Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học "Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức" có mục đích là tính chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford và đặc trưng tính level của một số lớp ideal đơn thức theo cấu trúc dữ liệu tổ hợp của ideal.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— PHAN THỊ THỦY CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ TÍNH LEVEL CỦA MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2021
Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Công Minh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Quốc Thắng Viện Toán học Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Thị Dung Trường Đại học Nông Lâm - Đại học Thái Nguyên Phản biện 3: TS. Lưu Bá Thắng Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ..... giờ ..... ngày ...... tháng ...... năm 20..... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Cho R = K[x1 , . . . , xn ] là một vành đa thức trên trường K và I là một ideal thuần nhất thực sự của vành R. Theo định lí syzygy của Hilbert, R/I có giải tự do phân bậc tối tiểu độ dài hữu hạn dạng: βp (R/I) β1 (R/I) M M F : 0 −→ R(−dp,j ) −→ · · · −→ R(−d1,j ) −→ R j=1 j=1 −→ R/I −→ 0, trong đó p là chiều xạ ảnh của R-module R/I . Số β1 (R/I) là số phần tử sinh tối tiểu của ideal I và các số Betti βi (R/I) là số phần tử sinh tối tiểu của module syzygy thứ i của R/I. Các số di,1 , . . . , di,βi (R/I) là bậc của các phần tử thuần nhất trong một hệ sinh tối tiểu (gọi tắt là bậc sinh) của module syzygy thứ i. Về mặt tổng quát, giải tự do phân bậc tối tiểu F của R/I vẫn chưa được biết. Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số thông tin về giải tự do phân bậc tối tiểu F theo cấu trúc tổ hợp của ideal đơn thức I , cụ thể là tính level và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Hướng nghiên cứu thứ nhất trong luận án này liên quan đến tính level của vành thương của vành đa thức cho một ideal đơn thức. Khái 1
2 niệm của tính level được R. Stanley giới thiệu vào năm 1977 để nghiên cứu đặc điểm các h-vectơ của các vành Cohen-Macaulay. Vành R/I là một vành level nếu và chỉ nếu nó là một vành Cohen-Macaulay và module tự do cuối cùng trong giải tự do phân bậc tối tiểu của R-module R/I được sinh cùng bậc. Vì vậy khi R/I là một vành level, số Betti cuối cùng của R/I là hệ số của bậc cao nhất của đa thức tử số của chuỗi Hilbert của nó. Mục tiêu của luận án này là tìm những điều kiện cần hoặc/và những điều kiện đủ để R/I là một vành level theo tính chất tổ hợp của I . Hướng nghiên cứu thứ hai trong luận án liên quan đến chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của một số lớp ideal đơn thức. Khái niệm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford được bắt nguồn từ những công trình về đường cong xạ ảnh của G. Castelnuovo và được D. Mumford phát biểu định nghĩa cho các đa tạp xạ ảnh. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, đặt:  max{j | Hmi (R/I)j 6= 0}  nếu Hmi (R/I) 6= 0 ai (R/I) = nếu Hmi (R/I) = 0,  −∞ trong đó Hmi (R/I) là module đối đồng điều địa phương thứ i của R/I với giá là ideal thuần nhất cực đại m = (x1 , . . . , xn ). Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R/I được định nghĩa là số reg(R/I) = max{ai (R/I) + i | 0 ≤ i ≤ dim(R/I)}. Mối liên hệ giữa khái niệm này và bậc sinh của các module syzygy
3 của R/I được thiết lập bởi D. Eisenbud và S. Goto. Cụ thể, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R/I được tính bởi công thức reg(R/I) = max{di,j − i | i = 1, . . . , p và j = 1, . . . , βi (R/I)}. Như vậy chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford vừa là một chặn trên của bậc không triệt tiêu của các module đối đồng điều địa phương với giá là ideal thuần nhất cực đại, vừa được sử dụng để chặn trên các bậc sinh của các module syzygy trong giải tự do phân bậc tối tiểu của R/I . Luận án này quan tâm tới vấn đề tính chỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford của các lớp ideal đơn thức đặc biệt theo cấu trúc tổ hợp tương ứng của chúng. Tóm lại, luận án của chúng tôi, với tiêu đề: “Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford và tính level của một số lớp ideal đơn thức”, hòa vào dòng chảy nghiên cứu các tính chất đại số của một ideal đơn thức theo dữ liệu tổ hợp ban đầu. Đây là một hướng nghiên cứu đã và đang phát triển mạnh mẽ trong Đại số giao hoán tổ hợp. 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận án là tính chỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford và đặc trưng tính level của một số lớp ideal đơn thức theo cấu trúc dữ liệu tổ hợp của ideal. 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu cụ thể của luận án gồm: các ai − bất biến, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford, các số Betti, các số Betti phân
4 bậc và tính level của một số lớp ideal đơn thức đặc biệt trong vành đa thức R = K[x1 , . . . , xn ] với K là một trường. Lớp ideal đầu tiên mà luận án nghiên cứu là các lũy thừa thường và các lũy thừa hình thức của ideal Stanley-Reisner: Cho ∆ là một phức đơn hình trên [n] = {1, . . . , n}. Ideal Stanley-Reisner I∆ của ∆ (trên K) là ideal của R được sinh bởi các đơn thức không chứa mũ xi1 . . . xip sao cho {i1 , . . . , ip } ∈ / ∆. Từ định nghĩa, ta biết rằng I∆ có phân tích T nguyên sơ I∆ = (xi | i 6∈ F ), trong đó F(∆) là tập tất cả các F ∈F(∆) mặt cực đại của ∆. Khi đó với t ≥ 1, lũy thừa hình thức thứ t của I∆ (t) (xi | i 6∈ F )t . T được xác định bởi I∆ = F ∈F(∆) Lớp ideal thứ hai mà luận án nghiên cứu là các ideal trong lớp (xk | k 6= i, j)wi,j , T Cn (α, β), tức là các ideal của vành R có dạng 1≤i β > 0. (t) Phạm vi nghiên cứu của luận án là đặc trưng tính level của R/I∆ và t theo ∆ với một số nguyên t ≥ 3 nào đó; nghiên cứu tính level và R/I∆ chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của một ideal trong lớp Cn (α, β) theo cấu trúc tổ hợp của đồ thị {{i, j} | wi,j = α, 1 ≤ i < j ≤ n}. 4 Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng công thức Takayama mô tả cấu trúc phân bậc của các module đối đồng điều địa phương và phức đơn hình Koszul dưới cho việc tính toán các số Betti đa phân bậc.
5 5 Những đóng góp mới của luận án Luận án đóng góp những kết quả mới về chỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford, tính level và số Betti của các ideal đơn thức như sau: Đặc trưng được tính level của lũy thừa thường và lũy thừa hình thức thứ t của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình với t ≥ 3. Với t = 2, luận án đưa ra câu trả lời trong trường hợp phức đơn hình là một phức matroid chiều 1. Đặc trưng được hoàn toàn tính level cho một ideal I bất kì thuộc lớp Cn (α, β). Hơn nữa, luận án cũng tính số Betti cuối cùng của R/I khi nó là level. Đưa ra các công thức cho a1 (R/I), a2 (R/I) và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R/I với mỗi ideal I thuộc Cn (α, β). 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án Các kết quả đạt được trong luận án sẽ góp phần làm phong phú thêm các thông tin về giải tự do phân bậc tối tiểu, số Betti, tính level và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của các ideal đơn thức. 7 Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, danh sách hình vẽ, bảng các kí hiệu, bảng thuật ngữ, luận án gồm 4 chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức đã biết liên quan đến các đối tượng được nghiên cứu trong luận án.
6 Chương 2. Tính level của các lũy thừa của ideal Stanley- Reisner. Chương này được trình bày trong ba mục. Mục 2.1 dành để trình bày một vài nhóm đồng điều rút gọn không triệt tiêu. Mục 2.2 đặc trưng tính level cho lũy thừa thường và lũy thừa hình thức thứ t của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình với một số t ≥ 3 nào đó (Định lí 2.4). Trong Mục 2.3, chúng tôi nghiên cứu tính level của lũy thừa hình thức thứ 2 của ideal Stanley-Reisner của một phức matroid chiều 1 (Định lí 2.12). Chương 3. Tính level của ideal đơn thức trong lớp Cn (α, β). Chương này gồm ba mục. Trong mục đầu tiên, chúng tôi chỉ ra một số bậc không triệt tiêu của số Betti phân bậc thứ n − 2 của R/I với một ideal I ∈ Cn (α, β) . Mục thứ hai đặc trưng tính level của R/I trong trường hợp (α, β) = (2, 1) (Định lí 3.12). Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu tính level của R/I trong trường hợp (α, β) 6= (2, 1) (Định lí 3.18), và tính số Betti cuối cùng của R/I khi nó là level (Định lí 3.19). Chương 4. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của ideal đơn thức trong lớp Cn (α, β). Chương này chia thành 3 mục. Mục 4.1 xác định giá trị của a1 (R/I) (các Định lí 4.3. 4.4, 4.5, 4.6, 4.7) với mỗi I ∈ Cn (α, β). Trong Mục 4.2, chúng tôi thiết lập các công thức cho a2 (R/I) (Định lí 4.11) và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(R/I) (Định lí 4.12). Mục 4.3 đưa ra một điều kiện để ideal trong lớp Cn (α, β) có giải tự do tuyến tính.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số vấn đề cơ bản liên quan đến các đối tượng được đề cập trong luận án. 1.1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford 1.2 Vành level 1.3 Phức đơn hình 1.4 Nhóm đồng điều rút gọn 1.5 Công thức Takayama 1.6 Phức đơn hình Koszul dưới 1.7 Matroid 1.8 Ideal Stanley-Reisner Trong toàn bộ luận án, ta luôn xét R = K[x1 , . . . , xn ] là một vành đa thức trên trường K và m = (x1 , . . . , xn ) là ideal thuần nhất cực đại của R. 7
Chương 2 Tính level của các lũy thừa của ideal Stanley-Reisner Cho ∆ là một phức đơn hình trên tập đỉnh [n] và I∆ là ideal Stanley- Reisner của nó. Các điều kiện cần và các điều kiện đủ của tính Cohen- Macaulay của I∆ theo ∆ được cho bởi G. Reisner. Do đó tính level trong trường hợp này được biết thông qua công thức Hochster. t và R/I (t) Trong chương này, chúng tôi đặc trưng tính level của R/I∆ ∆ với một số nguyên t ≥ 3 nào đó. Với t = 2, chúng tôi đưa ra một điều (2) kiện cho tính level của R/I∆ khi ∆ là một phức matroid chiều 1. 2.1 Một vài nhóm đồng điều rút gọn không triệt tiêu Trong mục này, chúng tôi trình bày một số nhóm đồng điều rút gọn không triệt tiêu. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong đánh giá một số bậc không triệt tiêu của các số Betti cuối cùng của các lũy thừa hình thức của một ideal Stanley-Reisner. 8
9 2.2 Trường hợp số mũ t ≥ 3 Cho ∆ là một phức đơn hình chiều (d − 1) ≥ 0 trên tập đỉnh [n]. (t) Trong phần này, chúng tôi sẽ đặc trưng tính level của R/I∆ với một số t ≥ 3 nào đó. Ta biết rằng nếu I∆ là ideal Stanley-Reisner của một phức matroid ∆ thì các circuit của ∆ tương ứng với các phần tử sinh tối tiểu của (t) I∆ . Từ tính level của một lũy thừa hình thức R/I∆ với t ≥ 2, ta luôn nhận được điều kiện rằng I∆ được sinh cùng bậc như sau. Định lí 2.3. Cho ∆ là một phức matroid chiều d − 1 ≥ 0 và I∆ là (t) ideal Stanley-Reisner của ∆. Nếu R/I∆ là một vành level với một t ≥ 2 nào đó thì mọi circuit của ∆ có cùng số phần tử. Kết quả chính của đầu tiên của chương này là đặc trưng tính level (t) t với số mũ t ≥ 3. của R/I∆ và R/I∆ Định lí 2.4. Cho ∆ là một phức đơn hình chiều d − 1 ≥ 0 và I∆ là ideal Stanley-Reisner của ∆. Khi đó các khẳng định sau là tương đương. t là một vành level với mọi t ≥ 1. (1) R/I∆ t là một vành level với một t ≥ 3 nào đó. (2) R/I∆ (t) (3) R/I∆ là một vành level với mọi t ≥ 1. (t) (4) R/I∆ là một vành level với một t ≥ 3 nào đó. (5) ∆ là một phức matroid mà các circuit của nó có cùng số phần tử và đôi một rời nhau.
10 Chúng tôi cũng lưu ý rằng tồn tại các phức đơn hình ∆ mà lũy thừa hình thức thứ hai của nó là level nhưng lũy thừa thường thứ hai không phải là level (xem ví dụ trong phần tiếp theo). 2.3 Trường hợp số mũ t = 2 Mục đích chính của phần này là đặc trưng tính level của lũy thừa hình thức thứ hai của I∆ khi ∆ là một phức matroid chiều 1. Khi đó các mặt cực đại của ∆ được xem như là các cạnh của một đồ thị đơn trên tập đỉnh [n]. Do đó ∆ có thể được coi là một đồ thị matroid. Kết quả chính trong phần này được phát biểu trong định lí dưới đây. Định lí 2.12. Cho ∆ là một đồ thị matroid trên tập đỉnh [n] với (2) n ≥ 2. Khi đó R/I∆ là một vành level nếu và chỉ nếu ∆ là một đồ thị đầy đủ hoặc một đồ thị hai phần đầy đủ. Ví dụ sau đây chỉ ra một phức đơn hình không phải là một phức matroid nhưng lũy thừa hình thức thứ hai của ideal Stanley-Reisner của nó vẫn là level. Ví dụ 2.13 (ii). Cho n = 10 và ∆ là một phức đơn hình với F(∆) = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 7}, {3, 8}, {4, 9}, {5, 10}, {6, 8}, {6, 9}, {7, 9}, {7, 10}, {8, 10}}. Ta có thể xem ∆ như là đồ thị Petersen
11 (2) Sử dụng Macaulay2, R/I∆ có giải tự do phân bậc tối tiểu 0 → R(−11)90 −→ R(−10)684 −→ R(−9)2240 −→ R(−8)4095 −→ R(−6)5 ⊕ R(−7)4500 −→ R(−5)60 ⊕ R(−6)2945 −→ R(−4)75 ⊕ R(−5)1068 −→ R(−3)30 ⊕ R(−4)165 −→ R (2) −→ R/I∆ → 0. (2) Từ đó suy ra R/I∆ là một vành level. Hơn nữa, sử dụng Macaulay2, 2 là ta cũng nhận được giải tự do phân bậc tối tiểu của R/I∆ 0 → R(−13)20 −→ R(−12)210 −→ R(−11)1080 −→ R(−10)3444 −→ R(−9)7280 −→ R(−8)10395 −→ R(−7)9960 −→ R(−6)6180 −→ R(−5)2268 −→ R(−4)380 −→ R −→ R/I∆ 2 → 0. 2 không là một vành Cohen-Macaulay. Vì vậy R/I 2 không Do đó R/I∆ ∆ là một vành level. Qua ví dụ trên, ta cũng thấy được rằng tính level của lũy thừa thường và lũy thừa hình thức thứ hai của ideal Stanley-Reisner là khác nhau.
Chương 3 Tính level của ideal đơn thức trong lớp Cn(α, β) Cho I là một ideal của vành đa thức R có dạng: w \ I= Pi,ji,j , 1≤i β > 0. Đặt G = {{i, j} | wi,j = α, 1 ≤ i < j ≤ n}. Ta có thể coi G là một đồ thị đơn không có đỉnh cô lập với tập đỉnh V (G) ⊆ [n] và tập cạnh E(G) = {{i, j} | {i, j} ∈ G}. Trong chương này, chúng tôi đặc trưng tính level của R/I theo cấu trúc của đồ thị G với I ∈ Cn (α, β). Rõ ràng rằng nếu n = 2, 3 thì R/I luôn là level (kể cả khi wi,j ∈ N với mọi 1 ≤ i < j ≤ n). Hơn nữa, nếu G = ∅ hoặc G là một đồ thị đầy đủ với V (G) = [n] thì I là một lũy thừa hình thức của ideal Stanley- Reisner của một phức đơn hình chiều 1 đầy đủ trên tập đỉnh [n]. Khi 12
13 đó tính level của R/I đã được giải quyết. Trong chương này, ta giả thiết rằng các điều kiện sau được thỏa mãn. (1) n ≥ 4; (2) G 6= ∅; (3) Nếu G là một đồ thị đầy đủ thì V (G) 6= [n]. 3.1 Một số bậc không triệt tiêu của số Betti phân bậc thứ (n − 2) Trong phần này, chúng tôi đưa ra các bổ đề cho biết một số bậc không triệt tiêu của số Betti cuối cùng của R/I . Đây là những kết quả được sử dụng để chứng minh các định lí chính của chương này. 3.2 Trường hợp (α, β) = (2, 1) Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu tính level của R/I với một ideal I ∈ Cn (2, 1). Chúng tôi nhận được kết quả chính như sau. Định lí 3.12. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (2, 1). Khi đó R/I là một vành level nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn: (1) n ≥ 4 và G là một đồ thị hai phần đầy đủ với V (G) = [n]; (2) n = 4 và G là một cặp cạnh rời nhau. 3.3 Trường hợp (α, β) 6= (2, 1) Mục đích của phần này là đặc trưng tính level của R/I trong trường hợp (α, β) 6= (2, 1) và tính số Betti cuối cùng của R/I khi nó là một vành level.
14 Kết quả chính đầu tiên của phần này là đưa ra một đặc trưng cho tính level của một ideal I ∈ Cn (α, β) khi (α, β) 6= (2, 1). Định lí 3.18. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β) với (α, β) 6= (2, 1). Khi đó R/I là một vành level nếu và chỉ nếu n = 4, β = 1 và G là một đồ thị hai phần đầy đủ K2,2 . Ta biết rằng nếu R/I là một vành level thì số Betti cuối cùng của R/I chính là hệ số cao nhất của đa thức tử số của chuỗi Hilbert của nó. Định lí dưới đây cho ta biết hệ số này. Định lí 3.19. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β). Giả sử rằng R/I là một vành level. Khi đó       r  n − r     (n − r)   + r   nếu n ≥ 4, α = 2 và         2 2     G = Kr,n−r với 1 ≤ r ≤ n − 1;   βn−2 (R/I) =    4 nếu n = 4, α = 2 và G là một     cặp cạnh rời nhau;         α + 2  nếu n = 4, α ≥ 3 và G = K2,2 ,   m trong đó quy ước   = 0 nếu m < k. k Theo Định lí 3.19, tính phi-Gorenstein của một ideal I ∈ Cn (α, β) được cho bởi hệ quả sau. Hệ quả 3.20. Cho n ≥ 4 và I ∈ Cn (α, β). Khi đó R/I không phải là một vành Gorenstein.
Chương 4 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của ideal đơn thức trong lớp Cn(α, β) Trong suốt chương này, cho I là một ideal đơn thức thuộc Cn (α, β). Chúng tôi sẽ đưa ra công thức tính chỉ số chính quy Castelnuovo- Mumford của R/I . Ta biết rằng dim(R/I) = 2 nên reg(R/I) = max{ai (R/I) + i | i = 0, 1, 2}. Tuy nhiên, do m = (x1 , . . . , xn ) 6∈ Ass(R/I) nên a0 (R/I) = −∞. Chúng tôi chỉ cần tính các giá trị của a1 (R/I) và a2 (R/I). Hơn nữa, nếu n = 2 hoặc n = 3 thì I là một ideal chính, và nếu G = ∅ thì I là một lũy thừa hình thức của ideal Stanley-Reisner của một phức đơn hình chiều 1 đầy đủ. Do đó reg(R/I) hoàn toàn đã biết trong các trường hợp này. Vì vậy ta luôn giả thiết n ≥ 4 và G 6= ∅. 4.1 Giá trị của a1 (R/I) Mục đích của phần này là đưa ra các công thức cho a1 (R/I). Chúng tôi luôn giả thiết R/I không phải là một vành Cohen-Macaulay (tức 15
16 là a1 (R/I) 6= −∞ ). Kết quả chính đầu tiên trong mục này là xác định giá trị của a1 (R/I) trong trường hợp n = 4. Định lí 4.3. Cho n = 4. Khi đó  α + β − 2  nếu G có duy nhất một cạnh; a1 (R/I) =  2α − 2 nếu G có nhiều hơn một cạnh. Với n ≥ 5, giá trị của a1 (R/I) không những phụ thuộc vào cấu trúc của đồ thị G mà còn phụ thuộc vào mối liên hệ giữa α và β . Các kết quả chính tiếp theo được cho bởi các định lí sau đây. Định lí 4.4. Cho n ≥ 5. Giả sử α = β + 1. Khi đó  α + β − 2  nếu β là một số lẻ; a1 (R/I) =  α + β − 1 nếu β là một số chẵn. Trong trường hợp α ≥ β + 2 và (α, β) 6= (4, 2), ta cần định nghĩa hai điều kiện của đồ thị G như sau: (G1 ) Tồn tại một cặp cạnh rời nhau của G không được chứa trong bất kì 4-chu trình nào; (G2 ) Tồn tại {i, j} 6∈ G sao cho {i, j} ∪ G là một đồ thị không liên thông. Chú ý rằng R/I không phải là một vành Cohen-Macaulay nên G phải thỏa mãn điều kiện (G1 ) hoặc điều kiện (G2 ) bởi N. C. Minh và Y. Nakamura.
17 Định lí 4.5. Cho n ≥ 5. Giả sử α ≥ β + 3. Khi đó  2α − 2  nếu G thỏa mãn (G1 ); a1 (R/I) =  α + β − 2 nếu G không thỏa mãn (G1 ). Trong trường hợp α = β + 2 và (α, β) 6= (4, 2), ta cũng cần định nghĩa thêm một số điều kiện của G khi nó đã thỏa mãn điều kiện (G1 ). (G3 ) Mọi cặp cạnh rời nhau {i, j}, {p, q} của G không được chứa trong bất kì 4-chu trình nào thì đồ thị con cảm sinh G[i, j, p, q] có dạng: Định lí 4.6. Cho n ≥ 5. Giả sử α = β + 2 và (α, β) 6= (4, 2). Khi đó     α + β nếu α lẻ, G thỏa mãn (G1 ); hoặc α chẵn,     G thỏa mãn (G1 ) nhưng không thỏa mãn (G3 );       a1 (R/I) = α + β − 1 nếu α chẵn, G thỏa mãn cả (G1 ), (G3 );     α + β − 2 nếu α lẻ, G không thỏa mãn (G1 );         α + β − 3 nếu α chẵn, G không thỏa mãn (G1 ).  Trong trường hợp (α, β) = (4, 2), việc tính giá trị của a1 (R/I) là phức tạp hơn. Ta cần đưa ra thêm vài điều kiện của G như sau: (G4 ) Nếu G[i, j, p, q] có dạng như trong (G3 ) thì với t ∈ [n] \ {i, j, p, q} bất kì, đồ thị con cảm sinh G[i, j, p, q, t] có một đồ thị con có dạng
18 (G5 ) {i, j} ∪ {i, t} ∪ {t, j} ∪ G là một đồ thị liên thông với mọi {i, j} 6∈ G và t ∈ [n]\{i, j}. Chú ý rằng nếu I ∈ Cn (4, 2) thì theo N. C. Minh và Y. Nakamura, R/I là một vành Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu G thỏa mãn các điều kiện (G3 ), (G4 ) và (G5 ). Định lí 4.7. Cho n ≥ 5 và (α, β) = (4, 2). Khi đó  6 nếu G không thỏa mãn (G3 );       a1 (R/I) = 5 nếu G thỏa mãn (G3 ) nhưng không thỏa mãn (G4 );     3 nếu G thỏa mãn (G3 ), (G4 ) nhưng không thỏa mãn (G5 ).  4.2 Giá trị của a2 (R/I) Trong mục này, chúng tôi xác định giá trị của a2 (R/I) và đưa ra một công thức cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(R/I). Kí hiệu girth(G) là độ dài của chu trình ngắn nhất trong G. Nếu G không có chu trình nào thì ta quy ước girth(G) = ∞. Giá trị của a2 (R/I) được xác định bởi định lí dưới đây.