Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Vật lí: Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Vật lí "Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr" nghiên cứu khả năng tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm một mode hay hai mode bởi trường ngoài với các điều kiện đầu khác nhau của các mode trong trường 2 hợp trường ngoài không có nhiễu hoặc có nhiễu trắng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Vật lí: Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG THỊ TÚ OANH ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐỂ NGHIÊN CỨU THĂNG GIÁNG LƯỢNG TỬ TRONG CÁC BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR Chuyên ngành: QUANG HỌC Mã số: 9440110 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ NGHỆ AN - 2021
CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Đoàn Quốc Khoa 2. PGS. TS. Chu Văn Lanh Phản biện 1: ................................................. Phản biện 2: ................................................. Phản biện 3: ................................................. Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường tại Trường Đại học Vinh Vào hồi ...... giờ ...... ngày ...... tháng ...... năm 2021 Có thể tìm hiểu Luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh.
MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Lý thuyết lượng tử mặc dù đã đạt được nhiều thành tựu vĩ đại góp phần làm thay đổi nền văn minh của nhân loại, bên cạnh đó vẫn tồn tại những vấn đề thuộc về cơ sở của lý thuyết đòi hỏi sự hoàn thiện. Kỹ thuật xử lý các trạng thái lượng tử là một trong những vấn đề trọng tâm liên quan đến lý thuyết lượng tử, cho phép tạo ra những trạng thái ban đầu cho các tính toán lượng tử với độ đan rối cao. Đan rối lượng tử là tính chất phi cổ điển mạnh nhất của các hệ toàn phần bao gồm nhiều hệ con. Vì vậy, nếu đặc tính đặc biệt này được áp dụng vào các quá trình xử lý thông tin của hệ lượng tử thì sẽ thực hiện được những tính toán không khả thi trong lĩnh vực thông tin cổ điển. Công nghệ xử lý trạng thái lượng tử cho phép tạo ra các trạng thái có đặc tính thú vị như đan rối lượng tử. Các hệ vật lý bao gồm ít nhất hai hệ con riêng biệt đặc trưng bởi độ cảm điện bậc ba (hệ số phi tuyến Kerr) chính là những hệ cho phép tạo ra các trạng thái lượng tử đặc biệt đó. Thế giới tự nhiên vi mô vô cùng phức tạp, vì vậy ta không thể nghiên cứu một cách trực tiếp mà phải mô hình hóa nó bởi các quá trình ngẫu nhiên cổ điển phụ thuộc thời gian. Hầu hết các mô hình ngẫu nhiên hiện tại, laser có một đặc điểm chung là một quá trình ngẫu nhiên dừng Gauss với thời gian tương quan hữu hạn. Việc lấy trung bình giải tích chính xác của các phương trình ngẫu nhiên dừng Gauss này là rất khó và chỉ trường hợp đơn giản của nhiễu trắng là thực hiện được. Ánh sáng laser thực không bao giờ đơn sắc một cách lý tưởng mà luôn có sự thăng giáng về biên độ và pha. Vì vậy, cần phải nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng phổ laser đến các thăng giáng lượng tử được hình thành trong các hệ bao gồm hai hệ con, nhằm phân tích tính khả thi của việc tạo ra các trạng thái có độ đan rối cực đại. Đây là những vấn đề được quan tâm nhiều do những ý nghĩa lý thuyết và thực nghiệm lớn lao. Tuy nhiên, những vấn đề này vẫn chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ. Với tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu, chúng tôi chọn “Ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr” làm đề tài nghiên cứu của mình. Những nghiên cứu này là gần với các trạng thái vật lí thực, nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng phổ laser lên các vấn đề được xem xét, tạo thêm những khả năng mới để điều khiển chúng. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khả năng tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm một mode hay hai mode bởi trường ngoài với các điều kiện đầu khác nhau của các mode trong trường 1
hợp trường ngoài không có nhiễu hoặc có nhiễu trắng. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp kéo lượng tử để cắt không gian các trạng thái của hệ, thường là vô hạn chiều, thành không gian hữu hạn chiều. Sử dụng phương pháp nhiễu trắng để tìm biểu thức giải tích chính xác của các biên độ xác suất và các trạng thái kiểu Bell. Chương 1 LÝ THUYẾT CƠ SỞ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ MÔ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN Trong chương này, chúng tôi đã trình bày các khái niệm cơ bản và lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên trong quang học lượng tử. Trước hết chúng tôi trình bày các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser đơn mode, đa mode và laser với thăng giáng bơm. Tiếp theo chúng tôi trình bày lý thuyết nhiễu trắng và áp dụng cho trường hợp tuyến tính. Các trạng thái hữu hạn chiều thường được áp dụng và thảo luận trong lý thuyết thông tin lượng tử, quang lượng tử hoặc tổng quát hơn là các mô hình kỹ thuật lượng tử. Người ta có thể tìm được nhiều phương pháp khác nhau để tạo ra các trạng thái Fock, kết hợp hữu hạn chiều hoặc đan rối trong các hệ quang học. Kéo lượng tử là thiết bị cho phép thu được các trạng thái như vậy. Kéo lượng tử phi tuyến được xây dựng với sự áp dụng của những phần tử phi tuyến. Hơn nữa, chúng có thể là nguồn cung cấp các trạng thái cắt. Các trạng thái này biểu hiện tính chất rất thú vị, chúng có thể là đối tượng của các nghiên cứu trong lĩnh vực quang học lượng tử. Tuy nhiên, kéo lượng tử có thể được áp dụng cho các mô hình quang học khác. Mô hình kéo lượng tử phi tuyến sẽ được ứng dụng để nghiên cứu sự hình thành các trạng thái có độ đan rối cao ở các chương tiếp theo. 1.1. Các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser 1.1.1. Thăng giáng biên độ và pha của laser đơn mode Biên độ trường bức xạ của laser đơn mode có dạng như sau: E  t    E0   E  t   ei t  , (1.1) trong đó E0  const và các quá trình ngẫu nhiên Et  và   t  độc lập với nhau. Pha và biên độ của các phương trình kiểu Langevin sẽ độc lập với nhau khi tuyến tính hóa lời giải dừng:     F t ,   (1.2) E t   E t   Gt ,  2
trong đó,  là hệ số tắt dần, F  t  và Gt  là các nhiễu trắng độc lập với nhau. 1.1.2. Laser đa mode và ánh sáng ngẫu nhiên Biên độ phức của trường bức xạ đối với laser đa mode có dạng: N E  t    Eme  imt m  , (1.3) m 1 trong đó N là số mode, Em là các biên độ không đổi của trường, m là các tần số tương đối của chúng tính từ tần số i và m là các pha ngẫu nhiên độc lập với nhau. 1.2. Lý thuyết nhiễu trắng Trường hợp khi thời gian tương quan   0 thì nhiễu Gauss sẽ trở thành nhiễu trắng. Như vậy, nhiễu trắng là nhiễu Gauss với thời gian tương quan bằng không. Nhiễu trắng  (t ) có tính chất sau:  (t ) (t ' )  2l (t  t ' ) . (1.4) Đối với quá trình ngẫu nhiên phức chúng ta có phương trình vi phân tổng quát sau: d   N a 0    t  N a1   *  t  N a 2   , (1.5) dt ở đây N a 0 , N a1 , N a 2 là các ma trận hằng,  là một véctơ. Dễ dàng tìm được phương trình trung bình có dạng sau: d      N a 0  0 N a1 N a 2  N a 2 N a1   . a (1.6) dt  2  1.3. Các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều 1.3.1. Trạng thái n-photon Trạng thái n có thể thu được bằng cách tác dụng lần lượt toán tử sinh a  lên ˆ trạng thái chân không 0 . Sự tác dụng này có thể được mô tả bởi công thức: n  a  ˆ  n 0 . (1.7) n! 1.3.2. Trạng thái kết hợp hữu hạn chiều Trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn trong cơ sở các trạng thái n-photon như sau:  p 2   pn  2   n! p  exp    n , (1.8)   n 0 1.3.3. Trạng thái đan rối Trạng thái đan rối (entangled state) là trạng thái của một hệ lượng tử gồm nhiều hệ con mà trạng thái lượng tử của chúng có mối quan hệ ràng buộc lẫn nhau, dù chúng cách xa nhau tới mức nào. 3
1.3.4. Các trạng thái Bell Trạng thái Bell là trạng thái lượng tử có độ đan rối cực đại. Xem xét trường hợp hai trạng thái trong mỗi mode, đó là trạng thái chân không và trạng thái một photon. Các trạng thái Bell có thể được biểu diễn dưới dạng sau:   1 0 A 1B1A0 B , 2   1 0 A 1B1A0 B , 2 (1.9)   1 0 A 0 B  1 A1 B , 2   1 0 A 0 B  1 A1 B , 2 1.3.5. Cách tính độ đan rối của một trạng thái lượng tử Độ đan rối riêng của mỗi trạng thái thuần khiết  i được định nghĩa như entropy của một trong hai qubit A và B: E i   S    S       A B A j log 2  A   k log 2 k , j B B (1.10) j k Độ đan rối của trạng thái thuần khiết xác định bởi concurrence được viết dưới dạng: 1 1 C 2  E  i   h , (1.11)  2    ở đây hx   x log 2 x  (1  x) log 1 (1  x) . (1.12) 1.4. Mô hình kéo lượng tử phi tuyến Mô hình kéo lượng tử là nhóm các phương pháp hay những phương án vật lý có khả năng tạo ra sự chồng chập hữu hạn các trạng thái bằng cách cắt các trạng thái của hệ trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Chương 2 CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HÌNH THÀNH TRONG BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mô hình bộ nối phi tuyến gồm hai dao động tử phi tuyến liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm một mode hoặc hai mode bởi trường kết hợp ngoài. Bằng cách sử dụng hình thức luận kéo lượng tử phi tuyến, ta thu được hàm sóng mô tả sự tiến triển của hệ là tổ hợp của các trạng thái Fock n-photon. Sự tiến triển của hệ theo thời gian có thể sinh ra các trạng thái đan 4
rối cực đại gọi là các trạng thái kiểu Bell. Mô hình của chúng tôi được xem xét đối với các điều kiện đầu khác nhau của các biên độ xác suất. 2.1. Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính 2.1.1. Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode Mô hình của một bộ nối phi tuyến kiểu Kerr được xem xét ở đây bao gồm hai dao động tử phi tuyến, tương tác tuyến tính với nhau và một trong hai dao động tử này (mode a) tương tác tuyến tính với trường ngoài kết hợp (Hình 2.1). Hình 2.1: Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode Khi đó, hệ này được mô tả bởi Hamiltonian có dạng ( =1): ˆ ˆ H  H 0  H1 ,ˆ ˆ ˆ ˆ H 0  a a  a  bb b, ˆ ˆ (2.1) ˆ ˆ a H1  H NL  H NL  H int )  H ext , ˆ b ˆ (L ˆ a trong đó:  H NL)  a a   a 2 , ˆ (a 2 ˆ ˆ 2 ˆ (b    ˆ 2ˆ H NL)  b b  b 2 , 2 (2.2) L  ˆ ˆ ˆ ˆˆ H int  a  b   *ab  , H  a   a    * a , ˆ ext ˆ ˆ ˆ ˆ   và aa   và b b  là các toán tử hủy (sinh) photon tương ứng với các mode a và b của ˆˆ các dao động tử phi tuyến. Hamiltonian (2.1) đối với trường hợp H ext  a  0 mô tả bộ nối phi tuyến chuẩn. Trong bức tranh tương tác, sự tiến triển của hệ có thể được mô tả bởi phương trình Schrodinger: d ˆ i  (t )  H1  (t ) (2.3) dt 5
Từ đó ta tìm được phương trình chuyển động của biên độ xác suất cmn  t  có dạng: d 1 1  i cmn (t )    a m(m  1)   b n(n  1) cmn (t ) dt 2 2    * n(m  1)cm 1, n 1 (t )   m(n  1)cm 1, n 1 (t ) (2.4)   * m  1cm 1, n (t )   mcm 1, n (t ). Bằng cách sử dụng phương pháp kéo lượng tử phi tuyến, sự tiến triển của hệ có thể chỉ giới hạn trong bốn trạng thái 0 a 0 b , 0 a 1 b , 1 a 0 b và 1 a 1 b . Từ (2.4), ta tìm được phương trình chuyển động cho biên độ xác suất cmn t  có dạng ij như sau: d i ij c00  (t )   *c10  (t ), ij dt d i ij c01  (t )   *c10  (t )   *c11  (t ), ij ij dt (2.5) d ij  ij  ij  i c10 (t )  c01 (t )  c00 (t ), dt d i ij c11  (t )  c01  (t ). ij dt Giải hệ phương trình (2.5) với bốn điều kiện đầu chúng tôi tìm được nghiệm của các biên độ xác suất có dạng: 1  1t  2t  c00  (t )     cos 2     cos 2 , 00 2    t  t 00 c01  (t )   cos 1  cos 2 ,   2 2  (2.6) i    2  t  t 00 c10  (t )    sin 1  sin 2 , 4  2 2  i  t  t 00 c11  (t )     2 sin 1  1 sin 2 . 2  2 2   t  t c00  (t )  c01  (t )  01 00  cos 1  cos 2 ,   2 2  1  1t  2t  c01  (t )     cos 2     cos 2 , 01 2   (2.7) i  t  t c10  (t )  01   2 sin 1  1 sin 2 , 2  2 2  i     2  t  t c11  (t )  c10  (t )   01 00  sin 1  sin 2 . 4  2 2  Khi các mode ban đầu ở các trạng thái 1 a 0 b và 1 a 1 b sự tiến triển của hệ đối với các trạng thái ban đầu này có dạng như sau: 6
 10 t  cut  c10  0 a 0 b  c10  0 a 1 b  c01  1 a 0 b  c01  1 a 1 b , 00 01 01 00 (2.8)  11 t  cut  c11  0 a 0 b  c10  0 a 1 b  c01  1 a 0 b  c00  1 a 1 b . 00 00 00 00 2.1.2. Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode Hình 2.2: Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode Khi đó, Hamiltonian mô tả hệ này có dạng sau: ˆ ˆ ˆ a H  H0  H NL  H NL  Hint )  H ext  H ext . ˆ b ˆ (L ˆ a ˆ b (2.9) ˆ (b Hamiltonian này về cơ bản giống với (2.1), ngoại trừ H ext) được cho bởi: ˆ (b ˆ ˆ H ext)  b    *b , (2.10) Tương tự khi sử dụng hình thức luận kéo lượng tử phi tuyến ta thu được hệ bốn phương trình vi phân có dạng: d kl i c00  (t )   *c10  (t )   *c01  (t ),  kl  kl dt d kl i c01  (t )   *c10  (t )   *c11  (t )  c00  (t ),  kl  kl  kl dt d kl (2.11) i c10  (t )  c01  (t )  c00  (t )   *c11  (t ),  kl  kl  kl dt d kl i c11  (t )  c01  (t )  c10  (t ),  kl  kl dt Chúng tôi tiếp tục giải hệ phương trình vi phân (2.11) với tất cả các điều kiện đầu để tìm nghiệm của các biên độ xác suất có dạng: 7
it i t   t i t  e  2i  t   00  c00 (t )   cos  sin  2 1  , 01 c00  (t )  c01  (t )   00 sin  e 2 ,  2  2 2  2   2 i t  it 00  2i it  t   01   t i t  e 2 e (t )   sin  e 2 , c01 (t )   cos  sin    , 2 2 c01  2  2   2 2i it và i t (2.12) 00   t     t i t  e  it c10 (t )   sin  e 2 , 01 c10  (t )   cos  sin  2  e ,  2  2  2 2   2 it    t i t  e 1 2i  t   i t 00 c11  (t )   cos  sin  01 c11  (t )  c10  (t )   00 2   , sin  e 2 .  2  2 2  2  2 Đối với hai điều kiện đầu còn lại cũng tương tự như trường hợp một mode. Chúng tôi sử dụng các biên độ xác suất phức thu được ở các phần trên để khảo sát sự tạo ra các trạng thái kiểu Bell. 2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến 2.2.1. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode Mô hình của một bộ nối phi tuyến được xem xét ở đây vẫn xây dựng dựa trên hai dao động tử phi tuyến được đặc trưng bởi tính chất phi tuyến Kerr  a và  b tương ứng với hai mode a và b và mode a liên kết tuyến tính với trường ngoài tương tự như bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính đã trình bày ở phần trên. Ở đây chỉ khác là các dao động tử này được liên kết phi tuyến với nhau. Khi đó, Hamiltonian của hệ chỉ khác so với bộ nối tương tác tuyến tính là thành phần liên kết hai dao động tử là ˆ ( NL ˆ (L phi tuyến H int ) thay cho thành phần tuyến tính Hint ) và có dạng như sau: H  H0  H NL  H NL  Hint )  H ext , ˆ ˆ ˆ a ˆ b ˆ ( NL ˆ a (2.13) trong đó  ˆ (a 2   H NL)  a a  a 2 , 2 ˆ ˆ ˆ (b    ˆ 2ˆ H NL)  b b  b 2 , 2 (2.14) ˆ  NL   ˆ ˆ 2 ˆ 2ˆ   H int    a  b 2   * b  a 2 , H  a   a    * a , ˆ ext ˆ ˆ Tương tự ta thu được các phương trình chuyển động của các biên độ xác suất có dạng như sau: d  pq  i c20 (t )  2c02  (t ),  pq dt d  pq  i c12 (t )  c02  (t ),  pq (2.15) dt d  pq  i c02 (t )  2 *c20  (t )   *c12  (t ).  pq  pq dt 8
Giải (2.15) thu được nghiệm sau: sin( t )  20  c20 (t )   2  4 2 cos( t ) , 12 c20  (t )  2 2     2   2 cos(t ),  2 2 02 c20  (t )  2i  , 2 2 cos( t )  1 sin( t ) c12  (t )  2 2   2   2 cos( t ), c12  (t )  i 12 1 02  20 c12  (t )  , , 2   sin( t ) sin( t ) 02 c02  (t )  cos( t ).  20 c02  (t )  2i , 12 c02  (t )  i .   2.2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm hai mode Lúc đó, trong biểu diễn tương tác Hamiltonian của hệ có dạng như sau: ˆ ˆ a H  H NL  H NL  Hint )  Hext  Hext , ˆ b ˆ ( NL ˆ a ˆ b (2.16) Khi sử dụng phương trình Schroedinger trong hình thức luận tương tác và kéo lượng tử ta thu được hệ các phương trình chuyển động cho các biên độ xác suất như sau: c20 t   2c02  t    *c21  t , d mn   mn  mn i dt i c21  t   c20  t , d mn  mn dt (2.17) i c12  t   c02  t , d mn  mn dt i c02  t   2 *c20  t    *c12  t , d mn  mn  mn dt Chúng tôi tiếp tục giải (2.17) với bốn điều kiện đầu để tìm nghiệm của các biên độ xác suất. Tương tự như phần bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode. Chúng tôi sử dụng các biên độ xác suất phức thu được để khảo sát sự tạo ra các trạng thái kiểu Bell. Chương 3 ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TRẮNG ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH TRẠNG THÁI ĐAN RỐI CỰC ĐẠI TRONG BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR Ở chương này, chúng tôi xem xét ảnh hưởng của nhiễu trường laser đối với khả năng tạo ra các trạng thái lượng tử có độ đan rối cao trong các bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính hay phi tuyến với nhau và được bơm một mode hoặc hai mode bởi trường ngoài. 3.2.1. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode 3.2.1.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode được xét ở 9
đây là sự mở rộng mô hình đã trình bày ở mục 2.1.1 cho trường hợp các trường liên kết được mô hình hóa bởi nhiễu trắng, tức là trường liên kết được giả thiết tách thành hai thành phần là phần kết hợp và nhiễu trắng. Ta giả sử rằng các tham số liên kết  và  là bằng nhau, khi đó hệ phương trình chuyển động của các biên độ xác suất (2.5) trở thành hệ phương trình có dạng sau: d ij  i ij c00 (t )   *c10  (t ), dt d ij  i ij c01 (t )   *c10  (t )   *c11  (t ), ij dt (3.1) d ij  i ij c10 (t )  c01  (t )  c00  (t ), ij dt d ij  i ij c11 (t )  c01  (t ). dt Bằng cách áp dụng phương trình trung bình cho hệ phương trình chuyển động của các biên độ xác suất (3.1) ta thu được các phương trình chuyển động cho trung bình ngẫu nhiên của các biên độ xác suất có dạng: c00 (t )  0 c00  t   0 c01  t    0 c10  (t ), d ij  a ij a ij * ij i dt 2 2 i c01  (t )  0 c00  t   a0c01  t    0 c10  (t )   0 c11  (t ), d ij a ij ij * ij * ij dt 2 (3.2) i c10 (t )   0c00 (t )   0c01 (t )  a0c10 t   c11 (t ), d ij  ij  ij  ij  a0 ij  dt 2 d ij a ij a ij i c11  (t )   0c01  (t )  0 c10  (t )  0 c11  (t ). ij dt 2 2 Hơn nữa, giả sử rằng cả hai mode ban đầu ở trạng thái chân không | 0 a | 0 b và tham số liên kết  là số thực, ta tìm được nghiệm của các biên độ xác suất phức cmn t  , m, n  0,1. có ij dạng: 1   i20 t  3ia0 t i  i t  0  i  00 c00  (t )  e 4 e  cos x1t  sin x1t   e 2  cos x2t  sin x2t , 2   5   5  i t i t i  40  20  3ia t  0 00  c01 (t )   e e sin x1t  e 2 sin x2t , 5   i 0 t i 0 t (3.3) i  4  2  3ia0 t  00  c10 (t )  e e sin x1t  e 2 sin x2t , 5   i t i t 1  0  0    0   3ia t i i 00 c11  (t )   e 4 e 2  cos x1t  sin x1t   e 2  cos x2t  sin x2t , 2   5   5  trong đó x1  5 a0  2 0  và x2  5 a0  2 0  . 4 4 Có thể dễ dàng thấy rằng khi không có mặt của tham số liên quan đến thành phần 10
nhiễu a0  0 , kết quả của chúng tôi giống với kết quả thu được của Miranowicz và Leonski. Mặt khác, khi giả sử rằng một mode ban đầu ở trạng thái chân không và mode kia ban đầu ở trạng thái Fock, cụ thể là trạng thái | 0 a | 1 b . Lúc này nghiệm của hệ phương trình vi phân nói trên cho cmn t  có dạng sau: ij 01 c00  (t )  c01  (t ), 00 01 1   i20t  3ia0 t i i t   20  i  c01 (t )  e 4 e  cos x1t  sin x1t   e  cos x2t  sin x2t , 2   5   5  i t i t (3.4) 1  0  0   0  3ia t i i 01 c10  (t )   e 4 e 2  cos x1t  sin x1t   e 2  cos x2t  sin x2t , 2   5   5  01 c11  (t )  c10  (t ). 00 Các biên độ xác suất tìm được ở mục này sẽ được sử dụng để khảo sát sự sinh các trạng thái đan rối cực đại của hệ trong phần tiếp theo. 3.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối tương tác tuyến tính được bơm một mode Ở đây, chúng tôi sử dụng công thức entropy von Neumann cho các biên độ xác suất ở (3.3) và (3.4) để khảo sát sự ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự tiến triển của entropy đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode. Sự tiến triển của entropy đan rối với các giá trị khác nhau của tham số a0 được mô tả ở hình 3.1 t [10-6s] t [10-6s] 00  01 Hình 3.1: Sự tiến triển của các entropy đan rối E1N và E của các trạng thái cắt với 1N  0  106  rad/s. Đường nét liền ứng với a0  0 rad/s, đường nét gạch ứng với a0  10 5  rad/s và đường nét gạch chấm ứng với a0  2  105 rad/s. 11
00 Khi a0  0 , kết quả của E1N  trở nên giống với kết quả của Miranowicz và Leoński. Entropy đan rối có thể đạt đến giới hạn 1 ebit hoặc gần với nó cho các trạng thái kiểu Bell được hình thành. Vì vậy, nó chứng minh rằng các bộ nối phi tuyến Kerr với các tương tác tuyến tính giữa các mode trường có thể được coi là nguồn của các trạng thái đan rối cực đại. Chúng ta có thể thấy rằng trong Hình 3.1, entropy đan rối 01 E1N  có thể đạt đến giới hạn 1 ebit hoặc gần với nó hơn so với E1N  và số lượng các 00 00 đỉnh nhiều gấp đôi so với số đỉnh của E1N  , tức là các dao động nhanh hơn hai lần. Đối 00 với trường hợp a0 ≠ 0, chúng ta thấy rằng đối với E1N  , entropy đan rối tăng chậm trong khoảng 0 < t < 2x10-6s, giảm nhanh trong khoảng 2x10-6s < t < 6x10-6s và tăng nhanh trong khoảng 6x10-6s < t < 8x10-6s so với trường hợp không có mặt của tham số a0. Đối 01 với E1N  , khi tham số a0 có mặt, entropy đan rối hầu như giảm dần và các đỉnh có chiều cao thấp hơn sẽ biến mất dần, nhưng khi a0 tăng, các đỉnh lại tách thành hai đỉnh có chiều cao gần bằng nhau. Có thể kết luận rằng nếu có tham số liên quan đến thành phần nhiễu, giá trị cực đại của entropy đan rối giảm so với trường hợp a0  0 và các giá trị của entropy đan rối gần như lớn hơn không, có nghĩa là các trạng thái của hệ hầu như là trạng thái đan rối. Kết quả là, tham số a0 liên quan đến thành phần nhiễu là một tham số quan trọng để điều khiển việc tạo ra các trạng thái đan rối cực đại. Các xác suất để tạo ra các trạng thái kiểu Bell được mô tả trong các hình từ 3.2 đến 3.4. t [10-6s] t [10-6s] 00 00 Hình 3.2: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell B11N và B21N với  0  106  rad/s. Đường nét liền ứng với a0  0 rad/s, đường nét gạch ứng với a0  10 5  rad/s và đường nét gạch chấm ứng với a0  2  105  rad/s. 12
t [10-6s] t [10-6s] Hình 3.3: Xác suất để hệ tồn tại trong trạng thái Bell B31N và B41N với  0  106  rad/s 01 01 Đường nét liền ứng với a0  0 rad/s, đường nét gạch ứng với a0  10 5  rad/s và đường nét gạch chấm ứng với a0  2  105  rad/s. t [10-6s] t [10-6s] Hình 3.4: Xác suất để hệ tồn tại trong trạng thái Bell B31N và B41N với  0  106  00 00 rad/s. Đường nét liền ứng với a0  0 rad/s, đường nét gạch ứng với a0  10 5  rad/s và đường nét gạch chấm ứng với a0  2  105  rad/s. Khi không có tham số a0, kết quả thu được giống với kết quả của Miranowicz và Leoński. Hình 3.2 cho thấy các trạng thái B11N và B21N là sự chồng chập của | 0 a | 0 b và 00 00 | 1 a | 1 b , có thể tạo ra các trạng thái đan rối cực đại. Trong khi đó, các trạng thái B31N và 00 B41N 00 trong hình 3.4, là sự chồng chập của | 0 a | 1 b và | 1 a | 0 b , không thể tạo ra các trạng thái đan rối cực đại. Kết quả là, các trạng thái | 0 a | 1 b và | 1 a | 0 b không thể trở thành trạng 13
thái đan rối cực đại với trạng thái ban đầu là các trạng thái chân không. Tuy nhiên, việc tạo ra các trạng thái đan rối cực đại cho B31N và B41N sẽ có khả năng bằng cách giả sử 01 01 rằng hệ ban đầu ở trạng thái Fock n-photon 01 , được chỉ ra ở Hình 3.3. Tuy nhiên, khi 00 tham số a0  0 , các hình từ 3.2 đến 3.4 chỉ ra rằng các trạng thái đan rối cực đại B11N đến 00 B41N và B11N đến B41N không được tạo ra, cụ thể là các xác suất đối với sự tồn tại của 01 01 00 00 các trạng thái B11N đến B41N và B11N đến B41N tương ứng chỉ có thể đạt 0,793, 0,929, 01 01 0,798, 0,790 và 0,790, 0,798, 0,943, 0,844. Những điều này có thể giải thích rằng sự hiện diện của tham số a0 làm cho giao thoa lượng tử của hệ bị suy yếu khi so sánh với trường hợp tham số này không có mặt. 3.2.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode 3.2.2.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode Ở phần trên chúng tôi đã nghiên cứu ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với khả năng tạo ra các trạng thái đan rối cực đại của bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode bởi trường ngoài. Trong phần này chúng tôi tiếp tục mở rộng khảo sát cho trường hợp bộ nối như trên nhưng được bơm cả hai mode bởi trường ngoài. Mô hình này tương tự mô hình đã xem xét ở mục 2.1.2, chỉ khác là trường ngoài được mô hình hóa bởi nhiễu trắng. Giả sử các tham số liên kết      , lúc đó hệ phương trình chuyển động của các biên độ xác suất (2.11) được viết lại như sau: d kl  i c00 (t )   *c10  (t )   *c01  (t ),  kl  kl dt d kl i c01  (t )   *c10  (t )   *c11  (t )  c00  (t ),  kl  kl  kl dt d kl (3.5) i c10  (t )  c01  (t )  c00  (t )   *c11  (t ),  kl  kl  kl dt d kl i c11  (t )  c01  (t )  c10  (t ).  kl  kl dt Ta tìm được hệ các phương trình vi phân trung bình ngẫu nhiên của các biến:  * a  kl c00 (t )  a0 c00  t     0  0 c01  t    0 c10  (t ), d kl   kl *  kl i dt  2 i d kl   a  kl 3a kl *   kl  c01 (t )    0  0 c00  t   0 c01  t    0  a0 c10  (t )   0 c11  (t ), *  kl dt  2 2 (3.6)  * a  kl i c10  (t )   0 c00  (t )   0  a0 c01  (t )  0 c10  t     0  0 c11  (t ), d kl  kl  kl 3a kl dt 2  2 d kl   a  kl i c11 (t )   0 c01  (t )    0  0 c10  (t )  a0 c11  (t ).  kl  kl dt  2 14
Bằng cách giả thiết rằng cả hai mode ban đầu ở trạng thái chân không 00 và chỉ xét trường hợp hằng số liên kết là thực, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình (3.6) dưới dạng sau: 1  ia0  2 0   1t  i 3 a0  2 0 t   t  1 0 0    t  i3a0  2 0    2 t  i 7 a  2 t 00 c00  (t )   e 4  sin    cos 1   e 4 cos 2   sin  , 2  1  4  4  2   4  2  4  00  a0 i 3a0 42 0 t  1t  a0  4 0  i 7 a0 2 0 t   2 t  c01 (t )  i  e sin    e 4 sin  ,  1  4 2  4  (3.7) 00  a0 i 3a0 42 0 t  1t  a0  4 0  i 7 a0 2 0 t   2 t  c10 (t )  i  e sin    e 4 sin  ,  1  4 2  4  1 i 3a0  2 0 t  ia0  2 0   1t    t  1 0 0    t  i3a0  2 0    2 t  i 7 a  2 t 00 c11  (t )  e 4  sin    cos 1   e 4 cos 2   sin  , 2  1  4  4  2   4  2  4  trong đó 1  5a0  4a00  402 và 2  13a0  44a00  6802 . Từ phương trình (3.7), 2 2 dễ dàng chỉ ra rằng khi a0  0 , kết quả của chúng tôi giống với kết quả tìm được của Miranowicz và Leoński.. Mặt khác, khi thời gian t = 0, một mode ở trạng thái chân không và mode kia ở trạng thái Fock, cụ thể là trạng thái 1 a 0 b , ta thu được các  kl nghiệm cho cmn  với m, n  0,1 có dạng:  a i 3a0  2 0 t   t  a  4 0  i 7 a0 2 0 t   2 t  10 c00  (t )  c10  (t )  i  0 e 4 sin  1   0 00 e 4 sin  ,  1  4 2  4  1  ia0  2 0   1t  i 3 a0  2 0 t   t  1 i 7 a0  2 0 t    t  i3a0  2 0    2 t  10 c01  (t )   e 4  sin    cos 1   e 4 cos 2   sin  , 2  1  4  4  2   4  2  4  (3.8) 1 i 3 a0  2 0 t  ia  2 0   1t    t  1 i 7 a0  2 0 t    t  i3a0  2 0    2 t  10 c10  (t )  e 4  0 sin    cos 1   e 4 cos 2   sin  , 2  1  4  4  2   4  2  4  10  00   a0 i 3a0  2 0 t  1t  a0  4 0  i 7 a0 2 0 t   2 t  c11 (t )  c01 (t )  i  e 4 sin    e 4 sin  .  1  4 2  4  Có thể sử dụng các biên độ xác suất trong các phương trình (3.7) và (3.8) để xem xét việc tạo ra các trạng thái đan rối cực đại trong bộ nối phi tuyến Kerr ở phần tiếp theo. 3.2.2.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối tương tác tuyến tính được bơm hai mode  00 1 0  Sự tiến triển của các entropy đan rối E2 N và E2 N của các trạng thái cắt được chỉ ra trong Hình 3.5. 15
t [10-6s] t [10-6s]  00 1 0  Hình 3.5: Sự tiến triển của các entropy đan rối E2 N và E2 N của các trạng thái cắt với  0  106  rad/s. Đường nét liền ứng với a0  0 rad/s, đường nét gạch ứng với a0  105  rad/s và đường gạch chấm là cho a0  2  105 rad/s.  00 Những kết quả này cho thấy rằng khi tham số a0  0 , entropy của đan rối E2 N tương tự kết quả thu được của Miranowicz và Leoński.. Có thể thấy rằng số lượng các 1 0   00 1 0  đỉnh của E2 N nhiều gấp ba lần của E2 N , nghĩa là các dao động theo thời gian của E2 N  00  00 nhanh hơn ba lần so với của E2 N . Cực đại đầu tiên của E2 N là cao nhất, trong khi đối 1 0  với E2 N có ba cực đại cao nhất bằng nhau đó là các cực đại thứ 2, 4 và 5. Mặt khác,  00 1 0  thông tin quan trọng nhất là giá trị cực đại của các entropy đan rối E2 N và E2 N gần như xấp xỉ bằng đơn vị. Vì vậy, hệ được xét sẽ tạo ra các trạng thái đan rối cực đại  00 1 0  thực sự. Khi tham số a0 có mặt ( a0  0 ), giá trị của các entropy đan rối E2 N và E2 N giảm rất ít và cực đại cao nhất của các entropy đan rối thay đổi, cụ thể là cực đại thứ tư  00 1 0  của E2 N là cao nhất, trong khi đối với E2 N các cực đại cao nhất là cực đại thứ 2, 3 và 5 đối với trường hợp a0  105  và cực đại thứ ba đối với trường hợp a0  2  105 so với trường hợp khi a0  0 . Tức là, hệ mà ta xem xét cũng có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell. Ngoài ra, khi tham số a0 tăng, vị trí của các cực đại cững dịch chuyển về phía thời gian không. Vì vậy, trong một khoảng nhất định, số lượng các cực đại tăng lên. Điều này có nghĩa là các chu kỳ dao động tăng khi a0 tăng so với trường hợp khi a0  0 . Do đó, tham số a0 là một tham số quan trọng để điều khiển vị trí của các cực đại cao nhất và số cực đại của hệ. Các xác suất để tìm thấy hệ trong các trạng thái kiểu Bell được biểu thị trong các hình vẽ từ Hình 3.6 đến Hình 3.8. 16
t [10-6s] t [10-6s] Hình 3.6: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell B12N và B22N với  0  10  00 00 6 rad/s. Đường nét liền ứng với a0  0 rad/s, đường nét gạch ứng với a0  105  rad/s và đường gạch chấm là cho a0  2  105 rad/s. t [10-6s] t [10-6s] Hình 3.7: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell B32N và B42N với  0  10  10 10 6 rad/s. Đường nét liền ứng với a0  0 rad/s, đường nét gạch ứng với a0  105  rad/s và đường gạch chấm là cho a0  2  105 rad/s. 17
t [10-6s] t [10-6s] Hình 3.8: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell B32N và B42N với  0  10  00 00 6 rad/s. Đường nét liền ứng với a0  0 rad/s, đường nét gạch ứng với a0  105  rad/s và đường gạch chấm là cho a0  2  105 rad/s. Khi tham số a0  0 , các kết quả của chúng tôi trong Hình 3.6 và 3.8 giống với 00 10 , b22 N , b32 N 2 2 các kết quả của Miranowicz và Leoński.. Các xác suất lớn nhất của 00 b12N 2 10 và b42 N 2 xấp xỉ bằng 1, có nghĩa là hệ thực sự có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell 00 và b42 N 2 00 B12N , 00 B22N , 10 B32N và 10 B42N . Điều này trái ngược với các trường hợp 00 b32N 2 và b42 N bằng nhau và chỉ đạt 0,235 tức là các 002 trong đó các xác suất cực đại của 00 b32N 2 trạng thái kiểu Bell 00 B32N và 00 B42N không được tạo ra. Khi tham số a0  0 , các xác suất lớn nhất của b22 N và b32 N giảm từ từ, trong khi xác suất lớn nhất của b42 N tăng 00 10 10 2 2 2 dần. Vì vậy, hệ có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell 00 B22N , 10 B32N và 10 B42N . Ngược lại, xác suất lớn nhất của 00 b12N 2 giảm nhanh chóng, trong khi đó các xác suất lớn nhất của 00 và b42 N tăng khi tham số a0 tăng nhưng chúng chỉ đạt các giá trị tương ứng là 2 00 b32N 2 0,310 và 0,306. Điều này có nghĩa là hệ không thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell B12N , B32N và B42N . Hơn nữa, khi tham số a0 tăng, các xác suất cực đại dịch chuyển 00 00 00 về phía thời gian bằng không, tức là số lượng các đỉnh xác suất tăng lên trong một khoảng thời gian nhất định. Do đó, tham số a0 liên quan đến thành phần nhiễu cũng là một tham số quan trọng để kiểm tra một cách có hiệu quả việc tạo ra các trạng thái kiểu Bell của hệ. Những kết quả này có thể giải thích rằng sự hiện diện của tham số liên quan đến thành phần nhiễu làm thay đổi giao thoa lượng tử của hệ so với trường hợp tham số này vắng mặt. 18