Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của tóm tắt luận án "Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động" là tổng quát các kết quả của các định lí về hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ; Cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình với hàm đếm có trọng; Cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức n chiều;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN AN MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI VÀ SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC VỚI MỤC TIÊU DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2024
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Sĩ Đức Quang và PGS.TS. Phạm Đức Thoan. Phản biện 1: GS. TSKH. Hà Huy Khoái, Trường Đại học Thăng Long. Phản biện 2: GS. TS. Trần Văn Tấn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Thạc Dũng, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1925, R. Nevanlinna bắt đầu nghiên cứu về việc các hàm phân hình xác định trên C phân bố giá trị như thế nào và xây dựng một lý thuyết mới gọi là Lý thuyết phân bố giá trị, hay Lý thuyết Nevanlinna. Trong lý thuyết này, có hai định lí cốt yếu: Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Nhờ vào hai định lí trên, ông đã chứng minh được hai kết quả nổi tiếng về tính duy nhất của hàm phân hình là Định lí bốn điểm và Định lí năm điểm. Cho đến nay có rất nhiều công trình nghiên cứu mở rộng hai kết quả này. Một trong những hướng mở rộng đó là nghiên cứu trường hợp những mục tiêu là các hàm nhỏ hoặc các cặp hàm nhỏ. Một trong các kết quả tốt nhất đạt được gần đây là của P. Li và C. C. Yang. Hai tác giả này đã chứng minh rằng với hai hàm phân hình tùy ý khác hằng, nếu có chung ảnh ngược, đếm cả bội, của ba cặp hàm nhỏ và có chung ảnh ngược, không kể bội, của một cặp hàm nhỏ khác thì liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨bius. Kết quả này chưa đề cập đến trường hợp bội được o chặn ở một bậc nào đó cũng như chưa xét đến việc bỏ qua các không điểm từ một mức nhất định. Nếu các trường hợp này được giải quyết thì ta sẽ nhận được những kết quả cải tiến hơn nữa cho hướng nghiên cứu này. Trong Lý thuyết Nevanlinna, việc nghiên cứu, cải tiến và đưa ra các dạng mới của Định lí cơ bản thứ hai luôn là vấn đề chính được nhiều tác giả quan tâm. Định lí cơ bản thứ hai đầu tiên cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức được đưa ra bởi H. Cartan vào năm 1933, sau đó được các tác giả W. Stoll, M. Ru, M. Shirosaki, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang cải tiến. Gần đây, S. Đ. Quang đã đưa ra một số dạng Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với siêu phẳng di động mà ở đó hàm đếm được chặn bội đến bậc n hoặc các hàm đếm được xét với các trọng số khác nhau. Do vậy, một vấn đề thú vị được đặt ra là liệu có thể kết hợp cả hai hướng tổng quát trên để thu được các Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với họ siêu phẳng di động và 1
các hàm đếm có trọng được chặn bội, tối ưu và nhiều ứng dụng hơn. Theo một hướng nghiên cứu khác, để tổng quát kết quả của H. Cartan , W. Stoll và một số nhà toán học khác đã nghiên cứu việc thay thế Cm bởi các đa tạp parabolic. Dựa theo kỹ thuật của Y. Liu khi nghiên cứu bài toán không gian con Schmidt trong xấp xỉ Diophantine, Q. Yan đã thiết lập được Định lí cơ bản thứ hai với mục tiêu di động trên đa tạp parabolic mà tránh được việc sử dụng Bổ đề Đạo hàm logarit. Tuy nhiên, kết quả này lại yếu hơn rất nhiều so với các kết quả gần đây của S. Đ. Quang. Vì vậy, một vấn đề đặt ra ở đây là có thể hay không kết hợp kỹ thuật của Q. Yan và phương pháp của S. Đ. Quang để thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho lớp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào Pn (C) với siêu phẳng di động và các hàm đếm được chặn bội n, vừa mở rộng được kết quả của S. Đ. Quang và đơn giản hóa được chứng minh. Một ứng dụng quan trọng của Định lí cơ bản thứ hai là nghiên cứu về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình vào Pn (C) thông qua các giả thiết về nghịch ảnh của họ các siêu phẳng di động. Kết quả đầu tiên về sự phụ thuộc đại số cho họ các ánh xạ phân hình theo hướng này được đưa ra bởi M. Ru vào năm 2001. Sau đó, kết quả của M. Ru được các tác giả P. Đ. Thoan, P. V. Đức và S. Đ. Quang cải tiến nhưng có thể thấy số siêu phẳng di động tham gia vào giả thiết của các kết quả này là khá lớn. Từ đây cũng mở ra một vấn đề là cải tiến các định lí về phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình sao cho số mục tiêu di động tham gia được giảm đi cũng như xét không gian nguồn tổng quát hơn là các đa tạp parabolic. Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài "Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động", để xây dựng các dạng định lí cơ bản thứ hai mới với hàm đếm được chặn bội cho các ánh xạ phân hình tối ưu hơn các định lí đã biết, đồng thời áp dụng các kết quả đó để nghiên cứu các tính chất của các ánh xạ. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích thứ nhất của luận án là tổng quát các kết quả của các định lí về hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ. Mục đích thứ hai là cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình với hàm đếm có trọng. Mục đích cuối cùng là cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức n chiều. Áp dụng các kết quả thu 2
được, luận án đưa ra một số kết quả cho bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trong một vài trường hợp. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu vào đối tượng là các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic nói chung và Cm nói riêng vào Pn (C). Phạm vi nghiên cứu trong lý thuyết phân bố giá trị. 4. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi dựa trên các phương pháp nghiên cứu, những kỹ thuật truyền thống của Hình học phức và Lý thuyết phân bố giá trị, đồng thời chúng tôi đưa thêm những kỹ thuật mới để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận án góp phần phong phú và sâu sắc các hiểu biết về sự phân bố giá trị của các ánh xạ phân hình cũng như mối liên hệ giữa các ánh xạ này dưới điều kiện về tập nghịch ảnh của các mục tiêu. Luận án cũng là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 6. Cấu trúc luận án Ngoài các phần: Mở đầu, Mục lục, Tổng quan, Kết luận và kiến nghị, Các công trình đã công bố liên quan đến luận án, Tài liệu tham khảo, luận án bao gồm ba chương với tên như sau. Chương 1. Hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ. Chương 2. Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên Cm giao với các siêu phẳng di động với hàm đếm có trọng và ứng dụng. Chương 3. Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic giao với các siêu phẳng di động và ứng dụng. Luận án được viết dựa trên 03 bài báo đã công bố trên các tạp chí quốc tế SCIE. 7. Nơi thực hiện luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 3
TỔNG QUAN Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu ba vấn đề sau đây. Vấn đề 1: Nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa hai hàm phân hình trên C có cùng ảnh ngược đối với bốn cặp hàm nhỏ Xét hai hàm phân hình h và g trên C. Lấy các giá trị a, b ∈ C. Hai hàm h và g được nói là có chung ảnh ngược IM (hoặc CM) của a nếu h − a và g − a có chung các không điểm không kể bội (hoặc tính cả bội). Tổng quát hơn, h và g được nói là có chung ảnh ngược IM (hoặc CM) của cặp (a, b) nếu h − a và g − b có chung các không điểm không kể bội (hoặc tính cả bội). Việc nghiên cứu tính duy nhất của hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của các giá trị phân biệt hoặc có chung ảnh ngược của các cặp giá trị được nhiều nhà toán học quan tâm. Một vấn đề thú vị đặt ra tiếp theo, đó là ta có thể làm yếu điều kiện trùng nhau của các mục tiêu hay không và có thể thay mục tiêu là các giá trị bởi các hàm nhỏ hay không. Điều này đưa chúng ta đến với bài toán nghiên cứu mối liên hệ bởi các phép biến đổi tựa M¨bius giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược o IM (hoặc CM) của các cặp hàm nhỏ ngoài một tập nhất định nào đó, hay còn nói là có chung ảnh ngược IM* (hoặc CM*). Định nghĩa 1. Ta nói rằng hai hàm phân hình h và g có chung ảnh ngược của ∗ cặp (a, b) với bội bị ngắt bởi n, hoặc chung ảnh ngược CMn của cặp (a, b), nếu 0 0 min{n, νh−a (z)} = min{n, νg−b (z)} với mọi z ∈ C nằm ngoài một tập rời rạc có hàm đếm bằng với S(r, h) + S(r, g). Hai hàm phân hình h và g được nói là có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm (a, b) nếu n = 1 và có chung ảnh ngược CM ∗ của cặp hàm (a, b) nếu n = ∞. Định nghĩa 2. Ta nói hàm phân hình h là một biến đổi tựa M¨bius của g nếu o tồn tại các các hàm nhỏ (so với g ) ai (1 ≤ i ≤ 4) mà a1 a4 − a2 a3 ̸≡ 0 sao a1 g + a2 cho h = . Đặc biệt, hàm h được gọi là một biến đổi M¨bius của g nếu o a3 g + a4 a1 , a2 , a3 , a4 đều là hàm hằng. Đến đây, một câu hỏi thú vị được được đặt ra: “Có tồn tại hay không một phép biến đổi tựa M¨bius giữa h và g khi chúng có chung ảnh ngược IM ∗ hoặc CM ∗ o 4
của các cặp hàm nhỏ? ”. Vào năm 2003, P. C. Hu, P. Li và C. C. Yang đã cải tiến Định lí bốn điểm thành: nếu hai hàm phân hình khác hằng có chung ảnh ngược CM ∗ của bốn cặp hàm nhỏ thì liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨bius. Ngoài ra, năm o 2014 S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh đã xem xét trường hợp số cặp hàm nhỏ nhiều hơn 5 nhưng điều kiện có chung ảnh ngược được làm yếu hơn. Một trong những kết quả tốt nhất đến nay được cho bởi P. Li và C. C. Yang như sau. Định lí A. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai , bi (i = 1, . . . , 4; ai ̸= aj , bi ̸= bj ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ so với f và g . Nếu f và g có chung ảnh ngược CM ∗ của ba cặp hàm nhỏ (ai , bi ), (i = 1, 2, 3) và có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm nhỏ (a4 , b4 ) thì f là một biến đổi tựa M¨bius của g . o Trong luận án này, chúng tôi đã cải tiến kết quả trên với một mức ngắt bội cụ thể khi đếm bội các cặp hàm nhỏ và chỉ ra mối liên hệ giữa hai hàm phân hình như sau. Định lí 1.3.6. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai , bi (i = 1, . . . , 4; ai ̸= aj , bi ̸= bj ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ tương ứng so với f và g . Nếu f và g có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm nhỏ (a1 , b1 ) và có chung ảnh ∗ ngược CM4 của ba cặp hàm nhỏ (ai , bi ), (i = 2, 3, 4) thì f là một biến đổi tựa M¨bius của g . Hơn nữa, tồn tại một hoán vị (i1 , i2 , i3 , i4 ) của {1, 2, 3, 4} sao cho o f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi3 − bi2 f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi4 − bi2 · = · hoặc · = · . f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi3 − bi1 f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi4 − bi1 Trong định lí sau, chúng tôi xét trường hợp mà trong đó bỏ qua tất cả các không điểm có bội k > 865 của các hàm f − ai . Định lí 1.3.7. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai , bi (i = 1, . . . , 4; ai ̸= aj , bi ̸= bj ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ so với f và g , sao cho 0 0 min{νf −ai ,≤k (z), 4} = min{νg−bi ,≤k (z), 4} (1 ≤ i ≤ 4) với mọi z nằm ngoài một tập rời rạc S có các hàm đếm bằng S(r, f ) + S(r, g). Nếu k > 865 thì tồn tại một hoán vị (i1 , i2 , i3 , i4 ) của {1, 2, 3, 4} sao cho f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi3 − bi2 f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi4 − bi2 · = · hoặc · = · . f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi3 − bi1 f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi4 − bi1 Vấn đề 1 được giải quyết trong chương 1 của luận án. 5
Vấn đề 2: Nghiên cứu Định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện về ảnh ngược của mục tiêu di động Năm 1926, R. Nevanlinna đưa ra Định lí cơ bản thứ hai cho các hàm phân hình trên C và các giá trị phức phân biệt với các hàm đếm được chặn bội đến mức 1. Sau đó, năm 1933, H. Cartan phát triển kết quả của R. Nevanlinna lên cho lớp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với các siêu phẳng cố định ở vị trí tổng quát, với các hàm đếm được chặn bội đến mức n. Lý thuyết về Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với các siêu phẳng di động đã được bắt đầu nghiên cứu bởi W. Stoll, M. Ru và M. Shirosaki vào những năm 1990. Trong thời gian đó, hầu hết các kết quả đạt được về Định lí cơ bản thứ hai không có chặn bội cho các hàm đếm ảnh ngược của các siêu phẳng di động. Trong những năm gần đây, lý thuyết này được nghiên cứu sâu sắc hơn và đã đạt được nhiều kết quả. M. Ru đã chứng minh phiên bản đầu tiên của Định lí cơ bản thứ hai với các hàm đếm được chặn bội (đến mức n) cho ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C vào Pn (C) và các siêu phẳng di động. Sau đó, kết quả này được Đ. Đ. Thái-S. Đ. Quang tổng quát cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Định lí B. Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) và cho {ai }q (q ≥ i=1 2n + 1) là q ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C)∗ ở vị trí tổng quát sao cho (f, ai ) ̸≡ 0 với 1 ≤ i ≤ q . Khi đó, ta có q q [n] Tf (r) ≤ N(f,ai ) (r) + o(Tf (r)) + O(max Tai (r)). 2n + 1 i=1 1≤i≤q Ở đây kí hiệu “ || P ” nghĩa là khẳng định P đúng với mọi r ∈ [0, ∞) \ E với E là một tập có độ đo Borel hữu hạn. Năm 2016, S. Đ. Quang cải tiến các kết quả này như sau. Định lí C. Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm và Pn (C). Cho {ai }q (q ≥ i=1 m n ∗ 2n − k + 2) là các ánh xạ phân hình từ C vào P (C) ở vị trí tổng quát sao cho (f, ai ) ̸≡ 0 (1 ≤ i ≤ q), trong đó rankR{ai } (f ) = k + 1. Khi đó, các khẳng định sau là đúng: q q [k] (a) Tf (r) ≤ N(f,ai ) (r) + o(Tf (r)) + O(max Tai (r)), 2n − k + 2 i=1 1≤i≤q 6
q q − (n + 2k − 1) [k] (b) Tf (r) ≤ N(f,ai ) (r) + o(Tf (r)) + O(max Tai (r)). n+k+1 i=1 1≤i≤q Gần đây, S. Đ. Quang đã cải tiến mạnh hơn cho các kết quả này. Định lí D. Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Cho {ai }q i=1 m n ∗ (q ≥ 2n − k + 2) là các ánh xạ phân hình từ C vào P (C) ở vị trí tổng quát sao cho (f, ai ) ̸≡ 0 (1 ≤ i ≤ q), trong đó rankR{ai } (f ) = k + 1. Khi đó, ta có q q − (n − k) [k] (a) Tf (r) ≤ N(f,ai ) (r) + o(Tf (r)) + O(max Tai (r)), n+2 i=1 1≤i≤q q q − 2(n − k) [1] (b) Tf (r) ≤ N(f,ai ) (r) + o(Tf (r)) + O(max Tai (r)). k(k + 2) i=1 1≤i≤q Trong một hướng nghiên cứu khác vào năm 2016, S. Đ. Quang lần đầu đưa ra Định lí cơ bản thứ hai với các hàm đếm có trọng. S. Đ. Quang đã tổng quát một phần của các kết quả nêu trên (khẳng định (a) trong Định lí C) cho trường hợp mà mỗi hàm đếm có trọng khác nhau. Cụ thể, S. Đ. Quang đã chứng minh định lí sau. Định lí E. Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Cho {ai }q (q ≥ i=1 2n − k + 2) là các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C)∗ ở vị trí tổng quát sao cho (f, ai ) ̸≡ 0 (1 ≤ i ≤ q), trong đó rankR{ai } (f ) = k + 1. Cho λ1 , . . . , λq là q số dương thỏa mãn (2n − k + 2) max1≤i≤q λi ≤ q λi . Khi đó, ta có khẳng định i=1 sau: q q i=1 λi [k] || Tf (r) ≤ λi N(f,ai ) (r) + o(Tf (r)) + O(max Tai (r)). 2n − k + 2 i=1 1≤i≤q Trong luận án, chúng tôi chứng minh một kết quả tổng quát cho các kết quả trên theo hướng nghiên cứu này. Cụ thể là Định lí 2.2.2. Cho f : Cm → Pn (C) là một ánh xạ phân hình. Cho {aj }q j=1 (q ≥ 2n − k + 2) là các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C)∗ ở vị trí tổng quát sao cho (f, aj ) ̸≡ 0 (1 ≤ j ≤ q) và λ1 , . . . , λq là q số dương thỏa mãn (2n − k + q q j=1 λj 2) max1≤j≤q λj ≤ j=1 λj . Khi đó, với mọi số dương η ∈ max1≤j≤q λj , , 2n − k + 2 ta có q q j=1 λj − (n − k)η [k] Tf (r) ≤ λj N(f,aj ) (r) + o(Tf (r)) + O( max Taj (r)). n+2 j=1 1≤j≤q 7
Ta có thể thấy rằng, định lí này là sự tổng quát hóa của các định lí trên qua các trường hợp cụ thể sau đây. 1) Với λ1 = · · · = λq = 1 và η = 1, từ Định lí 2.2.2, ta nhận được khẳng định a) của Định lí D. q j=1 λj 2) Với η = , từ Định lí 2.2.2, ta nhận được Định lí E. 2n − k + 2 Trong phần tiếp theo của Vấn đề 2, chúng tôi đã sử dụng Định lí 2.2.2 để nghiên cứu sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động, không đếm bội. Năm 2001, M. Ru chứng minh được định lí sau. Định lí F. Cho f1 , . . . , fλ : Cm → Pn (C) (λ ≥ 2) là các ánh xạ phân hình khác hằng. Cho aj : Cm → Pn (C)∗ (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng di động chậm ở vị trí tổng quát. Giả sử (fi , aj ) ̸≡ 0 và (f1 , aj )−1 {0} = · · · = (fλ , aj )−1 {0} với mọi 1 ≤ i ≤ λ, 1 ≤ j ≤ q . Kí hiệu Aj = (f1 , aj )−1 ({0}). Cho l là một số nguyên dương với 2 ≤ l ≤ λ. Giả sử với mỗi z ∈ Aj (1 ≤ j ≤ q) và với mọi dλn2 (2n + 1) 1 ≤ i1 < · · · < il < q , ta có fi1 (z)∧· · ·∧fil (z) = 0. Khi đó, nếu q > λ−l+1 m thì f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 trên C , hay f1 , . . . , fλ là phụ thuộc đại số trên C. Sau đó, kết quả của M. Ru được cải tiến và mở rộng bởi P. Đ. Thoan-P. V. Đức và S. Đ. Quang với số các siêu phẳng di động được giảm đi. Cụ thể là, với d = 1, các λn(2n + 1) − (n − 1)(λ − 1) tác giả chỉ ra điều kiện về số các siêu phẳng là q > . λ−l+1 Trong kết quả này, tất cả các điểm giao của các ánh xạ phân hình và các siêu phẳng di động đều được xét. Sau đó, H. H. Giang và L. N. Quỳnh chỉ xét các giao điểm của các ánh xạ fi và các siêu phẳng aj mà bội của các giao điểm đó không vượt quá một số kj hữu hạn nào đó và đã đạt được những kết quả tổng quát hơn. L. N. Quỳnh đưa ra điều kiện để f1 , . . . , fλ phụ thuộc đại số trên C là q−1 1 q λq < − j=0 kj + 1 − k k(2n − k + 2) q(λ − l + 1) + λ(k − 1) Dựa trên kỹ thuật xét bội chặn khác nhau ở trên, trong chương 2 chúng tôi xét trường hợp mà số l trong Định lí F phụ thuộc vào số các siêu phẳng di động. Cụ thể, chúng tôi đã chứng minh kết quả dưới đây. Định lí 2.3.2. Cho f1 , . . . , fλ : Cm → Pn (C) (λ ≥ 2) là các ánh xạ phân hình khác hằng. Cho aj : Cm → Pn (C)∗ (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng di động chậm ở 8
vị trí tổng quát. Giả sử rằng (fi , aj ) ̸≡ 0 và (f1 , aj )−1 {0} = · · · = (fλ , aj )−1 {0} với mỗi 1 ≤ i ≤ λ, 1 ≤ j ≤ q . Kí hiệu Aj = (f1 , aj )−1 ({0}). Cho l1 , . . . , lq là q số nguyên dương thỏa mãn 2 ≤ lj ≤ λ. Giả sử rằng với mỗi z ∈ Aj (1 ≤ j ≤ q) và với mọi 1 ≤ i1 < · · · < ilj < q, ta có fi1 (z) ∧ · · · ∧ filj (z) = 0. Khi đó nếu dλk(2n − k + 2) − dλ(k − 1) + q lj j=1 q> thì f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 trên Cm ,. λ+1 Ta thấy rằng kết quả này là tổng quát hơn của L. N. Quỳnh và cải tiến hơn kết quả của P. Đ. Thoan, P. V. Đức và S. Đ. Quang. Vấn đề 2 được giải quyết trong chương 2 của luận án. Vấn đề 3: Nghiên cứu Định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào Pn (C) Trong vấn đề này, chúng tôi thiết lập một Định lí cơ bản thứ hai trong trường hợp không gian nguồn là một đa tạp parabolic. Cụ thể là chúng tôi cải tiến định lí D ở trên bằng cách thay thế Cm bởi một đa tạp parabolic chấp nhận được m−chiều. Gần đây, bằng cách sử dụng một kỹ thuật trong nghiên cứu xấp xỉ Diophantine của Y. Liu, Q. Yan đã mở rộng Định lí cơ bản thứ hai cho lớp các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic. Định lí dưới đây là kết quả của Q. Yan. Định lí G. Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàm vét cạn parabolic τ và hàm trội Y . Cho s0 là số dương cố định. Cho g1 , . . . , gq : M → Pn (C)∗ là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát. Cho f : M → Pn (C) là một ánh xạ phân hình khác hằng sao cho Ricτ = o(Tf (r, s0 )) và logY (r) = o(Tf (r, s0 )) khi 0 0 r → ∞. Giả sử rằng (f, gj ) ̸≡ 0 với 1 ≤ j ≤ q và dim(Supp ν(f,gi ) ∩Supp ν(f,gj ) ) ≤ m − 2 với 1 ≤ i < j ≤ q . Khi đó, nếu q ≥ 2n + 1 thì ta có q q [n] Tf (r, s0 ) . ≤ . Nf,gj (r, s0 ) + O( max Tgj (r, s0 )) + o(Tf (r, s0 )), 2n + 1 j=1 1≤j≤q trong đó “ . ≤ .” có nghĩa là bất đẳng thức đúng với mọi r ∈ [s0 , +∞] nằm ngoài một tập con Borel có độ đo hữu hạn. Ở đây, mục tiêu đầu tiên của chúng tôi là cải tiến Định lí G và mở rộng Định lí D cho lớp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic chấp nhận được vào Pn (C). Chúng tôi đã tìm cách kết hợp các phương pháp của S. Đ. Quang và Q. Yan để tránh việc sử dụng Bổ đề Đạo hàm logarit và khái niệm Wronskian tổng quát của 9
các ánh xạ phân hình, vốn là khái niệm và bổ đề rất khó thiết lập được trong trường hợp các đa tạp parabolic. Dưới đây là kết quả chúng tôi thu được. Định lí 3.2.2. Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàm vét cạn parabolic τ và hàm trội Y (r). Cho s0 là số dương cố định. Cho f : M → Pn (C) là một ánh xạ phân hình khác hằng sao cho Ricτ = o(Tf (r, s0 )) và logY (r) = o(Tf (r, s0 )) khi r → ∞. Cho g1 , . . . , gq : M → Pn (C)∗ là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát với q ≥ 2n−k +2, trong đó rankR{gj } (f ) = k +1. Giả 0 0 sử rằng (f, gj ) ̸≡ 0 với mọi 1 ≤ j ≤ q và dim(Supp ν(f,gi ) ∩ Supp ν(f,gj ) ) ≤ m − 2 với 1 ≤ i < j ≤ q . Khi đó, các khẳng định sau là đúng: q q − (n − k) [k] (a) Tf (r, s0 ) ≤ N(f,gi ) (r, s0 )+o(Tf (r, s0 ))+O(max Tgi (r, s0 )), n+2 i=1 1≤i≤q q q − 2(n − k) [1] (b) Tf (r, s0 ) ≤ N(f,gi ) (r, s0 )+o(Tf (r, s0 ))+O(max Tgi (r, s0 )). k(k + 2) i=1 1≤i≤q Định lí 3.2.2(a) là một cải tiến của Định lí G. Hơn nữa, Định lí 3.2.2 cũng là một tổng quát của Định lí D. Trong mục tiêu tiếp theo của vấn đề này, chúng tôi áp dụng Định lí 3.2.2 để đưa ra một kết quả về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ một đa tạp parabolic, có chung ảnh ngược những siêu phẳng di động chậm trong Pn (C) ở vị trí tổng quát, không đếm bội. Dưới đây là kết quả chúng tôi thu được. Định lí 3.3.1. Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàm vét cạn parabolic τ và hàm trội Y (r). Cho f1 , . . . , fλ : M → Pn (C) là các ánh xạ phân hình khác hằng với Ricτ (r, s) = o(Tft (r, s0 )) và logY (r) = o(Tft (r, s)) khi r → ∞, 1 ≤ t ≤ λ. Cho g1 , . . . , gq : M → Pn (C)∗ là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát thỏa mãn Tgj (r, s0 ) = o(max1≤t≤λ Tft (r, s0 )) và (ft , gj ) ̸≡ 0 với 1 ≤ j ≤ q, 1 ≤ t ≤ λ. Giả sử Aj = (f1 , gj )−1 (0) = (f2 , gj )−1 (0) = · · · = (fλ , gj )−1 (0) với mỗi j = 1, . . . , q , và dim(Ai ∩ Aj ) ≤ m − 2 với 1 ≤ i ≤ j ≤ q. q Đặt A = j=1 Aj . Giả sử f1 , . . . , fλ ở vị trí l−đặc biệt trên A, trong đó l là một n(n + 2)λ số nguyên với 2 ≤ l ≤ λ. Khi đó, nếu q > thì f1 , . . . , fλ ở vị trí đặc λ−l+1 biệt, tức là f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 trên M . Kết quả này của chúng tôi đã mở rộng và cải tiến các kết quả trước đó cho trường hợp các ánh xạ từ Cm vào Pn (C). Cụ thể là, với d = 1 từ Định lí 3.3.1 ta đưa ra được kết quả của M. Ru và kết quả này cũng cải tiến hơn kết quả của P. 10
Đ. Thoan-P. V. Đức-S. Đ. Quang. Chúng tôi cũng nhấn mạnh rằng, kết quả của Định lí 3.3.1 là tổng quát kết quả của Q. Yan bởi vì chúng tôi đã sử dụng Định lí cơ bản thứ hai có đánh giá chặn trên của hàm đặc trưng tốt hơn. Vấn đề 3 được giải quyết trong Chương 3 của luận án. 11
Chương 1 HAI HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA BỐN CẶP HÀM NHỎ Trong chương này chúng tôi nghiên cứu những cặp hàm phân hình trên mặt phẳng phức có chung ảnh ngược (IM ∗ hoặc CM ∗ ) của bốn cặp hàm nhỏ và chỉ xét các ảnh ngược có bội bị chặn ở một mức nào đó. Với một số giả thiết nhất định chúng tôi chỉ ra rằng những cặp hàm đó chỉ sai khác một phép biến đổi M¨bius của C. o Các kết quả thu được của chúng tôi trong chương này là Định lí 1.3.6 và Định lí 1.3.7. Chương này được viết dựa vào bài báo số [1] được liệt kê trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án. 1.1 Một số định nghĩa và kết quả của lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình Trong mục này, chúng tôi nhắc lại các định nghĩa về hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng của một hàm phân hình. Từ đó chúng tôi trình bày những kết quả đã biết cần dùng trong chứng minh các định lí chính như Bổ đề đạo hàm Logarit, các định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai cho hàm phân hình trên mặt phẳng phức và các hàm nhỏ. Năm 2004, K. Yamanoi đã chứng minh được Định lí cơ bản thứ hai cho các hàm phân hình với các hàm nhỏ mà các hàm đếm được chặn bội 1. 12
Định lí 1.1.7. Cho hàm phân hình khác hằng f và cho q hàm phân hình đôi một khác nhau a1 , . . . , aq (q ≥ 3), nhỏ so với f . Khi đó, với mọi ϵ > 0, ta có q || (q − 2 − ϵ)T (r, f ) ≤ N [1] (r, νf −ai ) + S(r, f ). 0 i=1 Năm 2008, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang đưa ra một Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với các siêu phẳng di động. Định lí 1.1.8. Cho hàm phân hình khác hằng f và cho q hàm phân hình đôi một khác nhau a1 , . . . , aq (q ≥ 3), nhỏ so với f . Khi đó, ta có q q || T (r, f ) ≤ N [1] (r, νf −ai ) + o(T (r, f )). 0 3 i=1 1.2 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình Trong mục này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số kết quả của Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C). Định lí 1.2.3 (Định lí cơ bản thứ nhất). Cho H là một siêu phẳng trong Pn (C) và f đường cong chỉnh hình từ C vào Pn (C) có ảnh không được chứa trong H . Khi đó, ta có Tf (r) = Nf (r, H) + mf (r, H) + O(1). Định lí 1.2.6 (Định lí cơ bản thứ hai của H. Cartan). Cho f là một đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ C và Pn (C) và cho {Hi }q (q ≥ n + 2) i=1 là một họ q siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát. Khi đó, ta có q [n] (q − n − 1)Tf (r) ≤ Nf (r, Hi ) + S(r, f ). i=1 1.3 Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ Trong mục này, chúng tôi chứng minh các bổ đề và mệnh đề về mối quan hệ giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của các cặp hàm nhỏ và sử dụng các kết quả này để chứng minh Định lí 1.3.6. 13
Bổ đề 1.3.2. Cho f là một hàm phân hình khác hằng và a là một hàm nhỏ (đối với f ). Khi đó, với mỗi số nguyên dương k (k có thể là +∞), ta có k [1] 1 N [1] (r, νf −a ) ≤ 0 0 N≤k (r, νf −a ) + T (r, f ) + S(r, f ). k+1 k+1 Bổ đề 1.3.3. Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C. Cho {ai }3 i=1 và {bi }3 là các hàm phân hình nhỏ so với f và g , sao cho ai ̸= aj và bi ̸= bj với i=1 mọi 1 ≤ i < j ≤ 3. Giả sử rằng 0 0 min{1, νf −ai ,≤k (z)} = min{1, νg−bi ,≤k (z)} (1 ≤ i ≤ 3) với mọi z nằm ngoài một tập con rời rạc S có hàm đếm bằng S(r, f ). Nếu k ≥ 3 thì || T (r, f ) = O(T (r, g)) và || T (r, g) = O(T (r, f )). Đặc biệt, S(r, f ) = S(r, g). Bổ đề 1.3.4. Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C, ai và bi (i = 1, 2, 3, 4) (ai ̸= aj , bi ̸= bj , i ̸= j) là các hàm nhỏ (so với f và g ) sao cho 0 0 min{1, νf −ai ,≤k (z)} = min{1, νg−bi ,≤k (z)} (1 ≤ i ≤ 4) với mọi z nằm ngoài một tập con rời rạc S có hàm đếm bằng S(r, f ) + S(r, g). Giả sử rằng f là một biến đổi tựa M¨bius của g . Nếu k ≥ 3 thì có một hoán vị o (i1 , i2 , i3 , i4 ) của (1, 2, 3, 4) sao cho f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi3 − bi2 f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi4 − bi2 · = · hoặc · = · . f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi3 − bi1 f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi4 − bi1 Mệnh đề sau đưa ra một đánh giá cho các hàm đếm divisor của hai hàm phân hình và các cặp hàm nhỏ tương ứng của chúng. Mệnh đề 1.3.5. Cho F và G là các hàm phân hình khác hằng, Ai và Bi (i = 1, 2, 3) (Ai ̸= Aj , Bi ̸= Bj , i ̸= j) là các hàm nhỏ (so với F và G). Giả sử F không là một biến đổi tựa M¨bius của G. Khi đó, với mọi số n nguyên dương, ta o có: N (r, ν) ≤ N [1] (r, |νF −A1 − νG−B1 |) + N [1] (r, |νF −A2 − νG−B2 |) + S(r), 0 0 0 0 trong đó S(r) = o(T (r, F ) + T (r, G)) nằm ngoài một tập có độ đo Borel hữu hạn 0 0 của [1, +∞) và ν là divisor cho bởi ν(z) = max{0, min{νF −A3 (z), νG−B3 (z)}−1}. Chúng tôi chứng minh kết quả chính đầu tiên về mối liên hệ giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của ba cặp CM4 và một cặp IM ∗ dưới đây. ∗ 14
Định lí 1.3.6. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai , bi (i = 1, . . . , 4) (ai ̸= aj , bi ̸= bj ∀i ̸= j) là các hàm nhỏ tương ứng so với f và g . Nếu f và g có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm nhỏ (a1 , b1 ) và có chung ảnh ∗ ngược CM4 của ba cặp hàm nhỏ (ai , bi ), (i = 2, 3, 4) thì f là một biến đổi tựa M¨bius của g . Hơn nữa, tồn tại một hoán vị (i1 , i2 , i3 , i4 ) của {1, 2, 3, 4} sao cho o f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi3 − bi2 f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi4 − bi2 · = · hoặc · = · . f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi3 − bi1 f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi4 − bi1 Trong phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh một định lí về mối liên hệ giữa hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ có đếm bội được ngắt ở mức 4 và bỏ qua các không điểm có bội lớn hơn 865. Định lí 1.3.7. Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C, ai và bi (i = 1, 2, 3, 4) (ai ̸= aj , bi ̸= bj , i ̸= j) là các hàm nhỏ (so với f và g ). Giả sử rằng 0 0 min{νf −ai ,≤k (z), 4} = min{νg−bi ,≤k (z), 4} (1 ≤ i ≤ 4) với mọi z nằm ngoài một tập rời rạc S có hàm đếm bằng S(r, f ) + S(r, g). Nếu k > 865 thì có một hoán vị (i1 , i2 , i3 , i4 ) của {1, 2, 3, 4} sao cho f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi3 − bi2 f − ai1 ai3 − ai2 g − bi1 bi4 − bi2 · = · hoặc · = · . f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi3 − bi1 f − ai2 ai3 − ai1 g − bi2 bi4 − bi1 15
Chương 2 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN Cm GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI HÀM ĐẾM CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng tôi chứng minh Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với mục tiêu di động và các hàm đếm có trọng được chặn bội. Dựa vào định lí này chúng tôi chứng minh định lí về sự phụ thuộc đại số của một họ các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Chương này được viết dựa vào bài báo số [2] được liệt kê trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án. 2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình trên Cm vào không gian xạ ảnh và các siêu phẳng Để chuẩn bị cho việc chứng minh hai định lí chính của chương này trong phần sau, chúng tôi nhắc lại các hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Sau đó, chúng tôi giới thiệu Định lí cơ bản thứ nhất cho các ánh xạ đó với mục tiêu di động. Định lí 2.1.5 (Định lí cơ bản thứ nhất). Cho f là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) và a là một ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C)∗ sao cho (f, a) ̸≡ 0. Khi đó Tf (r) + Ta (r) = mf,a (r) + N (r, ν(f,a) ) + O(1) (r > 1). Định lí 2.1.6. Cho M là một đa tạp phức liên thông với số chiều m. Cho A 16
là một tập con giải tích thuần túy (m − 1)-chiều của M . Cho V là một không gian véc tơ phức có số chiều n + 1 > 1. Lấy các số nguyên p và k thỏa mãn 1 ≤ p ≤ k ≤ n + 1. Cho fi : M → P (V ), 1 ≤ i ≤ k, là các ánh xạ phân hình. Giả sử rằng f1 , . . . , fk ở vị trí p-đặc biệt trên A. Khi đó, ta có µf1 ∧···∧fk ≥ (k − p + 1)νA , trong đó µf1 ∧···∧fk là divisor liên kết với ánh xạ tích f1 ∧ · · · ∧ fk và νA là divisor rút gọn trên M với giá là A. Định lí 2.1.7. Cho fi : Cm → Pn (C), 1 ≤ i ≤ k là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát. Giả sử rằng 1 ≤ k ≤ n. Khi đó Nµf1 ∧···∧fλ (r) + m(r, f1 ∧ · · · ∧ fλ ) ≤ Tfi (r) + O(1). 1≤i≤λ 2.2 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên Cm giao với các siêu phẳng di động với các hàm đếm có trọng Trong mục này, chúng tôi trích dẫn bổ đề của S. Đ. Quang và sử dụng bổ đề này để chứng minh Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình và mục tiêu di động với hàm đếm có trọng. Bổ đề 2.2.1. Cho f : Cm → Pn (C) là một ánh xạ phân hình và {aj }2n−k+2 là j=1 m n ∗ các ánh xạ phân hình từ C vào P (C) ở vị trí tổng quát sao cho (f, aj ) ̸≡ 0 (1 ≤ j ≤ 2n − k + 2), trong đó rankR{aj } (f ) = k + 1. Khi đó, tồn tại một tập con J ⊂ {1, . . . , 2n − k + 2} với |J| = n + 2 thỏa mãn [k] || Tf (r) ≤ N(f,aj ) (r) + o(Tf (r)) + O( max Taj (r)). 1≤j≤2n−k+2 j∈J Một kết quả chính của chúng tôi trong chương này là cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C), trong đó hàm đặc trưng bị chặn trên bởi tổng của các hàm đếm với các trọng số khác nhau. Định lí 2.2.2. Cho f : Cm → Pn (C) là một ánh xạ phân hình. Cho {aj }q j=1 m n ∗ (q ≥ 2n − k + 2) là các ánh xạ phân hình từ C vào P (C) ở vị trí tổng quát sao cho (f, aj ) ̸≡ 0 (1 ≤ j ≤ q) và λ1 , . . . , λq là q số dương thỏa mãn (2n − k + q q j=1 λj 2) max1≤j≤q λj ≤ j=1 λj . Khi đó, với mọi số dương η ∈ max1≤j≤q λj , , 2n − k + 2 17
ta có q q j=1 λj− (n − k)η [k] Tf (r) ≤ λj N(f,aj ) (r) + o(Tf (r)) + O( max Taj (r)). n+2 j=1 1≤j≤q 2.3 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên Cm có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động Trong mục này, để xét tính phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên Cm , chúng tôi trích dẫn bổ đề sau của L. N. Quỳnh. Bổ đề 2.3.1. Cho hi : Cm → Pn (C) (1 ≤ i ≤ p ≤ n + 1) là các ánh xạ phân hình với biểu diễn rút gọn hi := (hi0 : · · · : hin ). Cho ai : Cm → Pn (C)∗ (1 ≤ i ≤ p ≤ n + 1) là các siêu phẳng di động với biểu diễn rút gọn ai := (ai0 : · · · : ain ). ˜ Đặt hi := ((hi , a1 ) : · · · : (hi , an+1 )). Giả sử a1 , . . . , an+1 là ở vị trí tổng quát sao cho (hi , aj ) ̸≡ 0 với 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n + 1. Lấy S là một tập con giải tích thuần túy (n − 1)-chiều của Cm sao cho S ̸⊂ (a1 ∧ · · · ∧ an+1 )−1 {0}. Khi đó, ˜ ˜ h1 ∧ · · · ∧ hp ≡ 0 trên S khi và chỉ khi h1 ∧ · · · ∧ hp ≡ 0 trên S . Bằng cách sử dụng Định lí 2.2.2, chúng tôi chứng minh định lí sau chỉ ra điều kiện về tính phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Định lí 2.3.2. Cho f1 , . . . , fλ : Cm → Pn (C) (λ ≥ 2) là các ánh xạ phân hình khác hằng. Cho aj : Cm → Pn (C)∗ (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng di động chậm ở vị trí tổng quát. Giả sử rằng (fi , aj ) ̸≡ 0 và (f1 , aj )−1 {0} = · · · = (fλ , aj )−1 {0} với mỗi 1 ≤ i ≤ λ, 1 ≤ j ≤ q . Kí hiệu Aj = (f1 , aj )−1 ({0}). Cho l1 , . . . , lq là q số nguyên dương thỏa mãn 2 ≤ lj ≤ λ. Giả sử rằng với mỗi z ∈ Aj (1 ≤ j ≤ q) và với mọi 1 ≤ i1 < · · · < ilj < q, ta có fi1 (z) ∧ · · · ∧ filj (z) = 0. Đặt ρ(z) = ♯{j|z ∈ Aj } và d = limr→+∞ sup{ρ(z) : |z| > r}. Khi đó, nếu q dλk(2n − k + 2) − dλ(k − 1) + j=1 lj q> λ+1 thì f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 trên Cm . 18