Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Đa thức ma trận - Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biển diễn dương và một số vấn đề liên quan

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận án là giải quyết bài toán số 2 đưa ra dạng ma trận cho các định lý biển diễn dương của Putinar-Vasilescu, Dick inson-Povh và Handelman

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Đa thức ma trận - Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biển diễn dương và một số vấn đề liên quan

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN D× THÀ HÁA BNH A THÙC MA TRN: SÜ PHN BÈ GI TRÀ RING, CC ÀNH LÞ BIU DIN D×ÌNG V MËT SÈ VN LIN QUAN CHUYN NGNH: I SÈ V LÞ THUYT SÈ M SÈ: 9460104 TÂM TT LUN N TIN S TON HÅC BNH ÀNH - NM 2018
Cæng tr¼nh ÷ñ ho n th nh t¤i: Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn Tªp thº h÷îng d¨n: TS. L¶ Cæng Tr¼nh TS. inh Trung Háa Ph£n bi»n 1: PGS. TS. Ph¤m Ti¸n Sìn - Tr÷íng ¤i hå L¤t Ph£n bi»n 2: TS. Hç Minh To n - Vi»n To¡n hå Vi»n H n l¥m KHCN Vi»t Nam Ph£n bi»n 3: TS. L¶ ù Thoang - Tr÷íng ¤i hå Phó Y¶n Luªn ¡n s³ ÷ñ b£o v» tr÷î Hëi çng ¡nh gi¡ luªn ¡n t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn v o ló 14 gií 00 ng y 19 th¡ng 01 n«m 2019 Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i: -Th÷ vi»n Què gia Vi»t Nam -Trung t¥m thæng tin t÷ li»u Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn
Líi am oan Luªn ¡n n y ÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa TS. L¶ Cæng Tr¼nh v TS. inh Trung Háa. Tæi xin am oan ¥y l æng tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. C¡ k¸t qu£ trong Luªn ¡n l trung thü , ÷ñ ¡ çng t¡ gi£ ho ph²p sû döng v h÷a tøng ÷ñ ai æng bè tr÷î â. T¡ gi£ D÷ Thà Háa B¼nh
Líi £m ìn Luªn ¡n n y ÷ñ ho n th nh trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu t¤i Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh v Ti¸n s¾ inh Trung Háa. Tr÷î ti¶n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s ¸n Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh. Thy ¢ h¿ b£o tªn t¼nh v h÷îng d¨n tæi tø nhúng b÷î u l m nghi¶n ùu. Thy t¤o ho tæi mët mæi tr÷íng hå tªp v nghi¶n ùu ði mð, th¥n thi»n nh÷ng ng r§t nghi¶m tó . Thy luæn ëng vi¶n, gióp ï º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n ùu khoa hå . ÷ñ hå tªp, l m vi» vîi thy l i·u may mn v h¤nh phó èi vîi tæi. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s ¸n Ti¸n s¾ inh Trung Háa. Thy luæn ëng vi¶n, kh½ h l», gióp ï v theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. M° dò thy khæng ð trong n÷î , nh÷ng thy v¨n th÷íng xuy¶n trao êi khoa hå vîi tæi. C¡ hëi th£o do thy tê hù ¢ gióp tæi tr÷ðng th nh r§t nhi·u £ v· khoa hå l¨n uë sèng. Tæi xin £m ìn Ti¸n s¾ Hç Minh To n. C£m ìn anh v¼ nhúng buêi th£o luªn r§t húu ½ h v· ¡ v§n · li¶n quan ¸n ành lþ biºu di¹n d÷ìng v B i to¡n mæmen. Tæi xin gûi líi £m ìn h¥n th nh ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn, Pháng o t¤o sau ¤i hå ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t º tæi hå tªp t¤i tr÷íng. ° bi»t, tæi xin gûi líi £m ìn ¸n Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n òng ¡ thy gi¡o, æ gi¡o trong Khoa ¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªp th¥n thi»n, ði mð v r§t huy¶n nghi»p. i·u n y gióp tæi â ëng lü º ph¡t triºn b£n th¥n. Tæi xin gûi líi £m ìn ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng Cao ¯ng S÷ ph¤m H T¥y, Pháng Tê hù ¡n bë ¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t ho tæi i hå . Tæi ng xin gûi líi £m ìn ¸n Ban Chõ nhi»m Khoa Tü nhi¶n v ¡ b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn õng hë, ëng vi¶n, hia s´ ¡ æng vi» º tæi â thíi gian tªp trung nghi¶n ùu t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn. Tæi xin £m ìn ¡ b¤n nghi¶n ùu sinh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn ¢ luæn ëng vi¶n, hia s´ gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu. Tæi xin gûi líi bi¸t ìn ¸n gia ¼nh hai b¶n nëi ngo¤i. Nhúng ng÷íi th¥n ¢ luæn õng hë, ëng vi¶n tæi. Hå l hé düa tinh thn vúng h º tæi y¶n t¥m hå tªp v nghi¶n ùu khi xa nh . ° bi»t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn s¥u s ¸n ng÷íi mµ th¥n y¶u õa m¼nh. C£m ìn sü hy sinh ao £ ng nh÷ t¼nh y¶u væ h¤n õa mµ d nh ho on. T¼nh th÷ìng bao la õa mµ luæn õ §m tr¡i tim on. Cuèi òng, tæi xin d nh t¼nh £m ° bi»t ¸n hçng v hai on th¥n y¶u õa m¼nh. C£m ìn anh v hai on ¢ ¸n b¶n íi em, gióp ï, ëng vi¶n em. Gia ¼nh luæn l nìi b¼nh y¶n õa em. i
MÖC LÖC Mð u 1 Ch÷ìng 1. Mët sè k¸t qu£ hu©n bà 8 1.1. Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ a thù mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. B i to¡n thù 17 õa Hilbert v ành lþ Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Mët sè ành lþ biºu di¹n d÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. B i to¡n tèi ÷u a thù v b i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. B i to¡n tèi ÷u a thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. B i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. H¼nh hå ¤i sè thü ho a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. T½nh x¡ ành d÷ìng õa ¡ a thù ma trªn v thun nh§t hâa õa hóng . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Chu©n ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ch÷ìng 2. Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn 14 2.1. D¤ng ma trªn õa ành lþ Enestr om-Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. C¡ ành lþ d¤ng Cau hy ho a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. So s¡nh ¡ h°n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ch÷ìng 3. C¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù ma trªn 18 3.1. D¤ng ma trªn õa ành lþ Putinar-Vasiles u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2. D¤ng ma trªn õa ành lþ Di kinson-Povh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3. D¤ng ma trªn õa ành lþ Handelman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.1. D¤ng ma trªn õa ành lþ Handelman tr¶n n-ìn h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 i
3.3.2. D¤ng ma trªn õa ành lþ Handelman tr¶n ¡ a di»n lçi, ompa t . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.3. Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho a thù ma trªn d÷ìng tr¶n mët a di»n lçi ompa t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 K¸t luªn 23 T i li»u tham kh£o 24 Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan ¸n Luªn ¡n ii
Mð u Kþ hi»u K[X] := K[X1 , · · · , Xn ] l v nh ¡ a thù n bi¸n X1 , · · · , Xn vîi h» sè trong K. Kþ hi»u Mt (K), Mt (K[X]) ln l÷ñt l v nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû trong K v K[X]. Méi ma trªn A ∈ Mt (K[X]) ÷ñ gåi l mët ma trªn a thù ho° mët a thù ma trªn, bði v¼ nâ â thº biºu di¹n d÷îi d¤ng mët a thù n ©n X1 , · · · , Xn vîi h» sè tr¶n Mt (K) nh÷ sau: d X A= Aα X α , |α|=0 trong â, α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn , |α| := α1 + · · · + αn , X α := X1α1 · · · Xnαn , Aα ∈ Mt (K), d l bª ao nh§t õa ¡ ìn thù trong A. Do â, º thèng nh§t ¡ h gåi trong to n Luªn ¡n, méi ma trªn trong Mt (K[X]) ÷ñ gåi l mët a thù ma trªn. èi t÷ñng nghi¶n ùu h½nh õa Luªn ¡n l ¡ a thù ma trªn, v èi vîi méi tr÷íng hñp õa sè bi¸n, hóng tæi quan t¥m ¸n ¡ b i to¡n kh¡ nhau. Do â, º thuªn ti»n ho ng÷íi å , hóng tæi t¡ h v tr¼nh b y ¡ b i to¡n li¶n quan trong hai phn ri¶ng bi»t nh÷ sau. 1. C¡ a thù ma trªn mët bi¸n Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n · li¶n quan ¸n ¡ a thù ma trªn mët bi¸n, tù l x²t ¡ a thù ma trªn â d¤ng P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 , trong â, z l bi¸n sè v Ai ∈ Mt (C), ∀i = 0, ..., d. C¡ a thù ma trªn mët bi¸n l sü mð rëng tü nhi¶n õa a thù ° tr÷ng λIt − A õa mët ma trªn A ∈ Mt (C), trong â It l ma trªn ìn và trong Mt (C). N¸u Ad 6= 0, th¼ P (z) ÷ñ gåi l mët a thù ma trªn bª d. Khi Ad = It , P (z) ÷ñ gåi l mët a thù ma trªn moni . N¸u tçn t¤i mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ct v λ ∈ C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ ÷ñ gåi l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v khi â x ÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ. Nh÷ vªy, méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l mët nghi»m õa a thù ° tr÷ng det(P (z)). Tªp hñp ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) ÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v ÷ñ gåi l phê õa a thù ma trªn P (z). B i to¡n gi¡ trà ri¶ng a thù (Polynomial Eigenvalue Problem - PEP) l t¼m mët gi¡ trà ri¶ng λ v mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ct sao ho P (λ)x = 0. Trong tr÷íng hñp d = 1 hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng têng qu¡t Ax = λBx. Hìn núa, n¸u A1 = It th¼ hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng hu©n Ax = λx. B i to¡n gi¡ trà ri¶ng bª hai (Quadrati Eigenvalue Problem - QEP) t÷ìng ùng vîi tr÷íng hñp d = 2. a thù ma trªn mët bi¸n â nhi·u ùng döng trong ¡ l¾nh vü nh÷ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng, kÿ thuªt Wiener-Hopf, ì hå v lþ thuy¸t rung, gi£i t½ h sè, ... Hai æng tr¼nh u ti¶n vi¸t 1
y õ nh§t v· a thù ma trªn l õa Frazer, Dun an v Collar [15℄ n«m 1955 v Lan aster [26℄ n«m 1966. B¶n ¤nh â, b i to¡n gi¡ trà ri¶ng QEP â nhi·u ùng döng v o khoa hå v kÿ thuªt. Mët têng quan v· nhúng ùng döng õa QEP ÷ñ tr¼nh b y trong uèn s¡ h õa Gohberg, Lan aster v Rodman [16℄, Hamarling, Munro v Tisseur [18℄ v Zeng v Su [56℄ ¢ ÷a ra nhúng thuªt to¡n º gi£i b i to¡n QEP. B i to¡n u ti¶n m hóng tæi tªp trung nghi¶n ùu trong Luªn ¡n nh÷ sau. B i to¡n 1. Cho P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 l mët a thù ma trªn. Ch¿ ra ¡ sè m v M "õ tèt" sao ho m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)), tù l h¿ ra ¡ h°n "õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa P (z). Trong tr÷íng hñp t = 1, tù l tr÷íng hñp õa ¡ a thù mët bi¸n vîi h» sè phù , B i to¡n n y ¢ ÷ñ nghi¶n ùu bði nhi·u nh to¡n hå , â thº kº ra ¥y ¡ k¸t qu£ õa Cau hy [31, 33℄, Enestrom v Kakeya [31, 33℄, Joyal, Labelle v Rahman [24℄, Datt v Govil [8℄, ... Trong tr÷íng hñp t > 1, vi» t¼m ¡ h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn P (z) theo hu©n (to¡n tû) õa ¡ ma trªn h» sè ¢ ÷ñ thü hi»n v tr¼nh b y trong b i b¡o õa Higham v Tisseur [22℄. Mö ½ h h½nh u ti¶n õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i quy¸t B i to¡n 1, ÷a ra ¡ h°n mîi "õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn, tø â so s¡nh vîi ¡ h°n ÷ñ ÷a ra bði Higham v Tisseur. 2. C¡ a thù ma trªn nhi·u bi¸n Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n · li¶n quan ¸n ¡ a thù ma trªn â sè bi¸n lîn hìn 1. Tr÷î ti¶n, x²t tr÷íng hñp t = 1, tù l x²t ¡ a thù â sè bi¸n lîn hìn mët. Cho f ∈ R[X] := R[X1 , ..., Xn ], G = {g1 , ..., gm } ⊆ R[X]. Kþ hi»u ( n ) X X R[X]2 = fi2 |fi ∈ R[X], n ∈ N , i=1 tªp hñp ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ a thù trong R[X]; KG = {x ∈ Rn |g1 (x) ≥ 0, ..., gm (x) ≥ 0}, tªp nûa ¤i sè âng ì b£n trong Rn x¡ ành bði G; m X X MG = {t0 + ti gi |ti ∈ R[X]2 , i = 0, ..., m}, i=1 mæun bª hai nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G; X X TG = { tσ g1σ1 ...gm σm |tσ ∈ R[X]2 }, σ=(σ1 ,...,σm )∈{0,1}m ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G. P Chó þ MG ⊆ TG , v khi G = ∅ ta â K∅ = Rn , M∅ = T∅ = R[X]2 . 2
D¹ th§y n¸u f ∈ TG (hay MG ) th¼ f ≥ 0 tr¶n KG . Do â, mët ¥u häi tü nhi¶n °t ra l hi·u ng÷ñ l¤i õa i·u n y â óng khæng? Tù l , f ≥ 0 tr¶n KG =⇒ f ∈ TG (hay MG )? N¸u ¥u tr£ líi l óng, hóng ta â ÷ñ mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstellensatz), hay ành lþ biºu di¹n khæng ¥m (Ni htnegativstellensatz). Trong mët sè t i li»u ( h¯ng h¤n, [32℄), ¡ t¡ gi£ sû döng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz". Do â, trong to n bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (ành lþ biºu di¹n d÷ìng). Trong tr÷íng hñp ° bi»t, G = ∅, ta â ¥u häi: X f ≥ 0 tr¶n Rn =⇒ f ∈ R[X]2 ? C¥u tr£ líi ho ¥u häi n y ÷ñ ÷a ra bði Hilbert (1888), h¿ ra r¬ng ¥u häi tr¶n h¿ óng trong ba tr÷íng hñp ° bi»t õa sè bi¸n v bª õa f . Sau â, t¤i ¤i hëi To¡n hå th¸ giîi tê hù t¤i Paris n«m 1900, Hilbert ¢ ÷a ra mët danh s¡ h gçm 23 "B i to¡n th¸ k", trong sè â, B i to¡n thù 17 trong danh s¡ h n y ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: B i to¡n thù 17 õa Hilbert: Cho f ∈ R[X]. Kþ hi»u R(X) l tr÷íng ¡ th÷ìng õa v nh a thù R[X]. Kþ hi»u ( k ) X X fi 2 R(X)2 = |k ∈ N, fi , gi ∈ R[X], gi 6= 0, i = 1, · · · , k . gi i=1 P N¸u f ≥ 0 tr¶n Rn , â suy ra ÷ñ hay khæng f ∈ R(X)2 ? Vi» nghi¶n ùu ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng âng vai trá quan trång trong b i to¡n tèi ÷u a thù v b i to¡n mæmen. Cö thº hìn, b i to¡n tèi ÷u a thù l b i to¡n t¼m f ∗ = inf f (x), (0.1) x∈KG vîi f ∈ R[X], G v KG x¡ ành nh÷ tr¶n. Trong tr÷íng hñp G = ∅, KG = Rn , b i to¡n tr¶n ÷ñ gåi l b i to¡n tèi ÷u a thù khæng r ng buë . B i to¡n tèi ÷u a thù ÷ñ nhi·u nh nghi¶n ùu quan t¥m tø ¡ l¾nh vü kh¡ nhau nh÷ ¤i sè thü , quy ho¤ h nûa x¡ ành v lþ thuy¸t to¡n tû. Trong né lü gi£m bît a thù nhi·u bi¸n, Lasserre [27℄ l ng÷íi u ti¶n ¢ ¡p döng ¡ k¸t qu£ ¤i sè thü gn ¥y õa Putinar [39℄ º thi¸t lªp mët d¢y ¡ nîi läng hëi tö ¸n gi¡ trà tèi ÷u õa mët b i to¡n tèi ÷u a thù . Sau ¥y hóng tæi minh håa rã hìn v· ùng döng õa ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n tèi ÷u a thù (xem, h¯ng h¤n, [28℄). Biºu thù (0.1) â thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng f ∗ = inf f (x) = sup{λ|λ ≤ f (x), x ∈ KG } x∈KG = sup{λ|f (x) − λ ≥ 0, x ∈ KG } = sup{λ|f (x) − λ > 0, x ∈ KG }. Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗ ÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f − λ khæng ¥m (ho° d÷ìng) tr¶n KG . º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l thay th¸ i·u ki»n khæng ¥m bði 3
mët i·u ki»n n o â ìn gi£n hìn, trong â â hùa ¡ têng b¼nh ph÷ìng, º â thº ti¸p ªn b¬ng ¡ h sû döng Quy ho¤ h nûa x¡ ành (SDP). Vîi þ t÷ðng â, mët trong nhúng ¡ h º nîi läng i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n KG " l x²t biºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng m X f − λ = t0 + ti gi , i=1 P trong â ti ∈ R[X]2 . Tù l , nîi läng i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n KG " th nh "f − λ ∈ MG ". i·u n y d¨n ¸n vi» x²t b i to¡n f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG }. (0.2) Rã r ng, n¸u f − λ ∈ MG th¼ f − λ ≥ 0 tr¶n KG . Do â f sos,G ≤ f ∗ . Hìn núa, n¸u ta â mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù f − λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗ . Tuy nhi¶n vi» t¼m f sos,G khæng d¨n ¸n mët Quy ho¤ h nûa x¡ ành, bði v¼ hóng ta khæng h°n ÷ñ bª õa ¡ a thù ti trong biºu di¹n õa f − λ. º nhªn ÷ñ mët Quy ho¤ h nûa x¡ ành, hóng ta x²t ¡ sè nguy¶n k vîi 2k ≥ max{deg(f ), deg(g1 ), . . . , deg(gm )}. X²t b i to¡n m X X fksos,G = sup{λ|f − λ = t0 + ti gi , ti ∈ R[X]2 , deg(t0 ), deg(ti gi ) ≤ 2k}. (0.3) i=1 Khi â fksos,G ÷ñ t½nh qua mët Quy ho¤ h nûa x¡ ành. Hìn núa, fksos,G ≤ fk+1 sos,G ≤ f sos,G ≤ f ∗ v lim fksos,G = f sos,G. k→∞ Ti¸p theo hóng tæi giîi thi»u vai trá õa ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n mæmen. D¤ng thù nh§t õa b i to¡n mæmen ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau. B i to¡n mæmen (d¤ng 1). Cho K l mët tªp on âng trong Rn . Cho L : R[X1 , ..., Xn ] → R l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh. Häi li»u â tçn t¤i mët ë o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X1 , ..., Xn ], Z L(f ) = f dµ? K Haviland (1935, [20℄) ¢ ÷a ra mët i·u ki»n n v õ ho sü tçn t¤i õa ë o d÷ìng µ, ö thº nh÷ sau. ành lþ 1 (Haviland, [20℄). i·u ki»n n v õ º tçn t¤i mët ë o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X1 , ..., Xn ] ta â Z L(f ) = f dµ K l L(f ) ≥ 0 vîi måi f ≥ 0 tr¶n K . èi vîi ¡ tªp tªp on âng trong Rn â d¤ng K = KG , vîi G l mët tªp on húu h¤n n o â trong v nh a thù R[X], mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau. 4
B i to¡n mæmen (d¤ng 2). Cho G = {g1 , ..., gm } ⊆ R[X]; KG , TG ÷ñ ành ngh¾a nh÷ tr¶n. N¸u L(f ) ≥ 0, ∀ f ∈ TG th¼ â tçn t¤i mët ë o Borel d÷ìng µ â gi¡ hùa trong KG sao ho Z L(f ) = f dµ KG vîi måi f ∈ R[X] hay khæng? Chó þ r¬ng vîi f ∈ TG th¼ f ≥ 0 tr¶n KG . Do â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi nhau (qua ành lþ Haviland). . C¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a thù ¢ nhªn ÷ñ nhi·u sü quan t¥m õa ¡ nh to¡n hå . Krivine (1964) v Stengle (1974) [25, 54℄ ¢ ÷a ra biºu di¹n " â m¨u thù " ho ¡ a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng khæng) tr¶n mët tªp nûa ¤i sè âng ì b£n. Vi» t¼m ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng "khæng m¨u thù " hi»n v¨n ang thu hót sü quan t¥m õa nhi·u ng÷íi. N«m 1991, S hm udgen [46℄ ¢ ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n tªp ompa t. Cö thº, udgen kh¯ng ành r¬ng: N¸u f > 0 tr¶n KG v KG l tªp ompa t th¼ f ∈ TG . S hm Mët tr÷íng hñp ° bi»t õa ành lþ S hm udgen ÷ñ ÷a ra tr÷î â bði Handelman [19℄, biºu di¹n ¡ a thù d÷ìng tr¶n mët a di»n lçi, ompa t. Vi» ÷a ra mët i·u ki»n º £m b£o ¡ a thù d÷ìng tr¶n KG thuë v o MG khâ hìn so vîi thuë v o TG . Mët i·u ki»n nh÷ th¸ ÷ñ Putinar [39℄ ÷a ra n«m 1993, vîi i·u ki»n a simet õa mæun bª hai MG . Nh l¤i, mët mæun bª hai M trong v nh a thù R[X] ÷ñ gåi l a simet n¸u tçn t¤i sè tü nhi¶n k ∈ N sao ho k − (X12 + ... + Xn2 ) ∈ M . ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: Gi£ sû MG a simet. Khi â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f ∈ MG . Chó þ r¬ng, MG a simet th¼ TG a simet. Hìn núa, TG a simet t÷ìng ÷ìng vîi KG ompa t. Hìn núa, n¸u f â nghi»m trong KG th¼ ¡ ành lþ õa S hm udgen v Putinar â thº khæng án óng. Do â, S heiderer [42, 43℄ ¢ ÷a ra mët ti¶u hu©n Hessian º £m b£o ho ¡ a thù khæng ¥m (tù l â nghi»m) tr¶n KG thuë v o TG (t÷ìng ùng, MG ) vîi i·u ki»n KG ompa t (t÷ìng ùng, MG a simet). Trong tr÷íng hñp KG khæng ompa t, S hweighofer (2006, [50℄) kh¯ng ành r¬ng: Gi£ sû f ∈ R[X] bà h°n tr¶n KG , v f h¿ â húu h¤n gi¡ trà ti»m ªn trong KG v to n bë ·u d÷ìng. Khi â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f ∈ TG . Nh l¤i r¬ng, tªp hñp R∞ (f, KG ) := {y ∈ R|∃xk ∈ KG , xk → ∞, f (xk ) → y} l tªp ¡ gi¡ trà ti»m ªn õa f . Pâlya [37℄ â k¸t qu£ sau ¥y, biºu di¹n ¡ a thù d÷ìng tr¶n Rn+ \{0}, trong â Rn+ = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0}: Cho f l mët a thù thun nh§t. N¸u f > 0 tr¶n Rn+ \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè tü nhi¶n N õ lîn sao ho n N P a thù Xi f â t§t £ ¡ h» sè kh¡ khæng ·u d÷ìng. i=1 5
N«m 1995, Rezni k ¢ ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng biºu di¹n th nh têng ¡ b¼nh ph÷ìng ho ¡ a thù thun nh§t d÷ìng tr¶n Rn \ {0}. ành lþ Rezni k nâi r¬ng: Cho f l mët a thù thun nh§t bª h®n vîi f (x) > 0, ∀x ∈ Rn \ {0}. Khi â, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n N õ lîn sao ho n P 2 N P Xi f∈ R[X]2 . i=1 Têng qu¡t ho k¸t qu£ õa Rezni k, Putinar v Vasiles u [40℄ ¢ ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n mët tªp nûa ¤i sè âng ì b£n trong Rn . Gn ¥y, n«m 2015, Di kinson v Povh [10℄ ¢ k¸t hñp ành lþ Pâlya v ành lþ Putinar-Vasiles u º ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n ho ¡ a thù d÷ìng tr¶n mët tªp on nûa ¤i sè âng ì b£n trong Rn . Tr÷íng hñp t > 1, x²t biºu di¹n õa ¡ a thù ma trªn x¡ ành d÷ìng (t÷ìng ùng, nûa x¡ ành d÷ìng) tr¶n mët tªp on õa Rn . Kþ hi»u St (R[X]) l tªp hñp ¡ a thù ma trªn èi xùng §p t trong Mt (R[X]). Vîi méi F ∈ St (R[X]) v G = {G1 , ..., Gm } ⊆ St (R[X]), kþ hi»u KG := {x ∈ Rn |Gi (x)< 0, i = 1, ..., m}, tªp nûa ¤i sè âng ì b£n trong Rn x¡ ành bði G . ¥y, vîi méi a thù ma trªn G ∈ St (R[X]) v vîi méi x ∈ Rn , G(x)< 0 ÷ñ dòng º kþ hi»u ho ma trªn G(x) l nûa x¡ ành d÷ìng, tù l vîi måi v ∈ Rt , v T G(x)v ≥ 0. Kþ hi»u G(x) ≻ 0 ÷ñ hiºu l ma trªn G(x) l x¡ ành d÷ìng, tù l vîi måi v ∈ Rt \ {0}, v T G(x)v > 0. Kþ hi»u X MG := { ATij Gi Aij |Gi ∈ G ∪ {It }, Aij ∈ Mt (R[X])}, i,j mæun bª hai nhä nh§t tr¶n Mt (R[X]) hùa G . P Ti·n thù tü nhä nh§t hùa G s³ ÷ñ kþ hi»u bði TG . Trong tr÷íng hñp G = ∅, := M∅ = T∅ t R[X] l tªp hñp ¡ têng húu h¤n õa nhúng phn tû â d¤ng AT A, trong â A ∈ Mt (R[X]), v nâ l mæun bª hai nhä nh§t trong Mt (R[X]). Rã r ng, n¸u F ∈ TG ho° MG th¼ F < 0 tr¶n KG . V§n · h½nh ti¸p theo hóng tæi quan t¥m trong Luªn ¡n nh÷ sau B i to¡n 2. Cho F ∈ St (R[X]), G = {G1 , ..., Gm } ⊆ St (R[X]). Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n KG . Vîi i·u ki»n n o th¼ F ∈ TG ho° F ∈ MG . Li¶n quan ¸n b i to¡n n y, S herer v Hol [44℄ ¢ ÷a ra mët d¤ng ma trªn biºu di¹n ¡ a thù ma trªn x¡ ành d÷ìng tr¶n ∆n ng nh÷ ¡ a thù ma trªn x¡ ành d÷ìng tr¶n KG m MG a simet P n ho ành lþ Pâlya v ành lþ Putinar; trong â ∆n = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn |xi ≥ 0, xi = 1}. i=1 Cimpri [6℄ ÷a ra d¤ng ma trªn ho ành lþ Krivine-Stengle; Cimpri v Zalar [7℄ ¢ ÷a ra mët d¤ng ma trªn ho ành lþ S hmudgen; L¶ Cæng Tr¼nh [29℄ ¢ ÷a ra mët d¤ng ma trªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Krivine-Stengle, S hweighofer, S heiderer,... D¤ng ma trªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya [37℄ âng mët vai trá quan trång trong lþ thuy¸t i·u khiºn. Hu h¸t ¡ b i to¡n i·u khiºn tuy¸n t½nh ·u d¨n ¸n ¡ b§t ¯ng thù ma trªn. R§t nhi·u trong sè ¡ b i to¡n n y â thº gi£i ÷ñ khi ¡ b§t ¯ng thù ma trªn l tuy¸n t½nh. Rã hìn, mët b§t ¯ng thù ma trªn tuy¸n t½nh (Linear Matrix Inequality - LMI) â d¤ng L(X) := A0 + A1 X1 + ... + An Xn ≻ 0, (0.4) 6
trong â X = (X1 , ..., Xn ) l n bi¸n thü v A0 , A1 , ..., An ∈ Sn (R) l ¡ ma trªn èi xùng ho tr÷î . B§t ¯ng thù (0.4) h¿ ra L(x) x¡ ành d÷ìng, tù l , v T L(x)v > 0, ∀ v ∈ Rn \ {0}. Khi â, mi·n x¡ ành õa LMI l G := {x ∈ Rn |L(x) ≻ 0}. ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya ho a thù ma trªn [44℄ kh¯ng ành r¬ng: Gi£ sû F l mët a thù ma trªn èi xùng thun nh§t bª d. N¸u F ≻ 0 tr¶n △n th¼ tçn t¤i sè tü nhi¶n N sao ho X (X1 + · · · + Xn )N F = Aα X α , |α|≤N +d trong â, Aα l ¡ ma trªn nûa x¡ ành d÷ìng, X α = X1α1 ...Xnαn . º rã hìn v· ¡ ùng döng n y, â thº xem hi ti¸t trong b i b¡o õa S herer v Hol [44℄. Mö ½ h h½nh ti¸p theo õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i quy¸t B i to¡n 2, ÷a ra d¤ng ma trªn ho ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh v Handelman. Ngo i Mö lö , Danh mö ¡ kþ hi»u, Líi mð u, Danh s¡ h ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan ¸n Luªn ¡n, T i li»u tham kh£o v K¸t luªn, nëi dung h½nh õa Luªn ¡n ÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong ba h÷ìng. Trong Ch÷ìng 1 hóng tæi ung §p nhúng kh¡i ni»m v k¸t qu£ ì b£n ÷ñ sû döng trong Luªn ¡n. Trong Ch÷ìng 2 hóng tæi ÷a ra mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa a thù ma trªn. Trong Ch÷ìng 3 hóng tæi nghi¶n ùu ¡ ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho ¡ a thù ma trªn. C¡ k¸t qu£ h½nh õa Luªn ¡n ÷ñ hóng tæi æng bè trong ¡ b i b¡o [12, 30℄, ti·n §n ph©m [13℄ v ¢ ÷ñ b¡o ¡o t¤i: • Hëi th£o To¡n hå Mi·n Trung-T¥y Nguy¶n ln I, Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn, B¼nh ành, 12- 14/08/2015; • Hëi th£o què t¸ The 6th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli ations (ICMAA), Tr÷íng ¤i hå Duy T¥n, N®ng, 15-18/06/2017; • Hëi th£o què t¸ String-Math 2018, Tr÷íng ¤i hå Tohoku, Sendai, Nhªt B£n, 18-22/06/2018; • Hëi th£o què t¸ The 7th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli ations (ICMAA 2018), Tr÷íng ¤i hå Shinshu, Nagano, Nhªt B£n, 22-25/06/2018; • Seminar Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn, B¼nh ành; • ¤i hëi To¡n hå Vi»t Nam ln thù IX, Tr÷íng ¤i hå Thæng tin Li¶n l¤ , 14-18/08/2018. B¼nh ành, th¡ng 12 n«m 2018 T¡ gi£ D÷ Thà Háa B¼nh 7
Ch÷ìng 1 Mët sè k¸t qu£ hu©n bà 1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa a thù mët bi¸n ành lþ 1.1.1 (Enestrom-Kakeya, d¤ng 1, [53, Corollary 3℄). Cho f (z) l mët a thù bª d f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 , ai ∈ R, ∀i = 0, ..., d. Gi£ sû r¬ng ad ≥ ad−1 ≥ · · · ≥ a0 ≥ 0, v ad > 0. a0 N¸u z ∈ C l mët nghi»m õa f (z) th¼ ≤ |z| ≤ 1. 2ad ành lþ 1.1.2 (Enestrom-Kakeya, d¤ng 2, [3℄). Cho f (z) = ad z d + ad−1 z d−1 + · · · + a1 z + a0 l mët a thù thü vîi ai , i = 0, ..., d, l ¡ sè thü d÷ìng. Kþ hi»u ai ai α := min , β := max . 0≤i≤d−1 ai+1 0≤i≤d−1 ai+1 Khi â, måi nghi»m z ∈ C õa f (z) thäa m¢n α ≤ |z| ≤ β. èi vîi ¡ a thù phù , ành lþ Cau hy h¿ ra mët ¾a trán hùa ¡ nghi»m õa nâ, ö thº nh÷ sau. d P ành lþ 1.1.3 (Cau hy, d¤ng 1, [31, 33℄). Cho f (z) = ai z i l mët a thù phù bª d. Khi â, måi i=0 nghi»m õa a thù f (z) n¬m trong ¾a
{z ∈ C| |z| ≤ 1 + M },
aj
vîi M = max
, j = 0, 1, ..., d − 1 . ad P d ành lþ 1.1.5 (Cau hy, d¤ng 2, [19, Se tion 27℄). Cho f (z) = ai z i l mët a thù phù bª d. Gåi r i=0 v R t÷ìng ùng l nghi»m d÷ìng õa ¡ a thù h(z) = |ad |z d + |ad−1 |z d−1 + · · · + |a1 |z − |a0 |, 8