Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của Luận án là nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mô hình mạng nơron. Cụ thể hơn, chúng tôi phát triển các kĩ thuật và phương pháp nghiên cứu để tìm các điều kiện ổn định đối với mô hình mạng nơron Hopfield có trễ dưới ảnh hưởng của một số dạng hiệu ứng xung trạng thái; sự tồn tại duy nhất của điểm cân bằng dương ổn định mũ của lớp mạng INNs và mạng BAM có trễ biến thiên. các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— LÊ ĐÀO HẢI AN TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2019
Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện TS. Trần Thị Loan Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Minh Trí, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Phản biện 2: GS.TS Cung Thế Anh, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội Vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính các phương trình vi phân. Được nghiên cứu một cách có hệ thống từ những công trình đầu tiên của A.M. Lyapunov vào cuối thế kỉ XIX, trải qua lịch sử hơn 100 năm, đến nay lý thuyết này vẫn đang là chủ đề nghiên cứu rất quan trọng, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra từ thực tiễn ứng dụng trong cơ học, vật lý, hóa học, sinh thái học, trí tuệ nhân tạo v.v. Nhiều mô hình trong thực tiễn, từ kinh tế, môi trường đến các mô hình sinh thái học, vật lý, hóa học, cơ học, điều khiển tự động v.v được mô tả bởi các phương trình vi phân có trễ. Sự xuất hiện của các độ trễ làm thay đổi dáng điệu nghiệm cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ, một đặc tính quan trọng có tính phổ dụng của các mô hình ứng dụng. Bên cạnh đó, do cấu trúc vô hạn chiều của không gian pha, việc nghiên cứu định tính các hệ có trễ trở nên khó khăn và phức tạp hơn nhiều so với các hệ phương trình vi phân thường tương ứng. Vì vậy, chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ứng dụng trong các mô hình điều khiển các hệ phương trình vi phân có trễ đã và đang là vấn đề nghiên cứu thu hút sự quan tâm của giới toán học và kỹ sư trong vài thập kỉ gần đây. Mô hình mạng nơron (neural networks) xuất hiện khá sớm, vào khoảng cuối thập niên 1800, khi các nhà khoa học muốn tìm hiểu chức năng ý thức não bộ của loài người với mong muốn có thể thiết kế các máy tính hoạt động giống chức năng não bộ, có khả năng học thông qua cơ sở dữ liệu, lưu trữ kinh nghiệm và sử dụng trong những tình huống phù hợp. Ngày nay, khái niệm mạng nơron nhân tạo (artificial neural networks) đã được biết đến một cách rộng rãi trong nhiều ứng dụng công nghệ, đặc biệt trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo. Trong việc mô hình hóa toán học, các mạng nơron được mô tả bằng các phương trình trạng thái thông qua các hệ phương trình vi phân phi tuyến. Mặc dù rất nhiều kết quả nghiên cứu, cả lý thuyết và ứng dụng, về các mô hình mạng nơron đã được công bố trong khoảng hai thập kỉ gần đây, lĩnh vực nghiên cứu định tính về dáng điệu nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đối với các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ mô tả các mạng nơron vẫn đang là mối quan tâm rất lớn của cả giới toán học và kỹ sư. Nhiều vấn đề mở vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu và phát triển, nhất là với các mô hình có cấu trúc tổng quát hơn 1
và sát với thực tiễn hơn. Đây cũng là lí do và là động lực chính chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong một số mô hình mạng nơron trong luận án này. 2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu 2.1. Tính ổn định mũ toàn cục của mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm chứa trễ biến thiên không đồng nhất dưới tác động của xung bất ổn định Trạng thái của nhiều quá trình tự nhiên thường bị tác động bởi các yếu tố “nhiễu” do các thay đổi đột ngột tại một số thời điểm mà ta gọi là các thời điểm xung trạng thái. Các mô hình này được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa xung. Ngoài các đặc tính cấu trúc của hệ, các yếu tố về cường độ (intensity), tức là độ lớn của bước nhảy giá trị tại thời điểm xung, tần suất các thời điểm xung v.v ảnh hưởng rất lớn đến dáng điệu nghiệm của hệ, thậm chí thay đổi hoàn toàn tính chất định tính của nghiệm so với các hệ không có xung tương ứng. Các công trình đã công bố liên quan đến tính ổn định của mạng nơron chứa xung chủ yếu đề cập đến các mô hình với trọng số kết nối là hằng số và hàm kích hoạt không phụ thuộc tường minh vào thời gian (mô hình ô-tô-nôm). Rất ít công trình đã công bố xét đến tính ổn định của mạng nơron không ô-tô-nôm với trễ biến thiên không đồng nhất và hiệu ứng xung. Trong Chương 2 của luận án, chúng tôi xét mô hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm chứa trễ và xung bất ổn định có dạng sau đây n X x′i (t) = −di (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n X (1) + bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), t > 0, t 6= tk , j=1 ∆xi (tk ) , xi (t+ − − k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), k ∈ N. Dựa trên việc phát triển một số kĩ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân, chúng tôi thiết lập các điều kiện thông qua tính chất của M-ma trận đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục của hệ (1). 2.2. Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn Trễ tỉ lệ là một loại trễ đặc biệt trong lớp trễ biến thiên không bị chặn, được sử dụng nhiều trong việc mô hình hóa các hệ động lực học trong lĩnh vực điều khiển 2
hệ thống có cấu trúc mạng. Do cấu trúc nhiều tầng (multi-layers), quá trình xử lí và truyền tín hiệu giữa các tầng thường được mô tả bằng các tín hiệu trễ mà thời gian trễ được tỉ lệ với thời gian hiện tại. Cụ thể hơn, khi một mạng nơron với trễ tỉ lệ được sử dụng để mô tả một mô hình ứng dụng nào đó, động lực của hệ tại thời điểm t được xác định bởi trạng thái x(t) và x(qt), ở đó 0 < q < 1 là hằng số diễn tả tỉ số thời gian giữa trạng thái hiện tại và trạng thái quá khứ. Vì qt = t − τ (t) với τ (t) = (1 − q)t → ∞ khi t → ∞, hàm trễ τ (t) xác định bởi hằng số q được gọi là trễ tỉ lệ. Gần đây, các mô hình mạng nơron với trễ tỉ lệ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu rất lớn của các tác giả trong và ngoài nước. Bên cạnh khó khăn cơ bản về tính biến thiên, không bị chặn, vấn đề nghiên cứu định tính các hệ có trễ tỉ lệ thường khó xử lí hơn các lớp trễ khác rất nhiều bởi các cách tiếp cận truyền thống không áp dụng được. Với mô hình ô-tô-nôm không có xung, cách tiếp cận phổ biến là sử dụng phương pháp đổi biến kết hợp với phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và cách tiếp cận bằng bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Tuy nhiên, phương pháp này rất khó áp dụng cho hệ nơron với trễ tỉ lệ dưới ảnh hưởng của nhiễu xung trạng thái. Nói cách khác, bài toán phân tích tính ổn định của mạng nơron với trễ tỉ lệ dưới ảnh hưởng của xung, đặc biệt là xung không đồng nhất, đòi hỏi phải phát triển các công cụ và kĩ thuật đặc thù. Có thể vì lí do này, cho đến nay rất ít kết quả nghiên cứu về chủ đề này được công bố. Cũng trong Chương 2 của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa đối mô hình mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ n X n X x′i (t) = −di xi (t) + aij fj (xj (t)) + bij gj (xj (qt)) + ui (t), t 6= tk , j=1 j=1 (2) ∆xi (tk ) = xi (t+ − − k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), k ∈ N, dưới tác động đồng thời của xung ổn định và xung bất ổn định. Một luật điều khiển phản hồi trạng thái dạng ui (t) = −ki xi (t), i ∈ [n], ở đó các hệ số phản hồi ki , i ∈ [n], được giới hạn trong một khoảng xác định cho trước. Dựa trên lý thuyết M-ma trận và việc phát triển một số kĩ thuật so sánh mới, chúng tôi đưa ra các điều kiện ổn định dạng mũ suy rộng đối với hệ (2). 2.3. Nghiệm dương và tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương đối với mô hình mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên Khác với các mô hình mạng nơron cổ điển, ở đó động lực của hệ xác định bởi các đạo hàm cấp một của trạng thái, mạng nơron quán tính (viết tắt là INNs) được 3
mô tả bởi các hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp hai. Khái niệm này có nguồn gốc từ các bài toán trong mô hình dao động cơ học. Việc đưa các số hạng quán tính vào mô hình mạng INNs có nền tảng kỹ thuật và sinh học. Mặt khác, các số hạng quán tính cũng gây ra nhiều khó khăn cho bài toán phân tích dáng điệu tiệm cận các mô hình INNs có trễ. Vấn đề này đã và đang là chủ đề thu hút sự quan tâm lớn của cộng đồng các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước trong vài năm gần đây. Các hệ dương nói chung, mạng nơron dương (PNNs) nói riêng được sử dụng để mô tả động lực của rất nhiều lớp hệ trong tự nhiên và kĩ thuật mà ở đó các biến trạng thái luôn không âm do các đặc tính tự nhiên của chúng. Rất ít kết quả nghiên cứu về tính ổn định của mạng nơron dương có trễ được công bố. Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định mũ toàn cục của điểm cân bằng dương đối với mô hình mạng nơron quán tính có trễ biến thiên n d2 xi (t) dxi (t) X = − ai − b x i i (t) + cij fj (xj (t)) dt2 dt j=1 n (3) X + dij fj (xj (t − τj (t))) + Ii , t ≥ 0, i ∈ [n]. j=1 Dựa trên việc phát triển các kĩ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân được sử dụng cho các hệ dương, chúng tôi tìm mối liên hệ giữa hệ số tắt dần, hệ số tự kích thích và các trọng số kết nối đảm bảo tính dương của hệ (3). Dựa trên các điều kiện đưa ra, sau đó chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất của điểm cân bằng dương ổn định mũ đối với mô hình (3). 2.4. Nghiệm dương và tính ổn định mũ của mô hình mạng BAM với trễ biến thiên không đồng nhất Mạng nơron trong mô hình bộ nhớ hai chiều kết hợp (BAM) được giới thiệu vào năm 1987 bởi Kosko. Thuật ngữ “hai chiều” dùng để chỉ hai dòng thông tin theo chiều tiếp nhận xuôi (forward) và truy xuất ngược (backward) trong quá trình tìm kiếm hai chiều giữa các dữ liệu cặp. Mô hình mạng BAM có nhiều ứng dụng trong nhận dạng mẫu hay truyền tải dữ liệu và xử lí ảnh. Tuy vậy, các nghiên cứu về mạng BAM dương có trễ nói chung, sự tồn tại và tính ổn định của điểm cân bằng dương nói riêng rất ít được biết đến. Trong Chương 4 chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại toàn cục của nghiệm dương và tính ổn định của điểm cân bằng dương đối với mô hình 4
mạng BAM với trễ biến thiên sau đây m m (4) X X x′i (t) = −αi ϕi (xi (t)) + aij fj (yj (t)) + bij fj (yj (t − σj (t))) + Ii , j=1 j=1 n n (5) X X yj′ (t) = −βj ψj (yj (t)) + cji gi (xi (t)) + dji gi (xi (t − τi (t))) + Jj . i=1 i=1 Trong mô hình (4)-(5), tốc độ suy giảm trạng thái các nơron là các hàm phi tuyến ϕi (xi ) và ψj (xj ). Một cách tiếp cận có hệ thống thông qua các bất đẳng thức vi phân kết hợp với định lí điểm bất động Brouwer và lý thuyết M-ma trận, các điều kiện LP được đưa ra đảm bảo sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ của hệ (4)-(5). 3. Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng kết hợp các công cụ của giải tích, phương trình vi phân thường, giải tích ma trận, nguyên lí so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân và tích phân và một số công cụ nghiên cứu trong lý thuyết điều khiển toán học. Đặc biệt, trong luận án chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh mới để thiết lập các điều kiện ổn định thông qua lý thuyết M-ma trận. Các điều kiện đó được biểu diễn bằng các bài toán LP giúp cho việc kiểm tra tính khả dụng bằng nhiều công cụ tính toán sẵn có một cách hiệu quả. 4. Kết quả đạt được của luận án Luận án đã đạt được các kết quả sau đây 1. Thiết lập được các điều kiện đủ thông qua tính chất phổ của M-ma trận đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục (theo nghĩa đồng bộ hóa) của mô hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm với trễ biến thiên không đồng nhất dưới tác động của xung bất ổn định. 2. Đưa ra một đánh giá mũ suy rộng (dạng lũy thừa) đối với mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ dưới tác động đồng thời của xung ổn định và xung bất ổn định có cường độ phân phối kiểu tuần hoàn. 3. Chứng minh tính dương và đưa ra điều kiện cho sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ đối với mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên. 4. Thiết lập được các điều kiện cho sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ của một lớp hệ dương phi tuyến trong mô hình mạng BAM với trễ biến thiên không đồng nhất. 5
Các kết quả trên đây đã được công bố trong 04 bài báo trên các tạp chí quốc tế trong danh mục ISI/Scopus. 5. Cấu trúc của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và danh mục Tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương. • Chương 1 giới thiệu sơ bộ về lịch sử và mô hình toán học của mạng nơron, tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân chứa xung, lý thuyết hệ dương và một số kết quả bổ trợ khác. • Chương 2 nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa dạng mũ đối với hai lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield có trễ dưới tác động của dãy xung bất ổn định và xung phân phối kiểu tuần hoàn. • Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu tính dương và sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ của lớp phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron quán tính chứa trễ biến thiên bị chặn. • Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại điểm cân bằng dương ổn định mũ của lớp hệ dương phi tuyến trong mô hình mạng BAM với trễ biến thiên không đồng nhất. 6
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày về mô hình toán học của mạng nơron sinh học từ quan điểm hệ động lực; một số kiến thức về giải tích ma trận, phương trình vi phân thường, phương trình vi phân chứa xung, lý thuyết ổn định theo Lyapunov; sơ lược về hệ dương và một số kết quả bổ trợ làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án trong các chương sau. 1.1. Mô hình động lực học của mạng nơron sinh học tổng quát Mục này giới thiệu sơ bộ về lịch sử mô hình toán học của mạng nơron từ quan điểm hệ động lực. 1.2. Cở sở toán học 1.2.1. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov Mục này giới thiệu sơ lược về hệ phương trình vi phân hàm, sự tồn tại duy nhất nghiệm, một số khái niệm ổn định theo Lyapunov và Định lí Lyapunov-Krasovskii. 1.2.2. Hệ phương trình vi phân hàm chứa xung Mục này trình bày sơ lược về hệ phương trình vi phân hàm chứa xung, sự tồn tại nghiệm và một số định lí về ổn định nghiệm. 1.2.3. Hệ dương Mục này trình bày sơ lược về hệ tuyến tính dương và một kết quả về tính ổn định của hệ dương phi tuyến. 1.2.4. Một số kết quả bổ trợ Mục này giới thiệu một số khái niệm, tính chất về M-ma trận, đạo hàm Dini, trường vectơ bảo toàn thứ tự, ánh xạ đồng phôi và một số kết quả khác. 7
Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD CÓ TRỄ VỚI XUNG BIẾN THIÊN Phần thứ nhất của chương này trình bày kết quả nghiên cứu về tính ổn định của mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm (hệ số phụ thuộc thời gian) với trễ bị chặn và dãy xung bất ổn định. Trong phần sau của chương, chúng tôi thiết lập đánh giá mũ suy rộng cho mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ dưới tác động đồng thời của xung ổn định và xung bất ổn định với cường độ xung phân phối kiểu tuần hoàn. 2.1. Ví dụ mở đầu 2.2. Mô hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm chứa trễ và xung bất ổn định Phương trình trạng thái n X x′i (t) = −di (t)xi (t) + aij (t)fj (xj (t)) j=1 n X + bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), t > 0, t 6= tk , (2.1) j=1 ∆xi (tk ) , xi (t+ − − k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), t = tk , k ∈ N, xi (t) = φi (t), t ∈ [−τ, 0], i ∈ [n]. (A2.1) Các ma trận D(t) = diag(d1 (t), . . . , dn (t)), A(t) = (aij (t)), B(t) = (bij (t)) liên tục trên mỗi khoảng (tk , tk+1 ) và tồn tại các hằng số dˆi , a+ ij , bij thỏa mãn + di (t) ≥ dˆi > 0, |aij (t)| ≤ a+ ij , |bij (t)| ≤ b+ ij , ∀t ≥ 0, i, j ∈ [n]. (A2.2) Các hàm kích hoạt nơron fj , gj , j ∈ [n], thỏa mãn − fj (a) − fj (b) + − gj (a) − gj (b) + ljf ≤ ≤ ljf , ljg ≤ ≤ ljg , ∀a, b ∈ R, a 6= b, a−b a−b ở đó ljf − , ljf + , ljg − và ljg + là các hằng số. (A2.3) Tồn tại dãy số dương (γk )k∈N sao cho 1 − γk ≤ σik ≤ 1 + γk , i ∈ [n], k ∈ N. 8
Mệnh đề 2.2.1. Giả sử các giả thiết (A2.1), (A2.2) được thỏa mãn. Khi đó, với mỗi φ ∈ C([−τ, 0], Rn ), tồn tại duy nhất một nghiệm x(t, φ) của hệ (2.1) liên tục từng khúc trên R+ và chỉ có các điểm gián đoạn tại các thời điểm xung t = tk , k ∈ N. Giả sử dãy cường độ xung nhận giá trị trong một tập hữu hạn {µ1 , µ2 , . . . , µq }, ở đó µi > 1, i ∈ [q]. Kí hiệu tjk , j ∈ [q], là các thời điểm xung ứng với giá trị µj , nghĩa là tjk = tk nếu γk = µj . (A2.4) Tồn tại các số dương ρj sao cho tj(k+1) − tjk ≥ ρj , ∀j ∈ [q], k ∈ N. 2.3. Điều kiện ổn định Định nghĩa 2.3.1. Hệ (2.1) được gọi là ổn định mũ toàn cục nếu tồn tại các hằng số dương α, β sao cho hai nghiệm bất kì x(t), xˆ(t) của (2.1) ứng với các hàm ban đầu φ, ψ ∈ C([−τ, 0], Rn ) thỏa mãn đánh giá mũ sau đây kx(t) − xˆ(t)k∞ ≤ βkφ − ψk∞ e−αt , t ≥ 0. (2.2) Dựa trên các giả thiết (A2.1)-(A2.4), chúng tôi kí hiệu ma trận sau + ˆ = diag(dˆ1 , dˆ2 , . . . , dˆn ), D Aˆ = (a+ ˆ = eσ0 τij b+ , ij ), B ij Lf = diag(l1f , l2f , . . . , lnf ), Lg = diag(l1g , l2g , . . . , lng ), q ˆ f + BL ˆ g + σ0 En − D, ˆ X ln µj M = AL σ0 = , ρj j=1 ở đó ljf = max{ljf + − , −ljf } và ljg = max{ljg + − , −ljg }. 2.3.1. Kết quả chính Định lí 2.3.1. Giả sử các giả thiết (A2.1)-(A2.4) được thỏa mãn. Khi đó, hệ (2.1) ổn định mũ toàn cục nếu tồn tại vectơ χ ∈ Rn+ sao cho ˆ f + BL ˆ g + σ0 En − D ˆ χ ≺ 0. (2.3) AL Nhận xét 2.3.1. Vì −M là một M-ma trận, điều kiện (2.3) được thỏa mãn khi và chỉ khi −M là một M-ma trận không suy biến. Do đó, điều kiện (2.3) có thể kiểm tra bằng nhiều tiêu chuẩn khác nhau. 2.3.2. Một số kết quả áp dụng Định lí 2.3.2 (Dãy giá trị xung bị chặn). Giả sử các giả thiết (A2.1)-(A2.3) được thỏa mãn và các xung có tần số trung bình Ta . Khi đó, hệ (2.1) là ổn định mũ toàn 9
cục nếu tồn tại hằng số µ ≥ 1 và vectơ χ˜ ∈ Rn+ sao cho γk ≤ µ, k ∈ N, và ˆ f + BL ˜ g +σ ˆ χ (2.4) AL ˜0 En − D ˜ ≺ 0, với σ˜0 = và B˜ = eσ˜0 τij b+ ij . + ln µ Ta Dãy xung không bị chặn ln γk ∃γ0 ≥ 0 : ≤ γ 0 , k ∈ N. (2.5) tk − tk−1 Định lí 2.3.3. Giả sử các giả thiết (A2.1)-(A2.3) và điều kiện (2.5) được thỏa mãn. Khi đó, hệ (2.1) ổn định mũ toàn cục nếu tồn tại vectơ χˆ ∈ Rn+ thỏa mãn ˆ f + BL ˇ g + γ0 En − D ˆ χˆ ≺ 0, (2.6) AL ở đó Bˇ = eγ0 τij b+ ij . + 2.4. Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định hóa mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ mô tả bởi hệ phương trình vi phân sau n X n X x′i (t) = −di xi (t) + aij fj (xj (t)) + bij gj (xj (qt)) + ui (t), t 6= tk , j=1 j=1 (2.7) ∆xi (tk ) = xi (t+ − − k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), xi (t) = x0i , t ∈ [qt0 , t0 ], i ∈ [n]. Cường độ của xung ổn định và xung bất ổn định có giá trị nằm trong các tập hữu hạn tương ứng là Is = {ρ1 , ρ2 , . . . , ρM } và Iu = {µ1 , µ2, . . . , µN }, ở đó 0 < ρi < 1 với i ∈ [M] và µj > 1 với j ∈ [N]. Kí hiệu tsik và tujk là khoảng thời gian tác động của xung ổn định với trọng số ρi và xung bất ổn định với trọng số µj . Tức là, với i ∈ [M] và j ∈ [N], tsik = tk nếu γk = ρi và tujk = tk nếu γk = µj . (A2.5) Tồn tại các số dương τis , τju , và các số nguyên qi ∈ N0 , rj ∈ N0 , i ∈ [M], j ∈ [N], thỏa mãn các điều kiện sau đây với bất kì t > s ≥ t0 t−s t−s s − qi ≤ Nρi (t, s) ≤ s + qi , τi τi t−s t−s (2.8) − rj ≤ Nµj (t, s) ≤ u + rj , τju τj ở đó Nρi (t, s) và Nµj (t, s) là tần số của trọng xung ρi và µj trên khoảng (s, t). 10
Chúng tôi thiết kế một luật điều khiển phản hồi trạng thái kiểu địa phương dạng ui (t) = −ki xi (t), i ∈ [n], (2.9) để ổn định hóa hệ (2.7), ở đó ki , i ∈ [n], là các hệ số điều khiển. Hệ đóng của (2.7) được cho bởi x′ (t) = −Dc x(t) + Af (x(t)) + Bg(x(qt)), t 6= tk , (2.10) x(t+ k) = Jk x(t− k ), k ∈ N, ở đó các ma trận cho bởi Dc = diag(di + ki ), A = (aij ), B = (bij ), Jk = diag(1 − σik ) và các hàm vectơ f (x(t)) = (fj (xj (t))), g(x(qt)) = (gj (xj (qt))). 2.4.1. Tính ổn định mũ suy rộng của hệ đóng (2.10) Định nghĩa 2.4.1. Hệ (2.10) được gọi là ổn định mũ suy rộng nếu tồn tại số dương κ và một hàm tăng σ(t) > 0, σ(t) → ∞ khi t → ∞, sao cho nghiệm bất kì x(t) = x(t; x0 ) của hệ (2.10) thỏa mãn điều kiện kx(t)k ≤ κkx0 ke−σ(t) , t ≥ t0 . Chúng tôi kí hiệu các ma trận Kc = diag(ki ), |A| = (|aij |), |B| = (|bij |) M = −2Dc + sym(|A|Lf ) + θ−1 |B|Lg L⊤ ⊤ g |B| , θ > 0. Định lí 2.4.1. Với các giả thiết (A2.2), (A2.3) và (A2.5), giả sử tồn tại các số dương α và θ thỏa mãn M + αEn < 0, (2.11a) α > pθ, (2.11b) M N ln(ρi ) ln(µj ) (2.11c) X X + = 0, τis τju i=1 j=1 ở đó p = . Khi đó, hệ (2.10) là ổn định mũ suy rộng. Cụ thể hơn, QM QN 2rj −2qi i=1 j=1 µj ρi tồn tại hằng số σ > 0 sao cho nghiệm bất kì x(t) = x(t; x0 ) của hệ (2.10) thỏa mãn √ p (2.12) σ kx(t)k ≤ p kx0 ke− 2 ln(1+t) , t ≥ t0 . (1 + qt0 )σ Áp dụng bổ đề Schur, các điều kiện (2.11a) và (2.11b) có thể viết lại dưới dạng ! −2Dc + sym(|A|Lf ) + αEn |B|Lg < 0, (2.13a) Lg |B|⊤ −θEn 11
pθ − α < 0. (2.13b) Xét trường hợp đặc biệt của mô hình (2.7) với hiệu ứng xung kiểu “luân phiên” ˙ x(t) = −Dx(t) + Af (x(t)) + Bg(x(qt)), t 6= kTs , (2.14) x(t+ k) = γk x(t− k ), với Ts > 0 là chu kì xung. Giả sử rằng tồn tại một số γ∗ , 0 < |γ∗ | = 6 1, sao cho γ2k+1 = γ∗ và γ2k+2 = γ∗−1 với mọi k ∈ N0 . Rõ ràng, giả thiết (A2.5) được thỏa mãn với mọi t > s ≥ t0 t−s t−s − 1 ≤ Nγ∗ (t, s) ≤ + 1, 2Ts 2Ts t−s t−s − 1 ≤ Nγ −1 (t, s) ≤ + 1. 2Ts ∗ 2Ts Từ Định lí 2.4.1, chúng tôi có kết quả sau đây. Định lí 2.4.2. Giả sử các giả thiết (A2.2), (A2.3) và (A2.5) được thỏa mãn. Khi đó, hệ (2.14) là ổn định mũ suy rộng nếu tồn tại θ > 0 thỏa mãn điều kiện 1 n o θ max γ∗2 , + m < 0, (2.15) γ∗2 ở đó m = λmax −2D + sym(|A|Lf ) + θ−1 |B|Lg L⊤ ⊤ . g |B| 2.4.2. Điều kiện ổn định hóa đối với hệ (2.7) Định lí 2.4.3. Giả sử các giả thiết (A2.2), (A2.3), (A2.5) và điều kiện (2.11c) được thỏa mãn. Khi đó, hệ (2.7) là ổn định mũ suy rộng với điều khiển (2.9) nếu tồn tại α > 0, θ > 0 và ma trận chéo Z = diag(zi ) ∈ Rn×n thỏa mãn LMIs sau đây ! −2D + sym(|A|Lf ) + αEn + Z |B|Lg < 0, (2.16a) Lg |B|⊤ −θEn Z + 2diag(kiu ) ≥ 0, Z + 2diag(kil ) ≤ 0, (2.16b) α > pθ. (2.16c) Ma trận điều khiển được cho bởi 1 Kc = − Z. (2.17) 2 12
Chương 3 NGHIỆM DƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG ĐỐI VỚI MÔ HÌNH MẠNG NƠRON QUÁN TÍNH ĐA TRỄ BIẾN THIÊN Chương này nghiên cứu tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương đối với mạng nơron quán tính chứa trễ biến thiên n d2 xi (t) dxi (t) X = − ai − bi xi (t) + cij fj (xj (t)) dt2 dt j=1 n (3.1) X + dij fj (xj (t − τj (t))) + Ii , t ≥ 0, i ∈ [n]. j=1 Chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh thông qua các bất đẳng thức vi phân kết hợp với phương pháp sử dụng các đồng phôi để thiết lập các điều kiện đảm bảo tính dương và tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương của hệ (3.1). 3.1. Thiết lập sơ bộ Hệ (3.1) được viết dưới dạng vectơ x′′ (t) = −Ax′ (t) − Bx(t) + Cf (x(t)) + Df (xτ (t)) + I, (3.2) ở đó f (x(t)) = (fj (xj (t))) và f (xτ (t)) = (fj (xj (t − τj (t)))). Điều kiện đầu xác định bởi xi (s) = φi (s), x′i (s) = φˆi (s), s ∈ [−τ + , 0], i ∈ [n]. (3.3) Sử dụng phép biến đổi trạng thái dxi (t) ηi yi (t) = + ξi xi (t), i ∈ [n], (3.4) dt ở đó ηi 6= 0 và ξi , i ∈ [n] là các hằng số, hệ (3.1) được viết lại dưới dạng  x′ (t) = −Dξ x(t) + Dη y(t), (3.5) y ′(t) = −D y(t) + D x(t) + D−1 [Cf (x(t)) + Df (x (t)) + I] , α β η τ ở đó y(t) = (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t))⊤ , Dξ = diag{ξ1 , . . . , ξn }, Dη = diag{η1 , . . . , ηn }, Dα = diag{α1 , . . . , αn }, Dβ = diag{β1 , . . . , βn } và αi = ai − ξi , βi = ηi−1 (αi ξi − bi ). 13
3.1.1. Sự tồn tại nghiệm (A3) Các hàm fj (.), j ∈ [n] liên tục và tồn tại các hằng số dương ljf , j ∈ [n], thỏa mãn điều kiện sau đây fj (a) − fj (b) 0≤ ≤ ljf , a 6= b. (3.6) a−b Mệnh đề 3.1.1. Giả sử giả thiết (A3) được thỏa mãn. Khi đó, với mỗi điều kiện đầu xác định bởi (3.3), hệ (3.1) có nghiệm duy nhất xác định trên khoảng [0, ∞). 3.1.2. Nghiệm dương và điểm cân bằng Một nghiệm x(t) được gọi là dương nếu quỹ đạo của nó nằm trong nón dương với mọi t ≥ t0 . Định nghĩa 3.1.1. Hệ (3.1) được gọi là hệ dương nếu với điều kiện đầu chấp nhận được (không âm) và đầu vào I = (Ii ) ∈ Rn+ , nghiệm tương ứng x(t) của hệ là nghiệm dương. Định nghĩa 3.1.2. Với vectơ đầu vào không âm cho trước I ∈ Rn+ , vectơ x∗ ∈ Rn+ được gọi là một điểm cân bằng dương của hệ (3.1) nếu nó thỏa mãn phương trình −Bx∗ + Cf (x∗ ) + Df (x∗ ) + I = 0. (3.7) Bổ đề 3.1.2. Giả sử Dη ≻ 0 và Dξ ≻ 0. Khi đó, vectơ x∗ ∈ Rn+ là điểm cân bằng dương của hệ (3.1) nếu và chỉ nếu (x∗ , y∗ ) là điểm cân bằng dương của hệ (3.5),  −Dξ x∗ + Dη y∗ = 0, (3.8) D (−D y + D x ) + Cf (x ) + Df (x ) + I = 0. η α ∗ β ∗ ∗ ∗ Định nghĩa 3.1.3. Điểm cân bằng dương x∗ của hệ (3.1) được gọi là ổn định mũ toàn cục nếu tồn tại các số dương κ và λ sao cho nghiệm bất kì x(t) của (3.1) thỏa mãn bất đẳng thức sau kx(t) − x∗ k∞ ≤ κkΦ∗ ke−λt , t ≥ 0, (3.9) ở đó kΦ∗ k = sups∈[−τ +,0],i∈[n] {|φi (s) − xi∗ |, |φˆi(s)|}. 3.2. Tính dương của mạng nơron quán tính có trễ Bổ đề 3.2.1. Với các hệ số ai > 0, bi > 0, tồn tại phép biến đổi (3.4) với ηi > 0 và ξi > 0, i ∈ [n], sao cho Dα ≻ 0 và Dβ ≻ 0 nếu và chỉ nếu a2i − 4bi > 0, i ∈ [n]. (3.10) 14
Giả sử các hệ số ai , bi , i ∈ [n], trong (3.1) thỏa mãn điều kiện (3.10). Xét một phép biến đổi (3.4), ở đó các hệ số ξi , ηi thỏa mãn  0 < ηi < ξi , (3.11) ξ l < ξ < ξ u, i ∈ [n], i i i √ √ a2i −4bi ai + a2i −4bi với và . ai − ξil = 2 ξiu = 2 Định lí 3.2.2. Giả sử giả thiết (A3), điều kiện (3.10) được thỏa mãn và C = (cij ) 0, D = (dij ) 0. Khi đó, (3.1) là hệ dương. Cho A˜T là một tập con của AT xác định bởi A˜T = {φ = (φi ) ∈ C 1 ([−τ + , 0], Rn+ ) : φ′i (s) ≥ 0}. Hệ quả 3.2.3. Giả sử các hệ số ai > 0, bi > 0 thỏa mãn a2i − 4bi > 0, i ∈ [n], và C = (cij ) 0, D = (dij ) 0. Khi đó, dưới giả thiết (A3), hệ (3.1) là hệ dương, ở đó (φi ) ∈ A˜T và φˆi (.) = φ′ (.). i 3.3. Sự tồn tại của điểm cân bằng Định lí 3.3.1. Giả sử các giả thiết của Định lí 3.2.2 được thỏa mãn và tồn tại một vectơ χ0 ∈ R2n , χ0 ≻ 0, sao cho !⊤ −Dξ Dη χ0 ≺ 0. (3.12) Dαξ − B + (C + D)Lf −Dαη " # x∗ Khi đó, với vectơ đầu vào bất kì I ∈ Rn , tồn tại duy nhất một điểm cân bằng χ∗ = y∗ của hệ (3.5). 3.4. Tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương Định lí 3.4.1. Với các giả thiết của Định lí 3.2.2, giả sử tồn tại vectơ χˆ0 ∈ R2n , χˆ0 ≻ 0, thỏa mãn ! −Dξ Dη χˆ0 ≺ 0. (3.13) Dαξ − B + (C + D)Lf −Dαη Khi đó, với bất kì vectơ đầu vào I ∈ Rn+ , hệ (3.5) có điểm cân bằng dương duy nhất " # x∗ + ổn định mũ toàn cục với trễ bất kì τj (t) ∈ [0, τ ]. ∈ R2n χ∗ = + y∗ Kết quả sau đây tóm lược các kết quả thu được cho mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên (3.1). 15
Định lí 3.4.2. Xét lớp mạng nơron quán tính với trễ biến thiên dạng (3.1). Giả sử rằng giả thiết (A3) và các điều kiện sau được thỏa mãn (i) a2i − 4bi > 0, i ∈ [n]; (ii) C = (cij ) 0, D = (dij ) 0; (iii) Tồn tại vectơ v ∈ Rn , v ≻ 0, sao cho (3.14) −B + CLf + DLf v ≺ 0. Khi đó, các khẳng định sau đây đúng (a) Hệ (3.1) là hệ dương với điều kiện đầu thuộc AT . (b) Với mỗi I ∈ Rn+ , tồn tại duy nhất một điểm cân bằng dương ổn định mũ x∗ của hệ (3.1) với trễ bị chặn bất kì τj (t) ∈ [0, τ + ]. Hơn nữa, tồn tại λ∗ > 0 sao cho nghiệm bất kì x(t) của hệ (3.1), (3.3) thỏa mãn (1 + σ0 )σ1 kx(t) − x∗ k∞ ≤ kΦ∗ ke−λ∗ t , t ≥ 0, (3.15) σ2 n o ở đó σ0 = maxi∈[n] 21 ai + a2i − 4bi , σ1 = maxi∈[n] vi , 12 (ai − a2i − 4bi )vi và σ2 = p p n o mini∈[n] vi , 12 (ai − a2i − 4bi )vi . p 3.5. Ví dụ minh họa Mục này trình bày một số ví dụ và mô phỏng để minh họa cho các kết quả lý thuyết đạt được. 16
Chương 4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHI TUYẾN TRONG MÔ HÌNH MẠNG BAM ĐA TRỄ BIẾN THIÊN Chương này nghiên cứu tính ổn định mũ của mô hình mạng BAM đa trễ biến thiên với hàm tốc độ phân rã (tự phản hồi) phi tuyến m m (4.1) X X x′i (t) = −αi ϕi (xi (t)) + aij fj (yj (t)) + bij fj (yj (t − σj (t))) + Ii , j=1 j=1 n n (4.2) X X yj′ (t) = −βj ψj (yj (t)) + cji gi (xi (t)) + dji gi (xi (t − τi (t))) + Jj . i=1 i=1 Dựa trên một số kĩ thuật so sánh bằng hệ bất đẳng thức vi phân, chúng tôi chứng minh được rằng mọi quỹ đạo trạng thái của hệ xuất phát từ nón dương các hàm ban đầu với các trọng số và đầu vào không âm luôn không âm. Sử dụng định lí điểm bất động Brouwer và lý thuyết M-ma trận, chúng tôi thiết lập các điều kiện đảm bảo sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ đối với hệ (4.1)-(4.2). Một mở rộng cho mô hình mạng nơron BAM với trễ tỉ lệ cũng được đưa ra ở phần cuối chương. 4.1. Mô tả mô hình và phân tích sơ bộ Kí hiệu x(t) = (xi (t)) ∈ Rn , y(t) = (yj (t)) ∈ Rm , Dα = diag{α1 , α2 , . . . , αn }, Dβ = diag{β1 , β2 , . . . , βm }, A = (aij ) ∈ Rn×m , B = (bij ) ∈ Rn×m , C = (cji ) ∈ Rm×n , D = (dji ) ∈ Rm×n và I = (Ii ) ∈ Rn , J = (Jj ) ∈ Rm . Hệ (4.1)-(4.2) được viết dưới dạng vectơ  x′ (t) = −Dα Φ(x(t)) + Af (y(t)) + Bf (y(t − σ(t))) + I, (4.3) y ′(t) = −D Ψ(y(t)) + Cg(x(t)) + Dg(x(t − τ (t))) + J. β 4.1.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm Gọi D là tập các hàm liên tục ϕ : R → R thỏa mãn ϕ(0) = 0 và tồn tại các số dương lϕ , ˜lϕ sao cho ϕ(a) − ϕ(b) ˜ lϕ ≤ ≤ lϕ (4.4) a−b với mọi a, b ∈ R, a 6= b. (A4.1) Các hàm tốc độ phân rã ϕi , ψj , i ∈ [n], j ∈ [m], thuộc lớp D. 17
(A4.2) Các hàm kích hoạt nơron fj (.), gi (.), i ∈ [n], j ∈ [m], liên tục, fj (0) = 0, gi (0) = 0, và tồn tại các hằng số dương Lfj , Lgi sao cho fj (a) − fj (b) gi (a) − gi (b) 0≤ ≤ Lfj , 0≤ ≤ Lgi , a 6= b. (4.5) a−b a−b Nhận xét 4.1.1. Nếu các hàm ϕi và ψj liên tục Lipschitz và có đạo hàm bị chặn dưới γi = inf ϕ′i (a) > 0, µj = inf ψj′ (a) > 0, a∈R a∈R thì điều kiện (4.4) rõ ràng được thỏa mãn, ở đó lϕi = γi và lψj = µj . Mặt khác, từ (4.4), một hàm bất kì ϕ thuộc D cũng là một hàm liên tục và tăng ngặt. Do đó, tồn tại hàm số ngược liên tục ϕ−1 của ϕ. Hơn nữa, ϕ−1 cũng thuộc D với lϕ−1 = ˜lϕ−1 và ˜l −1 = l−1 . ϕ ϕ Mệnh đề 4.1.1. Giả sử các giả thiết (A4.1) và (A4.2) được thỏa mãn. Khi đó, với bất kì hàm ban đầu x0 ∈ C([−τ , 0], Rn ), y 0 ∈ C([−σ, 0], Rm ), tồn tại duy nhất một nghiệm vec(x(t), y(t)) của hệ (4.3) xác định trên khoảng [t0 , ∞). 4.1.2. Nghiệm dương và điểm cân bằng Cho χ(t) = vec(x(t), y(t)) là một nghiệm của hệ (4.3). Nếu quỹ đạo của χ(t) được giới hạn trong nón dương, tức là χ(t) ∈ Rn+m + với mọi t ≥ t0 , thì χ(t) được gọi là một nghiệm dương của hệ (4.3). Tập chấp nhận được các điều kiện đầu của hệ (4.3) được xác định bởi " # n x0 A= φ= ∈C([−τ , 0], Rn) × C([−σ, 0], Rm ) : y0 o x0 (ξ) 0, ∀ξ ∈ [−τ , 0], y 0 (θ) 0, ∀θ ∈ [−σ, 0] . (4.6) Định nghĩa 4.1.1. Hệ (4.3) được gọi là hệ dương nếu với bất kì điều kiện đầu φ ∈ A và vectơ đầu vào không âm vec(I, J) ∈ Rn+m + , nghiệm tương ứng χ(t) = vec(x(t), y(t)) của hệ (4.3) là nghiệm dương. Định nghĩa 4.1.2. Cho trước vectơ đầu vào J = vec(I, J) ∈ Rn+m , một vectơ χ∗ = vec(x∗ , y ∗ ), x∗ ∈ Rn , y ∗ ∈ Rm , được gọi là một điểm cân bằng của hệ (4.3) nếu nó thỏa mãn hệ phương trình đại số sau đây  −Dα Φ(x∗ ) + (A + B) f (y ∗) + I = 0 (4.7) −D Ψ(y ∗ ) + (C + D) g(x∗ ) + J = 0. β χ∗ là điểm cân bằng dương nếu nó là một điểm cân bằng và χ∗ 0. 18