Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về mặt f- cực tiểu trong các không gian tích

Chia sẻ: Minh Tú | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu nhằm thiết lập được một số kết quả về mối quan hệ giữa mặt f-cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng (co rút và tịnh tiến) của dòng độ cong trung bình; chứng minh được tính chất f-cực tiểu diện tích địa phương và cực tiểu diện tích toàn cục của các slice trong không gian tích cong với mật độ; thiết lập và chứng minh được các định lý kiểu Bernstein.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về mặt f- cực tiểu trong các không gian tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - - - - - - ∗∗∗ - - - - - - NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62 46 01 05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Tp HCM Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU 2. TS. NGUYỄN HÀ THANH Phản biện 1: PGS.TS. Kiều Phương Chi Phản biện 2: PGS.TS. Lê Anh Vũ Phản biện 3: TS. Nguyễn Duy Bình Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................. vào . . . . . . giờ . . . . . . ngày . . . . . . tháng . . . . . . năm . . . . . . Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Đại học Sư phạm TP.HCM - Thư viện Khoa học Tổng hợp TP.HCM
i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa n BR Hình cầu tâm O bán kính R trong Rn Gn Không gian Gauss n-chiều K Độ cong Gauss H, H~ Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình Hf , H~f Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình với mật độ n, N Vectơ pháp đơn vị n−1 SR Siêu cầu tâm O bán kính R trong Rn CR Siêu trụ tâm O bán kính R trong Rn+1 L(C) Độ dài Riemann của đường cong C Lf (C) Độ dài của đường cong C theo mật độ e−f ds, dA Phần tử diện tích Riemann dsf , dAf Phần tử diện tích theo mật độ e−f dV Phần tử thể tích Riemann dVf Phần tửpthể tích theo mật độ e−f r(x) r(x) = x21 + · · · + x2n , với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn Area(M ) Diện tích của M Areaf (M ) f -diện tích của M Vol(M ) Thể tích của M Volf (M ) f -thể tích của M Tp Σ Không gian tiếp xúc của Σ tại p δij Ký hiệu Kronecker df ∆f ; ∇f Laplace; Gradient của hàm f , tức là ∇f = dxi ∇X Y Đạo hàm hiệp biến của trường vectơ Y dọc trường X α(t) Đường cong α ∂Ω Biên của miền Ω |x| Chuẩn của vectơ x p. i Trang thứ i trong tài liệu trích dẫn Kết thúc chứng minh
ii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình Tên hình Trang 1.2.1 Mặt cực tiểu Catenoid 12 1.2.2 Mặt cực tiểu Helicoid 13 1.2.3 Mặt cực tiểu Scherk 14 1.4.4 Đường cong Grim Reaper 20 2.1.1 Mật độ của không gian Gauss tập trung về gốc tọa độ 22 3.1.2 Mặt trụ là một không gian tích cong 38 3.1.3 Mặt hyperbolic 1-tầng là một không gian tích cong 38 3.1.4 Mặt Catenoid là một không gian tích cong 38 3.1.5 Vectơ kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong R31 42 3.2.5 Một phần của slice và đồ thị cùng biên 47 3.2.6 Slice P, đồ thị toàn phần Σ và Gn trong R+ ×w Gn 49 3.2.7 Đồ thị toàn phần Σ và Gn trong G+ ×a Gn 51 3.2.8 Slice P và đồ thị toàn phần Σ trong G+ ×a Gn 52 3.3.9 Đồ thị toàn phần f -cực đại Σ trong Gn × R1 57
1 MỞ ĐẦU Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (M, g) cùng với một hàm mật độ trơn, dương e−f được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi. Thể tích với mật độ của một miền E và diện tích với mật độ của một siêu mặt Σ lần lượt được xác định bởi các công thức Z Z −f Volf (E) = e dV và Areaf (Σ) = e−f dA, E Σ trong đó dV và dA tương ứng là phần tử thể tích và phần tử diện tích Riemann. Về mặt ký hiệu, người ta thường dùng bộ ba (M, g, e−f dV ) để chỉ đa tạp Riemann (M, g) cùng với với mật độ e−f , đặc biệt khi M là không gian Ơclit Rn với tích vô hướng chính tắc và mật độ e−f thì ta ký hiệu đơn giản là (Rn , e−f ). Trên đa tạp với mật độ (M, g, e−f dV ), M. Gromov (xem [26]) đã mở rộng khái niệm độ cong trung bình H thành khái niệm độ cong trung bình với mật độ của siêu mặt, ký hiệu Hf , xác định bởi 1 Hf := H + h∇f, Ni, n−1 trong đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt. Định nghĩa trên đã được kiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm hàm diện tích với mật độ (xem [40]). Các khái niệm thể tích, chu vi, độ cong, độ cong trung bình, mặt cực tiểu,... với mật độ còn được gọi một cách đơn giản là f -thể tích, f -chu vi, f -độ cong, f -độ cong trung bình, f -mặt cực tiểu,... Đa tạp với mật độ liên quan đến Vật lý khi nghiên cứu các mặt hoặc các vùng trên mặt có sự phân bố mật độ nội tại khác nhau tại các điểm khác nhau, để xác định khối lượng của chúng ta cần tính tích phân theo mật độ. Ngoài ra, đa tạp với mật độ còn liên quan đến lĩnh vực Kinh tế khi mặt phẳng xác suất Gauss, mặt phẳng R2 1 −r2 /2 với mật độ 2π e , được dùng thường xuyên trong xác suất thống
2 kê. Do đó, việc tìm hiểu Hình học vi phân với mật độ không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn ý nghĩa thực tiễn. Đa tạp với mật độ đã xuất hiện khá lâu trong Toán học dưới tên gọi khác là “mm-không gian” hoặc “đa tạp với trọng” (weighted manifolds). Sau này, giáo sư Morgan đã gọi tên lớp đa tạp này là “đa tạp với mật độ” (manifolds with density) (xem [40]). Hiện nay, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực mới đang được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà Toán học, trong đó phải kể đến giáo sư Morgan và nhóm cộng sự của ông. Họ đã chứng minh được nghiệm của bài toán đẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải có f -độ cong trung bình hằng (xem [14]). Một siêu mặt Σ trong (M, g, e−f dV ) (trong (M, g)) được gọi là f -cực tiểu hay f -cực đại (cực tiểu hay cực đại ) nếu f -độ cong trung bình (độ cong trung bình) của Σ thỏa mãn Hf (Σ) = 0 (H(Σ) = 0). Nếu Hf (Σ) = λ là một hằng số thì Σ được gọi là một λ-siêu mặt. Vấn đề nghiên cứu lý thuyết, khảo sát các tính chất của mặt f -cực tiểu, mặt có f -độ cong trung bình hằng trong đa tạp với mật độ đã và đang nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học. Các tác giả C. Ivan, H. Neil, H. Stephanie, Ă. Vojislav and Y. Xu đã chỉ ra một số mặt có f -độ cong trung bình hằng trong không gian Gauss, khảo sát một số chính chất hình học của các mặt có f -độ cong trung bình hằng (xem [14]). J. M. Espinar và H. Rosenberg đã khảo sát tính chất hình học của các mặt đầy đủ có f -độ cong trung bình hằng (xem [13]). D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f -cực tiểu trong không gian R3 với mật độ log-tuyến tính (xem [31]). Mặt khác, tính chất f -cực tiểu diện tích của các siêu mặt f -cực tiểu cũng đang được quan tâm. Chẳng hạn, D. T. Hieu đã áp dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh một số đa tạp con là f -cực tiểu diện tích (xem [29]). Mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss chính là các shrinker, một nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu kỳ dị của dòng độ cong trung
3 bình (xem [12]). Đây cũng là một vấn đề đang được quan tâm nghiên cứu hiện nay: dòng độ cong trung bình, các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình, mối liên hệ giữa chúng với các siêu mặt f -cực tiểu trong các không gian với mật độ (xem [24], [47], [48]). Những năm gần đây, mặt cực tiểu trong các không gian dạng tích được nghiên cứu bởi Harold Rosenberg và các cộng sự của ông (xem [13], [44]). Nó đang là một đề tài thu hút sự quan tâm của nhiều nhà Toán học. Chú ý rằng không gian Gauss cũng là một không gian với mật độ dạng tích Gn = G1 × . . . × G1 . Theo hướng mở rộng các định lý cổ điển của Hình học vi phân lên không gian và đa tạp với mật độ, nhiều kết quả đã được công bố như: định lý Gauss-Bonnet suy rộng (xem [15]), định lý Liouville đối với các hàm điều hòa bị chặn trong không gian với mật độ (xem [36]),... Tuy nhiên, một số định lý cổ điển không còn đúng khi gia thêm mật độ. Chẳng hạn, định lý bốn đỉnh không còn đúng trên mặt phẳng với mật độ cầu (xem [33]). Theo đó, việc mở rộng các kết quả của định lý Bernstein cổ điển, định lý halfspace cổ điển để thu được các định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace với các mở rộng lên các mặt đối chiều cao, lên các đa tạp tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz,...) hay lên các đa tạp với mật độ,... đã và đang là những vấn đề thời sự được nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem [1], [24], [28], [32], [44], [47], [48]). Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu và giải quyết các vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là “Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích”. Ở đây, luận án đề cập đến hai định lý quan trọng, liên quan đến kết quả chính của luận án: định lý Bernstein và định lý halfspace. Định lý Bernstein cổ điển và các mở rộng Định lý Bernstein cổ điển khẳng định rằng một đồ thị cực tiểu toàn phần trên toàn bộ R2 là một phẳng trong R3 (xem [43]). Kết quả này đã được chứng minh bởi Bernstein vào những năm 1915-
4 1917. Nhiều nhà Toán học đã cố gắng tổng quát định lý Bernstein cho các trường hợp số chiều hoặc đối chiều cao hơn. Năm 1965, De Giorgi đã chứng minh định lý Bernstein đối với các đồ thị cực tiểu toàn phần trên toàn R3 trong R4 (xem [17]). Năm 1966, Almgren tiếp tục chứng minh định lý này trong R5 (xem [2]). Năm 1968, Simons đã mở rộng định lý này lên R8 . Ông ấy đã chứng minh rằng một đồ thị cực tiểu toàn phần n-chiều phải là một siêu phẳng với n ≤ 7 (xem [46]). Năm 1969, Bombieri, De Giorgi, và Giusti đã đưa ra phản ví dụ trong trường hợp mặt với số chiều 8 và cao hơn (xem [5]), điều này chứng tỏ rằng kết quả của định lý Bernstein chỉ đúng với n ≤ 7. Như vậy, việc chứng minh định lý Bernstein đối với các siêu mặt cực tiểu trong Rn xem như đã giải quyết xong. Trong lý thuyết mặt cực tiểu, định lý Bernstein là một trong những định lý cơ bản nhất. Vì vậy, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có một định lý kiểu Bernstein trong một không gian khác với Rn như đa tạp Riemann, không gian Lorentz-Minkowski, không gian tích cong, đa tạp với mật độ,... Hoàn toàn tương tự, định lý Bernstein cũng được phát biểu cho các siêu mặt cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski Rn+1 1 . Khác với định lý Bernstein đối với các mặt cực tiểu trong R n+1 , đối n+1 với mặt cực đại trong không gian Lorentz-Minkowski R1 , định lý Bernstein đúng với mọi n (xem [8]). Các nhà Toán học đã và đang mở rộng định lý Bernstein để thu được các định lý kiểu Bernstein theo nhiều cách khác nhau. Định lý halfspace cổ điển và các mở rộng Một định lý liên quan đến mặt cực tiểu đã và đang thu hút sự quan tâm của các nhà Toán học trong những năm gần đây nữa là định lý halfspace (định lý nửa không gian). Định lý halfspace cổ điển của Hoffman-Meeks (xem [35]) khẳng định rằng hai mặt nhúng proper cực tiểu, đầy đủ trong R3 luôn cắt nhau trừ khi chúng là các mặt phẳng song song.
5 Khi thay một trong hai mặt ở trên bởi một mặt phẳng thì ta được định lý halfspace yếu và cũng được gọi là định lý halfspace. Người ta đã chỉ ra rằng các định lý halfspace này không còn đúng trong trường hợp số chiều cao. Vì vậy, các nhà Toán học đang tập trung mở rộng định lý halfspace theo các cách khác nhau để có thể thu được các định lý kiểu halfspace như: - Mở rộng lên các đa tạp với mật độ; - Mở rộng lên các không gian tích; - Mở rộng lên lớp các mặt f -cực tiểu đối chiều 1, đối chiều cao,... • Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích với mục đích sau: - Nghiên cứu phát biểu mối quan hệ giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. - Nghiên cứu phát biểu một số tính chất của mặt f -cực tiểu trong các không gian tích. - Nghiên cứu xây dựng các định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace cho các mặt f -cực tiểu (f -cực đại) trong không gian tích. - Nghiên cứu phát biểu một số kết quả về mặt f -cực tiểu đối chiều cao. • Để đạt được mục đích đặt ra, chúng tôi nghiên cứu theo các bước: - Chọn một số không gian tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz) cụ thể. - Trên không gian tích đã chọn, xét các mặt f -cực tiểu (đối chiều 1 hoặc đối chiều cao), tiến hành tìm hiểu và phát biểu: một số tính chất, định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu halfspace cho các mặt f -cực tiểu đó. • Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng các phương pháp nghiên cứu chính sau: - Sử dụng các phép tính vi tích phân trong các tính toán. - Phương pháp biến phân để xác định các biến phân diện tích theo mật độ.
6 - Đặc biệt, phương pháp dùng dạng cỡ kết hợp với định lý Stokes để chứng minh các tính chất cực tiểu diện tích được sử dụng hầu khắp chương 3 của luận án. - Sử dụng định lý divergence tổng quát để xây dựng công thức về f -thể tích của m-shrinker và kết quả liên quan đến định lý kiểu Bernstein đối chiều cao trong Gn . Với tên đề tài và mục đích nghiên cứu của luận án, phần nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương: Chương 1: “Sơ lược về mặt cực tiểu”. Trong chương này, tổng hợp từ một số tài liệu, luận án trình bày sơ lược một số khái niệm, tính chất, ví dụ và kết quả quan trọng liên quan đến mặt cực tiểu. Chương 2: “Mặt f -cực tiểu”. Trong chương này, các mục 2.1, 2.2 và 2.3 được tổng hợp từ một số tài liệu để trình bày tổng quan về đa tạp với mật độ và một số khái niệm, tính chất, kết quả quan trọng về mặt f -cực tiểu. Đặc biệt, trong mục 2.4 về dòng độ cong trung bình và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình, tác giả đã thu được một số kết quả chính của luận án. Chương 3: “Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích”. Nhằm giúp người đọc tiện theo dõi, trong chương này luận án dành riêng mục 3.1 để giới thiệu một số khái niệm, tính chất về không gian tích (tích Riemann, tích cong, tích Lorentz) và không gian tích với mật độ, chúng được tổng hợp từ một số tài liệu tham khảo. Sau đó, trong các mục 3.2, 3.3 và 3.4 tác giả trình bày một số kết quả chính mà luận án đạt được về mặt f -cực tiểu (f -cực đại) trong các không gian tích cụ thể. Ngoài ra, để người đọc dễ nắm bắt nội dung và kết quả chính của mỗi chương, luận án đã trình bày nội dung tóm tắt và kết luận tương ứng ở đầu và cuối của chương đó.
7 Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ MẶT CỰC TIỂU Trong chương này, tổng hợp từ các tài liệu [11], [12], [16], [18], [27], [38], [42], [49], [50], luận án trình bày sơ lược về mặt cực tiểu bao gồm: một số khái niệm cơ bản như độ cong trung bình và vectơ độ cong trung bình của siêu mặt trong Rn , vectơ độ cong trung bình của một đa tạp con k-chiều trong một đa tạp Riemann n-chiều; các ví dụ và kết quả quan trọng về mặt cực tiểu; và cuối cùng là khái niệm dòng độ cong trung bình, các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình (co rút hoặc tịnh tiến). 1.1 Độ cong trung bình 1.1.1 Độ cong trung bình của siêu mặt trong Rn Định nghĩa 1.1.1.3. Cho Σ là một siêu mặt trong Rn và điểm p ∈ Σ. Khi đó 1. Độ cong trung bình H(p) của siêu mặt Σ tại điểm p ∈ Σ được xác định bởi 1 H(p) = tr Sp . n−1 Do đó, ta có n−1 1 X H(p) = κi (p), n−1 i=1 với κi (p) là các độ cong chính của Σ tại p. ~ := HN được gọi là vectơ độ cong trung bình của Σ. 2. Vectơ H 3. Định thức của Sp được gọi là độ cong Gauss của Σ tại p, ký hiệu bởi K(p).
8 Xét siêu mặt dạng đồ thị Σu của hàm trơn u : U ⊆ Rn−1 −→ R, được tham số hóa bởi r(x) = x, u(x) . Khi đó, trường vectơ pháp đơn vị của Σu được tính bởi 1 N= p (−∇u, 1). 1 + |∇u|2 Do đó, độ cong trung bình của đồ thị Σu được cho bởi đẳng thức ! 1 ∇u H= div p . n−1 1 + |∇u|2 1.1.2 Độ cong trung bình của đa tạp con Định nghĩa 1.1.2.3. 1. Dạng cơ bản thứ hai trên Σ là một dạng song tuyến tính đối xứng A, được xác định bởi đẳng thức A(X, Y ) = (∇X Y )N . ~ của Σ tại p được xác định bởi 2. Vectơ độ của trung bình H k ~ = 1 X H A(ei , ei ), k i=1 trong đó {ei } là một cơ sở trực chuẩn của Tp Σ. Nếu Σ là một siêu mặt có vectơ pháp đơn vị N sao cho e1 , . . . , en−1 , N định hướng dương thì H := H.N ~ được gọi là độ cong trung bình của Σ tại p. 3. Cho X là một trường vectơ trên mặt Σ, khi đó divergence của X tại p ∈ Σ, ký hiệu là divΣ X, được xác định bởi X k divΣ X = gp (∇ei X, ei ). i=1 Nhận xét 1.1.2.4. Nếu Σ là một siêu mặt thì ta có n−1 X n−1 X (n − 1)H = g A(ei , ei ), N = − g (∇ei N, ei ) = − divΣ N, i=1 i=1 trong đó N là vectơ pháp đơn vị của Σ tại p.
9 1.2 Mặt cực tiểu. Một số ví dụ 1.2.1 Mặt cực tiểu Định nghĩa 1.2.1.1. Mặt Σ được gọi là mặt cực tiểu nếu độ cong trung bình của nó triệt tiêu tại mọi điểm, nghĩa là H ≡ 0. Trong Rn , xét đồ thị cực tiểu Σ, xác định bởi xn = f (x1 , · · · , xn−1 ), có tham số hóa r(x1 , . . . , xn−1 ) = (x1 , . . . , xn−1 , f (x1 , . . . , xn−1 )). Từ điều kiện H = 0 ta suy ra rằng i,j g ij fij = 0. Đặc biệt, khi P n = 3, ta thu được phương trình siêu mặt cực tiểu (phương trình Lagrange): (1 + fy2 )fxx − 2fx fy fxy + (1 + fx2 )fyy = 0, trong đó ta đã ký hiệu x = x1 , y = x2 . 1.2.2 Một số ví dụ Mặt Cateniod; Mặt Helicoid; Mặt Scherk. 1.3 Một số kết quả quan trọng về mặt cực tiểu - Công thức biến phân thứ nhất cho thấy mặt cực tiểu là mặt có độ cong trung bình triệt tiêu tại mọi điểm, một cách tương đương đó là các điểm cực trị của phiếm hàm diện tích. - Mệnh đề sau cho ta một kết quả quan trọng khác (xem [50]). Mệnh đề 1.3.5. Đồ thị cực tiểu trong Rn là mặt cực tiểu diện tích trong lớp đồng điều của nó. - Kết quả sau liên quan đến toán tử Laplace (xem [50]). Hệ quả 1.3.7. Mỗi phép nhúng đẳng cự ψ : M −→ Rn là một phép nhúng cực tiểu khi và chỉ khi mỗi thành phần của ψ là một hàm điều hòa trên M. 1.4 Dòng độ cong trung bình. Các nghiệm tự đồng dạng Định nghĩa 1.4.1. Dòng độ cong trung bình là họ (một tham số) (Ft )t∈I các siêu mặt di chuyển theo hướng vectơ pháp với vận tốc bằng độ cong trung bình của mặt. Trường hợp 1-chiều của dòng độ cong trung bình được gọi là dòng các đường cong. Cụ thể hơn: Cho M là một siêu mặt trong không gian Rn+1 . Một phép nhúng phụ thuộc thời gian Ft = F (., t) : M −→ Rn+1 , trong đó t ∈ [0, T ] ⊂ R,
10 là một nghiệm của dòng độ cong trung bình nếu ∂ F (p, t) = H(p, t).N(p, t), p ∈ M, t ∈ [0, T ], ∂t với H(p, t), N(p, t) lần lượt là độ cong trung bình và pháp vectơ đơn vị của siêu mặt Ft (M ) tại Ft (p). Trong các nghiệm của dòng độ cong trung bình, có một loại nghiệm đặc biệt là nghiệm tự đồng dạng (self-similar). Chúng ta xét hai loại nghiệm tự đồng dạng đó là nghiệm tự đồng dạng co rút (self-shrinker hay shrinker) và nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến. 1.5 Kết luận Chương 1 Trong Chương 1, tổng hợp từ một số tài liệu tham khảo, luận án đã giới thiệu sơ lược về mặt cực tiểu bao gồm: - Một số khái niệm liên quan đến siêu mặt tham số trơn, chính quy trong không gian Rn . - Một số khái niệm cơ bản, cần thiết như: độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình của một siêu mặt trong không gian Rn và của đa tạp con k-chiều trong một đa tạp Riemann n-chiều; mặt cực tiểu; dòng độ cong trung bình, các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình (co rút hoặc tịnh tiến). - Một số kết quả quan trọng về mặt cực tiểu như: + Mặt cực tiểu chính là các điểm cực trị của phiếm hàm diện tích. + Đồ thị cực tiểu là cực tiểu diện tích trong lớp đồng điều của nó. + Mỗi phép nhúng đẳng cự ψ : M → Rn là một phép nhúng cực tiểu khi và chỉ khi mỗi thành phần của ψ là một hàm điều hòa trên M.
11 Chương 2 MẶT f -CỰC TIỂU Trong chương này, từ các tài liệu [14], [20], [26], [29], [31], [32], [40], luận án trình bày tổng quan về đa tạp với mật độ và một số mật độ cụ thể thường gặp như mật độ Gauss, mật độ cầu, mật độ log-tuyến tính,... Sau đó, chúng ta có khái niệm mặt f -cực tiểu và các ví dụ về mặt f -cực tiểu. Ngoài ra, một số kết quả quan trọng về mặt f -cực tiểu cũng được giới thiệu trong chương này. Cuối cùng, trong mục 2.4 luận án xây dựng và chứng minh được mối liên hệ giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình, kết quả này được trích từ bài báo [20] nằm trong danh mục công trình nghiên cứu của tác giả liên quan đến đề tài. 2.1 Đa tạp với mật độ Định nghĩa 2.1.1. Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann trơn n-chiều với hàm mật độ trơn, dương e−f được sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều (trường hợp 1-chiều gọi là độ dài, ký hiệu là L, trường hợp 2-chiều gọi là diện tích, ký hiệu là A và trường hợp 3-chiều gọi là thể tích, ký hiệu là V ). Giả sử dV là phần tử thể tích k-chiều Riemann. Khi đó, phần tử thể tích k-chiều theo mật độ e−f , ký hiệu dVf , được cho bởi công thức dVf = e−f dV. Định nghĩa 2.1.4. Không gian Gauss Gn là không gian Rn với n r2 mật độ Gauss (2π)− 2 e− 2 , trong đó r là khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ. Đặc biệt, mặt phẳng Gauss là mặt phẳng Ơclit R2 với r2 mật độ (2π)−1 e− 2 . Tổng quát khái niệm không gian Gauss là khái niệm đa tạp với mật độ cầu, hàm mật độ e−f (r) , trong đó r là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đang xét, f là một hàm trơn.
12 Ngoài ra, một không gian với mật độ thường gặp nữa là không gian với mật độ log-tuyến tính, không gian Rn với mật độ e−f (x) , trong đó f (x) = ni=1 ai xi + b, ai , b ∈ R, ni=1 a2i 6= 0. P P Định nghĩa 2.1.5. Cho ω là một k-dạng vi phân trên đa tạp M với mật độ e−f . Khi đó, vi phân ngoài với mật độ hay f -vi phân ngoài của ω được xác định bởi đẳng thức df ω := ef d(e−f ω). Dạng vi phân ω được gọi là df -đóng nếu df ω = 0, được gọi là df -khớp nếu tồn tại dạng vi phân η sao cho ω = df η. Trong luận án này, phương pháp dạng cỡ được dùng nhiều để chứng minh các kết quả chính. Định lý Stokes là công cụ chính để chứng minh nguyên lý dạng cỡ. Trong không gian với mật độ, ta có: Mệnh đề 2.1.6. Cho ω là một dạng vi phân trên đa tạp định hướng M. Khi đó, ta có Z Z −f e df ω = e−f ω. M ∂M 2.2 Mặt f -cực tiểu. Một số ví dụ Định nghĩa 2.2.1. Trên một đa tạp Riemann M n với mật độ e−f , độ cong trung bình với mật độ hay f -độ cong trung bình, ký hiệu Hf , của một siêu mặt Σ với vectơ pháp đơn vị hướng ra ngoài N được cho bởi công thức 1 Hf = H + h∇f, Ni , n−1 trong đó H là độ cong trung bình Riemann của Σ. Chú ý rằng trong một số tài liệu, độ cong trung bình được xác định bởi công thức H(p) = tr Sp , khi đó công thức f -độ cong trung bình tương ứng là Hf = H + h∇f, Ni . Định nghĩa 2.2.1. Trên một đa tạp Riemann M với mật độ e−f , siêu mặt Σ được gọi là f -cực tiểu hay cực tiểu với mật độ nếu f -độ cong trung bình của nó bằng 0 tại mọi điểm trên mặt.
13 2.3 Một số kết quả quan trọng về mặt f -cực tiểu - Độ cong trung bình với mật độ của siêu mặt cũng thỏa mãn công thức biến phân thứ nhất theo mật độ của phiếm hàm f -diện tích. Do đó, một siêu mặt f -cực tiểu tương đương với việc nó là một cực trị của phiếm hàm f -diện tích. - Trên đa tạp với mật độ, chúng ta có nguyên lý dạng cỡ sau: Mệnh đề 2.3.2. Mọi đa tạp con có biên hoặc không biên được định cỡ với mật độ là cực tiểu diện tích theo mật độ trong lớp các đa tạp con đồng điều với nó. - Định lý sau đây cho ta một kết quả quan trọng khác: Định lý 2.3.3. Cho Σ là đồ thị của hàm khả vi cấp hai u : U ⊂ Rn−1 −→ R. Nếu Σ là siêu mặt f -cực tiểu trong Rn = Rn−1 × R với mật độ e−f (x1 ,...,xn−1 ) thì Σ cực tiểu diện địa phương với mật độ. Định nghĩa 2.3.2. Cho Σ là một siêu mặt trong Rn với mật độ e−f và X : U ⊂ Rn−1 −→ Rn là một tham số hóa của Σ. Khi đó, f -Laplace của X được xác định bởi ∆f X := ∆X + h∇f, NiN. - Ta thu được kết quả quan trọng tương tự trong Rn như sau: Định lý 2.3.9. Cho X : U ⊂ Rn−1 −→ Rn là một tham số hóa trực giao của siêu mặt Σ, khi đó X là f -cực tiểu khi và chỉ khi ∆f X = 0. Sau đây là một số kết quả chính thu được của luận án về mối liên hệ giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. Các kết quả này được trích từ [20], một bài báo nằm trong danh mục công trình nghiên cứu của tác giả. 2.4 Mối liên hệ giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình 2.4.1 Mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng co rút Mệnh đề 2.4.1.1. Nghiệm tự đồng dạng co rút của dòng độ cong trung bình trong Rn là siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với 2 mật độ tựa Gauss, Rn với mật độ e−r /4 .
14 2.4.2 Mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến Mệnh đề 2.4.2.1. Nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến của dòng độ cong trung bình là mặt f -cực tiểu trong không gian với mật độ log-tuyến tính. 2.5 Kết luận Chương 2 Trong Chương 2, luận án đã giải quyết được các vấn đề sau: - Trình bày một cách tổng quan về đa tạp với mật độ, các ví dụ và một số khái niệm trong không gian với mật độ. Giới thiệu một số không gian với mật độ thường gặp như không gian Gauss, không gian với mật độ cầu và không gian với mật độ log-tuyến tính. - Giới thiệu sơ lược về mặt f -cực tiểu, một số ví dụ và tổng hợp một số kết quả quan trọng về mặt f -cực tiểu như: + Một siêu mặt f -cực tiểu tương đương với việc nó là một cực trị của phiếm hàm f -diện tích. + Mọi đa tạp con được định cỡ với mật độ là f -cực tiểu diện tích trong lớp các đa tạp con đồng điều với nó. + Nếu Σ là một siêu mặt f -cực tiểu trong Rn = Rn−1 × R với mật độ e−f (x1 ,...,xn−1 ) thì Σ là cực tiểu diện tích theo mật độ một cách địa phương. + Từ khái niệm toán tử f -Laplace suy ra một siêu mặt tham số hóa trực giao với tham số hóa X là f -cực tiểu khi và chỉ khi ∆f X = 0. - Đặc biệt, luận án đã thiết lập và chứng minh được mối liên hệ giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. Cụ thể, luận án đã chứng minh: + Nghiệm tự đồng dạng co rút của dòng độ cong trung bình trong Rn là siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với mật độ tựa 2 Gauss, Rn với mật độ e−r /4 (Mệnh đề 2.4.1.1). + Nghiệm tự đồng dạng tịnh tiến của dòng độ cong trung bình là siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với mật độ log-tuyến tính (Mệnh đề 2.4.2.1).
15 Chương 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH Trong chương này, tác giả trình bày các kết quả chính mà luận án đạt được về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích với mật độ, trong đó phép toán tích có thể là tích Riemann, tích cong (tích warped) hay tích Lorentz. Để tiện theo dõi, trước khi đi vào các kết quả chính đó, luận án dành mục 3.1 đầu tiên để trình bày sơ lược một số khái niệm về đa tạp với mật độ dạng tích hay tích của các đa tạp với mật độ, không gian tích cong, không gian tích Lorentz và một số tính chất cơ bản trong các không gian tích này. Nội dung của mục 3.1 này được trích từ các tài liệu [39], [42], [45]. Sau đó, bằng cách xét mỗi không gian tích với mật độ cụ thể, trong các mục 3.2, 3.3 và 3.4 tiếp theo, luận án lần lượt thu được một số kết quả về mặt f -cực tiểu (f -cực đại) trong các không gian tích với mật độ bao gồm: tính cực tiểu diện tích (địa phương hoặc toàn cục) với mật độ của các silce trong một số không gian tích cong với mật độ; một số định lý kiểu Bernstein cho các siêu mặt f -cực tiểu (f -cực đại); cuối cùng là một số kết quả liên quan đến định lý kiểu Bernstein và các kết quả kiểu nửa không gian cho các mặt f -cực tiểu cả đối chiều 1 và đối chiều cao trong không gian Gauss. Các kết quả thu được trong chương này của luận án được trích từ các bài báo [3], [21], [22], [30] nằm trong danh mục công trình nghiên cứu của tác giả liên quan đến đề tài.
16 3.1 Không gian mật độ với tích Riemann, tích cong, tích Lorentz Định nghĩa 3.1.5. Giả sử M1 và M2 là hai đa tạp với mật độ, trong đó các hàm mật độ tương ứng lần lượt là e−h1 (x) và e−h2 (y) . Trên đa tạp tích M1 ×M2 , chúng ta xét hàm mật độ e−f (x,y) = e−(h1 (x)+h2 (y)) với mọi x ∈ M1 , y ∈ M2 . Khi đó, phần tử thể tích k-chiều theo mật độ của M1 × M2 được xác định bởi dVf = e−(h1 +h2 ) dVM1 dVM2 . Ta gọi M1 × M2 với mật độ như trên là đa tạp tích với mật độ (đa tạp với mật độ dạng tích) hay tích của các đa tạp với mật độ. Để ý rằng với định nghĩa trên, chúng ta có thể xem không gian Gauss là tích của các đường thẳng Gauss Gn = G1 × · · · × G1 (n nhân tử). Mặt khác, theo Mệnh đề 2.4.1.1, shrinker là mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss, một không gian với mật độ dạng tích. Đây là lý do tại sao trong một số kết quả chính đạt được của luận án mặt được xét là shrinker trong khi tên đề tài của luận án là “Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong các không gian tích”. Trong mục 3.2 sau đây, luận án trình bày một số kết quả chính mà luận án đạt được về mặt f -cực tiểu trong không gian tích cong R+ ×w Gn . Các kết quả này được trích từ [21], một bài báo nằm trong danh mục các công trình nghiên cứu của tác giả liên quan đến đề tài. 3.2 Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong không gian tích cong R+ ×w Gn Một chủ đề được tiếp cận rộng rãi trong những năm gần đây là các bài toán về siêu mặt trong một đa tạp tích cong dạng R+ ×w M, trong đó R+ = [0, +∞), (M, g) là một đa tạp Riemann n-chiều, w