Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số

Chia sẻ: Co Ti Thanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích cơ bản của luận án này là chứng minh được sự tồn tại nghiệm trên các đoạn compact và sự tồn tại nghiệm hút toàn cục cho lớp các bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điều kiện đầu không cục bộ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————–o0o——————— CHU TRỌNG KÍNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC XUÂN HÒA, 2018
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. Phản biện 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................. Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại .............................................................................. vào hồi . . . . . . . . . . . giờ . . . . . . . . . . . ngày . . . . . . . . . . . tháng . . . . . . . . . . . năm 20. . . Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Giải tích bậc phân số với một lịch sử lâu dài như là một lĩnh vực toán học thuần túy. Trong vài thập kỷ trở lại đây, các phương trình vi-tích phân bậc phân số đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả bởi các ứng dụng của chúng trong việc mô tả nhiều bài toán từ các mô hình thực tiễn. Có nhiều khái niệm đạo hàm bậc phân số. Trong số đó, đạo hàm theo nghĩa Caputo và đạo hàm Riemann-Liouville được sử dụng rộng rãi hơn do các tính chất đặc thù của chúng. Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định nghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn. Đối với các hệ vi phân với bậc nguyên, hướng nghiên cứu về ổn định đã ghi nhận nhiều thành tựu quan trọng cả về lý thuyết và áp dụng. Tuy nhiên, đối với các hệ vi phân bậc phân số, các kết quả nghiên cứu về tính ổn định vẫn rất khiêm tốn. Khó khăn chính là các phương pháp và cách tiếp cận đã được phát triển cho lớp hệ vi phân bậc nguyên thường không còn hiệu lực, đặc biệt là đối với các hệ vi-tích phân bậc phân số trong các không gian vô hạn chiều. Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định và ổn định hóa nói riêng, đối với các hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, cả trong trường hợp hữu hạn và vô hạn chiều, cần tiếp tục nghiên cứu và hoàn thiện. 2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu 2.1. Sự đồng bộ của mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ Trong hai thập kỷ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã được nghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực. Trong các công trình đã công bố, tính ổn định hay đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu cho một số mô hình mạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ bị chặn. Mặt khác, trong các mô hình mạng nơron có trễ, mô hình với trễ tỉ lệ được sử dụng rất phổ biến. Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các mô hình mạng nơron có trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn. Đến nay, chúng tôi chưa tìm thấy một kết quả nghiên cứu nào 1
đề cập đến tính ổn định hay tính đồng bộ của mô hình mạng nơron mô tả bởi hệ vi phân bậc phân số với trễ tỉ lệ. Trong Chương 2 của luận án này, dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trình công bố của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính đồng bộ với tốc độ hội tụ kiểu đa thức cho mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau đây: n X D0α xi (t) = − di (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n X (0.1) + bij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0, j=1 xi (0) = x0i , i ∈ [n]. Áp dụng quy tắc Leibniz về đạo hàm phân số và một số kĩ thuật trong nguyên lý so sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện cho tính đồng bộ toàn cục với tốc độ đa thức của mô hình (0.1). Cụ thể hơn, từ các điều kiện đặt ra, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại của các hằng số dương β và γ sao cho hai nghiệm bất kì x(t) và x˜(t) của (0.1) thỏa mãn đánh giá kx0 − x˜0 k∞ kx(t) − x˜(t)k∞ ≤ β , ∀t ≥ 0. (1 + t)γ 2.2. Nghiệm hút toàn cục của bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều Các bao hàm thức vi phân không chỉ là mô hình tổng quát của phương trình vi phân mà còn xuất phát từ nhiều bài toán quan trọng như bài toán điều khiển phản hồi đa trị, bài toán chính quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến không liên tục hay các bất đẳng thức vi biến phân. Trong chương 3, dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu bài toán Cauchy suy rộng đối với lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev có dạng sau đây D0α Bu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t 6= tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (0.2a) ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (0.2b) u(0) = g(u), (0.2c) ở đó D0α , α ∈ (0, 1), là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A, B là các toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong không gian Banach X và F (.) là một ánh xạ phi tuyến đa trị. Dựa trên cách tiếp cận bằng lý thuyết điểm bất động đối với ánh xạ đa trị, và bằng việc xây dựng một độ đo không compact chính quy, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một tập compact các nghiệm hút toàn cục đối với (0.2a)-(0.2c). 2
2.3. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi phân quyền một số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối Thuật ngữ hệ kết nối thường được sử dụng để chỉ các hệ điều khiển được cấu thành từ hai hay nhiều hệ đơn lẻ hoạt động đồng thời và ảnh hưởng lẫn nhau thông qua các kênh kết nối. Trong điều khiển kĩ thuật, đối với các hệ dạng kết nối, hai chiến lược điều khiển phổ biến nhất là kĩ thuật điều khiển trung tâm và điều khiển phân quyền. Trong phần thứ nhất của Chương 4 của luận án này, dựa trên bài báo [3] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định hóa các hệ dương tuyến tính dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số sau đây sau đây N X D0α xi (t) = Aii xi (t) + Aij xj (t) + Bi ui (t), t > 0, j=1,j6=i (0.3) xi (0) = xi0 ∈ Rni . Trước hết, chúng tôi tìm các điều kiện đặc trưng tính dương của hệ, tức là với mọi điều kiện ban đầu và điều khiển đầu vào không âm, quỹ đạo trạng thái của hệ luôn không âm. Từ đó, các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ đóng và các điều kiện thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền được thiết lập dưới dạng một bài toán quy hoạch tuyến tính, viết tắt là LP (linear programming). Trong phần sau của chương, dựa trên bài báo [4] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi mở rộng nghiên cứu tính ổn định hóa bền vững bằng điều khiển phân quyền đối với lớp hệ dương bậc phân số chứa trễ và tham số không chắc chắn N X D0α xi (t) = Aii xi (t) + Aij xj (t) j=1,j6=i N X (0.4) + Gij xj (t − τij (t)) + Bi ui (t), t ≥ 0, j=1,j6=i xi (s) = φi (s) ∈ Rni , s ∈ [−τi+ , 0], ở đó τij (t) là độ trễ trạng thái trong liên kết giữa hệ địa phương thứ i và thứ j , 0 ≤ τij (t) ≤ τi+ . Dựa trên tính chất đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của hệ, các điều kiện ổn định và ổn định hóa vững đối với (0.4) cũng được chúng tôi thiết lập thông qua các bài toán LP. Các điều kiện này là cần và đủ trong trường hợp các ma trận hệ số biết chắc chắn. 3
3. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án là sự kết hợp của một số phương pháp trong giải tích hàm phi tuyến, giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết điểm bất động và lý thuyết nửa nhóm toán tử. Chẳng hạn, khi nghiên cứu nội dung 1, dựa trên các biễu diễn tích phân bậc phân số và quy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số, chúng tôi phát triển kĩ thuật so sánh kiểu Lyapunov-Razumikhin để tìm kiếm các điều kiện đồng bộ của hệ. Trong một số trường hợp đặc biệt, các điều kiện đó được xác định bởi tính chất phổ của các M-ma trận. Đối với nội dung 2, lý thuyết nửa nhóm, giải tích đa trị và giải tích bậc phân số được sử dụng trong việc biểu diễn các công thức nghiệm của bài toán. Từ đó, lý thuyết độ đo không compact và lý thuyết điểm bất động được vận dụng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và nghiệm hút toàn cục. 4. Kết quả đạt được của luận án Luận án đã đạt được các kết quả sau đây: 1. Thiết lập được các điều kiện đồng bộ với tốc độ lũy thừa cho một lớp hệ phương trình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên mô tả mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ. 2. Chứng minh được sự tồn tại nghiệm trên các đoạn compact và sự tồn tại nghiệm hút toàn cục cho lớp các bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điều kiện đầu không cục bộ. 3. Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định và ổn định hóa bằng điều khiển phân quyền đối với hai lớp hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối. Các điều kiện ổn định và ổn định hóa đó được thiết lập thông qua các bài toán quy hoạch tuyến tính, cho phép ta có thể kiểm tra một cách hiệu quả bằng nhiều công cụ tính toán dựa trên các thuật toán lồi. Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 04 bài báo trên các tạp chí quốc tế có uy tín (trong danh mục ISI). 5. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương. Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị, ở đó chúng tôi 4
trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, một số định lí điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm và một số kết quả bổ trợ cho việc trình bày nội dung các chương sau của luận án. Chương 2 nghiên cứu tính đồng bộ của mạng nơron dạng Hopfield bậc phân số với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất. Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều. Và cuối cùng, Chương 4 nghiên cứu bài toán thiết kế điều khiển phân quyền đối với hai lớp hệ dương dạng kết nối mô tả bởi hệ vi phân điều khiển bậc phân số. 5
Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, một số định lí điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm và một số kết quả bổ trợ. 1.1. M-ma trận Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm và tính chất của ma trận Metzler, ma trận Hurwitz, M-ma trận. 1.2. Một số không gian hàm Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về các không gian hàm. 1.3. Lý thuyết nửa nhóm Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản về lý thuyết nửa nhóm. 1.4. Giải tích bậc phân số Cho X là một không gian Banach và L1 (0, T ; X) là không gian các hàm khả tích trên đoạn [0, T ] theo nghĩa Bochner. Định nghĩa 1.4.1. Cho trước một số thực α > 0, tích phân bậc α của hàm f ∈ L1 (0, T ; X) được định nghĩa bởi Z t 1 I0α f (t) = (t − s)α−1 f (s)ds Γ(α) 0 R∞ ở đó Γ(.) là hàm gamma Euler, Γ(α) = 0 tα−1 e−t dt. Định nghĩa 1.4.2. Cho N là một số nguyên dương. Đạo hàm Caputo bậc α ∈ (N − 1, N) của một hàm f ∈ C N ([0, T ]; X) được định nghĩa bởi Z t 1 D0α f (t) = (t − s)N −α−1 f (N ) (s)ds. Γ(N − α) 0 Đạo hàm Caputo suy rộng bậc α ∈ (0, 1) của hàm f được định nghĩa bởi Z t 1 f (s) − f (0) D0α+ f (t) = D+ ds , Γ(1 − α) 0 (t − s)α 6
ở đó D+ là đạo hàm Dini trên bên phải. Định nghĩa 1.4.3. Đạo hàm bậc α theo nghĩa Riemann-Liouville của một hàm f (.) được định nghĩa bởi Z t RL dn 1 dn f (s) D0α f (t) = n I0n−α f (t) = ds, t > 0, dt Γ(n − α) dtn 0 (t − s)α−n+1 ở đó n = ⌈α⌉ là giá trị trần của α, đó là một số nguyên thỏa mãn n − 1 < α ≤ n. Với một hàm f (.) ∈ C 1 [0, ∞) và một số thực 0 < α < 1, mối liên hệ giữa đạo hàm Riemann-Liouville RL D α f (t) 0 và đạo hàm Caputo D0α f (t) được cho bởi công thức f (0) −α D0α f (t) = RL D α f (t) − t . Γ(1 − α) Bổ đề 1.4.1 (Quy tắc Leibniz ). Với một hàm f (.) ∈ C 1 [0, ∞) và một số thực 0 < α < 1, giả sử rằng hàm ϕ(.) và mọi đạo hàm của nó liên tục trên đoạn [0, t], t > 0, ta có quy tắc Leibniz sau đây cho đạo hàm bậc phân số n ! RL X α dk ϕ(t) D α (ϕ(t)f (t)) = RL D α−k f (t) − Rnα (t), k dtk k=0 ! α ở đó n là một số nguyên n ≥ α + 1, = Γ(α+1) k!Γ(α−k+1) và k Z 1Z 1 (−1)n (t − α)n−α+1 Rnα (t) = Fα (t, u, v)dudv n!Γ(−α) 0 0 với Fα (t, u, v) = f (vt)ϕ(n+1) (t(u + v − uv)). Định nghĩa 1.4.4. Hàm Mittag-Leffler một tham số Eα (z) được định nghĩa bởi ∞ X zk Eα (z) = Γ(αk + 1) k=0 ở đó α > 0 và z là biến thực hoặc phức. Định nghĩa 1.4.5. Phép biến đổi Laplace của một hàm f (.) được cho bởi Z ∞ F (s) , L{f (.)}(s) = e−st f (t)dt. 0 Khi đó, L{D0α f (t)} = sα F (s) − sα−1 f (0). 1.5. Ánh xạ đa trị và một số định lí điểm bất động Cho X là một không gian Banach và B(X) là họ các tập con khác rỗng bị chặn của X . 7
Định nghĩa 1.5.1. Một hàm β : B(X) → R+ được gọi là một độ đo không compact (MNC) trong X nếu β(co Ω) = β(Ω) với mỗi Ω ∈ B(X), ở đó co Ω là bao lồi đóng của Ω. Hơn nữa, MNC β được gọi là: i) Đơn điệu nếu Ω0 , Ω1 ∈ B(X), Ω0 ⊂ Ω1 suy ra β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 ). ii) Không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với bất kì a ∈ X, Ω ∈ B(X). iii) Bất biến theo miền của tập compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi tập compact tương đối K ⊂ X và Ω ∈ B(X). iv) Nửa cộng tính dưới nếu β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 ) + β(Ω1 ) với bất kì Ω0 , Ω1 ∈ B(X). v) Chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω. Một ví dụ quan trọng là độ đo không compact Hausdorff χ(·): χ(Ω) = inf{ε| Ω được phủ bởi một ε-lưới hữu hạn}. Định nghĩa 1.5.2. Một ánh xạ đa trị F : Z ⊆ X → P(X) được gọi là nén theo độ đo không compact β (β -nén) nếu với mỗi tập bị chặn Ω ⊂ Z , từ β(Ω) ≤ β(F (Ω)) suy ra tính compact tương đối của Ω, ở đó P(X) là họ các tập con của X . Định lí 1.5.1. Cho X là một không gian Banach và f : X → X là một ánh xạ co, tức là kf (x) − f (y)k ≤ qkx − yk với mọi x, y ∈ X , ở đó q ∈ [0; 1). Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động. Định lí 1.5.2. Cho M là một tập con lồi đóng bị chặn của X và cho F : M → M là một ánh xạ β -nén. Khi đó, FixF := {x = F (x)} là một tập compact khác rỗng. Định lí 1.5.3. Cho M là một tập con lồi đóng bị chặn của X và F : M → Kv (M) là một ánh xạ đa trị β -nén và nửa liên tục trên. Khi đó tập các điểm bất động Fix(F ) := {x ∈ F (x)} là một tập khác rỗng và compact, với Kv (M) là các tập con lồi compact khác rỗng của M. 8
Chương 2 SỰ ĐỒNG BỘ CỦA MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính độ đồng bộ của mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ được mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên. Vận dụng quy tắc Leibniz về đạo hàm phân số và một số kĩ thuật trong nguyên lý so sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện để các quỹ đạo nghiệm của hệ là đồng bộ toàn cục với tốc độ đa thức. Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trình công bố của luận án. 2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số Xét lớp hệ vi phân bậc phân số mô tả mạng nơron Hopfield sau đây n X D0α xi (t) = − di (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n X (2.1) + bij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0, j=1 xi (0) = x0i , i ∈ [n], ở đó α ∈ (0, 1), n ∈ N là số nơron trong mạng, xi (t) ∈ Rn là biến trạng thái của nơron thứ i tại thời điểm t, Ii (t) là tín hiệu đầu vào của nơron thứ i, di (t) > 0 là tốc độ tự ức chế của nơron thứ i, aij (t), bij (t) là các trọng số kết nối giữa các nơron, fj (.), gj (.), j ∈ [n], là các hàm hoạt hóa của nơron, qij ∈ (0, 1), i, j ∈ [n], là các trễ tỉ lệ không đồng nhất và x0 = (x0i ) ∈ Rn là điều kiện đầu. Các hệ số aij (t), bij (t) và di (t) được giả thiết là các hàm liên tục trên R+ . Đồng thời, chúng tôi cũng giả thiết: (A1) fj (0) = 0, gj (0) = 0 và tồn tại các số thực không âm lf j , lgj , j ∈ [n], sao cho |fj (a) − fj (b)| ≤ lf j |a − b|, |gj (a) − gj (b)| ≤ lgj |a − b|, ∀a, b ∈ R. (2.2) Để thuận tiện, chúng tôi kí hiệu Lf = diag{lf 1 , lf 2 , . . . , lf n }, Lg = diag{lg1 , lg2 , . . . , lgn}. Nhận xét 2.1.1. Với giả thiết (A1), hàm F : R+ × Rn × Rn×n → Rn Xn Xn Fi (t, u, v) = −di (t)ui + aij (t)fj (uj ) + bij (t)gj (vij ) + Ii (t), j=1 j=1 9
ở đó F (t, u, v) = (Fi (t, u, v)), u = (ui ) ∈ Rn và v = (vij ) ∈ Rn×n , là hàm liên tục và Lipschitz địa phương trên R+ × Rn × Rn×n . Do đó, với mỗi vectơ ban đầu x0 ∈ Rn , tồn tại duy nhất một nghiệm x(t) = x(t, x0 ) của hệ (2.1) xác định trên [0, ∞). Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1) được gọi là đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa nếu tồn tại các hằng số γ > 0, β ≥ 1 sao cho bất kì hai nghiệm x1 (t) và x2 (t) của (2.1) tương ứng với điều kiện đầu x01 và x02 thỏa mãn đánh giá sau kx01 − x02 k∞ kx1 (t) − x2 (t)k∞ ≤ β , ∀t ≥ 0. (1 + t)γ Ta gọi số γ là tốc độ đồng bộ lũy thừa của hệ (2.1). Nhận xét 2.1.2. Đánh giá đưa ra trong Định nghĩa 2.1.1 chỉ ra tính hút với tốc độ lũy thừa của một nghiệm cố định x1 (t) bất kì. Tính chất này được gọi là O(t−γ ) ổn định trong một công trình công bố gần đây của các tác giả khác. Trong lý thuyết các mô hình mạng, khái niệm đồng bộ được sử dụng phổ biến hơn để chỉ tính chất hội tụ của hai quỹ đạo trạng thái bất kì của cùng một mạng hoặc hai mạng có cấu trúc tương đồng. Vì vậy, ở đây chúng tôi sử dụng khái niệm đồng bộ với tốc độ lũy thừa. 2.2. Sự đồng bộ nghiệm Để phân tích tính đồng bộ của mô hình (2.1), chúng tôi xét điều kiện. Điều kiện (C1): Tồn tại số thực r > 0 và một vectơ ν = (νi ) ∈ Rn , ν ≻ 0, thỏa mãn n νi (1 − α + α2 ) X lgj −νi di (t) + α + lf j |aij (t)| + α |bij (t)| νj ≤ 0, ∀i ∈ [n]. (2.3) r Γ(2 − α) qij j=1 1 − α + α2 Nhận xét 2.2.1. Với bất kì α ∈ (0, 1), → 0 khi r → ∞ nên một điều kiện r α Γ(2 − α) đủ cho sự tồn tại của hằng số r > 0 trong (2.3) là n X lgj −νi di (t) + lf j |aij (t)| + |bij (t)| νj ≤ −ǫ qij j=1 với một ǫ > 0 nào đó. Điều kiện trên đây độc lập với bậc α ∈ (0, 1). 1 − α + α2 Nhận xét 2.2.2. Với α ∈ (0, 1), là một hàm lõm, đơn điệu giảm khi α ∈ Γ(2 − α) 3 1 − α + α2 (0, 1/2) và tăng khi α ∈ (1/2, 1) nên √ ≤ < 1 với mọi α ∈ (0, 1). Do đó, 2 π Γ(2 − α) nếu (2.3) được thỏa mãn với một α∗ cố định và r∗ > 0 (ở đó qijα được thay bởi qij như đề cập trong Nhận xét 2.2.1) thì (2.3) thỏa mãn với bất kì α ∈ [α∗ , 1). Hằng số r có thể chọn bởi √ 1/α∗ 2 π r> max{1, r∗ }. 3 10
Kết quả chính của mục này được trình bày trong định lí dưới đây. Định lí 2.2.1. Giả sử giả thiết (A1) và điều kiện (C1) được thỏa mãn. Khi đó, hệ (2.1) là đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa. Cụ thể, bất kỳ nghiệm x1 (t) và x2 (t) của (2.1) tương ứng với các điều kiện đầu x01 và x02 thỏa mãn đánh giá 0 − x02 k∞ α kx1 kx1 (t) − x2 (t)k∞ ≤ C ν rm , t ≥ 0, (2.4) (1 + t)α ở đó Cν = ν u νl−1 , ν u = maxi∈[n] νi , νl = mini∈[n] νi và rm = 21 (r + 1 + |r − 1|). Nhận xét 2.2.3. Phương pháp chúng tôi sử dụng trong mục này có thể áp dụng cho mô hình hệ nơron bậc phân số với trễ biến thiên bị chặn dạng sau đây: n X D0α xi (t) = −ci (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n X + bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), i ∈ [n], (2.5) j=1 với τij (t), i, j ∈ [n], là trễ biến thiên trong đoạn [0, τ ], τ = maxi,j∈[n] supt≥0 τij (t). Bằng các lập luận tương tự trong chứng minh Định lí 2.2.1 ta thu được kết quả về tính đồng bộ của hệ (2.5). Bây giờ chúng ta xét một trường hợp hạn chế hơn của (C1). Giả sử rằng: (A2) Tồn tại các hằng số di , aij và bij , i, j ∈ [n], sao cho di (t) ≥ di > 0, |aij (t)| ≤ aij , |bij (t)| ≤ bij , ∀t ≥ 0, i, j ∈ [n]. Khi đó, điều kiện (2.3) có thể được đơn giản hóa như sau n X lgj νi (1 − α + α2 ) −νi di + lf j aij + b α ij νj + ≤ 0. (2.6) qij r α Γ(2 − α) j=1 Hệ quả 2.2.2. Với các giả thiết (A1) và (A2), giả sử tồn tại một vectơ ν ∈ Rn , ν ≻ 0, sao cho Mν ≺ 0, ở đó M = Lf A + Lg B − D , A = (aij ), B = qij −α bij và D = diag{d1 , d2 , . . . , dn }. Khi đó, hệ (2.1) là đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa. Nhận xét 2.2.4. Vì −M là một M-ma trận, điều kiện đồng bộ của mô hình (2.1) cho trong Hệ quả 2.2.2 có thể kiểm tra bằng nhiều tiêu chuẩn khác nhau, chẳng hạn như các điều kiện trong Mệnh đề 1.1.2. 11
Chương 3 NGHIỆM HÚT TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ KIỂU SOBOLEV TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về một lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều. Dựa trên cách tiếp cận bằng các độ đo không compact và định lí điểm bất động của ánh xạ nén, trước tiên chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân trên khoảng hữu hạn. Sau đó chúng tôi thiết lập các điều kiện và chứng minh sự tồn tại một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn cục của bài toán và cuối cùng đưa ra một ví dụ áp dụng đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng bậc phân số để minh họa cho các kết quả lý thuyết. Nội dung của chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố. 3.1. Sự tồn tại nghiệm trên khoảng thời gian hữu hạn Cho X là một không gian Banach. Xét một lớp bao hàm thức vi phân kiểu Sobolev sau đây: D0α Bu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t 6= tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (3.1) ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (3.2) u(0) = g(u), (3.3) ở đó α ∈ (0, 1), A và B là những toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong X , Λ ⊂ N và toán tử xung ∆u(tk ) = u(t+ k ) − u(tk ). Các hàm phi tuyến F , g và Ik sẽ được − chỉ rõ trong các mục sau. Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (3.1)-(3.3), chúng tôi xét các điều kiện sau: (A) AB −1 là toán tử sinh của một C0 - nửa nhóm {T (t)}t≥0 liên tục theo chuẩn. (F) F : [0, T ] × X → Kv (X), họ các tập con lồi compact khác rỗng của X , là một ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện: 1. Với mỗi v ∈ X , ánh xạ đa trị F (·, v) có hàm chọn đo được mạnh và ánh xạ đa trị F (t, ·) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ (0, T ); 12
2. Tồn tại các hàm m ∈ Lp (0, T ), p > 1 α và ΨF là một hàm thực liên tục không giảm sao cho kF (t, v)k ≤ m(t)ΨF (kvk), ∀v ∈ X, và với hầu khắp t ∈ (0, T ), ở đây kF (t, v)k = sup{kξk : ξ ∈ F (t, v)}; 3. Nếu B −1 và T (·) không compact thì với bất kì tập con bị chặn D ⊂ X , χ(F (t, D)) ≤ k(t)χ(D) với hầu khắp t ∈ (0, T ), ở đó k ∈ Lp (0, T ) là một hàm không âm. (G) Hàm không cục bộ g : PC([0, T ]; X) → D(B) thỏa mãn các điều kiện: 1. Bg : PC([0, T ]; X) → X liên tục và kBg(u)k ≤ Ψg (kukPC ), ∀u ∈ PC([0, T ]; X), ở đó Ψg là một hàm liên tục không giảm trên R+ ; 2. Tồn tại η ≥ 0 sao cho χ(Bg(D)) ≤ ηχPC (D) với mọi tập bị chặn D ⊂ PC([0, T ]; X). (I) Toán tử Ik : X → D(B) thỏa mãn: 1. BIk : X → X liên tục và tồn tại một hàm thực liên tục không giảm ΨI và một dãy không âm {lk }k∈Λ sao cho kBIk (x)k ≤ lk ΨI (kxk) với mọi x ∈ X, k ∈ Λ; 2. Tồn tại một dãy không âm {µk }k∈Λ sao cho χ(BIk (D)) ≤ µk χ(D) với mọi tập con bị chặn D ⊂ X ; 3. Dãy {tk }k∈Λ thỏa mãn inf k∈Λ {tk+1 − tk } > 0. Với u ∈ PC([0, T ]; X), ta định nghĩa PFp (u) = {f ∈ Lp (0, T ; X) : f (t) ∈ F (t, u(t))}. Định nghĩa 3.1.1. Hàm u ∈ PC([0, T ]; X) được gọi là một nghiệm tích phân của bài toán (3.1)-(3.3) trên đoạn [0, T ] nếu tồn tại một hàm f ∈ PFp (u) sao cho X u(t) = Sα (t)Bg(u) + Sα (t − tk )BIk (u(tk )) 0
Tiếp theo, chúng tôi định nghĩa toán tử nghiệm F : PC([0, T ]; X) → P(PC([0, T ]; X)) như sau X F (u)(t) = Sα (t)Bg(u) + Sα (t − tk )BIk (u(tk )) 0
ở đó SαT = supt∈[0,T ] kSα (t)k, thì bài toán (3.1)-(3.3) có ít nhất một nghiệm tích phân trong PC([0, T ]; X). 3.2. Tập nghiệm hút toàn cục Trong mục này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại một tập compact các nghiệm tích phân hút toàn cục đối với bài toán (3.1)-(3.3). Xét không gian Banach PC 0 , ta định nghĩa ánh xạ đa trị PFp (u), với u ∈ PC([0, ∞); X), bởi PFp (u) = f ∈ Lploc (R+ ; X) : f (t) ∈ F (t, u(t)) với hầu khắp t ∈ R+ . Kí hiệu πT là ánh xạ thu hẹp trên không gian PC 0 , tức là, πT (x) là thu hẹp của x trên [0, T ]. Khi đó hàm χ∞ (D) = sup χPC (πT (D)) (3.10) T >0 là một độ đo không compact trên PC 0 , ở đó χPC là độ đo không compact Hausdorff trên PC([0, T ]; X). Tuy nhiên, độ đo χ∞ không chính quy. Ta sẽ định nghĩa một MNC chính quy trên không gian này. Đặt dT (D) = sup sup kx(t)k, (3.11) x∈D t≥T d∞ (D) = lim dT (D), (3.12) T →∞ χ∗ (D) = χ∞ (D) + d∞ (D). (3.13) Bổ đề 3.2.1. Độ đo χ∗ , định nghĩa ở (3.13), là một độ đo không compact chính quy trên PC 0 . Để chứng minh sự tồn tại của nghiệm hút toàn cục đối với bài toán (3.1)-(3.3), các điều kiện (A), (F), (G) và (I) được thay bởi các điều kiện dưới đây. (A*) Nửa nhóm {T (t)}t≥0 thỏa mãn (A) và các họ toán tử {Sα (t), Pα (t)}t≥0 là ổn định tiệm cận, tức là lim kSα (t)k = 0, lim kPα (t)k = 0. t→∞ t→∞ (F*) F : R+ × X → Kv (X) thỏa mãn (F) với mọi T > 0, m, k ∈ Lploc (R+ ) và ΨF (r) ≤ r với mọi r ≥ 0. (G*) Hàm g : PC([0, +∞); X) → D(B) thỏa mãn (G) với bất kì T > 0. P P (I*) Hàm bước nhảy Ik : X → D(B) thỏa mãn (I) với k∈Λ lk < ∞ và k∈Λ µk < ∞. 15
Bổ đề 3.2.2. Giả sử các điều kiện (A*), (F*), (G*), (I*) được thỏa mãn. Thêm nữa, tồn tại δ ∈ (0, 1) sao cho Z δt ϑ = sup kPα (t − s)k m(s)ds < ∞, (3.14) t>0 0 Z t κ = sup (t − s)α−1 kPα (t − s)k m(s)ds < ∞. (3.15) t>0 δt Khi đó, F (PC 0 ) ⊂ PC 0 . Bổ đề 3.2.3. Giả sử các điều kiện (A*), (F*), (G*) và (I*) được thỏa mãn. Khi đó, nếu ϑ < ∞, max{κ, ℓ} < 1, các hằng số ϑ và κ được cho bởi (3.14)-(3.15), và X Z t ℓ= η+ µk Sα∞ + 4 sup (t − s)α−1 kPα (t − s)kχ k(s)ds, (3.16) t>0 0 k∈Λ thì F là χ∗ −nén trên PC 0 . Kết quả chính trong mục này được trình bày ở định lí dưới đây. Định lí 3.2.4. Giả sử các điều kiện (A*), (F*), (G*) và (I*) được thỏa mãn. Hơn nữa, giả sử rằng ϑ < ∞, max{ℓ, ρ} < 1, hằng số ϑ và ℓ tương ứng được cho ở (3.14) và (3.16), và X 1 ρ = lim inf Ψg (r) + ΨI (r) lk Sα∞ r→∞ r k∈Λ Z t + sup (t − s)α−1 kPα (t − s)km(s)ds. (3.17) t>0 0 Khi đó, bài toán (3.1)-(3.3) có một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn cục. Hệ quả 3.2.5. Giả sử (A*), (F*), (G*) và (I*) đúng và Ψg (r) ≤ r, ΨI (r) ≤ r, ∀r > 0. R δt Khi đó, nếu max{ℓ0 , κ0 } < 1 và ϑ = sup 0 kPα (t − s)km(s)ds < ∞, với t>0 X Z t ℓ0 = 1 + lk Sα∞ + sup (t − s)α−1 kPα (t − s)km(s)ds, (3.18) t>0 0 k∈Λ X Z t κ0 = η + µk Sα∞ + 4 sup (t − s)α−1 kPα (t − s)kχ k(s)ds, (3.19) t>0 0 k∈Λ ở đó Sα∞ = supt≥0 kSα (t)k, thì bài toán (3.1)-(3.3) có một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn cục. 3.3. Ứng dụng Cho Ω ⊂ RN là một miền trơn, bị chặn. Xét bài toán ∂tα u(t, x) − ∂tα ∆x u(t, x) − ∆x u(t, x) = f (t, x), (3.20) 16
f (t, x) ∈ co{f1 (t, u(t, x)), . . . , fm (t, u(t, x))}, x ∈ Ω, 0 < t 6= tk , k ∈ N, (3.21) u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (3.22) Z u(t+ − k , x) = u(tk , x) + Hk (x, y)u(tk , y)dy, x ∈ Ω, (3.23) Ω Z bZ u(0, x) = v(x) + G(s, x, y)u(s, y)dyds, x ∈ Ω, (3.24) 0 Ω ở đó ∂tα , α ∈ ( 12 , 1), là đạo hàm Caputo theo t, ∆x là toán tử Laplace theo x, và m nX m X o co{f1 , . . . , fm } = µi fi : µi ≥ 0, µi = 1 . i=1 i=1 Kí hiệu X = L2 (Ω), A = ∆ với D(A) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Gọi {λn }n≥1 là dãy các giá trị riêng của −A với các vectơ riêng tương ứng {en }n≥1 . Khi đó, 0 < λ1 < λ2 < · · · < λn < · · · và λn → ∞ khi n → ∞. Hơn nữa, ∞ X Au = − λn hu, en ien , n=1 ở đó h·, ·i là kí hiệu tích vô hướng trong X . Bây giờ ta xét B = I − ∆ với D(B) = D(A). Khi đó, nửa nhóm T (·) sinh bởi AB −1 có thể biểu diễn ở dạng ∞ X −λn T (t)u = e 1+λn t hu, enien . n=1 Rõ ràng, kT (t)k ≤ e−βt , t ≥ 0, với β = λ1 1+λ1 > 0. Do đó các toán tử nghiệm đặc trưng Sα (·), Pα (·) là ổn định tiệm cận và điều kiện (A*) được thỏa mãn. Ánh xạ F : R+ × X → P(X) xác định bởi F (t, v)(x) = co{f1 (t, v(x)), . . . , fm (t, v(x))} với fi : R+ × R → R, i = 1, . . . , m, là các hàm liên tục thỏa mãn |fi (t, z)| ≤ m(t)|z|, ∀(t, z) ∈ R+ × R, (3.25) ở đây m ∈ BC(R+ ; R+ ), không gian các hàm liên tục bị chặn trên R+ , và thỏa mãn I0α m ∈ BC(R+ ; R+ ), tức là I0α m(t) = O(1) khi t → ∞. (3.26) Khi đó điều kiện (F*) được thỏa mãn vì theo (3.25) ta có kF (t, v)k ≤ m(t)kvk. Xét các hàm bước nhảy Ik được định nghĩa bởi Z Ik (v)(x) = Hk (x, y)v(y)dy. Ω 17
Giả sử Hk : Ω × Ω → R, k = 1, 2, . . . là các hàm đo được sao cho Hk và ∆x Hk thuộc L2 (Ω × Ω). Kí hiệu hk (x, y) = Hk (x, y) − ∆x Hk (x, y) thì khi đó Z BIk (v)(x) = hk (x, y)v(y)dy, Ω là một toán tử Hilbert-Schmidt. Nói riêng, BIk là toán tử compact. Suy ra Ik thỏa mãn điều kiện (I)(2) với µk = 0. Thêm nữa, Ik thỏa mãn (I)(1) với lk = khk kL2 (Ω×Ω) , ΨI (r) = r, ∀r ≥ 0. P∞ Vì vậy điều kiện (I*) được thỏa mãn nếu k=1 lk < ∞. Với hàm không cục bộ, đặt Z bZ g(w)(x) = v(x) + G(s, x, y)w(s, y)dyds, w ∈ PC([0, +∞); X). 0 Ω Chúng tôi giả thiết rằng v ∈ H 2 (Ω) và G : [0, b] × Ω × Ω → R là một hàm đo được với G(t, ·, ·), ∆xG(t, ·, ·) ∈ L2 (Ω × Ω). Khi đó, bằng cách đặt ˜ x, y) = (I − ∆x )G(s, x, y) G(s, ta có Z b kBg(w)k ≤ kvkH 2 + ˜ ·, ·)k 2 kG(s, L (Ω×Ω) ds kwk∞ 0 nên (G)(1) được thỏa mãn với Z b Ψg (r) = kvkH 2 + ˜ ·, ·)kL2(Ω×Ω) ds r. kG(s, 0 Vì toán tử K , định nghĩa bởi Z K(v)(x) = ˜ x, y)v(y)dy, G(s, Ω là một toán tử Hilbert-Schmidt với mỗi s ∈ [0, b] cố định, ta thấy rằng với bất kỳ tập bị chặn D ∈ PC([0, ∞); X), K(D(s)) là tập compact tương đối trong X . Do Rb vậy tập Bg(D) = Bv + 0 K(D(s))ds cũng là tập compact tương đối do χ(Bg(D)) ≤ Rb 4 0 χ(K(D(s)))ds = 0. Chứng tỏ (G)(2) được thỏa mãn với η = 0. Cuối cùng, chúng tôi chỉ ra các điều kiện trong Định lí 3.2.4 được thỏa mãn và bài toán (3.20)-(3.24) có một tập compact các nghiệm hút toàn cục nếu Z b ∞ ! X ρ= ˜ ·, ·)k 2 kG(s, Sα∞ + φ∞ < 1. L (Ω×Ω) ds + khk kL2 (Ω×Ω) 0 k=1 18