Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số mở rộng của môđun nội xạ và các vành liên quan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Một số mở rộng của môđun nội xạ và các vành liên quan" có cấu trúc gồm 3 chương. Chương 1: kiến thức chuẩn bị; chương 2: mô đun bất biến đẳng cấu và các vành liên quan; chương 3: vành mà mỗi i đêan phải hữu hạn sinh bất biến đẳng cấu. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số mở rộng của môđun nội xạ và các vành liên quan

I HÅC HU TR×ÍNG I HÅC S× PHM O THÀ TRANG MËT SÈ MÐ RËNG CÕA MÆUN NËI X V CC VNH LIN QUAN Chuy¶n ng nh: ¤i sè v lþ thuy¸t sè M¢ sè: 9460104 LUN N TIN S TON HÅC xg÷íi h÷îng d¨n kho hå IX PGS.TS. TR×ÌNG CÆNG QUÝNH xg÷íi h÷îng d¨n kho hå PX GS.TS. L VN THUYT HU, NM 2022
Líi mð ¦u vþ thuy¸t v nh k¸t hñp khæng gio ho¡n nâi hung 1¢ r 1íi hìn IHH n«mF ri»n nyD lþ thuy¸t n y v¨n khæng ngøng 1÷ñ ¡ nh to¡n hå qun t¥mD nghi¶n ùuF rong 1âD h÷îng nghi¶n ùu §u tró õ v nh dü tr¶n vi» nghi¶n ùu ¡ t½nh h§t õ mæ1un tr¶n hóng thu 1÷ñ nhi·u k¸t qu£ qun trångF rong lþ thuy¸t mæ1unD lîp mæ1un nëi x¤ â mët và tr½ trung t¥m 1° i»t m tø 1â ¡ nh to¡n hå luæn t¼m ¡h mð rëng theo nhi·u h÷îng kh¡ nhu v 1¢ â r§t nhi·u lîp mæ1un mð rëng õ nâ r 1íiF x«m IWRHD fer 1¢ giîi thi»u v· lîp REmæ1un M l h¤ng tû trü ti¸p õ måi mæ1un hù nâF fer 1¢ h¿ r 1i·u ki»n n y t÷ìng 1÷ìng vîi 1i·u ki»n måi RE1çng §u φ tø mët i1¶n I §t ký õ R v o M 1·u tçn t¤i ph¦n tû m ∈ M so ho φ(x) = mx vîi måi x ∈ I @IHAF x«m IWSTD grtn v iilenerg 1¢ dòng ngæn ngú õ 1¤i sè 1çng 1i·u 1º di¹n 1¤t lîp mæ1un n y v dòng thuªt ngú 4nëi x¤4 1º h¿ hóng @IRAF gö thºD mët mæ1un M 1÷ñ gåi l nëi x¤ n¸u måi 1çng §u tø mæ1un on A õ mæ1un B v o M 1·u â thº mð rëng 1¸n mët 1çng §u tø B v o M F x«m IWTID tohnson v ong 1¢ giîi thi»u mët mð rëng õ mæ1un nëi x¤ 1â l mæ1un tü nëi x¤ @QQAF wët mæ1un 1÷ñ gåi l tüa nëi x¤ n¸u méi 1çng §u tø mët mæ1un on õ nâ v o nâ mð rëng 1¸n tü 1çng §u õ nâF g¡ 1° tr÷ng õ mæ1un tü nëi x¤ 1¢ 1÷ñ mët sè t¡ gi£ nghi¶n ùu trong UD PID PQD RTFF F F wët mð rëng qun trång õ lîp mæ1un tü nëi x¤ l gi£ nëi x¤D nâ 1÷ñ tin v ingh giîi thi»u trong QPF wët mæ1un 1÷ñ gåi l gi£ nëi x¤ n¸u måi 1ìn §u tø mæ1un on õ nâ v o nâ â thº mð rëng 1¸n mët tü 1çng §u õ nâF u 1âD nhi·u t¡ gi£ ông 1¢ ti¸p tö nghi¶n ùu lîp mæ1un n y nh÷ wF vF eply @SPAD rF F hinh @IUADFFF îi ph÷ìng ph¡p mð rëng lîp mæ1un nëi x¤ nh÷ tr¶nD 1¢ â r§t nhi·u lîp mæ1un 1÷ñ giîi thi»u v nghi¶n ùuF gh¯ng h¤nD elhmdiD ir v tin trong R 1÷ r lîp mæ1un gi£ nëi x¤ èt y¸uD wF rrd @PRA 1¢ 1÷ r lîp mæ1un GQEnëi x¤D gF F glr v F pF mith @ISA 1¢ 1÷ r lîp mæ1un tü C Enëi x¤DFFF xgo i rD mët sè t¡ gi£ án mð rëng lîp mæ1un nëi x¤ dü theo i¶u hu©n fer @IHD heorem IAY â thº kº 1¸n nh÷ l lîp mæ1un pEnëi x¤ @RRAD mæ1un tü pEnëi x¤ @SHAF gâ thº nh¼n nhªn kh½ ¤nh t½nh nëi x¤ õ ¡ mæ1un qu qun 1iºm §t i¸nD P
trong QQ tohnson v ong 1¢ h¿ r lîp ¡ mæ1un §t i¸n d÷îi t§t £ ¡ tü 1çng §u õ o nëi x¤ õ nâ tròng vîi lîp ¡ mæ1un tü nëi x¤F 0¥y l mët trong nhúng k¸t qu£ qun trång õ lîp mæ1un tü nëi x¤D nâ ho th§y t½nh tü nëi x¤ õ mæ1un â thº 1÷ñ di¹n 1¤t thæng qu ¡ t½nh h§t nëi t¤i õ mæ1un 1âF x«m IWTWD hikson v puller 1¢ nghi¶n ùu lîp mæ1un §t i¸n d÷îi ¡ tü 1¯ng §u õ o nëi x¤ õ nâ ho tr÷íng hñp 1¤i sè húu h¤n hi·u tr¶n mët tr÷íngD ¡ mæ1un nh÷ vªy 1÷ñ gåi ngn gån l mæ1un §t i¸n 1¯ng §u @ITAF x«m PHIQD vee v hou trong RH 1¢ 1ành ngh¾ mæ1un §t i¸n 1¯ng §u ho v nh v mæ1un §t kýY theo 1âD mët REmæ1un M 1÷ñ gåi l b§t bi¸n ¯ng c§u n¸u M §t i¸n qu t§t £ ¡ tü 1¯ng §u õ o nëi x¤ õ M D tù l φ(M ) ≤ M vîi måi tü 1¯ng §u φ õ o nëi x¤ õ M F ri t¡ gi£ vee v hou 1¢ h¿ r lîp mæ1un gi£ nëi x¤ l §t i¸n 1¯ng §uF uy nhi¶nD k¸t qu£ 1ët ph¡ trong hõ 1· n y thuë v· irD inghD rivstv v esensioF rong PP irD ingh v rivstv 1¢ ph¥n t½h mët mæ1un §t i¸n 1¯ng §u th nh têng trü ti¸p õ mët mæ1un tü nëi x¤ v mët mæ1un khæng h½nh ph÷ìngF rå 1¢ h¿ r lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u h½nh l lîp mæ1un gi£ nëi x¤F u 1âD esensio v rivstv trong T 1¢ hùng minh r¬ng lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u thä m¢n t½nh h§t tro 1êi v 1÷ r ¡ 1° tr÷ng õ v nh v mæ1un lenF Ð mët h÷îng ti¸p ªn kh¡D khi xem v nh R nh÷ l REmæ1un ph£i v méi i1¶n ph£i nh÷ l mët REmæ1un onF x«m IWTWD tin v ingh 1¢ nghi¶n ùu lîp v nh m méi i1¶n ph£i l tü nëi x¤D lîp v nh n y 1÷ñ gåi l q -v nh ph£i v hå 1¢ h¿ r mët sè 1° tr÷ng qun trång ho lîp v nh n y @QHAF u 1âD svnov 1¢ têng qu¡t lîp q Ev nh ph£iD gåi l f q -v nh ph£iD 1â l lîp v nh m méi i1¶n ph£i húu h¤n sinh l tü nëi x¤F ¡ gi£ svnov 1¢ nghi¶n ùu f q Ev nh li¶n k¸t vîi ¡ kh¡i ni»m lôy 1¯ng nguy¶n thõy trò mªt v lôy 1¯ng khæng suy i¸nD tø 1â t¡ gi£ 1¢ thu 1÷ñ mët sè k¸t qu£ thó và @PWAF wð rëng ¡ lîp v nh nâi tr¶n theo h÷îng tø t½nh tü nëi x¤ 1¸n t½nh §t i¸n 1¯ng §uD ¡ t¡ gi£ uonD uýnh s v rivstv 1¢ giîi thi»u lîp v nh m méi i1¶n ph£i l §t i¸n 1¯ng §uD lîp v nh n y 1÷ñ gåi l a-v nh ph£i v hå 1¢ thu 1÷ñ nhi·u k¸t qu£ 1µp v· §u tró õ lîp v nh n yF gh¯ng h¤nD mët aEv nh ph£i l têng trü ti¸p õ v nh nû 1ìn h½nh ph÷ìng 1¦y 1õ v v nh khæng h½nh ph÷ìng ph£iF g¡ t¡ gi£ ông thu 1÷ñ 1ành lþ v· §u tró ho mët aEv nh ph£i khæng ph¥n t½h 1÷ñD ertin ph£iD khæng Q
suy i¸n ph£i 1÷ñ iºu di¹n nh÷ l mët v nh ¡ m trªn tm gi¡ khèi @QSAF i¸p tö nghi¶n ùu theo h÷îng n yD hóng tæi 1÷ r lîp v nh m méi i1¶n ph£i húu h¤n sinh l §t i¸n 1¯ng §uD hóng tæi gåi 1â l lîp f aEv nh ph£iF g¡ k¸t qu£ li¶n qun 1¸n f aEv nh 1¢ 1÷ñ nghi¶n ùu trong RVD SQF nh ¡ tü 1çng §u End(M ) õ mæ1un §t i¸n 1¯ng §u M ông â nhi·u t½nh h§t t÷ìng tü vîi v nh ¡ tü 1çng §u õ mæ1un tü nëi x¤F rong TD quil esensio v rivstv 1¢ h¿ r r¬ng End(M )/J(End(M )) l v nh h½nh quy von xeumnn vîi ¡ lôy 1¯ng n¥ng 1÷ñ modulo J(End(M )) v «n toson J(End(M )) gçm t§t £ ¡ tü 1çng §u õ M â nh¥n èt y¸uF uh¯ng 1ành n y t÷ìng tü vîi ¡ k¸t qu£ 1¢ 1÷ñ hùng minh ði pith v tumi trong PQ ho tr÷íng hñp ¡ mæ1un tü nëi x¤ v l mð rëng k¸t qu£ tr÷î 1â õ h½nh tumi ho mæ1un nëi x¤ @SSAF rong SH nh v hum 1¢ nghi¶n ùu v· v nh ¡ tü 1çng §u õ lîp mæ1un tü pEnëi x¤D ¡ t¡ gi£ 1¢ hùng minh 1÷ñ r¬ng n¸u M l mæ1un tü pEnëi x¤D tü sinh v â hi·u qoldie húu h¤n th¼ End(M )/J(End(M )) l v nh nû 1ìnF xghi¶n ùu theo ¡ h÷îng n yD hóng tæi thu 1÷ñ ¡ k¸t qu£ t÷ìng tü ho lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u v v nh ¡ tü 1çng §u õ nâ @SQAF u sì l÷ñ v· ¡ h÷îng nghi¶n ùu v ¡ k¸t qu£ m nhi·u t¡ gi£ thu 1÷ñ nh÷ tr¶nD hóng tæi th§y r¬ng 1º nghi¶n ùu v· lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u v v nh ¡ tü 1çng §u õ nâ ông nh÷ ¡ lîp v nh kh¡ li¶n qun nh÷ lîp f aEv nhD v nh §t i¸n 1¯ng §uD v nh tü proeniusDFFFF ghóng tæi ¦n ph£i hiºu rã v· lîp mæ1un nëi x¤ v ¡ mð rëng õ nâF 0â l lþ do hóng tæi hån 1· t iX "Mët sè mð rëng cõa mæun nëi x¤ v c¡c v nh li¶n quan" ho luªn ¡n n yF rong luªn ¡n n yD hóng tæi hi th nh h÷ìngD trong 1âX gh÷ìng ID hóng tæi tr¼nh y ¡ 1ành ngh¾D kþ hi»u v mët sè t½nh h§t ì £n õ nhúng kh¡i ni»m 1÷ñ sû döng nhi·u l¦n trong luªn ¡nF 0çng thíiD hóng tæi ông li»t k¶ ¡ k¸t qu£ 1¢ 1÷ñ tr½h d¨n trong luªn ¡n 1º ng÷íi 1å thuªn ti»n t¼m ki¸mD theo dãiF gh÷ìng PD hóng tæi nghi¶n ùu mët sè t½nh h§t õ mæ1un §t i¸n 1¯ng §uF ft 1¦u tø v nh ¡ tü 1çng §u õ mæ1un §t i¸n 1¯ng §u v hóng tæi thu 1÷ñ k¸t qu£ h½nh su 1¥yX R
ành lþ 2.2.1: x¸u M l mæ1un §t i¸n 1¯ng §u vîi hi·u qoldie húu h¤n th¼ i1¶n tr¡i ü 1¤i õ v nh End(M ) â d¤ng Au vîi u l ph¦n tû 1·u n o 1â õ M. rìn núD End(M ) l v nh nû ho n h¿nhF ghóng tæi i¸t r¬ng v nh ikrt khæng â t½nh 1èi xùngD ghse 1¢ h¿ r mët v½ dö v· v nh ikrt tr¡i nh÷ng khæng ikrt ph£iF uy nhi¶nD hóng tæi 1¢ kh¯ng 1ành 1÷ñ r¬ng n¸u v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£i v ikrt ph£i th¼ nâ l v nh ikrt hi ph½F M»nh · 2.2.3: gho R l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£iF uhi 1âX @IA x¸u aR l x¤ £nh vîi a ∈ R th¼ Ra l x¤ £nh nh÷ l mët i1¶n tr¡i õ R. @PA x¸u R l v nh ikrt ph£i th¼ R l v nh ikrt tr¡iF xh÷ hóng tæi giîi thi»u ð tr¶nD lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u l mð rëng õ lîp mæ1un tü nëi x¤D lîp mæ1un tü nëi x¤ l mð rëng õ lîp mæ1un nëi x¤F xhi·u nh to¡n hå 1¢ 1÷ r mët sè 1i·u ki»n ho v nh ì sð ho° ho mæ1un 1º lîp mæ1un 4lîn4 tròng vîi lîp mæ1un 4²4F ghóng tæi 1÷ r mët sè tr÷íng hñp 1º lîp mæ1un §t i¸n 1¯ng §u tròng vîi lîp mæ1un tü nëi x¤ ho° lîp mæ1un nëi x¤F wët trong nhúng k¸t qu£ 1÷ñ hóng tæi kh¯ng 1ànhD 1â l X ành lþ 2.3.1: gho R l v nh qoldie ph£i nguy¶n tè v M l REmæ1un thä m¢n udim(M/Z(M )) > 1F uhi 1âD M l mæ1un §t i¸n 1¯ng §u khi v h¿ khi M l mæ1un nëi x¤F x«m IWQWD xkym 1¢ 1÷ r kh¡i ni»m v nh tü proeniusD 1â l v nh tü nëi x¤ hi ph½ v ertin hi ph½F xhi·u 1° tr÷ng ho lîp v nh n y 1¢ 1÷ñ nghi¶n ùuD trong 1â pith 1¢ 1° tr÷ng ho lîp v nh n y l tü nëi x¤ mët ph½ v thä m¢n 1i·u ki»n egg mët ph½ tr¶n ¡ linh hâ tûF ghóng tæi 1¢ l m y¸u 1i·u ki»n õ pith tø t½nh tü nëi x¤ sng t½nh §t i¸n 1¯ng §u v thu 1÷ñ ¡ k¸t qu£X ành lþ 2.4.1: wët v nh l tü proenius n¸u v h¿ n¸u nâ l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£i v thä m¢n 1i·u ki»n egg tr¶n ¡ linh hâ tû ph£i so ho méi i1¶n ph£i tèi tiºu õ nâ l mët linh hâ tû ph£iF ành lþ 2.4.2: g¡ 1i·u ki»n su 1¥y l t÷ìng 1÷ìng 1èi vîi v nh R 1¢ hoX @IA nh R l tü proeniusF @PA R l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£i v thä m¢n 1i·u ki»n egg tr¶n ¡ linh hâ tû ph£i so ho méi i1¶n ph£i tèi tiºu õ R èt y¸u trong mët h¤ng tû trü ti¸p õ RR . S
ành lþ 2.4.3: wët v nh l tü proenius n¸u v h¿ n¸u nâ l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£iD ef Emð rëng ph£i v thä m¢n 1i·u ki»n egg tr¶n ¡ linh hâ tû ph£iF gh÷ìng QD hóng tæi tr¼nh y ¡ k¸t qu£ nghi¶n ùu v· v nh m méi i1¶n ph£i húu h¤n sinh §t i¸n 1¯ng §uF wët k¸t qu£ nêi ti¸ng õ edderurnEertinD hå 1¢ h¿ r r¬ng mët v nh nû 1ìn 1¯ng §u vîi t½h trü ti¸p húu h¤n ¡ v nh m trªn tr¶n ¡ v nh hiF rong QS uonD uýnh v rivstv 1¢ 1÷ r mët s 1ành lþ §u tró ho lîp aEv nhD 1â l X mët aEv nh ph£i l têng trü ti¸p õ v nh nû 1ìn h½nh ph÷ìng 1¦y 1õ v v nh khæng h½nh ph÷ìngF ø ¡ þ t÷ðng tr¶nD hóng tæi 1÷ r §u tró õ mët f aEv nh ph£iD 1â l X ành lþ 3.1.3: wët f aEv nh ph£i 1¯ng §u vîi v nh m trªn tm gi¡ h¼nh thù S 0 â d¤ng vîi S l v nh h½nh quy von xeumnn tü nëi x¤ ph£i h½nh M T ph÷ìng 1¦y 1õD T l v nh khæng h½nh ph÷ìng ph£i v M l T ES Esong mæ1unF rong QSD ¡ t¡ gi£ 1¢ h¿ r mët v nh l aEv nh ph£i n¸u v h¿ n¸u méi i1¶n ph£i èt y¸u õ nâ l §t i¸n 1¯ng §u n¸u v h¿ n¸u nâ l v nh §t i¸n 1¯ng §u ph£i v méi i1¶n ph£i èt y¸u õ nâ l T Emæ1un tr¡i vîi T l v nh on õ nâ 1÷ñ sinh ði ¡ ph¦n tû kh£ nghàh õ nâF ghóng tæi 1¢ thu 1÷ñ k¸t qu£ t÷ìng tü ho f aEv nh vîi hi·u qoldie ph£i húu h¤n @w»nh 1· QFPFIAF rong QH v QSD ¡ t¡ gi£ 1¢ h¿ r vîi n > 1 l sè nguy¶nD v nh m trªn Mn (R) l aEv nh ph£i khi v h¿ khi Mn (R) q Ev nh ph£i khi v h¿ khi R l v nh nû 1ìnF ghóng tæi 1¢ hùng minh 1÷ñ r¬ngX M»nh · 3.3.5: gho n > 1 l sè nguy¶nF g¡ 1i·u ki»n su 1¥y l t÷ìng 1÷ìng 1èi vîi v nh khæng suy i¸n ph£i RX @IA R l v nh h½nh quy von xeumnn tü nëi x¤ ph£iF @PA Mn (R) l f aEv nh ph£iF @QA Mn (R) §t i¸n 1¯ng §u ph£iF uh¡i ni»m f aEv nh khæng â t½nh 1èi xùngF uy nhi¶nD 1èi vîi v nh nû ertin th¼ hóng tæi 1¢ h¿ r t½nh ph£iD tr¡i õ mët f aEv nh khæng suy i¸n l nh÷ nhuF H» qu£ 3.3.7: wët v nh l f aEv nh ph£i nû ertin ph£i khæng suy i¸n ph£i n¸u v h¿ n¸u nâ l f aEv nh tr¡i nû ertin tr¡i khæng suy i¸n tr¡iF T
Ch÷ìng 1 KIN THÙC CHUN BÀ 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t nh R 1¢ ho luæn 1÷ñ gi£ thi¸t l v nh k¸t hñp â ph¦n tû 1ìn và v måi REmæ1un 1÷ñ x²t l unitD tù l x.1R = x vîi måi x ∈ M F vi¸t MR @t÷ìng ùngD RM A 1º h¿ M l mët REmæ1un ph£i @t÷ìng ùngD REmæ1un tr¡iAF uhi nâi REmæ1un M, hóng tæi quy ÷î 1â l REmæ1un ph£i M Y khi khæng sñ nh¦m l¨nD REmæ1un M t vi¸t gån l mæ1un M F kþ hi»u A ≤ M 1º h¿ A l mæ1un on õ M Y f : M → N l RE1çng §u mæ1un tø M v o N Y End(M ) l tªp t§t £ ¡ tü 1çng §u õ M F wët ph¦n tû e õ v nh R 1÷ñ gåi l lôy ¯ng n¸u e2 = eF h¦n tû lôy 1¯ng e ∈ R 1÷ñ gåi l nûa t¥m tr¡i n¸u Re = eRe hy (1 − e)Re = 0F h¹ d ng th§y r¬ngD n¸u e ∈ R l ph¦n tû lôy 1¯ng th¼ End(eR) ∼ eRe v eRe l v nh â ph¦n tû 1ìn = và l eF u 1¥y l t½nh h§t li¶n qun 1¸n ph¦n tû lôy 1¯ngF M»nh · 1.1.1 @IPD vemm IFIA. Cho R l v nh v e l ph¦n tû lôy ¯ng cõa R. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (1) eR(1 − e) = 0. (2) (1 − e)R l mët i¶an cõa v nh R. (3) Re l mët i¶an cõa v nh R. ành ngh¾a 1.1.2. @IA ªp L ¡ mæ1un on n o 1â õ M 1÷ñ gåi l thäa m¢n U
i·u ki»n d¥y chuy·n t«ngD vi¸t tt l eggD trong tr÷íng hñp måi d¢y M1 ≤ M2 ≤ ... trong L tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng n so ho Mk = Mn vîi måi k ≥ n. @PA ªp L ¡ mæ1un on n o 1â õ M 1÷ñ gåi l thäa m¢n i·u ki»n d¥y chuy·n gi£mD vi¸t tt l hggD trong tr÷íng hñp måi d¢y M1 ≥ M2 ≥ ... trong L tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng n so ho Mk = Mn vîi måi k ≥ n. wët REmæ1un M 1÷ñ gåi l Noether (t÷ìng ùng, Artin) n¸u M thä m¢n 1i·u ki»n egg @t÷ìng ùngD hggA 1èi vîi tªp ¡ mæ1un onF nh R 1÷ñ gåi l Noether (t÷ìng ùng, Artin) ph£i n¸u RR l mæ1un xoether @t÷ìng ùngD ertinAF nh xoether @t÷ìng ùngD ertinA tr¡i 1÷ñ 1ành ngh¾ t÷ìng tüF nh R 1÷ñ gåi l Noether (t÷ìng ùng, Artin) n¸u nâ vø l v nh xoether @t÷ìng ùngD ertinA ph£i vø l v nh xoether @t÷ìng ùngD ertinA tr¡iF 1.2 Mæun nëi x¤ v c¡c mð rëng cõa nâ ành ngh¾a 1.2.1. wæ1un U 1÷ñ gåi l M -nëi x¤ n¸u vîi méi mæ1un on K õ M D måi 1çng §u v : K → U 1·u mð rëng 1÷ñ 1¸n 1çng §u v : M → U D tù l ¯ iºu 1ç su gio ho¡n @v f = v AF ¯ f 0 K M v v ¯ U (1) wæ1un U 1÷ñ gåi l nëi x¤ n¸u U l M Enëi x¤ vîi måi mæ1un M F (2) wæ1un M 1÷ñ gåi l tüa nëi x¤ n¸u M l M Enëi x¤F (3) ri mæ1un M v N 1÷ñ gåi l nëi x¤ t÷ìng hé n¸u M l N Enëi x¤ v N l M Enëi x¤F (4) nh R 1÷ñ gåi l tü nëi x¤ ph£i n¸u RR l mæ1un tü nëi x¤F nh tü nëi x¤ tr¡i 1÷ñ 1ành ngh¾ mët ¡h t÷ìng tüF ành lþ 1.2.2 @i¶u hu©n ferA. Mæun MR l nëi x¤ n¸u vîi måi i¶an ph£i I cõa R, måi çng c§u f : IR → MR ·u mð rëng ÷ñc ¸n çng c§u g : RR → MR V
0 I RR f g MR ành lþ 1.2.3 @QWD heorem QFRTA. Cho R l v nh. Khi â, c¡c ph¡t biºu sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (1) Têng trüc ti¸p b§t ký c¡c R-mæun ph£i nëi x¤ l nëi x¤. (2) Têng trüc ti¸p ¸m ÷ñc b§t ký c¡c R-mæun ph£i nëi x¤ l nëi x¤. (3) R l v nh Noether ph£i. M»nh · 1.2.4 @RPD roposition IFSA. Cho M l R-mæun v {Mα}α∈I l mët hå c¡c R-mæun. Khi â, M l Mα -nëi x¤ n¸u v ch¿ n¸u M l Mα-nëi x¤, ∀α ∈ I. α∈I ành lþ 1.2.5 @QTD heorem IA. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh tü nëi x¤ ph£i R: (1) Méi ph¦n tû cõa v nh R l têng cõa hai ph¦n tû kh£ nghàch. (2) Ph¦n tû ìn và cõa v nh R l têng cõa hai ph¦n tû kh£ nghàch. (3) R khæng câ v nh th÷ìng ¯ng c§u vîi Z2. 0èi ng¨u vîi mæ1un nëi x¤D t â kh¡i ni»m mæ1un x¤ £nhF wæ1un M 1÷ñ gåi l x¤ £nh n¸u vîi méi 1çng §u f : M → B v måi to n §u g : A → B õ ¡ mæ1un tr¶n v nh R th¼ tçn t¤i mët 1çng §u h : M → A so ho g ◦ h = f, tù l iºu 1ç su gio ho¡nX M h f A g B 0 ành ngh¾a 1.2.6. 0ìn §u µ : M → I 1÷ñ gåi l bao nëi x¤ õ M n¸u I l mæ1un nëi x¤ v µ l 1ìn §u èt y¸u @tù l Im µ ≤e I AF uhi 1âD t ông nâi I l o nëi x¤ õ M D kþ hi»u l I = E(M ). W
ành ngh¾a 1.2.7. wët mæ1un M 1÷ñ gåi l gi£ nëi x¤ n¸u måi 1ìn §u tø mæ1un on õ M v o M â thº mð rëng 1¸n mët tü 1çng §u õ M F ành ngh¾a 1.2.8. nh R 1÷ñ gåi l tüa Frobenius @gåi tt l QF Ev nhA n¸u R l v nh tü nëi x¤ hi ph½ v ertin hi ph½F ành lþ 1.2.9 @QWD RQA. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh R ¢ cho: (1) R l v nh tüa Frobenius. (2) R l v nh tü nëi x¤ tr¡i ho°c ph£i v Artin tr¡i ho°c ph£i. (3) R l v nh tü nëi x¤ tr¡i ho°c ph£i v Noether tr¡i ho°c ph£i. (4) R l v nh tü nëi x¤ tr¡i ho°c ph£i v thäa m¢n i·u ki»n ACC tr¶n c¡c linh hâa tû ph£i ho°c tr¡i. 1.3 Mët sè lîp v nh li¶n quan ành ngh¾a 1.3.1. nh R 1÷ñ gåi l ch½nh quy von Neumann n¸u måi ph¦n tû a ∈ R tçn t¤i x ∈ R so ho axa = a. nh R 1÷ñ gåi l ch½nh quy m¤nh n¸u måi ph¦n tû a ∈ RD tçn t¤i b ∈ R so ho a = a2 b. ành ngh¾a 1.3.2. wët v nh 1÷ñ gåi l I -húu h¤n n¸u nâ khæng hù tªp væ h¤n ¡ ph¦n tû lôy 1¯ng trü gioF ành lþ 1.3.3 @PTD gorollry PFITA. V nh ch½nh quy von Neumann l nûa ìn khi v ch¿ khi nâ l v nh I -húu h¤n. M»nh · 1.3.4 @PQD heorem QFIA. Cho M l R-mæun ph£i tüa nëi x¤. Khi â, End(M )/J(End(M )) l v nh ch½nh quy von Neumann v J(End(M )) gçm t§t c£ c¡c tü çng c§u cõa M m câ nh¥n cèt y¸u trong M . °c bi»t, n¸u J(End(M )) = 0 th¼ End(M ) l v nh ch½nh quy von Neumann tü nëi x¤ ph£i. qåi Z(M ) := {x ∈ M | rR (x) ≤e RR }. uhi 1âD Z(M ) l mët mæ1un on õ M v 1÷ñ gåi l mæun con suy bi¸n õ M. IH
ành ngh¾a 1.3.5. wët REmæ1un M 1÷ñ gåi l suy bi¸n n¸u Z(M ) = M v 1÷ñ gåi l khæng suy bi¸n n¸u Z(M ) = 0. nh R 1÷ñ gåi l khæng suy bi¸n ph£i n¸u RR l mæ1un khæng suy i¸nD tù l Z(RR ) = 0. M»nh · 1.3.6 @PUD roposition PFPQA. V nh c¡c ph²p bi¸n êi tuy¸n t½nh cõa mët khæng gian vectì ph£i tr¶n mët v nh chia l v nh ch½nh quy von Neumann tü nëi x¤ ph£i. Hìn núa, nâ l tü nëi x¤ tr¡i n¸u v ch¿ n¸u khæng gian vectì ph£i tr¶n v nh chia l húu h¤n chi·u. ành ngh¾a 1.3.7. wët mæ1un tr¶n v nh ertin ph£i 1÷ñ gåi l ìn chuéi n¸u nâ â duy nh§t huéi hñp th nh õ ¡ mæ1un onF wët v nh 1÷ñ gåi l ìn chuéi têng qu¡t n¸u méi mæ1un x¤ £nh khæng ph¥n t½h 1÷ñ tr¶n nâ l mæ1un 1ìn huéiF ành lþ 1.3.8 @PSD heorem SFQA. Cho R l v nh Artin ph£i. Khi â, R l v nh ìn chuéi têng qu¡t khi v ch¿ khi méi R-mæun khæng ph¥n t½ch ÷ñc l tüa nëi x¤. ành ngh¾a 1.3.9. nh R 1÷ñ gåi l nûa Artin ph£i n¸u måi mæ1un th÷ìng kh¡ khæng õ RR â 1¸ kh¡ khængF M»nh · 1.3.10 @PUD roposition IFPIA. Cho M l R-mæun khæng suy bi¸n v N ≤ M. Khi â, M/N l mæun suy bi¸n khi v ch¿ khi N ≤e M. M»nh · 1.3.11 @PUA. Cho R l v nh khæng suy bi¸n ph£i. Khi â: (1) Z(M/Z(M )) = 0 vîi måi R-mæun ph£i M. (2) Mët R-mæun ph£i M l suy bi¸n n¸u v ch¿ n¸u HomR(M, N ) = 0 vîi måi mæun khæng suy bi¸n N . °c bi»t, èi vîi i¶an ph£i I cõa v nh R th¼ R/I l suy bi¸n khi v ch¿ khi I ≤e RR. M»nh · 1.3.12 @RUD roposition UFPFIRA. Cho I l mët i¶an linh cõa v nh R. Khi â, måi ph¦n tû luÿ ¯ng cõa v nh R/I n¥ng ÷ñc modulo I. ành lþ 1.3.13 @ID 0ành lþ PFIFUA. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh R ¢ cho: II
(1) R l v nh ho n ch¿nh ph£i. (2) R l I -húu h¤n v nûa Artin tr¡i. (3) R/J(R) l v nh nûa ìn v måi R-mæun ph£i kh¡c khæng chùa mët mæun con cüc ¤i. 1.4 Chi·u Goldie v v nh Goldie M»nh · 1.4.1 @PVD vemm SFIRA. Mët mæun kh¡c khæng l mæun ·u n¸u v ch¿ n¸u bao nëi x¤ cõa nâ l mæun khæng ph¥n t½ch ÷ñc. ành ngh¾a 1.4.2. wët mæ1un 1÷ñ gåi l câ chi·u Goldie húu h¤n n¸u o nëi x¤ õ nâ l têng trü ti¸p húu h¤n õ ¡ mæ1un on khæng ph¥n t½h 1÷ñ v 1÷ñ kþ hi»u l udim(M ) < ∞F ành lþ 1.4.3 @PVA. C¡c ph¡t biºu sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi mæun M : (1) udim(M ) = n. (2) M chùa mët mæun con cèt y¸u l têng trüc ti¸p cõa n mæun con ·u. (3) M chùa mët têng trüc ti¸p cõa n mæun con kh¡c khæng nh÷ng khæng chùa (n + 1) mæun con kh¡c khæng. ành ngh¾a 1.4.4. nh R 1÷ñ gåi l Goldie ph£i n¸u RR â hi·u qoldie húu h¤n v R thä m¢n 1i·u ki»n egg tr¶n ¡ linh hâ tû ph£iF M»nh · 1.4.5 @PVD roposition TFIQA. Cho R l v nh Goldie ph£i nûa nguy¶n tè v I l i¶an ph£i cõa R. Khi â, I cèt y¸u trong R n¸u v ch¿ n¸u I chùa mët ph¦n tû khæng l ÷îc cõa khæng. qåi t(M ) = {m ∈ M | mr = 0, vîi r l ph¦n tû khæng l ÷î õ khæng n o 1â õ R}. uhi 1âD t(M ) l mët mæ1un on õ M. wæ1un M 1÷ñ gåi l khæng ph£i l mæun xon (t÷ìng ùng, xon, khæng xon) n¸u t(M ) ̸= M @t÷ìng ùngD t(M ) = M, t(M ) = 0AF IP
M»nh · 1.4.6 @PVD roposition UFVA. Cho R l v nh Goldie ph£i nûa nguy¶n tè. Khi â: (1) N¸u M l R-mæun ph£i b§t ký th¼ t(M ) l mæun xon v M/t(M ) l mæun khæng xon. (2) Cho N l R-mæun con cõa M . N¸u N ≤e M th¼ M/N l mæun xon. N¸u N v M/N l c¡c mæun xon th¼ M l mæun xon. (3) Cho N l mæun con cõa M . N¸u N v M/N l c¡c mæun khæng xon th¼ M l mæun khæng xon. ành lþ 1.4.7 @PVD vemm UFIUA. Cho R l v nh Goldie ph£i nûa nguy¶n tè v M l R-mæun ph£i. N¸u M khæng ph£i l mæun xon th¼ M câ mæun con ·u ¯ng c§u vîi mët i¶an ph£i n o â cõa v nh R. IQ
Ch÷ìng 2 MÆUN BT BIN NG CU V CC VNH LIN QUAN 2.1 ành ngh¾a v c¡c t½nh ch§t cõa mæun b§t bi¸n ¯ng c§u ành ngh¾a 2.1.1. wæ1un M 1÷ñ gåi l b§t bi¸n ¯ng c§u n¸u M §t i¸n qu t§t £ ¡ tü 1¯ng §u õ o nëi x¤ õ nâD tù l φ(M ) ≤ M vîi måi tü 1¯ng §u φ : E(M ) → E(M )F wët v nh R 1÷ñ gåi l b§t bi¸n ¯ng c§u ph£i n¸u RR l §t i¸n 1¯ng §uF ành lþ 2.1.2 @RHD heorem PA. Cho M l R-mæun. Khi â, c¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (1) M l mæun b§t bi¸n ¯ng c§u. (2) Vîi måi ¯ng c§u giúa hai mæun con cèt y¸u cõa M câ thº mð rëng th nh mët tü çng c§u cõa M . Vîi måi ¯ng c§u giúa hai mæun con cèt y¸u cõa M câ thº mð rëng th nh (3) mët tü ¯ng c§u cõa M . M»nh · 2.1.3 @RHA. Cho M, M1, M2 l c¡c R-mæun. Khi â: (1) H¤ng tû trüc ti¸p cõa mæun b§t bi¸n ¯ng c§u M l b§t bi¸n ¯ng c§u. (2) N¸u M1 ⊕ M2 l b§t bi¸n ¯ng c§u th¼ M1 l M2-nëi x¤ v M2 l M1-nëi x¤. IR
(3) Mæun M l tüa nëi x¤ n¸u v ch¿ n¸u M ⊕ M b§t bi¸n ¯ng c§u. ành lþ 2.1.4 @PPD heorem ITA. Mæun M l gi£ nëi x¤ n¸u v ch¿ n¸u M l mæun b§t bi¸n ¯ng c§u. M»nh · 2.1.5 @TD roposition IA. Cho M l mæun b§t bi¸n ¯ng c§u. Khi â, End(M )/J(End(M )) l v nh ch½nh quy von Neumann v c¡c luÿ ¯ng n¥ng modulo J(End(M )). Hìn núa, J(End(M )) gçm t§t c£ c¡c tü çng c§u cõa M câ nh¥n cèt y¸u, tùc l J(End(M )) = {s ∈ End(M ) | Ker(s) ≤e M }. ành lþ 2.1.6 @PPD heorem QA. Cho M l mæun b§t bi¸n ¯ng c§u. Khi â, c¡c ph¡t biºu sau ¥y l óng: (1) M = X ⊕ Y vîi X l mæun tüa nëi x¤ v Y l mæun khæng ch½nh ph÷ìng trüc giao vîi X . Trong tr÷íng hñp n y, X v Y l hai mæun nëi x¤ t÷ìng hé. (2) N¸u mæun M khæng suy bi¸n ph£i v vîi b§t ký hai mæun con D1, D2 cõa Y thäa m¢n D1 ∩ D2 = 0 th¼ Hom(D1 , D2 ) = 0. (3) N¸u mæun M khæng suy bi¸n ph£i th¼ Hom(X, Y ) = 0 = Hom(Y, X). ành lþ 2.1.7. Cho R l v nh b§t bi¸n ¯ng c§u ph£i. N¸u rR(a1) ≤ rR(a2a1) ≤ ... l d¢y døng vîi méi d¢y væ h¤n a1, a2, ... c¡c ph¦n tû thuëc R th¼ R l v nh ho n ch¿nh ph£i. M»nh · 2.1.8. N¸u R l v nh b§t bi¸n ¯ng c§u ph£i v R/ soc(RR) thäa m¢n i·u ki»n ACC tr¶n c¡c linh hâa tû ph£i th¼ J(R) l lôy linh. 2.2 V nh c¡c tü çng c§u cõa mæun b§t bi¸n ¯ng c§u gho S = End(M ) l v nh ¡ tü 1çng §u õ REmæ1un ph£i M. heo SHD n¸u U l mæ1un on 1·u õ M D t kþ hi»u AU := {s ∈ S | Ker(s) ∩ U ̸= 0}. uhi 1âD hóng tæi kiºm tr 1÷ñ AU l mët i1¶n tr¡i õ S F h¦n tû u 1÷ñ gåi l ph¦n tû ·u õ M n¸u uR l mæ1un on 1·u õ M v AuR s³ 1÷ñ kþ hi»u l Au F IS
ành lþ 2.2.1. Cho M l R-mæun ph£i b§t bi¸n ¯ng c§u vîi chi·u Goldie húu h¤n v S = End(M ). Khi â: (1) N¸u I l i¶an tr¡i cüc ¤i cõa S th¼ I = Au vîi u l ph¦n tû ·u n o â thuëc M. (2) S l v nh nûa ho n ch¿nh. ành lþ 2.2.2. Cho M l R-mæun b§t bi¸n ¯ng c§u vîi S = End(M ) v x, y l hai ph¦n tû b§t ký thuëc M. Khi â: (1) N¸u xR nhóng ÷ñc v o yR th¼ Sx l £nh cõa Sy. (2) N¸u xR ∼ yR th¼ Sx ∼ Sy. = = M»nh · 2.2.3. Cho R l v nh b§t bi¸n ¯ng c§u ph£i. Khi â: (1) N¸u aR l x¤ £nh vîi a ∈ R th¼ Ra l x¤ £nh nh÷ l mët i¶an tr¡i cõa R. (2) N¸u R l v nh Rickart ph£i th¼ R l v nh Rickart tr¡i. 2.3 Mæun b§t bi¸n ¯ng c§u tr¶n v nh Goldie ành lþ 2.3.1. Cho R l v nh Goldie ph£i nguy¶n tè v M l R-mæun ph£i thäa m¢n udim(M/Z(M )) > 1. Khi â, c¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (1) M l R-mæun ph£i b§t bi¸n ¯ng c§u. (2) M l R-mæun ph£i nëi x¤. xh l¤i r¬ngD v nh ertin ph£i @tr¡iA R 1÷ñ gåi l ìn chuéi têng qu¡t n¸u méi ph¦n tû lôy 1¯ng nguy¶n thõy e õ R th¼ eR @ReA â duy nh§t huéi ph¥n t½h nh÷ l REmæ1un ph£i @tr¡iAF ành lþ 2.3.2. C¡c ph¡t biºu sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh ìn chuéi têng qu¡t R ¢ cho: (1) M l R-mæun b§t bi¸n ¯ng c§u. IT
(2) M l R-mæun tüa nëi x¤. nh R 1÷ñ gåi l di truy·n ph£i n¸u måi i1¶n ph£i õ R l x¤ £nhF nh R 1÷ñ gåi l bà ch°n n¸u måi i1¶n ph£i ho° tr¡i èt y¸u trong R hù mët i1¶n kh¡ khængF ành lþ 2.3.3. Cho R l v nh Noether nguy¶n tè di truy·n ph£i v bà ch°n. Khi â, c¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi R-mæun ph£i xon M : (1) M l R-mæun ph£i b§t bi¸n ¯ng c§u. (2) M l R-mæun ph£i tüa nëi x¤. ành lþ 2.3.4. Cho R l v nh Noether nguy¶n tè di truy·n ph£i bà ch°n v M l R-mæun ph£i vîi udim(M/Z(M )) ̸= 1. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (1) M l R-mæun b§t bi¸n ¯ng c§u. (2) M l R-mæun tüa nëi x¤. (3) M l R-mæun xon tüa nëi x¤ ho°c M l R-mæun ph£i nëi x¤ vîi udim(M/Z(M )) > 1. 2.4 V nh tüa Frobenius v v nh b§t bi¸n ¯ng c§u ành lþ 2.4.1. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh R ¢ cho: (1) R l v nh tüa Frobenius. (2) R l v nh b§t bi¸n ¯ng c§u ph£i v thäa m¢n i·u ki»n ACC tr¶n c¡c linh hâa tû ph£i sao cho méi i¶an ph£i tèi tiºu cõa R l mët linh hâa tû ph£i. ành lþ 2.4.2. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh R ¢ cho: (1) R l v nh tüa Frobenius. IU
(2) R l v nh b§t bi¸n ¯ng c§u ph£i v thäa m¢n i·u ki»n ACC tr¶n c¡c linh hâa tû ph£i sao cho méi i¶an ph£i tèi tiºu cõa R cèt y¸u trong mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa RR. wët v nh R 1÷ñ gåi l ef -mð rëng ph£i n¸u méi i1¶n ph£i 1âng õ R m hù mët i1¶n ph£i húu h¤n sinh èt y¸u l mët h¤ng tû trü ti¸pF ành lþ 2.4.3. C¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng èi vîi v nh R ¢ cho: (1) R l v nh tüa Frobenius. (2) R l v nh b§t bi¸n ¯ng c§u ph£i, ef -mð rëng ph£i v thäa i·u ki»n ACC tr¶n c¡c linh hâa tû ph£i. IV
Ch÷ìng 3 VNH M MÉI IAN PHI HÚU HN SINH BT BIN NG CU 3.1 ành ngh¾a v c¡c t½nh ch§t ành ngh¾a 3.1.1. nh R 1÷ñ gåi l f a-v nh ph£i n¸u méi i1¶n ph£i húu h¤n sinh õ R l §t i¸n 1¯ng §uF M»nh · 3.1.2. Cho R l v nh ch½nh quy von Neumann f a-v nh ph£i v S l R-mæun ph£i ìn suy bi¸n vîi D = EndR(S). Khi â, v nh K = l D D SR 0 R mët f a-v nh ph£i. xh l¤i r¬ngD REmæ1un ph£i M 1÷ñ gåi l ch½nh quy Zelmanowitz n¸u méi mæ1un on xyli õ M l x¤ £nh v l h¤ng tû trü ti¸p õ M @STAF ành lþ 3.1.3. Cho R l f a-v nh ph£i. Khi â, R ¯ng c§u vîi v nh ma trªn tam gi¡c h¼nh thùc câ d¤ng S 0 vîi S l v nh ch½nh quy von Neumann tü nëi x¤ M T ph£i ch½nh ph÷ìng ¦y õ, T l v nh khæng ch½nh ph÷ìng ph£i v M l T -S -song mæun. nh R 1÷ñ gåi l trüc ti¸p-húu h¤n n¸u xy = 1 k²o theo yx = 1 vîi måi x, y ∈ RF wët v nh R m méi v nh m trªn Mn (R) l trü ti¸pEhúu h¤n 1÷ñ gåi v nh ên ành-húu h¤nF l M»nh · 3.1.4. Méi f a-v nh ph£i abelian l ên ành-húu h¤n. IW
M»nh · 3.1.5. Cho R l f a-v nh ph£i Rickart ph£i v R thäa m¢n i·u ki»n ACC tr¶n c¡c linh hâa tû ph£i. Khi â: (1) N¸u e, f l hai ph¦n tû lôy ¯ng khæng ph¥n t½ch ÷ñc trong R sao cho eRf kh¡c khæng th¼ eRez = zf Rf vîi z l ph¦n tû kh¡c khæng b§t ký thuëc eRf . (2) N¸u R l v nh khæng ph¥n t½ch ÷ñc th¼ eRe ∼ f Rf vîi e, f l hai ph¦n tû lôy = ¯ng khæng ph¥n t½ch ÷ñc b§t ký thuëc R. M»nh · 3.1.6. Cho R l f a-v nh ph£i nûa nguy¶n tè. Khi â, vîi måi ph¦n tû lôy ¯ng nguy¶n thõy e1, e2, e3 ∈ R vîi eiR(i = 1, 2, 3) l c¡c mæun khæng suy bi¸n th¼ e1J(R)e2J(R)e3 = 0 khi v ch¿ khi e1J(R)e2 = 0 ho°c e2J(R)e3 = 0. wët v nh R 1÷ñ gåi l t÷ìng 1÷ìng worit vîi v nh S n¸u tçn t¤i mët t÷ìng 1÷ìng giú ph¤m trò mæ1un MR v ph¤m trò mæ1un MS . rong QWD t¡ gi£ 1¢ h¿ r r¬ngD 1èi vîi v nh R = Mn (S), (n ≥ 1) th¼ ph¤m trò mæ1un MR t÷ìng 1÷ìng worit vîi ph¤m trò mæ1un MS . u 1¥yD hóng tæi tr¼nh y k¸t qu£ v· sü t÷ìng 1÷ìng worit õ mët f aEv nh ph£iF ành lþ 3.1.7. Mët f a-v nh ph£i Rickart ph£i Artin ph£i khæng ph¥n t½ch ÷ñc R l t÷ìng ÷ìng Morita vîi v nh ma trªn tam gi¡c tr¶n câ d¤ng   D M12 M13 . . . M1m     0 D M23 . . . M2m      0 0 D . . . M3m   , . . . . . . .         . . . . . . .   0 0 . . . . D vîi D l v nh chia v Mij l D-D-song mæun vîi méi 1 ≤ i < j ≤ m. Hìn núa, n¸u Mij ̸= 0 th¼ dim(D Mij ) = 1 = dim((Mij )D ) v n¸u Mij ̸= 0, Mjt ̸= 0 th¼ Mij Mjt ̸= 0. 3.2 fa -v nh ph£i vîi chi·u Goldie húu h¤n M»nh · 3.2.1. Cho R l v nh vîi chi·u Goldie húu h¤n. Khi â, c¡c i·u ki»n sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: PH