã được mở rộng sang các trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng (cố định hay di động) và của các siêu mặt cố định bởi H. Fujimoto, Z. Tu, Z. Tu - P. Li và nhiều tác giả khác. Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề sau: Thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức n chiều. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là Lý thuyết Nevanlinna; Lý thuyết họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán xác định duy nhất ánh xạ phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình. 4. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố giá trị, Giải tích phức, Hình học phức; kế thừa và phát triển các kỹ thuật của các tác giả đi trước về các chủ đề liên quan.
3 5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài Đề tài đã thu được các nhóm kết quả sau: - Định lý về mối quan hệ giữa hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược (với bội được ngắt bởi 1 và bởi 2) của bốn hàm phân hình nhỏ. Kết quả này tổng quát mạnh mẽ các Định lý bốn điểm của R. Nevanlinna và của G. Gundersen. - Tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ phân hình từ một miền trong không gian affine vào không gian xạ ảnh với điều kiện là có cùng ảnh ngược (không tính bội) của các siêu phẳng hay siêu mặt di động. Đây là kết quả đầu tiên về tiêu chuẩn họ chuẩn tắc dưới điều kiện có cùng ảnh ngược (không tính bội) của các siêu phẳng hay siêu mặt (thay vì điều kiện ánh xạ vào phần bù của các siêu phẳng hay siêu mặt như các kết quả đã có). - Định lý dạng Picard lớn cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức. Kết quả này mở rộng các kết quả của các tác giả đi trước, từ siêu mặt cố định, siêu phẳng di động sang siêu mặt di động. 6. Cấu trúc luận án Nội dung chính của luận án gồm 3 chương: - Chương 1 trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu. Ở đó, chúng tôi đề cập tới các kết quả liên quan, phân tích, so sánh chúng với vấn đề nghiên cứu của luận án. - Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính duy nhất của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các hàm phân hình nhỏ. - Chương 3 dành cho việc nghiên cứu tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ phân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gian xạ ảnh có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêu mặt di động và thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức n chiều.
Chương 1 Tổng quan 1.1 Về các hàm phân hình có cùng ảnh ngược của bốn điểm Năm 1926, R.Nevanlinna đã chứng minh rằng nếu hai hàm phân hình khác hằng f và g trên mặt phẳng phức C có cùng ảnh ngược (không tính bội) của 5 điểm phân biệt thì f = g (Định lý năm điểm) và kết quả sau, được gọi là Định lý bốn điểm: Định lý 1.1.1. Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt trên mặt phẳng phức C và bốn điểm phân biệt a1 , a2 , a3 , a4 ∈ C∪{∞}. Giả sử νf −aj = νg−aj (j = 1, 2, 3, 4), ở đây νϕ là divisor các không điểm của hàm phân hình ϕ. Khi đó, g là một biểu diễn phân tuyến tính của f (bởi một công thức chỉ phụ thuộc vào các điểm aj ), hai trong bốn điểm aj là giá trị Picard của f (giả sử là a3 và a4 ), tỷ số kép (a1 , a2 , a3 , a4 ) bằng -1. Các kết quả trên của R.Nevanlinna được mở rộng sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh bởi H.Fujimoto (năm 1975) và bởi L.Smiley (năm 1983) theo những cách nhìn nhận khác nhau và sau này nó tiếp tục được nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác. Đối với trường hợp hàm phân hình, một câu hỏi nảy sinh tự nhiên từ các Định lý bốn điểm và năm điểm của Nevanlinna là: Liệu Định lý bốn điểm có còn đúng khi thay điều kiện các divisor bằng nhau (tính cả bội) bởi điều kiện các hàm phân hình f − aj , g − aj có cùng tập không điểm (không tính bội) như trong Định lý năm điểm hay không? 4
5 Năm 1983, G. Gundersen đã đưa ra các ví dụ để thấy rằng điều trên là không được. Có lẽ ngay từ năm 1929, Cartan đã thấy được điều đó khi ông nêu giả thuyết yếu hơn rằng: Có cùng lắm hai hàm phân hình khác hằng có cùng ảnh ngược (không tính bội) của bốn điểm cho trước. Tuy vậy, năm 1988 H.Fujimoto đã chỉ ra ngay cả giả thuyết của Cartan cũng không đúng. Nhưng H.Fujimoto cũng đã chứng minh rằng, giả thuyết của Cartan đúng cho trường hợp bội của các không điểm được ngắt bởi 2, có nghĩa: Cho f là hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức và bốn điểm a1 , a2 , a3 , a4 trên C ∩ {∞}. Khi đó, có không quá hai hàm phân hình khác hằng g thỏa mãn: min{νf −aj , 2} = min{νg−aj , 2}, với j = 1, 2, 3, 4 (chú ý rằng, ta có thể đồng P nhất mỗi divisor ν = t λt at trên C với hàm ν : C −→ Z cho bởi ν(at ) = λt , và ν(z) = 0 với những z nằm ngoài tập {at }). Hàm đặc trưng Tf (r) của hàm phân hình f được cho bởi công thức: Z2π Z2π 1 1 log kf (reiθ )kdθ − log f (eiθ ) dθ (r > 1), Tf (r) := 2π 2π 0 0 1/2 trong đó f = (f0 : f1 ) là biểu diễn rút gọn của f và kf k = |f0 |2 + |f1 |2 . Ta nói một hàm phân hình a là nhỏ đối với f nếu Ta (r) = o(Tf (r)) khi r → ∞ (ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn). Năm 2005, T.V. Tan - D.D. Thai đã mở rộng kết quả trên của H. Fujimoto sang trường hợp mà ở đó {aj } là các hàm phân hình nhỏ. Trở lại với kết quả của Nevanlinna, năm 1983 (đính chính và bổ sung năm 1987), G. Gundersen đã mở rộng kết quả của R.Nevanlinna tới trường hợp mà ở đó bội của các không điểm được tính ứng với hai điểm và không tính tới ứng với hai điểm còn lại: Định lý 1.1.2. Cho hai hàm phân hình f và g trên C và bốn điểm phân biệt a1 , a2 , a3 , a4 ∈ C ∪ {∞}. Nếu min{νf −aj , 1} = min{νg−aj , 1} với j = 1, 2, và νf −aj = νg−aj với j = 3, 4. Khi đó f, g thỏa mãn giả thiết của Định lý bốn điểm của Nevanlinna.
6 Như vậy, câu hỏi tự nhiên nói trên được điều chỉnh thành: đâu là giá trị bé nhất cho mức ngắt các bội không điểm? Trước khi xem xét câu hỏi trên, chúng ta phát biểu kết quả sau của M. Shirosaki, kết quả đầu tiên mở rộng Định lý bốn điểm sang trường hợp các điểm được thay bằng các hàm phân hình nhỏ. Định lý 1.1.3. Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt trên mặt phẳng phức và a1 , a2 , a3 , a4 là bốn hàm phân hình nhỏ (so với f ). Giả sử νf −aj = νg−aj với mọi j ∈ {1, 2, 3, 4}. Khi đó, tồn tại các hàm phân hình a, b, c, d nhỏ so với af + b f , ad − bc 6= 0, sao cho g = và một thứ tự của các giá trị {a1 , a2 , a3 , a4 } cf + d sao cho tỷ số kép của chúng bằng −1. Năm 2003, W.Yao mở rộng kết quả nêu trên của G.Gundersen tới trường hợp các điểm được thay bằng các hàm phân hình nhỏ, hay nói cách khác mở rộng kết quả của M. Shirosaki tới trường hợp không tính bội của không điểm ứng với hai hàm và tính cả bội ứng với hai hàm còn lại. Liên quan tới hướng nghiên cứu này, chương 2 của luận án tập trung vào việc mở rộng các kết quả của các tác giả trên tới trường hợp mà ở đó bội của các không điểm không tính tới ứng với hai hàm và bội được ngắt bởi 2 ứng với hai hàm còn lại, có nghĩa là: min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với mọi i = 1, 2 và min{νf −aj , 2} = min{νg−aj , 2} với j = 3, 4. trong đó ak là các hàm phân hình nhỏ so với f. Từ những phân tích trên ta thấy, vấn đề còn lại là liệu có thể mở rộng Định lý bốn điểm tới trường hợp: min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với mọi i = 1, 2, 3 và min{νf −a4 , 2} = min{νg−a4 , 2}. Đây vẫn là câu hỏi mở đối với cả hai trường hợp ak là các điểm hay các hàm. Trước khi kết thúc vấn đề này, chúng tôi cũng muốn giới thiệu một cách tiếp cận khác được một số tác giả như T. Czubiak-G. Gundersen, N.Steinmetz quan tâm là hai hàm phân hình có cùng ảnh ngược không tính bội của bốn cặp điểm, và tính bội đối với cặp điểm thứ năm.
7 1.2 Tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ phân hình Một họ các ánh xạ chỉnh hình được gọi là chuẩn tắc nếu mỗi dãy của nó đều chứa dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một ánh xạ chỉnh hình. Đây là một khái niệm cổ điển được đề cập lần đầu bởi Motel năm 1912 đối với hàm chỉnh hình. Tới nay, nó đã được phát triển thành lý thuyết họ chuẩn tắc, một nhánh của Giải tích phức, Hình học phức. Theo nguyên lý Bloch, mỗi tiêu chuẩn ánh xạ hằng (dạng Định lý Picard bé) đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Như vậy, tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ có liên quan mật thiết với tiêu chuẩn ánh xạ hằng và do đó có thể nghiên cứu nó từ công cụ của Lý thuyết Nevanlinna. Cho f là một ánh xạ phân hình trên miền D trong không gian affine phức Cm vào không gian xạ ảnh phức CP n . Khi đó, với a ∈ D, f có biểu diễn rút gọn fe = (f0 , · · · , fn ) trên lân cận U của a trong D nghĩa là với mỗi fi là một hàm phân hình trên U và f (z) = (f0 (z) : · · · : fn (z)) ngoài một tập giải tích I(f ) := {z : f0 (z) = · · · = fn (z) = 0} (tập không xác định của f ) có đối chiều ≥ 2. Năm 1974, H.Fujimoto đã mở rộng khái niệm họ chuẩn tắc sang trường hợp ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh: - Một dãy {fk }∞ k=1 các ánh xạ phân hình từ miền D trong C m vào CP n được gọi là hội tụ phân hình trên D đến một ánh xạ phân hình f từ D vào CP n nếu với mỗi z ∈ D, và fk có biểu diễn rút gọn fek = (fk0 , · · · , fkn ) trên lân cận U (chung cho tất cả các k) nào đó của z sao cho {fki }∞ k=1 hội tụ đều trên các tập con compact của U đến hàm chỉnh hình fi (0 ≤ i ≤ n) trên U thỏa mãn (f0 , · · · , fn ) là một biểu diễn của f trong U. - Một họ F các ánh xạ phân hình từ miền D trong Cm vào CP n được gọi là chuẩn tắc phân hình trên miền D nếu mọi dãy trong F đều trích ra được dãy con hội tụ phân hình trên D. Với khái niệm trên, H.Fujimoto đã đưa ra kết quả sau: Định lý 1.2.1. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào
8 (2n+1) CP n và cho {Hj }j=1 là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP n (theo nghĩa giao của mỗi (n + 1) siêu phẳng trong chúng đều bằng rỗng) sao cho với mỗi f ∈ F, thì f (D) 6⊂ Hj (j = 1, . . . , 2n + 1) và với mỗi tập con compact cố định K trong D, độ đo Lebesgue 2(m − 1)-chiều của f −1 (Hj ) ∩ K (tính cả bội) (j = 1, . . . , 2n + 1) là một giá trị bị chặn trên bởi một số không phụ thuộc f. Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D. Năm 2005, Z.Tu-P.Li đã mở rộng kết quả trên sang trường hợp siêu phẳng di động (theo nghĩa hệ số xác định phương trình siêu phẳng là các hàm chỉnh hình theo biến z thuộc miền D): Định lý 1.2.2. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào (2n+1) CP n và cho {Hj (z)}j=1 là các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát tại từng điểm trong CP n (theo nghĩa tại mỗi z ∈ D các siêu phẳng cố định {Hj (z)} ở vị trí tổng quát trong CP n ) sao cho với mỗi tập con compact K của D, độ đo Lebesgue 2(m − 1)-chiều của f −1 (Hj ) ∩ K (tính cả bội) (j = 1, . . . , 2n + 1) là một giá trị bị chặn trên không phụ thuộc vào f. Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D. Năm 2005, P.N. Mai - D.D. Thai - P.N.T. Trang mở rộng kết quả của H. Fujimoto sang trường hợp mà ở đó các siêu phẳng Hj được thay thế bằng các siêu mặt cố định. Năm 2008, S.D. Quang - T.V. Tan đã mở rộng các kết quả trên sang trường hợp siêu mặt di động (các hệ số trong đa thức xác định các siêu mặt là các hàm chỉnh hình trên miền D) và bội các giao điểm ứng với một số siêu mặt được bỏ qua. Định lý 1.2.3. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình trên miền D ⊂ Cm vào CP n và {Qj (z)}qj=1 là các siêu mặt di động ở vị trí tổng quát yếu trong CP n (theo nghĩa, tồn tại một điểm z0 ∈ D để các siêu mặt cố định sinh bởi {Qj (z0 )}qj=1 là ở vị trí tổng quát trong CP n ). Giả sử: i) Với mỗi tập con compact cố định K của D, diện tích Lebesgue 2(m − 1)- chiều của f −1 (Qj ) ∩ K (tính cả bội, j = 1, . . . , n + 1) bị chặn trên bởi một giá trị không phục thuộc vào f ∈ F .
9 ii) Tồn tại tập con giải tích mỏng S ∈ D sao cho với mỗi tập con compact K của D, độ đo Lebesgue 2(m−1)-chiều của f −1 (Qj )∩(K−S), (không tính bội, j = 1, . . . , n + 1) bị chặn trên bởi một giá trị không phụ thuộc vào f ∈ F . Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng, trong các kết quả nói trên, bội giao luôn được tính trong độ đo Lebesgue của các divisor trên mỗi tập compact (ngay cả kết quả của S. D. Quang - T. V. Tan vẫn cần tính cả bội giao ứng n + 1 siêu mặt). Lấy cảm hứng từ cách thiết lập các điều kiện cho bài toán xác định duy nhất ánh xạ phân hình dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các siêu mặt hay siêu phẳng, ở chương 3 chúng tôi thiết lập các tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược (không tính bội) của các siêu phẳng và các siêu mặt di động ở vị trí dưới tổng quát. Ở mục 3.2 của chương 3, chúng tôi đạt được hai kết quả chính sau: Định lý 1.2.4. Cho X ⊂ CP n là một đa tạp xạ ảnh và Q1 , . . . , Q2t+1 là các siêu mặt di động trong CP n ở vị trí t-dưới tổng quát trên X. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình f từ miền D ⊂ Cm vào X, sao cho Qj (f ) 6≡ 0, với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1}. Giả sử: a) f −1 (Qj ) = g −1 (Qj ) (có nghĩa {z : Qj (f (z)) = 0} = {z : Qj (g(z)) = 0}) với mọi f, g trong F và với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1}, b) dim(∩2t+1 −1 j=1 f (Qi )) ≤ m − 2 với f ∈ F. Khi đó, họ F là chuẩn tắc phân hình trên D. Cho 2t + 1 (t ≥ n) siêu phẳng di động Hj ứng với các đa thức aj0 x0 + · · · + ajn xn trong HD [x0 , . . . , xn ]. Kí hiệu Y X
D(H1 , . . . , H2t+1 ) := (
det(aj i )0≤i,`≤n
). ` L⊂{1,...,2t+1},#L=t+1 {j0 ,...,jn }⊂L Rõ ràng, tại mỗi điểm z thì các siêu phẳng cố định tương ứng H1 (z), . . . , H2t+1 (z) là ở vị trí t− dưới tổng quát khi và chỉ khi D(H1 , . . . , H2t+1 )(z) > 0. Đối với mỗi siêu phẳng di động H = aj0 x0 + · · · + ajn xn , ta cho tương ứng với ánh xạ chỉnh hình H ∗ từ D vào CP n có biểu diễn rút gọn (aj0 : · · · : ajn ).
10 Định lý 1.2.5. Cho F là một họ các ánh xạ phân hình từ miền D ⊂ Cm vào CP n . Với mỗi f trong F, giả sử có 2t + 1 siêu phẳng di động H1f , · · · , H(2t+1)f ∗ trong CP n sao cho {Hjf : f ∈ F} (j = 1, . . . , 2t + 1) là họ chuẩn tắc và tồn tại một số nguyên dương δ0 thỏa mãn: D(H1f , . . . , H(2t+1)f )(z) > δ0 , với mọi z ∈ D, f ∈ F. P2t+1 1 Cho m1 , . . . , m2t+1 là một số nguyên dương hoặc có thể bằng ∞ sao cho j=1 mj < 1. Giả sử Hjf (f ) 6≡ 0 với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1}, f ∈ F và hai điều kiện sau được thỏa mãn: a) {z : 1 ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj } = {z : 1 ≤ ν(g,Hjg ) (z) ≤ mj } với mọi f, g trong F, và với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1}, b) I(f ) ⊂ ∪2t+1 j=1 {z : 1 ≤ ν(f,Hjf ) (z) ≤ mj }, và Hjf (f ) 6≡ 0, với mọi j ∈ {1, . . . , 2t + 1} và f ∈ F, trong đó I(f ) là tập tất cả các điểm không xác định của f. Khi đó, họ F là họ chuẩn tắc phân hình trên D. 1.3 Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của hợp một số siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh Định lý Picard lớn cổ điển về thác triển ánh xạ chỉnh hình được phát biểu như sau: Định lý 1.3.1 (Định lý Picard lớn). Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ đĩa thủng 4∗R ⊂ C vào CP 1 . Nếu f tránh 3 giá trị phân biệt trong CP 1 , thì f có thể thác triển thành một ánh xạ chỉnh hình từ 4R vào CP 1 . Năm 1972, H. Fujimoto đã tổng quát kết quả trên cho trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong CP n . Ông đã đạt được các kết quả sau: Định lý 1.3.2. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ Cm vào CP n . Nếu f tránh 2n + 1 siêu phẳng trong CP n ở vị trí tổng quát thì f là ánh xạ hằng.
11 Định lý 1.3.3. Cho S là một tập con giải tích mỏng thuộc miền D trong Cm và không có điểm kỳ dị. Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào X là phần bù của 2n + 1 siêu phẳng H1 , . . . , H2n+1 ở vị trí tổng quát trong CP n đều có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f từ D vào CP n . Ngoài ra, bằng công cụ của Lý thuyết Nevanlinna, năm 2006 Z.Tu đã tổng quát các kết quả trên sang trường hợp mà ánh xạ chỉnh hình f có thể "chạm" vào các siêu phẳng Hj với bội ít nhất mj (j ∈ {1, . . . , q}, q ≥ 2n + 1) trong đó m1 , . . . , mq là các số nguyên dương và có thể bằng ∞, với 2n+1 1 q−n−1 P j=1 mj < n . Năm 1999, A. Eremeko đã chứng minh kết quả sau: Định lý 1.3.4. Cho X là một tập con đóng trong CP n (với tôpô thông thường của đa tạp thực 2n−chiều CP n ) và cho D1 , . . . , D2`+1 là các siêu mặt cố định trong CP n ở vị trí `−dưới tổng quát đối với X. Khi đó, mọi ánh xạ chỉnh hình f từ C vào X \ (∪2`+1 j=1 Dj ) đều là ánh xạ hằng. Như vậy, kết quả của A. Eremenko thực chất là Định lý Picard bé cho trường hợp đường cong vào phần bù của các siêu mặt trong không gian xạ ảnh. Hay nói cách khác, mọi đường cong nguyên vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt cố định ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh CP n đều là hằng. Tuy vậy, Định lý Picard bé không đúng cho trường hợp đường cong vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động ở vị trí tổng quát. Nhưng cũng lưu ý thêm rằng, một kết quả của A. Eremenko - M. Sodin chỉ ra: Không tồn tại ánh xạ chỉnh hình khác hằng từ C vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động nhỏ so với f trong CP n ở vị trí tổng quát. Từ những phân tích trên chúng ta thấy rằng, vấn đề về Định lý Picard bé đối trường hợp ánh xạ vào phần bù của các siêu mặt cố định hay di động trong không gian xạ ảnh đã được giải quyết thỏa đáng. Ở mục 3.3 của chương 3, chúng tôi mở rộng các Định lý Picard lớn của Fujimoto (Định lý 1.3.2 và Định lý 1.3.3) tới trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong CP n .
Chương 2 Về các hàm phân hình có cùng ảnh ngược của bốn điểm Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh Định lý bốn điểm (Định lý 1.1.1) chỉ ra rằng g là một biểu diễn phân tuyến tính của f nếu chúng có cùng ảnh ngược (tính cả bội) của bốn điểm phân biệt. Năm 1983 và 1987, G. Gundersen đã mở rộng Định lý bốn điểm của Nevanlinna sang trường hợp mà ở đó có ngắt bội ứng với hai giá trị như sau: Định lý 2.0.5. Cho f và g là hai hàm phân hình phân biệt khác hằng và a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị thuộc C ∪ {∞}. Giả sử min{νf −ai , 1} = min{νg−ai ,1 } với i = 1, 2, và νf −aj = νg−aj (ngoài một tập rời rạc có hàm đếm không tính bội bằng o(Tf (r))) với j = 3, 4. Khi đó νf −ai = νg−ai với mọi i ∈ {1, . . . , 4}. Như đã trình bày trong chương Tổng quan, trong chương này, chúng tôi mở rộng các kết quả trên tới trường hợp min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với i = 1, 2, min{νf −aj , 2} = min{νg−aj , 2} với j = 3, 4, và {aj } là các hàm phân hình nhỏ (đối với f ). Kết quả của chúng tôi gần như là tốt nhất có thể bởi G. Gundersen đã chỉ ra phản ví dụ rằng Định lý bốn điểm của Nevanlinna không còn đúng trong trường hợp min{νf −ai , 1} = min{νg−ai , 1} với mọi i ∈ {1, . . . , 4}. Chương 2 được viết dựa trên bài báo An improvement of the Nevanlinna - Gundersen theorem được công bố năm 2011 trên Journal of Mathematical of Analysis and Application. 12
13 2.1 Các định lý cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna đối với hàm phân hình Trong mục này chúng tôi giới thiệu lại các kí hiệu, định nghĩa cơ bản của lý thuyết Nevanlinna. Cụ thể là chúng tôi nhắc lại khái niệm các hàm đếm của một divisor, hàm đặc trưng của một ánh xạ phân hình và hàm xấp xỉ của một hàm phân hình. Từ đó trình bày lại hai định lý quan trọng của Lý thuyết Nevanlinna là Định lý cơ bản thứ nhất, Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp một chiều và trường hợp chiều cao. Cho ν là một divisor trên C và k, m là một số nguyên không âm hoặc ∞. Đặt ≥m [k] ν (z) := 0 nếu ν(z) < m, ≥m ν [k] (z) := min{ν(z), k} nếu ν(z) ≥ m.  0  nếu ν(z) < m ≥m [k] ν (z) := min{ν(z), k} nếu ν(z) ≥ m  Định nghĩa 2.1.1. Hàm đếm của ν được định nghĩa bởi: Zr ≥m ≥m [k] n(t) ≥m X ≥m [k] N (r, ν) = dt (r > 1), trong đó n(t) = ν (z). t 1 |z|≤t Cho một hàm phân hình khác không f trên C, ta định nghĩa hàm đếm các không điểm của f như sau: ≥m [k] Nf (r) :=≥m N [k] (r, νf ). Để thuận tiên, ta bỏ kí hiệu [k], (≥ m) trong hàm đếm và trong divisor nếu k = ∞, (m = 0). Định nghĩa 2.1.2. Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi: Z2π Z2π 1 1 log kf (reiθ )kdθ − log f (eiθ ) dθ (r > 1), Tf (r) := 2π 2π 0 0 1/2 trong đó f = (f0 : f1 ) là biểu diễn rút gọn của f và kf k = |f0 |2 + |f1 |2 .
14 Ta nói một hàm phân hình a là nhỏ đối với f nếu Ta (r) = o(Tf (r)) khi r → ∞ (ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn). Ký hiệu Rf là tập tất cả các hàm phân hình nhỏ đối với f. Khi đó, Rf là một trường nếu f khác hằng. Định nghĩa 2.1.3. Hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi: Z2π 1 log+
f (reiθ )
dθ,