Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động" nghiên cứu về định lí không gian con Schmidt, định lí cơ bản thứ hai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ Dio-phantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thanh Sơn VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNG CONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 9.46.01.05 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Trần Văn Tấn Hà Nội - Năm 2022
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lí thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lí thuyết Nevanlinna, được hình thành từ những nghiên cứu đầu tiên của Nevanlinna về sự phân bố giá trị của hàm phân hình một biến phức công bố vào năm 1925. Các kết quả của Nevanlinna đã nhanh chóng được nhiều nhà toán học mở rộng sang trường hợp chiều cao và nhiều biến như: A. Bloch xem xét vấn đề với đường cong chỉnh hình trong đa tạp Abel; Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna tới trường hợp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh phức; H. Weyl , J. Weyl và Ahlfors đưa ra cách tiếp cận bằng hình học; Stoll mở rộng sang trường hợp ánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh... Nội dung chính của Lí thuyết Nevanlinna đưa ra mối quan hệ giữa hàm đặc trưng (đo sự lan tỏa của ảnh của ánh xạ) với hàm đếm các giao điểm của ảnh của ánh xạ với một mục tiêu. Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định lí chính thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Ở đó, Định lí cơ bản thứ nhất đưa ra một chặn dưới cho hàm đặc trưng bởi hàm đếm, còn Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một chặn trên cho hàm đặc trưng bởi tổng của các hàm đếm ứng với một mục tiêu. Với Định lí cơ bản thứ nhất, ta có thể nhìn nó như là một hệ quả của Công thức Jensen và ngày nay đã có những hiểu biết thỏa đáng về nó. Tuy nhiên, với Định lí cơ bản thứ hai thì cho đến nay mới chỉ được thiết lập cho không nhiều trường hợp. Trước thập kỷ 80 của thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai được thiết lập chủ yếu cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh phức. Sang thập kỷ 80, một số nhà toán học đã phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu là từ công trình của Osgood công bố năm 1981, sau đó được Vojta và nhiều chuyên gia khác 1
thuộc hai lĩnh vực này tiếp tục làm rõ thêm. Năm 1987, trong một bài báo, Vojta đã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnh vực trên mà ngày nay thường gọi là từ điển Vojta. Theo đó, Định lí cơ bản thứ hai tương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine. Không chỉ có sự tương đồng về khái niệm và kết quả, giữa hai lí thuyết trên còn có sự bổ trợ lẫn nhau trong phương pháp giải quyết vấn đề. Sự bổ trợ qua lại đó đã làm cho cả hai lí thuyết đạt được những thành tựu nổi bật trong giai đoạn từ đầu thế kỷ 21 đến nay, đó là thiết lập được nhiều Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mục tiêu là các siêu mặt. Tiêu biểu là các kết quả của Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretti, Ru, Dethloff-Trần Văn Tấn, Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái, Sĩ Đức Quang . Trong dòng chảy sôi động đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Về một dạng Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động. 2. Mục đích nghiên cứu Trước tiên, luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu và ứng dụng trong việc xây dựng tính Brody của đường cong. Tiếp theo, luận án thiết lập Định lí không gian con Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu về Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứ hai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đề tài của luận án được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ Dio- phantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh. 4. Phương pháp nghiên cứu Các vấn đề đặt ra trong luận án được chúng tôi giải quyết bằng cách kế thừa và phát triển các phương pháp của Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, Giải tích phức, Hình học phức. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2
Các kết quả đạt được của luận án làm gia tăng tri thức về Lí thuyết Nevanlinna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cũng như các ứng dụng của Định lí cơ bản thứ hai trong việc nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, đường cong Brody. Sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng này có thể sử dụng luận án như một tài liệu tham khảo trong quá trình học tập, nghiên cứu. 6. Cấu trúc luận án Luận án được trình bày thành ba chương chính. Trong đó, chương thứ nhất dành để phân tích, tìm hiểu các kết quả nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước liên quan đến nội dung đề tài. Hai chương còn lại trình bày các kiến thức chuẩn bị và chứng minh chi tiết các kết quả mới của đề tài. Chương I. Tổng quan. Chương II. Định lí cơ bản thứ hai đối với đường cong nguyên có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của một mục tiêu. Chương III. Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh. Luận án được viết dựa theo kết quả nghiên cứu của tác giả và các đồng tác giả công bố trong ba bài báo đăng trên các tạp chí khoa học trong nước và quốc tế. 7. Nơi thực hiện luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 3
Chương 1 TỔNG QUAN Trong chương Tổng quan, chúng tôi xem xét lịch sử phát triển, mối quan hệ, một số kết quả tiêu biểu mà các tác giả đi trước đã đạt được trong cả hai Lí thuyết Nevanlinna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, đồng thời nêu lên các kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong Lí thuyết Nevanlinna và các vấn đề liên quan về tiêu chuẩn chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình cũng như tiêu chuẩn Brody của đường cong nguyên, kết quả mới đạt được trong Lí thuyết xấp xỉ Diophantine. 1.1 Định lí cơ bản thứ hai Trong suốt thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai chủ yếu được thiết lập cho mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh phức. Kết quả của Nevanlinna cho trường hợp một chiều đã được Cartan mở rộng sang trường hợp chiều cao vào năm 1933 như sau. Định lý 1.1.1 (Định lí cơ bản thứ hai Cartan). Cho f là một đường cong nguyên, không suy biến tuyến tính (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêu phẳng nào) trong Pn (C). Giả sử H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn (C) (nghĩa là n + 1 siêu phẳng bất kỳ trong chúng có giao bằng rỗng). Khi đó q [n] X (q − n − 1)Tf (r) ≤ Nf (r, Hj ) + o(Tf (r)). j=1 Năm 1983, Nochka tiếp tục mở rộng được kết quả trên của Cartan sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình khác hằng bất kì (thay vì không suy biến tuyến tính). 4
Định lý 1.1.2 (Định lí cơ bản thứ hai Nochka). Cho f là một đường cong nguyên khác hằng trong Pn (C). Giả sử H1 , . . . , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn (C), không chứa ảnh của f . Khi đó q [k] X (q − 2n + k − 1)Tf (r) ≤ Nf (r, Hj ) + o(Tf (r)), j=1 ở đó k là số chiều của không gian xạ ảnh nhỏ nhất chứa ảnh của f. Định lí cơ bản thứ hai của Nochka cho ta một hệ quả quan trọng đó là định lí kiểu Picard cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh. Theo nguyên lí Bloch, mỗi định lí kiểu Picard đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và các dạng Bổ đề Zalcman là công cụ quan trọng cho phép ta thực hiện ý tưởng của Bloch. Năm 1991, Ru-Stoll đã mở rộng tiếp được kết quả của Cartan nói trên sang trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là các hệ số trong các siêu phẳng được thay bằng các hàm chỉnh hình). Một trong những thành tựu nổi bật mà cả hai lí thuyết nêu trên đạt được từ đầu thế kỷ 21 đến nay là thiết lập thành công các dạng Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu mặt. Cụ thể, trong những năm đầu của thế kỉ 21, các tác giả Everste-Ferretti, Corvaja-Zannier đã thiết lập thành công các Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu là các siêu mặt. Áp dụng cách tiếp cận của các tác giả đó, năm 2004, Ru đã mở rộng thành công Định lí cơ bản thứ hai của Cartan sang trường hợp siêu mặt. Định lý 1.1.3 (Định lí cơ bản thứ hai cho siêu mặt cố định). Cho f là một đường cong nguyên, không suy biến đại số (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêu mặt nào) trong Pn (C). Giả sử D1 , . . . , Dq (q ≥ n + 1) là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong Pn (C) (nghĩa là n + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng có giao bằng rỗng). Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có q (q − n − 1 − ε)Tf (r) ≤ X 1 Nf (r, Dj ). j=1 deg Dj Tiếp theo đó, các Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu là các siêu mặt di động ở vị trí tổng quát; cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh (thay cho không 5
gian xạ ảnh) giao các siêu mặt ở vị trí tổng quát cũng đã được Dethloff-Trần Văn Tấn, Ru thiết lập thành công. Các Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt cũng đã được thiết lập bởi Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái, Lê Giang, Chen-Ru-Yan, Sĩ Đức Quang-Đỗ Phương An, Sĩ Đức Quang. Gần đây, Trần Văn Tấn đã thiết lập được một dạng mạnh của Định lí cơ bản thứ hai cùng Định lí Picard tương ứng cho lớp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu phẳng mục tiêu. Đồng thời với việc đó, tác giả đã đưa ra cách tiếp cận bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình từ bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình. Hướng nghiên cứu thứ nhất của luận án nhằm mở rộng cách tiếp cận của Trần Văn Tấn từ trường hợp siêu phẳng sang cho siêu mặt. Trong chương 2 của luận án, chúng tôi trình bày các kết quả sau theo hướng nghiên cứu thứ nhất. Định lý 1.1.4 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022). Cho V ⊂ Pn (C) là một đa tạp với chiều k ≥ 1, và D1 , . . . , Dq là các siêu mặt trong Pn (C), ở vị trí N -dưới tổng quát trên V (có nghĩa là N + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng với V có giao bằng rỗng). Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D1 , . . . , deg Dq . Xét f là một đường cong nguyên trong V , không suy biến đại số (có nghĩa là không tồn tại siêu mặt đại số trong Pn (C) chứa ảnh của f nhưng không chứa V ). Kí hiệu f # là đạo hàm cầu của ánh xạ f và HV là hàm Hilbert của đa tạp V . Giả sử V ̸⊂ Dj (j = 1, . . . , q), với f # = 0 trên ∪qj=1 f −1 (Dj ). Khi đó, (2N − k + 1)HV (d) q− Tf (r) k+1 X q 1 1 [κ] ≤ 1− Nf (r, Dj ) + o(Tf (r)), (k + 1)(HV (d) − 1) j=1 deg Dj với κ = ∞ nếu HV (d) = 2 và κ = HV (d) − 1 nếu HV (d) ≥ 3. Định lý 1.1.5 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022). Cho D1 , . . . , Dq là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong Pn (C), n ≥ 2. Gọi d là bội chung nhỏ nhất của deg D1 , . . . , deg Dq . Giả sử tồn tại đường cong nguyên khác hằng f trong Pn (C) sao cho với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, hoặc f (C) ⊂ Dj , hoặc f # = 0 trên f −1 (Dj ). Khi đó q ≤ 3n n+d n − n. Định lý 1.1.6 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022). Cho f là một đường cong nguyên trong Pn (C), n ≥ 2. Giả sử các siêu mặt D1 , . . . , Dq ở vị trí tổng quát trong 6
Pn (C) sao cho f # bị chặn trên ∪qj=1 f −1 (Dj ). Gọi d là bội chung nhỏ nhất của deg D1 , . . . , deg Dq . Khi đó, nếu q > 3n n+d − n, thì f # bị chặn trên toàn C, n nghĩa là, f là một đường cong Brody. 1.2 Định lí không gian con Schmidt Theo từ điển Vojta, ta có Định lí không gian con Schmidt sau đây tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai Cartan. Định lý 1.2.1 (Định lí không gian con Schmidt). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập hữu hạn, chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho các siêu phẳng H1 , . . . , Hq trong Pn (k), ở vị trí tổng quát. Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có q X (q − n − 1 − ε)h(x) ≤ NS (Hj , x), j=1 với mọi x thuộc Pn (k), ngoài một tập là hợp của hữu hạn các phẳng trong Pn (k). (Ở đây, Mk là tập tất cả các lớp tương đương các định giá không tầm thường trên k , h(x) là hàm độ cao Logarit của x, và NS (Hj , x) là hàm đếm của x ứng với S và siêu phẳng Hj .) Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Nochka cũng đã được Ru-Wong thiết lập năm 1991. Năm 1997, Ru-Vojta tiếp tục thiết lập được Định lí không gian con Schmidt cho trường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là hệ số của siêu phẳng là các hàm trên một tập chỉ số). Kết quả này của Ru-Vojta tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động. Định lý 1.2.2 (Ru-Vojta, 1997). Cho k là một trường số và S là một tập con hữu hạn các định giá của k , chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho Λ là một tập chỉ số gồm vô hạn phần tử và H := {H1 , . . . , Hq } là họ các siêu phẳng di động trong PM (k), đánh chỉ số trên Λ. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → PM (k) là một điểm di động. Giả sử (i) x không suy biến tuyến tính ứng với họ siêu phẳng H (nghĩa là, với bất kỳ tập con A ⊂ Λ nhất quán tương ứng với họ siêu phẳng H thì x0 |A , . . . , xM |A là độc lập tuyến tính trên RA,H ), 7
(ii) Giả sử với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta có h(Hj (α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với mọi δ > 0 bất kỳ, h(Hj (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoại trừ một tập con hữu hạn. Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi α ∈ A, X X max λHj (α),v (x(α)) ≤ (M + 1 + ε)h(x(α)). K v∈S j∈K Ở đây, giá trị lớn nhất được lấy trên tất cả các tập con K của {1, . . . , q}, #K = M + 1 sao cho các siêu phẳng Hj (α), j ∈ K, là độc lập tuyến tính trên k với mỗi α ∈ Λ; λHj (α),v là hàm Weil ứng với đa thức Hj (α). Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff- Trần Văn Tấn đã được Lê Giang, Chen-Ru-Yan thiết lập vào năm 2015. Các Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho mục tiêu là các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát (thay vì ở vị trí tổng quát) trong không gian xạ ảnh đã được Sĩ Đức Quang nghiên cứu. Các Định lí không gian con Schmidt này đều được xét trong trường hợp siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh. Hướng nghiên cứu thứ hai của chúng tôi trong luận án này là thiết lập Định lí không gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh và là định lí ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn. Chương 3 của luận án trình bày hướng nghiên cứu này với kết quả chính thu được như sau. Định lý 1.2.3 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin, 2018). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → V là một điểm di động. Giả sử (i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V , và x là V -không suy biến đại số ứng với Q (các khái niệm này được định nghĩa chi tiết trong Chương 3); (ii) h(Qj (α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, . . . , q (nghĩa là với mọi δ > 0, h(Qj (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn). Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho q XX 1 λQj (α),v (x(α)) ≤ (n + 1 + ε)h(x(α)) v∈S j=1 dj 8
đúng với mọi α ∈ A. Đặc biệt, khi V = Pn (k), kết quả trên trùng với kết quả của Lê Giang , Chen- Ru-Yan. Sĩ Đức Quang đã mở rộng kết quả của Lê Giang, Chen-Ru-Yan từ trường hợp siêu mặt ở vị trí tổng quát sang vị trí dưới tổng quát và đã đề xuất kỹ thuật ước lượng (đánh giá) để quy trường hợp các siêu mặt mục tiêu ở vị trí dưới tổng quát về trường hợp các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Kết hợp kỹ thuật của chúng tôi với kỹ thuật của Sĩ Đức Quang, bất đẳng thức trong định lí trên có thể dễ dàng thay thế bởi bất đẳng thức sau trong trường hợp họ các siêu mặt Q ở vị trí m-dưới tổng quát trên V (tức là, tại hầu hết các phần tử thuộc tập chỉ số, theo nghĩa, ngoài một tập hữu hạn chỉ số, m + 1 siêu mặt bất kì trong họ Q đều có giao bằng rỗng trên V ) q XX 1 λQj (α),v (x(α)) ≤ ((m − n + 1)(n + 1) + ε)h(x(α)). (1.1) v∈S j=1 dj Khi V = Pn (k), bất đẳng thức trên chính là kết quả của Sĩ Đức Quang. Quan sát các Định lí cơ bản của Nochka và của Eremenko-Sodin cho mục tiêu lần lượt là các siêu phẳng, siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, chúng tôi tin rằng, trong tương lai, (1.1) cũng như đánh giá trong Định lí cơ bản thứ hai tương ứng sẽ có thể được thay thế bởi những đánh giá tốt hơn đáng kể. Về phương pháp giải quyết vấn đề, điểm khác biệt lớn nhất giữa kết quả của chúng tôi (cho trường hợp đa tạp xạ ảnh) so với kết quả của Lê Giang, Chen-Ru- Yan, Sĩ Đức Quang (cho trường hợp không gian xạ ảnh) nằm ở chỗ, với đa tạp xạ ảnh tổng quát, vành tọa độ nói chung không là vành Cohen-Macauley như đối với trường hợp đặc biệt là không gian xạ ảnh. 9
Chương 2 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI ĐỐI VỚI ĐƯỜNG CONG NGUYÊN CÓ ĐẠO HÀM CẦU TRIỆT TIÊU TRÊN TẬP ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT MỤC TIÊU Như đã trình bày trong phần Tổng quan, mục đích chính của Chương 2 là nghiên cứu thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cùng Định lí Picard tương ứng cho lớp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu. Đồng thời, với cách tiếp cận bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình từ bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình chúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên tương ứng. Kết quả của Chương 2 được viết dựa trên các bài báo [2] và [3] (trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và một số kết quả, tính chất quan trọng của Lí thuyết Nevanlinna để từ đó có thể phát biểu cũng như sử dụng để chứng minh các kết quả đã nêu trong phần Tổng quan, bao gồm: các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevanlinna, toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàm Logarit cho ánh xạ chỉnh hình, họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp xạ ảnh và một số khái niệm liện quan, đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình, họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của đường cong nguyên. 10
2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu Mục này chủ yếu dành để chứng minh Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu và từ đó chứng minh tiếp Định lí kiểu Picard tương ứng. Đây là kết quả đạt được của chúng tôi trong bài báo [2]. 2.2.1 Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ Để chứng minh định lí chính của phần này, Định lí 2.2.5, chúng tôi sử dụng các kết quả quan trọng sau. Bổ đề 2.2.1. Cho S là một không gian vectơ phức k + 1 chiều và N, q là các số nguyên dương thỏa mãn N ≥ k, q ≥ 2N − k + 1. Cho v1 , . . . , vq là hệ các vectơ khác không trong S. Giả sử mỗi tập con N + 1 vectơ của hệ {v1 , . . . , vq } đều có hạng k + 1. Khi đó, tồn tại các hằng số ω1 , . . . , ωq và Θ thỏa mãn các điều kiện sau (i) 0 < ωj ≤ Θ ≤ 1 với mọi j ∈ {1, . . . , q}; Pq (ii) j=1 ωj ≤ Θ(q − 2N + k − 1) + k + 1; k+1 k+1 (iii) 2N −k+1 ≤Θ≤ N +1 ; P (iv) Nếu R ⊂ {1, . . . , q} và #R = N + 1, thì j∈R ωj ≤ k + 1. Định nghĩa 2.2.2. Ta gọi các hằng số ωj (1 ≤ j ≤ q) và Θ thỏa mãn các tính chất (i) đến (iv) trong Bổ đề 2.2.1 là trọng số Nochka và hằng số Nochka ứng với hệ vectơ vj . Bổ đề 2.2.3. Cho S là một không gian vectơ k + 1 chiều và N, q là các số nguyên dương thỏa mãn N ≥ k, q ≥ 2N − k + 1. Cho v1 , . . . , vq là hệ các vectơ khác không trong S. Giả sử mỗi tập con gồm N + 1 vectơ của hệ {v1 , . . . , vq } đều có hạng k + 1. Gọi ω1 , . . . , ωq là các trọng số Nochka ứng với hệ v1 , . . . , vq . Xét E1 , . . . , Eq là các hằng số thực không âm tùy ý. Khi đó, với mỗi tập con R của {1, . . . , q} mà 11
#R = N + 1, tồn tại tập con R′ ⊂ R sao cho {vj , j ∈ R′ } là một cơ sở của S và X X ωj Ej ≤ Ej . j∈R j∈R′ 2.2.2 Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt và Định lí Picard Sử dụng các bổ đề trên chúng tôi đã chứng minh được Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêu mặt dưới đây (Định lí 2.2.4), là kết quả chính theo hướng nghiên cứu thứ nhất mà chúng tôi đã đạt được. Định lý 2.2.4 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022). Cho V ⊂ Pn (C) là một đa tạp với chiều k ≥ 1, và D1 , . . . , Dq là các siêu mặt trong Pn (C), ở vị trí N -dưới tổng quát trên V . Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D1 , . . . , deg Dq . Xét f là một đường cong nguyên trong V , không suy biến đại số. Giả sử V ̸⊂ Dj (j = 1, . . . , q), với f # = 0 trên ∪qj=1 f −1 (Dj ). Khi đó, (2N − k + 1)HV (d) q− Tf (r) k+1 X q 1 1 [κ] ≤ 1− Nf (r, Dj ) + o(Tf (r)), (k + 1)(HV (d) − 1) j=1 deg Dj ở đó, κ = ∞ nếu HV (d) = 2 và κ = HV (d) − 1 nếu HV (d) ≥ 3. Từ Định lí cơ bản thứ hai trên, chúng tôi tiếp tục chứng minh được Định lí kiểu Picard tương ứng (Định lí 2.2.5). Định lý 2.2.5 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022). Cho D1 , . . . , Dq là các siêu mặt ở vị trí tổng quát trong Pn (C), n ≥ 2. Gọi d là bội chung nhỏ nhất của deg D1 , . . . , deg Dq . Giả sử tồn tại đường cong nguyên khác hằng f trong Pn (C) sao cho với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, hoặc f (C) ⊂ Dj , hoặc f # = 0 trên f −1 (Dj ). Khi đó q ≤ 3n n+d n − n. 2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên Như đã nêu trong phần Tổng quan, với Định lí Picard đạt được ở trên, kết hợp với Bổ đề kiểu Zalcman dưới đây (Bổ đề 2.2.6), chúng tôi đã đạt được một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên là Định lí 2.2.7. 12
Bổ đề 2.2.6. Cho F là một họ các ánh xạ chỉnh hình từ C vào Pn (C). Nếu họ F không chuẩn tắc thì tồn tại các dãy {zk } ⊂ C với zk → z0 ∈ C, {fk } ⊂ F , {ρk } ⊂ R với ρk → 0+ , sao cho gk (ζ) := fk (zk + ρk ζ) hội tụ đều trên các tập con compact của C đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng g từ C vào Pn (C). Định lý 2.2.7 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022). Cho f là một đường cong nguyên trong Pn (C), n ≥ 2. Giả sử các siêu mặt D1 , . . . , Dq ở vị trí tổng quát trong Pn (C) sao cho f # bị chặn trên ∪qj=1 f −1 (Dj ). Khi đó f là một đường cong Brody nếu q > 3n n+d n − n, trong đó d là bội chung nhỏ nhất của deg D1 , . . . , deg Dq . 2.3 Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu Mục này dành để chứng minh Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu, là kết quả đạt được của chúng tôi trong bài báo [3]. 2.3.1 Một số bổ đề Mục này đưa ra các bổ đề quan trọng được sử dụng để chúng minh Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh có đạo hàm triệt tiêu trên tập ảnh ngược của các siêu mặt mục tiêu (Định lí 2.3.3). Bổ đề 2.3.1. Cho V là một đa tạp con xạ ảnh k chiều của Pn (C). Với Q1 , . . . , QN +1 là các siêu mặt trong Pn (C) có cùng bậc d ≥ 1, sao cho N\+1 ! Qi ∩ V = ∅. i=1 Khi đó tồn tại k siêu mặt P2 , . . . , Pk+1 có dạng −k+t NX Pt = ctj Qj , ctj ∈ C, t = 2, . . . , k + 1, j=2 sao cho ∩k+1 t=1 t ∩ V = ∅, trong đó P1 = Q1 . P 13
Bổ đề 2.3.2. Cho V ⊂ PM (C) là một đa tạp đại số n chiều và có bậc △, số nguyên m > △ và bộ số c = (c0 , . . . , cM ) ∈ RM ≥ +1 . Với tập con {i0 , . . . , in } của {0, . . . , M } sao cho x = (x0 : · · · : xM ) ∈ PM (C) : xi0 = · · · = xin = 0 ∩ V = ∅. Khi đó 1 1 (2n + 1)△ SV (m, c) ≥ (ci0 + · · · + cin ) − max ci . mHV (m) (n + 1) m 1≤i≤M 2.3.2 Một dạng định lí cơ bản thứ hai không ngắt bội Áp dụng kỹ thuật thay thế các siêu mặt của Sĩ Đức Quang và kỹ thuật tính bội trong trường hợp đạo hàm triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu (được nêu trong mục 2.2.2), chúng tôi thiết lập Định lí cơ bản thứ hai sau. Định lý 2.3.3 (N.T.T.Hang - N.T.Son - V.V.Truong, 2020). Cho V ⊂ Pn (C) là một đa tạp xạ ảnh phức k chiều (1 ≤ k ≤ n) và Q1 , . . . , Qq là các siêu mặt trong Pn (C) ở vị trí N -dưới tổng quát trên V , deg Qj = dj , ở đó N ≥ k, q > (N − k + 1)(k + 1). Gọi d là bội chung của các dj . Giả sử f là một đường cong nguyên đại số trong V thỏa mãn f∗,z = 0 với mọi z ∈ ∪qj=1 f −1 (Qj ). Khi đó, với mỗi ϵ > 0, q M2 − M − 1 X 1 (q − (N − k + 1)(k + 1) − ϵ) Tf (r) ≤ Nf (r, Qj ), M 2 − M j=1 dj k trong đó M = k + dk deg V [(2k + 1)(N − k + 1)2 (k + 1)2 dk−1 deg V ϵ−1 ] + 1 . Ở đây, kí hiệu f∗,z là ánh xạ tiếp xúc tại z ∈ C của f và kí hiệu [x] := max{t ∈ Z : t ≤ x} là phần nguyên của số thực x. 14
Chương 3 ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG GIAO ĐA TẠP ĐẠI SỐ XẠ ẢNH Như đã trình bày trong phần Tổng quan, mục đích chính của Chương 3 là nghiên cứu thiết lập Định lí không gian con Schmidt đối với trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạ ảnh. Kết quả này tương ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn trong Lí thuyết Nevanlnna. Kết quả trong Chương 3 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục Các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, phần đầu chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và một số kết quả, tính chất quan trọng của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cho trường hợp một chiều (trường k ) và trường hợp chiều cao (không gian xạ ảnh Pn (k)), bao gồm: định giá trên trường số, mở rộng định giá, chuẩn hóa định giá, công thức tích, độ cao Logarit và các hàm cơ bản, định lí cơ bản thứ nhất. Ở phần cuối, chúng tôi trình bày các khái niệm họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số, khái niệm tập nhất quán đối với họ siêu mặt di động, khái niệm điểm di động không suy biến đại số và họ siêu mặt di động ở vị trí tổng quát trên đa tạp đại số xạ ảnh. Bên cạnh các khái niệm cơ bản đó chúng tôi cũng đưa ra một số tính chất quan trọng có liên quan đến việc chứng minh kết quả chính đạt được của chúng tôi theo hướng nghiên cứu này. 15
3.1.1 Định giá trên trường số Trong tiểu mục này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số kết quả cơ bản về định giá, định giá Archimedes và không Archimedes, hai định giá tương đương, định giá đầy. 3.1.2 Chuẩn hóa định giá và công thức tích Tiểu mục này trình bày khái niệm chuẩn hóa một định giá và công thức tích đối với dạng chuẩn của định giá (trên các lớp tương đương các định giá không tầm thường, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác). 3.1.3 Độ cao Logarit và các hàm cơ bản Tiểu mục này trình bày các khái niệm: Độ cao, độ cao logarit, hàm xấp xỉ, hàm đếm. 3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số Giả sử Λ là một tập các chỉ số gồm vô hạn phần tử. Ta gọi mỗi ánh xạ x : Λ → PM (k) là một họ các điểm di động x(α) trong PM (k) với α ∈ Λ. Ta gọi mỗi ánh xạ H : Λ → (PM (k))∗ (không gian đối ngẫu) là một siêu phẳng di động trên Λ, hay nói cách khác mỗi siêu phẳng di động H trên Λ chính là một họ các siêu phẳng H(α) trong PM (k), α ∈ Λ. Ta gọi mỗi họ đa thức thuần nhất {Q(α)}α∈Λ bậc d trong k[x0 , . . . , xM ] là một siêu mặt di động Q trong PM (k) có bậc d, được đánh chỉ số trên Λ. Mỗi siêu mặt di động Q có thể viết dưới dạng Q = I∈Td aI xI với các hệ số aI là hàm trên Λ P nhận giá trị trong k và không có không điểm chung. Xét họ Q := {Q1 , . . . , Qq } các siêu mặt di động trong PM (k), được đánh chỉ số trên Λ. Ta biểu diễn Qj = I∈Td aj,I xI (j = 1, . . . , q) với dj = deg Qj . P j Định nghĩa 3.1.1. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta viết Tdj = {Ij,1 , . . . , Ij,Mdj }, ở đó Mdj := djM +M . Một tập con gồm vô hạn phần tử A ⊂ Λ được gọi là nhất quán đối 16
với họ Q nếu với mọi đa thức P ∈ k[x1,1 , . . . , x1,Md1 , . . . , xq,1 , . . . , xq,Mdq ] thuần nhất đối với mỗi bộ các biến xj,1 , . . . , xj,Mdj (với j ∈ {1, . . . , q}), thì P (a1,I1,1 (α), . . . , a1,I1,Md (α), . . . , aq,Iq,1 (α), . . . , aq,Iq,Mdq (α)) 1 hoặc triệt tiêu tại mọi α ∈ A hoặc triệt tiêu tại hữu hạn α ∈ A. Ta có kết quả sau. Bổ đề 3.1.2. Tồn tại tập con vô hạn A ⊂ Λ nhất quán đối với họ Q. Cho A ⊂ Λ là một tập chỉ số vô hạn. Với mỗi tập con C ⊂ A có phần bù hữu hạn trong A ta kí hiệu ánh xạ a : C → k bởi cặp (C, a). Với C1 , C2 ⊂ A là các tập con của A có phần bù hữu hạn, hai cặp (C1 , a1 ) và (C2 , a2 ) được gọi là tương đương nếu tồn tại tập con C ⊂ C1 ∩ C2 có phần bù hữu hạn trong A và a1 |C = a2 |C . Kí hiệu R0A là tập các lớp tương đương của các cặp (C, a) với quan hệ tương đương trên. Ta thấy R0A có cấu trúc tự nhiên của một vành. Giả sử A ⊂ Λ là một tập nhất quán đối với họ siêu mặt di động Q. Với mỗi aj,I j ∈ {1, . . . , q}, ta cố định một chỉ số Ij ∈ Tdj sao cho aj,Ij ̸≡ 0 , khi đó xác aj,Ij định một phần tử thuộc R0A với mọi I ∈ Tdj . Do tính nhất quán của A nên vành con của R0A sinh ra trên k bởi các phần tử nói trên là một miền nguyên. Gọi RA,Q là trường các thương của miền nguyên này. Ta có nhận xét sau. Nhận xét. Giả sử B ⊂ A ⊂ Λ là hai tập con vô hạn các chỉ số. Khi đó, nếu A nhất quán đối với họ các siêu mặt Q thì B cũng nhất quán đối với họ siêu mặt đó, và RB,Q ⊂ RA,Q aj,I (α) Gọi A là tập các hàm {α ∈ A : aj,Ij (α) ̸= 0} → k, α 7→ và kQ là tập aj,Ij (α) các tổng hình thức có dạng sm=1 tm si=1 cni i , trong đó tm ∈ k, ci ∈ A, ni ∈ N. P Q 2 Với mỗi cặp (bb, bc) ∈ kQ c(α) ̸= 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, ta mà b ˆb bb bb(α) xác định hàm : {α : b c(α) ̸= 0} → k , α 7→ (α) := . Gọi Rb A,Q là tập tất cả cˆ c b c(α) b các hàm như vậy. Khi đó, mỗi phần tử a ∈ RA,Q là lớp của một hàm b a thuộc R b A,Q . a là một đại diện đặc biệt của a. Cho P := I aI xI ∈ RA,Q [x0 , . . . , xM ] là P Ta gọi b một đa thức thuần nhất, với mỗi I giả sử b aI là một đại diện đặc biệt của aI . Khi aI xI cũng được gọi là một đại diện đặc biệt của P. Với mỗi α ∈ A sao P đó, Pb := I b aI (α)xI ∈ k[x0 , . . . , xM ] P cho tất cả các hàm b aI xác định tại α, đặt Pb (α) := I b và nói rằng Pb xác định tại α. 17
Cho V ⊂ PM (k) là một đa tạp đại số xạ ảnh n chiều sinh bởi ideal thuần nhất I(V ). Định nghĩa 3.1.3. Một điểm di động x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → V được gọi là V -không suy biến đại số ứng với Q (hay còn gọi là không suy biến đại số trên V ) nếu với mỗi tập nhất quán A ⊂ Λ ứng với Q, không tồn tại đa thức thuần nhất P ∈ RA,Q [x0 , . . . , xM ] \ IA,Q (V ) sao cho Pb (α)(x0 (α), . . . , xM (α)) = 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, với một (và cũng là với mọi) đại diện đặc biệt Pb của P, trong đó IA,Q (V ) là ideal của RA,Q [x0 , . . . , xM ] sinh bởi I(V ). Định nghĩa 3.1.4. Họ các siêu mặt di động Q = {Qj }qj=1 , (q ≥ n + 1) được gọi là ở vị trí tổng quát trên V (hay còn gọi là V -chấp nhận được) nếu với mỗi bộ 1 ≤ j0 < · · · < jn ≤ q , hệ phương trình Qji (α)(x0 , . . . , xM ) = 0, 0 ≤ i ≤ n, không có nghiệm (x0 , . . . , xM ) thỏa mãn (x0 : · · · : xM ) ∈ V (k) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn, trong đó k là bao đóng đại số của k. 3.2 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Mục này dành để chứng minh Định lí không gian con Schmidt sau cho trường hợp mục tiêu là các siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh. Định lý 3.2.1 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin, 2018). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ → V là một điểm di động. Giả sử (i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V , và x là V -không suy biến đại số ứng với Q; (ii) h(Qj (α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, . . . , q (nghĩa là với mọi δ > 0, h(Qj (α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn). Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho q XX 1 λQj (α),v (x(α)) ≤ (n + 1 + ε)h(x(α)) (3.1) v∈S j=1 dj đúng với mọi α ∈ A. 18
Trước khi trình bày chi tiết chứng minh định lí trên, chúng tôi đưa ra một số bổ đề bổ trợ và để có thể phát biểu, chứng minh các bổ đề đó, trong quá trình trình bày chúng tôi cũng bổ sung thêm một số khái niệm cần thiết. 3.2.1 Một số bổ đề Định nghĩa 3.2.2. Cho x : Λ → V ⊂ PM (k) là một điểm di động. Phần tử (C, a) ∈ R0A được gọi là nhỏ so với x nếu và chỉ nếu h(a(α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với mỗi ε > 0, tồn tại một tập con Cε ⊂ C với phần bù hữu hạn sao cho h(a(α)) ≤ εh(x(α)) với mọi α ∈ Cε . Kí hiệu Kx là tập tất cả các phần tử nhỏ so với x. Khi đó, Kx là một vành con của R0A . Vành này không phải là một miền nguyên, nhưng với mỗi (C, a) ∈ Kx mà a(α) ̸= 0 với mọi α ∈ C , ngoài một tập con hữu hạn, thì ta có (C \ {α : 1 a(α) = 0}, ) ∈ Kx . Gọi Cx là tập tất cả các hàm thực g nhận giá trị dương, xác a định trên một tập con của Λ với phần bù hữu hạn sao cho log+ (g(α)) = o(h(x(α))). Với các giả thiết như của Định lí 3.2.1 ta có bổ đề sau. Bổ đề 3.2.3. Cho A ⊂ Λ là một tập con nhất quán ứng với Q. Khi đó, tồn tại tập con gồm vô hạn phần tử A′ của A sao cho với mỗi J ⊂ {1, . . . , q}, #J = n + 1, tồn tại các hàm ℓ1,v , ℓ2,v ∈ Cx thỏa mãn ℓ2,v (α)∥x(α)∥dv ≤ max ∥Qj (α)(x(α))∥v ≤ ℓ1,v (α)∥x(α)∥dv , j∈J với mọi α ∈ A′ và mọi v ∈ S. Với mỗi số nguyên dương ℓ và mỗi không gian vectơ con W của k[x0 , . . . , xM ] (hay của RA,Q [x0 , . . . , xM ]), kí hiệu Wℓ là không gian vectơ con gồm các đa thức thuần nhất thuộc W với bậc ℓ (bao gồm cả đa thức không). Định nghĩa 3.2.4. Cho W là một không gian vectơ con của RA,Q [x0 , . . . , xM ]. Với mỗi phần tử α ∈ A, đặt [ W (α) := {Pb (α) : Pb là một đại diện đặc biệt nào đó của P, xác định tại α}. P ∈W 19