Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án là nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu, cả trong trường hợp liên tục và trường hợp rời rạc, đối với một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của Luận án này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI HUY BÁCH BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 HÀ NỘI, 2020
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS. TS Cung Thế Anh Phản biện 1: PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Đoàn Thái Sơn Viện Toán học Phản biện 3: PGS.TS Đỗ Đức Thuận Trường ĐHBK Hà Nội Luận án đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm .... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Việc nghiên cứu những lớp phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu (data assimilation), tức là dự đoán dáng điệu của nghiệm trong tương lai từ những phép đo thu được, rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ trong tương lai; điều này đặc biệt quan trọng trong các bài toán dự báo, chẳng hạn bài toán dự báo khí tượng. Đây là một hướng nghiên cứu được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây. Ta có thể phát biểu một cách toán học bài toán đồng hóa dữ liệu như sau. Giả sử một quá trình phức tạp (chẳng hạn dự báo khí tượng) được mô tả bởi phương trình tiến hóa (nói chung rất phức tạp) có dạng dY = F (Y ) dt trong đó Y là vectơ biểu diễn biến trạng thái mà ta muốn “dự báo”. Mục tiêu của chúng ta là tìm một xấp xỉ “tốt” của Y trên một đoạn thời gian có độ dài T (dự đoán). Chúng ta đối mặt với bài toán sau đây: Chúng ta không biết “dữ kiện ban đầu” của Y tại một thời điểm trước thời điểm t0 để tính nghiệm của mô hình dự báo từ thời điểm t0 trở đi, tuy nhiên chúng ta biết “phép đo” của Y trong miền không gian trong khoảng thời gian [t0 , T ] hoặc tại một dãy thời điểm {tn }n∈N . Bài toán đồng hóa dữ liệu là xác định một nghiệm xấp xỉ W (t) của Y (t) từ các “phép đo” đã biết, sao cho W (t) hội tụ về Y (t) (theo một chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng. Phương pháp cổ điển của đồng hóa dữ liệu liên tục là chèn các phép đo quan sát trực tiếp vào một mô hình sau này được lấy tích phân theo thời gian. Một cách để khai thác điều này là chèn các quan sát chế độ thấp Fourier từ một chuỗi thời gian vào trong phương trình cho sự tiến hóa của các chế độ cao. Về 1
mặt toán học, cách tiếp cận này dựa trên sự tồn tại tập hút toàn cục hữu hạn chiều và tính chất các mode xác định (determining modes) của hệ Navier-Stokes (D.A. Jones and E.S. Titi (1993)), nhưng có nhược điểm là không áp dụng được khi các dữ liệu thu được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì không thể lấy đạo hàm theo biến không gian tại các điểm rời rạc đó. Một cách tiếp cận hiệu quả khác áp dụng cho các hệ tiến hóa tuyến tính được đề xuất bởi J.P. Puel trong (J.P. Puel (2009)). Cách tiếp cận này dựa trên các bất đẳng thức kiểu Carleman, nhưng có hạn chế là chỉ áp dụng được cho các bài toán tuyến tính. Năm 2014, Titi và cộng sự đã đề xuất một phương pháp mới (A. Azouani, E. Olson and E.S. Titi (2014)) khắc phục được nhược điểm của các phương pháp nói trên. Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng một số hạng điều khiển phản hồi chứa dữ liệu quan sát được đưa vào trong hệ gốc để được một hệ mới gọi là hệ phương trình đồng hóa dữ liệu. Sau đó ta sẽ thiết lập các điều kiện để đảm bảo hệ đồng hóa dữ liệu này có một nghiệm toàn cục duy nhất và nó hội tụ về nghiệm khảo sát của hệ gốc ban đầu. Tuy nhiên, kết quả nghiên cứu bằng phương pháp này mới chỉ có ở bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho cho hệ Navier-Stokes hai chiều (A. Azouani, E. Olson and E.S. Titi (2014)) và một vài α-mô hình ba chiều (D.A.F. Albanez, H.J. Nussenzveig-Lopes and E.S. Titi (2016), D.A.F. Albanez and M.J. Benvenutti (2018)). Trường hợp rời rạc thì mới chỉ có kết quả đối với hệ Navier-Stokes hai chiều (C. Foias, C.F. Mondaini and E.S. Titi (2016)). Hệ Navier-Stokes đóng vai trò quan trọng trong cơ học chất lỏng. Tuy nhiên, trong trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) thì tính đặt đúng toàn cục và việc tính toán số nghiệm của hệ này vẫn còn là những vấn đề mở lớn và tỏ ra rất khó. Một trong những cách tiếp cận để vượt qua những khó khăn này là sử dụng những hệ chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes. Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến và thường được sử dụng là các α-mô hình trong cơ học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-α (C. Foias, D.D. Holm and E.S. Titi (2001)), hệ Leray-α (A. Cheskidov, D.D. Holm, E. Olson and E.S. Titi (2005)), hệ Leray-α cải biên (A.A. Ilyin, E.M. Lunasin and E.S. Titi (2006)) và hệ Bardina đơn giản hóa (W. Layton and R. Lewandowski (2006)), . . . . Về mặt hình thức, nếu cho α = 0 trong các α-mô hình này ta sẽ thu lại được hệ Navier-Stokes cổ điển. Trong vài năm gần đây, đã có một số kết quả về bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho các α-mô hình, bao gồm hệ Navier-Stokes-α (D.A.F. Albanez, H.J. Nussenzveig-Lopes and E.S. Titi (2016)), hệ Bardina đơn giản hóa (D.A.F. Albanez and M.J. Benvenutti (2018)), hệ Leray-α (A. Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2019)), . . . . Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả 2
nào về bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với các α-mô hình trong cơ học chất lỏng. Từ những phân tích trên ta thấy rằng mặc dù đã có một vài kết quả ban đầu nhưng các kết quả về bài toán đồng hóa dữ liệu đối với các α-mô hình trong cơ học chất lỏng, đặc biệt trong trường hợp đồng hóa dữ liệu rời rạc hoặc chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc, vẫn còn ít và đang là vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề "Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ của mình. 2. Tổng quan vấn đề nghiên cứu Từ cuối những năm 1960, các vệ tinh nhân tạo bắt đầu thu được các dữ liệu về thời tiết gần như liên tục theo thời gian. Charney, Halem và Jastrow đã chỉ ra trong (J. Charney, M. Halem, and R. Jastrow (1969)) một số phương trình về khí quyển được dùng để xử lý các dữ liệu đó và thu được các đánh giá tiên tiến về trạng thái khí quyển hiện tại. Phương pháp của họ, được gọi là đồng hóa dữ liệu liên tục. Một tổng hợp về việc sử dụng đồng hóa dữ liệu liên tục trong thực tế dự báo thời tiết cũng được nêu bởi Daley (R. Daley (1991)). Bằng việc sử dụng số determining modes, Titi và cộng sự đã nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu cho hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều, trong trường hợp dữ liệu thu thập được là liên tục trên một khoảng thời gian (E. Olson and E.S. Titi (2003)) và trong trường hợp dữ liệu thu thập được là rời rạc theo thời gian (K. Hayden, E. Olson and E.S. Titi (2011)), nhưng có nhược điểm là không áp dụng được khi các dữ liệu thu được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì không thể lấy đạo hàm theo biến không gian tại các điểm rời rạc đó. Nhằm khắc phục những nhược điểm trên, năm 2014, Titi và cộng sự đã đề xuất một phương pháp mới (A. Azouani, E. Olson and E.S. Titi (2014)). Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng một số hạng điều khiển phản hồi Ih (a feedback control term) đưa vào trong phương trình. Cách làm này còn được gọi là phương pháp nudging Newtonian hay phương pháp giãn động lực (dynamic relaxation) (J. Hoke and R. Anthes (1976)). Toán tử Ih , với các điều kiện thích hợp, đã được chỉ ra là một toán tử tổng quát, bao hàm cho cả toán tử dùng trong trường hợp determining modes nêu ở trên, cũng như các toán tử dùng để nghiên cứu determining nodes và các phần tử thể tích (D.A.F. Albanez, H.J. 3
Nussenzveig-Lopes and E.S. Titi (2016)). Nội dung của phương pháp như sau: Giả sử rằng một hệ phương trình có dạng dY = F (Y ) (1) dt (với điều kiện biên đã biết), không biết điều kiện ban đầu Y (t0 ) = Y0 . Bằng cách sử dụng các thiết bị đo đạc, ta biết một phần của nghiệm trong khoảng thời gian [t0 , T ] (bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục) hoặc tại các thời điểm tn với n = 1, 2, ..., trong đó ti ≤ tj , ∀i ≤ j và tn → ∞ khi n → ∞ (bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc). Vì không biết điều kiện ban đầu nên ta không thể tính được Y (t). Do đó, thay vì đi tính Y (t), ta đi tìm W (t), sao cho W (t) hội tụ về Y (t) (theo một chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng. Khi đó, W (t) được gọi là nghiệm xấp xỉ, nghiệm Y (t) được gọi là nghiệm khảo sát. Ký hiệu Ih (Y (t)) là phần của nghiệm mà ta đo đạc được tại thời điểm t. Ở đây, h đặc trưng cho độ thô của phép đo. Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục, phần đo đạc Ih (Y (t)) của nghiệm thu được trên [t0 , T ], ta xét hệ phương trình dW = F (W ) − µIh (W ) + µIh (Y ) (2) dt với điều kiện ban đầu W (t0 ) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý). Ở đây, số dương µ được gọi là tham số giãn. Ta sẽ tìm các điều kiện đủ của các tham số µ và h (h đủ nhỏ, µ đủ lớn) để hệ (2) có nghiệm toàn cục duy nhất W (t) và W (t) hội tụ tới Y (t) khi thời gian t tiến tới vô cùng. Theo quan điểm vật lí, độ phân giải không gian h của phép đo thường là khó và tốn kém để thay đổi, trong khi tham số giãn µ là tham số toán học có thể dễ dàng thay đổi, do đó ta tập trung vào việc tìm điều kiện của h để tồn tại một giá trị µ đảm bảo cho sự thành công của thuật toán. Sau khoảng thời gian T > 0 đủ lớn, nghiệm W (T ) có thể được sử dụng làm điều kiện ban đầu trong hệ (1) để đưa ra dự đoán trong tương lai của nghiệm tham chiếu Y (t) khi t > T hoặc ta có thể tiếp tục với chính hệ đồng hóa dữ liệu (2), nếu dữ liệu đo vẫn tiếp tục được cung cấp. Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc, lúc này gần với thực tiễn hơn, khi mà phần đo đạc Ih (Y (t)) của nghiệm thu được tại các thời điểm rời rạc tn với n = 1, 2, ..., trong đó ti ≤ tj , ∀i ≤ j và tn → ∞ khi n → ∞ (đồng hóa dữ liệu rời rạc), thay cho hệ (2), ta xét hệ phương trình đồng hóa dữ liệu sau ∞ dW X = F (W ) − µ Ih (W (tn ) − Y (tn ))χn (3) dt n=0 4
với điều kiện ban đầu W (t0 ) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý). Gọi κ là khoảng cách lớn nhất giữa hai lần đo: |tn+1 − tn | ≤ κ, ∀n ∈ N. Cũng như đối với hệ (2), ta đi tìm các điều kiện đủ của h, µ và κ sao cho hệ (3) có nghiệm toàn cục duy nhất W (t) và W (t) hội tụ tới Y (t) khi thời gian t tiến tới vô cùng. Phương pháp đồng hóa dữ liệu chỉ áp dụng được cho các mô hình đặt đúng, tức là đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm. Chính vì lý do đó, kết quả đồng hóa dữ liệu đối với hệ phương trình Navier-Stokes mới chỉ có trong trường hợp hai chiều (A. Azouani, E. Olson and E.S. Titi (2014), C. Foias, C.F. Mondaini and E.S. Titi (2016)), còn trong trường hợp ba chiều ta chưa chứng minh được các kết quả tương tự. Để nghiên cứu các tính chất nói chung và bài toán đồng hóa dữ liệu nói riêng của hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều, một cách làm phổ biến đó là nghiên cứu trên các α-mô hình, được coi như là những xấp xỉ của hệ Navier-Stokes khi tham số α nhỏ. Gần đây đã có một số kết quả đã có đối với bài toán đồng hóa dữ liệu cho các α-mô hình: hệ Navier-Stokes-α (D.A.F. Albanez, H.J. Nussenzveig-Lopes and E.S. Titi (2016)), hệ Bardina đơn giản hóa (D.A.F. Albanez and M.J. Benvenutti (2018)),... Rất gần đây một hướng nghiên cứu mới, đó là giảm số chiều phép đo xuống thấp hơn số chiều không gian, cũng đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học (A. Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2016), A.Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2017)). 3. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích của luận án: Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu, cả trong trường hợp liên tục và trường hợp rời rạc, đối với một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng. • Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất toàn cục và đánh giá tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa dữ liệu (gọi là nghiệm xấp xỉ) với nghiệm khảo sát của hệ gốc (nói riêng là sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát khi thời gian ra vô cùng nếu phép đo không có sai số), đối với một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng. • Phạm vi nghiên cứu: Trong các mô hình dưới đây v = u − α2 ∆u. Các mô hình được xét trên khoảng [t0 , ∞), với điều kiện biên tuần hoàn trên hình hộp Ω = [0, L]3 và điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết. 5
– Nội dung 1: Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α ba chiều:  ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f,  ∂t ∇ · u = ∇ · v = 0. – Nội dung 2: Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Navier-Stokes- α ba chiều:  ∂v − ν∆v − u × (∇ × v) + ∇p = f,  ∂t  div u = 0. – Nội dung 3: Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc đối với hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều:  ∂v − ν∆v + (u · ∇)u + ∇p = f,  ∂t ∇ · u = ∇ · v = 0. – Nội dung 4: Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục/rời rạc chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc đối với hệ Leray-α cải biên ba chiều:  ∂v − ν∆v + (v · ∇)u + ∇p = f,  ∂t ∇ · u = ∇ · v = 0. 4. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc: sử dụng phương pháp đề xuất trong (C. Foias, C.F. Mondaini and E.S. Titi (2016)) bởi E. Titi và các cộng sự. • Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục: sử dụng phương pháp đề xuất trong (A. Azouani, E. Olson and E.S. Titi (2014), A. Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2016), A.Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2019)) bởi E. Titi và các cộng sự. 6
5. Kết quả của luận án • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và đánh giá được tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm khảo sát cho bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α ba chiều và hệ Navier-Stokes-α ba chiều trong trường hợp phép đo có thể có sai số. Đặc biệt, khi không có sai số ta thu được sự hội tụ theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm khảo sát khi thời gian tiến tới vô cùng. • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều mà chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. • Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát cho cả bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục và rời rạc đối với hệ Leray-α cải biên ba chiều mà chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc. 6. Cấu trúc của luận án • Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. • Chương 2. Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ phương trình Leray- α. • Chương 3. Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ phương trình Navier- Stokes-α • Chương 4. Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn đối với hệ Bardina đơn giản hóa.. • Chương 5. Bài toán đồng hóa dữ liệu rút gọn đối với hệ Leray-α cải biên.. 7
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng 1.2. Toán tử nội suy Ih 1.3. Tập hút toàn cục 1.4. Các không gian hàm 1.5. Các toán tử 1.6. Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng 8
Chương 2 BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ LERAY-α 2.1. Đặt bài toán Giả sử rằng sự tiến hóa của u được mô tả bởi hệ Leray-α ba chiều (A. Cheskidov, D.D. Holm, E. Olson and E.S. Titi (2005), A.Farhat, E. Lunasin and E.S. Titi (2017)), với điều kiện biên tuần hoàn trên miền Ω = [0, L]3 :  ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f,  ∂t (2.1) ∇ · u = ∇ · v = 0, trên khoảng [t0 , ∞), với điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết. Ta gọi {tn }n∈N là một dãy tăng các thời điểm trong [t0 , ∞) mà tại đó các số liệu được thu thập. Ta giả thiết rằng tn < tn+1 , ∀n ∈ N và tn → ∞ khi n → ∞. Hơn nữa, ta ký hiệu khoảng cách lớn nhất giữa hai lần đo liên tiếp bởi tham số dương κ, tức là |tn+1 − tn | ≤ κ, ∀n ∈ N. Ta ký hiệu ηn là sai số của số liệu đo lường tại thời điểm tn . Các số liệu đo lường tại thời điểm tn do đó được biểu diển bởi v˜(tn ) = Pm (v(tn )) + ηn , (2.2) trong đó v là nghiệm khảo sát chưa biết của hệ Leray-α ba chiều (2.1), Pm : H → span{w1 , . . . , wm } là "phép chiếu Fourier thấp", tức là phép chiếu trực giao của H lên không gian con Hm = span{w1 , . . . , wm } xác định bởi m vectơ 9
riêng của toán tử Stokes A và ηn là sai số của số liệu đo lường tại thời điểm tn . Ta giả sử rằng {ηn }n∈N bị chặn trong H bởi E0 . Chú ý rằng Pm u(tn ) là chưa biết và ta chỉ biết u˜(tn ). Cho trước một số liệu ban đầu dự đoán z0 ∈ V , ta đi tìm một hàm z thỏa mãn z(t0 ) = z0 , với cùng điều kiện biên như của v, và thỏa mãn hệ sau:  ∂z ∞ P   − ν∆z + (w · ∇)z + ∇q = f − µ (Pm (z(tn )) − v˜(tn )) ,  ∂t  n=0 ∇ · w = ∇ · z = 0, (2.3)    z = w − α2 ∆w.  trong đó χn là hàm đặc trưng cho khoảng [tn , tn+1 ), và µ > 0 là tham số giãn (hệ số nudging). Viết lại hệ (2.3) dưới dạng tương đương sau:  ∞ ∞  dz + νAz + B(w, z) = Pf − µ P P (Pm (z(tn ) − v(tn ))) χn + µ P Pηn χn ,  dt n=0 n=0 z = w + α2 Aw.  (2.4) 2.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát Ta viết lại hệ Leray-α ba chiều dưới dạng dv + νAv + B(u, v) = Pf, (2.5) dt với v = u + α2 Au, và điều kiện ban đầu v(0) = v0 ∈ H. Định lí 2.1. (A. Cheskidov, D.D. Holm, E. Olson and E.S. Titi (2005)) Giả sử f ∈ H và v0 ∈ H. Khi đó hệ (2.5) có duy nhất một nghiệm toàn cục v thỏa mãn dv v ∈ C([t0 , ∞); H) ∩ L2loc (t0 , ∞; V ), ∈ L2loc (t0 , ∞; V 0 ). (2.6) dt Hơn nữa, nửa nhóm tương ứng S(t) : H → H có một tập hút toàn cục A trong H. Hơn nữa, với mọi v ∈ A, ta có √ 2νGr |v| ≤ M0 := 1/4 , (2.7) λ1 −3/4 với Gr = ν −2 λ1 |f | là số Grashoff. 10
Định lí 2.2. Giả sử z0 ∈ H, f ∈ H và v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệ Leray-α ba chiều. Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm z của hệ phương trình (2.4) trên khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn z(t0 ) = z0 và dz z ∈ C([t0 , ∞); H) ∩ L2loc (t0 , ∞; V ), ∈ L2loc (t0 , ∞; V 0 ). (2.8) dt Đặt BV (M0 ) := {v ∈ H : |v| ≤ M0 } . Định lí 2.3. Giả sử v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệ Leray-α ba chiều và giả sử M0 là hằng số dương trong đánh giá nghiệm v cho ở (2.7). Xét z0 ∈ BH (M0 ) và giả sử z là nghiệm duy nhất của (2.4) trên khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn z(t0 ) = z0 . Giả sử rằng {ηn }n∈N là một dãy bị chặn trong H, tức là tồn tại một hằng số E0 ≥ 0 sao cho |ηn | ≤ E0 , ∀n ∈ N. (2.9) Nếu µ và m đủ lớn sao cho 25/2 c20 M02 µ≥ , (2.10) να3 8µ λm+1 ≥ , (2.11) ν và κ đủ nhỏ sao cho 1/2 (νµ)1/2 c n νλ1 κ ≤ min 1, q , , µ −1 2 2 µ2 λ1 + c0 α−3 (E0 + M0 ) 2 µ (2.12) νλ1 (2νλ1 + µ) o , µ ν 2 λ1 + µ2 λ−1 2 −3 (E 2 + M 2 ) + µ2 1 + c0 α 0 0 thì lim sup |z(t) − v(t)| ≤ cE0 . t→∞ Hơn nữa, nếu E0 = 0 thì z(t) → v(t) trong H, với tốc độ mũ, khi t → ∞. 11
Chương 3 BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES-α 3.1. Đặt bài toán Giả sử rằng sự tiến hóa của u được mô tả bởi hệ Navier-Stokes-α ba chiều, với điều kiện biên tuần hoàn trên miền Ω = [0, L]3 :  ∂ (u − α2 ∆u) − ν∆(u − α2 ∆u) − u × ∇ × (u − α2 ∆u) + ∇p = f,  ∂t ∇ · u = 0, (3.1) trên khoảng [t0 , ∞), với điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết. Cho trước một số liệu ban đầu dự đoán w0 ∈ V , ta đi tìm một hàm w thỏa mãn w(t0 ) = w0 , với cùng điều kiện biên như của u, và thỏa mãn hệ sau:  ∂ 2 2 2   (w − α ∆w) −ν∆(w − α ∆w) − w × ∇ × (w − α ∆w) + ∇q  ∂t   ∞ = f − µ(I − α2 ∆) (3.2) P (Pm w(tn ) − u˜(tn )) χn , n=0     ∇ · w = 0. Viết lại hệ (3.2) dưới dạng tương đương sau: d (w + α2 Aw) + νA(w + α2 Aw) + B(w, e w + α2 Aw) dt X∞ 2 = f − µ(I + α A) P(Pm (w(tn ) − u(tn )))χn (3.3) n=0 ∞ X + µ(I + α2 A) Pηn χn . n=0 12
3.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát Ta viết lại hệ phương trình Navier-Stokes-α ba chiều dưới dạng d (u + α2 Au) + νA(u + α2 Au) + B(u, e u + α2 Au) = Pf (3.4) dt với điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 ∈ V . Định lí 3.1. Giả sử f ∈ V 0 và u0 ∈ V . Khi đó hệ (3.4) có duy nhất một nghiệm toàn cục u thỏa mãn u(t0 ) = u0 và du u ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc (t0 , ∞; D(A)), ∈ L2loc (t0 , ∞; H). (3.5) dt Hơn nữa, nửa nhóm S(t) : V → V sinh bởi nghiệm của hệ (3.4) có một tập hút toàn cục A trong V và ta có 2 2 2 2Gr2 ν 2 |u| + α kuk ≤ M0 := 1/2 , ∀u ∈ A, (3.6) λ1 kf kV 0 với Gr = 3/4 là số Grashoff trong không gian ba chiều. ν 2 λ1 Định lí 3.2. Giả sử w0 ∈ V, f ∈ V 0 và u là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệ phương trình Navier-Stokes-α ba chiều. Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm w của hệ phương trình đồng hóa dữ liệu (3.3) trên khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn w(t0 ) = w0 và dw w ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc (t0 , ∞; D(A)), ∈ L2loc (t0 , ∞; H). (3.7) dt Đặt BV (M0 ) := u ∈ V : |u|2 + α2 kuk2 ≤ M0 . Định lí 3.3. Giả sử u là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệ phương trình Navier-Stokes-α ba chiều và giả sử M0 là hằng số dương trong đánh giá nghiệm u cho ở (3.6). Xét w0 ∈ BV (M0 ), và giả sử w là nghiệm duy nhất của (3.3) trên khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn w(t0 ) = w0 . Giả sử rằng {ηn }n∈N là một dãy bị chặn trong V , tức là tồn tại một hằng số E0 ≥ 0 sao cho |ηn |2 + α2 kηn k2 ≤ E02 , ∀n ∈ N. (3.8) 13
Nếu µ và m đủ lớn sao cho c20 M0 2 c M0 µ≥c 4 max λ21 , 0 2 , (3.9) να ν 8µ λm+1 ≥ , (3.10) ν và κ đủ nhỏ sao cho 1/2 1/2 c n αλ1 ν ν κ ≤ min 1, , αν , µ (1 + α2 λ1 ) µ ψµ (3.11) α2 ν 2 (2νλ1 + µ) o , µ ψ + µ2 (λ−1 2 )2 λ−1 + µ2 ν(λ−1 + α2 )2 1 + α 1 1 với −1/2 −1/2 ψ= ν + 2 c20 λ1 α−2 M0 + E02 (λ−1 2 2 1 + α ) + c0 λ1 M0 , thì lim sup |w(t) − u(t)|2 + α2 kw(t) − u(t)k2 ≤ cE02 . t→∞ Hơn nữa, nếu E0 = 0 thì w(t) → u(t) trong V , với tốc độ mũ, khi t → ∞. 14
Chương 4 BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC RÚT GỌN ĐỐI VỚI HỆ BARDINA ĐƠN GIẢN HÓA 4.1. Đặt bài toán Giả sử rằng sự tiến hóa của u được mô tả bởi hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều, với điều kiện biên tuần hoàn trên miền Ω = [0, L]3 :  ∂v − ν∆v + (u · ∇)u + ∇p = f,  ∂t (4.1) ∇ · u = ∇ · v = 0, trên khoảng [t0 , ∞), với điều kiện ban đầu u(t0 ) = u0 chưa biết. Với điều kiện ban đầu đoán trước tùy ý u∗0 , ta sẽ đi tìm một hàm u∗ thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 , với cùng điều kiện biên như của u, và thỏa mãn hệ sau: ∂v1∗ − ν∆v1∗ + u∗1 ∂x u∗1 + u∗2 ∂y u∗1 + u∗3 ∂z u∗1 + ∂x p∗ ∂t = f1 − µ (Ih (u∗1 ) − Ih (u1 )) , (4.2a) ∂v2∗ − ν∆v2∗ + u∗1 ∂x u∗2 + u∗2 ∂y u∗2 + u∗3 ∂z u∗2 + ∂y p∗ ∂t = f2 − µ (Ih (u∗2 ) − Ih (u2 )) , (4.2b) ∂v3∗ − ν∆v3∗ + u∗1 ∂x u∗3 + u∗2 ∂y u∗3 + u∗3 ∂z u∗3 + ∂z p∗ = f3 , (4.2c) ∂t ∂x u∗1 + ∂y u∗2 + ∂z u∗3 = ∂x v1∗ + ∂y v2∗ + ∂z v3∗ = 0, (4.2d) v1∗ = u∗1 − α2 ∆u∗1 , v2∗ = u∗2 − α2 ∆u∗2 , v3∗ = u∗3 − α2 ∆u∗3 . (4.2e) Ta sẽ xét các toán tử tuyến tính Ih : H 1 (Ω) → L2 (Ω) thỏa mãn kϕ − Ih (ϕ)kL2 (Ω) ≤ γ0 hkϕkH 1 (Ω) , (4.3) 15
với mọi ϕ ∈ H 1 (Ω), hoặc Ih : H 2 (Ω) → L2 (Ω) thỏa mãn kϕ − Ih (ϕ)kL2 (Ω) ≤ γ1 hkϕkH 1 (Ω) + γ2 h2 kϕkH 2 (Ω) , (4.4) với mọi ϕ thuộc không gian Sobolev H 2 (Ω). Hơn nữa, bất đẳng thức (4.3) suy ra |u − Ih (u)|2 ≤ c20 h2 kuk2 , (4.5) với mọi u ∈ V , trong đó c0 = γ0 , và bất đẳng thức (4.4) suy ra rằng 1 1 |u − Ih (u)|2 ≤ c20 h2 kuk2 + c40 h4 |Au|2 , (4.6) 2 4 với mọi u ∈ D(A), với c0 chỉ phụ thuộc vào γ0 , γ1 và γ2 . 4.2. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trong trường hợp toán tử phép đo loại I Với hàm ngoại lực f ∈ H, ta định nghĩa số Grashof trong không gian ba −3/4 chiều như sau: Gr = |f |ν −2 λ1 . Định lí 4.1. Giả sử f ∈ H. Nếu u0 ∈ V thì hệ (4.1) có duy nhất một nghiệm yếu u thỏa mãn u(t0 ) = u0 và du u ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A)), ∈ L2loc ([t0 , ∞); H). dt Hơn nữa, nếu u0 ∈ D(A) thì hệ (4.1) có duy nhất một nghiệm mạnh u thỏa mãn u(t0 ) = u0 và du u ∈ C([t0 , ∞); D(A)) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A3/2 )), ∈ L2loc ([t0 , ∞); V ). dt Hơn nữa, nửa nhóm S(t) : V → V sinh bởi nghiệm của hệ (4.1) có một tập hút toàn cục A trong V . Thêm vào đó, với mọi u ∈ A, ta có 2 2 2 2ν 2 Gr2 |u| + α kuk ≤ 1/2 , (4.7) λ1 và 2ν 2 Gr2 54c45 νGr4 2 2 2 λ1 νλ1 1 kuk + α |Au| ≤ + 2 + exp . (4.8) λ1 1/2 2 α ν α4 λ1 16
Định lí 4.2 (Dữ liệu phép đo thuộc loại I). Giả sử Ih thỏa mãn (4.3). Giả sử u là một nghiệm trong tập hút toàn cục của hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều (4.1) và chọn µ > 0 đủ lớn sao cho cνGr2 λ1 νλ1 1 4 54c5 νGr4 µ≥ + 2 + exp , (4.9) λ1 α2 2 α ν α4 λ1 và h > 0 đủ nhỏ sao cho µc20 h2 ≤ ν. Nếu u∗0 ∈ V và f ∈ H thì tồn tại duy nhất một nghiệm yếu u∗ của hệ phương trình đồng hóa dữ liệu (4.2) trên [t0 , ∞) thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 và du∗ u∗ ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A)), ∈ L2loc ([t0 , ∞); H). dt Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu u∗0 và thỏa mãn |u∗ (t) − u(t)|2 + α2 ku∗ (t) − u(t)k2 → 0, với tốc độ mũ, khi t → ∞. Định lí 4.3 (Dữ liệu phép đo thuộc loại II). Giả sử Ih thỏa mãn (4.4). Giả sử u là một nghiệm trong tập hút toàn cục của hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều (4.1) và chọn µ > 0 đủ lớn sao cho (4.9) thỏa mãn và h > 0 đủ nhỏ sao cho µc20 h2 ≤ 2ν và µc40 h4 ≤ 4να2 . Nếu u∗0 ∈ V và f ∈ H thì tồn tại duy nhất một nghiệm yếu u∗ của hệ phương trình đồng hóa dữ liệu (4.2) trên [t0 , ∞) thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 và du∗ u∗ ∈ C([t0 , ∞); V ) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A)), ∈ L2loc ([t0 , ∞); H). dt Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu u∗0 và thỏa mãn |u∗ (t) − u(t)|2 + α2 ku∗ (t) − u(t)k2 → 0, với tốc độ mũ, khi t → ∞. 4.3. Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát trong trường hợp toán tử phép đo loại II Định lí 4.4. Giả sử Ih thỏa mãn (4.4). Giả sử u là một nghiệm trong tập hút toàn cục của hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều (4.1) và chọn µ > 0 đủ lớn sao cho cνGr2 λ1 νλ1 1 4 54c5 νGr4 cνGr6 µ ≥ max + 2 + exp + 3 8 , νλ1 , (4.10) λ1 α2 2 α ν α4 λ1 λ1 α 17
và h > 0 đủ nhỏ sao cho µc20 h2 ≤ ν và µc40 h4 ≤ 4να2 . Nếu u∗0 ∈ D(A) với 2ν 2 Gr2 |u∗0 |2 +α 2 ku∗0 k2 ≤ 1/2 , (4.11) λ1 và 2ν 2 Gr2 54c45 νGr4 λ1 νλ1 1 ku∗0 k2 + α2 |Au∗0 |2 ≤ + 2 + exp , (4.12) λ1 1/2 2 α ν α4 λ1 và f ∈ H, thì tồn tại duy nhất một nghiệm mạnh u∗ của hệ phương trình đồng hóa dữ liệu (4.2) trên [t0 , ∞) thỏa mãn u∗ (t0 ) = u∗0 và ∗ du∗ u ∈ C([t0 , ∞); D(A)) ∩ L2loc ([t0 , ∞); D(A3/2 )), ∈ L2loc ([t0 , ∞); V ), dt sao cho 22ν 2 Gr2 54c45 νGr4 λ1 νλ1 1 ku∗ (t)k2 + α2 |Au∗ (t)|2 ≤ + 2 + exp 1/2 λ1 2 α ν α4 λ1 !3 384000(16e + 2)c43 c44 2 2ν Gr 2 + , ν 4 λ1 α6 λ1 1/2 với mọi t > t0 . Hơn nữa, nghiệm u∗ phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu u∗0 và thỏa mãn ku∗ (t) − u(t)k2 + α2 |Au∗ (t) − Au(t)|2 → 0, với tốc độ mũ, khi t → ∞. 18