Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các bất đẳng thức về giá trị trung bình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> LÊ THỊ BÍCH HUY<br /> <br /> CÁC BẤT ĐẲNG THỨC<br /> VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH<br /> <br /> Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp<br /> Mã số:<br /> <br /> 60.46.40<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng - Năm 2011<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi<br /> <br /> Phản biện 1:..........................................................................<br /> Phản biện 2:..........................................................................<br /> <br /> Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm<br /> Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng<br /> vào ngày... tháng... năm 2011<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.<br /> - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.<br /> <br /> 1<br /> <br /> Mở đầu<br /> 1. Lý do chọn đề tài<br /> Có thể nói bất đẳng thức đóng một vai trò khá quan trọng trong việc học<br /> và giảng dạy bộ môn toán. Trong chương trình toán ở bậc phổ thông trung<br /> học thì phần kiến thức về bất đẳng thức cũng chiếm một tỷ lệ lớn. Trong<br /> quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát hiện ra rằng thông thường<br /> các học sinh đều cảm thấy lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức.<br /> Chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm góp<br /> phần phục vụ cho công việc giảng dạy ở trường phổ thông và tôi chọn đề<br /> tài để làm luận văn tốt nghiệp của mình là: Các bất đẳng thức về giá trị<br /> trung bình.<br /> 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> 2.1. Đối tượng nghiên cứu<br /> Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là các bất đẳng thức về giá<br /> trị trung bình và sự ứng dụng của chúng để giải toán ở bậc phổ thông trung<br /> học. Ngoài ra chúng tôi có mở rộng một vài trường hợp để chứng tỏ lĩnh<br /> vực này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng.<br /> 2.2. Phạm vi nghiên cứu<br /> Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm vi về một<br /> số bất đẳng thức có liên quan đến các giá trị trung bình. Sau đó chúng tôi<br /> đưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việc ứng<br /> dụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học.<br /> 3. Mục đích nghiên cứu<br /> Nội dung của đề tài này là nghiên cứu một số bất đẳng thức về giá trị trung<br /> bình. Ngoài việc nhắc lại bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc mà<br /> chúng ta đã biết đó là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình<br /> nhân, đề tài còn trình bày về hai bất đẳng thức hiện đại mà việc ứng dụng<br /> nó trong việc giải toán là khá rộng là bất đẳng thức Schur và bất đẳng thức<br /> Muirhead.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4. Tên đề tài<br /> Đề tài "Các bất đẳng thức về giá trị trung bình".<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu<br /> Chúng tôi dựa vào sự ứng dụng sau này của đề tài nên chúng tôi sử dụng<br /> các phương pháp giải quyết vấn đề thiên về cách chứng minh của toán sơ<br /> cấp. Mặc dù thế trong một vài tình huống đặc biệt chúng tôi cũng mạnh<br /> dạn mở rộng vấn đề theo hướng toán học hiện đại. Phương pháp chủ yếu<br /> được sử dụng trong luận văn này là kết hợp các kết quả đã có trong các tài<br /> liệu chuyên khảo có liên quan đến đề tài và sự liên hệ đến các ứng dụng của<br /> nó trong chương trình toán phổ thông.<br /> 6. Nội dung nghiên cứu<br /> Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm vi về<br /> những bất đẳng thức có liên quan đến các giá trị trung bình. Sau đó chúng<br /> tôi có đưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việc<br /> ứng dụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học.<br /> 7. Cấu trúc của luận văn<br /> Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:<br /> Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức đại cương về bất đẳng thức<br /> và các đại lượng trung bình mà các chương sau đề cập đến.<br /> Chương 2: Luận văn trình bày một số bất đẳng thức về giá trị trung bình<br /> có nhiều ứng dụng khi giải toán ở trường phổ thông như: bất đẳng thức<br /> giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức giữa trung bình<br /> nhân và trung bình điều hòa; bất đẳng thức Schur và các hệ quả; đặc biệt<br /> luận văn trình bày bất đẳng thức Muirhead, qua đó cho ta thấy được mối<br /> quan hệ giữa bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thức giữa trung bình<br /> cộng và trung bình nhân, giữa bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thức<br /> Schur.<br /> Chương 3: Trong phần này, luận văn trình bày một số ứng dụng của bất<br /> đẳng thức về giá trị trung bình trong việc giải toán phổ thông.<br /> <br /> 3<br /> <br /> Chương 1<br /> <br /> Đại cương về bất đẳng thức<br /> 1.1<br /> <br /> Quan hệ thứ tự trên một tập hợp<br /> <br /> 1.1.1<br /> <br /> Tích Descartes<br /> <br /> Định nghĩa 1.1.[1] Cho các tập X1 , X2 , . . . , Xn . Ta gọi tập hợp {(x1 , x2 , . . . , xn ) :<br /> xi ∈ Xi , i = 1, n} là tích Descartes của các tập X1 , X2 , . . . , Xn và kí hiệu<br /> X1 × X2 × · · · × Xn hay<br /> <br /> n<br /> Q<br /> <br /> Xi .<br /> <br /> i=1<br /> <br /> 1.1.2<br /> <br /> Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự<br /> <br /> 1.1.2.1. Quan hệ<br /> Cho tập X 6= ∅. Một tập con R của tích Descartes R× R được gọi là một<br /> quan hệ hai ngôi trên tập X nếu (x, y ) ∈ R thì ta viết xRy.<br /> Tính chất 1.1. [1] (Các tính chất của quan hệ)<br /> * Tính chất phản xạ<br /> Một quan hệ R trên X được gọi là có tính chất phản xạ nếu với mọi<br /> x ∈ X thì xRx.<br /> * Tính chất đối xứng<br /> Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính đối xứng nếu với mọi<br /> a, b ∈ X sao cho aRb kéo theo bRa.<br /> * Tính chất phản đối xứng<br /> Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính phản đối xứng nếu với<br /> mọi a, b ∈ X sao cho aRb và bRa kéo theo a = b.<br /> * Tính chất bắc cầu<br /> Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính bắc cầu nếu với mọi<br /> a, b, c ∈ X sao cho aRb và bRc kéo theo aRc.<br /> 1.1.2.2. Quan hệ tương đương.<br /> Định nghĩa 1.2.[1] Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là quan hệ<br /> tương đương nếu nó có các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu.<br /> Định nghĩa 1.3.[1] Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A và<br /> a ∈ A. Tập hợp {x ∈ A | xRa} được gọi là lớp tương đương của phần tử<br /> <br />