Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận án "Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức" là nghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề hữu hạn của các hàm hình chấp nhận được trên hình vành khuyên, có chung ảnh ngược của một giá trị, hoặc một số hàm nhỏ, hoặc một số cặp giá trị...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN AN HẢI TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2023
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Sĩ Đức Quang. Phản biện 1: GS. TSKH. Hà Huy Khoái - Trường Đại học Thăng Long. Phản biện 2: PGS. TSKH. Tạ Thị Hoài An - Viện Toán học. Phản biện 3: GS. TS. Trần Văn Tấn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh được rằng hai hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức nếu có chung ảnh ngược không kể bội, của năm giá trị đôi một phân biệt thì phải trùng nhau, và hai hàm này liên kết với nhau bởi một phép biến đổi M¨bius nếu chúng có chung ảnh ngược kể cả bội, của bốn giá o trị đôi một phân biệt. Hai kết quả trên thường lần lượt được gọi là Định lí năm điểm và bốn điểm của Nevanlinna. Hai kết quả này nhận được nhờ vào việc sử dụng Định lí cơ bản thứ hai của Nevanlinna cho hàm phân hình trên mặt phẳng phức với mục tiêu là các giá trị cố định trong C ∪ {∞}. Trong những thập kỷ vừa qua, nhiều nhà toán học đã quan tâm mở rộng và phát triển sâu sắc hơn các kết quả của Nevanlinna khi thay điều kiện có chung ảnh ngược đối với một số giá trị bởi điều kiện có chung ảnh ngược đối với một số hàm nhỏ. Các kết quả đầu tiên theo hướng này được thu bởi G. Gundersen, P. Li, C. C. Yan. Năm 2004, K. Yamanoi đã thiết lập được Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình trên mặt phẳng phức đối với các hàm nhỏ và hàm đếm với bội được ngắt bởi 1. Đây có thể xem là kết quả đẹp nhất về lý thuyết Nevanlinna thu được trong khoảng vài thập kỷ gần đây. Kết quả của K. Yamanoi đã trở thành công cụ then chốt và mạnh mẽ trong việc phát triển Định lí bốn điểm và Định lí năm điểm cổ điển của Nevanlinna lên cho trường hợp các hàm phân hình có chung ảnh ngược của các hàm nhỏ. Các Định lí bốn điểm và năm điểm của Nevanlinna hầu như đã được mở rộng triệt để bởi các công bố gần đây của S. Đ. Quang và S. Đ. Quang - L. N. Quỳnh. Tuy nhiên vẫn chưa có các kết quả tương tự như vậy cho trường hợp hàm phân hình trên các miền nhị liên. Ở đây chúng ta chú ý rằng mỗi miền nhị liên sẽ tương đương bảo giác với một hình vành khuyên A = {z ∈ C : 0 ≤ r < |z| < R ≤ +∞} 1 và nó song chỉnh hình với A(R0 ) = z ∈ C : R0 < |z| < R0 với R0 > 1 nào đó. Đặc biệt lưu ý rằng, trên hình vành khuyên chúng ta chưa có được Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình đối với các hàm nhỏ tốt như kết quả của Yamanoi. Do vậy các nghiên cứu về vấn đề hữu hạn hay duy nhất của hàm phân hình trên hình vành khuyên với điều kiện về hàm nhỏ hầu như chưa có. 1
Vì những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài "Tính duy nhất và tính hữu hạn của họ hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên trong mặt phẳng phức", để mở rộng các kết quả của Nevanlinna lên cho trường hợp các hàm phân hình trên hình vành khuyên. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề hữu hạn của các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên, có chung ảnh ngược (với bội được ngắt ở một mức nào đó) của một số giá trị, hoặc một số hàm nhỏ, hoặc một số cặp giá trị, dưới các điều kiện tổng quát hơn hoặc yếu hơn trong các nghiên cứu trước đó hoặc chưa từng được nghiên cứu về các vấn đề này. Hơn nữa, trong các tình huống mà chúng tôi nghiên cứu thì các kỹ thuật và phương pháp của các tác giả trước không thể giải quyết được. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hàm phân hình trên hình vành khuyên. Phạm vi nghiên cứu trong Lý thuyết phân bố giá trị. 4. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi dựa trên các phương pháp nghiên cứu, những kỹ thuật truyền thống của Hình học phức và Lý thuyết phân bố giá trị, đồng thời chúng tôi đưa thêm những kỹ thuật mới để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận án góp phần làm phong phú thêm và sâu sắc hơn các kết quả về tính duy nhất và tính hữu hạn của các hàm phân hình trên hình vành khuyên. Luận án cũng là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 6. Cấu trúc luận án Ngoài các phần: Mở đầu; Kết luận và kiến nghị; Các công trình đã công bố liên quan đến luận án; Tài liệu tham khảo, luận án bao gồm bốn chương với tên như sau. Chương 1. Tổng quan. 2
Chương 2. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ. Chương 3. Vấn đề hữu hạn của họ hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị. Chương 4. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số cặp giá trị. Luận án được viết dựa trên bốn bài báo, đã công bố trong các tạp chí: Complex Analysis and Operator Theory (SCIE); Mathematica Bohemica (ESCI/Scopus); Bulletin of the Iranian Mathematical Society (SCIE); Indagationes Mathematicae (SCIE). 7. Nơi thực hiện luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 3
Chương 1 TỔNG QUAN Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt các kết quả của những tác giả đi trước về vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Tiếp theo, chúng tôi phát biểu các kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề hữu hạn của các hàm phân hình trên hình vành khuyên có chung ảnh ngược (với bội được ngắt ở một mức nào đó) của một số giá trị, hoặc một số hàm nhỏ, hoặc một số cặp giá trị. I. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ Định lí bốn điểm và Định lí năm điểm của Nevalinna đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và họ đã mở rộng, phát triển nó theo một số hướng. Hướng thứ nhất là bỏ qua các ảnh ngược với bội lớn hơn một số nguyên dương nhất định nào đó. Hướng thứ hai là thay thế các giá trị bởi các hàm nhỏ. Năm 1999, L. Yuhua và Q. Jianyong đã mở rộng Định lí năm điểm của Nevan- linna sang trường hợp mà năm giá trị phân biệt được thay bởi năm hàm nhỏ a1 , ..., a5 . Năm 2002, W. Yao đưa ra một cải tiến cho các kết quả này bằng cách chỉ 0 0 ra rằng nếu k ≥ 22 và min{νf −ai ,≤k , 1} = min{νg−ai ,≤k , 1} (1 ≤ i ≤ 5) thì f = g . H. X. Yi đã chỉ ra rằng kết luận của định lí trên của Yao vẫn đúng với k ≥ 14. Đ. Đ. Thái và T. V. Tấn chứng minh rằng kết quả này vẫn đúng với k ≥ 3 bằng cách áp dụng Định lí cơ bản thứ hai của K. Yamanoi cho hàm phân hình và các hàm nhỏ. S. Đ. Quang đã cải tiến kết quả của Đ. Đ. Thái và T. V. Tấn bằng cách chỉ ra rằng hai 0 0 hàm f và g phải trùng nhau nếu min{νf −ai ,≤3 , 1} = min{νg−ai ,≤3 , 1} (1 ≤ i ≤ 3) 0 0 và min{νf −ai ,≤2 , 1} = min{νg−ai ,≤2 , 1} (4 ≤ i ≤ 5). Tuy nhiên, các kết quả nói 4
trên chỉ được chứng minh đối với hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Chứng minh của những kết quả trên dựa vào hàm phụ trợ Cartan và Định lí cơ bản thứ hai của K. Yamanoi cho các hàm phân hình đối với các hàm nhỏ trên C với hàm đếm bội được ngắt bội bởi 1. Chúng ta chú ý rằng Định lí cơ bản thứ hai của K. Yamanoi trong trường hợp này là định lí tốt nhất có thể. Gần đây A. Y. Khrystiyanyn and A. A. Kondratyuk đã xây dựng lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên hình vành khuyên A(R0 ) (R0 > 1). Sau đó lý thuyết này được M. Lund và Z. Ye hoàn thiện. Sử dụng Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình trên một hình vành khuyên, T. B. Cao, H. X. Yi và H. Y. Xu đã chứng minh được định lí duy nhất cho các hàm phân hình trên một hình vành khuyên, có chung ảnh ngược của ít nhất năm giá trị. Theo chúng tôi biết, đây là kết quả duy nhất về các hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số giá trị. Đặc biệt là vấn đề các hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ chưa được nghiên cứu. Trong luận án này chúng tôi đề cập đến bài toán duy nhất của các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ. Tuy nhiên, theo chúng tôi biết, trong trường hợp hàm phân hình trên hình vành khuyên vẫn chưa có Định lí cơ bản thứ hai tốt như kết quả của K. Yamanoi. Đây là khó khăn chính trong việc nghiên cứu bài toán này. Vì vậy, việc nghiên cứu các hàm phân hình trên hình vành khuyên dựa vào Lý thuyết phân bố giá trị gặp nhiều hạn chế. Trong Chương 2, viết dựa trên bài báo [1] (trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án), bằng cách đưa ra những kỹ thuật mới và kết hợp với những kỹ thuật của P. Li chúng tôi đã thiết lập được định lí duy nhất cho các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của ít nhất năm hàm nhỏ. Ngoài ra, trong kết quả của chúng tôi không xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn một số nào đó. Kết quả của chúng tôi được phát biểu như sau. Định lí 1. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , aq (q ≥ 5) là những hàm nhỏ trên A(R0 ) (so với f và g ), đôi một phân biệt. Cho k1 , . . . , kq là q số nguyên dương hoặc +∞ thoả mãn q 1 2q(q − 4) < . i=1 ki + 1 5(q + 4) 5
Giả sử rằng 0 0 min νf −ai ,≤ki , 1 = min νg−ai ,≤ki , 1 với mọi 1 ≤ i ≤ q. Khi đó f = g. Kết quả trên của chúng tôi không chỉ tổng quát hóa mà còn cải tiến hầu hết các kết quả về hàm phân hình siêu việt có chung ảnh ngược của ít nhất năm hàm nhỏ trên mặt phẳng phức Ngoài ra, trong trường hợp các hàm phân hình chấp nhận được f và g trên một hình vành khuyên, có chung ảnh ngược kể cả bội, của bốn hàm nhỏ đôi một phân biệt, chúng tôi chứng minh được rằng chúng liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨bius. Cụ thể, chúng tôi đã chứng minh được định lí sau đây. o Định lí 2. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho a1 , a2 , a3 , a4 là bốn hàm nhỏ trên A(R0 ) (so với f và g ), đôi một phân biệt. Cho ki (1 ≤ i ≤ 4) là các số nguyên dương thỏa mãn 4 ki1 < 219 . Giả sử rằng i=1 +1 4 0 0 νf −ai ,≤ki = νg−ai ,≤ki với mọi 1 ≤ i ≤ q. Khi đó f là một biến đổi tựa M¨bius của g . o Định lí trên của chúng tôi là một tổng quát hóa và cải tiến cho Định lí bốn điểm cổ điển của Nevalinna lên trường hợp các hàm phân hình chấp nhận được có chung ảnh ngược của bốn hàm nhỏ trên một hình vành khuyên. II. Vấn đề hữu hạn của họ hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị Năm 1998, H. Fujimoto đã cải tiến Định lí bốn điểm của Nevanlinna bằng cách chứng minh rằng có nhiều nhất hai hàm phân hình trên C có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của bốn giá trị đôi một phân biệt. Những kết quả kiểu này được gọi là các định lí hữu hạn của hàm phân hình có chung ảnh ngược của các giá trị. Trong trường hợp hàm phân hình trên C, đã có nhiều mở rộng của Định lí bốn điểm. Tuy nhiên, theo chúng tôi biết thì vẫn chưa có định lí hữu hạn trong trường hợp các hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị. Trong luận án này chúng tôi đề cập đến vấn đề hữu hạn của các hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị. Trong Chương 6
3, viết dựa trên bài báo [2] (trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án), chúng tôi đã chứng minh được rằng nếu ba hàm phân hình chấp nhận được f1 , f2 , f3 trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của bốn giá trị, và có tập đồng nhất đầy đủ với hàm đếm dương thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả như sau. Định lí 3. Cho f1 , f2 , f3 là ba hàm phân hình trên A(R0 ) và cho a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Giả sử rằng f1 , f2 , f3 có chung ảnh ngược không kể bội, của a1 , a2 , a3 , a4 . Nếu f1 là chấp nhận được và f1 , f2 , f3 có tập đồng nhất đầy đủ với hàm đếm dương thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Từ Định lí 3 có thể suy ra rằng có nhiều nhất là hai hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của một giá trị, và có chung ảnh ngược không kể bội, của ba giá trị khác. Đồng thời trong Chương 3, viết dựa trên bài báo [3] (trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án), chúng tôi cũng mở rộng và cải tiến được Định lí bốn điểm của Nevanlinna và Fujimoto cho các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên. Chúng tôi chứng minh được rằng có nhiều nhất là hai hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của một giá trị và có chung ảnh ngược không kể bội, của ba giá trị khác. Hơn nữa, trong kết quả này chúng tôi không cần phải xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn một số nào đó. Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả như sau. Định lí 4. Cho f1 , f2 , f3 là ba hàm phân hình trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Cho k1 , . . . , k4 là bốn số nguyên dương 14 11 11 11 hoặc +∞ thỏa mãn + + + < 1. Giả sử rằng k1 + 1 k2 + 1 k3 + 1 k4 + 1 0 0 0 (i) min{νf1 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf2 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf3 −a1 ,≤k1 , 2}, 0 0 0 (ii) min{νf1 −ai ,≤ki , 1} = min{νf2 −ai ,≤ki , 1} = min{νf3 −ai ,≤ki , 1}, ∀ 2 ≤ i ≤ 4. Nếu f1 là chấp nhận được thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Chúng tôi cũng chứng minh được rằng có không quá ba hàm phân hình khác hằng trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của bốn giá trị. Ngoài ra trong kết quả này chúng tôi không cần phải xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn một số nào đó. Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả sau. 7
Định lí 5. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Cho k1 , . . . , k4 là các số nguyên dương hoặc có thể là +∞ thỏa mãn 4 4 25 1 17 1 1 25 + < + , 64 i=1 ki 16 i=1 ki + 1 32 32k0 trong đó k0 = max1≤i≤4 ki . Khi đó V(f, {ai , ki }4 , 1) ≤ 3. i=1 III. Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số cặp giá trị Năm 1997, T. Czubiak và G. Gundersen đã chứng minh được kết quả sau. Định lí. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C có chung ảnh ngược không kể bội, của sáu cặp giá trị (a1 , b1 ), . . . , (a6 , b6 ) trong C ∪ {∞}, trong đó ai = aj , bi = bj nếu i = j , tức là 0 0 min νf −ai , 1 = min νg−bi , 1 , 1 ≤ i ≤ 6. Khi đó f là một biến đổi M¨bius của g . o Sau đó bài toán chung ảnh ngược của các cặp giá trị cho các hàm phân hình đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Trong trường hợp hàm phân hình trên C, kết quả trên của Czubiak và Gundersen đã được mở rộng bởi một số tác giả khi các cặp giá trị được thay thế bởi các cặp hàm nhỏ. Chẳng hạn, năm 2014 S. Đ. Quang và L. N. Quỳnh đã chứng minh rằng hai hàm phân hình trên C phải liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨bius nếu chúng có chung ảnh ngược không kể o bội, của một cặp hàm nhỏ và có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của bốn cặp hàm nhỏ khác. Đồng thời Quang và Quỳnh cũng chứng minh rằng hai hàm phân hình trên C phải liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa M¨bius o nếu chúng có chung ảnh ngược không kể bội, của q (q ≥ 6) cặp hàm nhỏ. Tuy nhiên, theo chúng tôi biết thì vẫn chưa có định lí như vậy đối với trường hợp các hàm phân hình trên một miền nhị liên có chung ảnh ngược của các cặp giá trị. Do vậy, trong luận án này chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu trường hợp các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của các cặp giá trị. Trong Chương 4 của luận án này, viết dựa trên bài báo [4] (trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án), chúng tôi chứng minh rằng hai 8
hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của q (q ≥ 6) cặp giá trị thì liên kết với nhau bởi một phép biến đổi M¨bius. Ngoài ra, trong kết quả này chúng tôi không cần phải xét đến các o ảnh ngược có bội lớn hơn một số nào đó. Cụ thể, chúng tôi chứng minh được kết quả sau đây. Định lí 6. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho (a1 , b1 ), . . . , (aq , bq ) (q ≥ 6) là q cặp giá trị trong C ∪ {∞}, trong đó ai = aj , bi = bj nếu i = j . Cho ki (i = 1, ..., q) là q số nguyên dương hoặc +∞ với k1 ≥ k2 ≥ · · · ≥ kq thỏa mãn q 1 3q 1 2q − 10 + m− < k +1 i=m+1 i 5 km + 1 5 với một số nguyên m ∈ {1, 2, . . . , q}. Giả sử 0 0 min νf −ai ,≤ki , 1 = min νg−bi ,≤ki , 1 , 1 ≤ i ≤ q. Khi đó f là một biến đổi M¨bius của g . o Định lí này không chỉ tổng quát hóa mà còn cải tiến Định lí nói trên của T. Czubiak và G. Gundersen. Chúng tôi cũng chứng minh được rằng, hai hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên phải liên kết với nhau bởi phép biến đổi M¨bius nếu o chúng có chung ảnh ngược không kể bội, của một cặp giá trị và có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của bốn cặp giá trị khác. Ngoài ra, trong kết quả này chúng tôi không cần phải xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn một số nào đó. Cụ thể là chúng tôi đã chứng minh được kết quả sau đây. Định lí 7. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho (a1 , b1 ), . . . , (a5 , b5 ) là năm cặp giá trị trong C ∪ {∞}, trong đó ai = aj , bi = bj nếu i = j . Cho k5 ≥ 2 là một số nguyên dương hoặc +∞. Cho ki (1 ≤ i ≤ 4) là các số nguyên dương hoặc +∞ thỏa mãn 5 2 1 3k0 + 1086k0 + 3 < 2 , i=1 ki + 1 361k0 + 362k0 + 1 trong đó k0 = max1≤i≤5 ki . Giả sử 0 0 min νf −a5 ,≤k5 , 1 = min νg−b5 ,≤k5 , 1 9
và 0 0 min νf −ai ,≤ki , 2 = min νg−bi ,≤ki , 2 , 1 ≤ i ≤ 4. Khi ấy f là một biến đổi M¨bius của g . o Các vấn đề chúng tôi đề cập đến ở trên nằm trong mạch nghiên cứu mối liên hệ giữa những hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của một số mục tiêu (các giá trị, hoặc các hàm nhỏ, hoặc các cặp giá trị). Những kết quả nêu trên của chúng tôi là những kết quả đầu tiên nghiên cứu về mối liên hệ giữa các hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên nhờ vào các kỹ thuật mới mà chúng tôi đưa ra để tổng quát hoặc cải tiến các kết quả về họ hàm phân hình siêu việt trên mặt phẳng phức. 10
Chương 2 HAI HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MỘT HÌNH VÀNH KHUYÊN CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ HÀM NHỎ Mục đích của chương này là nghiên cứu vấn đề duy nhất và vấn đề liên kết bởi phép biến đổi tựa M¨bius của hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên o khi chúng có chung ảnh ngược của một số hàm nhỏ đôi một phân biệt. Chương 2 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 2.1 Một số kết quả của lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên một hình vành khuyên Trong mục này chúng tôi trình bày lại Bổ đề đạo hàm Logarit, Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình đối với các giá trị trong C ∪ {∞}. Chúng tôi cũng chứng minh Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình đối với các hàm nhỏ trên một hình vành khuyên. Bổ đề 2.1.1 (Bổ đề đạo hàm Logarit). Cho f là hàm phân hình khác không trên A(R0 ). Khi đó với mỗi k ∈ N ta có f (k) m0 r, = Sf (r) (1 < r < R0 ) . f 11
Định lí 2.1.2 (Định lí cơ bản thứ nhất cho hàm phân hình đối với các giá trị trong C). Cho f là hàm phân hình trên A(R0 ). Khi đó với mỗi a ∈ C ta có 1 T0 (r, f ) = T0 r, + Sf (r) (1 < r < R0 ) . f −a Chúng tôi mở rộng Định lí 2.1.2 như sau. Định lí 2.1.3 (Định lí cơ bản thứ nhất cho hàm phân hình đối với các hàm nhỏ). Cho f là hàm phân hình trên A(R0 ) và a (a ≡ ∞) là hàm phân hình nhỏ so với f . Khi đó ta có 1 T0 (r, f ) = T0 r, + Sf (r) (1 < r < R0 ) . f −a Định lí 2.1.4 (Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình đối với các giá trị trong C ∪{∞}). Cho f là hàm phân hình khác hằng trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , aq (q ≥ 3) là q giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Ta có q [1] 0 (q − 2) T0 (r, f ) ≤ N0 r, νf −ai + Sf (r) (1 < r < R0 ) . i=1 Định lí 2.1.5 (Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình đối với các hàm nhỏ). Cho f là hàm phân hình khác hằng trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , a5 là 5 hàm phân hình trên A(R0 ), nhỏ so với f , đôi một phân biệt. Ta có 5 [1] 0 2T0 (r, f ) ≤ N0 r, νf −ai + Sf (r) (1 < r < R0 ) . i=1 Định lí 2.1.6. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , aq (q ≥ 5) là q hàm phân hình trên A(R0 ), nhỏ so với f , đôi một phân biệt. Ta có q 2q [1] 0 T0 (r, f ) ≤ N0 r, νf −ai + Sf (r) (1 < r < R0 ) . 5 i=1 2.2 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ chỉnh hình từ hình vành khuyên vào không gian xạ ảnh Trong mục này chúng tôi chứng minh Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ một hình vành khuyên vào không gian xạ ảnh. 12
Bổ đề 2.2.1. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ hình vành khuyên A(R0 ) vào PN (C). Nếu H và G là hai siêu phẳng phân biệt của PN (C) thì ta có (f, H) T0 r, ≤ T0 (r, f ) + O(1). (f, G) Định lí 2.2.2. Cho f : A(R0 ) → PN (C) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Cho {Hi }q (q ≥ N + 2) là tập hợp gồm q siêu phẳng cố định trong i=1 N P (C) ở vị trí tổng quát. Khi đó ta có q [N ] (q − N − 1)T0 (r, f ) ≤ N0 (r, f ∗ Hi ) + Sf (r), i=1 trong đó f ∗ H kí hiệu divisor kéo lùi của H bởi f và f ∗ H = ν(f,H) . 2.3 Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của ít nhất năm hàm nhỏ Định lí chính trong phần này được phát biểu như sau. Định lí 2.3.1. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , aq (q ≥ 5) là những hàm nhỏ trên A(R0 ) (so với f và g ), đôi một phân biệt. Cho k1 , . . . , kq là q số nguyên dương hoặc +∞ thoả mãn q 1 2q(q − 4) < . i=1 ki + 1 5(q + 4) Giả sử rằng 0 0 min νf −ai ,≤ki , 1 = min νg−ai ,≤ki , 1 với mọi 1 ≤ i ≤ q. Khi đó f = g. Hệ quả 2.3.2. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , aq (q ≥ 5) là những hàm nhỏ trên A(R0 ) (so với f và g ) đôi một 3q+28 phân biệt. Cho k là một số nguyên dương hoặc +∞ thỏa mãn k > 2(q−4) . Giả sử rằng 0 0 min νf −ai ,≤k , 1 = min νg−ai ,≤k , 1 với mọi 1 ≤ i ≤ q. Khi đó f = g. 13
Khi R0 = +∞ thì từ Hệ quả 2.3.2 ta nhận lại được kết quả của W. Yao cho lớp các hàm phân hình siêu việt trên mặt phẳng phức: Nếu k ≥ 22 và 0 0 min{νf −ai ,≤k , 1} = min{νg−ai ,≤k , 1} (1 ≤ i ≤ 5), thì f = g. Vậy nên, kết quả trên của chúng tôi không chỉ tổng quát hóa mà còn cải tiến hầu hết các kết quả về hàm phân hình có chung ảnh ngược của ít nhất năm hàm nhỏ trên mặt phẳng phức. Để chứng minh Định lí 2.3.1 ta cần bổ đề sau. Bổ đề 2.3.3. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được, phân biệt, trên A(R0 ) và cho a1 , . . . , aq (q ≥ 5) là các hàm nhỏ trên A(R0 ) so với f , đôi một phân biệt. Giả sử rằng 0 0 min νf −ai ,≤ki (z), 1 = min νg−ai ,≤ki (z), 1 , 1 ≤ i ≤ q, với mọi z nằm ngoài một tập con giải tích A có hàm đếm bằng Sf (r). Khi đó ta có q 4 [1] 0 [1] 0 [1] 0 N0 r, νf −ai ≤ N0 r, νf −ai ,>ki + N0 r, νg−ai ,>ki +Sf (r) + Sg (r). i=5 i=1 2.4 Hai hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn hàm nhỏ Định lí chính trong phần này được phát biểu như sau. Định lí 2.4.1. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho a1 , a2 , a3 , a4 là bốn hàm nhỏ trên A(R0 ) (so với f và g ), đôi một phân biệt. Cho ki (1 ≤ i ≤ 4) là các số nguyên dương thỏa mãn 4 ki1 < 219 . Giả sử i=1 +1 4 rằng 0 0 νf −ai ,≤ki = νg−ai ,≤ki với mọi 1 ≤ i ≤ 4. Khi ấy f là một biến đổi tựa M¨bius của g . o Hệ quả 2.4.2. Cho f và g là hai hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ). Cho a1 , a2 , a3 , a4 là bốn hàm nhỏ trên A(R0 ) (so với f và g ), đôi một phân biệt. Cho k là một số nguyên dương mà k > 218. Giả sử rằng 0 0 νf −ai ,≤k = νg−ai ,≤k . Khi đó f là một biến đổi tựa M¨bius của g . o 14
Chương 3 VẤN ĐỀ HỮU HẠN CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MỘT HÌNH VÀNH KHUYÊN CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA BỐN GIÁ TRỊ Mục đích của chương này là chứng minh định lí hữu hạn cho họ hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị. Chương 3 được viết dựa trên các bài báo [2] và [3] (trong Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 3.1 Một số kết quả bổ trợ Trong mục này chúng tôi chứng minh thêm một số kết quả mới của lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên một hình vành khuyên để chuẩn bị cho chứng minh các định lí chính trong chương này. Bổ đề 3.1.1. Cho f là một hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ) và cho a1 , a2 , a3 là ba giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Cho g là một hàm phân hình trên A(R0 ) sao cho f và g có chung ảnh ngược không kể bội, của a1 , a2 , a3 . Khi đó ta có T0 (r, f ) = O(T0 (r, g)) + Sf (r) và T0 (r, g) = O(T0 (r, f )) + Sg (r) khi r −→ R0 . Nói riêng, g là chấp nhận được. 15
Bổ đề 3.1.2. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên A(R0 ) và cho a ∈ C. Khi đó với mọi số nguyên dương k (có thể k = +∞), ta có [1] 0 1 N0 (r, νf −a,>k ) ≤ T0 (r, f ) + Sf (r) k+1 [1] k + 1 [1] 0 1 và N0 (r, νf −a,≤k ) ≥ N0 (r, νf −a ) − T0 (r, f ) + Sf (r). k k Bổ đề 3.1.3. Cho f là một hàm phân hình chấp nhận được trên A(R0 ) và cho a1 , . . . , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Cho k1 , . . . , k4 là bốn số nguyên dương hoặc +∞ sao cho 4 1 < 2. i=1 ki + 1 Cho g là một hàm phân hình trên A(R0 ) sao cho 0 0 min{νf −ai ,≤ki , 1} = min{νg−ai ,≤ki , 1}, 1 ≤ i ≤ 4. Khi đó ta có T0 (r, f ) = O(T0 (r, g)) + Sf (r) và T0 (r, g) = O(T0 (r, f )) + Sg (r) khi r −→ R0 . Nói riêng, g là chấp nhận được. 3.2 Tính hữu hạn của những hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của bốn giá trị Trong định lí dưới đây, chúng tôi chứng minh rằng có nhiều nhất là hai hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của bốn giá trị. Định lí 3.2.1. Cho f1 , f2 , f3 là ba hàm phân hình trên A(R0 ) và cho a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪{∞}. Giả sử rằng f1 , f2 , f3 có chung ảnh ngược không kể bội, của a1 , a2 , a3 , a4 . Nếu f1 là chấp nhận được và f1 , f2 , f3 có tập đồng nhất đầy đủ với hàm đếm dương thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Để chứng minh Định lí 3.2.1, dưới đây chúng tôi cần thêm ba bổ đề. Trong ba bổ đề đó thì f1 , f2 , f3 là ba hàm phân hình trên A(R0 ) và a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C \ {0}, thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) f1 , f2 , f3 có chung ảnh ngược không kể bội, của bốn giá trị a1 , . . . , a4 ; 16
(2) f1 là một hàm phân hình chấp nhận được. Các đại lượng Sf1 (r), Sf2 (r), Sf3 (r) được biểu thị bởi một kí hiệu chung là S(r). Ta đặt T0 (r) = T0 (r, f1 ) + T0 (r, f2 ) + T0 (r, f3 ). Với i ∈ {1, . . . , 4}, ta đặt Fik = (fk − ai )/fk . Bổ đề 3.2.2. Nếu f1 , f2 , f3 đôi một phân biệt thì những khẳng định sau đây đúng: 4 (1) 2T0 (r, fk ) = N0 (r, νi ) + S(r), 1 ≤ k ≤ 3; i=1 (2) N0 (r, C ) = S(r); (3) N0 (r, νi,s ) = S(r) với mọi 1 ≤ i ≤ 4, 2 ≤ s ≤ 3. Bổ đề 3.2.3. Nếu f1 , f2 , f3 đôi một phân biệt thìhàm phụ trợ Cartan Φ(Fi1 , Fi2 , Fi3 ) ≡ 0 với mọi 1 ≤ i ≤ 4. Bổ đề 3.2.4. Cho i là một chỉ số thuộc {1, ..., 4} và cho hàm phụ trợ Cartan Φ := Φ(Fi1 , Fi2 , Fi3 ). Nếu f1 , f2 , f3 đôi một phân biệt thì 4 [1] 0 N0 (r, νi,0 ) + 2 N0 (r, νj ) ≤ N0 (r, νΦ ) ≤ T0 (r) + S(r). j=1,j=i Nhờ Định lí 3.2.1 ta có thể chỉ ra rằng có nhiều nhất hai hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của một giá trị và có chung ảnh ngược không kể bội, của ba giá trị khác. Cụ thể là ta có hệ quả sau đây. Hệ quả 3.2.5. Cho f1 , f2 , f3 là ba hàm phân hình trên A(R0 ) và cho a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt, thuộc C ∪ {∞}. Giả sử rằng f1 , f2 , f3 có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của a1 , và có chung ảnh ngược không kể bội, của a2 , a3 , a4 . Nếu f1 là chấp nhận được thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Với giả thiết yếu hơn là các hàm phân hình chấp nhận được trên hình vành khuyên có chung ảnh ngược không kể bội, của bốn giá trị, Định lí 3.2.1 cũng dẫn đến hệ quả sau đây. Hệ quả 3.2.6. Cho f1 , f2 , f3 , f4 là bốn hàm phân hình trên A(R0 ) và a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt thuộc C ∪ {∞}. Giả sử rằng f1 , f2 , f3 , f4 có chung ảnh ngược không kể bội, của a1 , a2 , a3 , a4 . Nếu f1 chấp nhận được thì trong bốn hàm {f1 , f2 , f3 , f4 } có ít nhất hai hàm bằng nhau. 17
3.3 Tính hữu hạn của những hàm phân hình trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược của bốn giá trị và bỏ qua các ảnh ngược có bội lớn hơn một giá trị nào đó Trong định lí dưới đây, chúng tôi chứng minh rằng có nhiều nhất là hai hàm phân hình chấp nhận được trên một hình vành khuyên có chung ảnh ngược với bội được ngắt bởi 2, của một giá trị và có chung ảnh ngược không kể bội, của ba giá trị khác. Hơn nữa, chúng tôi không cần xét đến các ảnh ngược có bội lớn hơn một số đủ lớn nào đó. Định lí 3.3.1. Cho f1 , f2 , f3 là ba hàm phân hình trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Cho k1 , . . . , k4 là bốn số nguyên dương hoặc +∞ thỏa mãn 14 11 11 11 + + + < 1. k1 + 1 k2 + 1 k3 + 1 k4 + 1 Giả sử rằng 0 0 0 (i) min{νf1 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf2 −a1 ,≤k1 , 2} = min{νf3 −a1 ,≤k1 , 2}, 0 0 0 (ii) min{νf1 −ai ,≤ki , 1} = min{νf2 −ai ,≤ki , 1} = min{νf3 −ai ,≤ki , 1} với mọi 2 ≤ i ≤ 4. Nếu f1 là chấp nhận được thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Hệ quả 3.3.2. Cho f1 , f2 , f3 là ba hàm phân hình khác hằng trên A(R0 ). Cho a1 , . . . , a4 là bốn giá trị đôi một phân biệt trong C ∪ {∞}. Cho k là một số nguyên dương hoặc +∞ với k > 46. Giả sử rằng 0 0 0 (i) min{νf1 −a1 ,≤k , 2} = min{νf2 −a1 ,≤k , 2} = min{νf3 −a1 ,≤k , 2}, 0 0 0 (ii) min{νf1 −ai ,≤k , 1} = min{νf2 −ai ,≤k , 1} = min{νf3 −ai ,≤k , 1} với mọi 2 ≤ i ≤ 4. Nếu f1 là chấp nhận được thì f1 = f2 hoặc f2 = f3 hoặc f3 = f1 . Khi R0 = +∞, từ Hệ quả 3.3.2 ta nhận được một mở rộng và cải tiến kết quả của Fujimoto cho lớp các hàm phân hình siêu việt trên mặt phẳng phức. Để chứng minh Định lí 3.3.1, ta cần những bổ đề dưới đây. 18