Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với nghiệm của các phương trình tiến hóa (0.1), (0.2) và (0.3) dưới các điều kiện phần tuyến tính (B(t))t>0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ, phần phi tuyến thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ là hữu hạn hoặc vô hạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH Ngành: Toán học Mã số: 9460101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Người hướng dẫn 1: TS. Vũ Thị Ngọc Hà Người hướng dẫn 2: PGS.TS. Đặng Đình Châu Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Minh Mẫn Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đình Kế Phản biện 3: TS. Phạm Trường Xuân Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Đại học Bách Khoa Hà Nội Vào hồi .... giờ, ngày ..... tháng ..... năm 2020. Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm là một trong các vấn đề cốt yếu trong việc nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính. Việc nghiên sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến địa phương xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định. Các kết quả ban đầu thu được bởi Hadamard, Perron, Bigoliubov và Mitropolsky về sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với phương trình vi phân trong Rn . Sau đó, Daleckii và Krein đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến đối với nghiệm của phương trình nửa tuyến tính trong không gian Banach với toán tử tuyến tính bị chặn. Tiếp theo, Henry đã phát triển các kết quả này về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính. Năm 2009, N.T.Huy đã chứng minh sự tồn tại của loại đa tạp bất biến mới, cụ thể là đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận được. Những đa tạp như vậy bao gồm quỹ đạo của nghiệm thuộc vào lớp không gian hàm Banach chấp nhận được, đó có thể là các không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian khác thường gặp trong lý thuyết nội suy. Theo hiểu biết của chúng tôi, năm 2009 sau khi Huy chỉ ra sự tồn tại của loại đa tạp bất biến chấp nhận được thì đến trước năm 2017 mới chỉ có một số các công trình là nối tiếp hướng nghiên cứu này. Các công trình đó đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với lớp các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính và phương trình đạo hàm riêng có trễ. Vì thế, sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được 1
nghiên cứu. Những phân tích trên đây dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu là “Tính chất định tính của nghiệm một số lớp các phương trình có trễ và trung tính”. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày ba lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính được trình bày trong luận án này. ( ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ≥ s, t, s ∈ I, (0.1) us = φ ∈ C := C([−r, 0], X), ( ∂ ∂t F ut = B(t)u(t) + Φ(t, ut ) t ∈ (0, ∞), (0.2) u0 = φ ∈ C := C([−r, 0], X), ( ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ∈ (0, ∞), (0.3) u0 = φ ∈ Cγ , 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với nghiệm của các phương trình tiến hóa (0.1), (0.2) và (0.3) dưới các điều kiện phần tuyến tính (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ, phần phi tuyến là ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ là hữu hạn hoặc vô hạn. Đối tượng nghiên cứu của luận án: Đa tạp bất biến chấp nhận được của các lớp phương trình (0.1), (0.2) và (0.3) trong không gian hàm chấp nhận được. Phạm vi nghiên cứu của Luận án: Trong luận án chúng tôi nghiên cứu các bài toán sau – Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân thuộc lớp chấp nhận được đối với nghiệm của phương trình (0.1) với trễ là hữu hạn. – Nội dung 2. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận được đối với nghiệm của phương trình (0.2) với trễ là hữu hạn. – Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến , đa tạp tâm ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận được đối với nghiệm của phương trình (0.3). 2
3. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp bất biến chấp nhận được: Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron. Các đánh giá về phần tuyến tính: Sử dụng lý thuyết nửa nhóm. Các đánh giá về phần phi tuyến: Sử dụng điều kiện ϕ-Lipschitz và lý thuyết không gian hàm chấp nhận được. 4. Kết quả của luận án Luận án đã đạt được một số kết quả chính sau đây: Chứng minh được sự tồn tại của đa tạp tích phân chấp nhận được đối với nghiệm của phương trình (0.1). Trong trường hợp I ≡ R+ chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến chấp nhận được, đa tạp tâm ổn định bất biến chấp nhận được. Sau đó, trong trường hợp I ≡ R chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại của đa tạp không ổn định bất biến chấp nhận được và tính hút của nó. Chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến chấp nhận được, đa tạp tâm ổn định bất biến chấp nhận được đối với nghiệm của phương (0.2). Chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến chấp nhận được và đa tạp tâm ổn định bất biến chấp nhận được đối với nghiệm phương trình (0.3) với trễ vô hạn. Các kết quả trong luận án là những đóng góp mới vào lý thuyết đa tạp bất biến chấp nhận được. Các kết quả nghiên cứu trong luận án được viết thành 03 bài báo nghiên cứu được liệt kê ở “Danh mục các công trình đã công bố của luận án”. 5. Cấu trúc của luận án Ngoài phần Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình đã công bố của luận án, Chỉ mục, luận án được chia thành bốn chương như sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở để phục vụ cho các chương tiếp theo. Trước tiên là khái niệm không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa trục R+ hoặc cả trục R. 3
Tiếp theo là khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nó. Sau đó là khái niệm về họ tiến hóa, nhị phân mũ và tam phân mũ của họ tiến hóa. Chương 2. Đa tạp tích phân chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính. Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp và đa tạp không ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm phương ∂ trình ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ), t ∈ I, với B(t) sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ và tam phân mũ, toán tử sai phân F là tuyến tính bị chặn và số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn các điều kiện ϕ-Lipschitz khác nhau khi I ≡ R+ hoặc I ≡ R. Chương 3. Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính trên nửa trục. Bài toán được nghiên cứu ở chương này là chứng minh sự tồn tại của nghiệm, đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đối với nghiệm phương trình ∂ ∂t F ut = B(t)u(t) + Φ(t, ut ), t ∈ (0, ∞), dưới các điều kiện họ các toán tử (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ và tam phân mũ trên nửa trục, toán tử sai phân F là tuyến tính bị chặn và số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn các điều kiện ϕ-Lipschitz trên R+ . Chương 4. Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn. Bài toán của chương này là chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn ∂ định bất biến E-lớp đối với nghiệm phương trình ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ∈ R+ , với trễ vô hạn. Bài toán của chương này được giải quyết dưới các điều kiện họ các toán tử (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ và tam phân mũ trên nửa trục, toán tử sai phân F là tuyến tính bị chặn và số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn các điều kiện ϕ-Lipschitz với trễ vô hạn. 4
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để tiện cho việc trình bày, trong chương này chúng tôi ký hiệu I thay cho R, và R+ . 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được Định nghĩa 1.1.1. Không gian hàm Banach EI được gọi là chấp nhận được nếu nó thỏa mãn (1) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho với mỗi tập compact [a, b] ∈ I ta có Zb M (b − a) |ϕ(t)|dt ≤ kϕkEI với mọi ϕ ∈ EI , kχ[a,b] kEI a t+1 R (2) với ϕ ∈ EI hàm Λ1 ϕ xác định bởi Λ1 ϕ(t) = ϕ(τ )dτ thuộc vào EI , t (3) EI là Tτ+ bất biến và Tτ− bất biến, ở đây Tτ+ và Tτ− là được xác định với mỗi τ ∈ I và ϕ ∈ EI bởi: Nếu I = R+ thì ϕ(t − τ ) với t ≥ τ ≥ 0, Tτ+ ϕ(t) := 0 với 0 ≤ t ≤ τ. Nếu I = R thì Tτ+ ϕ(t) := ϕ(t − τ ) với t, τ ∈ R và Tτ− ϕ(t) := ϕ(t + τ ) với t ∈ I. Điều này có nghĩa rằng, với mọi ϕ ∈ EI và τ ∈ I hàm Tτ+ ϕ và Tτ− ϕ cũng thuộc vào EI . Hơn nữa, tồn tại các hằng số N1 , N2 > 0 sao cho kTτ+ kEI ≤ N1 , kTτ− kEI ≤ N2 với mọi τ ∈ I. 5
Giả thiết 1.1.1. Giả sử EI là không gian hàm Banach chấp nhận được sao cho không gian liên kết EI0 của nó cũng là không gian hàm Banach chấp nhận được. Hơn nữa, đối với không gian hàm Banach chấp nhận được EI ta giả sử rằng EI0 chứa hàm EI -bất biến mũ, nghĩa là với hàm ϕ ≥ 0 có tính chất rằng, với mỗi ν > 0 cố định thì hàm hν được xác định bởi hν (t) := ke−ν|t−·| ϕ(·)kEI0 ∈ EI với t ∈ I. (1.1) 1.2 Nhị phân mũ, tam phân mũ của họ tiến hóa Định nghĩa 1.2.1. Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s trên không gian Banach X được gọi là có nhị phân mũ trên I nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t ∈ I, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho (1) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s và t, s ∈ I. (2) Ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s và t, s ∈ I. là đẳng −1 cấu, chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := U (t, s)| , s ≤ t. (3) kU (t, s)xk ≤ N e−ν(t−s) kxk với x ∈ P (s)X, t ≥ s và t, s ∈ I. (4) kU (s, t)| xk ≤ N e−ν(t−s) kxk với x ∈ KerP (t), t ≥ s và t, s ∈ I. Các toán tử chiếu P (t), t ∈ I, được gọi là phép chiếu nhị phân và các hằng số N, ν được gọi là các hằng số nhị phân. Hàm Green được định nghĩa như sau P (t)U (t, τ ) nếu t > τ và t, τ ∈ I, G(t, τ ) = (1.2) −U (t, τ )| (I − P (τ )) nếu t < τ và t, τ ∈ I. Khi đó, chúng ta có đánh giá kG(t, τ )k ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t 6= τ và t, τ ∈ I. (1.3) với H := sup kP (t)k. t∈I 6
Định nghĩa 1.2.2. Họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 được gọi là có tam phân mũ trên nửa trục nếu có ba họ toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, và các hằng số N, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau là được thỏa mãn: (1) supt≥0 kPj (t)k < ∞, j = 1, 2, 3. (2) P1 (t) + P2 (t) + P3 (t) = I với t ≥ 0 và Pj (t)Pi (t) = 0 với mọi j 6= i. (3) Pj (t)U (t, s) = U (t, s)Pj (s) với t ≥ s ≥ 0 và j = 1, 2, 3. (4) U (t, s)|ImPj (s) là đồng phôi từ ImPj (s) vào ImPj (t), với mọi t ≥ s ≥ 0 và j = 2, 3. Ta ký hiệu ánh xạ ngược của U (t, s)|ImPj (s) bởi U (s, t)| , 0 ≤ s ≤ t. (5) Với mọi t ≥ s ≥ 0 và x ∈ X, các ước lượng sau là đúng: kU (t, s)P1 (s)xk ≤ N e−β(t−s) kP1 (s)xk, kU (s, t)| P2 (t)xk ≤ N e−β(t−s) kP2 (t)xk, kU (t, s)P3 (s)xk ≤ N e α(t−s) kP3 (s)xk. Toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, được gọi là phép chiếu tam phân, và các hằng số N, α, β là các hằng số tam phân. 7
Chương 2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH Xét phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính ( ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ≥ s, t, s ∈ I, (2.1) us = φ ∈ C := C([−r, 0], X), ở đây X là không gian Banach (chuẩn k · k), B(t) là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) trên không gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định. Với r > 0 ta kí hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục từ [−r, 0] vào X, được trang bị với chuẩn kφkC = sup φ(θ), φ ∈ C. θ∈[−r,0] Xét toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X là toán tử sai phân, Φ : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục gọi là toán tử trễ, và ut là hàm lịch sử xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0], còn I là R+ hoặc R. BÀI TOÁN. Chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm E-lớp và đa tạp không ổn định E-lớp đối với nghiệm của phương trình (2.1) dưới các điều kiện họ các toán tử (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ (xem các Định nghĩa 1.2.1, 1.2.2); toán tử sai phân F là có dạng F := δ0 − Ψ, trong đó δ0 là hàm Dirac tập trung tại 0, δ0 (u) := u(0), và Ψ ∈ L(C, X), sao cho kΨk < 1; số hạng phi tuyến Φ : I × C → X là một hàm ϕ-Lipschitz trên R+ , với ϕ là hàm dương thuộc vào không gian hàm chấp nhận được. 8
2.1 Đa tạp ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính trên nửa trục Xét phương trình ( ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ∈ (0, ∞), (2.2) u0 = φ ∈ C := C([−r, 0], X). Định nghĩa 2.1.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa trục. Ta đặt E := E(R+ , C) = {f : R+ → C : f là đo được mạnh và kf (·)kC ∈ E} (2.3) được trang bị chuẩn kf kE = kkf (·)kC kE . Khi đó, E cũng là không gian Ba- nach. Ta gọi nó là không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach E. Trong trường hợp E = L∞ (R+ ) ta ký hiệu E∞ := {f : R+ → C : f là đo được mạnh và kf (·)kC ∈ L∞ (R+ )}. Xét họ các toán tử (Pe(t))t≥0 trên C cho bởi Pe(t) : C → C (Pe(t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0]. (2.4) Định nghĩa 2.1.2. Giả sử E là không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ là hàm dương thuộc vào E. Hàm Φ : [0, ∞)×C → X được gọi là ϕ-Lipschitz trên R+ nếu Φ thỏa mãn (1) kΦ(t, 0)k ≤ ϕ(t) với mọi t ∈ R+ , (2) kΦ(t, φ1 ) − Φ(t, φ2 )k ≤ ϕ(t)kφ1 − φ2 kC ∀t ∈ R+ và ∀φ1 , φ2 ∈ C. Trong không gian vô hạn chiều, thay cho (2.2) ta xét phương trình tích phân ( Rt F ut = U (t, s)F φ + s U (t, ξ)Φ(ξ, uξ )dξ với t ≥ s ≥ 0, (2.5) us = φ ∈ C. 9
Định nghĩa 2.1.3. Một tập S ⊂ R+ × C được gọi là đa tạp ổn định bất biến E-lớp đối với các nghiệm phương trình (2.5) nếu với mọi t ∈ R+ không gian C được phân tích thành tổng trực tiếp C = ImPe(t) ⊕ kerPe(t) tương ứng với phép chiếu Pe(t) và tồn tại họ các ánh xạ liên tục Lipschitz yet : ImPe(t) → kerPe(t), t ∈ R+ với hằng số Lipschitz độc lập với t sao cho (1) S = {(t, ψ + yet (ψ)) ∈ R+ × (ImPe(t) ⊕ kerPe(t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ ImPe(t)}, và ta ký hiệu St := {ψ + yet (ψ) : (t, ψ + yet (ψ)) ∈ S}. (2) St đồng phôi với ImPe(t) với mọi t ≥ 0. (3) Với mỗi φ ∈ Ss có một và chỉ một nghiệm u(t) tương ứng của phương trình (2.5) trên [s − r, ∞) thỏa mãn điều kiện Pe(s)˜ us = φ, và hàm χ[s,∞) (t)ut , t ∈ R, thuộc vào E ∩ E∞ , ở đây u˜s (θ) = F us−θ ∀ − r ≤ θ ≤ 0. (4) S là F -bất biến dương đối với phương trình (2.5) tức là, nếu u(t), t ≥ s−r, là nghiệm của phương trình (2.5) thỏa mãn điều kiện rằng u es ∈ Ss và hàm χ[s,∞) (t)ut , t ∈ R, thuộc vào E, thì ta có u˜t ∈ St với mọi t ≥ s. Định lý 2.1.1. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Xét các hàm ϕ và hν xác định như trong Giả thiết 1.1.1. Xét F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X), kΨk < 1, và δ0 là hàm Dirac tập trung tại 0. Giả thiết rằng toán tử trễ Φ : R+ × C → X là ϕ-Lipschitz trên R+ và đặt νr N1 kΛ1 T1+ ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ k := N (1 + H)e × max{khν (·)kE , }, 1 −e−ν + νr N1 kΛ1 T1 ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ k1 := N (1 + H)e . 1 − e−ν N k1 eνr Nếu max{ 1−k , k } < 1 thì tồn tại đa tạp ổn định bất biến E-lớp S 1 −kΨk 1−kΨk đối với nghiệm của phương trình (2.5). Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u(t), v(t) trên đa tạp S của phương trình (2.5) lần lượt ứng với hai hàm giá trị ban đầu khác nhau φ, ψ ∈ Ss , sẽ hút cấp mũ, tức là, tồn tại các hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc vào s ≥ 0 sao cho kut − vt kC ≤ Cµ e−µ(t−s) kPe(s)φ − Pe(s)ψkC với t ≥ s, (2.6) ở đây Pe(t), t ≥ 0, là được xác định như trong (2.4) và Ss là được xác định như trong Định nghĩa 2.1.3. 10
2.2 Đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Xét ba họ phép chiếu {Pej (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, trên C như sau: (Pej (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)Pj (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0] và φ ∈ C. (2.7) Định nghĩa 2.2.1. Giả sử họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các phép chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, và các hằng số N, α, β được xác định như trong Định nghĩa 1.2.2. Một tập C ⊂ R+ × C được gọi là đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đối với các nghiệm của phương trình (2.5) nếu tồn tại họ ánh xạ liên tục Lipschitz Φt : Im P1 (t) + P3 (t) → ImPe2 (t), e e với các phép chiếu {Pej (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3 được xác định như trong (2.7), và các hằng số Lipschitz là độc lập với t sao cho Ct = graph(Φt ) có các tính chất (1) Ct đồng phôi với Im P1 (t) + P3 (t) với mọi t ≥ 0. e e (2) Với mỗi φ ∈ Cs tồn tại một và chỉ một nghiệm u(t) của phương trình (2.5) trên [s − r, ∞) thỏa mãn e−γ(s+θ) Pe(s)Fs−θ = φ(θ) với θ ∈ [−r, 0] và χ[s,+∞ (t)e−γ(t+·) ut (·) thuộc vào E ∩ E∞ , ở đây γ = β+α 2 . Hơn nữa, với hai nghiệm bất kỳ u(t) và v(t) của phương trình (2.5) lần lượt ứng với hai hàm giá trị ban đầu khác nhau φ, ψ ∈ Cs , ta có ước lượng sau (γ−µ)(t−s) e kut − vt kC ≤ Cµ e P (s)φ (0) − Pe(s)ψ (0) với t ≥ s, (2.8) ở đây µ, Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc vào s, u(·), v(·) và Pe(t) = Pe1 (t) + Pe3 (t). (3) C là F -bất biến dương đối với phương trình (2.5), tức là, nếu u(t), t ≥ s − r, là nghiệm của phương trình (2.5) thỏa mãn điều kiện rằng hàm e−γ(s+·) u˜s (·) ∈ Cs và χ[s,+∞ (t)e−γ(t+·) ut (·) thuộc vào E ∩ E∞ thì hàm e−γ(t+·) u˜t (·) ∈ Ct với mọi t ≥ s. 11
Định lý 2.2.1. Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các phép chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, và các hằng số N, α, β được cho như trong Định nghĩa 1.2.2. Giả sử hàm hν , ϕ thỏa mãn Giả thiết 1.1.1 và cho hàm eν , cùng các toán tử F , Φ là được xác định như trong Định lí 2.1.1. Đặt β−α q := sup{kPj (t)k : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 := max{N, 2N q}, ν = , 2 và N1 kΛ1 T1+ ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ νr k := (1 + H)e N0 e . (2.9) 1 − e−ν Khi đó, nếu ek < (1 − kΨk)/(1 + N0 eνr ) thì tồn tại đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đối với các nghiệm của phương trình (2.5). 2.3 Đa tạp không ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Trong phần này, chúng tôi xét phương trình (2.1) trong trường hợp I ≡ R, tức phương trình có dạng ( ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ≥ s, t, s ∈ R, (2.10) us = φ ∈ C := C([−r, 0], X). Định nghĩa 2.3.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R. Ta đặt E := E(R, C) = {f : R → C : f là đo được mạnh và kf (·)kC ∈ E} (2.11) được trang bị chuẩn kf kE = kkf (·)kC kE . Khi đó, E cũng là không gian Ba- nach. Ta gọi nó là không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach E. Tiếp theo chúng tôi đưa ra khái niệm ϕ-Lipschitz trên R của toán tử phi tuyến Φ. Định nghĩa 2.3.2. Giả sử E là không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ là hàm dương thuộc vào E. Hàm Φ : R × C → X được gọi là ϕ-Lipschitz trên R nếu Φ thỏa mãn 12
(1) kΦ(t, 0)k = 0 với mọi t ∈ R, (2) kΦ(t, φ1 )−Φ(t, φ2 )k ≤ ϕ(t)kφ1 −φ2 kC với mọi t ∈ R và với mọi φ1 , φ2 ∈ C. Thay cho phương trình (2.10), ta xét phương trình tích phân sau ( Rt F ut = U (t, s)F φ + s U (t, ξ)Φ(ξ, uξ )dξ với t ≥ s, (2.12) us = φ ∈ C. Định nghĩa 2.3.3. Một tập U ⊂ R × C được gọi là đa tạp không ổn định bất biến E-lớp đối với các nghiệm của phương trình (2.12) nếu với mỗi t ∈ R không gian C được phân tích thành tổng trực tiếp C = X e0 (t) ⊕ X e1 (t) tương ứng với phép chiếu Pe(t), t ∈ R,(tức là, X e0 (t) = ImPe(t), X e1 (t) = kerPe(t)) sao cho sup kPe(t)k < ∞, và tồn tại họ ánh xạ liên tục Lipschitz t∈R e0 (t) → X yet : X e1 (t), t ∈ R với hằng số Lipschitz độc lập với t sao cho n o (1) U = (t, ψ + yet (ψ)) ∈ R × (X0 (t) ⊕ X1 (t))|t ∈ R, ψ ∈ X0 (t) , và ta ký e e e hiệu Ut = {ψ + yet (ψ) : (t, ψ + yet (ψ)) ∈ U, t ∈ R} . e0 (t) với mọi t ∈ R. (2) Ut đồng phôi với X (3) Với mỗi t0 ∈ R, φ ∈ Ut0 có tương ứng một và chỉ một nghiệm u(·) của phương trình (2.12) trên (−∞, t0 ] thỏa mãn điều kiện Pe(t0 )e ut0 = φ và χ(−∞,t0 ] (t)ut , t ∈ R thuộc vào E. Hơn nữa, với hai nghiệm bất kỳ u(·) và v(·) của (2.12) lần lượt ứng với hai hàm giá trị ban đầu khác nhau φ1 , φ2 ∈ Ut0 là hút cấp mũ, tức là, tồn tại các hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc vào t0 sao cho −µ(t0 −t) e kut − vt kC ≤ Cµ e P (t0 )φ1 (0) − Pe(t0 )φ2 (0) với t ≤ t0 . (2.13) (4) U là F -bất biến dương đối với phương trình (2.12), tức là, nếu u(t), t ∈ R, là nghiệm của (2.12) thỏa mãn điều kiện u et0 ∈ Ut0 , t0 ∈ R và hàm χ(−∞,t0 ] (t)ut , t ∈ R thuộc vào E thì ta có u et ∈ Ut với mọi t ∈ R, trong et (θ) = F ut+θ với mọi −r ≤ θ ≤ 0 và t ∈ R. đó u 13
Định lý 2.3.1. Giả sử họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P (t), t ∈ R, và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Xét hàm ϕ, hν thỏa mãn Giả thiết 1.1.1. Cho toán tử sai phân F : C → X là có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X), kΨk ≤ 1, và δ0 là hàm Dirac tập trung tại 0. Giả thiết rằng toán tử trễ Φ : R×C → X là ϕ-Lipschitz trên R với ϕ ∈ E 0 là hàm E-bất biến mũ như trong Giả thiết 1.1.1, và đặt k = N (1 + H)eνr khν kE , eν (t) = e−ν|t| với mọi t ∈ R. Khi đó nếu N (1 + H)eνr (N1 + N2 )kΛ1 ϕk∞ N 2 N1 (1 + H)eνr keν kE kϕkE 0 max , < 1, 1 − kΨk 1 − k − kΨk thì tồn tại đa tạp không ổn định bất biến E-lớp U đối với các nghiệm của phương trình (2.12). Kết luận Chương 2 Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính có dạng (2.1) và đạt được một số kết quả sau: Trong trường hợp I ≡ R+ chúng tôi đã chỉ ra được sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến E-lớp với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ và số hạng phi tuyến Φ là ϕ-Lipschitz trên R+ . Cũng trong trường hợp I ≡ R+ chúng tôi đã chỉ ra được sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ và số hạng phi tuyến Φ là ϕ-Lipschitz trên R+ . Trong trường hợp I ≡ R chúng tôi đã chỉ ra được sự tồn tại của đa tạp không ổn định bất biến E-lớp với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ và số hạng phi tuyến Φ là ϕ-Lipschitz trên R. Đa tạp đó có tính chất hút cấp mũ các quỹ đạo nghiệm của phương trình trung tính. Các kết quả mà chúng tôi thu được trong chương này là sự mở rộng một phần kết quả của các công trình nghiên cứu Huy-Khánh (2017), Huy-Bằng (2015, 2017). Mở rộng thứ nhất là về dạng phương trình, mở rộng thứ hai là về đa tạp. Xét về mặt phương trình nếu F ut = u(t) thì các kết quả của chúng tôi trở về kết quả Huy-Khánh (2017). Xét về mặt đa tạp nếu E = L∞ (I) thì các kết quả của chúng tôi trở về kết quả trong Huy-Bằng (2015, 2017). 14
Chương 3 ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH TRÊN NỬA TRỤC Xét phương trình có dạng ( ∂ ∂t F ut = B(t)u(t) + Φ(t, ut ), t ∈ (0, ∞), (3.1) u0 = φ ∈ C := C([−r, 0], X), ở đây X là không gian Banach (chuẩn k · k), B(t) : D(B) ⊂ X −→ X là toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) với mỗi t ≥ 0 cố định với chuẩn k · kD(B) và kB(t)xk ≤ Kkxk e D(B) , x ∈ D(B); Với r > 0 ta kí hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục từ [−r, 0] vào X, được trang bị chuẩn kφkC = sup φ(θ), φ ∈ C. Xét toán tử tuyến tính bị chặn θ∈[−r,0] F : C → D(B) là toán tử sai phân, Φ : R+ × C → X là toán tử phi tuyến liên tục gọi là toán tử trễ , và ut là hàm lịch sử xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. BÀI TOÁN. Chứng minh sự tồn tại nghiệm, đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm E-lớp đối với nghiệm phương trình (3.1) trong đó họ các toán tử tuyến tính (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ (xem các Định nghĩa 1.2.1, 1.2.2) và thỏa mãn điều kiện (1) trong Giả thiết 3.1 dưới đây; toán tử sai phân F : C → D(B) thỏa mãn điều kiện (2) trong Giả thiết 3.1; số hạng phi tuyến Φ : R+ × C → X là một hàm ϕ-Lipschitz trên R+ , kΦ(t, 0)k ≤ ϕ(t), kΦ(t, φ1 ) − Φ(t, φ2 )k ≤ ϕ(t)kφ1 − φ2 kC , với mọi t ∈ R+ và với mọi φ1 , φ2 ∈ C, trong đó ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. 15
3.1 Sự tồn tại nghiệm và đa tạp ổn định bất biến E-lớp của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Giả thiết 3.1. Ta giả sử F, B(t) và Φ thỏa mãn các giả thiết sau: (1) Họ các toán tử (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 . Hơn nữa, miền xác định của B(t) là độc lập với t, và ta ký hiệu bởi D(B), nó là không gian Banach với chuẩn k · kD(B) sao cho kB(t)xk ≤ Kkxk e D(B) với mọi x ∈ D(B). (2) Toán tử sai phân F : C → D(B) là có dạng F φ = φ(0) − Ψφ với mọi φ ∈ C, ở đây Ψ ∈ L(C, D(B)) thỏa mãn kΨk < 1. (3) Toán tử trễ Φ là ϕ-Lipschitz trên R+ xác định như trong Định nghĩa 2.1.2. Sử dụng các toán tử F, B(t) và Φ, ta có thể xác định toán tử e : R+ × C([−r, ∞), D(B)) × C → X Φ cho bởi e v, φ) = −B(t)F vt + B(t)v(t) + Φ(t, φ). Φ(t, (3.2) Khi đó, toán tử Φe thỏa mãn (1) Φ(t, 0, 0) ≤ ϕ(t) với mọi t ∈ R+ , e (2) Φ(t, u, φ) − Φ(t, v, ψ) ≤ KkΨkku t − vt kC + ϕ(t)kφ − ψkC e e e với mọi t ∈ R+ , φ, ψ ∈ C và mọi u, v ∈ C([−r, ∞), D(B)). Ta viết lại phương trình (3.1) dưới dạng ( ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, u, ut ), e t ∈ (0, ∞), (3.3) u0 = φ ∈ C := C([−r, 0], X). Trong không gian vô hạn chiều, thay cho phương trình (3.3) ta xét phương trình tích phân sau Zt F ut = U (t, s)F us + U (t, ξ)Φ(ξ, e u, uξ )dξ với mọi t > s ≥ 0, us ∈ C. (3.4) s 16
Sau đây, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại đa tạp ổn định bất biến E-lớp đối với các nghiệm của phương trình (3.4). Định lý 3.1.1. Cho ϕ ∈ E 0 là hàm E-bất biến mũ và hàm hν xác định như trong Giả thiết 1.1.1. Giả sử rằng F, (B(t))t≥0 và Φ thỏa mãn Giả thiết 3.1 với (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ. Đặt " # + 2KkΨk N1 kΛ1 T1 ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ e k1 := N (1 + H)eνr + , ν 1 − e−ν k := N (1 + H)eνr 2KkΨk e N1 kΛ1 T1+ ϕk∞ + N2 kΛ1 ϕk∞ e × max{ + , KkΨkN1 keν kE 0 + khν (·)kE } ν 1 − e−ν (3.5) ở đây eν (t) = e−ν|t| . Khi đó, nếu N k1 eνr k max ,