Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý Bézout và chiều ngược lại

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu vấn đề các giao điểm của hai đường cong trong mặt phẳng xạ ảnh phức, cụ thể là về số giao điểm, số bội giao. Trọng tâm của luận văn là Định lý Bezout và chiều ngược lại. Sau đây là tóm tắt của luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý Bézout và chiều ngược lại

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------- Phạm Kế Quang ĐỊNH LÝ BÉZOUT VÀ CHIỀU NGƯỢC LẠI Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 60460105 TÓM TẮT LUẬN VĂN Người hướng dẫn: TS.Phó Đức Tài Hà Nội - 2015
1
Mục lục Chương 1. Đường cong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.Đường cong phức trong C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.Đường cong xạ ảnh phức trong P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Không gian xạ ảnh phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Đường cong xạ ảnh phức trong P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 2. Định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.Bội giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.Định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 3. Chiều ngược lại của định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.Bội giao của hai đường cong tại một điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.Một số trường hợp riêng của bài toán ngược lại . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3.Chiều ngược lại cho một số trường hợp cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3.1. Hai đường cong bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3.2. Một đường cong bậc hai và một đường cong bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3.3. Hai đường cong bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2
LỜI MỞ ĐẦU Hình học đại số là một chuyên ngành của toán học sử dụng công cụ đại số để nghiên cứu các bài toán hình học. Đối tượng chính là những đường cong, mặt cong, hay tổng quát là các siêu mặt đại số, chúng được định nghĩa bởi các đa thức. Trong hình học đại số, lý thuyết giao nghiên cứu phần giao của hai hay nhiều siêu mặt đại số. Tìm phần giao của hai siêu mặt đại số tương đương với việc giải hệ phương trình gồm hai phương trình đa thức. Khởi đầu bởi một định lý rất cổ điển, đó là định lý Bézout (1779) phát biểu rằng tổng số giao điểm (đếm cả bội) của hai đường cong xạ ảnh phức bằng tích của hai bậc. Số bội này về sau được cụ thể hóa bằng khái niệm số bội giao (hay nói gọn hơn, bội giao). Trường hợp riêng của định lý Bézout đối với hai đường cong y = f (x) (với f (x) là một đa thức bậc m) và y = 0 (đa thức bậc 1) chính là Định lý cơ bản của Đại số học. Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu vấn đề các giao điểm của hai đường cong trong mặt phẳng xạ ảnh phức, cụ thể là về số giao điểm, số bội giao. Trọng tâm của luận văn là Định lý Bezout và chiều ngược lại: Cho trước hai số nguyên dương m và n. Với một bộ k số nguyên dương bất kì [s1 , s2 , . . . , sk ] sao cho s1 +s2 +· · ·+sk = m·n., liệu có tồn tại hay không hai đường cong xạ ảnh bậc m và n trong P2 sao cho chúng giao nhau tại k điểm với số bội giao tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk . Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương: • Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về lý thuyết đường cong đại số trong C2 và trong không gian xạ ảnh phức P2 . • Chương 2 tìm hiểu về kết thức, bội giao, các tính chất của kết thức và sử dụng những tính chất đó để chứng minh định lý Bézout. • Chương 3 tìm hiểu chiều ngược lại của định lý Bézout. Chứng minh một số trường hợp riêng cho chiều ngược lại (mục 3.2), đưa ra một số ví dụ minh họa (cụ thể là các trường hợp của hai đường cong bậc hai và đường cong bậc hai với đường cong bậc ba được trình bày chi tiết trong mục 3.3). Hà Nội, ngày 23 tháng 12 năm 2015 Học viên Phạm Kế Quang 3
Chương 1 Đường cong đại số Cho f (x, y) là một đa thức hai biến hệ số thực. Khi đó tập {(x,y)∈ R2 | f (x, y) = 0} được gọi là một đường cong đại số thực. Bậc của đa thức f là bậc của đường cong đại số đó. Bài toán đặt ra là tìm số giao điểm của hai đường cong đại số. Do R không phải là trường đóng đại số nên lời giải của bài toán tìm giao điểm có thể không đây đủ. Do đó trong khóa luận này ta xét các đường cong đại số trên trường số phức C. 1.1. Đường cong phức trong C2 Giả sử f (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ số phức. Ta nói f (x, y) không có thành phần bội nếu không tồn tại khai triển: f (x, y) = g 2 (x, y)h(x, y), trong đó g(x, y),h(x, y) là các đa thức và g(x, y) khác hằng số. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ số phức và không có thành phần bội. Khi đó đường cong đại số phức C trong C2 (hay còn gọi là đường cong affine) định nghĩa bởi f (x, y) là C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0}. Định nghĩa 1.1.2. Cho f (x, y) là đa thức hai biến X f (x, y) = cij xi y j . i,j Bậc d của đường cong C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0} chính là bậc của đa thức f (x, y). Tức là: d = max{i + j | cij 6= 0}. 4
Định nghĩa 1.1.3. Cho f (x, y) là đa thức hai biến. C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0}. Một điểm (a, b) ∈ Cđược gọi là một điểm kì dị của C nếu ∂f ∂f (a, b) = (a, b) = 0. ∂x ∂y Tập hợp các điểm kì dị của C được kí hiệu bởi Sing(C). C được gọi là không có kì dị nếu Sing(C) = ∅. Định nghĩa 1.1.4. Một đường cong định nghĩa bởi một phương trình tuyến tính: ax + by + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức, a và b không đồng thời bằng không, được gọi là một đường thẳng. Định nghĩa 1.1.5. Một đa thức n biến, khác không f (x1 , x2 , . . . , xn ) được gọi là đa thức thuần nhất bậc d nếu với mọi λ ∈ C thì f (λx1 , λx2 , . . . , λxn ) = λn f (x1 , x2 , . . . , xn ). Một cách tương đương, f có dạng X f (x1 , x2 , . . . , xn ) = cr1 ,r2 ,...,rn · xr11 xr22 . . . xrnn , r1 +r2 +···+rn =d với cr1 ,r2 ,...,rn là các số phức. Mệnh đề sau đây khá đơn giản nhưng lại rất quan trọng, được dùng đến khá nhiều trong chương 2. Mệnh đề 1.1.1. ([3], Bổ đề 2.8, trang 31). Giả sử f (x, y) là một đa thức hai biến, khác không, thuần nhất bậc d với hệ số phức thì nó có phân tích thành tích các đa thức tuyến tính n Y f (x, y) = (αi x − βi y), i=1 với α, β ∈ C. Định nghĩa 1.1.6. Cho đường cong C định nghĩa bởi f (x, y) = 0. Khi đó số bội tại (a, b) ∈ C là số nguyên dương m bé nhất sao cho: ∂ mf (a, b) 6= 0, ∂xi ∂y j với i ≥ 0, j ≥ 0 và i + j = m. (a, b) được gọi là điểm bội m. Khi đó đa thức : X ∂ mf (x − a)i (y − b)j h(x, y) = (a, b) (1.1.1) i+j=m ∂xi ∂y j i!j! 5
là đa thức thuần nhất bâc m. Theo mệnh đề 1.1.1 h(x, y) có phân tích thành tích của m đa thức tuyến tính có dạng t(x, y) = α(x − a) + β(y − b), với (α, β) ∈ C2 \{(0, 0)}. Các đường thẳng t(x, y) = 0 này được gọi là các tiếp tuyến của C tại (a, b). Định nghĩa 1.1.7. Một đường cong C định nghĩa bởi đa thức f (x, y) được gọi là bất khả qui nếu f là bất khả qui, tức là f (x, y) chỉ có các nhân tử là hằng số và bội vô hướng của chính nó. Nếu f (x, y) = f1 (x, y)f2 (x, y) . . . fk (x, y) thì các đường cong định nghĩa bởi f1 (x, y), f2 (x, y), . . . , fk (x, y) được gọi là các thành phần bất khả qui của C. 1.2. Đường cong xạ ảnh phức trong P2 Một đường cong C trong C2 không bao giờ compact, nhưng chúng ta có thể compact hóa nó bằng cách thêm vào "các điểm tại vô cùng" để thu được một số kết quả mong muốn. Chẳng hạn như việc xét giao điểm của hai đường cong y 2 − x2 = −1, y = cx với c là số phức. Khi c 6= ±1 hai đường cong này cắt nhau tại hai điểm. Khi c = ±1 hai đường cong này không cắt nhau nhưng tiệm cận nhau khi x, y tiến ra vô cùng. Ta thêm các điểm tại vô cùng của C2 để y 2 − x2 = −1 và y = ±x cắt nhau tại vô cùng. Để thực hiện điều này ta cần đến khái niệm không gian xạ ảnh. 1.2.1. Không gian xạ ảnh phức Định nghĩa 1.2.1. Một không gian xạ ảnh phức n chiều Pn là tập hợp các không gian con phức môt chiều của không gian vector Cn+1 . Khi n = 1 thì ta có đường thẳng xạ ảnh phức và khi n = 2 ta có mặt phẳng xạ ảnh phức. 6
Chú ý 1.2.1. Nếu V là không gian vector trên trường K bất kì thì không gian xạ ảnh tương ứng P(V ) là tập hợp các không gian con một chiều của V. Trong định nghĩa trên thì K = C, V = Cn+1 và cho đơn giản ta thường viết Pn thay cho P(Cn+1 ). Định nghĩa 1.2.2. Một vector bất kỳ (x0 , . . . , xn ) ∈ Cn+1 biểu thị cho một phần tử x của Pn , ta gọi (x0 , . . . , xn ) là tọa độ thuần nhất cho x và viết x = [x0 , . . . , xn ]. Do đó: P n = {[x0 , . . . , xn ] |(x0 , . . . , xn ) ∈ Cn+1 \{0}} và [x0 , . . . , xn ] = [y0 , . . . , yn ] khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C sao cho xi = λyi với mọi i. Định nghĩa 1.2.3. Một phép biến đổi xạ ảnh của Pn là một song ánh f : Pn −→ Pn sao cho với đẳng cấu tuyến tính α : Cn+1 −→ Cn+1 nào đó, ta có: f [x0 , . . . , xn ] = [y0 , . . . , yn ], trong đó (y0 , . . . , yn ) = α(x0 , . . . , xn ), tức là: f ◦ Π = Π ◦ α. Ở đây Π : Cn+1 \{0} −→ Pn định nghĩa bởi: Π(x0 , . . . , xn ) = [x0 , . . . , xn ]. 1.2.2. Đường cong xạ ảnh phức trong P2 Mặt phẳng xạ ảnh P2 là không gian con một chiều phức của C3 . P2 = {[x, y, z] | (x, y, z) ∈ C3 \{0}} và [x, y, z] = [u, v, w] khi và chỉ khi tồn tại λ nào đó thuộc C\{0} sao cho x = λu, y = λv, z = λw. Định nghĩa 1.2.4. Giả sử f (x, y, z) là đa thức thuần nhất ba biến x, y, z, khác hằng số, với các hệ số phức. Giả sử f (x, y, z) không có thừa số bội. Khi đó đường cong xạ ảnh C định nghĩa bởi f (x, y, z) là C = {[x, y, z] ∈ P2 | f (x, y, z) = 0}. Định nghĩa 1.2.5. Bậc của một đường cong xạ ảnh C trong P2 định nghĩa bởi đa thức thuần nhất f (x, y, z) chính là bậc của đa thức thuần nhất f (x, y, z) đó. 7
Định nghĩa 1.2.6. Đường cong C được gọi là bất khả qui nếu f (x, y, z) bất khả qui, tức là f (x, y, z) chỉ có các nhân tử là hằng số và bội vô hướng của chính nó. Một đường cong xạ ảnh D định nghĩa bởi một đa thức thuần nhất g(x, y, z) được gọi là một thành phần bất khả qui của C nếu f (x, y, z) = g(x, y, z)h(x, y, z) với h là đa thức thuần nhất khác hằng số. Định nghĩa 1.2.7. Cho đường cong xạ ảnh C trong P2 định nghĩa bởi một đa thức thuần nhất f (x, y, z). Điểm [a, b, c] của C được gọi là điểm kì dị nếu: ∂f ∂f ∂f (a, b, c) = (a, b, c) = (a, b, c) = 0. ∂x ∂y ∂z Tập hợp các điểm kì dị của C được kí hiệu bởi Sing(C). Đường cong C được gọi là không có kì dị(trơn) nếu Sing(C) = ∅. Định nghĩa 1.2.8. Một đường cong xạ ảnh định nghĩa bởi một phương trình tuyến tính αx + βy + γz = 0, trong đó α, β, γ ∈ C\{0} được gọi là một đường thẳng xạ ảnh. Đường tiếp tuyến tại một điểm không kì dị [a, b, c] của một đường cong C = {[x, y, z] ∈ P2 | f (x, y, z) = 0} là đường thẳng ∂f ∂f ∂f (a, b, c)x + (a, b, c)y + (a, b, c)z = 0. ∂x ∂y ∂z 8
Chương 2 Định lý Bézout Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm về kết thức, bội giao và một tính chất của chúng, qua đó chứng minh được định lý Bézout. 2.1. Kết thức Định nghĩa 2.1.1. Cho K là một trường đóng đại số (C). Hai đa thức f, g ∈ C[X]: f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an với a0 6= 0, g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm với b0 6= 0. Một ma trận Sylvester(Syl) của f và g theo biến x là ma trận cỡ (m + n) × (m + n) được cho bởi: m+n z }| {    a0 a1 . . . . . . an    a0 a1 . . . . . . an        m   ......................      Syl(f, g, X) =   a0 a1 . . . . . . an   ,     b0 b1 . . . . . . bm        b0 b1 . . . . . . b m     n ......................         b0 b1 . . . . . . bm với các vị trí trống trong ma trận có giá trị bằng 0. Khi đó kết thức của f và g chính là định thức của ma trận Sylvester Res(f, g, x) = det(Syl(f, g, x)). 9
Nếu f (z, y, z) = a0 (x, y)z n + a1 (x, y)z n−1 + · · · + an (x, y), g(z, y, z) = b0 (x, y)z m + b1 (x, y)z m−1 + · · · + bm (x, y), là hai đa thức ba biến thì kết thức Res(f, g, z) của f và g theo biến z được định nghĩa một cách tương tự, bằng cách thay ai (x, y) và bj (x, y) tương ứng cho ai và bj với 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. Mệnh đề 2.1.1. ([3], Bổ đề 3.3, trang 53). Giả sử f (x) và g(x) là các đa thức theo biến x. Khi đó f (x) và g(x) có nhân tử chung khác hằng số khi và chỉ khi Res(f, g, x) = 0. Mệnh đề 2.1.2. ([3], Bổ đề 3.4, trang 53). Giả sử f (x, y, z) và g(x, y, z) là các đa thức thuần nhất khác hằng số với biến x, y, z,ngoài ra f (1, 0, 0) 6= 0 6= g(1, 0, 0). Khi đó f (x, y, z) và g(x, y, z) có nhân tử chung là đa thức thuần nhất khác hằng số khi và chỉ khi Res(f, g, x) = 0. Bổ đề 2.1.1. Giả sử h(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K[x1 , x2 , . . . , xn ] là một đa thức n biến. Nếu h = 0 khi thay x1 cho x2 và giữ nguyên tất cả các xi khác (i 6= 2). Khi đó h(x1 , x2 , . . . , xn ) chia hết cho x1 − x2 . Mệnh đề 2.1.3. ([3], Bổ đề 3.7, trang 54). Giả sử f (x, y, z) và g(x, y, z) là các đa thức thuần nhất bậc n và m với biến x, y, z. Khi đó kết thức Res(f, g, z) là một đa thức thuần nhất, bậc n · m, hai biến x và y. Mệnh đề 2.1.4. ([3], Bổ đề 3.6, trang 53). Giả sử : f (x) = (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αn ), g(x) = (x − β1 )(x − β2 ) . . . (x − βm ), trong đó α1 , α2 , . . . , αn , β1 , β2 , . . . , βm là các số phức thì: Y Res(f, g, x) = (βj − αi ). 1≤i≤n,1≤j≤m Hơn nữa, nếu f, g1 , g2 là các đa thức ba biến x, y, z thì Res(f, g1 g2 , x) = Res(f, g1 , x)Res(f, g2 , x). 10
2.2. Bội giao Chúng ta sẽ định nghĩa bội giao Ip (C, D) tại điểm p = [a, b, c] của hai đường cong C và D trong P2 thông qua kết thức của hai đa thức xác định hai đường cong đó trong một hệ tọa độ thích hợp. Hệ tọa độ xạ ảnh đó được chọn sao cho các điều kiện: 1. [1, 0, 0] không thuộc C ∪ D, 2. [1, 0, 0] không nằm trên đường thẳng nào nối hai điểm phân biệt, bất kỳ của C ∩ D, 3. [1, 0, 0] không nằm trên đường tiếp tuyến của C hay D tại bất kỳ điểm nào của C ∩ D, được thỏa mãn. Định nghĩa 2.2.1. Cho C và D là hai đường cong trong P2 , p = [a, b, c]. Khi đó: • Nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D thì Ip (C ∩ D) = ∞. • Nếu p không nằm trên C ∩ D thì Ip (C, D) = 0. • Nếu p nằm trên C ∩ D nhưng không nằm trên thành phần chung nào của C và D. f (x, y, z) và g(x, y, z) là hai đa thức xác định hai đường cong C và D khi đã bỏ đi các thành phần chung (nếu có). Chọn hệ tọa độ sao cho các điều kiện 1 đến 3 được thỏa mãn. Nếu p = [a, b, c] trong hệ tọa độ này thì Ip (C, D) là số nguyên lớn nhất k sao cho (bz − cy)k chia hết Res(f, g, x). Mệnh đề 2.2.1. ([3], Định lý 3.18, trang 59). Cho hai đường cong xạ ảnh C và D trong P2 , Khi đó: (i) Ip (C, D) = Ip (D, C). (ii) Ip (C, D) = ∞ nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D, còn ngược lại thì nó là một số nguyên không âm. (iii) Ip (C, D) = 0 khi và chỉ khi p ∈ / C ∩ D. (iv) Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một điểm duy nhất, tại đó số giao bằng một. (v) Nếu C1 và C2 định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f1 (x, y, z) và f2 (x, y, z) và C xác định bởi f (x, y, z) = f1 (x, y, z)f2 (x, y, z) thì Ip (C, D) = Ip (C1 , D) + Ip (C2 , D). 11
(vi) Nếu C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f (x, y, z) và g(x, y, z) bậc n và m, và E định nghĩa bởi f (x, y, z)r(x, y, z) + g(x, y, z) trong đó r(x, y, z) là đa thức thuần nhất bấc m − n thì Ip (C, D) = Ip (C, E). 2.3. Định lý Bézout Định lý 2.3.1. ([3], Định lý 3.8, trang 54). Hai đường cong xạ ảnh C và D bất kỳ trong P2 giao nhau ít nhất tại một điểm. Định lý 2.3.2. ([3], Định lý 3.9, trang 54).(Dạng yếu của định lý Bézout). Nếu hai đường cong xạ ảnh C và D trong P2 bậc tương ứng là n và m, không có thành phần chung thì chúng giao nhau tại nhiều nhất m · n điểm. Hệ quả 2.3.1. ([3], Hệ quả 3.10, trang 55). (a) . Mỗi đường cong xạ ảnh trơn C trong P2 luôn bất khả qui. (b) . Mỗi đường cong xạ ảnh C bất khả qui trong P2 đếu có hữu hạn điểm kì dị. Mệnh đề 2.3.1. ([3], Mệnh đề 3.14, trang 56). Giả sử hai đường cong xạ ảnh C và D bậc n trong P2 giao nhau tại đúng n2 điểm và có đúng nm điểm trong số các điểm này nằm trên một đường cong bất khả qui E có bậc m < n, khi đó n(n − m) điểm còn lại nằm trên một đường cong bậc ít nhất bằng n − m. Hệ quả 2.3.2. ([3], Mệnh đề 3.15, trang 57). Các cặp cạnh đối của một hình lục giác nội tiếp trong một conic trong P2 cắt nhau tại ba điểm cộng tuyến. Định lý 2.3.3. ([3], Định lý 3.1, trang 52).(Định lý Bézout). Giả sử C và D là hai đường cong xạ ảnh trong P2 có bậc bằng m và n. Nếu C và D không có thành phần chung thì chúng có chính xác m · n giao điểm tính cả bội. Tức là X Ip (C, D) = m · n. p∈C∩D Chứng minh. Chọn hệ tọa độ thỏa mãn các điều kiện từ 1 đến 3 giống trong định nghĩa (2.2.1). Giả sử C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f (x, y, z) và g(x, y, z) trong hệ tọa độ này. Theo các mệnh đề (2.1.3) và (2.1.2) kết thức Res(f, g, x) là một đa thức thuần nhất bậc m · n với hai biến y và z, không đồng nhất bằng không, vì vậy theo mệnh đề (1.1.1) nó có thể phân tích thành tích của m · n thừa số tuyến tính, chẳng hạn như Yk Res(f, g, x) = (bi z − ci y)si i=1 12
trong đó si là một số nguyên s1 + s2 + · · · + sk = m · n và với i 6= j thì (bi , ci ) 6= (bj , cj ). Ta có Res(f (x, bi , ci ), g(x, bi , ci ), x) = 0 do đó tồn tại ai để f (ai , bi , ci ) = g(ai , bi , ci ) hay tồn tại duy nhất các số phức ai sao cho C ∩ D = {pi |1 ≤ i ≤ k} với pi = [ai , bi , ci ]. Theo định nghĩa về bội giao thì Ipi (C, D) = si . Do đó ta có điều phải chứng minh. 13
Chương 3 Chiều ngược lại của định lý Bézout Định lý Bézout được xem là một trong những định lý lâu đời của hình học đại số nhưng cho đến nay bài toán ngược lại của nó vẫn chỉ dừng lại ở những phỏng đoán mà vẫn chưa có lời giải, chứng minh cụ thể nào. Trong luận văn này cũng vậy, chúng tôi chứng minh chiều ngược lại cho một số trường hợp riêng và đưa ra một số ví dụ cụ thể đó là các trường hợp mà chiều ngược lại đúng, gồm trường hợp hai đường bậc hai và trường hơp một đường bậc hai và một đường bậc ba. Bài toán ngược lại của định lý bezout được phát biểu như sau: Cho trước hai số nguyên dương m và n. Với một bộ k số nguyên dương bất kì [s1 , s2 , . . . , sk ] sao cho s1 + s2 + · · · + sk = m · n. Liệu có tồn tại hay không hai đường cong xạ ảnh bậc m và n trong P2 sao cho chúng giao nhau tại k điểm với số bội giao tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk . Kết quả chính của chương này là mệnh đề 3.2.1. Để đơn giản ta xét các đường cong trong C2 . 3.1. Bội giao của hai đường cong tại một điểm Trong mục này chúng tôi tìm hiểu số giao của hai đường cong bậc m và bậc n tại một điểm. Bổ đề dưới đây cho chúng ta một cách tính số giao một cách hiệu quả trong trường hợp một đường cong có thể tham số hóa được bằng đa thức. Bổ đề 3.1.1. Cho hai đường cong C và D định nghĩa bởi f (x, y) = 0 và g(x, y) = 0. f (x, y) có phương trình tham số là  x = φ(t) y = ψ(t), 14
với φ(t), ψ(t) ∈ C[t]. Khi đó I(0,0) (C, D) = ldegt g φ(t), ψ(t) , trong đó ldegt g φ(t), ψ(t) là kí hiệu bậc nhỏ nhất của đơn thức trong g φ(t), ψ(t) theo t. Từ bổ đề trên ta có kết quả sau. Mệnh đề 3.1.1. Cho 0 ≤ p ≤ m · n. Luôn tồn tại hai đường cong bậc m và n sao chúng giao nhau tại O(0, 0) với bội giao là p. 3.2. Một số trường hợp riêng của bài toán ngược lại Mệnh đề 3.2.1. Cho một bộ k số nguyên dương [s1 , s2 , . . . , sk ] bất kì, có tổng s1 + s2 + · · · + sk = m · n(n ≤ m) và (m + 1)(m + 2) m·n< . 2 Khi đó luôn tồn tại hai đường cong bậc n và m sao cho chúng giao nhau tại k điểm với số bội giao tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk . Chứng minh. Chọn C là đường cong bậc n định nghĩa bởi f (x, y) = y − xn . Bài toán đặt ra bây giờ là chỉ ra sự tồn tại của đường cong D bậc m sao cho D giao C tại k điểm và tại mỗi điểm bội giao tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk . D là đường cong bậc m định nghĩa bởi X g(x, y) = aij xi y j , ∃aij 6= 0(i + j = m). i+j≤m −−→ Xét điểm M = (b, bn ) ∈ C tùy ý. Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OM  x = X + b y = Y + bn . Khi đó f 7→ f1 = Y + bn − (X + b)n X g 7→ g1 = aij (X + b)i (Y + bn )j . i+j≤m 15
Trong hệ tọa độ mới f1 có phương trình tham số  X = t = φ(t) Y = (t + b)n − bn = ψ(t). Khi đó X X g1 φ(t), ψ(t)) = aij (t + b)i (t + b)nj = aij (t + b)i+nj i+j≤m i+j≤m X X X = Cij0 aij + Cij1 aij t + · · · + Cijnm aij tnm , i+j≤m i+j≤m i+j≤m trong đó X Cijk aij i+j≤m là một tổ hợp tuyến tính nào đó của aij . Theo bổ đề (3.1.1) để C ∩ D tại M (b, bn ) với số bội giao là sb (s1 ≤ sb ≤ sk ) thì I(0,0) (C, D) = ldegt g1 (φ(t), ψ(t)) = sb . Khi đó X Cije aij = 0. với mọi e, 0 ≤ e ≤ sb − 1. i+j≤m Khi e chạy từ 0 đến sb − 1 thì ta nhận được một hệ sb phương trình tuyến tính thuần nhất với biến aij . Do đó tại k điểm của C ∩ D ta nhận được một hệ s1 + s2 + · · · + sk = m · n phương trình tuyến tính thuần nhất với biến aij . Tập hợp H = {aij |i + j ≤ m} gồm (m+1)(m+2) 2 phần tử. Vì (m + 1)(m + 2) m·n< 2 nên hệ phương trình thu được là một hệ tuyến tính thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn. Ta có thể chọn một nghiệm sao cho aij 6= 0, với i + j = m, như vậy tồn tại đường cong D bậc m sao cho D giao C tại k điểm và tại mỗi điểm có bội giao tương ứng là s1 , s2 , . . . , sk . Từ dó ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 3.2.2. Luôn tồn tại hai đường cong với bậc tương ứng là m và n sao cho: • Chúng giao nhau tại m · n điểm với bội giao đều bằng một. • Chúng giao nhau tại một điểm với bội giao là m · n. Mệnh đề 3.2.3. Luôn tồn tại hai đường cong bậc m và n(n ≤ m) sao cho chúng giao nhau tại hai điểm với bội giao là [1, mn − 1], hoặc [2, mn − 2], hoặc, . . . , hoặc [n − 1, mn − n + 1]. Mệnh đề 3.2.4. Luôn tồn tại hai đường cong bậc m và n (n ≤ m) sao cho chúng giao nhau tại k điểm với bội giao tương ứng là m.i1 , m.i2 , . . . , m.ik với i1 + i2 + · · · + ik = n. 16
3.3. Chiều ngược lại cho một số trường hợp cụ thể Ta kí hiệu [s1 , s2 , . . . , sk ] là bộ số bội giao của hai đường cong tại k điểm. 3.3.1. Hai đường cong bậc hai Hai đường cong bậc hai C và D giao nhau tại bốn điểm tính cả bội với các trường hợp là [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 3], [2, 2], [4]. Chọn C là đường cong định nghĩa bởi f (x, y) = y − x2 . • Trường hợp 1: [1,1,1,1]. Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = x2 − y 2 + 2xy − 2x. • Trường hợp 2: [1,1,2]. Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = x2 + y 2 − 2y. • Trường hợp 3: [1,3]. Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = x2 + y 2 − xy − y. • Trường hợp 4: [2,2]. Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = 2x2 + y 2 − 2xy − y. • Trường hợp 5: [4]. Cho D định nghĩa bởi g(x, y) = x2 + y 2 − y. 3.3.2. Một đường cong bậc hai và một đường cong bậc ba Tương tự như hai đường cong bậc hai. Với f (x, y) = y − x2 , ta có 11 trường hợp sau • Trường hợp 1: [1,1,1,1,1,1]. Với g = x2 − y 3 + 6y 2 − 7y + 1. Khi đó Res(f, g, x) = (y − 1)2 (y 2 − 5y + 1)2 , Res(f, g, y) = −(x − 1)(x + 1)(x4 − 5x2 + 1). • Trường hợp 2: [1,1,1,1,2]. Với g = x2 − y 3 + 6y 2 − 7y. Khi đó Res(f, g, x) = y 2 (6 + y 2 − 6y)2 , Res(f, g, y) = −x2 (6 − 6x2 + x4 ). 17
• Trường hợp 3: [1,1,1,3]. Với g = y 3 − xy − x3 . Khi đó Res(f, g, x) = −y 3 (−4 + y 3 ), Res(f, g, y) = x3 (−2 + x3 ). • Trường hợp 4: [1,1,4]. Với g = y 3 + x3 − xy − 2y 2 . Khi đó Res(f, g, x) = −y 4 (y − 2)2 , Res(f, g, y) = x4 (−2 + x2 ). • Trường hợp 5: [1,5]. Với g = x3 − y 2 x + y 3 − xy. Khi đó Res(f, g, x) = −y 5 (−1 + y), Res(f, g, y) = x5 (−1 + x). • Trường hợp 6: [1,1,2,2]. Với g = x3 − yx2 + 5y 3 − 7y 2 x + x2 + y 2 . Khi đó Res(f, g, x) = −y 2 (25y 2 + y + 1)(−1 + y)2 , Res(f, g, y) = x2 (5x2 + 3x + 1)(−1 + x)2 . • Trường hợp 7, [1,2,3]. Với g = −2x3 − y 3 + 3y 2 . Khi đó Res(f, g, x) = −y 3 (y − 4)(−1 + y)2 , Res(f, g, y) = −x3 (x + 2)(−1 + x)2 . • Trường hợp 8: [2,2,2]. Với g = x3 + 2y 3 − 4y 2 + 2x2 − xy. Khi đó Res(f, g, x) = −4y 2 (−1 + y)4 , Res(f, g, y) = 2x2 (−1 + x)2 (x + 1)2 . 18
• Trường hợp 9: [2,4]. Với g = x3 + 2y 3 − 4y 2 x + 2y 2 − xy. Khi đó Res(f, g, x) = −4y 4 (−1 + y)2 , Res(f, g, y) = 2x4 (−1 + x)2 . • Trường hợp 10: [3,3]. Với g = x3 − y 3 + 3y 2 x + yx2 − 4y 2 . Khi đó Res(f, g, x) = −y 3 (−1 + y)3 , Res(f, g, y) = −x3 (−1 + x)3 . • Trường hợp 11: [6]. Với g = x3 + y 3 − xy. Khi đó Res(f, g, x) = −y 6 , Res(f, g, y) = x6 . 3.3.3. Hai đường cong bậc bốn Hai đường cong này không thỏa mãn mệnh đề 3.2.1. Nhưng ta vẫn có thể tìm được hai đường cong bậc bốn thỏa mãn một số trường hợp sau: • [1, 1, . . . , 1] và [16] đã nói trong mệnh đề 3.2.2. • [1, 15] như đã nói ở mệnh đề 3.2.3, với C định nghĩa bởi g(x, y) = y(y − x3 ). D định nghĩa bởi h(x, y) = y 4 + y.x − y − x4 + x3 . Khi đó Res(f, g, x) = y 16 , Res(f, g, y) = −x15 (x − 1). • [4, 4, 4, 4]. Ta có thể chọn hai đường cong như đã nói ở mệnh đề 3.2.4 hoặc chọn khác đi. C định nghĩa bởi f (x, y) = x4 + y 4 − 1. D định nghĩa bởi g(x, y) = (x + 1)(x − 1)(y + 1)(y − 1) + x4 + y 4 − 1. Khi đó Res(f, g, x) = y 4 (y − 1)4 y 4 (y + 1)4 , Res(f, g, y) = (x − 1)4 x4 (x + 1)4 x4 . Tương tự ta có các trường hợp 19